Rechtlijnige beweging

Rechtlijnige beweging a b c KORTE METTEN De snelheid is 40 km/h. De tijd 10 minuten. Bereken de afgelegde weg. Een appel valt van de boom. De val duurt 0,32 s. Bereken van welke hoogte hij viel. Hoe kun je aan een (x,t)-grafiek zien dat de snelheid niet constant is? GEMIDDELDE SNELHEID Ik rijd 20 km met een constante snelheid van 80 km/h en dan nog eens 20 km met een gemiddelde snelheid van 100 km/h. Bereken de gemiddelde snelheid over die 40 km. 100 M-BAAN De volgende opgave speelt zich af op een '100 m-baan'. Gebruikt worden twee modelvoertuigen A en B die resp. 8,0 en 12,5 m/s kunnen rijden. Ze vertekken beide op t = 0 en rijden beide heen en weer, maar A krijgt een voorsprong van 24 m. a. Bereken met de vergelijkingen van de eenparige beweging waar B de ander inhaalt. Na het omkeerpunt op 100 m 'ontmoet' B natuurlijk A. b. Bepaal door het tekenen van de x,t-grafiek, van t = 0 totdat A terug is in het vertrekpunt waar die ontmoeting plaatsvindt. Je moet dus de grafiek tekenen en daaruit afleiden waar ze elkaar ontmoeten en dat ook opschrijven! c. Bereken voor B de gemiddelde snelheid <v> van t = 4,0 s tot t = 14,0 s. VUGHT-NIJMEGEN Mijn route van Vught naar Nijmegen is 51 km lang. Die is verdeeld is stukken snelweg, maar ook stukken 'gewone' vierbaansweg. De eerste 6,0 km, de rondweg om 's-hertogenbosch, rijd ik met een snelheid van 100 km/h. Dan komr er 10 km gewone vierbaansweg. Ik rijd wel 80 km/h, maar sta ook nog eens 5 minuten stil bij de diverse stoplichten. Bereken wat mijn gemiddelde snelheid op het laatste stuk snelweg moet zijn geweest als ik in 35 minuten vanuit Vught in Nijmegen ben. Het optrekken en afremmen neemt zo weinig tijd in beslag dat je daar niet speciaal rekening mee hoeft te houden. GEMIDDELDE SNELHEID Van de afstand Vught-Nijmegen, in totaal 50 km, leg ik de eerste 10 km af met 100 km/h; de volgende 10 km met 80 km/h en de rest met 120 km/h. Bereken mijn gemiddelde snelheid over dit traject in km/h. Uitwerking: We veronderstellen een x-as die de weg volgt. Het gaat niet om afstanden 'hemelsbreed'. afstand snelheid benodigde tijd 10 km 100 km/h 0,10 h 10 km 80 km/h 0,125 h 50-10 - 10 = 30 km 120 km/h 0,25 h totaal 50 km 0,475 h

Iedere berekening is uitgevoerd met s = vt. v x t 50 km = 105 km/h. (0,10 0,125 0,25)h SNELHEID EN VERPLAATSING Getekend is hier een (v,t)-grafiek. A Teken de bijbehorende (s,t)-grafiek. B Bereken de gemiddelde snelheid over de eerste 6 seconden. VERSNELLEN EN VERTRAGEN Een voertuig rijdt met een snelheid van 10 m/s. Op t = 0 s versnelt het voertuig eenparig in 5,0 s tot 30 m/s, heeft vervolgens gedurende 4,0 s een constante snelheid en vertraagt tenslotte, eveneens eenparig, in 3,0 s tot stilstand. De klok staat dan dus op t = 12,0 s. A Teken van deze beweging een v,t-grafiek van 1 s t 12 s. B Teken een grafiek van de versnelling als functie van de tijd voor die periode. C Teken een grafiek van de verplaatsing als functie van de tijd van t = 0 tot t = 12 s. A B C Uitwerking: Zie rechter figuur. Zorg dat de verhoudingen goed zijn. Je kunt de snelheid-as beter tweemaal zo lang maken als korter. In periode I en III verandert de snelheid niet en is de versnelling dus 0 m/s². In periode II en IV geldt v 30 10 a 4, 0 m / s² t 5 0 en v 0 30 a 10 m / s² t 12 9 De verplaatsing in iedere periode bepaal je óf met de formule s = <v> t óf door de oppervlakte onder de grafiek te berekenen. Het levert op: s II = 20 5 = 100 m, s III = 30 4 = 120 m, in totaal is dan 220 m afgelegd, s IV = 15 3 = 45 m, wat het totaal op 265 m brengt.

De snelheid is constant in periode III; dan is de s,t-grafiek een rechte lijn. In periode II en IV geen constante snelheid en dus geen rechte lijn. De snelheid op t = 0 is 10 m/s en de snelheid op t = 12 s is 0 m/s. Dat moet ook uit de raaklijnen blijken.

2 Leid de plaats-tijd-grafiek, dus de x,t-grafiek, van de gegeven v,t grafiek af. Kies x(0) = 0. Uitwerking: De verplaatsingen leid je af uit de oppervlakte onder de grafiek. In de x,t -grafiek zijn alleen de stukje van 0-2 en van 6-7 s recht. De andere resp. bol, hol en bol met eindsnelheid nul, dus raaklijn horizontaal.

