S T A R T W I S K U N D E N H. Karel de Grote-Hogeschool Katholieke Hogeschool Antwerpen Departement Lerarenopleiding

Transcriptie

1 Karel de Grote-Hogeschool Katholieke Hogeschool Antwerpen Departement Lerarenopleiding S T A R T W I S K U N D E I C N H L R O I O S P C F U L R O S R U U S S Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus

2 Inhoudsopgave INHOUDSOPGAVE GETALLEN NATUURLIJKE GETALLEN OF POSITIEVE GEHELE GETALLEN Betekenis Positieschema Ordenen en voorstellen op getallenas NEGATIEVE GEHELE GETALLEN EN GEHELE GETALLEN Betekenis Ordenen en voorstellen op getallenas van de gehele getallen Gebruik van de negatieve gehele getallen RATIONALE GETALLEN: BREUKEN KOMMAGETALLEN PERCENTEN Betekenis Breukenterminologie Rangschikken van breuken, kommagetallen, percenten AFRONDEN VAN GETALLEN Voorbeelden Werkwijze BEGRIPPEN IN DE VERZAMELING VAN DE NATUURLIJKE GETALLEN Deelbaarheid Even en oneven getallen Veelvoud Priemgetal Grootste gemeenschappelijke deler (GGD) Kleinste gemeenschappelijk veelvoud (KGV) INOEFENING BEWERKINGEN TERMINOLOGIE De optelling De aftrekking De vermenigvuldiging De deling SCHATTEND REKENEN Betekenis en belang Voorbeelden HOOFDREKENEN Betekenis Breuk of percent van een getal nemen De optelling De aftrekking De vermenigvuldiging De deling CIJFERREKENEN De optelling De aftrekking De vermenigvuldiging De deling INOEFENING MEETKUNDE MEETKUNDE IN HET VLAK Basisbegrippen Soorten driehoeken Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 1

3 Soorten vierhoeken MEETKUNDE IN DE RUIMTE Basisbegrippen Soorten veelvlakken Omwentelingslichamen INOEFENING METEN EN METEND REKENEN METEN METEN MET STANDAARDMAATEENHEDEN Terminologie Metriekstelsel Andere meetsystemen HERLEIDINGEN BEWERKINGEN OMTREKBEREKENING EN OPPERVLAKTEBEREKENING VAN VLAKKE FIGUREN: FORMULES Driehoek Vierhoeken De cirkel VOLUMEBEREKENING VAN LICHAMEN: FORMULES Kubus Balk Cilinder INOEFENING TOEPASSINGEN VOORBEELDEN VRAAGSTUKKEN PERCENTREKENING Oplossing OPGAVEN INDEX Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 2

4 1. GETALLEN 1.1. Natuurlijke getallen of positieve gehele getallen Betekenis De natuurlijke getallen zijn de positieve gehele getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,. opgebouwd uit één of meerdere cijfers. Er zijn tien cijfers (0 t.e.m.9) en oneindig veel natuurlijke getallen Positieschema De plaats of positie van een cijfer in een getal bepaalt de waarde van dat cijfer en dus de grootte van het getal. Om de waarde van een cijfer te kennen, gebruiken we het positieschema of positietabel van het tiendelig of decimaal stelsel. Hierin is elke rang tien keer groter dan de vorige rang en tien keer kleiner dan de daarop volgende rang. TM M HD TD D H T E In het getal 38 miljoen 256 duizend 910 staat het cijfer 3 op de plaats van de tienmiljoentallen en heeft de waarde van 30 miljoen; 8 op de plaats van de miljoentallen en heeft de waarde van 8 miljoen; 2 op de plaats van de honderdduizendtallen en heeft de waarde van ; 5 op de plaats van de tienduizendtallen en heeft de waarde van op de plaats van de duizendtallen en heeft de waarde van 6000; 9 op de plaats van de honderdtallen en heeft de waarde van 900; 1 op de plaats van de tientallen en heeft de waarde van 10; 0 op de plaats van de eenheden en heeft de waarde van 0 1 TM = 10 M = 100 HD = 1000 TD = D = H = T = E Ordenen en voorstellen op getallenas Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 3

5 Voorbeelden 5 < 7 (5 is kleiner dan 7) 4 > 1 ( 4 is groter dan 1) 5 7 (5 is kleiner of gelijk aan 7) 4 1 ( 4 is groter of gelijk aan 1) 1.2. Negatieve gehele getallen en gehele getallen Betekenis De negatieve gehele getallen zijn de natuurlijke getallen voorzien van een minteken 0, - 1, - 2, - 3, - 4,.. De gehele getallen zijn de natuurlijke getallen voorzien van een plusteken of een minteken. Het plusteken mag weggelaten worden: + 2 = 2 Het getal 0 is zowel een positief als een negatief geheel getal: + 0 = - 0 = Ordenen en voorstellen op getallenas van de gehele getallen Voorbeeld -5 < -3 < -1 < 0 < Gebruik van de negatieve gehele getallen De negatieve gehele getallen worden in het lager onderwijs gebruikt binnen concrete en eenvoudige contextsituaties: de temperatuur; liften in gebouwen; schulden; hoogten Rationale getallen: breuken kommagetallen percenten Betekenis Een rationaal getal is het nauwkeurig quotiënt van de deling van twee gehele getallen, waarbij de deler verschillend is van 0. Een rationaal getal heeft een breukschrijfwijze en een kommaschrijfwijze. In de lagere school wordt uitsluitend gewerkt met positieve rationale getallen, waarbij deeltal en deler ( 0) een natuurlijk getal is, de naam rationaal getal wordt niet gebruikt. Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 4

6 De breukschrijfwijze bestaat uit een teller (het deeltal), een breukstreep (de deelbewerking) en een noemer (de deler). In deze vorm spreken we van breuken. Voorbeeld 3/5 (3 gedeeld door 5; drie vijfde; 3 van de 5 gelijke delen; 3 gehelen verdeeld in 5 gelijke delen) In de kommaschrijfwijze of decimale schrijfwijze, verkregen door de teller te delen door de noemer, wordt het tiendelige positieschema verder uitgebreid met tienden, honderdsten, duizendsten,... In deze vorm spreken we van kommagetallen of decimale getallen. M HD TD D H T E, t h d Voorbeelden 3/5 = 0,6 29/25 = 1,16 43/8 = 5,375 De decimale vorm bestaat meestal uit twee delen: een deel voor de komma, de gehelen, en een deel na de komma, het decimale gedeelte. Alle gehele getallen zijn rationale getallen en dus als breuk en als kommagetal te schrijven. Voorbeelden 7 = 7/1 = 42/6 = = 7, 00 0 = 0/1 = 0/9 = = 0, 00 Bij het herleiden van een breuk of kommagetal tot een tiendelige breuk (zie ) met noemer 100 ontstaat de percentschrijfwijze. Een percent of procent geeft dus het verhoudingsgetal t.o.v. 100 aan. Voorbeelden 3 = 6 = 0,6 = 60 % 1 = 25 = 0,25 = 25 % 5 = 625 = 0,625 = 62,5 % OPMERKING In het vervolg wordt steeds een positieve waarde bedoeld bij het gebruik van breuk, kommagetal en percent. Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 5

