Eindige. Automaten. zie dictaat ch.12 Languages, Automata, Grammars 12.5 finite state automata

Transcriptie

1 Eindige 2 Automaten zie dictaat ch.2 Languages, Automata, Grammars 2.5 finite state automata

2 toestands-actie-diagrammen Eindige automaten zijn zgn. toestandsactie- diagrammen. Vanuit een toestand raak je via een actie in een andere toestand. eindig omdat er slechts eindig veel mogelijke toestanden en acties zijn. De diagrammen zijn handig om systemen te analyseren. We formaliseren het gedrag van een systeem als de bijbehorende taal van actie-reeksen. Eerst voorbeelden. 2

3 voorbeelden de state-transition diagrams van DiTe zijn technisch anders maar hebben een gelijke onderliggende filosofie. een plaatje en procedure uit een netwerken boek, om te kunnen analyseren of een algoritme dat tussen twee computers nooit stopt, bijvoorbeeld doordat ze op elkaar staan te wachten. bij Algoritmiek kun je problemen modelleren door de mogelijke toestanden te inventariseren. het testen van een stukje software door uit de beschrijving de toestanden te abstraheren, en vervolgens vreemd gedrag te constateren. syntax-diagrammen voor stukjes programmeertaal hebben ook toestanden en overgangen. 3

4 4 digitale technieken (Stefanov)

5 const MaxSeq = ; type EvType = (FrameArrival, CksumErr, TimeOut ); Computer Networks procedure sender3; var NextFrameToSend : SequenceNr; s : frame; buffer : message; event : EvType; begin NextFrameToSeend := ; FromHost( buffer ); repeat s.info := buffer; s.seq := NextFrameToSend; sendf( s ); StartTimer( s.seq ); wait( event ); if event = FrameArrival then begin FromHost( buffer ); inc( NextframeToSend ); end until doomsday end; { sender3 } 5 - A - - A - toestanden & acties

6 kool, geit, wolf *kgw+ kgw+ kw+g kw+g* kw+g w+kg *kw+g w+kg* gw+k k+wg k+wg* *gw+k kg+w g+kw *kg+w g+kw* g+kw +kgw *g+kw +kgw* 6

7 LOGIC BOAT *kgw+ kw+g* *kw+g w+kg* k+wg* *gw+k *kg+w g+kw* *g+kw +kgw* 7

8 Propositiones ad Acuendos Juvenes Alcuinus van York (York ~735 - Tours 84) XVIII. PROPOSITIO DE HOMINE ET CAPRA ET LVPO. Homo quidam debebat ultra fluuium transferre lupum, capram, et fasciculum cauli. Et non potuit aliam nauem inuenire, nisi quae duos tantum ex ipsis ferre ualebat. Praeceptum itaque ei fuerat, ut omnia haec ultra illaesa omnino transferret. Dicat, qui potest, quomodo eis illaesis transire potuit? Solutio Simili namque tenore ducerem prius capram et dimitterem foris lupum et caulum. Tum deinde uenirem, lupumque transferrem: lupoque foris misso capram naui receptam ultra reducerem; capramque foris missam caulum transueherem ultra; atque iterum remigassem, capramque assumptam ultra duxissem. Sicque faciendo facta erit remigatio salubris, absque uoragine lacerationis. 8

9 beschrijving harry_robinson_testing/ shoestring.doc 9

10 The Incredible Shrinking Clock Bug gedrag nagaan Start Maximize Stop Start Minimize Stop Start Restore Stop

11 nog een web-voorbeeld laatste 3 bits finite State Machine Word Problems Reset S / S / S2 / S3 / S4 / S5 / S6 /, {, } State Diagram Outputs Loops in State Chapter #8: Finite State Machine Design Contemporary Logic Design Randy H. Katz University of California, Berkeley June 993

12 getal syntax diagram + - cijf cijf e + - cijf +,,,9,,,9,,,9 e {+,-, } {,,,9} + ({ } { } {,,,9} + ) ({ } {e} {+,-, } {,,,9} + ) 2 Programmeermethoden

13 modelleren modelleren ontwerpen gedrag bestuderen fouten vinden correct bewijzen 3

14 gerichte graaf knopen ~ toestanden pijlen met labels ~ acties begin- en eindtoestanden eindige automaat up up 2 dn dn 4

15 een eindige automaat is een vijf-tupel A = (Q,,E,q in,f) waarbij Q een eindige verzameling toestanden een alfabet E Q Q verzameling takken q in Q de begintoestand F Q de eindtoestanden definitie up dn up 2 dn Q = {,,2 } = { up,dn } E = { (,up,), (,up,2), (2,dn,), (,dn,) } q in = F = { 2 } 5

16 gedrag A = (Q,,E,q in,f) wandeling : afwisselend knopen (toestanden) en pijlen (takken) p (p,a,p ) p (p,a 2,p 2 ) p n- (p n-,a n,p n ) p n met label a a 2 a n up up up dn dn up 2 2 dn dn 6

17 gedrag: taal A = (Q,,E,q in,f) eindige automaat de taal van A, genoteerd L(A), is { x * x is een label van een wandeling van q in naar een toestand in F } up up up dn dn up 2 2 up dn up up 2 dn dn up dn dn up?? 7

18 gedrag: taal A = (Q,,E,q in,f) eindige automaat de taal van A, genoteerd L(A), is { x * x is een label van een wandeling van q in naar een toestand in F } up up up dn dn up 2 2 up dn up up 2 dn dn up dn dn up?? 8

19 suffix algoritmisch vs. beschrijvend A B C D E algoritme A B C D E 9, beschrijving

20 Over het opstellen van automaten: Dite The first thing you have to figure out is precisely how the use of state will help you to solve the given problem. This is usually the most difficult step. Why? There is not a formal procedure how to derive a state table or state diagram from a problem specification such as the one we have here. In Step you have to relay on your knowledge and design experience. Currently, Step is more an art than a science! 2 NB. Voor het opstellen van automaten die specifieke patronen herkennen is er wél een algoritme. (FI2: constructie NFA DFA, DATASTR: algoritme Knut-Morris-Pratt.)

