Leerplanstudie leerplan c

Transcriptie

1 Marialand 31, Gent Leerplanstudie leerplan c derde graad aso Samengesteld en gegeven door Guy Reyntjens en Luc De Wilde Pedagogisch begeleiders wiskunde DPB Gent Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina 1

2 Inhoudstafel 1. Wiskunde onderwijzen 1.1 Wat is wiskunde? 1. Wiskundige competenties 1.3 Wiskundevorming 1.4 Welke manieren zijn er om wiskunde te onderwijzen?. Leerplan c - derde graad aso.1 Overzicht. Pedagogisch-didactische wenken. Motivatie 3. Evalueren 3.1 Waarom meer aandacht voor procesevaluatie? 3. Kijkwijzer procesevaluatie 3.3 Productevaluatie 3.4 Kijkwijzer productevaluatie 4. Overzicht leerplandoelstellingen met bijzondere aandacht voor enkele pedagogische wenken - bespreking examenvragen deelnemers per leerstofonderdeel (zie bijlage) 5 Formulegevoeligheid 6 Bespreking examen: zie bijlage 7 Wat na het secundair? Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina

3 1 Wiskunde onderwijzen 1.1 Wat is wiskunde? In de wiskunde creëren we modellen om de werkelijkheid rondom ons te beschrijven. Met de werkelijkheid bedoelen we hier o.a. natuurverschijnselen (ruimte, beweging, kracht,...), technische realisaties (elektronica, informatietechnologie, ) of menselijke relaties (economie, sociologie, ). De modellen zelf kunnen bijv. de vorm aannemen van een evenredigheid, een formule, een vergelijking, een functioneel verband, een meetkundig verband. Bovendien ordent de wiskunde die modellen in samenhangende systemen en schema s, waarbij ook de toepasbaarheid en de beperkingen van die systemen kunnen beschreven worden. 1. Wiskundige competenties Wiskundig competent zijn betekent: beschikken over wiskundige kennis, vaardigheden, houdingen en opvattingen, zo dat die optimaal kunnen gebruikt worden bij het aanpakken en oplossen van problemen binnen en buiten de wiskunde of waarbij wiskunde een rol speelt. (Bron: OECD PISA) Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina 3

4 1.3 Wiskundevorming Wiskundevorming heeft een dubbele rol: - het ontwikkelen van een wiskundig instrumentarium, nodig om goed te kunnen functioneren in de maatschappij, - het aanbieden van een fundamentele denk- en attitudevorming. Denkactiviteiten - modelleren en algebraïseren - ordenen en structureren - analytisch denken en probleemoplossen - formules manipuleren - abstraheren - logisch redeneren en bewijzen Attitudes - zelfvertrouwen en zelfstandigheid - doorzettingsvermogen - kritische zin - zin voor samenwerking - zin voor nauwkeurigheid en orde - zin voor helderheid, bondigheid en eenvoud van taalgebruik - zin voor kwaliteit van de presentatie - waardering voor wiskunde Wiskundevorming geven is het nastreven van kennisdoelen, vaardigheidsdoelen én attitudedoelen. Vaardigheden die leerlingen (verder) ontwikkelen doorheen het secundair onderwijs zijn rekenvaardigheden, meet- en tekenvaardigheden, wiskundige taalvaardigheden, denk- en redeneervaardigheden, probleemoplossende vaardigheden, leervaardigheden, onderzoekvaardigheden. Voorafgaand aan de inhoudelijke leerplandoelstellingen vindt men in elk leerplan de doelstellingen i.v.m. vaardigheden en attitudes aangevuld met pedagogisch-didactische wenken. 1.4 Welke manieren zijn er om wiskunde te onderwijzen? Bij het wiskundeonderwijs dienen we rekening te houden met de twee dimensies van de wiskunde de horizontale dimensie: het mathematiseren en oplossen van problemen die verband houden met de werkelijkheid (het maken van modellen om de werkelijkheid te beschrijven) de verticale dimensie: de deductieve opbouw van de wiskunde (het ordenen van modellen) Naargelang het belang dat men hecht aan die dimensies ontstaan er vier soorten van wiskundedidactiek. horizontale dimensie verticale dimensie receptenwiskunde - - empirische wiskunde + - structuralistische wiskunde - + betekenisvolle wiskunde + + Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina 4

5 In de receptenwiskunde worden zowel de horizontale als de verticale dimensie verwaarloosd. De leerlingen houden zich vooral bezig met het uitvoeren van routineopdrachten volgens opgelegde regels, zonder dat ze de samenhang van die regels begrijpen (verticale dimensie) of dat ze weten welke reële problemen ze vertegenwoordigen (horizontale dimensie). Men zegt wel eens dat de wiskunde hier wordt herleid tot zijn betekenisloosheid. In de empirische wiskunde zijn de leerlingen wel bezig met het oplossen van reële problemen, maar zonder dat ze de samenhang tussen hun bevindingen kunnen begrijpen of aantonen. In de structuralistische wiskunde overheerst volledig de verticale dimensie. De wiskunde wordt opgebouwd vanuit zijn grondvesten (axioma s) als een monumentaal rationeel gebouw. Het gevolg is echter dat de concepten worden ingevoerd op het moment dat ze passen in het deductief systeem, en niet op het moment dat ze belangrijk zijn om bepaalde problemen op te lossen. Een klassiek voorbeeld van structuralistische wiskunde was het meetkundeonderwijs, geïnspireerd op de boeken van Euclides. Een meer recente vorm was de zgn. moderne wiskunde, die als doel had de hele wiskunde op te bouwen vanuit de verzamelingenleer. In de betekenisvolle wiskunde ten slotte vertrekt men van reële problemen, die geworteld zijn in diverse contexten: het dagelijkse leven, een ander schoolvak of de wiskunde zelf. Vanuit deze problemen worden eenvoudige mathematische modellen opgebouwd. Deze modellen wordt in de loop van de jaren d.m.v. nieuwe contexten veralgemeend, uitgebreid en geabstraheerd. Ook de manier van redeneren ondergaat een hele evolutie: van eenvoudige afleidingen naar bewijzen (koppelen van afleidingen), verder naar deductieve eilanden (koppelen van bewijzen) en ten slotte naar wiskundige theorieën. Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina 5

6 Leerplan c derde graad aso.1 Overzicht Het leerplan bestaat uit de volgende onderdelen. Het aantal voorziene lestijden is een aanbeveling. 1 Vaardigheden en attitudes (5.1) wordt geïntegreerd in de verwerking van de leerinhoudelijke doelstellingen. Verplichte leerinhoudelijke doelstellingen ca. 105 Functieleer (5..1) 83 Grafisch onderzoek 8 Veeltermfuncties Inleiding 5 Afgeleiden 5 Integralen 15 Exponentiële en logaritmische functies 15 Goniometrische functies 15 Statistiek (5..) 0 3 Keuzeonderwerpen ca. 45 Matrices en stelsels (5.3.1) 15 Financiële algebra (5.3.) 5 Ruimtemeetkunde (5.3.3) 15 Lineaire regressie en correlatie (5.3.4) 15 Betrouwbaarheidsintervallen (5.3.5) 10 Toetsen van hypothesen (5.3.6) 7 Telproblemen (5.3.7) 10 Kansrekenen (5.3.8) 15 Mathematiseren en oplossen van problemen 15 De leraar werkt een eigen keuzeonderwerp uit max. 15 Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina 6