3 Op een achtbaan raas je in een treintje met een massa van 5,65 10 3 kg langs een helling van 35 in 3,5 s omlaag. Boven aan de helling is de snelheid 2,6 m/s. De wrijvingskracht op het treintje is 4,6 10 3 N. Bereken de snelheid onder aan de helling. Energie-aanpak geeft moeilijkheden omdat je de afstand en het hoogteverschil niet kent. Handiger is daarom via F = ma de versnelling te bepalen. Je kent de tijd waarin die versnelling zijn werk doet en via v = at is het dan opgelost. Alleen even F berekenen. F bestaat uit een component van de zwaartekracht langs het vlak, F z sin 35, en de wrijving. Natuurlijk teken je dat. F = ma F z sin 35 F w = m a 5,65 10 3 9,81 sin 35 4,6 10 3 = 5,65 10 3 a a = 4,81 m/s². v = at = 4,81 3,5 = 16,8 m/s v eind = 16,8 + 2,6 = 19 m/s Een auto trekt met een constante versnelling van 2,50 m/s 2 als het stoplicht op groen springt. Dat tijdstip noemen we t = 0 s. Tegelijkertijd passeert een autobus die een constante snelheid van 20 m/s heeft. Zodra de auto een snelheid van 30 m/s heeft, versnelt hij niet meer maar houdt die snelheid. Teken de snelheid-tijd-grafiek van beide voortuigen in hetzelfde assenstelsel. Uitwerking: De auto versnelt met 2,50 m/s². Hij heeft dus 30 / 2,50 = 12 s nodig om zijn 30 m/s te bereiken.

Een jachtluipaard besluipt een kudde antilopen. Op een zeker moment merkt een van de antilopen het dier op en zet het op een lopen. De jachtluipaard zet de achtervolging in, maar haalt de antilope niet in. Tijdens hun ren lopen ze langs een rechte lijn. Van de twee dieren is de snelheid-tijd-grafiek weergegeven. Leg uit op welk tijdstip na t = 0 s de afstand tussen de twee dieren het kleinst is geweest. Uitwerking: De eerste 10 seconde is de antilope sneller. De afstand neemt dus toe. Daarna is het luipaard sneller en neemt de afstand weer af. Tenminste zolang het luipaard sneller is, dus tot 32 s. Dan is de afstand dus het kleinst.

Leid de plaats-tijd-grafiek, dus de x,tgrafiek, van de gegeven v,t grafiek af. Kies x(0) = 0. Antwoordblad: Uitwerking: Uit de oppervlakte onder de snelheidsgrafiek leid je af dat in de opeenvolgende tijdsintervallen resp. 40; 20; 10; 10; 7,5 en 7,5 m is afgelegd. Op de tijdstippen 0; 2; 4; 6; 7; 8,5 en 10 s zijn de plaatsen dus 0; 40; 60; 70; 80; 87,5 en 80 m.

SCHUIVENDE LADING Op de laadvloer van een vrachtwagen staat een kist van 10 kg. Deze kist kun je proberen te verschuiven en dan blijkt dat de maximale wrijving tussen laadvloer en kist 20 N te zijn. Als je aan de kist trekt met een kleinere kracht, blijft de kist staan; is de kracht groter dan moet je die 20 N in rekening brengen en zal de kist door de nettokracht versnellen. De vrachtwagen rijdt met 72 km/h en remt plotseling. Bereken hoeveel de kist in de eerste seconde verschuift, als de vrachtwagen remt met een versnelling van 3,5 m/s². Uitwerking: 72 km/h = 20 m/s. Als de vrachtwagen remt met 3,5 m/s², dan is na 1 s zijn snelheid 16,5 m/s en heeft hij afgelegd s = <v> t = 18,25 1,0 = 18,25 m. De remkracht op de kist is 20 N en uit F = ma volgt dat 20 = 10 a en dus a = 2,0 m/s². De kist remt dus minder sterk dan de auto en schiet naar voren. Na 1 s is de snelheid van de kist 18 m/s en heeft hij afgelegd s = <v> t = 19 1,0 = 19 m. Dat is 0,75 m meer dan de vrachtauto. Het mooist is natuurlijk als je dit in een v,t-grafiek bekijkt. SCHUIVENDE LADING Op de laadvloer van een vrachtwagen staat een kist van 12 kg. Deze kist kun je proberen te verschuiven en dan blijkt dat de maximale wrijving tussen laadvloer en kist 18 N te zijn. Als je aan de kist trekt met een kleinere kracht, blijft de kist staan; is de kracht groter dan moet je die 18 N in rekening brengen en zal de kist door de nettokracht versnellen. De vrachtwagen rijdt met 72 km/h en remt plotseling. Bereken hoeveel de kist in de eerste seconde verschuift, als de vrachtwagen remt met een versnelling van 4,0 m/s².

A SNELWEG Twee auto s, A en B, rijden achter elkaar in dezelfde richting. Beide met een snelheid van 99 km/h. Hun onderlinge afstand bedraagt 27,5 m. Zodra auto A het bord 120 km/h passeert, geeft de chauffeur ervan gas. Daardoor geeft deze de auto een versnelling van 1,25 m/s² totdat de snelheid 117 km/h is. Dan houdt hij de snelheid verder constant. De chauffeur van auto B reageert hetzelfde op dat bord. Geef de snelheid-tijd-grafieken van beide auto s in het assenstelsel hieronder weer. B C D A B C Geef in je grafiek aan op welk moment de onderlinge afstand tussen beide auto s het grootst is. Bereken de onderlinge afstand tussen beide auto s op het door jou aangegeven tijdstip. Bereken de onderlinge afstand tussen beide auto s op het moment dat beide met 117 km/h rijden. Uitwerking: De snelheid is aanvankelijk 27,5 m/s. De afstand tussen beide auto s is 27,5 m. De tweede auto komt dus 1,00 s later bij het bord. Ze versnellen beide gedurende 4,0 s, volgens v(t) = v(0) + at 32,5 = 27,5 + 1,25t. Zolang de eerste auto sneller rijdt dan de tweede neemt hun onderlinge afstand toe. De afstand is dus het grootst op t = 5 s. De afstand tussen beide is de oorspronkelijke 27,5 m vermeerderd met wat A meer af legt dan B en dat is de gearceerde oppervlakte. De gearceerde oppervlakte is (32,5 27,5) 1,0 = 5,0 m, zodat de afstand 32,5 m wordt.