7 Breukenterminologie Een stambreuk is een breuk waarvan de teller 1 is: 1/5; 1/13; 1/100 Een echte breuk is een breuk waarvan de teller kleiner is dan de noemer: 5/7; 2/9; Een onechte breuk is een breuk waarvan de teller groter is dan de noemer: 7/3; 5/4; Een tiendelige of decimale breuk is een breuk met noemer 10; 100; 1000; (macht van 10): 7/10; 42/100; 123/1000; Gelijkwaardige breuken zijn gelijke breuken: 3/8 = 6/16 = 9/24 = ; 2/3 = 4/6 = 18/27 = Gelijknamige breuken zijn breuken met dezelfde noemer: 1/8; 5/8; 7/8; Breuken gelijknamig maken betekent één of meerdere breuken vervangen door een gelijkwaardige breuk, zodat ze een zelfde noemer hebben. Meestal gebruikt men als gemeenschappelijke noemer het kleinste gemeenschappelijk veelvoud (zie 1.5.6) van de gegeven noemers. Een breuk vereenvoudigen betekent de breuk vervangen door een gelijkwaardige breuk door teller en noemer te delen door een zelfde getal, verschillend van 0. 8 = 4 = 2 = Een onvereenvoudigbare breuk is een breuk waarbij teller en noemer niet meer deelbaar zijn door een zelfde getal verschillend van 1. is een onvereenvoudigbare breuk. Om de breuk 8/24 onmiddellijk te vereenvoudigen tot de onvereenvoudigbare breuk 1/3, deelt men teller en noemer door de grootste gemeenschappelijke deler (zie 1.5.5) van teller en noemer Rangschikken van breuken, kommagetallen, percenten Om tegelijk breuken, kommagetallen en percenten te rangschikken herschrijft men ze in één en dezelfde schrijfwijze. Bij het rangschikken van uitsluitend kommagetallen of uitsluitend percenten wordt gesteund op het positiestelsel om de grootte te bepalen. Voorbeeld M HD TD D H T E, t h d , , ,729 > 217,045 hier volstaat het vergelijken van het gehele gedeelte. 78,2 % < 89,1 % want 78,2 < 89,1 Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 6

8 Om breuken eenvoudig te rangschikken, maakt men ze eerst gelijknamig. Van een aantal gelijknamige breuken is de breuk met de kleinste teller, de kleinste breuk. 1/7 < 3/7 < 5/7 < 12/7 Van een aantal breuken met dezelfde teller is de breuk met de grootste noemer, de kleinste breuk 3/13 < 3/7 < 3/5 OPMERKING Wanneer een breuk (of percent) als operator wordt gebruikt werkend op één of meerdere gehelen of op een hoeveelheid, kunnen ze maar vergeleken en gerangschikt worden wanneer de gehelen of hoeveelheden, waarop ze werken, even groot zijn. Gelijke gehelen of hoeveelheden: 1/3 van 1 geheel is gearceerd ½ > 1/3 (beide gehelen zijn even groot) ½ van 1 geheel is gearceerd ½ van 18 = 9 1/3 van 18 = 6 ½ > 1/3 (beide hoeveelheden zijn even groot) Ongelijke gehelen of hoeveelheden: ½ van het kleine geheel < 1/3 van het grote geheel 1/3 van 1 geheel is gearceerd ½ van 1 geheel is gearceerd ½ van 16 = 8 1/3 van 42 = 14 ½ van 16 < 1/3 van 42 Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 7

9 1.4. Afronden van getallen Voorbeelden Gegeven af te ronden getal Afronden tot op een Afgerond getal 937 tiental duizendtal ,173 honderdste 389,17 18,5 eenheid Werkwijze Als je een getal moet afronden tot op een cijfer in een bepaalde rang, kijk je naar het cijfer rechts van die rang. Is dat cijfer 0; 1; 2; 3; 4; dan rond je naar beneden af. Is dat cijfer 5; 6; 7; 8; 9; dan rond je naar boven af Begrippen in de verzameling van de natuurlijke getallen Deelbaarheid Voorbeeld 8 is een deler van 48 of 48 is deelbaar door 8, want de deling van 48 door 8 levert als quotiënt het natuurlijk getal 6 op en de rest is 0; 48 : 8 = 6 met rest 0 (opgaande deling) 48 heeft als delers 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48 Algemeen Een getal is deelbaar door een 2 de getal wanneer de deling van het 1 ste getal door het 2 de getal een natuurlijk getal oplevert met rest 0. Het 2 de getal is dan een deler van het 1 ste getal Even en oneven getallen Voorbeelden 16 is een even getal, want 16 is deelbaar door 2 15 is een oneven getal, want 15 is niet deelbaar door 2 Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 8

10 Algemeen Een even getal is een getal dat deelbaar is door 2, een oneven getal is niet deelbaar door Veelvoud Voorbeelden 56 is een veelvoud van 8, want 56 is het product van 8 met het natuurlijk getal 7; 56 = 7 x 8 en 7 is een natuurlijk getal De veelvouden van 8 zijn 0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; (oneindig in aantal) Algemeen Een veelvoud van een getal is elk product van dat getal met een natuurlijk getal Priemgetal Voorbeelden 2,3,5,7,... zijn priemgetallen Algemeen Een priemgetal is een getal dat precies twee delers heeft Grootste gemeenschappelijke deler (GGD) Voorbeelden 4 is de grootste gemeenschappelijke deler van 12 en 8; genoteerd: GGD(12,8) = 4 1 is de grootste gemeenschappelijke deler van 15 en 1; genoteerd: GGD(15,14) = 1 Algemeen De grootste gemeenschappelijke deler van twee of meer getallen is de grootste onder de gemeenschappelijke delers van deze getallen. Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 9

11 De grootste gemeenschappelijke deler van twee of meerdere getallen bestaat altijd; want 1 is deler van elk getal. Indien de grootste gemeenschappelijke deler van twee of meerdere getallen 1 is, noemt men die getallen onderling ondeelbaar. Werkwijze en voorbeeld - zoek alle delers van elk getal - onderlijn of omring de gemeenschappelijke delers - noteer het grootste getal onder deze gemeenschappelijke delers GGD (8,28,36) =? delers van 8 1, 2, 4, 8, 28 delers van 28 1, 2, 4, 7, 14, delers van 36 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 GGD(8,28,36) = Kleinste gemeenschappelijk veelvoud (KGV) Voorbeeld 24 is het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van 12 en 8; genoteerd: KGV(12,8) = 24 Algemeen Het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van enkele getallen is het kleinste onder de gemeenschappelijke veelvouden van die getallen, groter dan nul. Het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van enkele getallen bestaat altijd; indien de getallen onderling ondeelbaar zijn is het product van de getallen het kleinste gemeenschappelijk veelvoud. Werkwijze en voorbeeld - bepaal de veelvouden van elk getal (opsomming zeker afbreken bij product van de getallen) - onderstreep of omring de gemeenschappelijke veelvouden - noteer het kleinste getal onder deze gemeenschappelijke veelvouden, verschillend van 0. KGV(4,14) =? veelvouden van 4 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,... veelvouden van 14 0,14,28,42,56,... KGV(4,14) = 28 Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 10

