bodemvochtwaarnemingen

Transcriptie

1 Faculteit Bio-ingenieurswetenschappen Academiejaar Vergelijking van twee data-assimilatietechnieken voor het optimaliseren van een hydrologisch model met behulp van satelliet-gebaseerde bodemvochtwaarnemingen Stefanie Coppens Promotoren: Prof. dr. ir. Niko Verhoest en dr. ir. Hans Lievens Tutoren: dr. ir. Hans Lievens en ir. Brecht Martens Masterproef voorgedragen tot het behalen van de graad van Master in de bio-ingenieurswetenschappen: Land- en Waterbeheer

2

3 Faculteit Bio-ingenieurswetenschappen Academiejaar Vergelijking van twee data-assimilatietechnieken voor het optimaliseren van een hydrologisch model met behulp van satelliet-gebaseerde bodemvochtwaarnemingen Stefanie Coppens Promotoren: Prof. dr. ir. Niko Verhoest en dr. ir. Hans Lievens Tutoren: dr. ir. Hans Lievens en ir. Brecht Martens Masterproef voorgedragen tot het behalen van de graad van Master in de bio-ingenieurswetenschappen: Land- en Waterbeheer

4 De auteur en de promotoren geven de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen en delen ervan te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting uitdrukkelijk de bron te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze scriptie. The author and promotors give the permission to use this thesis for consultation and to copy parts of it for personal use. Every other use is subjected to the copyright laws, more specifically the source must be extensively specified when using results from this thesis. De promotoren: De auteur: Prof. dr. ir. Niko Verhoest Dr. ir. Hans Lievens Stefanie Coppens

5 Voorwoord Bij de keuze van het onderwerp van deze masterproef had ik veel geluk. Er is namelijk één onderzoeksdomein waar ik al jaren gepassioneerd door ben: hydrologie. Daarom wil ik in de eerste plaats de persoon bedanken die deze masterthesis mogelijk heeft gemaakt, namelijk mijn promotor, Niko Verhoest. Voorafgaand aan de inhoudelijke bespreking van deze masterproef, zou ik graag een aantal personen willen bedanken voor hun steun tijdens deze opleiding en/of hun medewerking aan dit werkstuk. Een eerste woord van dank gaat uit naar mijn promotoren Prof. dr. ir. Niko Verhoest en dr. ir. Hans Lievens voor het geven van de juiste richting aan dit werkstuk en het bijsturen waar nodig. Eveneens richt ik een woord van dank aan ir. Brecht Martens voor zijn hulp en nuttige tips in het kader van het onderzoek. Daarnaast kon ik steeds opnieuw met mijn vragen bij hun terecht. Vervolgens wil ik ook mijn ouders bedanken, niet enkel om deze opleiding financieel mogelijk te hebben gemaakt, maar ook voor de morele opvang en raad, noodzakelijk om deze opleiding tot een goed einde te brengen. Ook mijn vriend, Iwein, wil ik van harte bedanken voor de steun en het begrip in de minder makkelijke tijden gedurende deze studieloopbaan. Omwille van het feit dat hij altijd klaar stond met een luisterend oor, in het bijzonder tijdens de opstelling van deze masterthesis, verdient hij op zijn minst de nodige lofbetuigingen. Verder wel ik tevens mijn zus en vrienden bedanken voor de morele steun en de fijne momenten van ontspanning. Bedankt! Stefanie Coppens

6 Abstract Bodemvocht speelt een cruciale rol in de hydrologische cyclus en beïnvloedt onder meer de verdeling van inkomende atmosferische en zonnestraling en anderzijds de opdeling van neerslag in infiltratie en runoff. Te hoge of te lage bodemvochtgehalten kunnen nadelig zijn voor de omgeving en schade berokkenen. Bijgevolg is een juiste inschatting van het bodemvochtgehalte essentieel bij het betrouwbaar maken van waarschuwingssystemen. Het hydrologische SAC-SMA model (Sacramento Soil Moisture Accounting model) is een conceptueel neerslag-afvoer model dat een tweelagige structuur gebruikt om bodemvochtvoorspellingen te bekomen. Er kan getracht worden de accuuraatheid en betrouwbaarheid van deze modelvoorspellingen te verbeteren door rekening te houden met geobserveerde bodemvochtgehalten afkomstig van afstandswaarnemingen. Dit wordt beschreven als dataassimilatie. Hierbinnen wordt geopteerd om met passieve sensoren te werken binnen het microgolfspectrum, zoals de SMOS-satelliet (Soil Moisture Ocean Salinity). In deze masterthesis worden twee data-assimilatietechnieken toegepast op het hydrologisch model voor het stroomgebied van de Murrumbidgee (Australië): de Ensemble Kalman Filter (EnKF) en de Newtoniaanse nudging. Voordat de EnKF geïmplementeerd kan worden, moet er eerst een ensemble voor modellen, gekenmerkt door verschillende parametersets en forcing variabelen, opgesteld worden. Dit wordt bereikt aan de hand van twee ensemble generatietechnieken. Ten eerste kan een eigen ontwikkelde techniek toegepast worden, nl. de Triangulaire Ensemble Selectie methode. Ten tweede kunnen de ensembles aangemaakt worden door ruis aan te brengen op gekalibreerde parametersets. Deze gekalibreerde parametersets worden bereikt via het optimalisatie-algoritme van Shuffled Complex Evolution (SCE). Eenmaal de ensembles gegenereerd zijn kunnen deze beoordeeld worden op basis van de Talagrand diagrammen en een aantal ensemble statistieken met betrekking tot de ensemble spreiding en ensemble skill. Uit deze resultaten kan besloten worden dat de ensembles, gegenereerd via het aanbrengen van ruis op de gekalibreerde parametersets, het beste de realiteit weerspiegelen. Deze twee ensemble generatiemethoden worden gebruikt om de ensembles te genereren die nodig zijn bij het toepassen van de EnKF. Uit de bekomen resultaten kan afgeleid worden dat de EnKF een verbetering geeft van de accuraatheid van de bekomen bodemvochtgehalten ten opzichte van de in situ metingen. De beste voorspelling van de bodemvochtgehalten wordt echter bekomen door het toepassen van de EnKF met de ensembles gegenereerd via de optimale parametersets. Bij het uitvoeren van het Newtoniaanse nudging-algoritme wordt geen gebruik gemaakt van ensembles. Bijgevolg wordt hier gewerkt a.d.h.v. de gekalibreerde parametersets. Er worden echter nadelige effecten waargenomen ten gevolge van het toepassen van deze assimilatietechniek. Dit is te wijten aan de robuustheid van het Newtoniaanse nudging-algoritme. Finaal kan gesteld worden dat data-assimilatie een voordeel biedt voor de accuraatheid en betrouwbaarheid van de bodemvochtvoorspellingen, op voorwaarde dat de assimilatietechniek gekenmerkt wordt door een zekere flexibiliteit, zoals dit het geval is bij de EnKF.

7 Inhoudstafel 1 Inleiding 1 2 Passieve microgolfwaarnemingen van bodemvocht Bodemvocht SMOS Penetratiediepte Ruimtelijke resolutie Radiofrequentie-interferentie Vegetatieve bedekking Het studiegebied en de dataset Het studiegebied De dataset Het Sacramento model Bovenste laag Onderste laag Bodemvochtverdeling Percolatie Basisafvoer Runoff Evapotranspiratie Modelparameters Modeltoestanden i

8 Inhoudstafel 5 Ensemble generatiemethoden Algemeen Ensemble verificatiemethoden Ensemble interpretatie Talagrand diagram Ensemble selectiemethoden Algemeen Doelfunctie Perturberen van de gekalibreerde parameterset Shuffled Complex Evolution Perturbaties Triangulaire Ensemble Selectiemethode Resultaten Klassieke ensemble selectiemethode Triangulaire Ensemble Selectiemethode Vergelijken van beide ensemble selectiemethoden Data-assimilatie De Kalman Filter Toestand-ruimte model Het filter algoritme De Extended Kalman Filter De Ensemble Kalman Filter Algemeen Het EnKF algoritme Voorbeschouwing Resultaten Perturbaties op de gekalibreerde parameterset Parameterensembles gegenereerd via de Triangulaire Ensemble Selectiemethode Vergelijking van de resultaten van de EnKF voor beide ensemble selectiemethoden ii

9 Inhoudstafel 6.4 Newtoniaanse nudging Algemeen Het Newtoniaanse nudging-algoritme Toepasbaarheid Resultaten Vergelijking van de toegepaste data-assimilatietechnieken Besluit en toekomstig onderzoek 78 Referentielijst 80 Bijlagen 87 iii

10 Lijst van afkortingen CATDS CCE CDF CPU EESS EKF EnKF ERS ESA ITU KF KGE MIRAS NOAA NSE NWS PDF RFI RMSE SAC-SMA SAR SCE-UA SMOS SWAT Centre Aval de Traitement des Données SMOS Competitive Complex Evolution Cumulatieve distributiefunctie Central Processing Unit Earth Explorer Satellite Service Extended Kalman Filter Ensemble Kalman Filter European Remote Sensing European Space Agency Internationale Telecommunicatie Unie Kalman Filter Kling Gupta Efficiëntie Microwave Imaging Radimeter met Aperture Synthesis National Oceanic and Atmospheric Administration Nash-Sutcliff Efficiëntie National Weather Service Probabiliteitsdistributiefunctie radio-frequentie-interferentie Root Mean Squared Error Sacramento Soil Moisture Accounting Synthetic Aperture Radar Shuffled Complex Evolution - University of Arizona Soil Moisture and Ocean Salinity Soil and Water Assessment Tool iv

11 Hoofdstuk 1 Inleiding Bodemvocht kan gedefinieerd worden als het water in de bovenste laag van de bodem (Houser et al., 1998). Dit water speelt een belangrijke rol in de interactie tussen de hydrologische cyclus en de energiehuishouding van het landoppervlak. Meer specifiek beïnvloedt het bodemvocht enerzijds de verdeling van de inkomende atmosferische en zonnestraling en anderzijds de verdeling van de neerslag in infiltratie en directe runoff (Brocca et al., 2010; Chen en Dudhia, 2001). Te hoge bodemvochtgehalten kunnen aanleiding geven tot overstromingen, aangezien een (bijna) verzadigde bodem minder neerslag zal toelaten om te infiltreren. Volgens Carpenter et al. (1999) zijn overstromingen de ergste weersgerelateerde gevaren die overmatige schade veroorzaken. Deze schade kan zowel materieel als emotioneel verlies omvatten (Shamir et al., 2013; Dai et al., 2004). Jaarlijks telt het dodental ongeveer 140 in de VS. Dit gaat gepaard met bijna AC 3,3 miljoen ($ 3,6 miljoen) aan materiële schade. Daarenboven wordt een toename van 5 % in de schade afkomstig van overstroming waargenomen (National Weather Service Modernization Committee, 1997). Bijgevolg is er een toenemend belang voor het ontwikkelen van mitigerende maatregelen voor overstromingen. Deze kunnen bereikt worden via een waaier van structurele en niet-structurele methoden. Een effectieve niet-structurele methode maakt gebruik van waarschuwingssystemen (Carpenter et al., 1999; Pauwels et al., 2001). Schattingen of metingen van bodemvocht zijn van essentieel belang bij het operationeel maken van een betrouwbaar waarschuwingssyteem. Bodemvocht kan op verschillende manieren waargenomen worden. Enerzijds kan het bodemvocht in situ gemeten worden. Deze methode biedt het voordeel dat een rechtstreekse meting uitgevoerd kan worden op een bodemeigenschap die direct gerelateerd is met het bodemvochtgehalte. Daarentegen zijn er ook een aantal nadelen aan gekoppeld. In situ metingen zijn in het algemeen tijdsrovend en bijgevolg duur. Aangezien er geen bodemvocht gemeten kan worden voor grote oppervlakten bij een hoge frequentie of op meerdere dieptes leidt dit ertoe dat er geen duidelijk ruimtelijk beeld bekomen kan worden van het bodemvochtgehalte, mits een aanvaardbaar aantal waarnemingen. Daarenboven zijn in situ metingen puntwaarnemingen, waardoor ze gepaard gaan met een fijne ruimtelijke resolutie (Houser et al., 1998; Pauwels et al., 2001; Chauhan et al., 2003). Naast in situ metingen, kan bodemvocht geregistreerd worden via afstandswaarnemingen. Deze waarnemingsmethode is sinds 1990 steeds meer beschikbaar en biedt de onmiskenbare eigenschap om het ruimtelijke patroon van bodemvocht goed weer te geven, waarbij in situ puntwaarnemingen te kort schieten (Han et al., 2012; Georgakakos en Baumer, 1996). Er 1