A B C VALLENDE BAL Van een vallende bal is bekend dat er een luchtweerstand F w = 0,025 v 2 op werkt. De zwaartekracht op de bal is 6,0 N. Van een moment tijdens de val zijn de krachten bepaald en op schaal in de tekening gezet. De bal zelf is als punt weergegeven. Leid uit de tekening af hoe groot de snelheid van de bal op dat moment moet zijn geweest. Schets de v,t-grafiek van deze bal vanaf het moment van loslaten tot het moment van de zojuist berekende snelheid. Uit de tekening kun je afleiden dat de snelheid van de bal nog toe zal nemen. Je vraagt je natuurlijk af of de snelheid nog tweemaal zo groot kan worden. Beredeneer en/of bereken of de snelheid nog tweemaal zo groot kan worden als de snelheid die bij de tekening hoort.

HET VERKEER. Bij een kruispunt staat een auto A van 1000 kg stil. Als het stoplicht op t = 0 op groen springt, trekt A op met een constante versnelling van 2,5 m/s 2. De chauffeur van een bestelbusje B weet dat dat stoplicht de laatste is van een rij stoplichten met een groene golf en rijdt met 72 km/h op t = 0 over de stopstreep, x stopstreep = 0, en blijft met die snelheid rijden. A Bereken op welk tijdstip B door A wordt voorbijgereden. Dat tijdstip noemen we t = t pas. B Teken van beide in één assenstelsel de x,t-grafiek voor -1,0 s < t < t pas. C Bereken de grootste afstand tussen A en B in genoemde periode. Uitwerking A A: x(t) = ½at 2 = 1,25t 2 en v(t) = 2,5t B: x(t) = vt = 20t Voorbijrijden als x A = x B, dus 1,25t 2 = 20t. Hier zijn twee oplossingen t = 0 en 1,25t = 20 dus t = 16 s. Dan is x = 320 m. De assen moeten dus gaan tot 320 m en 16 s. C De afstand is het grootste als A niet meer langzamer rijdt dan B, maar even hard en even later dus harder rijdt. v A = 20 als t = 8,0 s. Dat is ook uit de snelheidsgrafiek af te leiden. x A x B = 1,25t 2 20t = 240 160 = 80 m De x,t-grafiek van A moet niet hoekig maar vloeiend zijn en een horizontale raaklijn op t = 0 hebben.

REMMEN Je rijdt met 10 m/s en komt binnen 40 m tot stilstand. Bereken de gemiddelde versnelling. Antw: 1.25 m/s² OUDERWETS Van modelvoertuig A is bekend: x A (t) = 30 + 10t. Van modelvoertuig B is bekend: x B (t) = 120 15t. a. Bereken de verplaatsing van A van t = 4,0 s tot t = 10,0 s. b. Bereken wanneer x A x B = 12 m. c. Waaraan kan ik zien dat A en B tegengestelde richtingen uitgaan. Uitwerking: A x = x(10,0) - x(4,0) = (-30 + 10 10,0) - (-30 + 10 4,0) = 60 m Je kunt ook bedenken dat het voertuig met een constante snelheid van 10 m/s rijdt gedurende 6,0 s en dat dus x = vt = 10 6,0 = 60 m. B x A - x B = (- 30 + 10t) - (120-15t) = 12-30 + 10t - 120 + 15t = 12 25t = 162 t = 6,48 s = 6,5 s. C De richting waarin ze rijden, kun je aflezen uit het teken van de snelheid. Dat is bij A + 10 m/s en bij B is dat 15 m/s. Daarom gaan ze tegengesteld.

A B SMALLE BRUG In een recht pad in het park is een smalle brug te zien, waar maar één persoon tegelijk overheen kan lopen. Ikzelf sta op het pad bij een struik, waarbij een bordje staat met x = 0 erop. De brug in het pad ligt van x = 60 m tot x = 80 m. In de verte zie ik Raymond aan komen lopen met een constante snelheid van 8,0 m/s en zijn x(0) = 160 m. Raymond is niet van plan zijn snelheid te veranderen. Teken hieronder de (x,t)-grafiek van Raymond. Geef in die grafiek ook de ligging van de brug duidelijk aan. C D Ikzelf ga op t = 0 s ook lopen met constante snelheid in de richting van de brug. Maar ik durf Raymond niet op de brug tegenkomen, want we kunnen elkaar niet passeren. Bepaal met behulp van die grafiek met welke snelheden ik niet moet gaan lopen. Tegen de verwachting in gaat Raymond, zodra hij de brug over is, langzamer lopen. Schets met een streeplijn hoe de grafiek van Raymond er dan uit zou kunnen zien, zodra hij de brug over is.