12 1.6. Inoefening 1. Omlijn het getal dat het dichtst bij 1,97 ligt. 2,01 1,9 1, 895 2,001 1,93 2. Rangschik de volgende getallen van klein naar groot a) 3/2 ¼ 1/8 ¾ ½ 3/8 b) ¾ 72% 0,38 3/8 2/3 2,3 3. Onderlijn de priemgetallen in de volgende reeks getallen Noteer het getal dat 2 duizendste kleiner is dan 4,51 5. Onderlijn de oneven getallen in de volgende reeks getallen Onderlijn de getallen die als tiendelige breuk te schrijven zijn. 0 ¾ 33 % 2/3 3/7 64,5 % 7. Bepaal GGD(60,24) 8. Bepaal KGV(30,4) 9. Maak onderstaande breuken gelijknamig 1/3 3/8 7/12 Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 11

13 10. Vereenvoudig de breuken tot een onvereenvoudigbare breuk a) Noteer volgende breuken als kommagetal en als percent. 7/8 215/25 5/6 9/6 b) Noteer volgende percenten als kommagetal en als decimale breuk. 43,4 % 17 % 0,9 % 0,03 % c) Noteer volgende kommagetallen als breuk en als percent. 3,4 0,65 0, Vul in: < of > of = a) 23 % 23 b) 7,4 74 % c) ¾ 75% 13. Vul in waar of onwaar a) een priemgetal is altijd oneven b) het KGV van 2 getallen is altijd een veelvoud van de GGD van die 2 getallen c) een onechte breuk is altijd groter dan Vul volgende tabel in: Gegeven af te ronden getal Afronden tot op een Afgerond getal honderdtal 76,03 tiende 796 tiental honderdduizendtal 3,46 tiende 3,5 eenheid 3,46 eenheid Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 12

14 2. BEWERKINGEN 2.1. Terminologie De optelling De optelling is de bewerking; de uitkomst van een optelling noemt men de som. Het eerste getal is het opteltal; het tweede getal is de opteller. Wanneer meerdere getallen achtereenvolgens worden opgeteld, worden deze getallen termen genoemd, wat ook bij slechts twee termen kan De aftrekking De aftrekking is de bewerking; de uitkomst van een aftrekking noemt men het verschil. Het eerste (grootste) getal is het aftrektal; het tweede (kleinste) getal is de aftrekker. Wanneer meerdere getallen achtereenvolgens worden afgetrokken, worden deze getallen termen genoemd, wat ook bij slechts twee termen kan De vermenigvuldiging De vermenigvuldiging is de bewerking; de uitkomst van een vermenigvuldiging noemt men het product. Het eerste getal is de vermenigvuldiger; het tweede getal is het vermenigvuldigtal. Wanneer meerdere getallen achtereenvolgens worden vermenigvuldigd, worden deze getallen factoren genoemd, wat ook bij slechts twee factoren kan De deling De deling is de bewerking; de uitkomst van een deling noemt men het quotiënt. Het eerste getal is het deeltal; het tweede getal is de deler. Wanneer achtereenvolgens meerdere delingen worden uitgevoerd, worden deze getallen factoren genoemd, wat ook bij slechts twee factoren kan Schattend rekenen Betekenis en belang Bij het schattend rekenen hoeven de getallen niét absoluut afgerond te worden tot op een eenheid, tiental, enz. zoals aangegeven in 1.4. Het is belangrijker de gegeven getallen in functie van de bewerking te vervangen door zinvolle benaderingen, die toelaten de gevraagde bewerking gemakkelijk uit te voeren. Hierdoor wordt de exacte uitkomst eveneens schattend benaderd. Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 13

15 Het schattend rekenen sluit volledig aan bij het werken vanuit de dagelijkse realiteit, waarbij er dikwijls meer nood is aan het situeren van een uitkomst in de buurt van, dan aan een precieze uitkomst. Wanneer de exacte uitkomst wel gevraagd wordt en deze exacte uitkomst uit het hoofd, al cijferend of met de zakrekenmachine (ZRM) berekend wordt, blijft het schattend rekenen hét middel om een idee te krijgen van de orde van grootte van die uitkomst. De vergelijking van de exacte uitkomst met de gemaakte schatting is bij elke berekening als controle aangewezen Voorbeelden Optelling Lore heeft in de winkel producten van respectievelijk 1,86 euro; 1,13 euro; 13,72 euro; 0,73 euro en 14, 80 euro. Om een idee te hebben hoeveel ze moet betalen, maakt ze een schatting door de bedragen af te ronden tot op 1 eenheid. Schatting: = 33 Exacte uitkomst: 32,24 euro Aftrekking Lore betaalt met een briefje van 100 euro. Om vlug te kunnen controleren of ze ongeveer het juiste bedrag terug betaald krijgt, maakt ze een schatting, door af te ronden tot op een tiental. Schatting: = 70 Exacte uitkomst: 67,76 euro Vermenigvuldiging De afmetingen van een lokaal zijn 7,78 m op 6,25 m. Matthijs wil de oppervlakte van het lokaal ongeveer kennen. Daartoe rondt hij de afmetingen af tot op 1 m Schatting: 8 x 6 = 48 Exacte uitkomst: 48,625 m 2 Deling De lievelingssnoep van Stijn wordt in de winkel enkel verkocht per 6 pakjes. Hij betaalt 5,58 euro. Stijn wil weten hoeveel 1 pakje ongeveer kost. Schatting: 6 : 6 = 1 Exacte uitkomst: 0,93 euro Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 14

16 2.3. Hoofdrekenen Betekenis Bij het hoofdrekenen gaat het om het bepalen van de exacte uitkomst van een optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling of een breukdeel of percent van een getal. Elke gelijkheid die genoteerd wordt, moet correct zijn! Wat links en rechts van elk gelijkheidsteken staat moet steeds dezelfde waarde hebben. Er mag tijdens het hoofdrekenen dus wél geschreven worden: de opgave, meerdere tussenstappen en de uitkomst worden genoteerd. Op deze manier wordt de denkweg duidelijk aangegeven. Bij hoofdrekenen probeert men zo eenvoudig en voordelig mogelijk te rekenen. Het is de bedoeling gebruik te maken van de structuur van de grotere of moeilijkere getallen (zoeken van ronde getallen door aanvullen en splitsen), van relaties tussen de getallen en van eigenschappen van de bewerkingen. De nadruk ligt dus op het voordeel- en eigenschapshoofdrekenen. We bekijken hier niét de opbouw van het gestandaardiseerd hoofdrekenen, vertrekkend vanuit het voorbereidend en aanvankelijk rekenen. Het is ook niét de bedoeling deze parate kennis te oefenen. Het onderscheid met het cijferrekenen is op zicht duidelijk, vermits bij hoofdrekenen een bewerking horizontaal, als een aaneenschakeling van gelijkheden wordt uitgewerkt, terwijl dit bij het cijferen verticaal onder elkaar gebeurt. Bij het hoofdrekenen blijft de positionele waarde van de cijfers in de getallen van belang en begint men meestal van links naar rechts te werken, bij het cijferen begint men achteraan (met uitzondering van de deling) Breuk of percent van een getal nemen Breuken en percenten zo mogelijk eerst vereenvoudigen. = 50 % = de helft = 25 % = 12,5 % = 20 % = 10 % = 5 % Voorbeelden 2/8 van 38 = ¼ van 38 = 38 : 4 = (38 : 2) : 2 = 19 : 2 = 9,5 75 % van 64 = ¾ van 64 = 3 x ¼ van 64 = 3 x (64 : 4) = 3 x 16 = 48 Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 15