12 HOOFDSTUK 1. Inleiding dient echter opgemerkt te worden dat het bodemvochtgehalte, bekomen via afstandswaarnemingen, een grotere onzekerheid met zich meebrengt ten gevolge van het homogeen benaderen van bodemeigenschappen (type en oppervlakteruwheid) en de vegetatieve bedekking in tijd en ruimte (Houser et al., 1998; Neal et al., 2009). Dit leidt ertoe dat bodemvochtmetingen afkomstig van teledetectie-data voornamelijk gebruikt worden om de trend te capteren, terwijl in situ metingen hoofdzakelijk bijdragen tot de effectieve bodemvochtwaarden. Om het oppervlakkige bodemvochtgehalte te schatten wordt vaak gebruik gemaakt van een satelliet met een microgolf-gebaseerde sensor (Kerr et al., 2001). Er wordt geopteerd om bij een lagere frequentie te werken, en dus grotere golflengten (Lillesand et al., 2014). Hoe groter de golflengte, hoe kleiner de interferentie namelijk zal zijn van de golf met vegetatie en hoe dieper de laag die het signaal beïnvloedt. Bovendien is de penetratiediepte significant bij microgolven (ca. 5 cm voor L-band). Microgolven bieden het voordeel dat ze operationeel zijn bij alle weersomstandigheden, aangezien de metingen nauwelijks beïnvloed worden door de atmosfeer of aanwezige wolken. Daarnaast zijn microgolven bruikbaar tijdens de nacht en kunnen ze doorheen vegetatie penetreren (Kerr, 2007). Bovendien kunnen microgolfsystemen de diëlektrische constante van bodems bepalen, hetgeen direct gerelateerd is met het bodemvochtgehalte (Kerr et al., 2010). Wanneer het bodemvocht bepaald wordt via microgolven kan dit gebeuren aan de hand van actieve en passieve sensoren. Een actieve sensor zendt een microgolf uit richting de aarde en registreert de sterkte van de terugkaatste golf. Dit wordt uitgedrukt in decibel [db]. Een actieve sensor wordt ook wel een radar (acroniem voor RAdio Detection And Ranging) genoemd. Daarentegen zenden passieve sensoren geen golven uit, maar meten ze de natuurlijke emissie van de aarde. Deze natuurlijke microgolfstraling wordt door de passieve sensor gemeten in stralingstemperatuur, uitgedrukt in Kelvin [K]. De stralingstemperatuur van een object kan gedefinieerd worden als de temperatuur dat een zwart lichaam moet hebben om met dezelfde intensiteit te stralen als de waarneming. Radars bevatten het voordeel dat hun ontvangen microgolfstraling veel sterker is in vergelijking met radiometers, aangezien radars zelf straling uitzenden. Dit sterker signaal leidt ertoe dat actieve sensoren een hogere ruimtelijke resolutie hebben in vergelijking met passieve sensoren, maar er wordt een beperkter oppervlakte gescand. Dit gaat gepaard met een nadelig effect op de temporele resolutie van de radars. Omdat de zwadbreedte van een radiometer groot is, kan sneller hetzelfde gebied opnieuw waargenomen worden (Entekhabi et al., 2010). Om bodemvocht te meten wordt geopteerd voor passieve sensoren, omwille van de hogere temporele resolutie die belangrijk is voor het nemen van snelle beslissingen voor mitigerende maatregelen bij overstromingen. In deze studie zullen observaties van een passieve microgolfsensor, nl. de SMOS-satelliet (Soil Moisture Ocean Salinity), gebruikt worden. Afstandswaarnemingen leiden enkel tot een schatting van het bodemvocht van de bovenste bodemlaag (± 5 cm). Desalniettemin zijn de bodemvochtgehalten van de dieperliggende lagen van groot belang voor het begrijpen en simuleren van verschillende hydrologische processen. Bijgevolg werd er onderzoek uitgevoerd naar het zo accuraat mogelijk schatten van het bodemvochtgehalte van dieper liggende lagen (Reichle et al., 2002; Pauwels et al., 2002). 2

13 HOOFDSTUK 1. Inleiding Volgens Kostov en Jackson (1993) is de ideale manier om bodemvocht te schatten de combinatie van hydrologische modellen met geobserveerde waarden voor bodemvocht. Dit wordt beschreven als bodemvocht-assimilatie. In dit werkstuk zal eerst de manier waarop bodemvocht kan waargenomen worden via passieve microgolfwaarnemingen besproken worden (Hoofdstuk 2). Vervolgens wordt in Hoofdstuk 3 het gebied besproken waar de bodemvochtvoorspellingen uitgevoerd worden aan de hand van de beschikbare datasets. Deze bodemvochtvoorspellingen worden bereikt via een hydrologische neerslag-afvoer model, nl. het Sacramento Soil Moisture Accounting (SAC- SMA) model. Dit model wordt uitvoerig besproken in Hoofdstuk 4. Vervolgens worden de nodige ensembles gegenereerd op basis van het aanbrengen van perturbaties op de optimale parameterset, ofwel via de zelf ontwikkelde Triangulaire Ensemble Selectiemethode (Hoofdstuk 5). Vervolgens worden deze ensembles gebruikt binnen de toegepaste assimilatietechniek, de Ensemble Kalman Filter. Bij het implementeren van de Newtoniaanse nudging worden de optimale parametersets gehanteerd. Beide assimilatiemethoden worden toegelicht in Hoofdstuk 6. Tot slot wordt een besluit geformuleerd in Hoofdstuk 7. 3

14 Hoofdstuk 2 Passieve microgolfwaarnemingen van bodemvocht In het verleden werd getracht bodemvocht op allerlei manieren te benaderen. Volgens Kerr et al. (2010) waren de eerste methoden gebaseerd op metingen op basis van korte golflengten. Deze steunden op het principe dat vochtigere bodems donkerder worden van kleur. Omwille van een aantal factoren, zoals het voorkomen van wolken, atmosferische effecten, vegetatieve bedekking en een beperkte gevoeligheid, is deze methode slechts onder bepaalde weersomstandigheden functioneel. Later werden methoden ontwikkeld die gebruik maakten van de effecten van latente warmte. Deze steunden op het feit dat natte bodems een hogere thermische inertie kennen en dat deze koeler zijn dan droge bodems. Al deze pogingen waren echter teleurstellend, omwille van de factoren die eigen zijn aan de optische afstandswaarnemingen (bv. atmosferische effecten, wolkenbedekking, de ondoorlatendheid van vegetatie). Microgolfsystemen meten de diëlektrische constante en deze is direct gelinkt met het bodemvocht. Deze systemen kunnen bodemvocht registreren met behulp van drie manieren, nl. radars (actief), scatterometers (actief) of radiometers (passief). Om bodemvocht waar te nemen wordt vaak gebruik gemaakt van een radarsysteem. Hierbij wordt vaak geopteerd voor SAR (Synthetic Aperture Radar). Deze systemen zijn operationeel sinds 1978 en zijn bruikbaar voor alle weersomstandigheden met een fijne ruimtelijke resolutie van enkele tientallen meters. Daarentegen worden ze gekenmerkt door een lange retourperiode (bv. 35 dagen voor de European Remote Sensing (ERS) satelliet). Daarenboven zijn SAR beelden vaak onderhevig aan een spikkelvormige ruis (speckle) en treedt er verstrooiing op van het signaal. Deze verstrooiing wordt deels veroorzaakt door de vegetatieve bedekking of het bodemoppervlak en anderzijds door het verwerken van het antennesignaal tot een hoger resolutiebeeld. Scatterometers hebben daarentegen het voordeel dat ze minder gevoelig zijn voor speckle. Ze hebben eveneens een kortere retourperiode van slechts 5 dagen. Desalniettemin is hun ruimtelijke resolutie vrij grof (orde van tientallen kilometers) en is de verstrooiing door vegetatie nog steeds significant aanwezig. Hieruit kan besloten worden dat microgolfsensoren met SARs en scatterometers minder bruikbaar zijn voor hydrologische doeleinden omwille van resp. de lange retourperiode en de impact van ruis op het signaal. Daarnaast kan bodemvocht waargenomen worden via radiometers met een lage frequentie. Deze zijn gebaseerd 4

15 HOOFDSTUK 2. Passieve microgolfwaarnemingen van bodemvocht op het grote verschil tussen de diëlektrische constante van water en droge bodem. Omwille van dit verschil wordt er een sterk contrast waargenomen in de emissies van water en land. Aangezien de beperkte straling verstoord wordt door de vegetatie, wordt het best gewerkt bij lage frequenties. Deze lage frequentie heeft tevens als voordeel dat de metingen niet verhinderd worden door de atmosfeer of de aanwezigheid van wolken. Dit zorgt ervoor dat de metingen minder gevoelig zijn voor verstoringen en bijgevolg worden meer representatieve schattingen bekomen van het bodemvocht. Aan radiometers is echter één grote beperking verbonden: de ruimtelijke resolutie is afhankelijk van de antenne diameter en de gebruikte golflengte. Om een goede ruimtelijke resolutie te bekomen van bv. 40 km is een antenne nodig van 8 m diameter op een hoogte van 750 km en een golflengte van 21 cm. 2.1 Bodemvocht Om betrouwbare en accurate bodemvochtwaarnemingen te bekomen moeten aan een aantal eisen voldaan worden (Kerr et al., 2010). Ten eerste moet de ruimtelijke resolutie kleiner zijn dan 50 km. Een pixel-grootte van 20 km zou optimaal zijn. Ten tweede mag de retourperiode maximaal 5 dagen zijn, aangezien de opdroging na een regenperiode zeer informatief is voor de bepaling van de bodem hydraulische eigenschappen (diëlectrische constante). Een retourperiode van 1 à 2 dagen zou het beste resultaat geven, maar 3 à 5 dagen is aanvaardbaar om het bodemvocht en de evapotranspiratie te bepalen. Ten derde moet de accuraatheid van het bodemvocht beter zijn dan 0.04 m 3 /m 3. Tot slot is het ogenblik van waarneming van belang. Hoe dichter de omstandigheden zich bij het thermisch evenwicht, met een minimale gradiënt in het waterprofiel, bevinden, hoe beter de bepaling van het bodemvocht zal zijn. Algemeen vindt dit moment plaats rond 6 uur s ochtends. Om het bodemvocht zo goed mogelijk te kunnen bepalen moeten de karakteristieken van de satelliet tegemoetkomen aan deze eisen. 2.2 SMOS In november 2009 lanceerde de European Space Agency (ESA) de eerste hydrologische satelliet, SMOS (Soil Moisture and Ocean Salinity) (Kerr et al., 2001). Deze satelliet (Figuur 2.1) voldoet aan de eisen om het bodemvocht betrouwbaar te kunnen bepalen (Kerr et al., 2012). Deze zou gedurende minstens 5 jaar operationeel zijn. Ondertussen is onderzoek uitgevoerd naar de huidige functionaliteit van SMOS en deze missie zou nog tot minstens 2017 verlengd worden (Mecklenburg et al., 2016). De satelliet heeft een microgolf radiometer aan boord, nl. het MIRAS (Microwave Imaging Radiometer using Aperature Synthesis) instrument (Mecklenburg et al., 2016). Dit is een passieve microgolf radiometer die gebruik maakt van een tweedimensionale (2D) interferometer (Kerr et al., 2001). Interferometrie laat toe om bodemvocht waar te nemen met een ruimtelijke resolutie, die geschikt is voor algemene eisen, door middel van geschikte antenne afmetingen (Mecklenburg et al., 2016; Bolten en Lakshmi, 2004). SMOS werkt in de L-band (1.413 GHz, 21 cm golflengte) binnen de beschermde band met een bereik van tot GHz. Dankzij de interferometer kan een grondresolutie bekomen worden van ongeveer 43 km en een vertikale penetratiediepte van ongeveer 3 à 5 cm (Escorihuela et al., 2010). 5