Uitwerking: Raymond loopt in negatieve richting voor hem geldt: x(t) = x(0) + v t = 160-8,0 t dus De positie van de brug is gearceerd weergegeven. Je kunt zien waar de grafiek van Raymond met de brug samenvalt. Dan mag ik er niet op zijn. De grenzen liggen op 80 = 160-8,0t t = 10 s en 60 = 160-8,0t t = 12,5 s. Voor mijn snelheid geldt dus v s t 80 8 10 m/s of v s t 60 12,5 5,0 m/s

PLAATSGRAFIEK Hiernaast zie je de (x,t)-grafiek van een object. a. Wanneer is de snelheid maximaal? b. Bepaal die maximale snelheid. c. Bepaal de verplaatsing van t = 0 tot t = 10 s. d. Bepaal wanneer de snelheid 0,20 m/s is. PLAATSGRAFIEK Hiernaast zie je de (x,t)-grafiek van een object. a. Wanneer is de snelheid maximaal? b. Bepaal die maximale snelheid. c. Bepaal de verplaatsing van t = 0 tot t = 10 s. d. Bepaal wanneer de snelheid 0,50 m/s is. VAN x,t NAAR v,t. Van een trein is gegeven: x(t) = 10 + 14t - t 2. Bereken v(40). Van een trein is gegeven: x(t) = 14-10t + t 2. Bereken v(4,0).

VAN v,t NAAR x,t. 2 versies Leid uit de gegeven (v,t)-grafiek de (x,t)-grafiek af. Neem x(0) = 0. VERTICALE WORP Vanaf een hoogte van 15 m gooit iemand een steen omhoog met een snelheid van 20 m/s. a. Bepaal het hoogste punt. b. Bereken de snelheid als de steen op de grond komt. c. Teken de hoogte-tijd-grafiek van het weggooien tot het op de grond komen. VERTICALE WORP Vanaf 20,00 m hoogte gooit Esmeralda een appeltje omhoog met een snelheid van 5,00 m/s. Bereken de snelheid waarmee het op de grond komt.

GRAFIEK Hiernaast zie je de (x,t)-grafiek van een object. a. Beredeneer wanneer de snelheid maximaal is? b. Bepaal de snelheid op t = 1,0 s. c. Bepaal de gemiddelde snelheid van t = 0 tot t = 1,0 s. VAN v,t NAAR x,t. Leid uit de gegeven (v,t)-grafiek de (x,t)-grafiek af. Neem x(0) = 0. VAN v,t NAAR x,t. Getekend is een v-t-grafiek. Leid af: de x-t-grafiek. TESTBAAN Op een testbaan rijdt een voertuig met een constante snelheid van 20 m/s in dezelfde richting als ik. Op t = 0 s is 'onze' onderlinge afstand 100 m en mijn snelheid 10 m/s. Om het voertuig in te halen ga ik op t = 0 versnellen met een constante versnelling van 2,0 m/s². a. Teken voor t = 0 tot t = 16 s de grafiek van de snelheid van beide als functie van de tijd in hetzelfde assenstelsel. Neem voor 1 s ook 1 hokje. b. Teken voor datzelfde tijdsinterval de x-t-grafiek van beide. c. Beredeneer of bereken op welk tijdstip tussen 0 en 16 s de afstand tussen beide het grootst is.

PEPERNOTEN Zwarte Piet ziet boven in een hoge palm een pepernoot en klimt erin om hem te plukken. Domme Pieterman. Op zekere hoogte gekomen begint de pepernoot onverwacht aan een vrije val en suist Piet met een snelheid van 15 m/s voorbij. Tijdens het voorbijgaan van de noot schrikt Piet vreselijk, want wat hij dacht dat een pepernoot was, blijkt een kokosnoot te zijn. De kokosnoot heeft nog maar 1,0 s nodig om op de grond te komen na het passeren van Piet. a. Maak van de situatie een tekening voor Sinterklaas. b. Bereken hoe hoog de kokosnoot, alias pepernoot, hing. KRACHTEN Op een voorwerp van 100 g werkt een kracht zodat de versnelling 2,0 m/s 2 is. a. Bereken de grootte van de kracht. Op een voorwerp van 100 g werken twee krachten. De versnelling is 2,0 m/s 2. Daar zijn meer mogelijkheden. b. Kun je een situatie tekenen waarop het bovenstaande van toepassing is? Zo ja, doe dat dan. TWEE SCHAATSERS Twee schaatsers van 50 kg en 75 kg staan op glad ijs. De vier schaatsen staan allemaal in dezelfde richting, de glijrichting. De zwaarste krijgt door tegen de ander te duwen een versnelling van 1,0 m/s 2. a. Bereken met welke kracht de zwaarste zich weg duwt. b. Bereken de kracht die de lichtste voelt. BLOK Nevenstaand blok beweegt eenparig versneld over een gladde tafel. Er wordt o.a. met F t = 12 N aan getrokken. Zie tekening. Bereken de andere kracht, F s, die op het blok werkt. BLOK Nevenstaand blok beweegt eenparig versneld over een gladde tafel. Er wordt o.a. met F t = 22 N aan getrokken. Bereken de andere kracht, F s, die op het blok werkt.

