Werkstuk Wiskunde B Gulden snede

Transcriptie

1 Werkstuk Wiskunde B Gulden snede Werkstuk door een scholier 1937 woorden 28 januari ,1 28 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Werkstuk Wiskunde: De Gulden Snede (a)laat zien hoe de verhouding van de gulden snede kan worden afgeleid uit bovenstaande tekst. De verdeling van een lijnstuk in uiterste en middelste reden; de verdeling van een lijnstuk in 2 delen zodat de verhouding van het hele lijnstuk tot het grootste stuk gelijk is aan de verhouding van het grootste stuk tot het kleinste stuk. X B A x/a=a/b (als x het hele lijnstuk is, a het grootste stuk en b het kleinste) (b) Als we de verhouding voorstellen door φ, druk dan de eerst 13 machten van φ uit in functie van φ. Φ = ( 5 1) / 2 Φ: 1/X = 1+X Φ 0,618 Φ1=Φ Φ²=Φ+1 Φ³= Φ.Φ2 = Φ(Φ+1) = Φ 2+Φ = 2Φ+1 Φ4= Φ.Φ³ = Φ(2Φ+1) = 2Φ²+Φ = 2(Φ+1)+Φ = 3Φ+2 Φ5= Φ². Φ³ = (Φ+1).(2Φ+1) = 2Φ²+ Φ+2 Φ+1 = 3Φ1++2(Φ+1) = 5Φ+3 Pagina 1 van 6

2 Φ6= Φ³.Φ³ = (2Φ+1).(2Φ+1) = 4Φ²+2Φ+2Φ+1 = 4Φ²+4Φ+1 = 4(Φ+1)+4Φ+1 = 4Φ+4+4Φ+1 = 8Φ+5 Φ7= Φ.Φ6 = Φ(8Φ+5) = 8Φ²+5Φ = 8(Φ+1)+5Φ =13Φ+8 Φ8= Φ7.Φ = Φ(13Φ+8) = 13Φ²+ 8Φ = 13(Φ+1)+8Φ = 13Φ+13+8Φ = 21Φ+13 Φ9= Φ8.Φ = Φ(21Φ+13) = 21Φ²+13Φ = 21(Φ+1)+13Φ = 21Φ+21+13Φ = 34Φ+21 Φ10= Φ9.Φ = Φ(34Φ+21) = 34Φ²+21Φ = 34(Φ+1)+21Φ = 34Φ+34+21Φ = 55Φ+34 Φ11= Φ10.Φ = Φ(55Φ+34) = 55Φ²+34Φ = 55(Φ+1)+34Φ = 55Φ+55+34Φ = 89Φ+55 Φ12= Φ11. Φ = Φ(89Φ+55) = 89Φ²+55Φ = 89(Φ+1)+55Φ = 89Φ+89+55Φ =144Φ Pagina 2 van 6

3 Φ13= Φ12.Φ = Φ(144Φ+89) = 144Φ²+89Φ = 144(Φ+1)+89Φ = 144Φ Φ = 233Φ+144 In de uitkomsten zijn ook de getallen van Fibonnaci terug te vinden; de getallen van Fibonnaci zijn: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, (1+2=3, 2+3=5, 3+5=8 ) en de uitkomsten zijn 2Φ+1, 3Φ + 2, 5 Φ+3, 8Φ + 5, 13 Φ+8 (c) Zoek toepassingen van φ in de bouwkunst of in de schilderkunst. De piramide van Gizeh Naast de schat aan historisch materiaal, bieden de piramides ook mogelijkheden tot wiskundig onderzoek. Zo blijkt ook de Gulden Snede een rol te spelen in de architectuur van sommige piramides. Een goed voorbeeld daarvan is de Grote Piramide in Gizeh, gebouwd rond 2500 v.c. De hellingshoek die de schuine vlakken van deze piramide maken is 51,85 graden. Wanneer we een dwarsdoorsnede van de piramide maken, op deze manier: dan krijgen we de volgende driehoek: Hierin is α 51,85 graden. Wanneer we nu een schuine zijde lengte 1 geven, dan kun je uitrekenen dat de horizontale zijde dat is de halve breedte van de piramide lengte j heeft. De gulden snede komt dus terug in het ontwerp van de piramides in Egypte. Het Parthenon Het Parthenon is een oude Griekse Tempel, gewijd aan Athene, de godin van de wijsheid. Het stond op de Akropolis, de tempelberg in Athene. Er is nu nog een ruïne van over. De tempel is ontworpen door Ictinus en Callicrates, volgens wiskundige principes. Het beeldhouwwerk is gemaakt onder leiding van Phidias. Hij is degenen naar wie de Gulden Snede (Phi) genoemd is. Het is gebouwd van 477 tot 438 voor Chr. Deze tempel bestaat, zoals de meeste Griekse tempels uit een zuilenrij, met daarop een dak. De afmetingen van de tempel zijn ongeveer 30m bij 70 m. Wanneer we kijken naar de voorkant van het gebouw, zien we dat bepaalde verhoudingen van afmetingen de Gulden Snede zijn. Deze zijn aangegeven in het volgende plaatje. In het plaatje zijn een aantal plaatsen aangegeven waar de Gulden Snede terug te vinden is. In het volgende plaatje zie je dat de voorkant van het Parthenon is ingedeeld volgens de Gulden Rechthoek: Gulden Snede in de Renaissance en de Romantiek Na de ontdekking van de Gulden Snede door de Grieken zijn er nog vele kunstenaars geweest, die de Gulden Snede als verhouding in hun kunstwerken gebruikt hebben. Zo ook de kunstenaars van de Renaissance. De Renaissance grijpt terug op de bouwkunst uit de oudheid en neemt afstand van de gotiek. Gebouwen Pagina 3 van 6