17 De optelling van natuurlijke getallen en kommagetallen Indien de structuur van de getallen er aanleiding toe geeft, kan met ronde getallen gewerkt worden door aanvullen of splitsen. Bij het schattend rekenen worden de getallen niet altijd gewoon afgerond zoals aangegeven in 1.4. Er wordt o.a. rekening gehouden met het vereenvoudigen van de bewerking. Voorbeelden (andere oplossingswijzen mogelijk) =? Schatting: = = = = 1154 (vergelijking met schatting klopt) 16, ,67 =? Schatting: = 40 16, , 67 = 23, ,86 = 23, , 14 = 40, 67 0,14 = 40,53 (vergelijking met schatting klopt) OPMERKING Indien het werken met ronde getallen niet voor de hand ligt, worden bij de ongesplitste eerste term respectievelijk de aanwezige D; H; T; E gevoegd. Voorbeeld =? Schatting: = = = = = = = 935 (meer of minder tussenstappen mogelijk - vergelijking met schatting klopt) van breuken Voorbeelden en regels gelijknamige breuken = = 4 = Om gelijknamige breuken (zelfde noemer) op te tellen, telt men de tellers op en Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 16

18 behoudt men de noemers. ongelijknamige breuken = = = 19 (= ) Om niet-gelijknamige breuken op te tellen, maakt men ze eerst gelijknamig en telt dan de tellers op en behoudt de noemers De aftrekking van natuurlijke getallen en kommagetallen Werken met ronde getallen kan weer indien de structuur van de getallen er aanleiding toe geeft. Bij het schattend rekenen worden de getallen opnieuw niet noodzakelijk gewoon afgerond zoals aangegeven in 1.4. Er wordt o.a. rekening gehouden met het vereenvoudigen van de bewerking. Voorbeelden (andere oplossingswijzen mogelijk) =? Schatting: = = = = 221 (vergelijking met schatting klopt) 38,17 13,93 =? Schatting: = 24 38,17 13,93 = 38, ,07 = 24,17 + 0,07 = 24,24 OPMERKING Indien het werken met ronde getallen niet voor de hand ligt, worden van de ongesplitste eerste term respectievelijk de aanwezige D; H; T; E afgetrokken. Voorbeeld =? Schatting: = = = = = = 82 5 = 77 (meer of minder tussenstappen mogelijk - vergelijking met schatting klopt) Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 17

19 van breuken Voorbeelden en regels gelijknamige breuken 4 2 = 4 2 = Om gelijknamige breuken af te trekken, trekt men de tellers van elkaar af en behoudt men de noemers. ongelijknamige breuken 2 1 = 8 3 = 8 3 = Om niet-gelijknamige breuken af te trekken, maakt men ze eerst gelijknamig en trekt dan de tellers van elkaar af en behoudt de noemers De vermenigvuldiging van natuurlijke getallen en kommagetallen met 10; 100; 100; Voorbeelden en verklaring 10 x 473 = 4730 Vermenigvuldigen met 10, betekent het getal 10 keer groter maken. De rangorde van elk cijfer van het gegeven getal wordt 10 keer groter; elk cijfer schuift 1 plaats op naar links in het positieschema (zie 1.1.2), daardoor komt er een 0 op de plaats van de eenheden. Of: 10 x 473 = 473 x 10 = 473 x 1 T = 473 T = 4730 Door toepassen van de commutativiteit (product blijft ongewijzigd bij het van plaats wisselen van de factoren) bekomen we een zuiver aantal tientallen en geen losse eenheden. De tientallen staan op de eerste plaats links van de eenheden in het positieschema, dus komt er een 0 op de plaats van de eenheden achter het gegeven getal. 100 x 2,4 = 240 Vermenigvuldigen met 100, betekent het getal 100 keer groter maken. De rangorde van elk cijfer van het gegeven getal wordt 100 keer groter; elk cijfer schuift 2 plaatsen op naar links in het positieschema (zie 1.3.1), daardoor komt er een 0 op de plaats van de eenheden. Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 18

20 1000 x 17,023 = Vermenigvuldigen met 1000, betekent het getal 1000 keer groter maken. De rangorde van elk cijfer van het gegeven getal wordt 1000 keer groter; elk cijfer schuift 3 plaatsen op naar links in het positieschema (zie positieschema in 1.3.1). van een breuk met een natuurlijk getal, van een natuurlijk getal met een breuk en van een breuk met een breuk Voorbeelden en regels 3 x 1 = 3 x 1 = 3 = x 3 = 3 x 2 = 3 x 2 = Om een breuk te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal of een natuurlijk getal te vermenigvuldigen met een breuk, vermenigvuldigt men de teller van de breuk met het natuurlijk getal en behoudt de noemer of, indien mogelijk, behoudt men de teller en deelt de noemer door het natuurlijk getal. 3 x 5 = 3 x 5 = x 8 32 Om een breuk te vermenigvuldigen met een breuk, vermenigvuldigt men de tellers met elkaar en de noemers met elkaar. van een natuurlijk getal met een kommagetal, of omgekeerd, en van een kommagetal met een kommagetal Voorbeelden en verklaring (andere oplossingswijzen mogelijk) 3 x 0,2 = 3 x 2 t = 6 t = 0,6 (zie betekenis kommagetal en positieschema in 1.3.1) 0,6 x 7 = 7 x 0,6 = 7 x 6 t = 42 t = 4,2 (commutativiteit en betekenis kommagetal) 0,12 x 8 = 8 x 0,12 = 8 x 12 h = 96 h = 0,96(idem) 0,3 x 0,8 = 3 x 8 = 3 x 8 = 24 = 24 h = 0,24 (breukenregel en betekenis komma getal) 0,4 x 0,13 = 4 x 13 = 4 x 13 = 52 = 52 d = 0,052 (breukenregel en betekenis kommagetal) Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 19