TESTBAAN: Op een testbaan rijdt een voertuig met een constante snelheid van 20 m/s in dezelfde richting als ik. Op t = 0 s is 'onze' onderlinge afstand 100 m en mijn snelheid 30 m/s. Om een botsing te vermijden ga ik op t = 0 remmen met een constante vertraging van 2,0 m/s². a. Teken voor t = 0 tot t = 16 s de grafiek van de snelheid van beide als functie van de tijd in hetzelfde assenstelsel. b. Teken voor datzelfde tijdsinterval de x-t-grafiek van beide. c. Beredeneer of bereken op welk tijdstip de afstand tussen beide het kleinst is. WIJNKELDER Vanuit een 15 m diepe wijnkelder gooit Esmeralda een sleutel verticaal omhoog. Prins Karel ziet dat die 4 m boven de grond, men zegt ook wel maaiveld, op zijn hoogste punt is en weer terugvalt. a. Bereken de snelheid waarmee Esmeralda de sleutel omhoog gooide. b. Bereken met welke snelheid de sleutel het grondniveau/maaiveld bereikt. TWEEDE WET VAN NEWTON Op een voorwerp van 10 kg werken twee krachten. Een ervan is 7 N groot. De versnelling blijkt 2 m/s² te zijn. a. Bepaal de grootte van de andere kracht. Er zijn meer oplossingen. b. Kun je nog een of twee andere situaties tekenen waarop het bovenstaande van toepassing is? Zo ja, doe dat dan. DERDE WET VAN NEWTON Een dik boek ligt op tafel. a. Maak hiervan een tekening en teken de krachten op het boek. Geef de krachten een geschikte naam. b. Als een boek op tafel ligt, kun je ook over 'actie = - reactie' praten. Geef een voorbeeld van een actiekracht met bijbehorende reactiekracht. Als je wilt tekenen, hetgeen verstandig is, maak dan een nieuwe tekening voor deze vraag. INHALEN Een auto van 5,00 m lengte haalt met een snelheid van 30 m/s een vrachtwagen in met een lengte van 18,0 m die rijdt met een snelheid van 25 m/s. Op t = 0 is de afstand tussen de twee nog 80 m. Bereken op welk tijdstip de afstand weer 80 m is. KOKOSNOOT Een kokosnoot valt uit de palm en komt met 24 m/s op de grond. Bereken de snelheid toen de kokosnoot 40 m hoog was.

Passeren Een rechte weg loopt van oost naar west. In oostelijke richting rijdt een auto met een constante snelheid van 20 m/s. Op t = 0 geeft een motorrijder die tot dan toe met een snelheid van slechts 10 m/s gereden heeft in westelijke richting en op dat moment 300 m van de auto vandaan is, gas. Daardoor krijgt de motor een versnelling van 3,0 m/s². a. Bereken wanneer en waar ze elkaar passeren. b. Teken van beide weggebruikers in één assenstelsel de (x,t)-grafiek van t = - 1 s tot t = 10 s. SNELHEID Rijdend met een snelheid van 40 m/s moet ik op t = 0 gaan remmen met een vertraging van 5,0 m/s². Mijn reactietijd is echter 0,5 s. Bereken de afstand die ik na t = 0 nog afleg.

KAR OP WEG 1. Op een horizontaal vlak beweegt een karretje van 5,0 kg behalve onder invloed van zwaartekracht en normaalkracht, ook onder invloed van kracht F 1 en kracht F 2 langs de x-as. Zie de bijgaande tekening. grafieken 1 en 2 a Van de beweging is de plaats x en de snelheid v geregistreerd als functie van de tijd t. Het resultaat daarvan is hierbij weergegeven als resp. grafiek 1 en grafiek 2. Je ziet in de v,t-grafiek dat v(0) = 10 m/s. Bepaal uit de x,t-grafiek, dat inderdaad v(0) = 10 m/s. De vragen b t/m f hebben alle betrekking op het tijdsinterval van t = 0 tot t = 1,0 s. b. Bepaal de verplaatsing. c. Beredeneer welke van de krachten F 1 en F 2 het grootst is. De kracht F 1 is constant en gelijk aan 7,0 N. d. Leid uit de grafieken af of de kracht F 2 constant is. De krachten F 1 en F 2 geven beide een stoot aan het karretje, waardoor de impuls verandert. e. Bereken de door F 1 geleverde stoot. f. Bereken het door F 1 geleverde vermogen. Op t = 2,0 s botst het karretje volkomen onelastisch tegen een stilstaand karretje van 15,0 kg. g. Bereken de snelheid van de karretjes onmiddellijk na de botsing. Hierbij hoef je geen rekening te houden met andere krachten, dan die tussen beide karretjes.

Uitwerking: a. De snelheid in een x,t-grafiek bepaal je door de raaklijn op het gewenste tijdstip te tekenen en daarvan de steilheid te bepalen. v(0) = x/ t is 10 m/s Wat niet goed gerekend wordt door ons, is als je een te klein stukje raaklijn tekent; ook niet als je twee punten van de grafiek kiest om de steilheid te bepalen. b. x = x eind - x begin = 8,5-2,0 = 6,5 m. c. Uit grafiek 2 volgt dat de snelheid afneemt de versnelling is negatief F 2 > F 1. d. De v,t-grafiek is geen rechte a is niet constant F is niet constant. Gegeven is dat F 1 constant is. Dus F 2 is niet constant. Dat x stijgend is, is geen argument! e. S = F t = 7,0 1,0 = 1,0 Ns. f. P =W/t = F s/t = 7,0 6,5 / 1,0 = 45 W g. Impulsbehoud: p voor = p na m 1 v 1 + m 2 v 2 = (m 1 + m 2 ) v 5,0 1,5 + 0 = (5,0 + 15,0) v v = 0,38 m s -1 SLEE Op een stilstaand blok met een massa van 7,8 kg werkt een kracht van 56 N onder een hoek van 35. Het blok blijkt te versnellen met a = 1,0 m/s 2. a. Bereken de wrijvingskracht. b. Bereken de normaalkracht. BLOK OP HELLING Je ziet hiernaast een blok op een spiegelgladde helling met een hellingshoek van 15. Bepaal de versnelling waarmee het naar beneden gaat glijden. Je mag rekenen, meten en construeren, maar maak duidelijk wat je doet. UITRIJDEN Ik rijd met een snelheid van 72 km/h. Het stoplicht springt op rood en ik laat mijn auto uitrijden. Na 400 m rijd ik nog 45 km/h. Bereken waar ik tot stilstand kom als de versnelling niet verandert.

