Numerieke methoden. v (m/s) t (s) v (m/s) t (s) v (m/s) t (s) 5 VWO

Transcriptie

1 In de natuurwetenschappen probeert men inzicht te krijgen in hoe de wereld om ons heen werkt. Daartoe doet men waarnemingen en voert men experimenten uit. Op basis van de gegevens die daaruit voortkomen vormt men zich een beeld van hoe de wereld om ons heen werkt. Waaruit bestaat de wereld om ons heen en welke wetmatigheden lijken er te gelden. Anders gezegd men stelt een model op van de werkelijkheid. Een model is een verzameling van veronderstellingen. Op basis van zo n model kunnen voorspellingen worden gedaan over de wereld om ons heen. Bijvoorbeeld: een gas bestaat uit moleculen. moleculen trekken elkaar aan met een kleine elektrische kracht. moleculen bewegen kris kras door elkaar met een bepaalde gemiddelde snelheid. Op basis van deze veronderstellingen (en een aantal extra gegevens betreffende de grootte van de moleculen, de grootte van de elektrische kracht enz.) zou men kunnen berekenen hoe groot de druk is die een dergelijk gas op een wand uitoefent. Hoe beter de voorspelde druk overeenkomt met de daadwerkelijk gemeten druk hoe beter het model. Helaas zijn niet alle voorspellingen van modellen exact te berekenen. Vaak is dit omdat de wiskunde veel te complex wordt en het eenvoudiger (en goedkoper) is om een oplossing te benaderen of omdat de wiskunde niet analytisch op te lossen is. In het geval dat de wiskunde te complex wordt wordt een eenvoudiger model gemaakt voor het op te lossen probleem. Zo is bijvoorbeeld bij sommige problemen de invloed van de wrijvingskrachten verwaarloosbaar klein. Door de vergelijkingen die de wrijvingskrachten in rekening brengen nu geheel weg te laten wordt het wiskundige probleem zeer veel eenvoudiger om op te lossen. De kunst is de vereenvoudigingen zo te kiezen dat het eindresultaat op basis van het vereenvoudigde model zo goed mogelijk overeenkomt met het eindresultaat van het niet vereenvoudigde model. Omgekeerd kun je een model dat gebaseerd is op een aantal veronderstellingen ook uitbreiden zodat het de werkelijkheid beter benadert. Zo hebben wij tot nu toe vaak wrijvingskrachten buiten beschouwing gelaten of veronderstelt dat de wrijvingskrachten constant zijn. In werkelijkheid zijn wrijvingskrachten niet altijd verwaarloosbaar noch zijn zij altijd constant. In het geval de wiskunde niet analytisch oplosbaar is wordt gebruik gemaakt van numerieke rekenmethoden. Numerieke rekenmethoden zijn rekenmodellen die een exacte oplossing benaderen. Hoe nauwkeurig de benadering is kan meestal willekeurig worden gekozen. Het is dan natuurlijk wel zo dat hoe nauwkeuriger de benadering hoe langer de computer erover zal doen om die nauwkeurigheid te bereiken. Daar de nauwkeurigheid van de numerieke rekenmethode kan worden gekozen wordt ook vaak numeriek gerekend ondanks het feit dat de exacte oplossing in principe analytisch kan worden berekend. 1/8

2 Numerieke methoden In de rest van dit document wordt gewerkt met de numerieke methoden zoals die worden toegepast in het programma COACH. Stel we willen de afgelegde weg als functie van de tijd weten voor het geval dat de beweging op tijdstip t = 0 s start vanuit stilstand en vanaf dat moment versnelt met een constante versnelling gelijk aan 0,25 m/s 2. Analytisch is dit probleem reeds in de vierde klas opgelost. De afgelegde weg komt overeen met het oppervlak onder het (v,t)-diagram. Dus s = ½ a t 2. Nu gaan we dit resultaat numeriek berekenen. v (m/s) Het oppervlak onder het (v,t)-diagram kun je benaderen door de oppervlakken van de rechthoeken op te tellen. Overschatting: Bij deze benadering tel je bij elke rechthoek een stukje te veel (aangegeven als rode driehoekjes). Elke dt seconden neemt de afgelegde weg s toe met de oppervlakte van één rechthoek. De snelheid v aan het einde van het tijdsinterval dt is de hoogte van de rechthoek. De breedte van de rechthoek is gelijk aan dt. Wiskundig opgeschreven: dt t (s) s v dt s v dt v (m/s) Het oppervlak onder het (v,t)-diagram kun je benaderen door de oppervlakken van de rechthoeken op te tellen. Onderschatting: Bij deze benadering tel je elke rechthoek een stukje te weinig (aangegeven als rode driehoekjes). Elke dt seconden neemt de afgelegde weg s toe met de oppervlakte van één rechthoek. De snelheid v aan het begin van het tijdsinterval dt is de hoogte van de rechthoek. De breedte van de rechthoek is gelijk aan dt. Wiskundig opgeschreven: t (s) s v dt s v dt v (m/s) Als de stapgrootte dt kleiner wordt gemaakt wordt de benadering van het oppervlak onder het (v,t)-diagram nauwkeuriger. Dit is in nevenstaande afbeelding weergegeven. Hierin is de stapgrootte gehalveerd. Het teveel getelde stuk oppervalk is weergegeven met rode driehoekjes. De gele rechthoekjes geven het verschil tussen de vorige benadering (de overschatting) en deze benadering weer. Natuurlijk geldt eenzelfde redenering voor het geval van de onderschatting. t (s) 2/8