7 . Pedagogisch-didactische wenken KENNIS EN INZICHT Begripsvorming: onderbouwen met voorbeelden en tegenvoorbeelden Inzicht in de aangeleerde begrippen en eigenschappen impliceert dat de verworven kennis kan toegepast worden VAARDIGHEDEN ICT efficiënt gebruiken Grotere verantwoordelijkheid ten aanzien van het eigen leren ATTITUDEN EN OPVATTINGEN Leerattitudes verwerven: orde, nauwkeurigheid, doorzettingsvermogen en zelfvertrouwen Onderzoeksgerichte en kritische houding (vergelijken van mekaars oplossing) Realiteitsbetrokken situaties ACTIEVE WERKVORMEN Een radicale keuze voor actieve werkvormen ligt voor de hand Zelfstandig leren en werken WISKUNDE EN ICT Didactisch gebruik van ICT Hulp bij de behandeling van realiteitsgebonden problemen Routinerekenwerk niet manueel ANDERE HULPMIDDELEN, VADEMECUM Gebruiken en interpreteren belangrijker dan het van buiten kennen van veel formules Valkuilen? Gerichte opgaven via opdrachten in klas, taken en formatieve toetsen Keuze van de opgaven, visueel werken GRM en computer: visualiseren, oplossing met ICT, controle Leraar als coach bij oefenmomenten Voorbeeldfunctie van de leerkracht, stellen van een typevraag Oefenmomenten in de klas Keuze van de opgaven (diverse handboeken, kranten, ) Actief leerproces : doceren vermijden Lesstructuur leerlingen ideeën en oplossingswijze laten verwoorden plaats voor actieve vraagstelling Visualiseren, controlemiddel, hulp bij zelfstandig werken en leren Problemen met realistische waarden Onderhouden van manuele technieken Een toepassing meer WISKUNDE VOOR ELKE LEERLING Differentiatie Basisopgaven op examens, via formatieve toetsen en jaarwerk een juist beeld van de mogelijkheden van elke leerling vormen RELATIE MET HET OPVOEDINGSPROJECT VAN DE SCHOOL Leerlingen persoonlijk kennen Advies voor studiekeuze Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina 7

8 Leerpiramide van Glasser Luisteren 5-8% Lezen 11% Zien / horen % Er over praten 56% Toepassen / doen 75% Uitleggen aan anderen 8% Hoe leren leerlingen? De piramide van Glasser toont aan dat coöperatieve vormen van leren veel effectiever zijn dan traditionele werkvormen zoals doceren. Leerstijlen van leerlingen (leercirkel van Kolb) Jongeren kunnen over vier verschillende leerstijlen beschikken: de dromer leert door inleving, de doener leert door te doen, de denker leert door onderzoek en de beslisser leert via informatie. De aandacht voor de verschillende leerstijlen bepaalt het leerproces waarin de jongere liefst instapt. Deze theorie is aan kritiek onderhevig maar niemand twijfelt aan het gegeven dat leerlingen verschillende leervoorkeuren hebben. Kwadrant 1: dromer-observeerder, Kwadrant : doener-ondernemer Kwadrant 3: toepasser-beslisser, Kwadrant 4: denker-theoreticus, Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina 8

9 Leerstijl Omschrijving Tips voor de leraar De leerling leert het best door dingen zelf te doen. Hij houdt van experimenteren, nieuwe ervaringen opdoen en iets uit te proberen. Hij kan zich snel aan een nieuwe situatie aanpassen. Hij wil snel resultaat zien en loopt daardoor soms te hard van stapel. Denker-theoreticus De leerling heeft een groot voorstellingsvermogen. Hij voelt zich thuis in situaties waarbij nieuwe dingen moeten worden bedacht. Hij denkt eerst goed na voor hij iets doet en heeft voldoende tijd nodig om tot uitvoering te komen. Soms komt hij moeilijk tot besluiten. De leerling is goed in het bedenken van theoretische modellen. Hij wil intellectueel uitgedaagd worden. Hij is goed in logisch denken en analyseren en leert graag uit boeken. Hij stelt veel vragen. Laat de leerling vooral ervaringen opdoen, concrete problemen oplossen en uitdagende opdrachten uitvoeren. Geef de leerling veel kansen om samen te werken met anderen, want contact is belangrijk voor hem. Let erop dat hij leert uit zijn fouten en niet te snel tot actie overgaat. Geef hem advies en help hem bij het onderscheiden van hoofd- en bijzaken. Geef je leerling voldoende tijd. Zorg dat er niet teveel druk zit op het uitvoeren van opdrachten en het nemen van beslissingen. Moedig hem veel aan en zorg ervoor dat hij niet blijft steken in zijn twijfels maar ook echt tot uitvoering komt. Vraag hem om hardop te denken zodat je hem kan helpen om knopen door te hakken. Geef je leerling gestructureerde opdrachten met duidelijke doelen. Geef hem uitdagende opdrachten met veel gelegenheid om vragen te stellen. Zorg dat je leerling kan beschikken van kennis op papier en geef hem een heldere korte uitleg. Zorg dat je leerling de praktijk niet vergeet. Zorg ervoor dat je leerling ook regelmatig met anderen samenwerkt hoewel hij het liefst in zijn eentje werkt. Doenerondernemer Dromerobserveerder Toepasserbeslisser De leerling zoekt naar verbanden tussen leerstof en werk. Hij scoort hoog op abstract denken en op actief experimenteren. Hij werkt het liefst doelgericht en planmatig. Zorg ervoor dat je leerling kan leren van opdrachten waarin theorie en praktijk verweven zijn. Geef hem concrete en praktische taken. Laat hem dingen uitproberen en oefenen. Zorg ervoor dat hij niet alleen met het resultaat bezig is, maar ook voldoende aandacht heeft voor zijn groepsgenoten. Laat hem samenwerken met een ervaren collega die de rode draad bewaakt. Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina 9

