Ten aanzien van de momenten waarop de koper van een optie zijn recht kan uitoefenen zijn er drie mogelijkheden:

Transcriptie

1 Hoofdstuk 6 Opties Opties zijn instrumenten waarbij sprake is van een eenzijdige verplichting van de ene contractpartij en daartegenover een eenzijdig recht van de andere contractpartij. Het recht in een optiecontract kan inhouden om op een bepaald moment in de toekomst of gedurende een bepaalde periode een bepaalde financiële waarde te kopen/leveren een verschil te verrekenen tussen een rente of koers die in het contract is afgesloten en de werkelijke rente of koers op een bepaald toekomstig moment een bepaalde transactie aan te gaan tegen een vooraf vastgestelde prijs of vastgesteld rentetarief Wanneer geen sprake is van nadere bepalingen wordt gesproken van een plain vanilla optie. Naast plain vanilla opties bestaat echter een heel scala aan optievarianten. Degene die uit hoofde van een optie het recht krijgt, kan dit recht gebruiken om zich in te dekken tegen ongunstige koersbewegingen waarbij hij kan meeprofiteren van gunstige koersbewegingen. Ook kan hij het recht gebruiken om te speculeren op bepaalde koersbewegingen zonder bloot te staan aan eventuele negatieve koersbewegingen. De houder van het recht kan dus alleen maar winnen. Om in deze comfortabele positie te raken, moet hij echter wel een prijs betalen: de optiepremie. 139

2 gids naar het aci dealing certificate 6.1 Optiejargon De vooraf vastgestelde koers of renteniveau in een optiecontract wordt de uitoefenprijs of strikeprijs (strike) genoemd. Degene die het recht krijgt, is de koper van de optie; degene die het recht verleent, is de verkoper. Het verkopen van opties wordt ook wel schrijven (writing) genoemd. De koper betaalt voor verwerving van het recht tot koop, verkoop of verrekening een prijs aan de verkoper: de optiepremie. Een recht tot koop of tot ontvangst van een geldbedrag als de marktprijs hoger is dan de strikeprijs, wordt calloptie genoemd. Een recht tot verkoop of tot ontvangst van een geldbedrag als de marktprijs lager is dan de strikeprijs, wordt putoptie genoemd. De afloopdatum van een optiecontract wordt expiratiedatum genoemd. Ten aanzien van de momenten waarop de koper van een optie zijn recht kan uitoefenen zijn er drie mogelijkheden: Europese stijl opties: de koper mag het recht uitsluitend op de expiratiedatum uitoefenen. Dit geldt voor otc opties Amerikaanse stijl opties: de koper mag het recht op elk moment gedurende de looptijd uitoefenen. Dit geldt voor alle beursopties Bermudan opties: de koper mag het recht uitsluitend op vooraf vastgestelde momenten gedurende de looptijd uitoefenen asian option Een Asian option of average rate optie (ARO) is een optie met cash settlement waarbij in plaats van de koers van de onderliggende waarde op de vervaldag (eindwaarde) een gemiddelde van koersen wordt bepaald en wordt vergeleken met de strikeprijs. Het gemiddelde wordt berekend op basis van een aantal fixings op vooraf vastgestelde tijdstippen. Door de middeling hebben Asian opties een lager rendementsperspectief dan plain vanilla opties en zijn zij goedkoper. barrier options Een barrier optie is een optie die uitsluitend bestaat als aan een bepaalde voorwaarde is voldaan. Deze voorwaarde is meestal het al dan niet bereiken van een bepaald koersniveau van de onderliggende waarde gedurende de looptijd van de optie. Een barrier optie is afgeleid van een plain vanilla optie. De plain vanilla optie is in feite de onderliggende waarde van de barrier optie. De voorwaarde die in een barrier optie is opgenomen bepaalt of de onderliggende plain vanilla optie wel of niet bestaat. Het prijsniveau dat bepalend is voor het al dan niet bestaan van de onderliggende optie wordt trigger genoemd. De trigger is meestal een koersniveau van de on- 140

