Het verkeerstoedelingsmodel H01I6A Verkeerskunde basis

Transcriptie

1 Het verkeerstoedelingsmodel H0I6A Verkeerskunde basis Ben Immers Traffic and Infrastructure Department of Civil Engineering Faculty of Engineering Katholieke Universiteit Leuven

2 Het klassieke verkeersprognosemodel Transport netwerken Gebiedsgegevens Verplaatsingsweerstanden Ritproductie/ ritattractie Trip-ends Distributie/ vervoerwijzekeuze H-B tabellen Toedeling Vervoersstromen H0I6A Verkeerskunde basis 2

3 Doel verkeerstoedeling. het verkrijgen van inzicht in het vervoersnetwerk 2. het doen van voorspellingen 3. het leveren van ontwerp gegevens 4. het leveren van invoergrootheden H0I6A Verkeerskunde basis 3

4 Typisch resultaat van een verkeerstoedeling (avondspits) H0I6A Verkeerskunde basis 4

5 Typisch resultaat van een verkeerstoedeling H0I6A Verkeerskunde basis 5

6 Toedeling verkeer aan netwerken berekening van de route voor elke relatie i-j toedeling van alle verplaatsingen (uit de H-B matrix) aan de berekende routes sommatie van alle verplaatsingen per wegvak resp. kruispunt afzonderlijke berekening per vervoerwijze H0I6A Verkeerskunde basis 6

7 Algoritme van Moore. alle knooppunten krijgen een label Tijd = Backnode = 0 Passief/Actief = 0 2. I := 3. punt I krijgt het label T=0, B=0, P/A=; K=I 4. welke knooppunten zijn met schakels aan actief punt K verbonden 5. zijn deze knooppunten sneller te bereiken? welke? 6. verander van deze knooppunten de labels; snelste tijd; backnode; wordt/blijft actief 7. maak het knooppunt K passief 8. indien er actieve knooppunten zijn wordt een van deze knooppunten actief punt K 9. I := I+ 0.als I < I ga naar 4. stop H0I6A Verkeerskunde basis 7

8 Algoritme van Moore Zone Iteration T B P/A T B P/A T B P/A T B P/A T B P/A H0I6A Verkeerskunde basis 8

9 Keuze uit actieve punten laagste knooppuntnummer in volgorde van vinden met de kleinste gevonden weerstand once through bijv. Dijkstra algoritme van Dial H0I6A Verkeerskunde basis 9

10 Inefficiënt keuzeproces Pad i j Pad 2 Stel: Route via pad 2 is korter dan route via pad H0I6A Verkeerskunde basis 0

11 Tree-builder algoritme Dijkstra label van knooppunt i bestaat uit 3 componenten [ +/-, S i, j] + = label is permanent - = label is tijdelijk S i = tot nu toe gevonden weerstand van oorsprongsknooppunt tot knooppunt i j = verwijzing naar het knooppunt van waaruit knooppunt i gelabeld werd H0I6A Verkeerskunde basis

12 Tree-builder algoritme Dijkstra stap : Initialiseren label knooppunt met het permanente label [+, 0, 0 ] ; alle andere knooppunten i met het tijdelijke label [ -, d(,i), ] i 0 =, vervolg met stap 4 stap 2: Zoekproces zoek knooppunt i 0 dat aan de volgende voorwaarden voldoet: - label is tijdelijk - Si 0 is minimaal (i 0 = index (min [ -, S i, j ] ) stap 3: Vaststelling permanente knooppunten maak label van knooppunt i 0 permanent, als i 0 = N : stop stap 4: Vergelijkingsstap stel P = Si 0 + d(i 0,j) met j tijdelijk gelabeld als p < Sj vervang label van knooppunt j door het label [ -, P, i 0 ] ; ga naar stap 2 H0I6A Verkeerskunde basis 2

13 Tree-builder algoritme Dijkstra H0I6A Verkeerskunde basis 3

14 Iter. Iter. 2 Iter. 3 Iter. 4 Iter. 5 Iter. 6 Iter. 7 +,0,0 2 -,6, -,6, -,6, -,3,3 -,3,3 +,3,3 3 -,0, -,0, -,0, +,0, 4 -,2, +,2, 5 -,, -,, -,, -,, -,7,6 -,6,2 +,6,2 6 -,, -,2,4 -,,7 -,,7 +,,7 7 -,, -,9,4 +,9,4 I 0 = I 0 =4 I 0 =7 I 0 =3 I 0 =6 I 0 =2 I 0 =5 H0I6A Verkeerskunde basis 4

