SECUNDAIR ONDERWIJS Graad: eerste graad A-stroom Jaar: eerste en tweede leerjaar BASISVORMING Vak(ken): AV wiskunde 5/4 lt/w Leerplannummer: 2006/005 (vervangt 97169) Nummer inspectie: 2006 / 5 // 1 / G / BV / 1 / I / / D/
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) 1 INHOUD Beginsituatie...2 Visie...3 Algemene doelstellingen...4 Leerplandoelstellingen/Leerinhouden/Specifieke pedagogisch-didactische wenken...5 Eerste leerjaar A...6 Getallenleer...6 Meetkunde...15 Tweede leerjaar A...28 Getallenleer...28 Meetkunde...35 Pedagogisch-didactische wenken...41 Vakoverschrijdende eindtermen...42 ICT...47 Begeleid zelfgestuurd leren...48 Verdeling van de beschikbare lestijden...50 Minimale materiële vereisten...52 Evaluatie...53 Bibliografie...57
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) 2 BEGINSITUATIE Leerlingen moeten worden toegelaten tot het eerste leerjaar A van het secundair onderwijs als zij het getuigschrift van basisonderwijs behaald hebben. Onder bepaalde voorwaarden kunnen zij echter ook toegelaten worden zonder dit getuigschrift. Dit betekent dat niet alle leerlingen die het eerste leerjaar A aanvatten over hetzelfde volume en dezelfde intensiteit voorkennis (beginsituatie) beschikken. Deze leerlingen: kennen en begrijpen het bestaan van natuurlijke getallen, breuken en decimale getallen; kennen de hoofdbewerkingen met natuurlijke getallen en kunnen de eigenschappen van deze bewerkingen toepassen; kunnen delers en veelvouden van natuurlijke getallen vinden; kunnen gelijkwaardigheid tussen kommagetallen, breuken en procenten vaststellen en verduidelijken door omzettingen; kunnen procentberekeningen maken; kunnen de vier hoofdbewerkingen toepassen met decimale getallen en kunnen breuken optellen, aftrekken en vermenigvuldigen; zijn op de hoogte van schatprocedures die in veel omstandigheden toepasbaar zijn; moeten het resultaat van hun bewerkingen doelmatig kunnen controleren via gebruik van een rekentoestel; moeten beschikken over de nodige kennis inzake maateenheden en kunnen de meest functionele meetinstrumenten zelf hanteren; kennen punten, rechten, hoeken, vlakke figuren en ruimtelichamen en hun belangrijkste eigenschappen; onderscheiden soorten hoeken en veelhoeken; weten hoe de omtrek en de oppervlakte kan bepaald worden; kunnen de inhoud van een balk berekenen; hebben enige notie van temperatuurmeting, kunnen rekenen met geld en kunnen kloklezen; hebben leren tekenen met passer en liniaal; kunnen begrippen als symmetrie, gelijkvormigheid en gelijkheid ontdekken. Van deze leerlingen wordt verwacht: dat zij beschikken over een probleemoplossende reflex waardoor zij inzicht hebben in probleemstellingen; dat zij een probleem kunnen schematiseren en oplossingshypothesen kunnen voorstellen; dat zij over hun oplossingsproces kunnen reflecteren. Als gevolg van de eindtermen zijn in dit leerplan de verzamelingen, de bewerkingen met verzamelingen en de relaties niet meer zijn opgenomen. In dit leerplan wordt het accent gelegd op schatprocedures, op het gebruik van het rekentoestel, op het ontwikkelen van probleemoplossende vaardigheden, op het ruimtelijke inzicht en op het ontwikkelen van een kritische houding t.o.v. gegevens en resultaten. Voor deze vaardigheden wordt in het basisonderwijs een aanzet tot ontwikkeling gegeven. Het is dus meer dan wenselijk dat de leerkracht wiskunde van het eerste leerjaar A van het secundair onderwijs enerzijds kennis neemt van de leerplannen van het basisonderwijs en anderzijds de concrete beginsituatie van de leerlingen vaststelt.