10 .3 Motivatie Praktijkprincipes die werken om de leerbereidheid van leerlingen aan te wakkeren (uit de literatuurstudie: Leerbereidheid van leerlingen aanwakkeren). 1. Blijf werken aan een positieve relatie met je leerlingen.. Zorg voor een veilig leerklimaat door het bieden van duidelijke grenzen en het werken aan een hechte klasgroep. 3. Kies onderwerpen, methodes en activiteiten die zoveel mogelijk de interesse van je leerlingen prikkelen. 4. Help leerlingen zich te verbinden met (het belang van) onderwerpen en taken, zeker ook als die niet spontaan de interesse van leerlingen prikkelen. 5. Luister (bij het aanbrengen van leerinhouden) oprecht en erkennend naar weerstand bij leerlingen en naar uitingen van negatieve gevoelens. 6. Verkies autonomie ondersteunend boven controlerend taalgebruik. 7. Bied structuur aan in de richting van het leerdoel. 8. Bied gepaste en haalbare uitdagingen: leg de lat net hoog genoeg, niet te hoog en niet te laag. 9. Geef feedback die een verbinding maakt tussen wat leerlingen doen (of niet doen) en het bereiken van het beoogde doel. 10. Houd voeling met je eigen behoeftes, je eigen interesses, je eigen motivatie en zorg voor structurele ondersteuning en inspiratie voor jezelf als leraar. Waarom doet hij zijn best niet (Maarten Vansteenkiste)? In elke klas zitten onderpresteerders, moet-ivatie werkt niet, goesting wel 1. Ik gebruik uitnodigende taal: Ik stel voor dat jullie eerst deze oefening maken i.p.v. het dwingende Ik verwacht dat jullie eerst deze oefening maken.. Ik moedig inspraak en participatie aan, laat keuzes toe. 3. Ik probeer mee te denken en te voelen vanuit het standpunt van de leerlingen. 4. Ik geef uitleg waarom ik iets van leerlingen verlang, zodat de zin en betekenis van de opdracht duidelijk is. 5. Ik presenteer het schoolwerk als groeikans en uitdaging. 6. Ik maak duidelijk wat ik precies verlang van mijn leerlingen. 7. Ik laat de leerlingen voelen dat ik hen geloof, dat ik ze vertrouw. 8. Ik bied hulp waar nodig. 9. Ik bekijk fouten als kansen om te leren en niet om af te straffen. 10. Ik moedig ze aan. Ik geef positieve feedback en schouderklopjes. Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina 10

11 3 Evalueren Evalueren is een proces waarbij men op systematische wijze informatie verzamelt over leergedragingen en leerresultaten van leerlingen, daaraan een bepaalde waarde toekent en op basis daarvan beslissingen neemt. Deze beslissingen hebben betrekking op de leerling: - ze kunnen van didactische aard zijn en als bedoeling hebben het leerproces van de leerlingen te bevestigen of bij te sturen in de gewenste richting; - ze kunnen ook betrekking hebben op de sanctionering van de studies en als bedoeling hebben de leerling te oriënteren, een advies te formuleren, een attest toe te kennen. Evaluatiegegevens van leerlingen leiden ook tot beslissingen over het eigen onderwijsgedrag zoals het verloop van het didactisch proces, de keuze van opdrachten, de gehanteerde werkvormen, de opvolging van het leerproces van leerlingen, het gebruik van leermiddelen. De kwaliteit van de beslissingen hangt uiteraard nauw samen met de kwaliteit van de verzamelde evaluatiegegevens, de manier waarop deze geïnterpreteerd en beoordeeld worden en de wijze van rapportering. Het is uiteraard de bedoeling dat bij de evaluatie alle aspecten van de wiskundevorming betrokken worden. Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina 11

12 3.1 Waarom meer aandacht voor procesevaluatie? Het leerplan is het uitgangspunt voor het werk van de leraar en de vakgroep. Elk leerplan omvat naast de inhoudelijke doelstellingen ook doelstellingen in verband met vaardigheden en attitudes. Ook het verwerven van deze doelstellingen maakt deel uit van de wiskundevorming. Dit betekent dat ook deze doelstellingen geëvalueerd worden. Voor bepaalde vaardigheden en attitudes bieden vormen van procesevaluatie hiertoe mogelijkheden. Procesevaluatie is een thema dat heel wat raakvlakken heeft met andere actuele onderwijsthema s zoals differentiatie, oriëntatie, welbevinden van leerlingen, motivatie, Procesevaluatie is ook onlosmakelijk verbonden met het leerproces van leerlingen en het pedagogischdidactisch handelen van de leerkracht en dit met expliciete aandacht voor alle aspecten van de wiskundevorming, in het bijzonder de leervaardigheden en de vakgebonden attitudes. Ook in inspectieverslagen wordt verwezen naar het belang van procesevaluatie en wordt procesevaluatie vaak als een aandachtspunt weerhouden. In recente inspectieverslagen vind je op onder andere het volgende terug: (zie: - Men hanteert overwegend een testcultuur en integreert zelden elementen van een evaluatiecultuur, hoewel de eindtermen en de leerplannen naast kennis en vaardigheden ook vakgebonden attitudes benadrukken. De studiemotivatie en het doorzettingsvermogen worden hierdoor onvoldoende geprikkeld. - Rapportcommentaren geven bij zwakkere resultaten meestal wel aan voor welke componenten (meetkunde, getallenleer, functies, statistiek) te zwak gepresteerd is, maar ze geven onvoldoende aan hoe hiervoor geremedieerd kan worden. - De leerlingen (en ouders) krijgen productfeedback (cijfers, vakrapport), maar weinig of geen procesfeedback. Positief is wel dat de leerlingen uitgenodigd worden tot een zelfbeoordeling van de eigen inzet. - Echte leerlijnen (zowel binnen de graad als over de graden heen) zijn nog niet uitgewerkt. Er zijn geen sporen van een reflectie over de gehanteerde evaluatie met het oog op het bijsturen van het onderwijsproces. - De vakgroep is nog op zoek naar een doeltreffende manier om attitudes in de evaluatie op te nemen. De leerlingen en ouders krijgen voornamelijk productfeedback. Het geven van procesfeedback op basis van grondige toetsanalyses en individueel gerichte remediëringsinitiatieven is leraargebonden. Bovendien is evaluatiebeleid één van de prioriteiten in meerdere scholen en zijn er ook vakgroepen zoekende naar vormen van evaluatie die meer omvatten dan de traditionele toetsen en examens. Evaluatie is niet alleen iets wat op het einde van een lessenreeks een plaats krijgt. Het doel van procesevaluatie (= formatieve evaluatie) is zoveel mogelijk leerlingen tot beheersingsleren te brengen zonder de sterkere leerlingen daarbij af te remmen, maar deze leerlingen ook verder uit te dagen. Het gaat doorgaans over evaluatiegegevens die gebruikt worden voor didactische beslissingen. Voor de leraar kan dit betekenen dat sommige aspecten van het onderwijsproces of het didactisch proces bijgestuurd worden. Dit kan zowel ten opzichte van individuele leerlingen als ten opzichte van de klasgroep als geheel. Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina 1