3 Het model: Wiskundig kunnen we het voorgaande model als volgt in COACH-modelleren invoeren. Een model in COACH-modelleren is een computerprogramma dat steeds opnieuw wordt uitgevoerd. Elke uitvoering wordt een iteratie genoemd. De code voor 1 iteratie ziet er als volgt uit: 5 VWO t=t+dt v=v+a dt s=s+v dt Elke iteratie wordt de tijd met dt seconden verhoogd. Elke iteratie wordt de snelheid met a dt meter per seconde verhoogd. Dit is dus zoiets als tel de oppervlakte van de volgende rechthoek op, want a dt is de oppervlakte van een rechthoekje in het (a,t)-diagram. Elke iteratie wordt de afgelegde weg met v dt meter verhoogd. Dit is dus zoiets als tel de oppervlakte van de volgende rechthoek op, want v dt is de oppervlakte van een rechthoekje in het (v,t)-diagram. Bovenstaande commandoregels tellen dus steeds een nieuw rechthoekje op bij het resultaat van de vorige iteratie. Wil een dergelijk programma kunnen worden uitgevoerd dan heeft de computer een aantal startwaarden nodig, want bij de eerste iteratie is er nog geen vorige iteratie. t=0 Start bij t = 0 s. v=0 Start bij v = 0 m/s. s=0 Start bij s = 0 m. a=0,25 De versnelling bedraagt 0,25 m/s 2. dt=0,5 De stapgrootte bedraagt 0,5 s. Standaard staat COACH-modelleren ingesteld op 2000 iteraties. Je kunt deze waarde natuurlijk naar believen aanpassen. Let goed op de eenheden die je in jouw model gebruikt, want COACH-modelleren werkt met getallen zonder eenheden. Een en ander ziet er dan als volgt uit: 3/8

4 Het resultaat van dit model ziet er als volgt uit: De blauwe lijn van het model geeft inderdaad zoals verwacht een overschatting ten opzichte van de analytische oplossing zoals weergegeven met groene lijn. Door de twee laatste regels in het model van volgorde te wisselen krijgen we de onderschatting. Nevenstaande afbeelding geeft de overschatting weer voor drie verschillende stapgrootten (dt = 1; dt = 0,5 en dt = 0,1). In het laatste geval waarbij de stapgrootte 0,1 s bedraagt valt de blauwe lijn vrijwel samen met de groene lijn. Het is duidelijk te zien dat naarmate de stapgrootte kleiner wordt de benadering nauwkeuriger wordt. Het is dus ook niet zinnig de stapgrootte verder te verkleinen want dit kost meer rekentijd en levert niets op in termen van nauwkeurigheid! 4/8

5 v (m/s) Deze methode werkt natuurlijk ook als de versnelling niet constant zou zijn. Als je de snelheid op verschillende tijdstippen hebt bepaald dan kun je de punten benutten om het oppervlak onder de grafiek te benaderen. Ook hier geldt natuurlijk hoe kleiner het tijdsinterval hoe groter de nauwkeurigheid. De nauwkeurigheid is nog verder te vergroten door bijvoorbeeld naast de gemeten snelheden extra punten te creëren door interpolatie. Het zal duidelijk zijn dat dergelijke methoden de nauwkeurigheid vergroten maar dat dit ten koste gaat van de snelheid waarmee het eindresultaat wordt berekend. t (s) Voorbeeld: Vering van een auto Als een auto een oneffenheid in het wegdek tegenkomt is het de bedoeling dat de inzittenden hier zo min mogelijk van merken. Onder andere om deze reden is een auto voorzien van schokdempers. Schokdempers vangen de schok op. Schokdempers worden hier beschouwd als veren met demping. Wil je meer weten over autotechniek kijk dan eens op onderstaande link: Doel : Bepaal de uitwijking van de auto als functie van de tijd als op t = 0 s de schokdempers vijf centimeter worden ingedrukt. Model: t=t+dt Ft=-C*u Fw=-k*v*abs(v) Fr=Ft+Fw a=fr/m Elke iteratie wordt de tijd t met dt seconden verhoogd. Formule voor de resulterende van Fz en Fv; u staat dus voor de uitwijking! Let op het teken! Ft en u zijn altijd tegengesteld. Formule voor de wrijvingskracht die zorgt voor de demping. Let op de truc die ervoor zorgt dat Fw altijd tegengesteld is gericht aan v! Formule voor de resulterende kracht Ft en/of Fw kunnen negatief zijn (dus ook Fr). Formule voor de versnelling v=v+a*dt u=u+v*dt Varieer de startvoorwaarden eens om te kijken wat het effect is van bijvoorbeeld een grotere veerconstante (stuggere vering) of van een kleinere k-waarde (zwakkere demping). 5/8