3 opties derliggende waarde van de plain vanilla optie, maar kan ook gebaseerd zijn op een koersniveau van een andere financiële waarde. Verder kan de barrier zowel hoger als lager liggen dan de strike van de onderliggende optie. De premie van een barrier optie is lager dan die van een plain vanilla optie met eenzelfde strike en looptijd. Dat komt omdat de kans dat een barrier optie uitkeert per definitie kleiner is dan de kans dat een plain vanilla optie uitkeert. Er zijn twee varianten van barrier opties: knock-out opties en knock-in opties. Een knock-out optie is een optie waarbij de onderliggende plain vanilla optie bestaat zolang de trigger niet bereikt is. Zodra dit niveau (outstrike) wel wordt bereikt bestaat de onderliggende optie niet meer. Een knock-in optie is een optie waarbij de onderliggende plain vanilla optie pas gaat bestaan als de trigger wordt bereikt. Triggers kunnen gedurende de gehele looptijd van het contract van kracht zijn, uitsluitend gedurende een bepaald deel van de looptijd, de window, of uitsluitend op de expiratiedatum. Het trigger niveau van een gewone knock-in calloptie is hoger dan de strike, het trigger niveau van een gewone knock-in putoptie is lager dan de strike. Bij een reverse knock-in calloptie is de trigger lager dan de strike en bij een reverse knock-out optie is de trigger hoger dan de strike. digital option Een Europese stijl digital (binaire) optie is een optie die wanneer hij expireert een vast bedrag uitkeert als hij in-the-money is en anders waardeloos afloopt. voorbeeld Een Europese stijl digital calloptie heeft een strike van EUR 50 en een vast settlementbedrag van EUR 4 als de optie op de expiratiedatum in-the-money is. Als de koers op de expiratiedatum bijvoorbeeld EUR 38 is, ontvangt de koper niets. Als de koers op de expiratiedatum EUR 50 is of hoger, ontvangt de koper het vaste settlementbedrag van EUR 4 Bij de Amerikaanse stijl digital optie wordt een vast bedrag uitgekeerd wanneer de onderliggende waarde gedurende een periode een bepaald niveau raakt of dit niveau juist niet raakt. De koers van de onderliggende op de expiratiedatum is hier niet van belang. 141

4 gids naar het aci dealing certificate Varianten van een Amerikaanse stijl digital opties zijn de double one touch en de double no touch opties. De double one touch optie is een optie die een vast bedrag uitkeert wanner de onderliggende waarde gedurende de looptijd een ondergrens of een bovengrens raakt of passeert. Een double no-touch keert juist uit wanneer de onder- noch de bovengrens wordt geraakt. 6.2 De optiepremie De optiepremie moet betaald worden aan het begin van de looptijd. De premie van otc opties wordt meestal uitgedrukt als een aantal punten van een koers, als een percentage van de onderliggende waarde of als een te betalen bedrag in de onderliggende waarde of in een andere valuta. Net als de prijs van elk ander product dat op de financiële markten wordt verhandeld, wordt de optiepremie bepaald door vraag en aanbod. voorbeeld Een cliënt wil een over the counter GBP call / USD put optie kopen. De premie is uitgedrukt in punten van de koersnotering: 500 punten (= USD ). De omvang van het optiecontract is GBP 2,000,000. De premie voor deze optie bedraagt 2,000,000 x USD = USD 100, Intrinsieke waarde en verwachtingswaarde De optiepremie bestaat uit twee delen, de intrinsieke waarde en de tijds- of verwachtingswaarde. De intrinsieke waarde van een optie is het positieve verschil tussen de marktkoers van de onderliggende waarde en de uitoefenprijs, bezien vanuit het standpunt van de koper. Een calloptie heeft intrinsieke waarde wanneer de koers van de onderliggende waarde hoger is dan de uitoefenprijs. Als de koers van de onderliggende waarde verder stijgt boven de uitoefenprijs, neemt de intrinsieke waarde rechtevenredig toe; dat wil zeggen dat voor elke eenheid koersstijging de intrinsieke waarde met één eenheid toeneemt. In de onderstaande tabel wordt de intrinsieke waarde weergegeven van een EUR call / USD put optie met een strike van EUR/USD

5 opties spot rate eur/usd intrinsic value (usd) Een putoptie heeft intrinsieke waarde wanneer de koers van de onderliggende waarde lager is dan de uitoefenprijs. Hier geldt dat door een daling van de koers met één eenheid de intrinsieke waarde met één US-dollar stijgt. Als de koers gelijk is aan de uitoefenprijs of daarboven ligt, is de intrinsieke waarde van een putoptie nul. In de onderstaande tabel wordt de intrinsieke waarde weergegeven van een GBP put / USD call optie met een strike van GBP /USD spot rate gbp/usd intrinsic value (usd) De optiepremie altijd groter of gelijk aan de intrinsieke waarde. Het verschil tussen tussen de totale optiepremie en de intrinsieke waarde wordt tijd- en verwachtingwaarde genoemd (time and expectations value). De koper is bereid de tijds- en verwachtingswaarde te betalen omdat er een kans is dat de optie gedurende de looptijd in waarde stijgt. De optiepremie is de som van de intrinsieke waarde en de verwachtingswaarde: Optiepremie = Intrinsieke waarde + Verwachtingswaarde Als de optiepremie van de bovenstaande GBP put / USD call optie was, was de verwachtingswaarde van deze opties bij uiteenlopende GBP/USD koersen als volgt: 143

