Breuken, kommagetallen en procenten: een lessenreeks voor toekomstige leerkrachten in het lager onderwijs. (Patrick Van Roy, Ilona Hawrijk, Ann Palmaerts, Nathalie Vermeersch en Fien Depaepe)
Wie ben ik? Patrick Van Roy (26 jaar) Lector wiskunde aan de Hogeschool PXL te Hasselt (BALO) Lector pedagogie aan Thomas More Mechelen (BALOA) Eerder (2012-2014): Wetenschappelijk medewerker aan het CIP&T (Centrum voor Instructiepsychologie en technologie) aan de Katholieke Universiteit Leuven SoE-project: een nieuwe lessenreeks rond rationale getallen voor in de lerarenopleiding lager onderwijs.
SoE-project (2012-2014) Wat? Het ontwerpen van een nieuwe lessenreeks (7 x 2 uur) rond rationale getallen voor in de lerarenopleiding lager onderwijs. Wie? - KU Leuven (Fien Depaepe, Lieven Verschaffel, Wim Van Dooren, Joke Torbeyns, Patrick Van Roy) - Vives Brugge (Nathalie Vermeersch) - Thomas More Mechelen (Ilona Hawrijk) - Groep T Leuven (Ann Palmaerts)
Interventiestudie: lessenreeks rationale getallen 7 lesblokken 7 lesblokken
Rationale getallen Één van de moeilijkste wiskundige domeinen in de basisschool. Vlaanderen: o Werken met breuken ervaren veel leerlingen als moeilijk en minder aangenaam. (toelichting leerplan wiskunde VSKO p. 21) o Peilingsproeven BaO (Janssen, De Corte, De Boeck, Verschaffel, Luyten, Van Nijlen, Daems, & Rymenans, 2002): In welke mate hebben de leerlingen de eindtermen wiskunde bereikt in het zesde leerjaar van het basisonderwijs? Ons basisonderwijs scoort goed voor de eindtermen wiskunde, maar er zijn voor een aantal deeldomeinen minder goede resultaten.
Rationale getallen Internationaal (vb. Behr, Wachsmuth, Post, & Lesh, 1984; Clarke & Roche, 2009; Clarke, Roche, & Mitchell, 2007; Cramer, Post & delmas, 2002; Vamvakoussi, Christou, Mertens, & Van Dooren, 2011; Zhou, Peverly, & Xin, 2006) o Enkele voorbeelden: Welk deel is D? 42.7% juist (zesde leerjaar; Clarke et al., 2007) Welke breuk is groter, of? 37.2% juist (zesde leerjaar; Clarke et al., 2007) 4 7 4 5 Hoeveel getallen liggen er tussen 7 en 7,001? Minder dan 1 op 3 juist (derde middelbaar; Vamvakoussi et al., 2011) Panama-conferentie 16-17/02/2014 Rekenen-wiskunde XL
1) Aandacht voor voorkennis van en moeilijkheden bij leerlingen 17 verschillende misvattingen! Leerkrachten: Leerlingen:
2) Inzetten van het CSA-model en een brede waaier aan representaties
3) Gericht op het toepassen van vakdidactische kennis in een concrete klassituatie
Groepswerk (+/- 20 min) Cartoons Filmpjes
Cartoons Met welke misvatting krijgen de leerlingen hier te maken? Breuken, kommagetallen en procenten kun je niet samen weergeven op één getallenas. Elke plaats op de getallenas kan je echter op verschillende manieren 3 uitdrukken vb. 0,75 = = 75% 4
Cartoons Vergelijk beide antwoorden? Wie is correct? Niemand is correct. Sam (bovenste leerling) heeft nog geen besef van kommagetallen en Siebe (onderste leerling) houdt enkel rekening met kommagetallen tot op één honderdste.
Cartoons Herken je deze fouten van leerlingen? Welke oorza(a)k(en) zou(den) aan de basis kunnen liggen voor het maken van deze fout? Bij natuurlijke getallen maakt vermenigvuldigen altijd groter en delen altijd kleiner. Dat geldt echter niet meer voor de rationale getallen.
Cartoons Formuleer de twee misvattingen die duidelijk naar voren komen in deze cartoon. 1 3 5 1) Teller: 1 < 3 < 5 < 6. Noemer: 2 < 4 < 6 < 8, dus < < < 2 4 6 1 3 5 2) Het verschil tussen teller en noemer bij, en is 2 4 6 steeds gelijk aan 1.Deze breuken zijn dus gelijk. 6 8
Cartoons Is dit een goede vraag die de leerkracht stelt aan zijn leerlingen? Waarom wel / niet? Geef (eventueel) een alternatief. Dit is een slechte vraag, want hiermee insinueert de leerkracht al dat er zo een getal bestaat terwijl dat niet het geval is. Hij zet m.a.w. de leerlingen op een dwaalspoor.
Cartoons De leerkracht maakt hier gebruik van MAB-materiaal. Noteer een voordeel en een nadeel van dit materiaal door de antwoorden van de leerlingen te interpreteren. Voordeel: aanschouwelijk, overzichtelijk, leuk om te werken met concreet materiaal. Nadeel: de misvatting hoe meer materiaal er ligt hoe groter het getal kan ontstaan.