15 Tree-builder algoritme Dijkstra H0I6A Verkeerskunde basis 5

16 Iteratie a H0I6A Verkeerskunde basis 6

17 Iteratie b H0I6A Verkeerskunde basis 7

18 Iteratie 2a H0I6A Verkeerskunde basis 8

19 Iteratie 2b H0I6A Verkeerskunde basis 9

20 Iteratie 3a H0I6A Verkeerskunde basis 20

21 Iteratie 3b H0I6A Verkeerskunde basis 2

22 Iteratie 4a H0I6A Verkeerskunde basis 22

23 Iteratie 4b H0I6A Verkeerskunde basis 23

24 Iteratie 5a H0I6A Verkeerskunde basis 24

25 Iteratie 5b H0I6A Verkeerskunde basis 25

26 Iteratie 6a H0I6A Verkeerskunde basis 26

27 Iteratie 6b H0I6A Verkeerskunde basis 27

28 Kortste route berekening label correcting label setting tree shifting Criteria t.b.v. selectie van knooppunten uit tentatieve tabel Q in volgorde van opname in Q is knooppunt reeds onderdeel van Q? is knooppunt reeds geselecteerd? afstand van knooppunt tot oorsprong (ja/neen) (ja/neen) H0I6A Verkeerskunde basis 28

29 Label correcting last in - first out first in - first out combinatie van beide (lifo) (fifo) (deque) opname knpt in tentatieve tabel Q knpt nog niet eerder bereikt --> fifo knpt is onderdeel tentatieve tabel knpt is reeds onderdeel van routeboom maar wordt nu door nieuwe kortste route bereikt --> lifo H0I6A Verkeerskunde basis 29

30 Label setting sorteren van de tentatieve tabel S - ord sorteren forward star ordening beperkt sorteertijd S - heap binaire boom S - calc linked list array H0I6A Verkeerskunde basis 30

31 Tree shifting formulering als lineair programmeringsprobleem Een imaginaire eenheidslading moet getransporteerd worden van herkomst O naar alle bestemmingen D H0I6A Verkeerskunde basis 3

32 Label correcting (lifo) o v s 25 u o (v,p,s) p (o,q) q (r,p,s) r (w,q) s (w,v,o,q) t (w,u) u (w,t,v) t v (u,o,s) p w (r,t,u,s) q 0 r 0 w H0I6A Verkeerskunde basis 32

33 Label correcting (lifo) v o s u p t q r w H0I6A Verkeerskunde basis 33

34 Label correcting (lifo) v o s u p t q r w H0I6A Verkeerskunde basis 34

35 Label correcting (lifo) v o s u p t q r w H0I6A Verkeerskunde basis 35

36 Label correcting (lifo) v o s u p t q r w H0I6A Verkeerskunde basis 36

37 Label correcting (lifo) v o s u p t q r w H0I6A Verkeerskunde basis 37

38 Label correcting (lifo) v o s u p t q r w H0I6A Verkeerskunde basis 38

39 Label correcting (lifo) v o s u p t q r w H0I6A Verkeerskunde basis 39

40 Label correcting (lifo) v o s u p t q r w H0I6A Verkeerskunde basis 40

41 Label correcting (lifo) node Q o p q r s t u v w r * w q q * w p s s * w p v o o w p v v * w p u u * w p t t w p p * w o o w w * t u s s * t u v o ovut t u v H0I6A Verkeerskunde basis 4

42 Label correcting (fifo) u s w r q node Q o p q r s t u v w r * w q w * q t u s q * t u s p t u s p u * s p v s * p v o p v o v o o H0I6A Verkeerskunde basis 42

43 Label setting (Dijkstra) s p r q w node Q o p q r s t u v w r * q w q * w p s w * t p s u t p s u p * s u o s * u o v u v o o o v H0I6A Verkeerskunde basis 43

44 Voorbeeld van Dijkstra algoritme Zie ook www voor aardige illustraties, bijv. el/english/java_docs/mindijk.htm H0I6A Verkeerskunde basis 44

45 Voorbeeld foutieve netwerkspecificatie 8, 7 6, ,5 0,7 = afslagverbod 2 kortste routeboom loopt via en geen route wordt gevonden tussen -5 via 3 geheel foute route wordt gevonden via (knooppuntweerstand) H0I6A Verkeerskunde basis 45

46 8, 7 6,5 4b 4c 5 4a 4d 3 0,5 0,7 2 Autosnelweg wordt beschreven door eenrichtingsschakels Kortste routes worden nu wel gevonden H0I6A Verkeerskunde basis 46

47 Beschrijving afslagweerstand ,7 3 0,7 2 0, ,2 3 Netwerk met knooppuntweerstanden voor de beschrijving van afslagweerstanden of afslagverboden H0I6A Verkeerskunde basis 47

48 Toedeling verkeer aan netwerken Bereken de kortste route voor elke relatie i j Deel alle verplaatsingen (uit de H-B matrix) toe aan de berekende routes Sommeer alle verplaatsingen per wegvak resp. per kruispuntarm Afzonderlijke berekening per vervoerwijze H0I6A Verkeerskunde basis 48