21 > on the fly algoritme > steeds van bewandeld prefix weten of dat zèlf tot de taal behoort > geen keuze & niet vastlopen algoritmisch definitie een eindige automaat A = (Q,,E,q in,f) heet deterministisch als voor elke toestand p Q en elke letter a er precies één tak (p,a,q) E is. A B C D E 2,

22 enige voorbeelden talen over {,} ) aantal -en is een drievoud 2) {,, } * tentamen fi2 x {,} * val(x) N waarde als binair getal val() = 3 3) val(x) is een drievoud zie dictaat fi 22

23 aantal -en is een drievoud 23 ik maak die automaten liever op het bord; hier de antwoorden voor wie thuis meeleest.

24 {,, }* niet deterministisch 24

25 {,, }* g, deterministisch inclusief garbage toestand 25

26 val(x) is een drievoud toestand na lezen van x {,}* v=val(x) N modulo 3 recept x x x x (input) string {,}* v 2v 2 2 v 2v+ 2 2 waarde N waarde (mod 3) toestand 26

27 val(x) is een drievoud toestand na lezen van x val(x) modulo 3 uitgewerkt 2 27

28 toestand eigenschap woord correctheid S / S / S2 / S4 / S5 / woorden w 3 : state suffix s niet s2. niet s3 niet s4. niet s5 niet s6 () wél 28 S3 / {, } S6 /, inductiestap w w w state s5 s6 s2 suffix subwrd niet wel niet

29 correctheid formuleer een invariant een relatie tussen (eigenschappen van) woord en bereikte toestand in automaat bewijs dat die relatie behouden blijft S5 S6 w w state suffix s5 niet s6 () wél inductie 29

30 eindige automaat A = (Q,,E,q in,f) E Q Q éénstapsrelatie E* Q * Q meerstapsrelatie meerstapsrelatie basis (p,,p) E* voor elke p Q. inductiestap als (p,w,q) E* en (q,a,r) E dan (p,wa,r) E* up up dn 2 dn up dn dn up 2 E E* (,,) (,up,2) (,up,2) (2,dn,) (,up dn,) (,dn,) (,up dn dn,) (,up,) (,up dn dn up,) 3

31 basis (p,,p) E* voor elke p Q. inductiestap als (p,w,q) E* en (q,a,r) E dan (p,wa,r) E* lemma takken rijgen (p,w,q) E* precies als er een wandeling bestaat van p naar q met label w. up up dn 2 dn up dn dn up 2 E E* (,,) (,up,2) (,up,2) (2,dn,) (,up dn,) (,dn,) (,up dn dn,) (,up,) (,up dn dn up,) 3

32 gedrag: taal { x * x is een label van een wandeling van q in naar een toestand in F } A = (Q,,E,q in,f) eindige automaat de taal van A, genoteerd L(A), is { x * (q in,x,q) E* voor een toestand q in F } q δ(q in,x) 32

33 representeerbare talen een taal K heet representeerbaar als er een eindige automaat is met L(A) = K voorbeelden: - even aantal -en - {,,}* - suffix - x met val(x) drievoud 33

34 representeerbare talen een taal K heet representeerbaar als er een eindige automaat is met L(A) = K eindig veel toestanden niet elke taal stelling K = { a n b n n } is niet representeerbaar stel wél N toestanden a a a b b b 34 N takken: hier een toestand dubbel

35 Regular Expressions to Finite Automata compilers (generating a lexical scanner) deterministisch Regular expressions Lexical Specification NFA DFA Table-driven Implementation of DFA state = S // S is start state repeat { k = next character if (k == EOF) // end input if (state is a final) then accept else reject state = T[state,k] if (state = empty) then reject // got stuck } 35

36 bekende familie stelling dezelfde familie van talen wordt gedefinieerd door reguliere expressies * regulier eindige automaten representeerbaar deterministische eindige automaten logische expressies MSO equivalentie op strings Myhill-Nerode NFA Regular expressions DFA 36 zie FI2 formele talen

37 chomsky hierarchie automaten eindige stapel lineair begrensd Turing machine taalfamilies regulier context-vrij context-gevoelig recursief recursief opsombaar grammatica s rechtslineair context-vrij context-gevoelig type 37 zie FI2 FI3 compilers, complexiteit

38 { a n b n c n n } Turing machine 38 # a a a a a b b b b b c c c c c # tape. mark a 2. move to b s mark b 3. move to c s mark c 4. if another c 5. then back to a s goto. else back to a s 6. check marks stop 2 a/a,r a/a,r b/b,r 3 ok b/b,r c/c,r a/a,r b/b,r c/c,r a/a,l c/c,l b/b,l b/b,l a/a,l #/#,L c/c,l b/b,l

39 39 end...

40 oefen! 4