4 moesten volgens een universele maatvoering worden gebouwd. Aan de verhoudingen (hoogte, lengte en breedte) werd dan ook veel aandacht besteed. Hiernaast, bij de Mona Lisa van da Vinci, speelt de gulden snede ook een rol (zie tekening). (d) Φ in de meetkunde: zoek een constructie van φ en leg het verband met de gouden rechthoek. Zoek voorbeelden uit het dagelijkse leven voor die gouden rechthoek. Voorbeelden uit het dagelijks leven: Luciferdoosjes: Aanstekers: Boeken: Reiskoffers: (e) Beschrijf de bijhorende historische achtergronden. Galileo Galilei Galilei is geboren op 15 februari 1564 in Pisa. Hij was een Italiaanse natuurkundige en filosoof. Hij was één van de eersten die een telescoop gebruikte en heeft zo de 4 manen van Jupiter en de schijngestalten van de planeet Venus ontdekt. Hij ontdekte ook dat de Maan niet glad was, maar vol met kraters zat. Op basis van deze waarnemingen en de theorie van Nikolaus Copernicus kwam hij tot de conclusie dat de zon in het midden van het heelal staat. Dit noemt men de heliocentrische theorie. Maar hij heeft ook uitgevonden. Toen hij in een kerk een lamp zag slingeren, zag hij dat een voorwerp dat slingert altijd dezelfde tijd over een heen en weer beweging doet. Het maakt niet uit hoe zwaar het gewicht is, maar alleen door het touw langer of korter te maken werd de tijd van een heen en weer beweging bepaald. Met die wetenschap konden slingerklokken gemaakt worden. Galileo ontdekte dat als je ballen van een helling laat rollen dat ze langzaam versnellen. Later ontdekte hij ook, dat als je een bal van een mast van een schip laat vallen, de bal recht onder de mast valt. Terwijl je verwacht dat de bal zou vallen en ver achter de mast zou terechtkomen doordat het schip vaart. Zo ontdekte hij dat twee krachten voor de uiteindelijke positie van de bal zorgden, de voorwaartse beweging en de zwaartekracht. Vroeger dacht men dat de aarde het middelpunt was (omdat dit zo in de bijbel stond) en dat de zon, de maan en de sterren rond de aarde draaiden. Galileo beweerde het tegendeel en hij werd gedwongen om afstand te doen van zijn ontdekkingen omdat zijn theorie tegen de ideeën van de Kerk was. Hij kreeg levenslang huisarrest van de Kerk en hij mocht nooit nog beweren dat de aarde rond de zon draait. In 1637 liep Galileo een oogontsteking op en hij werd blind. Hij liet al zijn experimenten doen door assistenten en die moesten dan vertellen wat ze zagen. Op 8 januari 1642 stierf Galileo Galilei in zijn slaap. Hij was 77 jaar geworden. Nicolaus Copernicus Copernicus is geboren op 19 februari 1473 in Torun in Polen en genoot een goede humanistische opvoeding. Hij ging medicijnen en Grieks studeren in Padua (Italië). Tijdens een bezoek aan Rome in 1513 en Pagina 4 van 6