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) 3 VISIE Wiskundeonderwijs gaat uit van waarnemingen, ervaringen, problemen en hypothesen, maar besteedt ook aandacht aan abstrahering en structurering. Het wiskundeonderwijs is een proces van geleidelijke, systematisch voortschrijdende en steeds herhalende opbouw, ook wel eens spiraalopbouw genoemd. Dit betekent dat niet elk aangevat onderdeel van de wiskunde meteen wordt afgewerkt. De overstap naar abstrahering moet steeds steunen op concrete voorbeelden. De leerlingen zullen hierin telkens een steunpunt vinden t.o.v. het abstracte (de theorie). Een communicatieve interactie tussen leraar en leerlingen en tussen leerlingen onderling bevordert inzicht, expliciteert en verfijnt de denkprocessen en noopt de leerling tot reflectie over zijn denkproces. Daardoor leert de leerling zijn handelen kritisch analyseren, wordt hij minder afhankelijk van anderen en wordt zijn denken planmatiger en flexibeler. De leerlingen moeten zinvol en functioneel gebruik maken van het rekentoestel, meer algemeen van ICT. Wat het algemeen gebruik van ICT betreft, zal de leraar steeds onderzoeken welke de didactische meerwaarde t.o.v. andere middelen is. Het feit dat de maatschappij ons overstelpt met informatie dwingt de leraar ertoe om, enerzijds de leerling kritisch te leren omgaan met dit aanbod, anderzijds de leerling daarvan functioneel te leren gebruik. Wat het gebruik van het rekentoestel betreft, zullen de leerlingen -telkens de gelegenheid zich voordoet- de vier hoofdbewerkingen, bewerkingen met haken, het gebruik van de geheugentoetsen en breukentoets inoefenen met het rekentoestel. Uiteraard speelt de controle op de betrouwbaarheid van het afgelezen resultaat een belangrijke rol. Daarom zal een grondig inzicht in de basistechnieken noodzakelijk blijven wil men op een nuttige en efficiënte manier gebruik maken van het rekentoestel. Bij de leerlingen zal de motivatie tot oplossen verhogen door de bruikbaarheid en de toepassingsgerichtheid van de aangeboden problemen, de aanpassing aan hun bevattingsvermogen en het inspelen op hun belevingswereld. Zelfvertrouwen kweekt bij de leerlingen vorsingsdrang naar oplossing van nieuwe en meer complexe opgaven. Enige aandacht voor het wiskundeverleden, zoals dit vak zich ontwikkeld heeft doorheen de verschillende culturen, laat de leerling eveneens wiskunde ervaren als een dynamisch vak. Bovendien zal elke gelegenheid aangegrepen worden om aan te tonen dat basiskennis wiskunde noodzakelijk is in onze maatschappij. Onze snel evoluerende samenleving noopt bovendien tot soepelheid om snel en efficiënt problemen op te lossen. In de verdere opleiding en de beroepsloopbaan zijn daarom vakoverschrijdende vaardigheden vereist. In het bijzonder blijft probleemoplossend denken dan ook een noodzaak. Op deze vaardigheden wordt in de beschrijving van de algemene doelstellingen verder concreet ingegaan.
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) 4 ALGEMENE DOELSTELLINGEN Elk leerplan wiskunde in het secundair onderwijs moet zich inschrijven in de algemene en in feite funderende doelstellingen van dit leervak. Vanuit deze algemene doelstellingen vinden de leerplandoelstellingen hun concretisering per graad. Dit betekent voor de eerste graad secundair onderwijs dat de algemene doelstellingen moeten worden bereikt binnen het kader van de vooropgestelde eindtermen wiskunde. Deze algemene doelstellingen zijn te verwoorden als volgt: een wiskundig basisinstrumentarium verwerven: leren omgaan met symbolen, formules, begrippen en verbanden waarmee men getallenleer, algebra, meetkunde, analyse en combinoratiek, kansrekening en statistiek kan ontwikkelen; een aantal wiskundige denkmethoden verwerven: mogelijkheden verwerven om te ordenen en te structureren; cijfer- en beeldinformatie op een betekenisvolle manier hanteren; omgaan met de wiskunde als taal; vaardigheden ontwikkelen in het oplossen van problemen; verbanden leggen tussen wiskundige leerinhouden en andere vakdisciplines; technische hulpmiddelen gebruiken om wiskundige informatie te verwerken, om berekeningen uit te voeren of om wiskundige problemen te onderzoeken; ervaren dat wiskunde een dynamische wetenschap is; zelfvertrouwen en kritische zin ontwikkelen; inzien dat wiskunde een belangrijke cultuurcomponent is.
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) 5 LEERPLANDOELSTELLINGEN/LEERINHOUDEN/SPECIFIEKE PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN Eindterm *AW44 *AW45 *AW46 *AW47 Vooraf Bij de leerplandoelstellingen wordt telkens verwezen naar de eindtermen die hierop van toepassing zijn. Bij leerplandoelstellingen die niet expliciet maar eerder impliciet zijn af te leiden uit de eindtermen, werden de betreffende eindtermen niet vermeld. De volgorde in opsomming van de leerplandoelstellingen is niet bindend voor de volgorde van de behandeling ervan. Leerkrachten zullen erover waken dat bij elke gelegenheid in de les en bij de pedagogisch-didactische verwerking van de leerinhouden, de vakoverschrijdende eindtermen maximaal worden nagestreefd. Om de leerlingen te motiveren tot probleemoplossend denken, wordt hen het besef bijgebracht dat de redenering ten minste even belangrijk is als het resultaat zelf. Zij worden ook aangezet tot zelfstandig denken en zelfstandig werken. Bij het oplossen van oefeningen en vraagstukken wordt bij de leerlingen doorzettingsvermogen ontwikkeld en aangemoedigd. Teneinde het vertrouwen en het inzicht in de wiskunde te bevorderen, worden de leerlingen aangezet tot een zo groot mogelijke zelfregulatie waarin planning, zelftoetsing en reflectie sterk aan bod komen. De leerlingen ontwikkelen ook een en kritische houding tegen over het gebruik allerlei wiskundig materiaal. De volgende begrippen uit de verzamelingenleer en de logica worden als instrument gebruikt indien ze verhelderend werken: 1 de begrippen verzameling en deelverzameling; 2 de symbolen =, F,,,, zinvol gebruiken; 3 de doorsnede (symbool =) en de vereniging (symbool >) van twee verzamelingen; 4 het zinvol hanteren van en, of en niet in uitdrukkingen; 5 verbanden tussen verzamelingen voorstellen met behulp van venndiagrammen; 6 de logische symbolen (voor alle) (er bestaat) en (als... dan... en omgekeerd) zinvol gebruiken; 7 in concrete gevallen kunnen werken met koppels, relaties, voorstellingen van relaties en soorten relaties. Een systematische studie is hier niet op zijn plaats!