6 Voorbeeld: Condensator laden Een weerstand, een condensator en een schakelaar staat in serie aangesloten op een batterij. Doel: Bepaal de spanning over de condensator als functie van de tijd voor de eerste tien seconden na het sluiten van de schakelaar. Gegeven: De weerstand bedraagt 10 kω. De capaciteit van de condensator bedraagt 100 μf. De spanning van de battterij bedraagt 10 V. Als jouw model correct werkt vind je nevenstaand diagram. Voorbeeld: Water opwarmen Een hoeveelheid water wordt verwarmd met een dompelaar. Dit keer is het warmteverlies naar de omgeving eens niet verwaarloosbaar. Doel: Bepaal de temperatuur als functie van de tijd vanaf het moment dat het verwarmingselement wordt ingeschakeld tot het moment waar de temperatuur een constante eindwaarde bereikt. Gegeven: De omgeving heeft een temperatuur van 20 o C. Het water is op t= 0 s op kamertemperatuur. De massa van het water bedraagt 100 g. Het vermogen van het verwarmingselement bedraagt 36 kw. Voor de hoeveelheid energie die per seconde verloren gaat geldt: Q = k ΔT, hierin is k een constante gelijk aan 700 J/s o C en ΔT het temperatuurverschil tussen het water en de omgeving. Als jouw model correct werkt vind je nevenstaand diagram. 6/8

7 Voorbeeld: Technetium-koe In de nucleaire geneeskunde worden radioactieve isotopen gebruikt voor diagnostische en/of therapeutische doeleinden. Een veel gebruikte stof om onderzoek mee te doen is technetium-99 m. Deze stof heeft een aantal gunstige fysische en chemische eigenschap die hem zeer geschikt maken voor medisch onderzoek. Een nadeel van technetium-99 m is echter dat zijn halveringstijd van slechts 6 uur betekent dat als de transporttijd 24 uur is de activiteit reeds met 94 % is afgenomen voordat de stof in het ziekenhuis beschikbaar is. Om te voorkomen dat men onnodig grote activiteiten moet versturen om voldoende activiteit in het ziekenhuis beschikbaar te hebben maakt men gebruik van een zogenaamde technetium-koe. Technetium-99m ontstaat namelijk als vervalproduct van molybdeen m Mo Tc m Tc β Tc γ Het technetium-99 m wordt uit de koe gehaald. In het lichaam vervalt technetium-99 m naar technetium-99 onder uitzending van γ-straling. Deze gammastraling kan met een gammacamera worden geregistreerd zodat men een foto kan maken. Bijvoorbeeld kan men lucht met technetium-99 m inademen om een foto te maken van de longen. De stralingsbelasting ten gevolge van het technetium-99 m is beperkt daar er geen α- en/of β-straling vrijkomt. Daarnaast betekent de halveringstijd van 6 uur dat de stof snel weer uit het lichaam verdwenen is. Als je meer wilt weten over dit onderwerp kijk dan eens naar onderstaande links: Doel : Bepaal de activiteit van technetium-99 m als functie van de tijd. Gegeven: De halveringstijd van molybdeen-99 bedraagt 66 uur. De halveringstijd van technetium-99 m bedraagt 6 uur. Ga uit van een starthoeveelheid van kernen molybdeen-99 (N1=1e20) Als jouw model correct werkt vind je onderstaand diagram. De activiteit van technetium-99 m is dus maximaal na 23 uur. 7/8

8 Voorbeeld: Doppler De formule voor het dopplereffect, zoals je deze geleerd hebt, geldt alleen als de afstand van de waarnemer tot de lijn van beweging van de bron 0 m is. Met andere woorden alleen als de bron recht naar je toe of recht van je vandaan beweegt. Hoe ziet de waargenomen frequentie er uit als functie van de afgelegde weg van de bron als je op enige afstand van de lijn van beweging staat? x = 0 m snelheid v α lijn van beweging d Doel: Bepaal de frequentie die de man waarneemt als functie van de plaats waar de auto zich bevindt. Gegeven: De auto rijdt met een constante snelheid van 50 m/s. De afstand van de waarnemer tot de lijn van beweging is 50 m. De auto produceert een testtoon van 500 Hz. Schrijf een model waarmee je de waargenomen frequentie als functie van de plaat van de auto kunt weergeven van x = -500 m tot x = 500 m Als jouw model correct werkt vind je onderstaand diagram. 8/8