1 Tweedimensionale interpolatie

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "1 Tweedimensionale interpolatie"

Myriam Mulder
10 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Fred Harthoorn 1 Tweedimensionale interpolatie De inpterpolatie vindt plaats over 4 punten p i = ( xi y i ) (i = 0..3) We trachten een vloeiende kromme aan te brengen door 4 punten in het platte vlak. We gaan uit van [p 0, p 1, p 2, p 3 ] = [(x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 )] We creëren twee kubische functies: We stellen dat x = f(t) = a 1 t 3 + b 1 t 2 + c 1 t + d 1 (1) y = g(t) = a 2 t 3 + b 2 t 2 + c 2 t + d 2 (2) x i = f(t i ) (i = 0, 1, 2, 3) (3) y i = g(t i ) (4) De derde afgeleide van beide functies zijn constanten tussen t 1 en t 2 : x (t) = x 0 + 3x 1 3x 2 + x 3 (5) y (t) = y 0 + 3y 1 3y 2 + y 3 (6) We gaan beide constanten 3 keer integreren en dan krijgen we de oorspronkelijke 3 e -graads kromme terug: Stel dat we 8 interpolatiepunten willen hebben. We delen dan x (t) door 8 en de volgende handeling voeren we 8 keer uit: x j+1(t) = x j (t) + x (t) (7) x j+1(t) = x j(t) + x j+1(t) (8) x j+1 (t) = x j (t) + x j+1(t) (9) y j+1(t) = y j (t) + y (t) (10) y j+1(t) = y j(t) + y j+1(t) (11) y j+1 (t) = y j (t) + y j+1(t) (12) 1

We gaan uit van [p 0, p 1, p 2, p 3 ] = [(x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 )] We creëren twee kubische functies: We stellen dat x = f(t) = a 1 t 3 + b 1 t 2 + c 1 t + d 1 (1) y = g(t)

2 De reële wereld beelden we af op een discrete ruimte zoals het computerscherm een vlak van bij voorbeeld 1024 bij 1024 pixels). Er moet dus een conversie plaats vinden van reële getallen naar posities op het scherm, gehele getallen dus. Als we gehele getallen door 8 willen delen doen we 3 keer een shift rechts. Dit maakt de berekening stukken sneller. Hieronder volgt het algorithme opgeschreven in Delphi: TSpline = class(tgrafiek) private SplineLength : integer ; SplineArray : Array[0..SplineArrayLength-1] of Integer ; PlotDelay : integer ; SplinePts, Spline0, Spline1, Spline2, Spline3, DDDS, DDS, DS, S : integer ; tmpddds, TmpDDS, tmpds, TmpS : integer ; protected public procedure SetSplineLength(n : integer) ; procedure InitSpline(Startw : Integer) ; procedure Spline(v : Integer) ; procedure extrapolation ; function SplineValue : integer ; procedure remember ; procedure restore ; function ddtsplinevalue : integer ; function d2dtsplinevalue : integer ; function d3dtsplinevalue : integer ; procedure PlotSpline(x, y, wdth : integer ; Color : TColor) ; procedure PlotExtrapolation(j, size : integer ; clr : TColor) ; constructor Create(AOwner: TComponent); published property SplinePoints: Integer read SplineLength write SetSplineLength; property GetS : Integer Read S ; property GetdSdt : Integer Read DS ; property GetddSdt2 : Integer Read DDS ; property GetdddSdt3 : Integer Read DDDS ; constructor TSPline.Create(AOwner: TComponent); 2

Dit maakt de berekening stukken sneller. Hieronder volgt het algorithme opgeschreven in Delphi: TSpline = class(tgrafiek) private SplineLength : integer ; SplineArray : Array[0.

3 inherited ; splinepts := 24 ; end; procedure TSpline.SetSplineLength(n : integer) ; SplineLength := n ; If SplineLength < 4 then SplineLength := 4 ; If SplineLength > 128 then SplineLength := 128 ; procedure TSpline.InitSpline(Startw : Integer) ; PlotDelay := SplineLength div 2-1 ; for i := 0 to SplineLength-1 do SplineArray[i] := Startw ; Spline0 := Startw * SplineLength; Spline1 := Spline0; Spline2 := Spline0 ; Spline3 := Spline0 ; DDDS := 0 ; DDS := 0 ; DS := 0 ; S := Spline0 Procedure TSpline.Spline(v : Integer) ; for i := 1 to SplineLength -1 do SplineArray[i-1] := SplineArray[i] ; SplineArray[SplineLength-1] := v ; Spline0 := Spline1 ; Spline1 := Spline2 ; Spline2 := Spline3 ; Spline3 := 0 ; for i := 0 to SplineLength-1 do Spline3 := Spline3 + SplineArray[i] ; DDDS := -Spline0 + 3 * Spline1-3 * Spline2 + Spline3 ; DDS := DDS + DDDS ; 3

InitSpline(Startw : Integer) ; PlotDelay := SplineLength div 2-1 ; for i := 0 to SplineLength-1 do SplineArray[i] := Startw ; Spline0 := Startw * SplineLength; Spline1 := Spline0; Spline2 := Spline0

4 DS := DS + DDS ; S := S + DS ; procedure TSpline.extrapolation ; // DDS := DDS + DDDS ; DS := DS + DDS ; S := (S + DS) ; procedure TSpline.remember ; TmpS := S ; TmpDS := DS ; TmpDDS := DDS ; TmpDDDS := DDDS ; procedure TSpline.restore ; DDDS := TmpDDDS ; DDS := TmpDDS ; DS := TmpDS; S := TmpS ; function TSpline.SplineValue : integer ; SplineValue := S div SplineLength function TSpline.ddtSplineValue : integer ; ddtsplinevalue := DS Div SplineLength * 4 function TSpline.d2dtSplineValue : integer ; d2dtsplinevalue := DDS 4

remember ; TmpS := S ; TmpDS := DS ; TmpDDS := DDS ; TmpDDDS := DDDS ; procedure TSpline.

5 function TSpline.d3dtSplineValue : integer ; d3dtsplinevalue := DDDS procedure TSPline.PlotSpline(x, y, wdth : integer ; Color : TColor) ; Spline(y) ; if x >= SplineLength then Plot(x - plotdelay, SplineValue, wdth, Color) ; procedure TSPline.PlotExtrapolation(j, size : integer ; clr : TColor) ; Remember; for i := j to j + SplineLength div do extrapolation; Plot(i-PlotDelay, SplineValue, Size, clr) ; Restore end Hierbij geldt DDDS is de derde afgeleide, DDS de tweede, DS de eerste en S is de functie zelf. 5

Vergelijkbare documenten

N3 LINEAIRE INTERPOLATIE

N3 LINEAIRE INTERPOLATIE 3.18 Inleiding Het komt vaak voor dat we slechts gedeeltelijke informatie hebben over het vloeiende verloop van een functie f en toch de waarde van de functie y = f(x) in een bepaald