6 gids naar het aci dealing certificate spot rate premium intrinsic value time value gbp/usd 1,1900 0,0600 0,0300 0,0300 1,2000 0,0600 0,0200 0,0400 1,2100 0,0600 0,0100 0,0500 1,2200 0, ,0600 1,2300 0, ,0600 1,2300 0, ,0600 In de tabel is te zien dat wanneer een optie geen intrinsieke waarde heeft, de gehele optiepremie uit verwachtingswaarde bestaat Call put parity De verwachtingswaarde van een calloptie en een putoptie met een gelijke looptijd en een gelijke strike is altijd aan elkaar gelijk. Hiervan uitgaande kan de premie van een call worden afgeleid uit de premie van een put en omgekeerd. voorbeeld De premie van een EUR call /USD put met een strike van EUR/USD is De huidige EUR/USD koers is De intrinsieke waarde van deze calloptie is = en de verwachtingswaarde van deze calloptie is dus De verwachtingswaarde van een putoptie met een gelijke looptijd en eveneens een strike van is dus ook Deze putoptie is out of the money en dus is de intrinsieke waarde gelijk aan nul. De premie voor deze putoptie is dus gelijk aan de verwachtingswaarde en bedraagt: Optiepremies voor callopties en putopties die beide een strike hebben gelijk aan de huidige koers van de onderliggende waarde en tevens een gelijke looptijd hebben, zijn aan elkaar gelijk. Beide opties hebben immers geen intrinsieke waarde en uitsluitend verwachtingswaarde. Het feit dat de optiepremies in dit geval gelijk zijn wordt call put parity genoemd. 144

7 opties In the money, out of the money en at the money Een optie wordt in-the-money genoemd als hij intrinsieke waarde heeft, afgekort itm. Als een optie een hoge intrinsieke waarde heeft, spreekt men van een deep-inthe-money -optie. Als de koers van de onderliggende waarde (nagenoeg) gelijk is aan de uitoefenprijs, wordt de optie at-the-money genoemd, afgekort atm. Bij valuta-optes worden de termen atm spot en atm forward gebruikt. Bij een atm spot optie is de strike van de optie gelijk aan de huidige spot rate. Bij een atm forward optie is de strike van de optie gelijk aan de forward rate die hoort bij de onderliggende looptijd van de optie. Als de marktkoers van de onderliggende waarde lager is dan de uitoefenprijs in geval van een calloptie en hoger dan de uitoefenprijs in geval van een putoptie, is de optie out-of-the-money, afgekort otm. Net als bij een at-the-money optie is de intrinsieke waarde nul Delta, gamma, theta, rho en vega / de Grieken De hoogte van de optiepremie wordt bepaald door verschillende factoren. Deze factoren kunnen elkaar wederzijds beïnvloeden. Een van de factoren bestaat uit de toekomstige mogelijke koersontwikkelingen van de onderliggende waarde. Deze wordt ingeschat op basis van een stochastische kansverdeling. Voor de berekening van optiepremies zijn dan ook ingewikkelde pricingmodellen nodig, zoals het model van Black and Scholes, dat vaak voor Europese stijl opties wordt gebruikt en het binominale model dat voor Amerikaanse stijl opties wordt gebruikt. De factoren die in alle pricingmodellen van opties worden meegenomen zijn: de uitoefenprijs van de optie in relatie tot de koers van de onderliggende waarde; de beweeglijkheid van de onderliggende waarde, de volatiliteit; de tijd tot het verstrijken van de optie; de rente. De mate waarin de optiepremie verandert als gevolg van een verandering in een van de prijsbepalende factoren, wordt aangegeven met Griekse letters: delta, gamma, vega, thèta en rho. 145

8 gids naar het aci dealing certificate delta De delta geeft de relatie tussen de absolute verandering van de optieprijs en een absolute verandering van de koers van de onderliggende waarde. Een delta van 0,6 geeft aan dat de optiepremie met 60 eurocent stijgt als de onderliggende waarde met 1 euro stijgt. De delta geeft ook een indicatie van de kans dat de optie wordt uitgeoefend. Een lage delta betekent dat de kans op uitoefening klein is en een hoge delta betekent dat de kans op uitoefening hoog is. Een delta van 0,9 betekent dat de kans dat een optie wordt uitgeoefend 90% is. Callopties hebben een positieve delta (tussen 0 en 1) en putopties hebben een negatieve delta (tussen 0 en -1).De delta van een optie die ver otm is, is nul, de delta van atm opties ligt altijd bij 0.50 (of -0.50) en de delta van een optie die diep itm is ligt bij 1 (of -1). Figuur 6.1 Het verloop van de delta bij uiteenlopende koersen van de onderliggende waarde (delta als percentage) In figuur 10.1 is te zien dat het verloop van de delta afhangt van de resterende periode van het optiecontract. Naarmate de resterende looptijd korter is wordt het verloop van de delta steeds minder geleidelijk. Een dag voor de expiratiedatum fluctueert de delta van atm opties heftig bij kleine koersbewegingen. gamma In figuur 10.1 is ook te zien dat de delta verandert als de koers van de onderliggende waarde verandert. Bij opties die ver out-of-the-money zijn, is de delta ongeveer nul en bij opties die ver in-the-money zijn is de delta bijna gelijk aan een. Iedere keer wanneer een optie minder out-of-the-money of meer in-the-money geraakt, neemt de (absolute) delta toe. De mate waarin dat het geval is, wordt weergegeven door 146