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) 6 Eerste leerjaar A Getallenleer Eindterm W9 Vooraf De leerlingen moeten een rekentoestel zinvol en functioneel leren gebruiken. Telkens de gelegenheid zich voordoet, oefenen zij het uitvoeren van de vier hoofdbewerkingen, alsook van machtsverheffingen en worteltrekkingen, inclusief bewerkingen met haken. ET Inhoudelijke leerplandoelstellingen Pedagogisch-didactische wenken 1 De natuurlijke en de gehele getallen Het samen behandelen van de natuurlijke en de gehele getallen heeft vooral tot doel een tijdwinst te realiseren. Tevens worden de leerlingen veel vroeger geconfronteerd met de bewerkingen met gehele getallen, zodat deze gedurende een langere periode van het schooljaar kunnen ingeoefend worden. W1 W5 W18 W14 1.1 Basisbegrippen De leerlingen 1.1.1 kennen de symbolische voorstelling van de verzamelingen!, ', $, *, (,), +,, en kunnen deze verzamelingen lezen en opschrijven; kunnen werken met lettervoorstellingen van getallen, met absolute waarde en tegengestelde getallen 1.1.2 kunnen de verzamelingen! en ' voorstellen op een getallenas W10 1.1.3 kunnen onderling vergelijken: werken met de relaties =, F,<, >, D en C Voortbouwend op de kennis van de natuurlijke getallen die de leerlingen in de basisschool hebben verworven, moeten hier zeker aan bod komen: de notatie in ons tientallig positiestelsel; de voorstelling van de gehele getallen op een geijkte rechte; abscis van een punt.(het is wenselijk de coördinatenmeetkunde niet uit te stellen tot het einde van het schooljaar, doch dit deel over het gehele schooljaar te spreiden); de orde van de gehele getallen: we zullen zeker aandacht schenken aan een goed begrip van de symbolen < en >, daar deze symbolen niet voorkomen in de eindtermen van het basisonderwijs; W38 1.1.4 kunnen! x! en ' x ' afbeelden in het geijkte vlak en kennen de voorstelling van koppels gehele getallen in een geijkt vlak: het
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) 7 ET Inhoudelijke leerplandoelstellingen Pedagogisch-didactische wenken W7 W5 het begrip coördinaat 1.2 De vier hoofdbewerkingen 1.2.1 kennen de terminologie: optelling, som, termen van een som, aftrekking, verschil, vermenigvuldiging, product, factoren van een product, deling, quotiënt, deeltal, deler, rest koppel wordt de coördinaat van het corresponderend punt genoemd, het eerste getal is de abscis en het tweede getal is de ordinaat; abscis en ordinaat zijn de coördinaatgetallen van een punt. In het licht van de vergelijkingen die later aan bod komen en van een doelstelling op langere termijn, het rekenen met lettervormen, is het belangrijk de leerlingen eveneens vanaf het begin gaandeweg vertrouwd te maken met het voorstellen van getallen door letters. Het is uiteraard aangewezen daarbij niet uitsluitend gebruik te maken van de letter x: later te hanteren formules bevatten immers ook andere letters! We zullen er ons voor hoeden een systematische behandeling te geven van de verzamelingenleer! De taal van de verzamelingen blijft echter als symbolentaal een essentieel hulpmiddel. De leerlingen moeten voor een opgaande en een niet opgaande deling in! de betrekkingen kunnen opstellen tussen deeltal a, deler b, quotiënt q en rest r: a = b. q + r en r < b W8 W2 1.2.2 kennen en gebruiken rekenregels en tekenregels De frequent voorkomende uitspraak min en min is plus moet in de klas bestreden worden. Leerlingen moeten een duidelijk onderscheid maken tussen de tekenregels voor optellen en aftrekken enerzijds en vermenigvuldigen en delen anderzijds. W3 1.2.3 kunnen een onderzoek instellen naar: het commutatief-zijn; het overal gedefinieerd-zijn in! en in ''; het associatief-zijn; de rol van 0 en 1; eventueel het begrip neutraal element; de som van een getal en zijn tegengestelde; eventueel het begrip symmetrisch element. Bij het onderzoek naar eigenschappen bij de vier hoofdbewerkingen is het belangrijk dat de leerlingen inzien dat één tegenvoorbeeld voldoende is om te concluderen dat de eigenschap niet geldt, doch dat het geven van voorbeelden geen bewijs levert voor de algemene geldigheid. Bij een bewerking in! of in ' stellen we ons eerst de vraag: Kunnen we die bewerking voor elk koppel elementen van de gegeven verzameling uitvoeren? Het voorstellen met letters van het commutatief-zijn en het associatiefzijn van de bewerkingen is eveneens een stap in het vertrouwd worden met lettervormen. Facultatief kan de leerkracht deze eigenschappen in het eerste leerjaar