16 HOOFDSTUK 2. Passieve microgolfwaarnemingen van bodemvocht Figuur 2.1: De SMOS-satelliet (Mecklenburg et al., 2016). SMOS zorgt voor een globale bedekking met een vrij korte retourperiode van slechts 3 dagen op de evenaar (Barre et al., 2008). De orbit volgt een zonsynchrone baan op een hoogte van 758 km onder een hellingshoek van (Mecklenburg et al., 2016). Elk gebied wordt zowel waargenomen tijdens de oplopende, als tijdens de aflopende orbit van de satelliet, met 6 h en 18 h als locale zonnetijd tijdens het passeren van de evenaar. De satelliet heeft een exacte herhaling na 149 dagen. Dit betekent dat SMOS pas na 149 dagen een oppervlak terug registreert onder dezelfde hoek (Kerr et al., 2010). Door het gebruik van deze satelliet is een snelle en robuuste schatting van het oppervlakkige bodemvochtgehalte mogelijk (Kerr et al., 2012). Dankzij de lange golflengte van de L-band microgolven kunnen deze gemakkelijk penetreren doorheen de atmosfeer en worden ze niet geı nterfereerd door wolken of lichte regen. Desalniettemin zijn er ook een aantal beperkingen aan gekoppeld. Deze zullen besproken worden in de volgende secties. 2.3 Penetratiediepte Een grote beperking van de SMOS satelliet is de beperkte penetratiediepte in de bodem. Hierdoor kan het bodemvochtgehalte enkel in de bovenste dunne bodemlaag worden geregistreerd. Vaak is het nodig om het totale bodemvochtgehalte in de onverzadigde zone te kennen. Er bestaan directe methoden om dit te bepalen, maar hiervoor zijn golflengten nodig van enkele meters. Volgens Kerr et al. (2010) zijn indirecte methoden, waaronder data-assimilatietechnieken, een mogelijke oplossing om deze dieper liggende bodemvochtgehalten te modelleren. Hierbij moet er wel gewerkt worden onder gekende omstandigheden en aan de hand van oppervlaktemetingen. Voor deze indirecte methode is de kwaliteit van de modelbeschrijving en de invoervariabelen van groot belang. 6

17 2.4 Ruimtelijke resolutie HOOFDSTUK 2. Passieve microgolfwaarnemingen van bodemvocht Hydrologische toepassingen eisen naast een hoge temporele waarnemingsfrequentie eveneens een hoge ruimtelijke resolutie. Deze afstandswaarnemingen naar de realiteit omzetten is een zeer complex proces. Omwille van deze complexiteit wordt een veelbelovende methode toegepast, nl. disaggregatie. Deze techniek maakt gebruik van externe informatie om het gemiddelde bodemvocht van een bepaald gebied te herverdelen over verschillende pixels (Kerr et al., 2010). 2.5 Radiofrequentie-interferentie SMOS is de eerste interferometrische satelliet die werkt in de Earth Explorer Satellite Service (EESS) passieve beschermde band ( GHz). In theorie zou deze vrij moeten zijn van radio-frequentie-interferenties (RFI) of ongewenste emissies. De verstoringen door de atmosfeer en de vegetatie moeten minimaal zijn om een aanvaardbare gevoeligheid te hebben voor bodemvocht (Mecklenburg et al., 2016; Kerr et al., 2010). De Internationale Telecommunicatie Unie (ITU) verbiedt alle emissies die voorkomen binnen deze beschermde band. Ze zorgen ervoor dat de actieve emissies in de banden GHz en GHz de frequentie-limieten niet overschrijden. Ondanks deze inspanningen worden wereldwijd nog steeds interferenties onderschept in deze beschermde band. Deze verstoringen zijn te wijten aan stations die opereren in deze band, of emissies die de frequentie-limieten overschrijden (Mecklenburg et al., 2016), en worden hoofdzakelijk veroorzaakt door militaire toestellen en niet goed afgestelde televisiebanden of mobiele telefoonzenders (Kerr et al., 2010). Lage niveaus van RFI, die bij het signaal bijgevoegd worden, zorgen voor moeilijkheden bij het maken van een onderscheid tussen de natuurlijk en de ongewenste straling. Dit zal een sterke invloed hebben op de kwaliteit van de waarnemingen en de interpretatie ervan (Mecklenburg et al., 2016). Het ITU volgt wereldwijd de interferenties op en maakt kaarten van de RFI-probabiliteiten. Daarnaast trachten ze de interferentie-bronnen terug te dringen. Desalniettemin komen, ondanks hun inspanningen, wereldwijd steeds RFI-bronnen bij. Finaal is er een positieve impact op het aantal verstoringen. Dit is zichtbaar in Figuur 2.2. De sterk aanwezige interferenties in Noord-Amerika (mei 2011) veroorzaakten een soort van krans in de waarnemingen van de saliniteit van het oppervlakkig zeewater rond Noord-Amerika. Vanaf mei 2012 zijn de interferenties sterk teruggedrongen en is de krans in de saliniteitwaarnemingen niet meer zichtbaar. 2.6 Vegetatieve bedekking Naast de radio-frequentie interferenties moeten tevens de oppervlakte-eigenschappen van de bodem in beschouwing genomen worden. Dit omvat de oppervlakteruwheid, de textuur, de landbedekking, de oppervlakte-heterogeniteit, dauw, neerslag-interceptie, sneeuw, topogra- 7

18 HOOFDSTUK 2. Passieve microgolfwaarnemingen van bodemvocht Figuur 2.2: Boven: RFI-probabiliteiten van Noord-Amerika. Onder: saliniteit van het oppervlakkig zeewater rond Noord-Amerika (Mecklenburg et al., 2016). fie, strooisel en oppervlaktewater (Kerr et al., 2010). Microgolven in de L-band worden niet volledig doorgelaten door vegetatie. Zeker wanneer het vochtgehalte van de plantenbedekking groter is dan 5 kg/m2 wordt het moeilijk om een goede bepaling van het bodemvochtgehalte in de toplaag te bekomen. Hieruit kan geconcludeerd worden dat de kwaliteit van de SMOS-observaties, inzake bodemvocht, hoger zal liggen in gebieden met een beperkte vegetatieve bedekking (Kerr et al., 2010). Naast bodemvochtobservaties beschikt SMOS ook over waarnemingen van de optische diepte van de vegetatie. Deze optische diepte wordt afgeleid uit het vochtgehalte, de structuur en de dichtheid van het bladerdek. Er wordt getracht om per 6 dagen een schatting te maken met een accuraatheid van 0.5 kg/m2 (Mecklenburg et al., 2016). 8

19 Hoofdstuk 3 Het studiegebied en de dataset In dit hoofdstuk worden de regio s die als studiegebied worden gebruikt in deze case studie voorgesteld met behulp van klimatologische en geografische data. Deze gegevens worden hierna uitvoerig besproken. 3.1 Het studiegebied Het studiegebied situeert zich in het zuidoosten van Australië, meer specifiek het Murray- Darling bekken (Figuur 3.1). Dit stroomgebied wordt gedefinieerd door de individuele stroombekkens van de rivier Murray en de Darling rivier. Het totale Murray-Darling bekken bestrijkt een oppervlakte van 1 miljoen km 2, of 14 % van het Australische continent, en is hierbij één van de grootste rivierensystemen ter wereld. Dit bekken wordt over het algemeen gekenmerkt door een semi-aride klimaat. Desondanks de beperkte hoeveelheid neerslag en rivierstroming, vonden er de voorbij jaren een aantal overstromingen plaats ten gevolge van een overmatige hoeveelheid neerslag en de heersende bodemvochtomstandigheden. Het stroomgebied van de Murray-Darling wordt intensief gebruikt voor de landbouw en zorgt voor zo n 40 % van de totale voedselproductie in Australië (Lievens et al., 2015). Voor deze studie worden 32 locaties gebruikt die verspreid liggen binnen het Murray-Darling bekken. De locaties van deze bekkens worden afgebeeld in Figuur 3.2. Een deel van deze meetpunten ligt in het Murrumbidgee bekken. De bodemvochtmetingen zijn beschikbaar van het Murrumbidgee Soil Moisture Monitoring Network (OzNet). Dit bestaat uit 62 meetstations die verspreid zijn over het stroomgebied van de Murrumbidgee rivier. Het stroomgebied van de Murrumbidgee bestrijkt een oppervlakte van km 2 tussen 33 en 37 zuiderbreedte en 143 en 150 oosterlengte (Figuur 3.3a). Het stroomgebied wordt gekenmerkt door een significante ruimtelijke variabiliteit in klimaat, bodemtype, vegetatie en landgebruik. De ruimtelijke visuele voorstelling van de variatie in hoogteligging wordt weergegeven in Figuur 3.3b. Hierbij kan gezien worden dat de hoogte varieert van 50 m in het westen van het stroomgebied tot 2000 m in het oosten. Variaties in de hoogteligging zijn vaak gerelateerd met veranderingen in de klimatologische omstandigheden. Dit leidt ertoe dat het klimaat semi-aride is in het westen, met een gemiddelde jaarlijkse neerslaghoeveelheid van 300 mm, tot een gematigd klimaat in het oosten, met een gemiddelde jaarlijkse neerslaghoeveelheid tot 1900 mm in de bergen. In het westen is de evapotranspiratie ongeveer even groot als de hoeveelheid neerslag. Daarentegen stelt de evapotranspiratie 9