9 opties de gamma. De gamma geeft de verhouding tussen de verandering van de delta en de verandering van de koers van de onderliggende waarde. Wanneer een optie erg ver out-of-the-money is, is de toename van de delta gering. Datzelfde geldt ook voor een optie die heel ver in-the-money is. De gamma is in beide gevallen klein. Bij atthe-money opties is de gamma hoog. Dat geldt helemaal als de optie dicht bij expiratie is. Figuur 6.2 Het verloop van de gamma bij uiteenlopende koersen van de onderliggende waarde In figuur 10.2 is te zien dat de gamma toeneemt naarmate de resterende looptijd van een optiecontract korter is. vega/volatility De vega geeft de verandering van de optieprijs als gevolg van een verandering in de volatiliteit met 1%-punt (bijvoorbeeld van 20% naar 21%). De vega neemt toe naarmate de looptijd van een optie toeneemt en naarmate een optie meer atm raakt. Volatility is de mate van beweeglijkheid van de prijs van de onderliggende waarde. Volatility is hetzelfde begrip als standaarddeviatie in de wiskunde. Als voorbeeld wordt hieronder de standaarddeviatie uitgerekend van twaalf jaarlijkse koersbewegingen van een aandeel. 147

10 gids naar het aci dealing certificate year change (%) deviation of square of deviation average change (average y-o-y change) (variance) In de tweede kolom staan de jaarlijkse koersmutaties van een aandeel over de twaalf jaren in de rapportageperiode. Onder deze kolom is de gemiddelde koersmutatie uitgerekend over deze periode: 5.92%. In de derde kolom is voor elk jaar het verschil berekend tussen de koersmutatie gedurende dat jaar en de gemiddelde koersmutatie over de gehele periode. Omdat de gemiddelde afwijking van een gemiddelde gelijk is aan nul, is in kolom vier steeds het kwadraat van de afwijking van de koersmutatie in een bepaald jaar ten opzichte van de gemiddelde koersmutatie berekend. Het gemiddelde van deze kwadratische afwijkingen wordt variantie genoemd, in dit geval 51.90% (= % / 11; om wiskundige redenen wordt niet door het aantal waarnemingen gedeeld, maar door het aantal waarnemingen -/-1). De standaarddeviatie is de vierkantswortel van de variantie. De standaarddeviatie is altijd een positief getal en wordt uitgedrukt als percentage. In het bovenstaande voorbeeld is de standaarddeviatie ofwel volatility = 7.20%. Volatility wordt, zoals hierboven ook is gedaan, meestal gepubliceerd op jaarbasis. Om de volatility voor kortere periodes uit te rekenen wordt de volgende formule gebruikt: 148

11 opties Voor de dagvolatility wordt de wortel uit het aantal handelsdagen genomen. Optiehandelaren stellen daarbij het aantal handelsdagen op 252. De correctiefactor is dus 252 = De dagvolatility van uit het aandeel in het hierboven staande voorbeeld is dus 7.20% / = 0.45%. De tiendaags volatility wordt bijvoorbeeld berekend door deze laatste uitkomst met 10 (= 3.16) te vermenigvuldigen. De tiendaags volatility is dus 0.45% x 3.16 = 1.44%. Als de bewegelijkheid van de onderliggende waarde toeneemt, stijgt de optiepremie. De volatility is zelfs zo dominant voor de optiepremie dat optiehandelaren die onderling handelen elkaar geen two way prices voor optiepremies geven, maar two way prices in volatilities. Deze prijzen worden implied volatilities genoemd. Gedurende de looptijd van een optie verandert de volatility voortdurend. Voor een optiehandelaar die een optie heeft verkocht, is een daling van de volatility gunstig; de optiepremie daalt en zijn positie komt op winst. Voor een optiehandelaar die per saldo opties heeft gekocht is een stijging van de volatility gunstig. Wanneer optiehandelaren een stelling voor volatility geven, is sprake van het smile of skew effect. Dit betekent dat optiehandelaren de volatility bij at the money opties het laagst stellen en dat zij voor out-of-the-money opties een hogere volatility stellen. De lijn die het verband weergeeft tussen exercise price en volatility lijkt daarom op een smile. Figuur 6.3 Volatility Smile 149