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) 8 ET Inhoudelijke leerplandoelstellingen Pedagogisch-didactische wenken AW41 AW42 al noteren met gebruik van de kwantor. De leerlingen moeten echter wel al attent gemaakt worden op de inhoud van de termen voor alle en er bestaat. 1.2.4 kunnen de eigenschappen van bewerkingen verwoorden De leerkracht kan zich eventueel beperken tot het laten verwoorden van de rol van 0 en 1, alsook van de som van een geheel getal en zijn tegengestelde, dit dus zonder gebruik te maken van de termen neutraal element en symmetrisch element. Het accent moet in het eerste leerjaar gelegd worden op het correct kunnen verwoorden en op het kunnen toepassen van deze eigenschappen. We moeten er hier immers op letten dat geen schijnkennis wordt verworven, doch een inzicht gestoeld op een voldoend aantal voorbeelden. W15 1.2.5 kunnen de uitbreiding van! naar ' verklaren W3 1.2.6 kennen het verband tussen optellen en aftrekken 1.2.7 kennen het distributief-zijn en kunnen dit toepassen voor de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling en t.o.v. de aftrekking Bij het toepassen van het distributief-zijn van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling en t.o.v. de aftrekking dient ook het andersomaspect de nodige aandacht te krijgen. Voorbeeld: 2.a + 2.b = 2.(a + b) Na het distributief-zijn van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling en t.o.v. de aftrekking kan facultatief ook het rechts-distributief-zijn van de deling t.o.v. de optelling en t.o.v. de aftrekking worden behandeld. Door het tweemaal na elkaar toepassen van het distributief-zijn van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling komen we tot de regel voor het vermenigvuldigen van een som met een som. Het kan verhelderend werken als de eigenschappen voor bewerkingen met getallen in verband worden gebracht met een visuele ondersteuning uit de meetkunde. Voorbeeld: (a + b). c = a.c + b.c De oppervlakte van een rechthoek met afmetingen (a + b) en c zien als de som van de oppervlakten van twee rechthoeken met afmetingen a en c en met afmetingen b en c.
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) 9 ET Inhoudelijke leerplandoelstellingen Pedagogisch-didactische wenken W8 W8 1.2.8 kunnen de stappen in het rekenwerk verantwoorden door de gebruikte eigenschappen te vermelden 1.2.9 kunnen deze eigenschappen handig toepassen bij hoofdrekenen W12 1.2.10 kunnen technieken van schatten toepassen 1.3 Machten W5 W11 W6 W9 1.3.1 kennen de schrijfwijze, leeswijze, terminologie: machtsverheffing, macht, grondtal, exponent, kwadraat 1.3.2 kunnen machten berekenen met gehele grondtallen en natuurlijke exponenten 1.3.3 kennen het verband tussen het kwadrateren en het berekenen van de vierkantswortel 1.4 Volgorde van de bewerkingen 1.4.1 kunnen de regels in verband met de volgorde van de bewerkingen en het gebruik van de haakjes toepassen Trek zeker de aandacht op het onderscheid tussen de opdrachten: bepaal de gehele getallen x die voldoen aan x 2 = 36 en bereken 36. De afspraken in verband met de volgorde van de bewerkingen worden progressief ingevoerd: we wachten dus niet tot alle bewerkingen behandeld zijn. Bij deze afspraken worden de vermenigvuldigingen en de delingen uitgevoerd van links naar rechts. Voorbeeld: 18 : 2. 9 = 9. 9 = 81 De leerkracht moet er over waken dat de leerlingen het rekentoestel verantwoord en efficiënt gebruiken, met bijzondere aandacht voor het gebruik van haakjes. W23 W18 1.4.2 kunnen de regelmaat ontdekken in eenvoudige patronen en schema s en ze beschrijven met formules Aansluitend bij de spiraal-opbouw van het werken met letters, dienen er tevens problemen aan bod te komen die te maken hebben met het ontdekken van een regelmaat in getallenrijen (patronen) en waarbij gezocht wordt naar een algemene formule voor het n-de getal in de rij. Wees in elk geval steeds indachtig dat praktische vraagstukken en toe-