20 HOOFDSTUK 3. Het studiegebied en de dataset Figuur 3.1: Kaart van Australië met arcering van het Murray-Darling bekken (Australian Government: Department of Sustainability, Environment, Water, Population and Communities, 2016). slechts de helft voor van de neerslag in het oosten. In het Murrumbidgee stroombekken zijn eveneens variaties aanwezig in het bodemtype. Zo wordt het westen gedomineerd door een fijnkorrelige textuur (klei) en het oosten door een matige tot grofkorrelige textuur (zand). Het voornaamste landgebruik in dit stroomgebied is landbouw en wordt hoofdzakelijk bezet door lage vegetatie. Enkel het gebied net ten westen van de bergachtige zone wordt gekenmerkt door sterke bebossing (Young et al., 2008; Smith et al., 2012; OzNet hydrological monitoring network, 2016). Figuur 3.2: De 32 meetstations in het Murrumbidgee bekken (33 tot 37 ZB en 143 tot 150 OL), waarbij de kleur een indicatie geeft van het aantal in situ metingen in de periode van 1 januari 2002 tot 31 december

21 HOOFDSTUK 3. Het studiegebied en de dataset (a) (b) Figuur 3.3: (a) De gemiddelde jaarlijkse hoeveelheid neerslag (mm) in Australië met aanduiding van het stroomgebied van de Murrumbidgee rivier (Young et al., 2008). (b) Het bodemvochtmonitoringsnetwerk in het Murrumbidgee stroomgebied met de lokale topografie (Young et al., 2008). 3.2 De dataset De data die ter beschikking werden gesteld voor het gebied in zuidoost-australië zijn geëxtraheerd uit een SMOS level 3 CATDS product. CATDS of Centre Aval de Traitement des Données SMOS is het nationale Franse en Spaanse entiteit dat de leiding heeft over het verwerken, kalibreren, archiveren en het verspreiden van de SMOS-data (ESA Earth Online, 2016; Kerr et al., 2010). Er werden 32 locaties gekozen uit een rechthoekig gebied dat het hele Murray- Darling bekken omvat. Voor deze 32 locaties zijn SMOS-observaties beschikbaar tijdens de periode van 14 januari 2010 tot 31 december Voor de 32 stations in Zuidoost-Australië zijn in situ metingen beschikbaar van de bovenste (0-5/8 cm) en onderste (30-60 cm) bodemlaag met de bijbehorende coördinaten. Dit voor de periode van 1 januari 2002 tot 10 april Er dient echter opgemerkt te worden dat er niet voor elke dag observaties beschikbaar zijn. Het aantal observaties gedurende deze 9 jaar varieert tussen 956 en 3362 (Figuur 3.2). Er is een overlappende periode (14 januari 2010 tot 10 april 2011) aanwezig tussen de SMOSobservaties en de in situ metingen. De data uit deze periode zullen gebruikt worden ter validatie. 11

22 Hoofdstuk 4 Het Sacramento model Het Sacramento model, of Sacramento Soil Moisture Accounting Model (SAC-SMA), is een conceptueel neerslag-afvoer model dat de bodemkolom voorstelt aan de hand van twee lagen, nl. een bovenste en onderste laag die op hun beurt opgebouwd zijn uit verschillende bergingslagen (Van Werkhoven et al., 2008). Het SAC-SMA model beschrijft het bevochtigingsen uitdrogingsproces dat plaatsvindt in de bodem. Hierbij worden de reactie van de bodemkolom op spanningen en zwaartekracht gesimuleerd om zo het bodemvochtgehalte in verschillende lagen te bepalen op een specifiek tijdstip. Daarnaast wordt eveneens de evapotranspiratie flux, de oppervlakkige en de ondergrondse stromingscomponenten gesimuleerd (Georgakakos et al., 2013). Het Sacramento model (Figuur 4.1) beschrijft de bodemkolom als een tweelagige structuur met bovenaan een relatief dunne bovenste laag (upper layer) dat het oppervlakkig bodemregime en de berging van de interceptie weerspiegelt en onderaan een dikke onderste laag (lower layer) dat het bodemvocht omvat die de evapotranspiratieve vraag en de basisafvoer tegemoet komt. Elke laag registreert veranderingen in het watergehalte om zo op een conceptuele manier schattingen te maken van het bodemvochtgehalte aan de hand van de berging van het vrije gravitationele water (free water) en het water dat door capillaire werking wordt vastgehouden, nl. hangwater (tension water) (Posner et al., 2014; Carpenter en Georgakakos, 2006). Het SAC-SMA model maakt gebruik van een aantal toestanden en parameters om het bevochtings- en uitdrogingsproces van de bodem zo goed mogelijk te beschrijven aan de hand van een conceptueel neerslag-afvoer model. Een conceptuele voorstelling van het SAC- SMA model kan gevonden worden in Figuur 4.2. De verschillende afgebeelde toestanden en parameters worden in de volgende paragrafen uitgelegd. Een oplijsting van de gebruikte parameters en toestanden wordt weergegeven in Tabel 4.1 en Bovenste laag De bergingscapaciteit van hangwater in de bovenste laag (UZT W M) kan gezien worden als de hoeveelheid water die toegevoegd kan worden aan deze bodemlaag, zonder dat er lekkage optreedt aan de onderkant van deze laag. Deze massa aan water bedraagt ongeveer 15 % 12

23 HOOFDSTUK 4. Het Sacramento model van het gewicht van de bodemlaag. Desalniettemin zijn er variaties in bergingscapaciteiten tussen verschillende bodemtypes. Dit volume aan water is sterk gebonden aan de bodempartikels en bijgevolg kan het enkel onttrokken worden door evapo(transpi)ratie (National Weather Service, 2002; Georgakakos, 2006). Van zodra er meer water toegevoegd wordt dan de bergingscapaciteit van het hangwater van de bovenste laag, zullen de leegtes tussen de bodempartikels opgevuld worden. Dit wordt het vrije water genoemd. Indien de holten volledig gevuld zijn en vervolgens geen water meer toegevoegd kan worden, dan is de bergingscapaciteit aan vrij water van de bovenste laag (UZF W M) bereikt. Op termijn zullen deze holtes zich ledigen en hierbij zal water uit de bodemlaag draineren. Figuur 4.1: Voorstelling hydrologisch SAC-SMA model (National Weather Service, 2002). De hoeveelheid neerslag die valt moet verdeeld worden tussen infiltratie en directe afvoer. Deze verdeling wordt gestuurd door het aanwezige bodemvocht in de bovenste laag en de mogelijkheid tot percolatie naar de onderste laag. De percolatie van de bovenste naar de onderste laag is een niet-lineaire functie van de verzadigingsgraad van de onderste laag en van het vrije waterreservoir van de bovenste laag. Directe afvoer is het gevolg van een gevuld bovenste vrij en hangwaterreservoir. Daarnaast is de relatie tussen de neerslagintensiteit en percolatiesnelheid van belang. Indien de neerslagintensiteit groter is dan de percolatiesnelheid zal een deel van de neerslag niet kunnen infiltreren naar dieperliggende lagen en bijgevolg onmiddellijk afspoelen in de richting van het rivierennetwerk. De fractie van het stroomgebied dat ondoordringbaar is voor water en dat onmiddellijk aanleiding zal geven tot oppervlakte afvoer (runoff), wordt beschreven door de parameter P CT IM (percent of permanent impervious area). 13

24 HOOFDSTUK 4. Het Sacramento model Een andere belangrijke component is het volume aan water dat zich lateraal doorheen het bodemprofiel beweegt (oppervlakkige afvoer of interflow). Dit water zorgt ervoor dat percolatie naar dieperliggende lagen wel mogelijk is. Het watervolume dat hiervoor gebruikt wordt is vrij water van de bovenste laag (National Weather Service, 2002). Figuur 4.2: Conceptuele voorstelling van SAC-SMA model (Van Werkhoven et al., 2008). 4.2 Onderste laag Eenmaal het water in de onderste laag terecht gekomen is, wordt deze laag opgedeeld in twee bergingscategorieën: hang- en vrij water. Deze laatstgenoemde wordt gemodelleerd aan de hand van twee lineaire reservoirs, nl. een primair en supplementair reservoir. De opdeling wordt gemaakt zodat er rekening gehouden kan worden met een verschil in reactietijd van de basisafvoer op een regenbui. Het hangwater in de onderste laag (LZT W M) is nodig om aan de vereisten inzake het vochtgehalte te voldoen. Deze vereisten zijn gebaseerd op de moleculaire aantrekkingskrachten tussen droge bodems en vocht, indien er geen vrij water aanwezig is tussen de bodempartikels. De bergingscapaciteit aan hangwater in de onderste laag kan gezien worden als de hoeveelheid water dat maximaal aanwezig is in de onderste laag nadat de bodem volledig bevochtigd en gedraineerd is. Dit is het water dat finaal beschikbaar is voor evapotranspiratie (National Weather Service, 2002; Georgakakos, 2006). 14

25 HOOFDSTUK 4. Het Sacramento model De interstitiële ruimte tussen de bodempartikels in de onderste laag wordt ingevuld door vrij water (LZF W M). Er wordt verondersteld dat dit water de basisafvoer verzorgt. Daarenboven mag tevens verondersteld worden dat de drainage de wet van Darcy volgt. Desondanks deze veronderstellingen worden geen fluctuaties in de basisafvoer gemodelleerd, terwijl deze wel in de natuur waargenomen worden. Om dit probleem op te lossen worden twee types van vrij water in de onderste laag beschouwd, nl. primair en supplementair. Er wordt een onderscheid gemaakt tussen twee soorten op basis van hun draineersnelheid, terwijl ze wel tegelijkertijd aangevuld worden. Het primaire reservoir (LZF P M) voorziet de basisafvoer op lange termijn en laat bijgevolg water vrij aan een zeer lage snelheid. Het supplementair reservoir (LZF SM) laat water met een hogere snelheid wegdraineren, waardoor kort na een regenbui het gevallen water de basisafvoer versterkt. Beide soorten vrij water vullen onafhankelijk van elkaar de basisafvoer aan volgens de wet van Darcy. Dit leidt tot een meer realistische voorstelling van de basisafvoer. Tabel 4.1: SAC-SMA modelparameters. Parameters Beschrijving Eenheden UZT W M Bovenste laag hangwater bergingscapaciteit mm Upper zone tension water capacity UZF W M Bovenste laag vrij water bergingscapaciteit mm Upper zone free water capacity LZT W M Onderste laag hangwater bergingscapaciteit Lower zone tension water capacity mm LZF P M Onderste laag primair vrij water bergingscapaciteit Lower zone primary free water capacity mm LZF SM Onderste laag supplementair vrij water bergingscapaciteit Lower zone supplemental free water capacity mm UZK Bovenste laag drainage uitputtingscoëfficiënt Upper zone drainage depletion coefficient dag 1 LZP K Onderste laag primaire drainage uitputtingscoëfficiënt Lower zone primary drainage depletion coefficient dag 1 LZSK Onderste laag supplementaire drainage uitputtingscoëfficiënt Lower zone supplementary drainage depletion coefficient dag 1 ZP ERC Percolatie coëfficiënt Percolation equation coefficient - REXP Percolatie exponent Percolation equation exponent - P F REE Fractie van het doorsijpelend water dat onmiddellijk terecht komt in het reservoir van vrij water in de onderste laag %/100 SIDE Fractie van de stroming dat verloren gaat aan basisafvoer - SAV ED Fractie van het vrije water in de onderste laag dat niet omgezet kan worden in hangwater %/100 RIV A Percentage van het gebied dat bezet is met oevervegetatie Riparian vegetation area %/100 ADIMP Percentage van het tijdelijk verzadigd gebied Percent of additional impervious area %/100 P CT IM Percentage van permanent verzadigd gebied Percent of permanently impervious area %/100 15