13 Hoe gaat de leerling te werk om tot bepaalde prestaties te komen? Wat is zijn leerstijl? Welke leeractiviteiten ontwikkelt hij? Welke methoden gebruikt hij? Hoeveel tijd heeft hij nodig? Hoe gaat hij om met zijn leermateriaal? Maken de diverse aspecten van het onderwijsleerproces het mogelijk dat elke leerling op een efficiënte manier kan leren? Is er voldoende rekening gehouden met de beginsituatie? Is de keuze en ordening van de leerinhouden voldoende doordacht? Voldoen de gehanteerde werkvormen? Is er voldoende oefentijd? Zijn de leermiddelen geschikt? Krijgen sterkere leerlingen voldoende uitdaging? Biedt de voorgestelde remediëring effectief de nodige bijkomende leerkansen voor elke leerling?. Sommige leerlingen moeten de kans krijgen tot een inhaalmaneuver (hernemen, fouten verbeteren, bijkomende uitleg krijgen, meer tijd investeren), terwijl anderen kunnen werken aan verdiepende opdrachten. Procesevaluatie hangt dus samen met een vorm van interne differentiatie. Omdat men uit de procesevaluatie nieuwe leerkansen wil creëren, is ze doorgaans sanctievrij. Dit betekent niet dat er geen punten kunnen toegekend worden. Bij procesgerichte evaluatie gaat men ervan uit dat frequente evaluatiemomenten tijdens de normale lestijden gevolgd door een goede analyse en snelle feedback, het leerproces versterken. Procesevaluatie is een geïntegreerd deel van het lesgebeuren en doorbreekt het leerproces niet. Deze formatieve evaluatie is ook de aangewezen weg om leerlingen bewust te maken van hun eigen mogelijkheden. Deze vorm van evaluatie wordt ook wel de zachte evaluatie genoemd: evaluatie om te leren. Met harde evaluatie wordt dan de productevaluatie bedoeld: evaluatie om te meten. Beide vormen kunnen ook samen aan bod komen, bv. een proefwerk (summatieve toets) is een vorm van productevaluatie, maar de feedback op het proefwerk aan de leerling is een vorm van procesevaluatie (toekomstgericht). De leraar kan op basis van het leerlingenwerk dat hij onder ogen krijgt, mogelijk zijn didactische aanpak in de toekomst aanpassen, wat weer een vorm van procesevaluatie is. De evaluatiecultuur is tevens een belangrijke hefboom voor het verhogen van de motivatie bij leerlingen vanuit succeservaringen en het opbouwen van zelfvertrouwen bij de leerlingen. Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina 13

14 De volgende elementen kunnen een positieve bijdrage leveren in het geheel van de procesevaluatie. Een diagnostische toets of instaptoets. Een korte toets bij het begin van een lessenreeks kan zicht geven op de verworven kennis. Op basis hiervan kan je klassikaal of individueel remediëren. Het persoonlijk werk van de leerling. Over de zin van het persoonlijk werk en de mogelijke vormen lees je meer in APR1 (Algemene Pedagogische Reglementering, te downloaden via en kies dan Pedagogisch Didactisch, APR s). De klassieke huistaak biedt heel wat mogelijkheden om te werken aan attitudes. Kleine huistaken of opdrachten, die de leerlingen thuis moeten afwerken, geven de leerling een duidelijk zicht op het feit of de leerstof al voldoende beheerst wordt. Naast de klassieke oefeningen die aansluiten bij de behandelde leerstof, zal de leraar ook voldoende uitdagende opgaven meegeven. Het is aangewezen in het jaarplan buffermomenten te voorzien, waarin je eerder geziene leerstof terug kunt inoefenen. Feedback geven. Als leraar zijn we soms geneigd leerlingen zo snel mogelijk op het juiste pad te zetten, hen op voorhand te waarschuwen voor mogelijke valkuilen, hen te corrigeren door de juiste oplossing te geven. Op die manier willen we het leerproces van de leerlingen versnellen en de kostbare tijd in de klas ten volle benutten. Ongewild nemen we zo echter uitgelezen leerkansen weg. We geven leerlingen soms te weinig kans om zelf na te denken, het probleem zelf te ontdekken, zichzelf de vraag te stellen waarom een opgave verkeerd werd opgelost. Zelfevaluatie door de leerlingen. Laat de leerlingen af en toe eens werken met correctiesleutels. Laat ze zelf een foutenanalyse maken. Leg hen af en toe een paar vragen voor over de eigen studiehouding, de inzet, de manier van studeren. Laat hen zelf enkele werkpuntjes formuleren. Remediëring en differentiatie. Het zou in feite ideaal zijn als we bij elke leerling via aangepaste opdrachten het leerproces konden sturen. We stellen vast dat heel veel collega s hiervoor ernstige inspanningen leveren, die vaak erg gewaardeerd worden. Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina 14

15 3. Kijkwijzer procesevaluatie Het leerproces van leerlingen 1 Hoe peil je bij jouw leerlingen naar de evolutie van het leerproces bij het begin, tijdens en op het einde van een lessenreeks? Hoe wordt de parate kennis onderhouden? 3 Hebben de leerlingen zicht op hun eigen leerproces? Hoe doe je dit? (feedback, foutenanalyse, correctiemodel, ) 4 Heb je aandacht voor binnenklasdifferentiatie? Hoe doe je dit? Persoonlijk werk van de leerling 1 Hoe verdeel je de te maken opdrachten tijdens de les? En taken buiten de les? Hoe laat je de leerlingen werken aan problemen die slaan op een gehele leereenheid? 3 Sluiten taken steeds aan bij het te behandelen onderwerp? 4 Welke voordelen biedt het werken met een portfolio? Vaardigheden en attitudes 1 Op welke momenten besteed je gericht aandacht aan het evalueren van vaardigheden en attitudes? Heb je ervaring met zelfevaluatie door de leerlingen na een toets, na een examen? Zo ja, hoe verloopt dit concreet? Hoe volg je dit verder op? 3 Hoe tracht je leerlingen te motiveren voor wiskunde? Wat zijn mogelijke redenen waarom een leerling gemotiveerd is? Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina 15