21 De deling van natuurlijke getallen en kommagetallen door 10; 100; 100; Voorbeelden en verklaring 340 : 10 = 34 Delen door 10, betekent het getal 10 keer kleiner maken. De rangorde van elk cijfer van het gegeven getal wordt 10 keer kleiner; elk cijfer schuift 1 plaats op naar rechts in het positieschema (zie 1.1.2), bij een zuiver aantal tientallen verdwijnt de nul op de plaats van de eenheden. 759,2 : 100 = 7,592 Delen door 100, betekent het getal 100 keer kleiner maken. De rangorde van elk cijfer van het gegeven getal wordt 100 keer kleiner; elk cijfer schuift 2 plaatsen op naar rechts in het positieschema (zie 1.3.1) 372 : 1000 = 0,372 Delen door 1000, betekent het getal 1000 keer kleiner maken. De rangorde van elk cijfer van het gegeven getal wordt 1000 keer kleiner; elk cijfer schuift 3 plaatsen op naar rechts in het positieschema (zie 1.3.1) van een breuk door een natuurlijk getal, van een natuurlijk getal door een breuk en van een breuk door een breuk Voorbeelden en regels 6 : 2 = 6 : 2 = : 3 = 15 : 3 = Om een breuk te delen door een natuurlijk getal ( 0) deelt men, zo mogelijk, de teller door het natuurlijk getal en behoudt de noemer of behoudt de teller en vermenigvuldigt de noemer met het natuurlijk getal. Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 20

22 1 : 1 = 3 (1/3 gaat 3 keer in 1 geheel) 3 7 : 1 = 7 x 3 = 21 (1/3 gaat 7 keer meer in 7 gehelen, dan in 1 geheel) 3 7 : 2 = 7 x 3 = 21 (2/3 gaat 2 keer minder in 7 gehelen, dan 1/3 in 7 gehelen) Om een natuurlijk getal te delen door een breuk ( 0) vermenigvuldigt men het natuurlijk getal met de omgekeerde breuk. 4 : 2 = 4 x 3 = 4 x 3 = x 2 10 Om een breuk te delen door een breuk ( 0) vermenigvuldigt men de 1 ste breuk met de omgekeerde 2 de breuk. Van een kommagetal door een natuurlijk getal, of omgekeerd, en van een kommagetal door een kommagetal Voorbeelden en verklaring (andere oplossingswijzen mogelijk) 0,6 : 2 = 6 t : 2 = 3 t = 0,3 (zie betekenis kommagetal en positieschema in 1.3.1) 0,84 : 3 = 84 h : 3 = (60 h + 24 h) : 3 = 60 h : h : 3 = 20 h + 8 h = 28 h = 0,28 (idem vorige, toepassing rechtse distributiviteit van deling t.o.v. optelling en volgorde bewerkingen) 0,904 : 4 = 904 d : 4 = (880 d + 24 d) : 4 = 880 d : d : 4 = 220 d + 6 d = 226 d = 0,226 (idem vorige) 1 : 0,1 = 1 : 1/10 = 10 (zie natuurlijk getal gedeeld door een breuk ) 7 : 0,02 = 7 : 2/100 = 700/2 = 350 (idem) 0,9 : 0,3 = 9 : 3 = 3 (een quotiënt blijft onveranderd als men deeltal en deler vermenigvuldigt met of deelt door eenzelfde getal, verschillend van nul) 0,904 : 0,4 = 9,04 : 4 = ( ,04) : 4 = 8 : : 4 + 0,04 : 4 = 2 + 0,25 + 0,01 = 2,26 (idem vorige, toepassing rechtse distributiviteit van deling t.o.v. optelling en volgorde bewerkingen) Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 21

23 2.4. Cijferrekenen Bij het cijferen wordt een vaste bewerkingstechniek gevolgd (zie ook 2.3.1), deze bewerkingstechniek wordt algoritme genoemd. Het schattend rekenen met eenvoudige getallen, blijft meer dan ooit belangrijk als controlemiddel. Als illustratie van de werkwijze wordt bij elke basisbewerkingen 1 voorbeeld uitgewerkt in het positieschema en wordt de verwoording gegeven, om duidelijk te maken wat er gebeurt De optelling Voorbeeld met kommagetallen en overschrijding (10 of meer) bij de honderdsten en tienden. 123, ,54 = Schatting, bijv.: = 720 HD TD D H T E, t h d verwoording: 7 h plus 4 h is gelijk aan 11 h; 11 h wissel ik om 1 1 in 1 t ( noteren boven het opteltal bij de t of 1 2 3, 4 7 onthouden) en 1 h (noteren in de uitkomst op de , 5 4 plaats van de h). 1 t plus 4 t plus 5 t is gelijk aan 7 2 6, t; ik wissel 10 t om in 1 E (noteren boven het opteltal bij de E of onthouden), er blijven 0 t (noteren in de uitkomst op de plaats van de t). Ik schrijf de komma, 1 E plus 3 E plus 2 E is gelijk aan 6 E (noteren in de uitkomst op de plaats van de E). 2 T plus 0 T is gelijk aan 2 T (noteren in de uitkomst op de plaats van de T). 1 H plus 6 H is gelijk aan 7 H (noteren in de uitkomst op de plaats van de H). De som van 123,47 en 602,54 is 726,01. Ik vergelijk met de geschatte uitkomst De aftrekking Voorbeeld met kommagetallen en met omwisselen van een tiende en een eenheid. 758,5 123,75 = Schatting, bijv.: = 640 HD TD D H T E, t h , , , 7 5 d Verwoording: 0 h min 5 h gaat niet; ik wissel 1 t om in 10 h (noteren boven het aftrektal, bij de t of onthouden), er blijven 4 t over (doorstrepen van de 5 en noteren van 4 in de kolom van de t of onthouden). 10 h min 5 h is 5 h (noteren in de uitkomst op de plaats van de h). Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 22

24 4 t min 7 t gaat niet; ik wissel 1 E om in 10 t en bekom in het totaal 14 t (doorstrepen van de 4 en noteren van 14 in de kolom van de t of onthouden), er blijven 7 E over (doorstrepen van de 8 en noteren van 7 in de kolom van de E of onthouden). 14 t min 7 t is 7 t (noteren in de uitkomst op de plaats van de t). Ik schrijf de komma! 7 E min 3 E is 4 E (noteren in de uitkomst op de plaats van de E); 5 T min 2 T is 3 T (noteren in de uitkomst op de plaats van de T); 7 H min 1 H is 6 H (noteren in de uitkomst op de plaats van de H). Het verschil van 758,5 en 123,75 is 634,75. Ik vergelijk met de geschatte uitkomst De vermenigvuldiging Voorbeeld met natuurlijke getallen, waarbij vermenigvuldiger uit 2 cijfers bestaat.. 54 x 87 = Schatting, bijv: 50 x 90 = 4500 Verwoording: D H T E 8 7 x ste stap: vermenigvuldigen met het cijfer van de eenheden 4 maal 7 E is 28 E; 28 E wissel ik om in 2 T (onthouden of desgevallend nog naast het schema noteren) en 8 E (noteren onder de bewerkingsstreep in de kolom van de E). 4 maal 8 T is 32 T; 32 T plus 2 T geeft 34 T. 34 T wissel ik om in 3 H en 4 T (noteren onder de bewerkingsstreep, respectievelijk in de kolom van de H en van de T). 2 de stap: vermenigvuldigen met het cijfer van de tientallen 5 T (of 50) maal 7 E is 35 T (50 x 7 = 350). Ik noteer een 0 op de plaats van de E (hoeft niet). 35 T wissel ik om in 3 H (onthouden of desgevallend naast het schema noteren) en 5 T (noteren onder het eerste gedeeltelijk product in de kolom van de T). 5 T (of 50) maal 8 T is 40 H (50 x 80 = 4000); 40 H plus 3 H is 43 H. 43 H wissel ik om in 4 D en 3 H (noteren onder het eerste gedeeltelijk product, respectievelijk in de kolom van de D en van de H). 3 de stap: optellen van de gedeeltelijke producten 8 E plus 0 E is 8 E (noteren onder de bewerkingsstreep in de kolom van de E) 4 T plus 5 T is 9 T (noteren onder de bewerkingsstreep in de kolom van de T) 3 H plus 3 H is 6 H (noteren onder de bewerkingsstreep in de kolom van de H) 0 D plus 4 D is 4 D (noteren onder de bewerkingsstreep in de kolom van de D) Het product van 54 en 87 is Ik vergelijk met de geschatte uitkomst Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 23