26 HOOFDSTUK 4. Het Sacramento model 4.3 Bodemvochtverdeling Eenmaal de bodemvochtreservoirs gekend zijn, kunnen deze gebruikt worden om de bodemvochtdistributie en de runoff te bepalen. Deze processen kunnen sterk variëren naargelang de omvang van de regenbui ter hoogte van een bepaald stroomgebied. Indien een regenbui boven een bepaald bekken beschouwd wordt, is het nodig om het bekken op te delen in twee gebieden. een doorlaatbare zone: deze zone produceert runoff wanneer er hoge regenintensiteiten gelden. een ondoorlaatbare zone: deze zone is bedekt met rivieren, meren of ondoordringbare materialen. Indien regen valt op deze laag zal dit onmiddellijk resulteren in runoff in de richting van het rivierennetwerk. Net zoals hierboven beschreven is het hangwater in de bovenste laag het volume van neerslag dat nodig is om percolatie naar dieper liggende lagen te verzekeren. Dus dit volume aan berging moet volledig gevuld zijn voordat andere reservoirs zich kunnen vullen. Dit principe stemt overeen met het idee van Bodman en Colmann (1944): voordat water doorheen de bodem kan bewegen naar een drogere dieperliggende bodemlaag moet de ondiepe bodemlaag een vochtgehalte hebben dat op z n minst gelijk is aan het minimale vochtgehalte van het vochtfront. Indien de bergingcapaciteit van het hangwater in de bovenste laag bereikt is, zal het bijkomende water tijdelijk gestockeerd worden in het reservoir van het vrije water in de bovenste laag. Dit vrije water is niet gebonden aan de bodempartikels en kan bijgevolg onder invloed van de zwaartekracht naar dieper liggende lagen migreren of lateraal bewegen doorheen de bodemlaag ten gevolge van drukkrachten en de zwaartekracht. M.a.w. vrij water van de bovenste laag is een reservoir van water dat beschikbaar is voor percolatie naar diepere lagen en voor interflow. Het vrije water van de bovenste laag heeft twee functies. Enerzijds het ontwikkelen van interflow (horizontaal) en anderzijds een verticale component. Deze laatstgenoemde varieert in grootte naargelang de hoeveelheid water beschikbaar in de bovenste laag (National Weather Service, 2002). De interflow is evenredig met de hoeveelheid vrij water dat aanwezig is in de bovenste laag (UZF W C). De interflow kan als volgt berekend worden: Interflow = UZK UZF W C (4.1) Met UZK de uitputtingscoefficiënt van het vrije waterreservoir in de bovenste laag [dag 1 ] Percolatie De neerwaartse beweging van water naar dieperliggende bodemlagen wordt gedefinieerd als percolatie. De grootte hiervan wordt gestuurd door enerzijds het gehalte aan vrij water in de bovenste laag en anderzijds door het gebrek aan bodemvocht in de dieperliggende bodemlaag. Bij een overschot aan vrij water wordt de voorkeur gegeven aan de verticale beweging onder invloed van de zwaartekracht. Desalniettemin is horizontaal transport mogelijk indien de neerslagintensiteit de percolatiesnelheid overschrijdt. In het geval dat de neerslagintensiteit 16

27 HOOFDSTUK 4. Het Sacramento model zowel de percolatiesnelheid als de maximale interflowdrainagecapaciteit overschrijdt, zal het vrije waterreservoir in de bovenste laag verzadigd zijn. De overvloedige hoeveelheid neerslag zal bijgevolg onmiddellijk resulteren in directe runoff. Het volume van directe runoff is sterk afhankelijk van de neerslagintensiteit en de graad van droogte van de onderste bodemlaag (National Weather Service, 2002). Het percolatie-principe is gebaseerd op de vraag naar water van de onderste laag. Wanneer deze laag volledig verzadigd is, is de percolatie naar deze laag beperkt tot de hoeveelheid dat wegdraineert uit deze laag, nl. de basisafvoer P BASE. Deze kan berekend worden als de combinatie van de afwatering uit het primaire en supplementaire reservoir van vrij water in de onderste laag (Hanks et al., 1969). P BASE = LZF P M LZP K + LZF SM LZSK (4.2) Met LZP K en LZSK de uitputtingscoëfficiënt van het primaire en supplementaire vrije waterreservoir in de onderste laag [dag 1 ]. Wanneer de onderste laag vrij droog is, zullen hogere percolatiesnelheden voorkomen. Er wordt verondersteld dat de percolatiesnelheid gelimiteerd moet worden tot een maximale snelheid (Green et al., 1970). Deze kan als volgt berekend worden: MaxP erccap = P BASE(1 + ZP ERC) (4.3) Hierbij stelt ZP ERC de percolatiecoëfficiënt [-] voor. Deze coëfficiënt laat toe de percolatie te laten variëren tussen het minimum, de basisafvoer (P BASE), en het maximum, de maximale percolatiesnelheid (M axp erccap). Deze maximale percolatie doet zich voor wanneer de bovenste laag verzadigd is en de onderste laag droog is. Dit leidt tot een maximale vraag van de onderste laag. LowerZoneM axp ercdemand = P BASE ( 1 + ZP ERC LowerZoneDeficiency LowerZoneCapacity ) (4.4) Volgens een aantal infiltratie-experimenten is de verandering in de vraag van de onderste laag exponentieel gerelateerd met de verhouding van het tekort ten opzichte van de capaciteit van de onderste laag ( LowerZoneDeficiency ) met REXP als exponent. LowerZoneCapacity P ercdemand = P BASE ( 1 + ZP ERC ( ) REXP ) LowerZoneDeficiencies LowerZoneCapacities (4.5) Het verband tussen de percolatievraag en het bodemvochttekort in de onderste laag wordt weergegeven in Figuur 4.3. Hierbij wordt verondersteld dat het vrije waterreservoir van de bovenste laag volledig verzadigd is. In deze figuur wordt het belang van de exponent gevisualiseerd. Hoe groter REXP is, hoe kleiner de percolatievraag is van de onderste laag bij eenzelfde gehalte aan bodemvochttekort. Bij een kleinere exponent wordt er een kleiner bodemvochttekortgehalte waargenomen bij eenzelfde percolatievraag. 17

28 HOOFDSTUK 4. Het Sacramento model Figuur 4.3: Effect van de exponent REXP op de percolatievraag (National Weather Service, 2002). De werkelijke percolatie wordt gestuurd door de hoeveelheid water dat beschikbaar is als vrij water in de bovenste laag. ( ) UZF W C P erc = P ercdemand UZF W M (4.6) Het volume aan water dat in de onderste laag terechtkomt, wordt verdeeld over drie significante bodemvochtreservoirs, nl. het hangwaterreservoir, het vrije primair en supplementair waterreservoir. Het volume aan water dat terechtkomt in het hangwaterreservoir wordt door de bodempartikels vastgehouden van zodra het vochtfront de diepte van de onderste laag bereikt. Een gebrek aan hangwater uit zich in een zuigkracht, zodat het gepercoleerde water aangetrokken wordt. Deze aantrekking blijft bestaan totdat de holten opgevuld zijn. Binnen een stroomgebied zijn variaties aanwezig in de hoeveelheid neerslag die valt en de bodemeigenschappen. Dit leidt er toe dat er afwijkingen zijn ten opzichte van de algemene condities. Deze afwijkingen worden in rekening gebracht door een deel van het gepercoleerde water niet te laten stockeren in het hangwaterreservoir (voordat de tekortkomingen ingewilligd zijn), maar in het vrije waterreservoir. Deze fractie wordt P F REE genoemd Basisafvoer De combinatie van het gedraineerde water uit het primaire en supplementaire vrije waterreservoir wordt de basisafvoer genoemd. Indien de onderste laag verzadigd is, kan de basisafvoer berekend worden via vergelijking 4.2. Daarnaast zal een deel van het primaire en supplementiare vrije water bijdragen tot de grondwaterstroming (subsurface flow). Dit deel wordt bepaald aan de hand van de parameter SIDE Runoff Er kunnen verschillende vormen van afvoer beschouwd worden: 18

29 HOOFDSTUK 4. Het Sacramento model oppervlakte afvoer ter hoogte van permanente ondoorlatende regio s directe runoff ten gevolge van tijdelijke verzadigde oppervlakken (variable source areas), ofwel Dunne-runoff oppervlakte afvoer, indien het vrije waterreservoir van de bovenste laag verzadigd is en de neerslagintensiteit de percolatiesnelheid en interflow overschrijdt (Horton runoff) interflow ten gevolge van laterale drainage van het vrije water in de bovenste laag primaire basisafvoer Hierbij dient opgemerkt te worden dat de oppervlakte die als ondoorlatend gedefinieerd wordt binnen een stroomgebied niet constant hoeft te zijn doorheen de tijd (Khodamorad en Irannejad, 2009). Het is echter mogelijk dat bij een opvulling van het hangwaterreservoir de bodem gedeeltelijk verzadigd wordt. Het deel van het bodemoppervlak dat hierbij ondoorlatend of verzadigd wordt, wordt voorgesteld door de parameter ADIM P. Daarnaast kan een fractie van het runoff water evaporeren tijdens het transportproces. Deze fractie wordt voorgesteld door de parameter RIV A Evapotranspiratie Het eveneens mogelijk dat er water vanuit de bodemlaag kan evapotranspireren. Dit is sterk afhankelijk van de enerzijds de evapotranspiratievraag en anderzijds de verdelingen en het volume aan hangwater. Het vrije water in de bovenste laag zal hoofdzakelijk evapotranspireren. Dit zal er toe leiden dat het bodemvochtgehalte in de bovenste vrije waterreservoir daalt. Ten gevolge van een afnemend bodemvochtgehalte, zal water met een bepaalde snelheid onttrokken worden uit het hangwaterreservoir van de bovenste laag. Deze snelheid wordt bepaald door de potentiële evapotranspiratie te vermenigvuldigen met de verhouding van de hoeveelheid hangwater in het onderste reservoir ten opzichte van de totale bergingscapaciteit van hangwater. Indien de verhouding van hoeveelheid beschikbaar vrij water ten opzicht van de capaciteit aan vrij water groter is dan de verhouding van de hoeveelheid hangwater ten opzicht van de capaciteit van hangwater, of m.a.w.: UZF W C + LZF P C + LZF SC UZF W M + LZF P M + LZF SC > UZT W C + LZT W C UZT W M + LZT W M (4.7) In dit geval zal het vrije water geleidelijk het hangwaterreservoir aanvullen. Deze geleidelijke overgang van vrij naar hangwater, zal ervoor zorgen dat het bodemvochtprofiel consistent is. Een deel van het vrije water in de onderste laag zal zich onder de wortelzone bevinden, waardoor het niet meer mogelijk is te evapotranspireren. Deze fractie wordt SAV ED genoemd. Het effect van het uitdrogingsproces op de dagelijkse effectieve evapotranspiratie wordt weergegeven in Figuur 4.4. Hierbij wordt gestart met een natte bodem en geleidelijk gedroogd aan de hand van een constante evapotranspiratievraag. In deze figuur kan gezien worden dat hogere bergingscapaciteiten voor hangwater (UZT W M en LZT W M) aanleiding geven tot langere droogtijden om eenzelfde hoeveelheid effectieve evapotranspiratie te bereiken. 19