Filmpjes Opdracht 1 Filmpje 2A 2 2 <, want 3 < 6. Teller en noemer worden 3 6 zeer vaak als afzonderlijke delen beschouwd en met elkaar vergeleken. Je moet ze echter samen bekijken.
Filmpjes Opdracht 2 Filmpje 4A Beide antwoorden zijn fout. Het eerste groepje 1 gaat aftrekken i.p.v. vermenigvuldigen met (of 2 delen door 2). Hier is de misvatting de helft 1 1 nemen van = -. Het tweede groepje neemt 2 2 3 i.p.v., maar voert wel de juiste bewerking uit. 3 1 Toevallig komen zij ook het foutieve antwoord 6 uit.
Filmpjes Opdracht 3 Filmpje 6A De leerlingen zijn er duidelijk van overtuigd dat het geen optelling of aftrekking is. Ze twijfelen wel tussen vermenigvuldigen en delen. De leerlingen zijn dit soort opgaven niet gewend. Ze zijn verward met de opgave Je krijgt elke week 0,20 zakgeld. Hoeveel heb je gespaard na x aantal weken? en dan moet je wel vermenigvuldigen. Door de vraag anders te formuleren (hoeveel keer gaat 0,20 in 2) zullen er al meer leerlingen terecht komen bij het juiste antwoord (nl. 2 : 0,20).
Oorzaak misvattingen/fouten Veel moeilijkheden met rationale getallen ontstaan bij de overgang van natuurlijke naar rationale getallen. Bij het verwerven van inzicht in rationale getallen moeten er een aantal grote conceptuele sprongen gemaakt worden (Vosniadou & Verschaffel, 2004; Lamon, 2005). Leerlingen beroepen zich op hun voorkennis over natuurlijke getallen om betekenis te geven aan en te werken met rationale getallen (Ni & Zhou, 2005). In sommige situaties helpt deze voorkennis leerlingen 4 3 in het leerproces (vb. >, want 4 > 3). 5 5
In andere situaties strookt de theorie over natuurlijke getallen niet met de eigenschappen van rationale getallen 3 1 3 1 (vb. 4 + 5 4 5 ) Wanneer leerlingen opgaven met rationale getallen systematisch fout oplossen ten gevolge van het generaliseren van hun voorkennis van natuurlijke getallen naar situaties waar deze niet van toepassing is, spreekt men van de natural number bias (Vamvakoussi, Christou, Mertens & Van Dooren, 2011; Vamvakoussi, Van Dooren & Verschaffel, 2012)
De natural number bias 1. Verschillen in (aantal) representaties (cartoon 2) Vb.1: leerlingen denken dat, 4,00 en 400% niet hetzelfde getal voorstellen. Voor de introductie van rationale getallen werden de leerlingen slechts met één unieke representatie van een natuurlijk getal (4) geconfronteerd. 16 4
De natural number bias 2. Verschillen in vergelijken en ordenen (cartoon 10) Vb.1: Leerlingen denken vaak onterecht dat 5 dan omdat 9 groter is dan 7. 7 Vb.2: 0,425 > 0,5 omdat 425 > 5 5 9 groter is
De natural number bias 3. Discreet versus dicht. (cartoon 4 en 14) Vb.1: leerlingen denken dat er maar één breuk ligt tussen 4 7 6 7 en. Vb.2: leerlingen denken dat na 0,5 het getal 0,6 komt.
De natural number bias 4. Verschillen in bewerkingen (cartoon 6)
De natural number bias 2 3 5 Vb.1: leerlingen denken dat + = omdat 2 + 3 = 5 en 5 + 4 = 9. 5 4 9 Vb.2: leerlingen denken dat 0,9 : 0,1 = 0,09.
Strategieën om misvattingen/fouten aan te pakken 1) Aandacht voor voorkennis van en moeilijkheden bij leerlingen. bvb. concept cartoons (Keogh & Naylor, 1999) 2) Verschillen tussen natuurlijke en rationale getallen expliciet benadrukken. zie Depaepe, Torbeyns, Verschaffel & Van Dooren (2012) 3) Inzetten van het CSA-model en een brede waaier aan representaties.
Aandacht voor voorkennis van en moeilijkheden bij leerlingen Concept cartoons Authentieke antwoorden van leerlingen weergeven:
Verschillen tussen natuurlijke en rationale getallen expliciet benadrukken Depaepe, Torbeyns, Verschaffel & Van Dooren (2012) - Door expliciet te verwijzen naar verschillen tussen natuurlijke en rationale getallen kan de natural number bias vermeden worden (Vosniadou & Verschaffel, 2004) - In hoeverre vinden we in handleidingen instructies om mogelijke uitingen van de natural number bias bij leerlingen te voorkomen, te remediëren of te versterken en in welke mate zijn deze instructies geëxpliciteerd?