25 OPMERKING Indien de vermenigvuldiger uit 1 cijfer bestaat wordt de positionele waarde aanvankelijk steeds benoemd. Wanneer de vermenigvuldiger uit 2 of meer cijfers bestaat, wordt de positionele waarde meestal niet meer benoemd. De nadruk wordt gelegd op het feit dat bij het vermenigvuldigen met het cijfer van de T, het gedeeltelijk product onder de T moet geschreven worden (een 0 plaatsen bij E is mogelijk), enz. Bij het vermenigvuldigen van een kommagetal met een natuurlijk getal van 2 of meer cijfers of van een kommagetal met een kommagetal, wordt de komma in het vermenigvuldigtal en de vermenigvuldiger weggedacht waardoor het product 10, 100 of 1000 keer groter wordt, naargelang het aantal decimalen. De vermenigvuldiging wordt gemaakt (GEEN positionele waarden aangeven) en de komma wordt geplaatst, bij het opnieuw in orde maken van de uitkomst door te delen door 10, 100 of 1000, naargelang het aantal decimalen De deling Voorbeeld van een kommagetal gedeeld door een natuurlijk getal; quotiënt tot op 1 h nauwkeurig 8,02 : 3 = Schatting, bijv.: 9 : 3 = 3 H T E, t h d 8, H T E, t h d 2 0 2, 6 7 controle: quotiënt vergelijken met schatting en omgekeerde bewerking maken 2 2 2, x 3 1 8,01 8,01 + 0,01 8,02 rest: 0,01 Verwoording 8 E gedeeld door 3 levert 2 E, want 2 maal 3 E is 6 E (6 E noteren in juiste kolom onder het deeltal en 2 E noteren in de juiste kolom onder het quotiënt); 8 E min 6 E is 2 E; 2 E (niet meer te delen door 3) wissel ik om in 20 t; ik plaats de komma in het quotiënt; er zijn geen tienden gegeven in het deeltal, dus blijven er 20 t te delen door t gedeeld door 3 levert 6 t, want 3 maal 6 t is 18 t (18 t noteren in juiste kolommen onder het deeltal en 6 t noteren in de juiste kolom onder het quotiënt); 20 t min 18 t is 2 t; 2 t (niet meer te delen door 3) wissel ik om in 20 h, samen met de gegeven 2 h in het deeltal bekom ik 22 h (op juiste hoogte noteren) om te delen door h gedeeld door 3 levert 7 h, want 3 maal 7 h is 21 h (21 h noteren in juiste kolommen onder het deeltal en 7 h noteren in de juiste kolom onder het quotiënt); 22 h min 21 h is 1 h (1 h is niet meer te delen door 3); 1 h is de rest want het quotiënt 2,67 is bepaald tot op 1 h nauwkeurig. Het quotiënt van de deling van 8,02 door 3 tot op 1 h nauwkeurig (en te klein) is 2,67; de rest is 0,01. Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 24

26 OPMERKING Om een natuurlijk getal of een kommagetal te delen door een kommagetal is het nodig de komma weg te werken uit de deler. Dit gebeurt door deeltal en deler te vermenigvuldigen met 10, 100 of 1000 naargelang het aantal decimalen in de deler. Het quotiënt blijft bij deze werkwijze ongewijzigd. De eventuele rest van de gegeven deling is echter wel 10, 100 of 1000 keer groter geworden en moet opnieuw in orde gemaakt worden door de rest van de hulpdeling te delen door 10, 100 of 1000, naargelang het getal waarmee deeltal en deler vermenigvuldigd zijn. Voorbeeld van een kommagetal gedeeld door een kommagetal; quotiënt tot op 1 h nauwkeurig 567,8 : 5,42 = Schatting, bijv.: 570 : 5 = 114 Cijferalgoritme hulpdeling: : 542 = tot op 1 h nauwkeurig TD D H T E, t h , TD D H T E, t h , rest van hulpdeling: 0,08 Het quotiënt van de gevraagde deling van 567,8 door 5,42 is 104,76; de rest is 0,0008. Controle van het quotiënt door vergelijking met schatting en van het quotiënt en de rest door het maken van de omgekeerde bewerkingen: 5,42 x 104,76 + 0,0008 = 567,8 (cijferalgoritme gebruiken) Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 25

27 2.5. Inoefening 1. Welke uitdrukking past niet voor de bewerking 603 : 9? A het quotiënt zoeken B het negenvoud zoeken C het negende nemen D verdelen in negen gelijke delen E delen door 9 2. Bereken zo eenvoudig mogelijk uit het hoofd; geef voldoende tussenstappen die je werkwijze verduidelijken. Zoek de uitkomst eerst al schattend, noteer daarbij de bewerking = 357 3,89 = 3. Bereken uit het hoofd. Je mag tussenstappen noteren. 100 x 75,893 = 462,93 : 10 = 7 x 0,03 = 8 : 0,1 = 0,4 x 0,6 = 8,46 : 0,2 = 4. Bereken uit het hoofd. Je mag tussenstappen noteren. 4/5 van 65 = 25 % van 720 = 15 % van 240 = Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 26

28 5. Werk uit en vereenvoudig de breukuitkomst indien mogelijk = = = x 3 = 7 4 x 3 = : 3 = 13 2 : 3 = 8 4 : 2 = Bereken al cijferend, noteer het cijferalgoritme. Zoek de uitkomst eerst al schattend, noteer daarbij de bewerking. 307, ,49 = 600,02 129,76 = Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 27

29 4 x 376,45 = 14 x 2,7 = 3,2 x 314,27 = 124 : 7 = quotiënt tot op 1 h nauwkeurig 3249 : 45 = quotiënt tot op 1 E nauwkeurig Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 28