30 HOOFDSTUK 4. Het Sacramento model Figuur 4.4: Dagelijkse effectieve evapotranspiratie van een initieel natte bodem dat vrijgesteld is aan een constante evapotranspiratievraag (National Weather Service, 2002). 4.4 Modelparameters Een aantal van de SAC-SMA modelparameters beïnvloeden de percolatie-component, welke de bovenste en de onderste laag met elkaar in verbinding brengt. De grootte van de percolatie hangt af van de waterbeschikbaarheid in de bovenste laag en het watertekort in de onderste laag. Hieruit kan besloten worden dat de parameters die het vochtgehalte in de bovenste en onderste laag beïnvloeden, eveneens de grootte van de percolatie bepalen. De waarden die toegekend worden aan de parameters zijn van groot belang om een realistische weergave te bekomen van het bevochtigings- en uitdrogingsproces in de bodem. Ondanks de fysische voorstelling van de modelstructuur, kunnen de modelparameters niet direct bepaald worden a.d.h.v. de in situ observaties. Uit de literatuur kan afgeleid worden dat elke parameter binnen een bepaald interval voorkomt. Hiervoor worden Van Werkhoven et al. (2008) en Anderson (2002) gebruikt als referentie (Tabel 4.2). Een overzicht van de 16 modelparameters wordt weergegeven in Tabel 4.1. Vijf van de 16 parameters, nl. SIDE, P CT IM, ADIMP, SAV ED en RIV A, worden constant gehouden voor alle stroomgebieden. Voor SIDE wordt steeds de waarde 0 toegekend, aangezien verondersteld wordt dat de bijdrage van het primaire en supplementaire vrije waterreservoir tot de grondwaterstroming verwaarloosbaar klein is. P CT IM en ADIMP worden gelijk gesteld aan 0.01 %/100 en 0.1 %/100. Daarnaast krijgen de parameters SAV ED en RIV A de waarde van 0. SAV ED wordt gedefinieerd als de fractie van het vrije water in de onderste laag dat zich onder de wortelzone bevindt, waardoor het bijgevolg niet kan evapotranspireren. Bij het gelijk stellen van deze fractie aan 0, wordt verondersteld dat al het water evapotranspireerbaar is. Op zijn beurt weerspiegelt RIV A de fractie aan water dat verloren gaat door de oevervegetatie tijdens de runoff. Deze fractie wordt verwaarloosd gedurende de modelsimulaties (National Weather Service (NWS), National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA), 2016). De overige 11 parameters moeten nog bepaald worden. Dit kan gebeuren via kalibratie. 20

31 HOOFDSTUK 4. Het Sacramento model Tabel 4.2: SAC-SMA modelparameters met hun toegelaten bereik (Van Werkhoven et al., 2008). Parameters Interval Eenheden UZT W M mm UZF W M mm LZT W M mm LZF P M mm LZF SM mm UZK dag 1 LZP K dag 1 LZSK dag 1 ZP ERC REXP P F REE %/100 SIDE 0 - SAV ED 0 %/100 RIV A %/100 ADIM P %/100 P CT IM %/ Modeltoestanden Doorheen de tijd zullen de parameterwaarden niet wijzigen, echter de modeltoestanden zullen per tijdstap upgedatet worden. Een overzicht van de verschillende modeltoestanden wordt weergegeven in Tabel 4.3. Hierbij stelt ADIM C de hoeveelheid water voor in het tijdelijk verzadigde en ondoordringbare gebied (ADIM P ). Indien niet geweten is wat de specifieke hoeveelheid hiervan is, mag aangenomen worden dat deze gelijk is aan de hoeveelheid hangwater. ADIMC = UZT W C + LZT W C (4.8) Bij de start van de simulatie wordt verondersteld dat de reservoirs steeds voor 35 % gevuld zijn: UZT W C 0 = 0.35 UZT W M UZF W C 0 = 0.35 UZF W M LZT W C 0 = 0.35 LZT W M LZF P C 0 = 0.35 LZF P M LZF SC 0 = 0.35 LZF SM (4.9) ADIMC 0 = UZT W C 0 + LZT W C 0 = 0.35 (UZT W M + LZT W M) Daarnaast wordt initeel verondersteld dat er geen oppervlakkige afvoer (SU RF ), oppervlakte afvoer (GRN D) en evapotranspiratie (T ET ) aanwezig is, bijgevolg zijn de initiële modeltoestanden SURF 0, GRND 0 en T ET 0 gelijk aan 0. 21

32 HOOFDSTUK 4. Het Sacramento model De initiële condities zijn een mogelijke bron van fouten voor het model. Doorheen de tijd zal de invloed van deze initiële toestanden afnemen. Er kan verondersteld worden dat de initiële keuze van deze modeltoestanden op 1 januari 2002 geen effect meer hebben op de modeltoestanden vanaf januari 2010 tot het einde van de tijdreeks (31 december 2014). In deze tijdsperiode valt de periode die gebruikt wordt ter validatie (14 januari 2010 tot 10 april 2011). Tabel 4.3: SAC-SMA modeltoestanden met hun eenheden (National Weather Service (NWS), National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA), 2016). Parameters Beschrijving Eenheden UZT W C Berging bovenste laag hangwater Upper zone tension water contents mm UZF W C Berging bovenste laag vrij water Upper zone free water contents mm LZT W C Berging onderste laag hangwater Lower zone tension water contents mm LZF P C Berging onderste laag primair vrij water Lower zone primary free water contents mm LZF SC Berging onderste zone supplementair vrij water Lower zone supplemental free water contents mm ADIMC Berging van het tijdelijk verzadigd gebied Tension water contents of the ADIMP area mm SURF Hoeveelheid water dat afgevoerd wordt via directe afvoer Fast runoff mm GRND Hoeveelheid water dat afgevoerd wordt via de basisafvoer Slow runoff mm T ET Totale hoeveelheid water dat evapotranspireert Total Evapotranspiration mm 22

33 Hoofdstuk 5 Ensemble generatiemethoden 5.1 Algemeen Het is eigen aan het modelleren van complexe omgevingssystemen dat enerzijds verschillende modelstructuren en anderzijds verschillende parametersets binnen eenzelfde modelstructuur aanleiding kunnen geven tot aanvaardbare gedrag van het gemodelleerde systeem. Dit principe wordt het equifinaliteitsconcept genoemd (Beven en Freer, 2001; Luo et al., 2009). Dit concept leidde ertoe dat Hornberger en Spear (1981) er op wezen dat het idee achter een optimaal model verworpen mag worden. Binnen de hydrologie wordt equifinaliteit geïnterpreteerd als het op verscheidene wijze (i.e. modelstructuur, parameterset) bekomen voor eenzelfde eindtoestand (i.e. een aanvaardbare modelvoorspelling). Dit impliceert echter niet dat elke bekomen simulatie even aanvaardbaar is als een voorspelling voor het systeem. Elke simulatie moet bijgevolg beoordeeld worden op de performantie (Beven, 1990, 1993, 1996). In deze studie zal de modelstructuur van het hydrologische SAC-SMA model constant gehouden worden, maar er zullen verschillende parametersets gebruikt worden en kleine perturbaties aangebracht worden op de forcings (neerslag en potentiële evapotranspiratie). De bekomen ensembles die gebruikt worden binnen de Ensemble Kalman Filter moeten vervolgens beoordeeld worden op hun performantie. Dit gebeurt aan de hand van ensemble verificatiemethoden. 5.2 Ensemble verificatiemethoden De performantie van het ensemble aan parametersets kan beoordeeld worden op basis van een aantal ensemble verificatiemethoden. Enkele van deze methoden worden vaak gebruikt in de hydrologie en meteorologie om de betrouwbaarheid van de gesimuleerde ensembles te bepalen Ensemble interpretatie Bij de interpretatie van de ensembles worden de eerste vier momenten van de PDF s bestudeerd (De Lannoy et al., 2006). Het eerste moment beschrijft het gemiddelde van de 23

34 HOOFDSTUK 5. Ensemble generatiemethoden ensembles ˆx i, het tweede moment de variantie of spreiding op de ensembles ensp i, het derde moment de scheefheid of skewness skew i en tot slot het vierde moment de kurtosis of gepiektheid kurt i. ˆx i = 1 N N ˆx i,k (5.1) k=1 ensp i = 1 N skew i = 1 N N (ˆx i,k ˆx i ) 2 (5.2) k=1 N k=1 ( ˆxi,k ˆx i enspi ) 3 (5.3) kurt i = 1 N N k=1 ( ˆxi,k ˆx i enspi ) 4 3 (5.4) met N het aantal leden in een ensemble en ˆx i,k het k-de element in het i-de ensemble. Er wordt verondersteld dat N voldoende groot is, zodat een deling door N of N 1 geen significante verschillen vertoont voor de berekende momenten. Een andere verificatiemaat wordt verkregen door de gemiddelde kwadratische afwijking mse i van de ensembles: mse i = 1 N (ˆx i,k y i ) 2 N k=1 (5.5) = ensp i + ensk i met y i de observatie op tijdstap i en ensk i de ensemble skill: ensk i = ( ˆx i y i ) 2 (5.6) Indien de observatie, y i, niet te onderscheiden valt van het ensemblegemiddelde, ˆx i, zal de ensemble skill, ensk i, ongeveer nul zijn, en bijgevolg is de ensemblespreiding identiek aan de gemiddelde kwadratische afwijking van de ensembles (ensp i =mse i ). Er kunnen een aantal verbanden gedefinieerd worden die dienen als maat voor de graad van samenhang tussen een a priori voorspelde onzekerheid en de a posteriori of geobserveerde fout in de voorspelling (De Lannoy et al., 2006). Zo kan verwacht worden dat de gemiddelde ensemble skill gelijk is aan de gemiddelde ensemblespreiding doorheen de tijd. M.a.w.: < ensk > < ensp > = 1 (5.7) Indien hogere waarden bekomen worden voor deze verhouding, kan aangenomen worden dat de spreiding over de ensembles doorheen de tijd te klein is en bijgevolg zijn de parametersets 24

35 HOOFDSTUK 5. Ensemble generatiemethoden en/of de forcings onvoldoende geperturbeerd. Een andere indicatie voor de ensemble kwaliteit is de ratio van wortels van de gemiddelde ensemble skills en de gemiddelde kwadratische afwijking van de observaties ten opzichte van het ensemblegemiddelde per tijdstap. Idealiter zou deze moeten naderen naar: < ensk > N + 1 = < mse > 2N (5.8) Indien aan deze gelijkheid voldaan is, kan gesteld worden dat de werkelijkheid niet te onderscheiden is binnen het ensemble van voorspellingen Talagrand diagram De kwaliteit van de ensembles kan eveneens visueel beoordeeld worden aan de hand van het Talagrand diagram. Dit diagram is een rank histogram van de positie van de geobserveerde toestand ten opzichte van de a priori voorspelde ensemble toestanden (Candille en Talagrand, 2005). Het principe achter het Talagrand diagram is vrij eenvoudig. Veronderstel een ensemble van N leden die de voorspelde toestanden op een bepaalde locatie beschrijven en de geobserveerde toestand V. Deze ensemble leden worden gerangschikt volgens hun grootte van klein naar groot. Hierbij wordt de vector X bekomen: X = (x 1,..., x n ) (5.9) Omwille van het feit dat de kennis over de werkelijke toestand imperfect is, wordt deze beschreven aan de hand van een probabiliteitsdistributiefunctie (PDF). Deze PDF wordt betrouwbaar genoemd, indien de probabiliteiten de werkelijke kans op voorkomen weergeven. Bij een eindig aantal ensembles, zal dit het geval zijn indien de werkelijkheid en de gegenereerde ensembles gezien worden als samples van dezelfde probabiliteitsdistributiefunctie. Indien hieraan voldaan is, dan E[P (V < x i )] = i N + 1 (5.10) met E[.] de verwachte waarde van de probabiliteit P. Denkbeeldige ensemble leden, x 0 en x n+1, worden gecreëerd die de onder- en bovengrens van de ensemble voorstellen, zodat P (V < x 0 ) = 0 en P (V < x n+1 ) = 1. Vervolgens kan vergelijking 5.10 herschreven worden als: E[P (x i 1 V < x i )] = 1 N + 1 (5.11) Bij deze vergelijking dient opgemerkt te worden dat de verwachte waarde voor de probabiliteit van elke mogelijke rank van de ensemble leden gelijk zijn aan een constante waarde, nl. 25

