IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 15 Oplossingen
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 1/1 Oefening 1 Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag zonder score, wel invullen aub) (A) fysica (B) informatica wiskunde Oplossing: Oefening De vijf punten in de onderstaande druk-volume-grafiek stellen vijf verschillende toestanden voor van e e n mol van een ideaal gas. Voor een ideaal gas geldt het volgende verband tussen de druk p, uitgedrukt in Pascal, het volume V, uitgedrukt in m3 en de temperatuur T, uitgedrukt in Kelvin : pv = nrt, waarbij n de hoeveelheid gas in mol voorstelt en R = 8, 31 JK 1 mol 1 de gasconstante is. Voor welk van deze toestanden bevindt het gas zich op de hoogste temperatuur? p (A) toestand A A 3p (B) toestand B B p toestand C C p D V V E toestand D toestand E V 3V Oplossing: B Oefening 3 1 1 a b a b en =. Veronderstel dat Beschouw een ( )-matrix c d c d a b a b 6 =. Bereken. c d 1 1 c d 6 (A) 6 6 6 6 (B) Oplossing: E Oefening 4 1 x ). Gegeven f : R+ R : x 7 f (x) = cos (e Bepaal f (x). (A) f (x) = sin (e1 (B) f (x) = sin (e1 f (x) = sin (e1 x) x )e1 x x )e1 x x sin (e1 x )e1 f (x) = x! e1 x f (x) = sin x x
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. /1 Oefening 5 Gegeven de punten P (,, ), Q(, 3, ) en R(,, 6) in de driedimensionale ruimte met een cartesiaans assenstelsel xyz. Het vlak v is het vlak door de punten P, Q en R. Welk van de volgende punten ligt in het vlak v? (A) A(1, 1, 1) (B) B(1, 1, ) C(1, 1, 3) D(1, 1, 4) Oplossing: E Oefening 6 In de figuur hiernaast zie je 3 projecties op 3 onderling loodrechte vlakken van eenzelfde object opgebouwd uit meerdere identieke kubussen. In de onderstaande figuren zie je 5 objecten getekend in 3 dimensies. Slechts e e n van deze 5 objecten kan mits een passende rotatie met alle drie bovenstaande projecties tegelijk overeenkomen. Geef aan welk. (A) (B) Oplossing: E E(1, 1, 5)
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 3/1 Oefening 7 Hoeveel verschillende ree le nulpunten heeft de functie f : R R : x 7 f (x) = (x3 1) ln(x + 1)? (A) 1 (B) 3 4 5 Oplossing: B Oefening 8 Veronderstel dat x en y complexe getallen zijn die voldoen aan het stelsel ( ( 1 i)x y x + ( i)y =4 = i, waarbij i = 1. Bepaal x + y. (A) x + y = 1 + 4i (B) x + y = 1 + i x + y = 1 x + y = 1 x + y kan oneindig veel waarden aannemen. Oplossing: A Oefening 9 De veeltermen f (x) en g(x) zijn veeltermen met ree le coe fficie nten. De veelterm f (x) heeft bij deling door x + 1 rest x + 1 en de veelterm g(x) heeft bij deling door x + 1 rest x 1. Welke rest heeft de veelterm f (x) g(x) bij deling door x + 1? (A) Oplossing: A (B) 1 x 1 x + 1
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 4/1 Oefening 1 Gegeven de driedimensionale ruimte met een cartesiaans assenstelsel xyz met daarin het vlak v met vergelijking x + y + z = 1 en het vlak w met vergelijking x =. De rechte l is de doorsnede van de vlakken v en w. De rechte m is de rechte door de oorsprong, evenwijdig met de rechte l. Welk van de volgende punten ligt op deze rechte m? (A) A(1, 1, 1) (B) B(, 1, 1) C(, 1, ) D(, 1, ) Oplossing: E Oefening 11 In de figuur hiernaast zie je een grijs object en een zwart kader. Beeld je in dat het object gesneden wordt door het vlak waarin het kader zich bevindt. Slechts e e n van de figuren hieronder kan het resultaat zijn van deze snede. Geef aan welke. (A) (B) Oplossing: B E(, 1, 1)