12 gids naar het aci dealing certificate thèta De optiepremie neemt af naarmate de resterende looptijd van een optie korter is. Een optie die nog maar een dag loopt, biedt immers bij dezelfde koers veel minder (extra) winstkansen dan een optie die nog een jaar loopt. De thèta geeft verhouding tussen de daling van de optieprijs en een daling van de looptijd met een dag. Omdat de optiepremie daalt als gevolg van het verstrijken van de tijd is de thèta negatief. Als gevolg van het verstrijken van de looptijd, wordt de thèta van een optie steeds meer negatief; dat wil zeggen dat de optiepremie van dag tot dag steeds meer afneemt. Bij opties die bijna expireren is de thèta zelfs de belangrijkste factor voor de veranderingen in de optiepremie. rho Rho geeft de gevoeligheid van de optiepremie voor veranderingen in de rentestand met 1 procentpunt (dat wil zeggen van bijvoorbeeld 5% naar 6%). De gevoeligheid van de optiepremie voor veranderingen in het niveau van de rente heeft te maken met de nog te behandelen delta-hedge. 6.3 Delta positie en delta hedging Optiehandelaren handelen in volatility. Het handelen in de onderliggende waarden van de opties laten zij over aan aandelenhandelaren, obligatiehandelaren FX spot handelaren enzovoort. Wanneer een optiehandelaar een optiepositie opent, heeft hij echter niet uitsluitend een positie in volatility maar is de waarde van zijn positie onder andere ook afhankelijk van de koersbeweging van de onderliggende waarde. Met andere woorden: hij heeft in feite ook een positie in de onderliggende waarde. In de Black-Scholes formule wordt de gevoeligheid van de waarde van optiepositie voor koersveranderingen in de onderliggende waarde weergegeven door de factor N(d 1 ). Als N(d 1 ) is, reageert een longpositie callopties met een onderliggende omvang van aandelen hetzelfde op een koersmutatie van het aandeel als een longpositie van aandelen. Deze vergelijkbare positie wordt de delta positie genoemd. De positie van een optiehandelaar die deze otc calloptie heeft verkocht, reageert natuurlijk omgekeerd: als een shortpositie van aandelen. De deltapositie is hier -/ Om het effect van koersveranderingen van de onderliggende waarde te neutraliseren, neemt een optiehandelaar een positie in de onderliggende waarde in die omgekeerd is aan de deltapositie van zijn portefeuille. Dit wordt delta-hedging genoemd. 150

13 opties Zijn positie heet dan delta-neutraal. De waarde van de positie verandert dan nog uitsluitend door veranderingen in de rente, het verstrijken van de looptijd en de volatility. Het onafhankelijk maken van de positie van de tijd en de rente is niet mogelijk. Dat is ook niet zo erg omdat deze factoren veel minder volatiel zijn dan de koers van de onderliggende waarde en dus geen grote verstorende rol spelen. Omdat de delta van een optie verandert als de koers verandert, moet een optiehandelaar de omgekeerde positie in de onderliggende waarde (de deltahedge positie) gedurende de looptijd van de optie echter wel voortdurend aanpassen. voorbeeld Een optiehandelaar verkoopt aan een cliënt een GBP call / USD put optie met een strike van De premie van deze optie bedraagt USD per GBP en de omvang van het optiecontract is GBP 1,000,000,-. De delta van deze optie is De huidige GBP/USD FX forward rate is Als de GBP/UD koers met stijgt naar 1,4400, stijgt de optiepremie met 0.25 x naar USD Omdat de optiehandelaar een shortpositie heeft in de calloptie, betekent dit dat zijn positie op verlies staat. De omvang van het optiecontract is GBP 1,000,000 dus de omvang van het marked to market verlies is USD 2,500 ( x 1,000,000). Om te voorkomen dat hij verlies leidt als gevolg van koersveranderingen in de onderliggende waarde voert de optiehandelaar een delta hedge uit. De benodigde deltapositie is hier GBP 1,000,000 x 0,25 = GBP 250,000. Omdat de optiepositie gelijk staat aan een shortpositie in GBP, opent de handelaar de omgekeerde positie in de onderliggende waarde: een longpositie. Hij koopt dus GBP 250,000 tegen USD. Als de GBP koers nu 0,0100 stijgt, stijgt als gevolg hiervan de waarde van de hedgepositie met GBP 250,000 x 0,0100 = USD 2,500. Hiermee is inderdaad de negatieve impact van de koersstijging op de short optie positie geëlimineerd. Bij een GBP/USD-koers van is de kans dat de optie wordt uitgeoefend overigens ook weer groter. De delta is dus ook gestegen, bijvoorbeeld naar De optiehandelaar moet zijn deltapositie aanpassen door extra GBP te kopen. Als de delta van de optiepositie stijgt, moet een optiehandelaar onderliggende waarden kopen en als de delta van de positie daalt moet hij onderliggende waarden verkopen. Hierbij maakt hij steeds een klein verlies; als market user koopt 151