30 3. Meetkunde 3.1. Meetkunde in het vlak Basisbegrippen Een rechte a of AB is een enkelvoudige, onbegrensde (geen grenspunten) rechte lijn, die door 2 willekeurige punten A en B van het vlak volledig bepaald wordt. De rechte bevat oneindig veel punten. a A B Een halve rechte [CD heeft als beginpunt C (1 grenspunt) en loopt onbegrensd verder door een willekeurig ander punt D van het vlak. De halve rechte bevat oneindig veel punten. C D Een lijnstuk [MN] is een begrensd deel van een rechte (2 grenspunten). Een lijnstuk kan je meten door de lengte te vergelijken met een lengte-eenheid. Het bevat oneindig veel punten. M N Een hoek PÔQ is een vlakke figuur gevormd door twee halve rechten met een gemeenschappelijk beginpunt. De halve rechten [OP en [OQ noemt men de benen van de hoek. Het punt O is het hoekpunt. Door een kenboogje geven we aan welke hoek bedoeld wordt. P O Q Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 29

31 Een hoek is recht wanneer bij het doortrekken van een been (halve rechte) voorbij het hoekpunt, gelijke hoeken worden gevormd (op elkaar plooien). S hoek SÔR is een rechte hoek Ô R Een scherpe hoek is een hoek die kleiner is dan een rechte hoek. P hoek PÔQ is een scherpe hoek O Q Een gestrekte hoek is een hoek waarvan beide benen in het verlengde van elkaar liggen. G O F hoek GÔF is een gestrekte hoek Een stompe hoek is een hoek die groter is dan een rechte hoek en kleiner dan een gestrekte hoek. T hoek TÔV is een stompe hoek O V Een veelhoek is een vlakke figuur volledig begrensd door lijnstukken (de rand is een gesloten gebroken lijn). F B J G A H E C I D de vlakke figuur ABCDE is een veelhoek de vlakke figuur FGHIJ is geen veelhoek Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 30

32 Een veelhoek is een driehoek, vierhoek, vijfhoek, enz. wanneer de veelhoek respectievelijk drie, vier, vijf, enz. hoekpunten heeft. driehoek vierhoek achthoek Een regelmatige veelhoek is een veelhoek waarvan alle zijden en alle hoeken gelijk zijn. regelmatige zeshoek onregelmatige vijfhoek Een diagonaal in een veelhoek is een lijnstuk dat 2 niet-opeenvolgende hoekpunten verbindt. B A E C D [ BD ] is een diagonaal in vijfhoek ABCDE Een zijde in een veelhoek is een lijnstuk dat 2 opeenvolgende hoekpunten verbindt. [AB] ; [BC] ; [CD] ; [DE] ; [EA] zijn de zijden van bovenstaande veelhoek ABCDE Een cirkel is een vlakke figuur begrensd door een gesloten gebogen lijn, waarvan alle punten zich op gelijke afstand bevinden van 1 punt, het middelpunt. B Een middellijn is een lijnstuk dat twee punten van de rand (grenslijn) O met elkaar verbindt. [AB] is een middellijn. A M Een straal is een lijnstuk dat het middelpunt, hier O, verbindt met punt van de rand. [OM] is een straal (r genoteerd) Soorten driehoeken Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek met drie gelijke zijden. Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met twee gelijke zijden. Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 31

33 Een ongelijkbenige driehoek is een driehoek zonder gelijke zijden. Een rechthoekige driehoek is een driehoek met één rechte hoek. De zijde tegenover de rechte hoek wordt schuine zijde genoemd, de andere zijden noemt men rechthoekzijden. Een stomphoekige driehoek is een driehoek met één stompe hoek. Een scherphoekige driehoek is een driehoek met drie scherpe hoeken Soorten vierhoeken Een trapezium is een vierhoek met 1 paar evenwijdige zijden. Een parallellogram is een vierhoek met 2 paar evenwijdige zijden. Een ruit is een parallellogram met vier gelijke zijden. Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 32

34 Een rechthoek is een parallellogram met vier gelijke hoeken. Een vierkant is een parallellogram met vier gelijke zijden en vier gelijke hoeken Meetkunde in de ruimte Basisbegrippen Een ruimtefiguur is een figuur die een deel van de ruimte in beslag neemt (drie dimensionale figuur ) Een lichaam is een ruimtefiguur aan alle kanten begrensd door een gesloten oppervlak. Een veelvlak is een lichaam aan alle kanten begrensd door veelhoeken, de zijvlakken of grensvlakken genoemd. Een ribbe is een zijde van een zijvlak. Een viervlak, vijfvlak, zesvlak, enz. is een veelvlak met vier, vijf, zes, enz. zijvlakken Soorten veelvlakken Een prisma is een veelvlak met minstens één paar evenwijdige zijvlakken, het grond- en bovenvlak, waarvan alle ribben die niet tot dit paar evenwijdige zijvlakken behoren, evenwijdig zijn. ribbe, behorend tot bovenvlak bovenvlak (zijvlak achteraan) grondvlak (grond- en bovenvlak zijn onderling verwisselbaar) ribbe, niet behorend tot grond- noch bovenvlak Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 33

35 Een kubus is een veelvlak waarvan alle zijvlakken vierkanten zijn. (elk paar evenwijdige zijvlakken kan als grond- en bovenvlak beschouwd worden) Een balk is een veelvlak waarvan alle zijvlakken rechthoeken zijn. Een piramide is een veelvlak waarvan alle ribben, behalve die van één zijvlak, het grondvlak, samenkomen in één punt, de top Omwentelingslichamen Een omwentelingslichaam is een lichaam dat ontstaat door wenteling van een begrensde vlakke figuur om een rechte, de omwentelingsas. Een cilinder is een omwentelingslichaam dat ontstaat door wenteling van een rechthoek om een rechte waarop een zijde gelegen is. De grijs gekleurde platte oppervlakken zijn het grondvlak en bovenvlak van de cilinder. Het zijn evenwijdige cirkels, die even groot zijn. Het gebogen oppervlak wordt de mantel van de cilinder genoemd. Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 34

36 Een kegel is een omwentelingslichaam dat ontstaat door wenteling van een rechthoekige driehoek om een rechte waarop een rechthoekzijde gelegen is. De kegel heeft een cirkel als grondvlak Het gebogen oppervlak wordt de mantel van de kegel genoemd. Een bol is een omwentelingslichaam dat ontstaat door wenteling van een cirkel om een rechte waarop een middellijn gelegen is Inoefening Noteer waar of niet waar naast volgende uitspraken. Een driehoek heeft geen diagonalen. Geen enkele stomphoekige driehoek is gelijkbenig. Als een driehoek gelijkbenig is, dan is hij ook altijd gelijkzijdig. Alle vierhoeken hebben precies vier hoekpunten. Elk parallellogram is een trapezium. Elke driehoek heeft twee scherpe hoeken. Elke rechthoek is een regelmatige vierhoek. Er bestaan geen regelmatige driehoeken. De lengte van een diagonaal kan je niet meten. Niet alle vierkanten zijn rechthoeken. Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 35