16 3.3 Productevaluatie Tot de productevaluatie (summatieve evaluatie) behoren examens (of toetsen over een groter geheel) die vooral worden gebruikt om een oordeel te vellen over de mate waarin een leerling de leerplandoelstellingen beheerst. 1. Voorwaarden en kenmerken voor een kwaliteitsvolle en evenwichtige evaluatie - Validiteit Validiteit is de mate waarin de toets meet wat hij beoogt te meten. Zijn de vragen representatief en relevant m.b.t. de behandelde leerstof? Zijn de vragen representatief en relevant m.b.t. de voorgeschreven leerplandoelstellingen? Is de kans om via raden het juiste antwoord te geven tot een minimum herleid (uitgesloten)? Is er niet te veel ruis bij de vraagstelling zelf? Zijn de vragen voldoende realistisch (authentiek) en betekenisvol? - Betrouwbaarheid Een toets is betrouwbaar als het behaalde resultaat werkelijk weergeeft in welke mate de leerlingen de doelstellingen bereikt hebben. M.a.w. het resultaat mag niet vertekend zijn door factoren, die niets te maken hebben met de te meten prestatie. We onderscheiden twee factoren: externe factoren zijn factoren die niets met de inhoud of de formulering van de vragen te maken hebben zoals té veel vragen, oppervlakkig toezicht waardoor spieken mogelijk wordt, stress, interne factoren zijn factoren die met de inhoud of de formulering te maken hebben zoals bv. onduidelijke vraagstelling, ongewone vraagvormen, eenzijdigheid in de vraagvorm, té veel moeilijke vragen of strikvragen, afhankelijke vragen, - Objectiviteit bij het verbeteren Een toets is objectief verbeterd als verschillende beoordelaars, onafhankelijk van elkaar, tot dezelfde oordelen (scores) komen en als een leraar de toets voor alle leerlingen steeds volgens dezelfde criteria beoordeelt. - Criteriumgerichtheid bij het verbeteren Aan welke criteria moet het antwoord van een vraag voldoen om het maximum te halen? Hoe zwaar worden fouten/onvolledigheden aangerekend? Is de puntenverdeling over de ganse toets in overeenstemming met het belang van de doelstellingen? Waar ligt de cesuur, d.w.z. de grens tussen geslaagd en niet geslaagd? Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina 16

17 . Leidraad voor een vakgroep Voorbereiding op een examen (of toets over een groter geheel) - Laat de leerlingen een structuur maken van de geziene leerstof. - Geef de leerlingen vóór het examen een overzicht van de leerinhouden (kennis, vaardigheden, verwijzingen naar representatieve oefeningen). - Aanvullend bij het oefenen op grotere gehelen in de loop van het schooljaar, zijn vóór het examen herhalingslessen aangewezen. Rangschikking van de vragen Het is aangewezen om de vragen van het examen op te stellen in volgorde van moeilijkheidsgraad i.p.v. in "chronologische" volgorde. Differentiatie Een goed middel om te differentiëren in de vragen is het volgende. Bij één of meer vragen krijgen de leerlingen de keuze tussen een gemakkelijker vraag en een moeilijker vraag. Bij deze laatste zijn meer punten te verdienen. Een andere manier is bij één of meer vragen verschillende keuzes over een bepaalde leerinhoud aan te bieden op hetzelfde aantal punten. Keuze en selectie van de vragen Het is best dat de vragen zoveel mogelijk onafhankelijk zijn. Stapelvragen, d.w.z. vragen waarbij vroegere resultaten gebruikt moeten worden om nieuwe vragen op te lossen, hebben immers als nadeel dat leerlingen vastraken als ze een bepaald onderdeel van de vraag niet kunnen oplossen of fout oplossen. We kunnen dit vermijden door tussenresultaten te geven (bijvoorbeeld toon aan dat... gelijk is aan... i.p.v. bereken...), of één vraag op te delen in twee onafhankelijke deelvragen. Vraagvormen: in een evenwichtige evaluatie treden zowel gesloten als open vragen op Open vragen: de leerling moet zelf het antwoord formuleren, meestal aangevuld met een berekening, uitleg, bewijs of redenering. Open vragen kunnen meer begrensd worden bijvoorbeeld door bijkomende instructies, een tekening, het aangeven van hulpmiddelen, het geven van een tip, e.d. Dit vergemakkelijkt de opdracht en is soms ook een hulp voor de correctie. Soms wordt een toepassingsvraag door deze begrenzing een inzichtvraag. Gesloten vragen: de leerling krijgt vooraf geformuleerde antwoorden die hij moet beoordelen op hun juistheid of die hij moet rangschikken of waaruit hij het juiste antwoord moet kiezen. - Meerkeuzevragen: vraag, indien zinvol, ook naar een (beknopte) verklaring! - Waar-niet waar / juist niet juist / : vraag altijd een verklaring! - Koppel- of sorteervragen Een examen (of toets over een groter geheel) moet representatief zijn op het inhoudelijke vlak, d.w.z. dat de verschillende leerplandoelstellingen op een evenwichtige wijze in de vragen verwerkt moeten zijn. Dit betekent ook dat alle vragen verband moeten hebben met minstens één leerplandoelstelling. De leerinhouden die in een toets (examen) aan bod komen kunnen vermeld worden op het examen (of toets over een groter geheel). Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina 17

18 Een examen (of toets over een groter geheel) moet representatief zijn op het gebied van de vaardigheden, d.w.z. dat de verschillende vaardigheden (rekenvaardigheid, meet- en tekenvaardigheid, wiskundige taalvaardigheid, denk- en redeneervaardigheden, probleemoplossende vaardigheden) in de vragen aan bod moeten komen. Om denk- en redeneervaardigheden en wiskundige taalvaardigheid van de leerlingen te evalueren kunnen de vragen niet beperkt worden tot bereken of werk uit of vul in. Ook een waarom-vraag of verklaar of andere vraagvormen die leerlingen aanzetten tot argumenteren en redeneren en waarbij ze hun gedachten en inzichten onder woorden brengen, moeten in een examen aan bod komen. Om probleemoplossende vaardigheden van leerlingen te evalueren zal het toevoegen van tips, oplossingsschema s, in sommige vragen achterwege moeten blijven. Leerlingen moeten er bv. zelf toe komen dat een tekening of tabel een hulp kan zijn om tot een oplossing te komen, dat het invoeren van onbekenden of notaties noodzakelijk is om te mathematiseren... Een examen (of toets over een groter geheel) moet representatief zijn op het gebied van de verschillende kennisniveaus. Kennis: het zuiver reproduceren van theorie Vb: formuleer de stelling van Pythagoras in woorden (met figuur) Inzicht: het herkennen en begrijpen Vb: Romeo wil met een ladder tot bij het venster van Julia komen. De ladder is 5 meter lang en de onderkant van het venster bevindt zich op een hoogte van 4,54 m. Hoe ver moet hij de ladder van de muur plaatsen? Toepassing In een herkenbare (analoge) situatie: herkennen én begrijpen én bewerken/toepassen In een nieuwe situatie: herkennen én begrijpen én elementen toevoegen door strategieën toe te passen, door onderdelen met elkaar in verband te brengen, door creatief denken Vb: De zijde van het grondvlak van een regelmatige vierzijdige piramide is 6 cm. De hoogte is 8 cm. Bereken de totale oppervlakte. Correctie en analyse van de resultaten - Het is best om de weging van elke vraag op voorhand aan de leerlingen mee te delen. - Het is best om vooraf correctievoorschriften vast te leggen. Door de vragen eerst zelf op te lossen en mogelijke uitwerkingen te noteren kan je eventueel onduidelijkheden in de vraagstelling opsporen en het zelf uitschrijven van de antwoorden geeft ook al een indicatie voor de tijd die leerlingen zullen nodig hebben. - Het is aangewezen om een foutenanalyse te maken. Welk soort fouten worden doorgaans gemaakt bij een bepaalde vraag: rekenfouten? Weetfouten? Denkfouten? Op basis hiervan kan dan een bespreking van de toets of examen met de leerlingen worden uitgewerkt. - Het is ook interessant om de resultaten van de leerlingen op te volgen over de verschillende jaren. Hoe evolueren de uitslagen van de leerlingen bij overgang van naar? - Het is interessant om na te gaan hoe de gemiddelde resultaten van wiskunde zich t.o.v. het algemeen gemiddelde verhouden. Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina 18