36 HOOFDSTUK 5. Ensemble generatiemethoden 1. N+1 Het Talagrand diagram wordt bekomen door de ranken van de observaties ten opzichte van de ensemble leden bij te houden. Hierbij wordt een vector, R, bekomen van de n+1-mogelijke ranken: R = (r 1,..., r n+1 ) (5.12) De som van de frequenties van de ranken kleiner dan rank i, r i, in het histogram worden uitgedrukt als: i r j = P (V < x i ) (5.13) j=1 waarbij. het gemiddelde over een voldoende groot aantal statistisch onafhankelijke punten bepaald wordt. De frequentie van een specifieke rank kan geschreven worden als: r j = P (x j 1 V < x j ) (5.14) Volgens deze formule geldt dus dat de frequentie van rank j gelijk is aan de fractie van de tijd dat de werkelijkheid ligt tussen de gesorteerde ensemble leden j en j 1. Onder ideale omstandigheden kunnen de voorspelde toestand van de set van ensembles en de werkelijke toestand op een gegeven moment beschouwd worden als een willekeurige trekking uit dezelfde probabiliteitsdistributiefunctie. Omwille van deze reden heeft de observatie een even grote kans om eender welke N + 1 rank te krijgen. Indien dit proces meerdere malen uitgevoerd wordt over onafhankelijke observaties, zou een uniform histogram over de mogelijke N + 1 ranks moeten bekomen worden (Figuur 5.1a) (Hamill, 2001). Het voordeel van een Talagrand diagram is de snelle visuele beoordeling van de kwaliteit van de ensembles. Indien een vlak histogram (Figuur 5.1a) bekomen wordt, duidt dit op een goede spreiding van de ensembles rond de observatie. Dit is echter geen zekerheid voor het bekomen van een betrouwbaar ensemble. Aangezien een vlak histogram eveneens gegenereerd kan worden van ensembles met verschillende afhankelijke fouten of door middel van een niet-willekeurige sampling uit een andere PDF dan die van de observatie. Daarnaast kan een vlak histogram eveneens duiden op een correcte bepaling van de variantie, maar de covarianties kunnen slecht zijn. Een U-vormig of concaaf histogram (Figuur 5.1b) duidt meestal op een gebrek aan variabiliteit in de ensembles, aangezien de observatie met een hoge frequentie zowel de kleinste als de grootste waarde is. Daarnaast kan een U-vormig histogram ook een indicatie zijn van een afhankelijke fout (Hamill, 2001). Bij een n-vormig of convex histogram (Figuur 5.1c) geldt het tegengestelde van een U-vormig of concaaf diagram. Bijgevolg duidt dit op een te hoge variabiliteit en spreiding van de ensembles rond de observatie. 26

37 HOOFDSTUK 5. Ensemble generatiemethoden Figuur 5.1: Verschillende soorten van Talagrand diagrammen (The COMET Program, 2016). Indien het bodemvocht wordt beschouwd, komt een hellend histogram (Figuur 5.1d) overeen met te droge of te natte omstandigheden. Bij een J-vormig histogram komen de hogere ranken te vaak voor. Dit betekent dat er een onderschatting is van het bodemvochtgehalte van het model, of er wordt voorspeld dat de omstandigheden droger zijn dan de werkelijkheid. Hetzelfde principe kan toegepast worden op L-vormige diagrammen. Deze wijst op een overschatting van het bodemvochtgehalte door het model. 5.3 Ensemble selectiemethoden Algemeen In deze studie zal steeds een selectie gemaakt worden van 32 ensemble leden. Deze ensembles zullen gegenereerd worden door kleine perturbaties aan te brengen op enerzijds de forcings, nl. potentiële evapotranspiratie en neerslag, en anderzijds op de SAC-SMA parameterset. De parametersets die gebruikt worden kunnen op twee manieren bekomen worden. Ten eerste kunnen perturbaties aangebracht worden op een optimale parameterset (paragraaf 5.3.3). Deze kan bekomen worden door het toepassen van een kalibratiemethode, zoals Shuffled Complex Evolution (Duan et al., 1994). Een tweede mogelijke manier op een ensemble aan parametersets verkregen via de zelf ontwikkelde procedure: de Triangulaire Ensemble Selectiemethode (paragraaf 5.3.4). 27

38 HOOFDSTUK 5. Ensemble generatiemethoden Binnen deze laatstgenoemde methode en de Shuffled Complex Evolution methode wordt gebruik gemaakt van een doelfunctie om de performantie van een specifieke parameterset te bepalen Doelfunctie De parameterwaarden moeten zo gekozen worden zodat de simulaties zo goed mogelijk de werkelijkheid beschrijven. Om dit te bereiken wordt vaak het principe van inverse modellering gebruikt. Dit omvat dat de parameters van een fysisch model herhaaldelijk worden aangepast en verbeterd om de fit tussen de gemodelleerde outputvariabelen en de werkelijkheid zo optimaal mogelijk te maken (Kozelj et al., 2014). De fit tussen de gemodelleerde en de geobserveerde toestanden kan beoordeeld worden op basis van één of meerdere doelfuncties. Bijgevolg moet deze gemaximaliseerd of geminimaliseerd worden zodat het optimum benaderd wordt (Seong et al., 2015). Dit proces wordt eveneens beschreven als parameterschatting of kalibratie. Met de bekomen resultaten moet kritisch omgesprongen worden, aangezien verschillende componenten in het kalibratieproces onderworpen zijn aan fouten. Enerzijds is er de modelstructurele fout die te wijten is aan de onvolmaakte beschrijving door het model. Anderzijds is er een onzekerheid aanwezig in de parameters die de modeloutput beschrijven. Ten slotte is er tevens een fout aanwezig op de observaties, o.a. de forcings voor het model (Schoups en Vrugt, 2010). Om de performantie van de parameterset te bepalen worden doelfuncties gebruikt. Afhankelijk van de doeleinden kan de doelfunctie vrij worden gekozen. Er bestaan allerlei doelfuncties: Root Mean Squared Error (RM SE), Nash-Sutcliffe Efficiëntie (N SE), Kling Gupta Efficiëntie (KGE), etc. (Gupta et al., 2009; De Lannoy et al., 2006). Deze zijn gegeven door: RMSE = Nk=1 (θ k,obs θ k,mod ) 2 N (5.15) NSE = 1 Nk=1 (θ k,obs θ k,mod ) 2 Nk=1 (θ k,obs θ gem,obs ) 2 (5.16) ( KGE = 1 cov(θobs, θ mod ) ) 2 ( ) θstd,mod 2 ( ) θgem,mod (5.17) θ std,obs θ std,mod θ std,obs θ gem,obs bias = 1 N N θ k,obs θ k,mod (5.18) k=1 Hierbij stellen θ k,obs en θ k,mod de geobserveerde en gemodelleerd bodemvochtgehalten (m 3 /m 3 ) voor op tijdstip k, θ gem,obs en θ gem,mod de gemiddelde geobserveerde en gemodelleerde bodemvochtgehalten (m 3 /m 3 ), θ std,obs en θ std,mod de standaardafwijking (m 3 /m 3 ) op de geobserveerde en gemodelleerde bodemvochtgehalten en N het aantal bodemvochtgehalten (-). 28

39 HOOFDSTUK 5. Ensemble generatiemethoden Elke doelfunctie legt een andere nadruk op de fit van de bekomen resultaten. Zo maken vele doelfuncties, o.a. RM SE en N SE, gebruik van de kwadratische afwijking van de simulaties ten opzichte van de observaties. Dit wordt toegepast omdat de negatieve fouten de positieve fouten niet zouden opheffen. Aangezien bij hoge bodemvochtgehalten de afwijkingen groter zullen zijn, ligt de nadruk bij deze indices hoofdzakelijk op de hogere bodemvochtgehalten. Dit gaat ten koste van de fit bij lagere bodemvochtgehalten. Daarentegen focust de bias op de algemene tendens van de gemodelleerde bodemvochtgehalten ten opzichte van de geobserveerde bodemvochtgehalten. De Kling Gupta Efficiëntie (KGE) is een maat voor de balans tussen de correlatie, de bias en de variantie tussen de gemodelleerde en geobserveerde bodemvochtgehalten. Naast deze numerieke evaluaties is een visuele interpretatie minstens even belangrijk om een duidelijk beeld te bekomen van de accuraatheid van de gemodelleerde bodemvochtgehalten (Krause et al., 2005; Moriasi et al., 2007; Gupta et al., 2009). Om ensembles te genereren zowel via de Triangulaire Ensemble Selectiemethode, als via de gekalibreerde parametersets, wordt geopteerd om steeds met de Root Mean Squared Error als doelfunctie te werken Perturberen van de gekalibreerde parameterset De eerste methode die toegepast binnen de ensemble generatieprocedure is het aanbrengen van perturbaties op de gekalibreerde parameterset. Deze optimale parameterset wordt bekomen via het Shuffled Complex Evolution (Duan et al., 1994) kalibratieproces. Nadat de ideale parameterset bereikt is, wordt er ruis toegevoegd aan de optimale parametersets en de inputvariabelen Shuffled Complex Evolution Binnen de hydrologie wordt vaak de Shuffled Complex Evolution - University of Arizona (SCE-UA) (Duan et al., 1994) toegepast. Dit algoritme is ontstaan door middel een aanhoudende zoektocht naar efficiëntere kalibratie-algoritmen. Deze methode is gebaseerd op de samenvoeging van een aantal belangrijke concepten. Dit heeft er toe geleid dat SCE-UA een effectieve, robuuste, maar ook een flexibele en efficiënte methode is. Het algoritme De methodiek van SCE-UA kan uitgelegd worden aan de hand van een stappenplan (Duan et al., 1993, 1994; Gopalakrishnan en Ceylan, 2010). 1. Eerst wordt een willekeurige selectie gemaakt van s punten, of parametersets, uit de volledige parameterruimte. Deze selectie gebeurt op basis van een opgestelde verdelingsfunctie, die gekozen wordt aan de hand van voorkennis. Indien geen prior kennis beschikbaar is, wordt meestal geopteerd voor een uniforme verdeling. 2. Hierna worden de s punten gerangschikt volgens hun doelfunctiewaarde. Hierbij wordt de laagste rang toegekend aan de minst gunstige doelfunctiewaarde. 29