37 Teken in elke vierhoek de diagonalen en ga na of de diagonalen even lang zijn (=), elkaar loodrecht snijden ( ) en/ of elkaar middendoor delen (X). Noteer bij elke vierhoek de passende symbolen en de meest passende naam. a b c.. d. e f.. g h.. i.. j Geef de meest passende naam van volgende ruimtefiguur. Teken in stippellijn de niet zichtbare ribben. Het grijs gekleurde zijvlak is het grondvlak. Kleur het bovenvlak. Bepaal tenslotte het aantal zijvlakken en het aantal ribben van deze ruimtefiguur. Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 36

38 Bepaal het aantal zijvlakken en ribben van onderstaand prisma. Noteer waar of niet waar naast volgende uitspraken. Elke kubus is een balk Alle zijvlakken van een prisma zijn rechthoeken Alle ribben van een balk zijn even lang Een cilinder is geen veelvlak. Een veelhoek is een veelvlak. Elk lichaam is een omwentelingslichaam. 6. Benoem zoveel mogelijk vlakke figuren in de tekening van deze sneeuwpop. Sommige zitten gedeeltelijk verstopt, kan je de meest nauwkeurige naam dan met zekerheid bepalen? Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 37

39 4. Meten en metend rekenen 4.1. Meten Van een object kunnen verschillende grootheden (lengte, oppervlakte, volume, gewicht, enz.) (kwantitatief of numeriek) gemeten worden door te tellen hoeveel keer de maateenheid in de te meten grootheid gaat Meten met standaardmaateenheden Terminologie De grootte van een lijnstuk of van een begrensd deel van een lijn, de lengte, wordt gemeten met lengtematen; bijv. dm De grootte van een begrensd deel van een oppervlak, de oppervlakte, wordt gemeten met oppervlaktematen; bijv. dm 2 De grootte van een begrensd deel van een ruimte, het volume of de inhoud, wordt gemeten met ruimtematen of inhoudsmaten; bijv. dm 3 ; l De zwaarte van een object, het gewicht 1, wordt gemeten met gewichtsmaten; bijv. kg De duur van een gebeurtenis, de tijdsduur, en het moment waarop de gebeurtenis plaats heeft, het tijdsstip, wordt gemeten in tijdsmaten; bijv. uur De economische waarde van een object, de geldwaarde, wordt gemeten in munteenheden; bijv. euro De warmte van een object, de temperatuur, wordt gemeten in temperatuursmaten; bijv. graden Celsius De grootte van een hoek, hoekgrootte, wordt gemeten in hoekmaten; bijv. decimale graden Metriekstelsel Het metriek stelsel is een meetsysteem waarbij de meter, de liter en het kilogram als meeteenheid worden gekozen en de opeenvolgende uitbreidingen en verfijningen telkens 10 keer groter of kleiner zijn (tiendelig of decimaal stelsel). De meeteenheden voor oppervlaktemeting, afhankelijk van 2 dimensies (honderddelig) en volumemeting, afhankelijk van 3 dimensies (duizenddelig) zijn hieruit afgeleid. Lengtemeting: lengtematen km hm dam m dm cm mm kilo: 1000 x hecto: 100 x deca: 10 x deci: 1/10 van centi: 1/100 van milli: 1/1000 van 1 In de lagere school wordt de term gewicht gebruikt in de plaats van massa Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 38

40 Inhoudsmeting: inhoudsmaten kl hl dal l dl cl ml Gewichtsmeting: gewichtsmaten kg hg dag g dg cg mg 1 ton (t) = 1000 kg Oppervlaktemeting oppervlaktematen km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 landmaten 1 a = 100 m 2 ha a ca Volume: volumematen km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 (of cc) mm 3 OPMERKING Inhoudsmaten worden gebruikt bij het meten van de inhoud van objecten. Volumematen worden gebruikt bij het meten van de ruimte (het volume) die een object inneemt. Dikwijls worden ze door elkaar gebruikt, de maatgetallen blijven onveranderd indien men een inhoudsmaat omzet in de overeenkomstige volumemaat of omgekeerd. De inhoudsmaten zijn echter tiendelig, de volumematen duizenddelig. Verband tussen inhoudsmaten en volumematen. Onafhankelijk van de aard van de stoffen geldt dat: 1 dm 3 = 1 l 1 cm 3 = 1 ml 1 m 3 = 1000 l (1 kl) Het gewicht per volume-eenheid (soortelijk gewicht) van een stof is het maatgetal (een onbenoemd getal) dat het gewicht in kg (g) aangeeft van 1 dm 3 (cm 3 ) van die stof. Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 39

41 Andere meetsystemen De opeenvolgende uitbreidingen of verfijningen zijn niet tiendelig. Tijdstipaanduiding en tijdsduurmeting De standaardmaateenheid, een uur, is niet meer ingedeeld in 10 gelijke delen, maar in uur (wordt niet afgekort) = 60 minuten (min.) 1 minuut = 60 seconden (sec.) 1 dag = 24 uren 1 jaar = 365 of 366 dagen De verdere verfijning van de seconde gebeurt opnieuw tiendelig. Temperatuurmeting De temperatuur kan uitgedrukt worden in graden Celsius (graden Fahrenheit en Kelvin). 0 C geeft het vriespunt aan van water; 100 C geeft het kookpunt aan van water; temperaturen onder het vriespunt worden aangegeven met negatieve getallen. Hoekmeting De grootte van een hoek kan uitgedrukt worden in (hoek)graden, waarbij 1 graad (1 ) een negentigste deel is van een rechte hoek. OPMERKING de symbolen 1 en 1 zijn respectievelijk de aanduidingen van 1 hoekminuut (één zestigste van een hoekgraad) en 1 hoekseconde (één zestigste van een hoekminuut) en horen niet thuis bij de tijdsmeting. Er zijn biljetten van 5 euro, 10 euro; 20 euro; 50 euro; 100 euro; 200 euro; 500 euro en munten van 50 eurocent; 20 eurocent; 10 eurocent; 5 eurocent; 2 eurocent; 1 eurocent OPMERKING De schrijfwijze van de euro is volgens de ISO-norm (Internnational Standard Organisation) EUR of. Het Belgisch Instituut voor Normalisatie stelt dat deze ISO-codes achter het bedrag worden geplaatst. Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 40

42 4.3. Herleidingen Hoe groter de gebruikte maateenheid, hoe kleiner het maatgetal en omgekeerd. Voorbeelden Lengtematen 5,897 m = 589,7 cm Inhoudsmaten 5,65 l = 56,5 dl Gewichten 7314 g = 7,314 kg Oppervlaktematen mm 2 = 6,8413 dm 2 = 0, m 2 Volume dm 3 = 9,108 m 3 = 0, dam Bewerkingen Bewerkingen met lengtematen, inhoudsmaten, gewichten, oppervlaktematen en volume zijn slechts mogelijk wanneer de meetresultaten in dezelfde maateenheid uitgedrukt zijn. Voorbeelden Lengtematen 6,78 m + 23 cm = 678 cm + 23 cm = 701 cm Inhoudsmaten 8,45 l - 2 cl = 8,45 l 0,02 l = 8,43 l Gewichten 1523 g + 12 kg = 1,523 kg + 12 kg = 13,523 kg Basisleerstof wiskunde lager onderwijs Chris Florus 41