19 Feedback - Snelle feedback is belangrijk voor de leraar. Het is bijvoorbeeld belangrijk om na een examen de totaaluitslagen te analyseren (gemiddelde, aantal tekorten, ) en ze te vergelijken met de uitslagen in parallelklassen of met uitslagen van dezelfde leerlingen vorig jaar. - Snelle feedback is belangrijk voor de leerling. Om het leerproces van een leerling effectief te begeleiden is het noodzakelijk dat we leerlingen kansen geven om te leren uit hun fouten. - Het ter beschikking stellen van een correctiesleutel werkt tijdsbesparend maar het is niet altijd voldoende voor een gemiddelde leerling om te achterhalen wat er precies fout was bij zijn aanpak en hoe dit kan voorkomen worden. - Tijdens feedbackmomenten kan de leerkracht de leerlingen laten ervaren dat een wiskundige activiteit voor iedereen een zoekproces is, met volgende componenten: een situatie analyseren, er een wiskundig model voor kiezen en technieken (algoritmen) toepassen, en dan nagaan of je het probleem zo kunt oplossen. Daarom is het best om vragen die kenmerkend zijn voor een onderdeel van het leerproces of vragen waarbij veel dezelfde fouten voorkomen klassikaal te verbeteren. - Bepaalde antwoorden op vragen van toetsen of examens kunnen als leermateriaal in een les worden ingeschakeld (dit hoeft niet in de klas waar de toets werd afgenomen). Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina 19

20 3.4 Kijkwijzer productevaluatie 1. Opstellen van een examen Is er samenwerking bij het opstellen van examens? (gelijkwaardigheid) Hebben leerlingen voldoende tijd? (Aantal vragen? Haalbaarheid?) Zijn de vragen gerangschikt van gemakkelijk naar moeilijk? (Succeservaring) Vermijd stapelvragen. Zijn de aanwezige stapelvragen verantwoord? Voorzie je differentiatie? Worden de leerinhouden vermeld op het examen? Zijn de behandelde leerinhouden en de tijdsbesteding conform het leerplan? Is de puntenverhouding evenredig met de tijdsbesteding conform het leerplan? Staat de weging (puntentotaal) bij de vragen vermeld?. Gebruik van hulpmiddelen Vademecum, formuleblad? Wat wel? Wat niet? (gelijkwaardigheid) Deel zonder ICT? (gelijkwaardigheid) 3. Aandacht voor taalgebruik Zijn de vragen duidelijk? (ondubbelzinnig, gebruikte worden, laat het examen nalezen) Is er voldoende variatie in de vraagstelling? (open en gesloten vragen, ) 4. Is het examen representatief voor de leerstof? Sluiten alle vragen aan bij leerplandoelstellingen? (inhoudelijk) Stel je vragen op verschillende kennisniveaus? (kennis-inzicht-toepassing) Stel je vragen op verschillende beheersingsniveaus? (moeilijkheidsgraad of in de eerste graad E-B-V) Is er een evenwichtige spreiding over de verschillende vaardigheden? 5. Correctie en analyse van de resultaten Leg je vooraf correctievoorschriften vast? Maak je een foutenanalyse van het examen? Op welke manier gebeurt de feedback? Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina 0

21 4 Overzicht leerplandoelstellingen met bijzondere aandacht voor enkele pedagogische wenken - bespreking examenvragen deelnemers per leerstofonderdeel (zie bijlage) A. Functieleer (Richtlijn: 83 lestijden) Klemtonen: vooral op een brede betekenisgeving, de ontwikkeling van wiskundig denken en het oplossen van problemen; minder op het memoriseren van allerlei regels of op het verwerven van (extreme) automatismen in het (manueel) uitvoeren van rekentechnieken. Impact van de grafische rekenmachines en software voor functies: meer mogelijkheden om bepaalde concepten zoals asymptoot, afgeleide, integraal inzichtelijk te verwerken (bijv. meer de voorbeeldmogelijkheden, realistische toepassingen, ) Intensief investeren in het verwerven van het manueel manipuleren van ingewikkelde uitdrukkingen is niet meer zinvol. De zo nagestreefde automatismen zullen in de praktijk maar zelden effectief gebruikt worden. een aantal voorbeelden en situaties manueel verwerken, zodat het inzicht in het verloop van het proces gevrijwaard wordt. Vermits niet de ingewikkelde techniciteit maar het inzicht hier dan prioritair zijn, kan de rekentechnische complexiteit van deze situaties beperkt gehouden worden. problemen met complexere functievoorschriften: gebruik van ICT. 1 GRAFISCH ONDERZOEK (RICHTLIJN: 8 LESTIJDEN) F1 B Met behulp van een grafisch onderzoek vragen beantwoorden i.v.m. probleemsituaties waarvan het functioneel verband gegeven is of de functionele verbanden gegeven zijn. F B Van de grafiek van een functie een nulpunt, het tekenverloop, de symmetrie, het stijgen, dalen of constant blijven binnen een interval, een extremum aflezen (als ze voorkomen). F3 U Met behulp van de grafiek het asymptotisch gedrag van een functie onderzoeken en dat illustreren met een tabel van functiewaarden. F4 B 3 Het verband bespreken tussen de functies f(x) = x en g(x) x, f(x) = x en 3 3 n n g(x) = x en naar analogie tussen de functies f(x) = x en g(x) x. PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN een visuele benadering van functies vanuit grafieken is aangewezen. Een functievoorschrift dat voortvloeit uit vraagstukken, contexten of probleemsituaties wordt in deze fase gegeven en nog niet door de leerlingen opgesteld. Het gegeven functievoorschrift wordt omgezet in een grafiek d.m.v. ICT. Met behulp van de grafiek (al of niet met ondersteuning van ICT) worden vragen i.v.m. de gegeven situatie beantwoord. (aandacht voor kijkvenster, concrete begrenzing, ) Aandacht voor het vergelijken van grafieken, m.n. het opzoeken van gemeenschappelijke punten en de onderlinge ligging (cf. verband met gelijkheden, stelsels, ongelijkheden). Het vergelijken van de ligging van grafieken kan leiden tot het onderzoeken van symmetrisch liggende grafieken of delen ervan. (ook: link met begrip inverse functie). Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina

22 VEELTERMFUNCTIES (RICHTLIJN: 45 LESTIJDEN) INLEIDING (ca. 5 lestijden) F5 B Eenvoudige concrete situaties omzetten in een voorschrift. F6 B In concrete situaties - de nulpunten van een veeltermfunctie bepalen; - de snijpunten van de grafiek van twee veeltermfuncties bepalen; - ongelijkheden oplossen PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN aandacht voor een aantal basistechnieken (o.a. reststelling, euclidische deling, ) om algebraïsche (reken-)problemen op te lossen. Het gebruik van ICT is aan te bevelen als het algebraïsch rekenen niet tot een snelle oplossing leidt. AFGELEIDEN (ca. 5 lestijden) F7 B Gemiddelde veranderingen over een interval beschrijven en vergelijken met behulp van differentiequotiënten. F8 B Met behulp van een intuïtief begrip van limiet het verband leggen tussen het begrip afgeleide, het begrip differentiequotiënt en de richting van de raaklijn aan de grafiek. F9 B De afgeleide herkennen in situaties binnen en buiten de wiskunde, o.m. de afgeleide in een punt gebruiken als maat voor een ogenblikkelijke verandering. F10 B De afgeleide berekenen van de functies f(x) = x, uitdrukking veralgemenen naar functies f(x) = x, 3 f(x) = x en de bekomen n f(x) = x, waarbij n een natuurlijk getal is. F11 B De som- en veelvoudregel toepassen om de afgeleide functie te bepalen van een veeltermfunctie. F1 U De afgeleide van een product van veeltermfuncties berekenen. F13 U De afgeleide van een macht van een veeltermfunctie berekenen. F14 B De raaklijn construeren aan de grafiek van een functie in een punt van die kromme. F15 B De betekenis van de afgeleide functie gebruiken om te bepalen - in welke intervallen een functie stijgt of daalt; - voor welke waarde(n) een functie een extremum bereikt. F16 B Problemen oplossen waarbij het begrip afgeleide gebruikt wordt. 0 F17 U De betekenis van de tweede afgeleide functie gebruiken om te bepalen - in welke intervallen de grafiek van een functie hol of bol is; - voor welke waarde(n) de grafiek van een functie een buigpunt heeft. PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN De voornaamste doelstellingen bij de studie van het begrip afgeleide bij veeltermfuncties zijn - een betekenisvolle ontwikkeling van het begrip nastreven; - dit begrip gebruiken bij de studie van het verloop van de functie en in het bijzonder van de grafiek; - en het toepassen om in een probleemstelling bijzondere waarden en veranderingen te onderzoeken Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina

23 De leerlingen moeten de afgeleide functie van een veeltermfunctie manueel kunnen berekenen door de hierboven genoemde regels te gebruiken. Het berekenen van de afgeleide functie van een veeltermfunctie is zo eenvoudig dat het gebruik van ICT hierbij overbodig is. Bij het onderzoeken van het verloop van functies kan ook aandacht besteed worden aan alternatieve vraagstellingen, zoals - het selecteren uit een aantal gegeven grafieken van deze die passend is bij een gegeven afgeleide functie; - de grafiek schetsen van de afgeleide functie bij een gegeven grafiek; - de grafiek van een functie (of mogelijkheden daarbij) schetsen bij de gegeven grafiek van de afgeleide functie; - het bepalen van het tekenverloop van de eerste afgeleide functie als de grafiek van de functie gegeven is. INTEGRALEN (ca. 15 lestijden) F18 B Een primitieve functie bepalen van een veeltermfunctie. F19 U De integraal van functies van de vorm n f(x) = (ax + b) berekenen. F0 B Het verband uitleggen tussen het begrip bepaalde integraal van een functie en oppervlakten van gebieden bepaald door die functie en de horizontale as. F1 B Het verband illustreren tussen het berekenen van een bepaalde integraal van een functie en de primitieve functie van de gegeven functie. F B Vraagstukken oplossen waarbij het bepalen van de oppervlakte van een gebied kan herleid worden tot het begrip integraal. PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN De voornaamste doelstellingen bij de studie van het integraalbegrip bij veeltermfuncties zijn - een betekenisvolle ontwikkeling van de begrippen bepaalde en onbepaalde integraal, - een begrijpen van het verband tussen beide begrippen; - en het toepassen van de begrippen in vraagstukken. Voor de aanbreng van het integraalbegrip kan men uitgaan van twee mogelijke vragen: - hoe ziet een functie eruit waarvan we de afgeleide functie kennen, - of bereken de oppervlakte van een bepaald gebied afgebakend door (een) functie(s). Om het begrip bepaalde integraal van een functie te ontwikkelen moet men alleszins het verband leggen met oppervlakten bepaald door de functie. Men kan bepaalde integralen van bij de aanvang laten berekenen door het gebruik van de rekenmachine of software. Het biedt het voordeel om snel aan toepassingen te kunnen werken, waarbij het integraalbegrip in zijn volle betekenis aan bod komt. Men kan in enkele concrete voorbeelden de oppervlakte van een dergelijk gebied effectief berekenen. Daarbij kan men zich beperken tot een gebied onder de grafiek van een positieve gedeelte van een veeltermfunctie. De oppervlakte wordt benaderd door de som van de oppervlakten van een aantal rechthoekjes. Deze oppervlakte kan onbeperkt dicht benaderd worden door het aantal rechthoekjes te verhogen. (Gebruikmaken van software!) Alleszins moet men beseffen dat dergelijke berekeningswijze door de leerlingen zelf niet moet kunnen uitgevoerd worden. Het gaat hem dus om het begrijpen van het concept of werkwijze en het plausibel maken ervan. Oppervlakte tussen een kromme en de x-as: aandacht voor nulpunten binnen het integratie-interval. Oppervlakte tussen twee krommen: aandacht voor snijpunten binnen het integratie-interval. Mogelijke toepassing: berekenen van inhouden van omwentelingslichamen. Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina 3