- Analyse van de drie meest gebruikte handleidingen (Kompas, Zo gezegd zo gerekend en Nieuwe Tal-rijk) - Gelijkenissen en verschillen tussen natuurlijke en rationale getallen blijven hoofdzakelijk impliciet. - Slechts één expliciet verschil tussen natuurlijke en rationale getallen. - Expliciete gelijkenissen tussen natuurlijke en rationale getallen zijn het meest terug te vinden binnen het domein bewerkingen.
Filmpje Filmpje 2B - De leerkracht verkiest om eerst te werken met een breukentafel en daarna met een getallenas. Wat vind je van deze aanpak? - Wat doet de leerkracht goed? Wat zou je eventueel anders gedaan hebben? - Op welke andere manier zou je eventueel nog duidelijk kunnen maken aan leerlingen uit de lagere 2 2 school dat >? 3 6
Evaluatie van de effecten van de lessenreeks Vergelijking van de leerwinst voor en na de lessenreeks in de interventiegroep met een controlegroep, voor o o vakinhoudelijke kennis vakdidactische kennis
Toets vakinhoudelijke kennis (CK) en vakdidactische kennis (PCK) CK PCK Misvatting Representaties Breuken Concept 4 2 2 Procedures Optellen 2 1 1 Aftrekken 2 1 1 Vermenigvuldigen 2 1 1 Delen 2 1 1 Kommagetallen Concept 4 2 2 Procedures Optellen 2 1 1 Aftrekken 2 1 1 Vermenigvuldigen 2 1 1 Delen 2 1 1 Totaal 24 12 12
Toets voorbeelden Vakinhoudelijke kennis (CK) Vakdidactische kennis (PCK)
Toets voorbeelden Vakinhoudelijke kennis (CK) Vakdidactische kennis (PCK)
Resultaten Vóór de lessenreeks o o o Geen significant verschil tussen controlegroep en interventiegroep CK (F=0.01; p=.94; η²=.00); PCK (F=1.51; p=.22; η²=.01) Gemiddelde score van 70% voor CK en 49% voor PCK Wel een invloed van bepaalde student-kenmerken 1CK 1PCK B SE B SE Conditie.02.14 -.17.14 Geslacht.42**.20.14.20 Uren wiskunde in SO.24**.07.21**.07 Wiskundig zelfconcept.26**.07.21**.07 ** = p <.01
Resultaten Illustraties van fouten: CK
Resultaten Illustraties van fouten: PCK
Resultaten Effect van de lessenreeks
Resultaten Effect van de lessenreeks o Interventiegroep scoort significant beter dan controlegroep voor PCK, maar nog sterker voor CK 2CK 2PCK B SE B SE 1CK.63**.04 1PCK.67**.04 Conditie.58**.09 Conditie.47**.09 ** = p <.01
Referenties Clarke. D, Roche. A & Mitchell. A (2007). Year six fraction understanding: A part of the whole story. Mathematics Education Research Group Australia, 1, 207-216. Depaepe, F., Torbeyns, J., Verschaffel, L., Van Dooren, W. (2012). Wat is er dan zo rationeel aan rationale getallen? Of hoe voorkennis niet (altijd) helpt. School- en Klaspraktijk, 53 (mrt-apr-mei), 2-16. Janssen, R., De Corte, E., Daems, F., De Boeck, P., Verschaffel, L., Rymenans, R., Luyten, B. & Van Nijlen, D. (2003). Eerste peiling wiskunde en lezen in het basisonderwijs. Leuven: Katholieke Universiteit Leuven. Keogh, B. & Naylor, S. (1999). Concept cartoon, teaching and learning in science: an evaluation. International Journal of Science Education, 21, 431-446. Lamon, S. (2005). Teaching fractions and ratios for understanding. New York: Routledge.
Ni, Y. & Zhou, Y-D. (2005). Teaching and learning fraction and rational numbers. The origins and implications of whole number bias. Educational Psychologist, 40, 27-52. Vamvakoussi, X., Christou, K. P., Mertens, L., & Van Dooren, W. (2011) What fills the gap between discrete and dense? Greek and Flemish students understanding of density. Learning and Instruction, 21(5), 676 685. Vamvakoussi, X., Van Dooren, W., & Verschaffel, L. (2012). Naturally biased? In search for reaction time evidence for a natural number bias in adults. The Journal of Mathematical Behavior, 31(3), 344-355. Van Roy, P., Hawrijk, I., Vermeersch, N., Palmaerts, A., Depaepe, F. (2014). Breuken, kommagetallen en procenten. Een didactiek voor het basisonderwijs. Leuven: Acco uitgeverij. Vosniadou, S. & Verschaffel, L.(2004). Extending the conceptual change approach to mathematics learning and teaching. Learning and Instruction, 14, 445-451.
Contact Patrick Van Roy Lector wiskunde Hogeschool PXL PXL-education (BALO) Lector pedagogie Thomas More Mechelen BALOA Vildersstraat 5 Lange Ridderstraat 44 3500 Hasselt 2800 Mechelen patrick.vanroy@pxl.be patrick.vanroy@thomasmore.be