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) 10 ET Inhoudelijke leerplandoelstellingen Pedagogisch-didactische wenken W23 1.4.3 kunnen de getalwaarde van een lettervorm berekenen 2 De rationale getallen passingen, alsook concrete voorbeelden die aansluiten bij de belevingswereld van de leerlingen de motivatie slechts kunnen verhogen. 2.1 Basisbegrippen De leerlingen: W4 W18 2.1.1 kennen de symbolische voorstelling van de verzamelingen -, 0,., /, 1, 2 en kunnen deze verzamelingen lezen en opschrijven; kunnen een getal schrijven in breukvorm, in decimale vorm; kunnen de decimale benadering van een breuk bepalen; kunnen werken met lettervoorstellingen van getallen, met absolute waarde, tegengestelde getallen en het omgekeerde van een getal W14 2.1.2 kunnen de verzameling - voorstellen op een getallenas en kunnen - x - afbeelden op het geijkte vlak W10 2.1.3 kunnen onderling vergelijken: werken met de relaties =, F,<, >, D, C Breuken ontstonden in de geschiedenis naar aanleiding van verdeling van oogst, visvangst, stoffen, percelen. Diverse modellen (lijnstuk, strook, oppervlakte, inhoud, tabellen) bieden een houvast als denkmiddel. Vanuit het basisonderwijs is elke leerling al vertrouwd met decimale getallen. Deze decimale getallen kunnen gemakkelijk in breukvorm worden genoteerd. De plaats van een rationaal getal (zowel in decimale vorm als in breukvorm) op een getallenas moet slechts bij benadering worden bepaald. Een nauwkeurige constructie is hier niet noodzakelijk. De leerlingen moeten de gelijkwaardigheid zien tussen de breuk, de decimale waarde, de verhouding (het verband tussen twee grootheden uitgedrukt in breukvorm) en het procent (gestandaardiseerde verhouding met noemer 100). Dit leidt tot een geschikte keuze bij berekeningen in functie van gegevens: 21 % BTW op een bedrag van 80 000 EUR is vlug gevonden met: 2 10.80 000 EUR + 1.80 000 EUR = 16 800 EUR 100 voor het berekenen van de jaarlijkse intrest van een kapitaal van 3 500 000 EUR aan 5,375 % zal men eerder grijpen naar het rekentoestel via de bewerking: 3 500 000 EUR. 0,05375 = 188 125 EUR
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) 11 ET Inhoudelijke leerplandoelstellingen Pedagogisch-didactische wenken W4 W13 2.1.4 kunnen met verhouding, schaal, procent en kans werken Eveneens zal de onderlinge samenhang worden belicht tussen de begrippen: verhouding; procent; schaal (verhouding tussen de maatgetallen van de lengte van gelijkstandige lijnstukken van gelijkvormige figuren); kans (getal van ten minste 0 en ten hoogste 1 dat de waarschijnlijkheid van het optreden van een gebeurtenis aangeeft). Merk op dat verhoudingen soms verscholen zijn in uitdrukkingen zoals: een prijs van 500 EUR/m² i.p.v. 500 EUR/1 m²; een benzineverbruik van 8,5 liter waarmee bedoeld wordt 8,5 liter/100 km; een neerslag van 25 l = 25 l/1 m². W17 W7 W2 W8 W3 2.1.5 kunnen vanuit tabellen met cijfergegevens het rekenkundig gemiddelde berekenen en hieruit relevante informatie afleiden 2.2 De vier hoofdbewerkingen 2.2.1 kennen en gebruiken de rekenregels en de tekenregels voor getallen in breukvorm en in decimale vorm 2.2.2 kunnen een onderzoek instellen naar: het overal gedefinieerd zijn in -; het commutatief-zijn; Het spreekt vanzelf dat de cijfergegevens uit een reële context (zo mogelijk uit de interessesfeer van de leerlingen) gehaald worden. Internet is een rijke bron aan cijfermateriaal. Zie ook 1.2.2. Om een breuk te vereenvoudigen kan men teller en noemer schrijven als een product en gemeenschappelijke factoren opsporen. Voorbeeld: 26 39 = 2.13 3.13 = 2 3 Vermenigvuldigen van een breuk met een breuk en delen van een breuk door een breuk zijn niet aangegeven in de eindtermen van het basisonderwijs. Deze bewerkingen en in het bijzonder de rekenregels zijn dus voor veel leerlingen nieuwe leerstof. Het onderzoek van de eigenschappen van de bewerkingen in - is een van de mooie voorbeelden van de spiraalmethode, die in het wiskundeonderwijs gehanteerd wordt.