24 3 EXPONENTIELE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES (RICHTLIJN: 15 LESTIJDEN) F3 B De uitdrukking a b, met a > 0 en b rationaal definiëren. 1 F4 B Exponentiële groeiprocessen onderzoeken door middel van grafieken en tabellen. 4 5 F5 B De vergelijking uitleggen tussen een lineair groeiproces en een exponentieel groeiproces. F6 B De grafiek van de functie f(x) = p.a x tekenen en domein, bereik, bijzondere waarden, stijgen en dalen en asymptotisch gedrag aflezen. F7 B Het begrip a logb definiëren F8 B Basiseigenschappen van bewerkingen met logaritmen formuleren. F9 B Concrete problemen in verband met exponentiële groei oplossen met betrekking tot beginwaarde, groeifactor en groeipercentage. F30 B Het verband onderzoeken tussen de functies van grafieken en tabellen. x f(x) = a en a f(x) = logx door middel F31 B a De grafiek van de functie f(x) = logx tekenen en domein, bereik, bijzondere waarden, stijgen en dalen en asymptotisch gedrag aflezen PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN De voornaamste doelstellingen bij de studie van exponentiële functies zijn - een betekenisvolle ontwikkeling nastreven van begrippen zoals exponentiële groei, macht, logaritme; - de exponentiële functies gebruiken als model voor de beschrijving van groeiprocessen; - en het toepassen van de verkregen kennis bij problemen in verband met groeiprocessen. Het machtsbegrip wordt uitgebreid: zo bondig mogelijk en functioneel zonder uitgebreide behandeling van n-de machtswortels. Rekenregels voor machten met gehele exponenten kunnen aanvaard worden voor machten met rationale exponenten. Het aantal oefeningen i.v.m. deze regels wordt beperkt gehouden. f(x) Het begrip logaritme wordt ingevoerd voor het oplossen de vergelijking a = b. Men zal echter niet nalaten te tonen dat sommige van deze vergelijkingen op te lossen zijn door te steunen op het begrip exponent zelf. Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina 4

25 4 GONIOMETRISCHE FUNCTIES (RICHTLIJN: 15 LESTIJDEN) F3 B Het maatgetal van een hoek omzetten van zestigdelige graden in radialen en omgekeerd. F33 B De verbanden tussen de goniometrische getallen van verwante hoeken formuleren en verklaren. F34 U Som- en verschilformules en de formules van Simpson hanteren met een formularium. F35 B De grafiek tekenen van de functie f(x) = sinx op basis van de goniometrische cirkel. 7 F36 B Voor de functie f(x) = sinx domein, bereik, periodiciteit, extrema en stijgen en dalen aflezen van de grafiek. F37 B Vergelijkingen oplossen van de vorm sinx = k met behulp van de grafiek van de functie en van de goniometrische cirkel. F38 B Uitgaande van de grafiek van f(x) = sinx de grafiek van de functies met voorschrift k.sinx, sin(k.x), sin(x+k) en sinx + k opbouwen en de coëfficiënt interpreteren. F39 B Bij een grafiek van een sinusfunctie het voorschrift bepalen. F40 B Indien mogelijk een goniometrische functie gebruiken als model voor een periodieke verschijnsel. F41 B Vergelijkingen van de vorm sin(ax + b) = c oplossen en grafisch interpreteren. PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN De voornaamste doelstellingen bij de studie van goniometrische functies zijn - een betekenisvolle ontwikkeling nastreven van begrippen zoals goniometrisch getal (sinus, cosinus), periodiciteit, amplitude, periode, faseverschuiving; - de goniometrische functies gebruiken als model voor de beschrijving van periodieke verschijnselen; - en het toepassen van de verkregen kennis bij problemen. Het is aan te raden de grafiek van f(x) = sinx ook manueel te tekenen. De leerlingen ervaren hierdoor dat men voldoende punten moet plaatsen om een zo nauwkeurig mogelijke grafiek te bekomen. Controle kan gebeuren d.m.v. ICT. Het oplossen van goniometrische vergelijkingen wordt beperkt tot het oplossen van basisvormen zoals sinx = c, sinx = sina, sin(ax+b) = sina. Het is aangewezen de vergelijkingen eerst op te lossen in een bepaalde periode. Daarna kan de oplossing ruimer geïnterpreteerd worden. De grafieken van de bijbehorende functies kunnen als hulpmiddel dienst doen. De grafische oplossing zal de interpretatie van een berekend resultaat merkelijk vereenvoudigen. Het gebruik van ICT is hierbij aanbevolen. UITBREIDING Voor het gebruik van de formules in toepassingen kunnen de leerlingen best gebruik maken van een formularium (zie algemene doelstellingen over vaardigheden, o.m. leervaardigheden). Van een beperkt aantal formules kan afgesproken worden dat ze gememoriseerd worden. Gezien de verschuiving van klemtonen naar een meer toepassingsgerichte opvatting van goniometrische functies zal minder aandacht besteed worden aan het aantonen van goniometrische identiteiten Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina 5

26 B. Statistiek (Richtlijn: 0 lestijden) BEGINSITUATIE De volgende leerinhouden in verband met (beschrijvende) statistiek werden behandeld in de tweede graad. - Het verwerken, voorstellen en interpreteren van statistische gegevens. - Centrum- en spreidingsmaten als parameters om gegevens samen te vatten. S1 B Statistische gegevens, centrum- en spreidingsmaten en grafische voorstellingen van statistische gegevens interpreteren. S B Aan de hand van concrete voorbeelden aangeven dat men enkel op basis van aselecte steekproeven uitspraken kan doen over de ganse populatie en dat bij elk statistisch experiment toeval een rol speelt. S3 B In betekenisvolle situaties gebruik maken van een normale verdeling als continu model bij data met een klokvormige frequentieverdeling en het gemiddelde en de standaardafwijking van de gegeven data gebruiken als schatting voor het gemiddelde en de standaardafwijking van deze normale verdeling. S4 B Het gemiddelde en de standaardafwijking van een normale verdeling grafisch interpreteren en grafisch het verband leggen tussen een normale verdeling en de standaardnormale verdeling. S5 B Bij een normale verdeling de relatieve frequentie interpreteren van een verzameling gegevens met waarden - tussen twee gegeven grenzen, - groter dan een gegeven grens, - of kleiner dan een gegeven grens, als de oppervlakte van een gepast gebied. S6 U Bij de normale verdeling de oppervlakte onder de kromme over een bepaald interval interpreteren als kans dat die gegevenswaarden zich zullen voordoen PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN De voornaamste doelstellingen bij de studie van dit onderdeel statistiek is dat - de leerlingen statistische voorstellingen en gegevens kritisch leren lezen en interpreteren - de leerlingen kennismaken met het samenvatten (modelleren) van statistische gegevens in een functie aan de hand van de normale verdeling - en bij normaal-verdeelde gegevens met de grafiek van de normale verdeling kunnen werken om statistische problemen op te lossen. Leerinhouden van tweede graad worden verder uitgediept (zie beginsituatie): aandacht voor het belang van de vorm van een grafische voorstelling (symmetrisch, niet-symmetrisch, ) en voor eventuele extreme meetwaarden, die een grote invloed kunnen hebben op het gemiddelde en de standaardafwijking. Aandacht voor representativiteit van een steekproef en voor steekproefvariabiliteit. De overgang van een histogram naar een dichtheidsfunctie kan intuïtief gebeuren door over te gaan op relatieve frequenties per eenheid (de relatieve frequentie gedeeld door de breedte van elk interval) en een vloeiende kromme te tekenen door het histogram. Zo kan de normale verdeling ingevoerd worden als model voor de klokvormige frequentieverdeling. De precieze kennis van het functievoorschrift van een algemene normaalverdeling is hier niet nodig. Leerplanstudie leerplan c derde graad aso februari 015 Pagina 6