14 gids naar het aci dealing certificate hij de underlying immers steeds tegen de laatprijs en verkoopt hij tegen de biedprijs. De optiepremie is deels een compensatie voor deze handelsverliezen. Een optiehandelaar maakt bij de vaststelling van de optiepremie een inschatting van de volatility van de onderliggende waarde (implied volatility) en prijst daarmee de toekomstige handelsverliezen in. Een hoge volatility betekent dat de optiehandelaar verwacht dat hij zijn deltapositie frequent moet aanpassen en veel handelsverliezen moet incasseren. Hij vraagt dan een hoge optiepremie. Als de optiehandelaar de volatility exact goed heeft ingeschat, verdient hij de marge die hij op de door hem berekende premie heeft gehanteerd. Als hij de volatility heeft onderschat, maakt hij verlies. De premie is dan niet toereikend om de handelsverliezen goed te maken. Als hij de volatility heeft overschat, maakt hij extra winst. De omvang van de transacties uit hoofde van delta hedging hangt af van de hoogte van de gamma die de mutatie van de delta weergeeft. Bij een lage gamma zijn slechts kleine transacties nodig en bij een hoge gamma moet een optiehandelaar veel van de onderliggende waarde kopen of verkopen om zijn positie delta neutraal te houden. delta van samengestelde posities Om de benodigde delta hedge van een samengestelde positie uit te rekenen, moet een handelaar de delta van de totale positie uitrekenen. Hieronder staat hiervan een eenvoudig voorbeeld. Een andere belangrijke component van de optiepremie heeft ook te maken met de delta-hedge: de rente. Een optiehandelaar die een shortpositie heeft in call opties, moet uit hoofde van de delta hedge immers de onderliggende waarde kopen. Hierdelta delta position Long position in 2 mln 1 2 underlying value Bought call 4 mln 0,3 1,2 Sold put - /- 3 mln -0,6 1,8 Total 5 delta hedge en rentekosten 152

15 opties mee gaan rentekosten gepaard. En een optiehandelaar die een shortpositie in put opties heeft ingenomen, moet de onderliggende waarde verkopen. Dit levert rente op. voorbeeld Een optiehandelaar verkoopt een calloptie op een aandeel met een looptijd van drie maanden. De delta van deze optie is 0,25. De driemaands rente is 4%. De huidige koers van het aandeel is EUR Als gevolg van de delta hedge koopt de handelaar voor elke optie-contracteenheid 0,25 aandelen. Dat kost hem een rentebedrag van: 0,25 x EUR 40 x 90/365 x 0.04 = EUR Deze rentekosten neemt hij op in de optiepremie. 6.4 Rente-opties De meeste renteopties zijn opties met een referentierente als onderliggende waarde. Renteopties kennen daarom meestal cash settlement. Op de expiratiedatum wordt een renteverschil berekend dat wordt vertaald naar een rentebedrag. Er zijn echter ook renteopties met een financieel instrument als onderliggende waarde. Een bekend voorbeeld is een swaption, waarbij een interest rate swap de onderliggende waarde is. Een swaption kent de mogelijkheid van fysieke levering. De koper van deze optie heeft bij de expiratie het recht om een renteswap af te sluiten Interest rate guarantees / caps en floors Een interest rate guarantee is een otc rente-instrument waarbij een partij het recht heeft om op een bepaald moment in de toekomst het verschil te verrekenen tussen een afgesproken renteniveau (de strikerente) en de referentierente meestal een 3- of 6-maands-EURIBOR of LIBOR-tarief. Een interest rate guarantee is dus een call- of een putoptie met als onderliggende waarde de EURIBOR of LIBOR. Een interest rate guarantee wordt ook wel fraption genoemd en is eigenlijk een optie op een gekochte dan wel verkochte FRA. Omdat interest rate guarantees onderdeel uitmaken van caps en floors worden ze ook wel caplets of floorlets genoemd. Een cap is een otc rente-instrument waarbij een partij het recht heeft om op meerdere momenten in de toekomst het verschil te verrekenen tussen een afgesproken 153

