Procenten als standaardbreuken Groep Achtergrond De lessen zijn bedoeld om leerlingen te laten ontdekken dat het handig is om met standaardbreuken te werken als je gegevens wilt vergelijken. Wanneer leerlingen dit inzicht hebben ontwikkeld kunnen de procenten worden geïntroduceerd als een manier om op 0 te normeren. De stap naar procenten wordt in deze lessen niet gemaakt, alleen het achterliggende idee wordt ontwikkeld. U kunt de lessen doen vlak voordat u de procenten introduceert. U kunt de lessen ook doen als de leerlingen al enigszins vertrouwd zijn met procenten. Lessenserie Verhoudingen kunnen we op verschillende manieren aangeven, bijvoorbeeld: Een derde van de Nederlanders rookt Een op de drie Nederlanders rookt 4% van de Nederlanders rookt Het zijn drie uitspraken bij hetzelfde gegeven. Wie de krant doorbladert komt echter veel vaker percentages tegen dan breuken of uitspraken met zoveel op de zoveel. Breuken werden al gebruikt in de tijd van de Farao s. Daarmee vergeleken zijn de procenten een recente uitvinding. Waarom hebben breuken in de loop van de geschiedenis het af moeten leggen tegen de procenten? De belangrijkste reden is dat procenten een vaste schaal bieden. Stel dat we geen procenten hadden, dan zouden we soms iets met kwarten beschrijven, soms met vijfden, en soms - als het preciezer moet - met twaalfden of twintigsten. Al die verschillende breuken door elkaar zijn lastig. Je kunt bijvoorbeeld niet makkelijk gegevens vergelijken. Als de ene krant het heeft over 12 en een 2 andere krant over --, kunnen ze het dan over dezelfde gegevens hebben? Procenten zijn een soort standaard-breuken. Door alles steeds in honderdsten uit te drukken maken we het mogelijk om gegevens in één oogopslag te vergelijken. En daarbij is het natuurlijk geen toeval dat gekozen is voor een schaal van 0 tot 0, in plaats van bijvoorbeeld voor een schaal van 0 tot 2, want honderdsten passen bij ons systeem van de gewone getallen. We zouden natuurlijk ook alles kunnen uitdrukken in tienden, maar dat is een vrij grove schaal. De schaal van 0 tot 0 is ons heel vertrouwd en precies genoeg voor dagelijks gebruik. Wanneer we nog nauwkeuriger willen zijn kunnen we overstappen naar duizendsten - wat ook past bij ons getalsysteem - via promilles of door percentages te geven met cijfers achter de komma. Als het kernidee achter procenten is dat we een vaste breuksoort nemen om verhoudingen te beschrijven, dan zou dit idee ook door de leerlingen moeten worden herondekt. De lessen die we hieronder beschrijven zijn bedoeld om een discussie in de klas over de relatie tussen breuken en procenten uit te lokken. Niet over de overeenkomsten tussen breuken en procenten - dat 2% www.tal.wolters.nl, www.fi.uu.nl/tal 1
evenveel is als een kwart, en dergelijke - maar over de verschillen. De opbouw van de lessen is als volgt: De context is die van het vergelijken van scholen naar het aantal overblijvers. Rechtstreeks vergelijken van de aantallen gaat niet goed, want de ene school heeft veel meer leerlingen dan een andere. De gegevens staan afgebeeld in een grafiek, waarbij de staven verschillen in lengte. Via breuken - meer dan driekwart van de strook is gekleurd kunnen scholen vergeleken worden. In de eerste les ligt de nadruk op het twee aan twee vergelijken van scholen naar het aantal overblijvers. Op het rekenweb (www.rekenweb.nl) staat het computerprogramma Breukenstrook waarmee het vergelijken van breuken op een meer precieze manier kan worden gedaan. De leerlingen werken in tweetallen en proberen met behulp van het computerprogramma alle scholen op volgorde te zetten van veel naar weinig overblijvers. In een les hierna presenteren de leerlingen hun bevindingen. In de discussie zou naar boven moeten komen dat je scholen twee aan twee kunt vergelijken, maar dat het voor het op volgorde zetten van alle scholen handig is als je dezelfde breuksoort gbruikt. Met opzet bevat het computerprogramma Breukenstrook niet de mogelijkheid om de strook op te delen in honderdsten. Leerlingen zouden anders waarschijnlijk allemaal direct voor de honderdsten kiezen, want honderdsten bieden een nauwkeuriger schaal. Er zijn in feite twee argumenten voor het werken met procenten: Procenten zijn handig omdat alles op dezelfde schaal wordt vergeleken. Procenten werken met een schaal van 0 tot 0, waardoor je nauwkeuriger kan zijn dan met gewone breuken. Door alleen met gewone breuken te laten werken kunnen de twee argumenten voor procenten nog even uit elkaar worden gehouden. U kunt de lessen gebruiken als een manier om procenten te introduceren, maar u kunt de lessen ook doen als de leerlingen het procentbegrip al kennen. In dat laatste geval is de kans groot dat leerlingen met opmerkingen over honderdsten of over procenten komen. U kunt die opmerkingen gebruiken als aanleiding voor een discussie over het normeren op 0. www.tal.wolters.nl, www.fi.uu.nl/tal 2