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) 12 ET Inhoudelijke leerplandoelstellingen Pedagogisch-didactische wenken AW41 AW42 W15 W3 W8 W8 W12 het associatief-zijn; de rol van 0 en 1 (eventueel het begrip neutraal element); de som van een getal en zijn tegengestelde, het product van een getal en zijn omgekeerde (eventueel het begrip symmetrisch element). 2.2.3 kunnen de eigenschappen van bewerkingen verwoorden 2.2.4 kunnen de uitbreiding van ' naar - verklaren 2.2.5 kennen het verband tussen optellen en aftrekken en tussen vermenigvuldigen en delen 2.2.6 kennen het distributief-zijn en kunnen dit toepassen voor de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling en t.o.v. de aftrekking 2.2.7 kunnen de stappen in het rekenwerk verantwoorden door de te gebruiken eigenschappen te vermelden 2.2.8 kunnen deze eigenschappen handig toepassen bij hoofdrekenen 2.2.9 kunnen de uitkomst van een bewerking schatten; een resultaat oordeelkundig afronden; een afgerond resultaat evalueren en interpreteren in functie van het gestelde probleem 2.3 Machten De symbolische voorstelling van de eigenschappen van de hoofdbewerkingen kan op analoge manier als in! en in ' worden behandeld. W5 2.3.1 kunnen machten berekenen met rationale grondtallen en natuurlijke exponenten De begrippen werden reeds gesticht in 1.3. Hier primeert inzicht op rekenwerk! Wellicht vragen sommige leerlingen zich af of de exponent ook uit een andere verzameling kan komen. W5 2.3.2 kennen de vierkantswortel van een rationaal getal en kunnen hem berekenen Zie eveneens punt 1.3.3
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) 13 ET Inhoudelijke leerplandoelstellingen Pedagogisch-didactische wenken 2.4 Volgorde van bewerkingen W6 2.4.1 kunnen de regels in verband met de volgorde van de bewerkingen en het gebruik van de haakjes toepassen W18 2.4.2 kunnen de getalwaarde van een lettervorm berekenen De afspraken in verband met de volgorde van de bewerkingen in! en ' worden overgenomen in -. 3 Vergelijkingen De leerlingen: 3.1 kennen de verenigbaarheid van de gelijkheden met de hoofdbewerkingen W21 3.2 kunnen eenvoudige vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende oplossen Gelijkheden zijn als een balans in evenwicht. We voeren op beide leden een zelfde bewerking uit. (balansmethode). De leerkracht zal waakzaam toezien op het correct gebruik van gelijktekens. Vergelijkingen ontstaan uit concrete situaties en vertalen een gelijkheid die voortkomt uit verbanden tussen wat we moeten zoeken (de onbekende) en wat we weten (het gegeven). Op dit niveau beschouwen we een vergelijking als een gelijkheid waarin een letter voorkomt. Deze letter noemen we de onbekende. Om vergelijkingen op te lossen steunen we dus op de eigenschappen van gelijkheden. Deze eigenschappen verantwoorden de oplossingstechniek. Het gebruik van het gelijkwaardigheidsteken ( ) wordt stellig afgeraden. Als oplossingsmethode verdient in het eerste leerjaar de balansmethode onze voorkeur. In het tweede leerjaar kan een verkorte schrijfwijze gebruikt worden, maar het verband met de balansmethode moet duidelijk blijven. In het eerste leerjaar beperken we ons tot het oplossen van vergelijkingen van de eerste graad zonder breuken in de vergelijking. De oplossing van de vergelijking kan een rationaal getal zijn. AW45 Geregeld de proef maken is aanbevolen.
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) 14 ET Inhoudelijke leerplandoelstellingen Pedagogisch-didactische wenken W22 AW43 3.3 kunnen eenvoudige vraagstukken die leiden tot vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende oplossen Bij het oplossen van vraagstukken kunnen we vijf stappen onderscheiden: 1 het vertalen van de opgave in wiskundetaal en het zoeken naar een gelijkheid en het kiezen van een onbekende; 2 het opstellen van een vergelijking die het vraagstuk weergeeft; 3 het oplossen van de vergelijking en de proef op de vergelijking; 4 het formuleren van een antwoord met aandacht voor de eenheden; 5 de proef op het vraagstuk. Bij het oplossen van vraagstukken ondervinden leerlingen vaak moeilijkheden bij het opsporen van een gelijkheid en ze missen dikwijls de handigheid in het vertalen naar wiskundetaal. Dit vertalen in wiskundetaal dient dus heel het schooljaar door ingeoefend te worden
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) 15 Meetkunde Eindterm Vooraf De leerstof meetkunde zal niet door middel van een axiomatische opbouw aangeboden worden. Een aantal begrippen zoals ruimte, vlak en rechte kunnen leerlingen intuïtief begrijpen omdat zij zich daarvan een voorstelling kunnen maken. Via een intuïtieve instap, vaak te vinden in een ludieke toepassing, zal het intuïtief aanvoelen, ook bij begrippen die nadien correct gedefinieerd worden, een ondersteunende rol spelen. Vanaf het eerste jaar zal zoveel mogelijk aandacht besteed worden aan zien in de ruimte. Het is de bedoeling om het ruimtelijk zien, waarvan de aanzet reeds gegeven werd in de basisschool, verder te ontwikkelen. Door middel van concrete voorwerpen en ruimtelichamen, die in de klas aanwezig zijn of die er door de leerkracht als model geplaatst zijn, kunnen leerlingen tot begripsvorming komen van o.a. veelvlak, veelhoek, vlak, rechte, evenwijdige rechten, kruisende rechten... W32 Meetkunde biedt bij uitstek de mogelijkheid tot ontwikkelen van tekenvaardigheid, zin voor precisie en correct gebruik van tekeninstrumenten (motoriek). Eigenschappen van vlakke figuren worden geformuleerd na gericht waarnemen. Bij voorkeur laat de leerkracht in de praktijk alle leerlingen een gepaste (grote) figuur tekenen waarop lijnstukken met dezelfde lengte en hoeken met dezelfde grootte aangeduid worden, zonder er bijzondere gegevens bij te veronderstellen: niet elke rechte loopt evenwijdig met een rand van het blad; niet elke veelhoek (driehoek, vierhoek) heeft een zijde evenwijdig met de rand van het blad; niet elke vierhoek is een vierkant of een rechthoek; niet alle snijdende rechten staan loodrecht op elkaar. Het veralgemenen van eigenschappen van vlakke figuren mag in geen geval gebeuren op basis van een beperkt aantal voorbeelden. Enkel onderzoek op heel veel voorbeelden laat toe vaststellingen te veralgemenen en een hypothese te formuleren; hierbij kan het gebruik van ICT een grote rol spelen. De vastgestelde eigenschappen worden eventueel met symbolen genoteerd. Bij deze notatie zijn nauwkeurigheid en volledigheid noodzakelijk. W40 Oefeningen en eigenschappen zullen opgesplitst worden in: gegeven, gevraagd, tekening en eventueel een verklaring/bewijs. Leerlingen zullen een uitspraak zoveel mogelijk door middel van tekeningen toetsen op het waar of niet waar zijn. De leerkracht zal telkens de aandacht vestigen op het feit dat dit toetsen geen bewijskracht heeft bij het waar zijn, maar wel een bewijs is bij het niet waar zijn (bewijskracht van een tegenvoorbeeld). Bij het noteren wordt een onderscheid gemaakt tussen een vaststelling en een verklaring / bewijs.