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 5/1 Oefening 1 Gegeven een vlak met een cartesiaans assenstelsel met daarin een cirkel door de drie punten P (, ), Q(, ) en S(4, 6). Welk van onderstaande antwoorden geeft de straal r van de cirkel? (A) r = 3 (B) r = 6 r = 5 r = 6 r = 3 3 Oefening 13 Beschouw een balk met lengte. Deze is links ingeklemd en wordt rechts ondersteund. We beschrijven de doorbuiging van de balk met een functie u : [, ] R. De fysische betekenis van de functiewaarde u(x) is de verticale verplaatsing van het punt op de middellijn van de balk met horizontale coo rdinaat x. De fysische beperkingen ten gevolge van de inklemming in x = en de ondersteuning in x = vertalen zich in vijf wiskundige voorwaarden: het linkeruiteinde verplaatst niet: u() =, de helling in het linkeruiteinde is gelijk aan nul: u () =, het rechteruiteinde verplaatst niet: u() =, de helling in het rechteruiteinde is niet gelijk aan nul: u () 6=, de kromming in het rechteruiteinde is niet gelijk aan nul: u () 6=. x u(x) x= x= x Welk van onderstaande functievoorschriften voldoet aan de fysische beperkingen van de balk? α is hierbij een vast ree el getal verschillend van. x x (A) u(x) = α 1 x x 1 (B) u(x) = α x x u(x) = α 1 x 3 x 4 x u(x) = α 3 5 + πx u(x) = α sin Oplossing: B Oefening 14 Wat is het product van de oplossingen van de vergelijking 5x 3x 1 =, 4? (A) 14 Oplossing: C (B) 1 1 1 1
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 6/1 Oefening 15 De getallen α en β zijn ree le getallen, i = 1. Als z1 = 1 i een nulpunt is van de complexe veelterm z (α + i)z + (7 + iβ), wat is dan het tweede nulpunt z? (A) z = 1 + i (B) z = 1 + i z = 3 z = 1 + 3i z = 1 3i Oefening 16 Van een kubus kan je een aantal ribben doorsnijden en dan het oppervlak openplooien tot een aaneengesloten vlakke figuur. De figuur hiernaast is daar een voorbeeld van, de buitenzijde van de kubus wordt zo in e e n figuur zichtbaar. Slechts e e n van de kubussen die hieronder zijn afgebeeld kan NIET leiden tot deze vlakke figuur. Geef aan welke. (A) (B)
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 7/1 Oefening 17 Een transportband, zoals geschetst in onderstaande figuur, wordt gebruikt om erts te transporteren. De lengte van de transportband is 5 m en de breedte B is,5 m. De wielen van de transportband hebben een straal r =, 5m. Aan welke snelheid moeten de wielen van de transportband draaien om een gewenst debiet van 1 kg/s af te leveren, als je weet dat er per vierkante meter van de transportband kg erts geladen wordt? =5m (A) π1 toeren per seconde. B =, 5 m (B) π5 toeren per seconde. r =, 5 m 1 5π π 1 π toeren per seconde. toeren per seconde. toeren per seconde. Oplossing: A Oefening 18 Precies e e n van de volgende uitspraken is waar. Welke? Een vergelijking in x van de vorm a x = bx + c met a, b, c ree le parameters (A) heeft voor alle waarden voor a, b en c precies e e n ree le oplossing. (B) heeft voor alle waarden voor a, b en c precies twee ree le oplossingen. heeft voor alle waarden voor a, b en c e e n of twee ree le oplossingen. heeft niet voor alle waarden voor a, b en c een ree le oplossing. heeft voor geen enkele waarde voor a, b en c precies e e n ree le oplossing. Oefening 19 Bij een auto-ongeval met vluchtmisdrijf, herinnert een getuige zich dat de nummerplaat van de gevluchte auto bestaat uit 3 verschillende letters (allen verschillend van de letter O), gevolgd door 3 cijfers waarvan er juist gelijk zijn (cijfers tot en met 9 zijn mogelijk). Hoeveel mogelijkheden zijn er? (A) 3 35 5 3 (B) 4 34 53 3 5 34 53 3 4 33 53 3 58 Oplossing: B
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 8/1 Oefening Een tank wordt gevuld met 1 g zout. Er wordt via een eerste toevoerkraan zuiver water toegevoegd. Deze toevoerkraan wordt dichtgedraaid als het volume van de zoutoplossing 5 l bedraagt. Daarna wordt een tweede toevoerkraan opengedraaid en start de klok. Dit moment komt overeen met tijdstip t = min. Er stroomt dan gedurende 1 minuten een oplossing met een zoutconcentratie van 1 g/l met een constant debiet van 1 l/min in de tank. Er wordt voortdurend geroerd, zodat de concentratie in de tank op elk moment homogeen is. Welke van onderstaande grafieken toont het verband tussen de zoutconcentratie c in de tank en de tijd t? c[g/l] 1 (A) 5 c[g/l] (B) 1 c[g/l] 1 t[min] 8 c[g/l] 1 t[min] 6 4 1 c[g/l] 1 t[min] 8 6 4 Oplossing: E 1 t[min] 1 t[min]