49 Verplaatsing = koppeling van ruimtelijk gescheiden activiteiten beïnvloed door: nut van een verplaatsing offer of weerstand N np Z np (N np - Z np ) = U np = nutsfunctie (consumer surplus) H0I6A Verkeerskunde basis 49

50 Routekeuze wordt beïnvloed door: Routekenmerken, zoals: lengte reistijd reiskosten wegtype, komfort verkeerssituatie betrouwbaarheid veiligheid Ritkenmerken: motief voertuig Kenmerken rittenmaker: leeftijd geslacht socio-economische etc. H0I6A Verkeerskunde basis 50

51 Theorie routekeuze U np = N np - Z np nutsfunctie route n U mp = N mp - Z mp nutsfunctie route m Keuze voor route m indien: U mp > U np U mp - U np > 0 N mp - N - Z np mp + Z > np 0 Routekeuze: N mp = N np keuze voor m als Z mp < Z np def Z mp Z np = Z + m ε mp def = Z + n ε mp H0I6A Verkeerskunde basis 5

52 ε np, ε mp = storingsterm verwaarlozingen in model stochastiek misschattingen verschil in beoordeling onverklaard gedrag ε mp, ε np is Gumbel verdeeld logit model of Dial toedeling ε mp, ε np, is normaal verdeeld probit model Monte Carlo toedeling Stochastische toedeling ε mp, ε np, = 0 route met kleinste weerstand alles of niets toedeling H0I6A Verkeerskunde basis 52

53 Gumbel versus Normale verdeling Gumbel cumulatieve kansdichtheidsfunctie F( x) = exp( exp( µ ( x η))) H0I6A Verkeerskunde basis 53

54 Toedelings methoden Alles of Niets (AoN) toedeling Alternatieve routes (in niet zwaar belaste netwerken) deterministische kansmodellen stochastische kansmodellen Alternatieve routes (in zwaar belaste netwerken) capacity restraint evenwichtstoedeling H0I6A Verkeerskunde basis 54

55 Beperkingen AoN toedeling In de praktijk worden meer routes gebruikt stochastisch effect: individuele verschillen in: perceptie van de aantrekkelijkheid van elk routealternatief Kennis van beschikbare routes capaciteitseffecten Weerstand van aanvankelijk kortste route neemt toe als gevolg van verkeersbelasting Stochastische effecten worden meegenomen? nee ja Capaciteits effecten worden meegenomen? nee ja Alles of niets toedeling Evenwichtstoedeling Stochastische toedeling Stochastische evenwichtstoedeling H0I6A Verkeerskunde basis 55

56 Toedelingsmodellen Statische toedelingsmodellen Verplaatsingen worden aan de gehele route tussen herkomst en bestemming toegedeeld (steady-state of 2D) Dynamische toedelingsmodellen Variatie in vervoervraag (H-B matrix) en vervoeraanbod (netwerkkarakteristieken) wordt meegenomen Heeft gevolgen voor: Linkbelastingen (benedenstrooms van knelpunt) Fileopbouw Blocking-back en gridlock Reistijden en variaties in reistijden H0I6A Verkeerskunde basis 56

57 Alles of Niets toedelingsmodel elke reiziger kiest de kortste route Impliciete veronderstellingen daarbij zijn: de reiziger kent alle beschikbare routes de reiziger is perfect geïnformeerd over de weerstanden (lengtes, reistijden) van alle routes de reiziger kiest uitsluitend op grond van de weerstand (lengte, reistijd) H0I6A Verkeerskunde basis 57

58 Instabiliteit Alles of Niets Toedeling q Q model t realiteit i j t < t 0 2 t > t 2 t - t 2 t 2 H0I6A Verkeerskunde basis 58

59 Instabiliteit Alles of Niets Toedeling q Q model t i j t < t 0 2 t > t 2 t - t 2 t 2 H0I6A Verkeerskunde basis 59

60 Instabiliteit Alles of Niets Toedeling q Q model t i j t < t 0 2 t > t 2 t - t 2 t 2 H0I6A Verkeerskunde basis 60

61 Instabiliteit Alles of Niets Toedeling q Q t realiteit i j t < t 0 2 t > t 2 t - t 2 t 2 H0I6A Verkeerskunde basis 6

62 Instabiliteit Alles of Niets Toedeling q Q model t realiteit i j t < t 0 2 t > t 2 t - t 2 t 2 H0I6A Verkeerskunde basis 62

63 Voorbeeld Alles of Niets toedeling H0I6A Verkeerskunde basis 63

64 Stochastisch toedelingsmodel Toedeling op basis van theoretische verdelingsfunctie Voorbeeld theoretisch kansmodel: Logit model Problemen: definitie alternatieve routes (redelijke routes) definitie netwerk (identieke en onafhankelijke stoortermen) Toedeling op basis van simulatie Monte Carlo simulatie H0I6A Verkeerskunde basis 64