Les 1: Overblijven Materiaal Het probleem Werkblad Overblijven De gemeente heeft een onderzoek laten uitvoeren naar het overblijven op verschillende scholen. De gemeente wil graag weten hoeveel kinderen overblijven en waarom ze overblijven, want dan kan daar rekening mee gehouden worden als er nieuwe scholen moeten worden gebouwd. In de discussie zouden de volgende punten naar voren moeten komen: Je kunt niet zomaar afgaan op het aantal overblijvers, want de Rietpluim heeft de meeste overblijvers, maar ook de meeste kinderen. En de Klimop en het Zwanenest hebben evenveel overblijvers, maar de Klimop heeft meer kinderen die niet overblijven. Je kunt de scholen vergelijken door de stroken of de getallen te vertalen naar breuken: een breuk geeft de verhouding aan tussen het deel en het totaal. Waarschijnlijk zullen kinderen spontaan breuken gaan gebruiken, bijvoorbeeld: op de Driesprong en de Beatrixschool is het aantal overblijvers minder dan de helft. Via de precieze getallen kunnen andere breuken worden berekend. Deze staan op het werkblad. Driesprong: 40 van 200 Klimop: 2 van 0 Zwanenest: 2 van 240 Rietpluim: 00 van 400 Horizon: 120 van 160 Beatrix: 90 van 20 Het is voldoende om in de eerste les alleen de vraag te beantwoorden welke school de meeste overblijvers heeft, en welke school de minste. De vraag naar de precieze volgorde van alle scholen blijft dan bewaard voor het zelfstandig werken in tweetallen. Houd in het oog dat er in principe twee manieren zijn om de scholen vergelijkbaar te maken: www.tal.wolters.nl, www.fi.uu.nl/tal
Verhoudingen vertalen naar breuken en de breuken vergelijken. Bijvoorbeeld: 40 van de 200 is -- en 00 van 400 is -- 1 4. De verhoudingen vergelijkbaar maken door de totalen gelijk te trekken: 40 van 200 is hetzelfde als 0 van 400 en daarmee is de Driesprong direct vergelijkbaar met de Rietpluim. Kinderen zouden ook met deze laatste aanpak kunnen komen, al nodigen de gekozen getallen er niet echt uit toe uit. De verhoudingsaanpak komt uiteindelijk op hetzelfde neer als de breukenaanpak, maar bij de breukenaanpak wordt 1 de verhouding naar kleine getallen omgerekend (40 van de 200 wordt -- ) terwijl de verhoudingsaanpak met grotere getallen werkt. Eventueel zou men alle verhoudingen via een verhoudingstabel kunnen omrekenen naar zoveel van de 0, wat dan gelijk is aan zoveel procent. Groepswerk: computerprogramma Breukenstrook Op het rekenweb (www.rekenweb.nl) staat het programma Breukenstrook. Via dit programma kan bij een willekeurige verhouding een passende breuk worden gezocht. Opdracht: Stel de precieze volgorde van de scholen vast. Neem als voorbeeld de gegevens van het Zwanenest: 2 overblijvers en 240 leerlingen in totaal. Vul het totaal in in het witte vakje: 240. Klik op de strook om 2 te vinden. 2 zelf is niet te vinden, maar wel 209 of 211. Klik op de breukenknoppen om te zoeken welke breuk er past bij het gele deel van de strook. -- is een precieze breuk, maar je kunt bijvoorbeeld ook zeggen dat het iets minder dan is. 9 Dat 2 niet op de strook te vinden is, maar wel getallen in de buurt, komt omdat het programma geen 240 stapjes maakt. In feite - maar dat hoeft de leerlingen niet verteld te worden - maakt het programma precies 0 stapjes. De leerlingen zoeken in tweetallen met het computerprogramma uit wat de volgorde van de zes scholen is. U kunt de leerlingen vragen om hun resultaten op een groot vel te schrijven - als een poster - met daarbij de argumenten waarom het, volgens hen, de goede volgorde moet zijn. www.tal.wolters.nl, www.fi.uu.nl/tal 4
Les 2: Welke breuken gebruikte je? De leerlingen presenteren hun resultaten. Een aantal tweetallen vertelt aan de hand van hun poster te vertellen wat ze gedaan hebben, en wat hun conclusies zijn. Er zijn, in grote lijnen, twee manieren om het probleem aan te pakken: Je kunt een globale volgorde maken van de scholen op grond van de gekleurde stroken, en dan de scholen twee aan twee vergelijken om te kijken of de volgorde klopt. Daarbij bepaal je van geval tot geval welke breuken je gebruikt. Bijvoorbeeld: Zwanenest heeft -- overblijvers, de Horizon heeft -- 4 overblijvers Je kunt alle scholen met dezelfde breuk proberen te vergelijken. Bijvoorbeeld met achtsten: Driesprong: meer dan -- Klimop: bijna Zwanenest: -- 6 Rietpluim: -- 6 Horizon: -- Beatrix: bijna -- Of met tienden: 2 Driesprong: 6 Klimop: 9 Zwanenest:bijna Rietpluim: meer dan Horizon: meer dan Beatrix:meer dan 2 -- In de discussie zou naar voren moeten komen dat het handig is om te vergelijken via steeds dezelfde breuk. Vandaaruit kunt u de vraag stellen welke breuk hiervoor het meest geschikt is, niet alleen voor dit ene geval, maar in het algemeen. Vraag ook of het terecht is dat het computerprogramma alleen laat werken met breuken tot twaalfden: zou een kleinere breuk handig zijn of niet? www.tal.wolters.nl, www.fi.uu.nl/tal
www.tal.wolters.nl, www.fi.uu.nl/tal 6