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) 16 ET Inhoudelijke leerplandoelstellingen Pedagogisch-didactische wenken 1 De ruimte een vlak De leerlingen: 1.1 begrijpen het begrip ruimte De begrippen ruimte en vlak zijn grondbegrippen die leerlingen intuïtief begrijpen. 1.2 begrijpen de begrippen vlak en vlakke figuur Een vlakke figuur wordt aan de hand van voorwerpen in de ruimte gesitueerd en omschreven als deel van een vlak. Dit kan een gelegenheid zijn om het begrip deelverzameling aan te brengen. 1.3 begrijpen de begrippen rechte, halfrechte en drager van een halfrechte De begrippen rechte, halfrechte en drager van een halfrechte zijn begrippen die in de ruimte gesitueerd worden. Leerlingen begrijpen deze begrippen intuïtief. Opmerking: met halfrechte wordt hier de gesloten halfrechte bedoeld. Het begrip collineaire punten kan hier eventueel besproken worden. 1.4 begrijpen de begrippen lijnstuk en drager van een lijnstuk De begrippen lijnstuk en drager van een lijnstuk zijn begrippen die in de ruimte gesitueerd worden. Leerlingen begrijpen deze begrippen intuïtief. Leerlingen weten intuïtief wat de lengte van een lijnstuk is. 1.5 begrijpen het begrip lengte van een lijnstuk en kunnen de afstand tussen twee punten bepalen Het is belangrijk een duidelijk onderscheid te maken tussen: de figuur: voorbeeld: het lijnstuk [ AB ]; de lengte van het lijnstuk met de nodige aandacht voor de gepaste eenheid: voorbeeld: AB = 10 cm. In deze context wordt ook aandacht besteed aan het onderscheid tussen even lange lijnstukken en gelijke lijnstukken. Lijnstukken zijn verzamelingen van punten en zijn slechts gelijk indien ze dezelfde elementen bevatten. Lijnstukken zijn dus slechts gelijk als ze samenvallen. Met lijnstuk wordt hier het gesloten lijnstuk bedoeld. De afstand tussen twee punten wordt gedefinieerd als de lengte van het
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) 17 ET Inhoudelijke leerplandoelstellingen Pedagogisch-didactische wenken lijnstuk dat door die twee punten begrensd wordt. 1.6 kennen de definitie van het midden van een lijnstuk Leerlingen moeten de definitie van het midden van een lijnstuk kunnen verwoorden en eventueel noteren met symbolen W26 1.7 kennen de definitie van een cirkel kunnen met de begrippen middellijn, middelpunt, diameter, de straal, boog, middelpuntshoek en koorde werken 2 Lichamen in de ruimte vlakke figuren De leerlingen: Naast de cirkel kan ook de schijf worden gedefinieerd Aan de hand van een tekening kunnen, via zinvol gebruik van kleuren, de volgende benamingen duidelijk gemaakt worden: middellijn, middelpunt, middelpuntshoek, boog, koorde. Deze begrippen worden in de volgende lessen gebruikt bij de verklaring van constructies. Opmerkingen: de straal van een cirkel is de lengte van elk lijnstuk begrensd door het middelpunt van de cirkel en een punt dat op de cirkel ligt; de diameter van een cirkel is de lengte van elke koorde die door het middelpunt gaat. 2.1 begrijpen de begrippen veelvlak en veelhoek Het begrip veelvlak kan intuïtief begrepen worden als een lichaam dat geen gebogen grensvlakken heeft. Leerlingen zien dat een veelvlak begrensd wordt door vlakke figuren die uitsluitend door lijnstukken begrensd worden. Bij de omschrijving van een veelhoek, wordt de nodige aandacht besteed aan het feit dat er slechts een veelhoek ontstaat op voorwaarde dat een vlakke figuur door tenminste drie verschillende lijnstukken ingesloten wordt. De begrippen veelhoek en regelmatige veelhoek worden zo correct mogelijk omschreven. W27 2.2 kennen de onderlinge ligging van twee rechten: snijdende rechten; strikt evenwijdige en kruisende rechten; evenwijdige rechten. De onderlinge ligging van twee rechten wordt in de ruimte gesitueerd. Boetseerklei, een blok piepschuim, een kartonnen doos en enkele breinaalden, houten stokjes, gespannen touwen of ICT kunnen gebruikt worden om de situaties aanschouwelijk te maken.