65 Stochastisch toedelingsmodel Monte Carlo simulatie C a = c a + ε a ; C a = c a + z φ * c a ; waarbij c a = objectief meetbare schakelweerstand z = random getal uit een (pseudo) normale N(0,)-verdeling φ = een factor voor de bepaling van de grootte van de variatie C a = met loting bepaalde subjectieve weerstand H0I6A Verkeerskunde basis 65

66 Multiple Route model Stochastisch toedelingsmodel elke reiziger kiest kortste route, echter: geen perfecte kennis van reistijden elke reiziger maakt subjectieve schatting de route-reistijd kansdichtheidsfuncties route-reistijden t f i j q = Q Pr (t e < t 2e ) q = belasting route Q = aantal ritten van H(i) naar B(j) t i e t 2 = schatting reistijd route i σ t t 2 σ2 t H0I6A Verkeerskunde basis 66

67 Kansdichtheidsfuncties route reistijden f σ σ2 t t 2 t H0I6A Verkeerskunde basis 67

68 Stochastische toedeling i = 0 q a (i) = 0 herhaal i = i + Bepaal C a door loting Bepaal stromen Q a met een alles-of-niets toedeling met weerstanden C a f = / i q a (i) = ( - f) q a (i-) + f Q a tot stopcriterium = waar H0I6A Verkeerskunde basis 68

69 Evenwichts toedelingsmodel Equilibrium assignment model reiziger kiest route met de kortste reistijd, echter reistijd is afhankelijk van de belasting op het wegvak (reistijdfunctie) Verdeling van ritten over netwerk volgens principes van Wardrop Gebruikersoptimum De reistijden van alle gebruikte routes tussen een bepaalde herkomst en bestemming zijn even groot en/of korter dan die van de niet gebruikte routes Systeemoptimum Het verkeer wordt zodanig aan het netwerk toegedeeld dat de totale systeemweerstand wordt geminimaliseerd; alle gebruikte routes hebben dezelfde marginale systeemweerstand H0I6A Verkeerskunde basis 69

70 Reistijd functie t a β free flow qa = ta + ( α ) cap t a = tijd op schakel a t free flow a = minimum tijd op schakel (onbelast) q a = verkeersbelasting (intensiteit cap = capaciteit α = coëfficiënt β = exponent (met de waarde 4 of 5) Steady flow capacity t a = 2 t a free flow α = Praktische capaciteit t a =,5 t a free flow α = 0,5 H0I6A Verkeerskunde basis 70

71 Reistijd functie tijd/min. tijd ,5 Verkeersbelasting/capaciteit H0I6A Verkeerskunde basis 7

72 Evenwichtstoedeling Evenwicht in netwerk wordt berekend als een minimalisatievraagstuk Z = a q a 0 c a ( q) dq (Gebruikersoptimum) (zelfzuchtig, beschrijvend) Z = a q a 0 c~ a ( q) dq (Systeemoptimum) (sociaal, normatief) met als randvoorwaarden behoud van ritten Niet-negativiteit H0I6A Verkeerskunde basis 72

73 Gebruikersoptimum cˆ a = q a c a cˆ = a systeemweerstand cˆ totaal = a q a c a H0I6A Verkeerskunde basis 73

74 Systeemoptimum min qa q a ca ( qa ) a Algemeen geldt voor een differentieerbare functie f ( q min a qa ) = q a f ( q) dq 0 q a a 0 c~ a ( q) dq c ~ ( q) = d / dq( q c ( q )) a ca ~ ( q ) = a marginale systeemweerstandsfunctie H0I6A Verkeerskunde basis 74

75 Evenwichtstoedeling t i 2 j 3 q q 2 q 3 q H0I6A Verkeerskunde basis 75

76 Frank - Wolfe algoritme Startoplossing die iteratief wordt verbeterd. Bereken startoplossing (A o N toedeling) {q a0 } 2. Herbereken reistijden op grond van belastingen { t a i } 3. Deel H-B matrix toe volgens deze reistijden (2) (AoN toedeling) { w a i } 4. Optimale weging van oude belastingen resulterend in nieuwe belastingen {q a i = q a i- + λ i ( w a i - q a i- ); 0 λ i } 5. Toets of nieuwe belastingen voldoen ja ---> stop; nee ---> ga naar 2 λ i wordt zodanig bepaald dat Z minimaal is H0I6A Verkeerskunde basis 76

77 Voorbeeld H0I6A Verkeerskunde basis 77

78 Voorbeeld H0I6A Verkeerskunde basis 78

79 Voorbeeld H0I6A Verkeerskunde basis 79

80 Voorbeeld H0I6A Verkeerskunde basis 80