16 gids naar het aci dealing certificate renteniveau (de strikerente) en de referentierente als deze referentierente boven de uitoefenprijs ligt. Een cap is eigenlijk een serie interest rate guarantees, in dit geval caplets. De kenmerken van de caplets die samen een cap vormen zijn: zelfde hoofdsom; zelfde uitoefenprijs; zelfde referentierente; aaneensluitende onderliggende perioden. De hoogte van de uitkering op elke afzonderlijke expiratiedatum wordt berekend door het verschil tussen de hoogte van de referentierente en de strike uit te drukken in een percentage. Dit percentage wordt dan toegepast op de overeengekomen hoofdsom en verrekend over de onderliggende periode van de desbetreffende optie. Als de referentierente op een expiratiedatum lager is dan de strike, loopt de betreffende optie waardeloos af. De opties met een latere expiratiedatum blijven dan gewoon bestaan. Een floor is een otc rente-instrument waarbij een partij het recht heeft om op meerdere momenten in de toekomst het verschil te verrekenen tussen een afgesproken renteniveau (de strikerente) en de referentierente meestal een 3- of 6-maands-euribor als deze referentierente beneden de uitoefenprijs ligt. Ook een floor bestaat uit een aantal achtereenvolgende interest rate guarantees met dezelfde uitoefenprijs: floorlets. Floors kunnen worden gebruikt door marktpartijen die lange beleggingen hebben met een variabele rente en zich willen beschermen tegen rentedalingen. betalen van de premie Er bestaan twee mogelijkheden om de premie van een cap of floor te betalen. Upfront; dat wil zeggen in één keer bij het afsluiten van de cap of geamortiseerd, dat wil zeggen uitgesmeerd over de looptijd. Wanneer de premie wordt geamortiseerd, wordt deze vaak uitgedrukt in een rentepercentage over de onderliggende hoofdsom van de cap. Op die manier is de premie van de cap vergelijkbaar met een rentepercentage op bijvoorbeeld een krediet. Kopers van een cap of floor willen de uitgesmeerde premiebetalingen gelijk laten vallen met de datums waarop de coupons van hun krediet of belegging worden vastgesteld. 154

17 opties Om de hoogte van het periodiek te betalen premiebedrag exact uit te rekenen moet een formule worden opgesteld waarbij de gelijke premiebetalingen als onbekende grootheid worden opgenomen en waarbij de present values van elke periodieke betaling wordt berekend met behulp van zijn eigen zero-coupon rate. De som van deze present values moet dan gelijk worden gesteld aan de omvang van de te betalen cap premie. Figuur 6.4 Berekening van geamortiseerde premiebetalingen voorbeeld De up-frontpremie voor een tweejaars cap bedraagt EUR 100,000.-.De onderneming die deze cap koopt kiest ervoor om de premie te amortiseren in vier gelijke halfjaarlijkse premiebetalingen. Gegeven zijn de volgende zero-coupon rates en daarbij horende discount factors. period zero coupon yield discount factor 6 months (182 days) (actual/360) = 1 / ( /365 x ) 1yrs (365 days) (actual/360) = 1 / ( /360 * ) 1.5 yrs (30/360) = 1 / ( ) yrs (30/360) = 1 / ( ) 2 De omvang van de periodieke premie wordt berekend door de som van de present values van de periodieke premiebetalingen gelijk te stellen aan de up-front premie. 155

18 gids naar het aci dealing certificate present value premium x premium x premium x premium x premium * premium = EUR 100,000 De periodieke premiebetaling bedraagt EUR 100,000 / = EUR 26, Ook in administratief opzicht is het uitsmeren van de cap premie handig voor een onderneming. De administratie kan op dezelfde valutadatum de rentekosten uit hoofde van het krediet, de premiebetaling van de cap en de eventuele uitkering uit hoofde van de cap boeken. Bovendien is het nu mogelijk om de maximale effectieve rentekosten te bepalen. Daarvoor kan de volgende formule worden gebruikt: maximum interest costs = cap strike + spread + amortized cap premium voorbeeld Een onderneming heeft een lening met een renteconditie van EURIBOR % en een cap met een strike van 6%. Uitgedrukt als rentepercentage zijn de kosten van de cap 0.50%. De maximale rentekosten van de onderneming zijn: maximale rentekosten = 6% % % = 7.25% Swaption Een swaption is een otc rente-instrument waarbij een partij het recht heeft om op de expiratiedatum een renteswap aan te gaan tegen een vooraf vastgesteld rentetarief. Een payer s swaption geeft de koper van de optie het recht om in de onderliggende renteswap de lange rente te betalen. Als op de expiratiedatum de swaprente in de markt hoger is dan de uitoefenprijs, oefent de koper de optie uit en gaat dus de swap aan. Hij betaalt dan een lange rente die lager is dan de huidige marktrente. Een receiver s swaption geeft de koper het recht om in de onderliggende swap de lange rente te gaan ontvangen. 156