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) 18 ET Inhoudelijke leerplandoelstellingen Pedagogisch-didactische wenken De begrippen snijdende rechten, strikt evenwijdige rechten, kruisende rechten en evenwijdige rechten worden zo correct mogelijk omschreven. Strikt evenwijdige rechten zijn rechten die in een vlak liggen en geen enkel gemeenschappelijk punt hebben. Evenwijdige rechten zijn rechten die ofwel strikt evenwijdig zijn ofwel samenvallen. Kruisende rechten zijn rechten die niet in een zelfde vlak liggen en geen enkel gemeenschappelijk punt hebben. Snijdende rechten zijn rechten die precies één gemeenschappelijk punt hebben. Leerlingen tekenen in dit stadium evenwijdige rechten met behulp van een geodriehoek. 2.3 kennen een hoek en een rechte hoek Het begrip hoek wordt gedefinieerd als een deel van een vlak begrensd door twee halfrechten met een gemeenschappelijk grenspunt. Door middel van plooien kan men viermaal een rechte hoek tonen. Leerlingen begrijpen intuïtief de betekenis van het begrip rechte hoek. W27 2.4 kunnen rechten die loodrecht op elkaar staan tekenen en de loodrechte stand controleren 2.5 kunnen de afstand bepalen: van een punt tot een rechte; tussen twee strikt evenwijdige rechten. Leerlingen gebruiken de geodriehoek als instrument om loodlijnen te tekenen of om de loodrechte stand te controleren. Leerlingen aanvaarden intuïtief dat de afstand van een punt tot een rechte moet gemeten worden op de loodlijn die vanuit dat punt op die rechte neergelaten is. Leerlingen aanvaarden intuïtief dat de afstand tussen twee strikt evenwijdige rechten moet gemeten worden op een rechte die loodrecht staat op de evenwijdige rechten. Als toepassing kunnen in een vlak eigenschappen i.v.m. evenwijdigheid en loodrechte stand ontdekt worden zoals: als a b en b c dan a // c; als a // b en b c dan a c. 2.6 kennen de indeling van hoeken en kunnen ze gebruiken De begrippen scherpe hoek, stompe hoek, gestrekte hoek, nulhoek, volle hoek en inspringende hoek kunnen door middel van tekeningen
AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) 19 ET Inhoudelijke leerplandoelstellingen Pedagogisch-didactische wenken uitgelegd worden. Het begrip hoekgrootte wordt niet gedefinieerd. W32 2.7 kunnen hoeken meten Net als bij lijnstukken is het ook bij hoeken belangrijk een onderscheid te maken tussen: de figuur: voorbeeld: de hoek  of BÂC; de grootte van de hoek: voorbeeld:  = 30 of BÂC =30. Leerlingen gebruiken de geodriehoek of graadboog als instrument om hoeken te meten of om hoeken met gegeven grootte te tekenen W32 2.8 kunnen een hoek tekenen die even groot is als een gegeven hoek (zonder meten) W26 2.9 kunnen overstaande hoeken, aanliggende hoeken, nevenhoeken herkennen en tekenen W32 W26 2.10 kunnen de vlakke voorstelling van een lichaam maken De leerkracht moet de aandacht van de leerlingen trekken op het feit dat de constructie met passer en liniaal omwille van de nauwkeurigheid soms te verkiezen is boven het gebruik van de geodriehoek. Als toepassing op 2.8 kunnen opdrachten gegeven worden waaruit aanliggende hoeken of nevenhoeken of overstaande hoeken ontstaan. Na de observatie van lichamen in de ruimte ervaren leerlingen de noodzaak van vlakke voorstellingen van die lichamen. De vlakke voorstelling van ruimtelijke lichamen kan fungeren als een concrete wiskundige situatie voor het inoefenen van technieken zoals: de passer gebruiken als hulpmiddel om lijnstukken met dezelfde lengte te tekenen; tekenen van loodlijnen en evenwijdigen; en voor het herkennen en toepassen van eigenschappen i.v.m. evenwijdigheid; loodrechte stand. In het eerste leerjaar zal men zich beperken tot vlakke voorstellingen van lichamen die opgebouwd zijn met kubussen en balken. Kubus en balk zijn lichamen die reeds gekend zijn vanuit de basisschool. De perspectieftekening van een lichaam wordt eerst op ware grootte op papier afgebeeld. Hierbij worden de principes van kavalierperspectief aangetoond, eerst met een kubus, dan met een balk en daarna met een lichaam gebouwd uit kubussen en balken.