PASSEREN De (x,t)-grafiek van auto A is getekend. Een tweede auto B passeert op t = 0 de plaats x = 0 met v = 40 m/s. a. Bepaal wanneer de afstand tussen A en B nog maar 100 m is. b. Bereken waar A zich bevindt als de afstand weer 100 m is. GRAFIEKEN Teken bij deze (v,t)- grafiek de bijbehorende (a,t)- en (x,t)-grafieken. De (x,t)-grafiek moet een schaal hebben zodat hij minstens 10 cm 10 cm groot is.

VALKOKER In een verticale stortkoker valt een voorwerp van 270 g met een versnelling van 3,78 m/s² naar beneden omdat behalve de zwaartekracht er ook een wrijvingskracht van de wand op het voorwerp werkt. Bereken de wrijvingskracht die het voorwerp van de kokerwand ondervindt. UITWERKING: Als voorwerp kiezen we het konijn. We tekenen de krachten en kiezen een positieve richting. F = m a F Z + F w = m a 0,270 9,81 - F w = 0,270 3,78 F w = 1,63 N UITRIJDEN Een auto rijdt met een snelheid van 20 m/s. De automobilist laat de auto uitrijden. Met een constant veronderstelde vertraging komt de auto tot stilstand na 60 s. Bereken welke afstand hij aflegde vanaf het begin van het uitrijden tot de stilstand. KOKOSNOOT Een aap zit in een hele, hele hoge boom en ziet een noot vallen. Deze passeert hem met een snelheid van 14 m/s en op dat moment start de aap zijn stopwatch, t = 0 s. Als de stopwatch t = 3,0 s aanwijst, ploft de noot op de grond. Ga bij deze opgave uit van een vrije val. a. Bereken de snelheid waarmee de noot op de grond komt. b. Bereken hoe hoog de aap zit. c. Bereken wat de stopwatch aanwijst als de noot nog 20 m hoog is. WRIJVING Bereken de wrijvingskracht in nevenstaande situatie.

ESMERALDA Esmeralda is opgewonden en gooit met 10 m/s recht naar beneden de edelsteen terug. a. Bereken met welke snelheid de edelsteen 20 m lager tegen het hoofd van prins Karel ketst. b. Teken de hoogte-tijd-grafiek van weggooien tot ketsen. UITWERKING: Grafische methode: De val van 20 m is de oppervlakte, rechthoek + driehoek, onder de (v,t)-grafiek, dus 20 = 10 t + ½ t 9,81t 4,905t² + 10t - 20 = 0 t = 1,24 s v(grond) = 10 + 9,81 1,24 = 22,2 m/s 22 m/s Het tekenen van de hoogte-tijd-grafiek doe je door eerst de 10 m/s-richting door een stippellijn aan te geven en ook de 22,2 m/s-richting. om niet in de verleiding te komen van het trekken van een rechte lijn. FIETSER Een fietser van 60 kg start en heeft na 30 m een snelheid van 12 m/s tengevolge van een constante kracht. Bereken die nettokracht. Uitwerking F = m a. Gegeven is m = 60 kg. Als je F moet uitrekenen, komt het er op neer dat je de waarde van a moet achterhalen. We veronderstellen een eenparig versnelde beweging en kiezen voor de grafische aanpak: De oppervlakte onder de (v,t)-grafiek is de verplaatsing, dus 30 = ½ t 12 t = 5 s a=2,4 m/s² en dus F = 60 2,4 = 144 N 1,4 10 2 N

GEMIDDELDE SNELHEID Een automobilist rijdt met 30 m/s, begint op t = 2,0 s te remmen - de versnelling is constant gedurende het remmen en op t = 6,0 s, als de snelheid 20 m/s is, rijdt hij met die snelheid verder. Bereken de gemiddelde snelheid van t = 0 s tot t = 10,0 s. UITWERKING: <v> = 24 m/s

SNELHEID EN VERPLAATSING Teken de (x,t)-grafiek, die hoort bij deze (v,t)-grafiek Uitwerking: Bepaal eerst de resp. verplaatsingen, dan de resp. posities. Dan trek je met een lineaal de stukken waar de snelheid constant is. Dan de parabolen, rekening houden met de richtingscoëfficiënten.

AUTO Een auto rijdt met 20 m/s. Op t = 3,0 s gaat hij versnellen met 4,0 m/s². Op t = 5,0 s trapt de chauffeur op de rem, waardoor hij na een remweg van 63 m tot stilstand komt. Veronderstel dat het remmen een eenparig 'versnelde' beweging was. a. Leid de (v,t)-grafiek af van t = 0 tot het moment van stilstand. b. Leid de (x,t)-grafiek af van t = 0 tot het moment van stilstand. VERTICALE WORP MET WRIJVING Jan schiet met een katapult een propje en een erwt recht omhoog. De beginsnelheid van beide is 25 m/s. Alleen de erwt ondervindt geen wrijving. a. Bereken de hoogte die de erwt bereikt. Als het hoogste punt bereikt is valt de erwt uiteraard weer naar beneden. b. Teken de (v,t)-grafiek van de erwt. De tijd loopt vanaf t = 0 s, het moment van afschieten, tot het tijdstip dat de erwt weer terug is in de uitgangspositie. c. Schets in het (v,t)-diagram van onderdeel b. de (v,t)-grafiek van het propje. AUTO Een auto rijdt met een snelheid van 20 m/s. De automobilist laat de auto uitrijden. Met een constant verondersteld vertraging komt de auto tot stilstand na 60 s. Bereken welke afstand hij aflegde vanaf het begin van het uitrijden tot de stilstand. Uitwerking Je kunt dit grafisch en met formules oplossen. Grafisch: formules: <v> = 10 m/s x = <v> t = 10 60 = 600 m of v = v 0 + at 0 = 20 + a 60 a = - 0,33 m/s² en dan x = x 0 + v 0 t + ½at² = 0 + 20 60 + ½ (- 0,33) 60² = 600 m Het weglaten van mintekens wordt niet als schrijf- of rekenfout, maar als natuurkundige fout aangerekend. Het zonder verdere toelichting gebruiken van x = ½at² is niet toegestaan. WORP Van een hoogte van 80,0 m wordt een steen omhoog gegooid met een snelheid van 12 m/s. De steen valt terug, maar komt op de terugweg op 20 m hoogte op een balkon. a. Bereken met welke snelheid de steen op het balkon komt. b. Teken de grafiek van de hoogte als functie van de tijd. INGEHAALDE VRACHTAUTO Een vrachtauto rijdt met een constante snelheid van 20 m/s. Een automobilist rijdt op t = 0 s achter hem met een snelheid van 24 m/s op een afstand van 50 m en gaat dan versnellen met 2,0 m/s² tot hij 30 m/s rijdt. Dan rijdt hij verder met een constante snelheid. a. Teken van beide voertuigen in één assenstelsel de (v,t)-grafiek. b. Bereken wanneer de automobilist 100 m voor ligt op de vrachtauto. c. Bereken de gemiddelde snelheid van de automobilist van t = 0 totdat zijn voorsprong 100 m is.