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 9/1 Oefening 1 Rangschik volgende ree le getallen van klein naar groot: Z 1 e (x 1) dx a = Z 1 b = e x dx Z 1 e (x+1) dx c = (A) a < b < c (B) a = b < c c < b < a c < b = a a = b = c Oefening Gegeven de functie Z f : R R : x 7 f (x) = Bepaal de waarde van f in (A) (B) Oplossing: C π x+π t dt. 1 + sin t π. 5π 5π
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 1/1 De samengestelde oefeningen bestaan telkens uit 3 deelvragen. Samengestelde oefening 1 Beschouw de gelijkbenige driehoek ABC met tophoek in C. De basis AB van deze driehoek heeft lengte en de hoogte van deze driehoek is. De rechthoek DEGF is ingesloten in deze driehoek, met de zijde DE op de zijde AB, het hoekpunt F op de zijde AC en het hoekpunt G op de zijde BC. De rechthoek heeft een breedte b en een hoogte h. Door de punten F en G gaat een parabool met top in M, het midden van het lijnstuk AB. Het gebied S is het gebied boven de parabool dat in de rechthoek DEGF ligt. C F G h A D M b E B Vraag 3 Bereken de oppervlakte van het gebied S als functie van b en h. (A) hb/3 (B) 3hb/4 5hb/6 hb/ 3hb/ Oplossing: A Vraag 4 Bepaal de hoogte h zodat de oppervlakte van het gebied S maximaal is. (A) h = /4 (B) h = /3 h = / h = / Oplossing: C Vraag 5 Bepaal deze maximale oppervlakte. (A) /3 (B) /5 3 /8 Oplossing: A 4 /9 5 /1 h = 3/
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 11/1 Samengestelde oefening Een gelijkbenige driehoek met tophoek α is ingeschreven in een cirkel met straal 1 (zie onderstaande figuur). Door α te laten varie ren in de tijd, varieert ook de omtrek van deze driehoek. Tussen t = s en t = 9s is de toename van de hoek α per tijdseenheid constant. Verder weten we dat op t = s de hoek α = π/1 en dat op t = 9s de hoek α = π/3. α 1 Vraag 6 Bepaal de hoek α op t = 6s. (A) α = π/1 (B) α = π/9 α = π/8 α = π/6 α = π/4 Oplossing: E Vraag 7 Bepaal de omtrek op t = 6s. (A) 3 3 (B) 3 3 3 + Vraag 8 Bepaal de afname van de omtrek per tijdseenheid op t = 6s. (A) per seconde (B) 3 per seconde π per seconde 36 π per seconde 18 3π per seconde 18 3+
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 1/1 Samengestelde oefening 3 Een mast met een rechthoekig uithangbord is verbonden met de muur van een gemeentehuis. Onderstaande figuur toont een principeschets in zijaanzicht - de hoeken en de afmetingen zijn dus niet op schaal getekend. De y-as van het cartesiaans assenstelsel xy stelt de muur van het gemeentehuis voor. In het punt A is de mast met een horizontale verbindingsstaaf vastgemaakt aan de muur van het gemeentehuis. De lengte van de verbindingsstaaf bedraagt 3m en het punt A bevindt zich m hoger dan het punt O. De totale lengte van de mast OB bedraagt 8,5 m. Het uithangbord is loodrecht op het uiteinde van de mast verbonden en heeft zijden van m en 1 m. Exact in het midden van het uithangbord staat een zwarte stip M. y B m M 3m A HM 1m m x O Vraag 9 Welk van de onderstaande antwoorden is de beste benadering voor de hoogte HM van de stip M? (A) 3,1 m (B) 3,5 m 4, m 6,4 m 7,5 m Oplossing: A Vraag 3 Welk van onderstaande vectoren is evenwijdig met de rechte BM? (A) OP ( 1, 5 8 3) (B) OQ( 1, 3) OR(1, 5) OS(1, 8 5 3) OT (1, 5 8 3) Vraag 31 Wat is het scalair product (inproduct) van de vector OB met de vector BM? (A) 4,5 m (B) -4,5 m,15 5 m -,15 5 m Oplossing: B