5 schreef hij zijn later bekend geworden theorie dat niet de aarde maar de zon het centrum is van het universum en dat de aarde en de planeten in cirkelvormige banen rond de zon bewegen. Hij verspreidde zijn theorie anoniem omdat hij bang was als ketter berecht te zullen worden. Zijn theorie werkte hij verder uit in de jaren erop. Pas vlak voor zijn dood bracht hij het geschrift uit genaamd: 'De revolutionibus orbium coelestium'. Er werd een boek van uitgegeven dat hij pas op zijn sterfbed (24 mei 1543) ontving. Pas een eeuw later vonden zijn opvattingen serieuze erkenning toen Kepler en Galilei zijn theorie openbaar gingen ondersteunen, waardoor de laatste inderdaad in ernstig conflict raakte met de kerk. Heliocentrische theorie De heliocentrische theorie gaat er van uit dat de zon het middelpunt van het universum is, waar alles om heen draait. Oude Griekse filosofen, zoalspythagoras, kwamen al op het idee dat de aarde niet het middelpunt was. Vaak bevatten hun theorieën echter wel eigenaardigheden, zoals het bestaan van een 'tegenaarde' en de 'haard van het heelal'. Aristarchus ( voor Chr) was voor zover bekend de eerste die een heliocentrisch wereldbeeld schetste. Het heliocentrisme is in het Westen op wetenschappelijke basis gevestigd door het werk van Copernicus en Galileo Galilei. Copernicus' boek, Over de omwenteling van de hemelse sferen (De Revolutionibus Orbium Coelestium) werd in 1543 gepubliceerd toen hij op het sterfbed lag. Aanvankelijk veroorzaakte het niet een grote opschudding, vooral dankzij de kerk. Het heliocentristische wereldbeeld is pas echt populair geworden door Galileo Galilei en Johannes Kepler, die enkele harde wetenschappelijke bewijzen aandroegen. Marcus Vitruvius Pollio Vitruvius was een Romeins bouwmeester uit de tijd van keizer Augustus (1e E. v.c.) en schreef een werk over architectuur: de architectura. Zijn gegevens haalde Vitruvius gedeeltelijk uit eigen ervaringen en verder voornamelijk uit Griekse bronnen. Het werk van Vitruvius is zeer belangrijk omdat de authentieke Griekse bronnen verloren zijn gegaan. Op de bouw van de Renaissance tot en met de 18e eeuw heeft hij veel invloed gehad. Over het werk van de Romeinse ingenieurs is er maar weinig bekend. Ze schreven namelijk vrijwel nooit iets op. Er is echter één opvallende uitzondering op deze regel :Vitruvius Vitruvius moet dus wel een uitzonderlijke persoon zijn geweest. Om Vitruvius te leren kennen, kunnen we eigenlijk niet beter doen dan zijn boek lezen. Zoveel is zeker, hij was inderdaad een architect. Dat is ook aan de stijl van zijn boek af te lezen. Niet de vloeiende stijl van Romeinse filosofen of literatoren, maar een vrij moeizaam Latijn dat aangeeft dat deze man in zijn leven niet erg veel oefening had gehad in het schrijven. Wat hij in plaats van schrijven in zijn leven als architect nu wel precies gedaan heeft, blijft echter vrij duister. Slechts van één gebouw weten we dat hij het ontworpen en gebouwd heeft, omdat hij er in zijn boek over schrijft: een basiliek, een soort overdekte markt, in de Italische stad Fano (aan de Adriatische Zee). Dit gebouw is overigens al lang door sloop of verval spoorloos verdwenen. Wat hij verder nog heeft gedaan is niet duidelijk, maar hij schijnt een groot deel van zijn loopbaan in het leger te hebben gewerkt Pagina 5 van 6

6 als militaire ingenieur. Een erg gezaghebbende architect kan Vitruvius echter moeilijk geweest zijn. Als we de voorschriften in zijn boek vergelijken met de resten van gebouwen uit zijn tijd, blijken die voorschriften vaak tamelijk verouderd. De nieuwste mode vertegenwoordigde hij zeker niet. Dat blijkt het duidelijkst op het punt van versieringen (wandschilderingen en dergelijke), waar de mode altijd het snelste gaat. Met zijn boek wil hij de mensen duidelijk maken dat de bouwkunst een serieus vak is dat achting en bescherming verdient. Een vak, bovendien, dat je niet aan beunhazen kunt overlaten, maar alleen aan goed opgeleide, deskundige bouwmeesters. Het beeld dat uit dit alles van de man oprijst, is dat van een ouderwetse, maar degelijke knorrepot. Iemand die hart heeft voor zijn vak, maar vast wil houden aan de regels die hij in zijn jeugd heeft geleerd. Pagina 6 van 6