HARDLOPER Een hardloper gaat met 10 m/s over de finishstreep. Tijdens het uitlopen is zijn 'versnelling' constant. Na 1,4 s staat hij stil. a. Teken de (v,t)-grafiek van het uitlopen. b. Teken de (x,t)-grafiek van dat uitlopen. GEMIDDELDE SNELHEID Van een bewegend voorwerp is de plaats-tijd-grafiek bepaald en hiernaast weergegeven. a. Bepaal v(2,0). b. Bepaal <v>(3,0s 6,0s) c. Beredeneer wanneer a > 0? Docent: eventueel in plaats hiervan vragen naar een schets van de (v,t)-grafiek. VAL Een steen valt van een 80 m hoog gebouw en maakt een vrije val. Bereken de gemiddelde snelheid van de laatste 40 m. MIJNSCHACHT Vanuit een diepte van 10 m onder het grondoppervlak wordt een bal verticaal omhooggeschoten met een snelheid van 15 m/s op het tijdstip t = 0. a. Bereken op welk momenten een steen op 17 m boven de grond kan worden losgelaten, als de steen de bal moet treffen juist als deze het niveau van het grondoppervlak passeert. b. Teken van zowel bal als steen in één assenstelsel de grafiek van de hoogte als functie van de tijd. KRACHT EN SNELHEID Op een voorwerp van 250 g werkt een constante kracht van 2,5 N. Bereken de snelheid van het voorwerp, als het vanuit stilstand vertrokken is en inmiddels 80 cm heeft afgelegd. VUURPIJL Een vuurpijl wordt verticaal omhooggeschoten. De wrijving van de lucht wordt verwaarloosd. Gedurende 3,0 s werkt er een naar boven gerichte resulterende versnelling van 20 m/s 2. a. Bereken hoeveel tijd na het vertrek de resten van de vuurpijl op de grond komen, als we nog steeds de wrijving mogen verwaarlozen. b. Teken de grafiek van de hoogte als functie van de tijd van start tot neerkomen VUURPIJL Een vuurpijl wordt in verticale richting afgeschoten. Na 1,00 s heeft hij een hoogte bereikt van 14,2 m ten gevolge van een constante versnelling. a. Toon aan, dat hij dan een snelheid heeft van 28,4 m/s. Vervolgens beweegt hij in een vrije val verder, tot hij tenslotte op de bodem van een 15 m diepe bouwpunt terecht komt. b. Teken de snelheid-tijd-grafiek van start tot 6,0 s. c. Teken de hoogte-tijd-grafiek van start tot op de bodem van de put. De hiervoor benodigde berekeningen moeten op het antwoordblad terug te vinden zijn.

AUTO REMT Een auto heeft een massa van 1495 kg. De wettelijke remvertraging is 6,2 m/s². Bereken de daarvoor vereiste remkracht. F = m a = 1495 6,2 = 9269 = 9,3 kn. MOBIEL BELLEN In bijgaand artikeltje, NRC-Handelsblad 300302, hebben ze het over een normale remafstand van 31 m bij 113 km/h. Zoiets vertrouw je niet en reken je na. 5 Bereken de minimale vertraging die nodig is om met 113 km/h binnen 31 m tot stilstand te komen. Dat is niet reëel. Als je op internet het originele artikel opzoekt, dan gaat het ook helemaal niet over de remweg, maar de afstand die je aflegt in je reactietijd. 6 Bereken wat zij veronderstellen als normale reactietijd Uitwerking: 5 We gaan uit van een constante vertraging en tekenen de v,t-grafiek.. 113 km/h = 31,39 m/s. De oppervlakte onder de v,t-grafiek. is de verplaatsing. ½ 31,39 t = 31 t = 1,98 s. v 31,39 2 De versnelling a 15,9 m/s t 1,975 De minimale vertraging is 16 m/s². 6 Als in de reactietijd 31 m wordt afgelegd met 31,39 m/s dan volgt uit s = v t: 31 = 31,39 t en dus t = 0,99 s als reactietijd.