19 opties Op de uitoefendatum van een in-the-money swaption kan de houder ook besluiten tot cash settlement. Hij ontvangt dan de unwind prijs van de onderliggende swap. voorbeeld Een onderneming verwacht dat hij over een jaar een financiering nodig heeft voor een project. De terugverdientijd van het project is tien jaar. De onderneming wil zich indekken tegen rentestijgingen maar wil zich nog niet volledig vastleggen. De cliënt adviseur raadt de onderneming aan om een payer s swaption met een expiratiedatum na een jaar af te sluiten op een irs met een gemiddelde looptijd van (1 + 10)/2 = 5,5 jaar. De huidige rentetarieven zijn: 6 maands EURIBOR: 1.00% (182 dagen) 6 jaars irs tarief: 4.00%. De onderneming koopt een atm swaption met als onderliggende waarde een irs met een fixed rate van: ( ( ) 6 / ( /360 x 0.01) ) 1/5,5 1 = = 4.276% Als het project doorgaat en de irs rate voor de looptijd 5.5 jaar is op de expiratiedatum lager dan 4.276%, loopt de swaption waardeloos af en sluit en onderneming een lineair lossende lening tegen de dan geldende fixed rate. Als de irs-rate hoger is dan 4.276%, oefent de onderneming zijn recht uit en sluit een irs af met een fixed rate van 4.276%. Als financiering trekt de onderneming daarnaast een 10-jaars lening aan met een lineaire aflossing en variabele rente. Als het project niet doorgaat loopt de swaption ook waardeloos af bij irs rates lager dan 4.276%. Bij irs rates hoger dan 4.276% kiest de onderneming voor cash settlement tegen de unwind prijs van de irs. In alle gevallen is de onderneming verplicht om de premie van de swaption te betalen. 6.5 Rentecollar Een rentecollar of gewoonweg collar is een optieconstructie waarbij een partij een out of the money cap koopt en tegelijkertijd een out-of-the-money floor verkoopt met dezelfde looptijd, referentierente en uitoefendata. De premie van de floor wordt gebruikt om de premie van een cap te voldoen. Hierdoor ontstaat een con- 157

20 gids naar het aci dealing certificate structie waarbij de rentekosten binnen een bepaalde bandbreedte blijven. Dit wordt soms een long collar genoemd; een short collar is een constructie waarbij een partij de floor koopt en de cap verkoopt. voorbeeld Een onderneming heeft een middellange lening met een resterende looptijd van vier jaar en een variabel tarief van 3-maands-euribor. De onderneming denkt dat de rente de komende vier jaar niet omhoog gaat, maar ook niet ver omlaag. De onderneming heeft een beleid om de renterisico s te beperken waarbij gestreefd wordt naar zo laag mogelijke rentekosten. Het huidige driemaands EURIBOR-tarief is 2.55% en het vier jaars irs-tarief is 3.40%. Als de onderneming kiest voor een renteswap zet zij de rente gedurende vijf jaar vast op 3.40%. In vergelijking met de huidige geldmarktrente gaan de rentekosten direct met 0.85% omhoog. De onderneming kan ook kiezen voor een collar: Hij koopt een 4.50%-cap en betaalt deze door een 2.70%-floor te schrijven. Het gevolg hiervan is dat de rentekosten van de onderneming schommelen tussen 2.70% en 4.50%. Wanneer de korte rente boven de strike van de cap uitkomt, bijvoorbeeld 5.1%, betaalt de onderneming uit hoofde van de lening 5.1% (exclusief risico-opslagen), maar krijgt uit hoofde van de gekochte cap 0.60% terug. Per saldo betaalt de onderneming 4.50%. Wanneer de korte rente lager is dan 2.70%, bijvoorbeeld 2.10%, betaalt de onderneming uit hoofde van de lening 2.10%, maar moet uit hoofde van de verkochte floor 0.60% aan de bank betalen. Per saldo betaalt de onderneming 2.70%. Bij alle korte rentes tussen 2.70% en 4.50% is de cap noch de floor in-the-money, zodat geen van beide partijen hoeft uit te keren. De totale rentekosten voor de onderneming zijn dan precies gelijk aan de rentekosten uit hoofde van de lening. Het lijkt logisch dat de strike van de cap en die van de floor even ver van de irs rate afliggen en dat de collar dus precies rondom de irs rate ligt. Dat is doorgaans niet het geval. Bij een stijgende yieldcurve ligt het niveau van de cap veel verder van de irs rate dan de floor. De collar lijkt dan zeer ongunstig geprijsd voor de koper. Bij een dalende yieldcurve daarentegen ligt het niveau van de floor veel verder van de irs rate dan de cap. De collar lijkt dan zeer gunstig geprijsd voor de koper. 158