VLIEGDEKSCHIP Tijdens de start bereikt een vliegtuig van 20 10³ kg vanuit stilstand een snelheid van 200 km/h en legt daarbij een afstand af van 110 m. Je veronderstelt dat de beweging eenparig versneld is. 4 Bereken de versnelling van het vliegtuig tijdens deze start. Uitwerking: Teken de snelheid-tijd-grafiek. Dat is een rechte vanuit de oorsprong naar het punt (55,56 m/s; t) De oppervlakte onder de grafiek is de verplaatsing. Dus 110 = ½ 55,56 t t = 3,96 s. v 55,56 2 a 14 m/s t 3,96 a b REMPROEF Een bestuurder van 70 kg rijdt al een hele tijd met 120 km/h. Hij wordt wat onoplettender en daardoor neemt zijn reactietijd toe tot 1,5 s. Opeens neemt hij stoplichten waar en remt met 7,0 m/s². Bereken, rekening houdend met zijn reactietijd, de afstand die hij nog aflegt. De bestuurder voelt door de veiligheidsgordel een vertraging van 6,5 m/s². Bereken de kracht die de gordel op hem uitoefent. Uitwerking: a Je schetst eerst een v,t-grafiek. Dan bereken je de tijd die nodig is voor het eigenlijke remmen: t rem = 33,33 / 7,0 = 4,76 s. Samen met de reactietijd is dat 6,3 s. De afstand die hij nog aflegt, is de oppervlakte onder de grafiek: 33,33 1,5 + ½ 4,76 33,33 = 50 + 79 = 129 m b F = ma = 70 6,5 = 4,6 10² N (455 N)

KATJE Een katje van 1,5 kg valt van het balkon. Zo n katje kan er goed vanaf komen, dankzij de wrijvingskracht van de lucht. Bereken de wrijvingskracht op het katje op het moment dat de versnelling slechts 0,80 m/s² blijkt te zijn. UITWERKING Maak een tekening met de krachten op het katje: de zwaartekracht en de wrijving. F = m a = 1,5 0,80 = 1,2 N. Dat is de resulterende kracht op het katje. De zwaartekracht is F = mg = 14,7 N. De wrijving moet dus 13,5 N groot zijn geweest. a b STOPLICHT Terwijl ik 50 km/h rijd, springt het stoplicht voor mij op rood. In gedachten verzonken over hoe je dit proefwerk zult maken, rijd ik nog 2,0 s door voor ik op de rem trap. De auto remt met 5,0 m/s² en komt netjes voor de streep tot stilstand. Bereken de afstand die ik nog afleg vanaf het op rood springen van het licht tot stilstand. Bereken die afstand die de auto in de eerste 3,0 s na het op rood springen aflegt. a b STOPLICHT Je begint met 50 km/h = 50 / 3,6 m/s = 13,9 m/s. Dan maak je natuurlijk een snelheid-tijdgrafiek. De oppervlakte onder die grafiek is de verplaatsing. Je moet dan weten hoelang het vertragen duurt. v 13,9 a 5,0 t 2,78 s t t De oppervlakte is 13,9 2,0 + ½ 13,9 2,78 = 27,8 + 19,3 = 47,1 m. De gevraagde afstand is dus 47 m. Na de eerste drie seconden is de snelheid nog 13,9 5,0 = 8,9 m/s. De oppervlakte is nu 27,8 m + klein stukje onder de grafiek van 2,0 tot 3,0 s. Een methode om dat kleine stukje uit te rekenen is te bedenken dat de gemiddelde snelheid in die derde seconde is (13,9 + 8,9) / 2 = 11,4 m/s en dus wordt in de derde seconde 11,4 m afgelegd, hetgeen het totaal op 27,8 + 11,4 = 39,2 m brengt.

MUL ZAND Tijdens een fietstocht is de snelheid 5,0 m/s. Maar je komt in mul zand terecht, waardoor je 4,0 m verder tot stilstand komt. Bereken de gemiddelde vertraging. Je loopt even verder en als je weer op de harde ondergrond komt, ga je in het begin met een versnelling van 1,3 m/s². Je fiets weegt 20 kg. Als je je van tevoren niet gewogen had, neem je maar 50 kg voor je eigen gewicht. Bereken de voorwaartse kracht tijdens het versnellen. KRACHT De beweging is het gevolg van de zwaartekracht en een extra kracht. Bereken de waarde van die extra kracht op het moment dat de versnelling 2,0 m/s² bedraagt. De resulterende kracht is F = ma = 0,020 2,0 = 0,040 N. Dus F = F z F extra 0,040 = 0,020 9,81 F extra F extra = 0,156 N.

Grafieken a. Bepaal de versnelling die hoort bij de rechte lijn in onderstaande v,t-grafiek. De niet-rechte lijn in hetzelfde assenstelsel is de v,t-grafiek van een bewegend voorwerp van 20 gram. Op t = 0 gaat het voorwerp naar beneden. Over dat voorwerp gaan de vragen b, c en d. b. Bepaal op welk tijdstip het voorwerp een versnelling ondervindt die even groot is als de versnelling zoals die berekend is in vraag a. c. Bepaal de verplaatsing van het voorwerp van t = 0 tot t = 5,2 s. 1a 1b 1c UITWERKING De grafiek een beetje doortrekken is het gemakkelijkst. v 12,0 2 a 1,20 m/s. t 10,0 Marge 0,02 m/s². Dezelfde versnelling betekent dat de grafiek op dat moment even steil moet lopen. We schuiven daarom met de geodriehoek tot we de raaklijn vinden. Dat is op t = 3,8 s. Marge: 0,2 s. De verplaatsing is de oppervlakte onder de v,t-grafiek. Je kunt die oppervlakte benaderen door een rechte lijn te trekken van (0 s; 2 m/s) naar (5,2 s; 18 m/s) of door een horizontale lijn op hoogte 10 m/s. Je krijgt dan met een rechthoek e/o driehoek te maken. De oppervlakte blijkt 52 m te zijn. Marge 2 m.