40 HOOFDSTUK 5. Ensemble generatiemethoden 3. Nadien worden de gerangschikte s punten opgedeeld in p complexen waarbij elk complex uit m punten bestaat. Het eerste complex bevat de rangen p(k 1) + 1. Voor het tweede complex worden de rangen p(k 1) + 2 geselecteerd, enzovoort met k = 1, 2,..., m. 4. Vervolgens worden alle m complexen geëvalueerd in het Competitive Complex Evolution (CCE) algoritme (Duan et al., 1993). (a) Binnen elk complex worden q punten willekeurig geselecteerd. Deze vormen vervolgens een subcomplex met q punten binnen een complex met m punten. (b) Het punt met de slechtste doelfunctiewaarde wordt vervangen door een nieuw punt met een betere doelfunctiewaarde. De locatie van het nieuwe punt in de parameterruimte wordt gevonden door reflectie, contractie of mutatie (cfr. Duan et al., 1993). Hierbij worden α punten vervangen in het subcomplex met q punten. (c) Vervolgens wordt het volgende subcomplex onder de loep genomen en opnieuw α punten vervangen. In het totaal zijn binnen één complex β subcomplexen aanwezig, waarvoor steeds α punten vervangen worden. 5. Daarna worden alle s punten in de geëvolueerde complexen gecombineerd tot één populatie. Deze populatie wordt dan opnieuw gesorteerd volgens toenemende doelfunctiewaarde en opgedeeld in p complexen (gelijkaardig met stap 3). M.a.w. de punten worden door elkaar gehaald. Dit wordt beschreven door de term shuffle. 6. Tot slot moeten de convergentiecriteria nagegaan worden. Indien deze voorwaarden voldaan zijn, mag het algoritme stopgezet worden en wordt er verondersteld dat de convergentie naar de oplossing een feit is. Indien aan de convergentievoorwaarden niet voldaan is, wordt opnieuw een evolutie van elk complex uitgevoerd tot dat aan de criteria voldaan is. Finaal zullen de punten, of parameterwaarden, van het SCE-UA-algoritme zich situeren rond het globaal optimum in de parameterruimte, of m.a.w. de optimale parameterset is gevonden. Toepasbaarheid Het SCE-UA-algoritme biedt het voordeel dat doorheen de hele parameterruimte een willekeurige simulatie uitgevoerd wordt voor een ensemble aan complexen. Dit leidt ertoe dat er minder kans bestaat om in het lokale optimum terecht te komen. Daarenboven geeft het herhaaldelijk selecteren van subcomplexen aanleiding tot een hogere flexibiliteit van het model en bijgevolg een grotere variatie aan punten in de parameterruimte. Bovendien zorgt de shuffle voor een onafhankelijke interactie tussen subcomplexen. Finaal kan besloten worden dat SCE-UA-algoritme doeltreffender en efficiënter is dan de ander methode waarop het gebaseerd is (Duan et al., 1994) Perturbaties Nadat de optimale parameterset gevonden is, moet er een spreiding geïnduceerd worden om zo de modelonzekerheid ten gevolge van de parameteronzekerheid te benaderen. Dit wordt bereikt door ruis aan te brengen op enerzijds de inputvariabelen van het model en anderzijds 30

41 HOOFDSTUK 5. Ensemble generatiemethoden de optimale parameterset. De inputvariabelen van het SAC-SMA model omvatten een tijdreeks van enerzijds de neerslag en anderzijds de potentiële evapotranspiratie. Neerslagperturbaties zijn lognormaal verdeeld en multiplicatief, terwijl perturbaties bij de potentiële evapotranspiratie een normale verdeling volgen en multiplicatief zijn. De lognormale verdeling van de neerslagperturbaties is te wijten aan de scheve verdeling van de neerslag (De Lannoy et al., 2015). Om ruis aan de inputvariabelen toe te voegen wordt gebruik gemaakt van temporele en ruimtelijke eigenschappen, nl. de autocorrelatie. De veronderstelde autocorrelaties zijn weergegeven in Tabel 5.1. De verdeling van deze toegevoegde ruis wordt gegeven door een lognormale of een normale verdeling met een gemiddelde van 1 en een te bepalen standaardafwijking. In deze studie wordt gekozen voor een standaardafwijking van 0.5 mm/dag en 0.3 mm/dag op resp. de tijdreeks van neerslag en potentiële evapotranspiratie, zoals eveneens toegepast door De Lannoy et al. (2015). Tabel 5.1: De perturbatie-eigenschappen van de inputvariabelen (De Lannoy et al., 2015). Perturbatie Additief (A) of multiplicatie (M) Standaardafwijking Temporele autocorrelatie Ruimtelijke autocorrelatie Neerslag M 0.5 mm/dag 24 h 50 km Pot. evapotranspiratie M 0.3 mm/dag 24 h 50 km Daarnaast wordt eveneens ruis op de parameterwaarden van het SAC-SMA model aangebracht op een additieve manier. Hierbij volgt de toegevoegde ruis een normale verdeling met een gemiddelde van 0 en een standaardafwijking van 0.4 voor alle parameters. Andere standaardafwijkingen werden geprobeerd, maar deze gaven minder goed resultaten Triangulaire Ensemble Selectiemethode Naast het gebruik van een optimale parameterset om ensemble te genereren, kan eveneens gewerkt worden met een zelf ontwikkelde methode: de Triangulaire Ensemble Selectiemethode. Deze procedure wordt gebruikt voor het selecteren van aanvaardbare ensembles en is gebaseerd op het principe van equifinaliteit: het is mogelijk om met verschillende parametersets (i.e. parameterwaarden) een gelijkaardig resultaat met betrekking tot een doelfunctie (i.e. een aanvaardbare modelvoorspelling) te bekomen. Binnen deze methode wordt een groot aantal parametersets gecreëerd en vervolgens beoordeeld op basis van de bijbehorende doelfunctiewaarde. Aangezien de doelfunctie gemaximaliseerd of geminimaliseerd moet worden, worden enkel de beste parametersets behouden en als aanvaardbaar beschouwd. Uit deze acceptabele parametersets wordt een ensemble aan parametersets getrokken volgens een triangulaire verdeling. Via deze triangulaire verdelingsfunctie wordt een grotere kans toegekend aan de parametersets met een betere doelfunctiewaarde en een lagere kans aan de parametersets met een minder optimale doelfunctiewaarde, maar deze is nog steeds aanvaardbaar. 31

42 HOOFDSTUK 5. Ensemble generatiemethoden De selectie van de meest geschikte parameterset kan gebeuren aan de hand van een stappenplan. 1. Deze methode start bij de generatie van X parametersets die rondom geselecteerd worden uit de volledige parameterruimte (bv. X=10 000). De parameterruimte wordt afgebakend aan de hand van prior kennis uit Van Werkhoven et al. (2008). De grenzen van deze parameterruimte worden voorgesteld in Tabel 4.2. Er zijn echter geen gegevens beschikbaar omtrent een specifieke verdelingsfunctie die gekozen moet worden voor de parameters. Aangezien deze kennis niet aanwezig is, wordt er veelal geopteerd voor een uniforme verdeling. 2. Na de simulatie van deze X parametersets, kunnen de doelfunctiewaarden bepaald worden voor iedere parameterset. Naargelang de keuze van de doelfunctie moet de doelfunctiewaarde gemaximaliseerd of geminimaliseerd worden naar een andere optimale doelfunctiewaarde. Zo heeft een optimale parameterset een N SE van 1 en een RMSE van Nadat de doelfunctiewaarden voor alle parametersets bepaald zijn, worden deze gerangschikt volgens hun doelfunctiewaarde. Hierbij wordt de hoogste rang toegekend aan de meest optimale doelfunctiewaarde. 4. Vervolgens wordt de cumulatieve distributiefunctie (CDF) van deze doelfunctiewaarden berekend. 5. Nadat de CDF bepaald is, wordt op een arbitraire manier een doelfunctiewaarde (x thr ) gekozen, die de grens weerspiegelt tussen aanvaardbare en niet-aanvaardbare parametersets. Hierna wordt uit de aanvaardbare parametersets een ensemble (bv. 32 leden) getrokken, waar een grotere kans wordt toegekend aan de parametersets die gekenmerkt worden door een betere doelfunctiewaarde en een lagere kans aan de parametersets met een minder optimale, maar nog steeds een aanvaardbare, doelfunctiewaarde. Dit gebeurt aan de hand van triangulaire verdeling. Er moet echter een onderscheid gemaakt worden tussen de doelfuncties die gemaximaliseerd of geminimaliseerd moeten worden. Wanneer de doelfunctie geminimaliseerd moet worden (bv. RM SE), is [0,b] het interval waarbinnen de triangulaire verdeling geldig is. Hierbij stelt b de cumulatieve functiewaarde voor die de bovengrens van de aanvaardbare doelfunctiewaarden voorstelt. Deze kan als volgt berekend worden: b = F OBJ (x thr ) (5.19) met x thr de drempelwaarde van de doelfunctiewaarde waarbij de parameterset nog net als aanvaardbaar wordt beschouwd. De cumulatieve distributiefunctie van de triangulaire verdeling wordt gegeven door: waaruit volgt dat: T (ξ) = 1 ξ = b(1 (ξ b)2 b 2 (5.20) 1 T (ξ)) (5.21) Het selectieprincipe wordt gevisualiseerd in Figuur 5.2. Hierbij wordt links de triangulaire verdeling, t(ξ), afgebeeld. Deze zorgt ervoor dat er een grotere kans 32

43 HOOFDSTUK 5. Ensemble generatiemethoden Figuur 5.2: Ensembleselectie voor een te minimaliseren doelfunctie, met links de triangulaire verdeling over het interval [0,b], in het midden de cumulatieve triangulaire verdeling en rechts de cumulatieve doelfunctie. toegekend wordt aan de parametersets die gekenmerkt worden door een lagere doelfunctiewaarde. Stelselmatig neemt de kans op het kiezen van de parameterset af bij een toename van de doelfunctiewaarde. Finaal is de kans om een parameterset te kiezen nul, indien de doelfunctiewaarde de grens van x thr heeft overschreden en bijgevolg niet meer aanvaardbaar is. Als de doelfunctie gemaximaliseerd dient te worden (bv. N SE), moet de triangulaire verdeling zich voordoen over een ander interval, nl. [b,1]. Hier weerspiegelt b de cumulatieve functiewaarde van de ondergrens van de aanvaardbare doelfunctiewaarden (vergelijking 5.19). De cumulatieve distributiefunctie (CDF) van de triangulaire verdeling wordt in dit geval voorgesteld als: met T (ξ) = (ξ b)2 (1 b) 2 (5.22) ξ = b + (1 b) T (ξ) (5.23) In Figuur 5.3 (links) wordt een triangulaire verdeling, t(ξ), opgesteld over het interval [b,1]. Deze triangulaire verdeling leidt ertoe dat de parametersets met een grotere doelfunctiewaarde OBJ een hogere kans hebben om gekozen te worden en dat de parametersets die niet aanvaardbaar zijn geen kans hebben om gekozen te worden. De verschillende parametersets moeten op een willekeurige manier geselecteerd worden uit een triangulaire verdeling. Om dit te bewerkstelligen worden N aantal random getallen, k, geselecteerd uit een uniforme verdeling over [0,1]. Hierbij stelt N het aantal ensemble leden voor. Vervolgens moet voor elk random getal, k, de inverse cumulatieve 33

44 HOOFDSTUK 5. Ensemble generatiemethoden Figuur 5.3: Ensembleselectie voor een te maximaliseren doelfunctie, met links de triangulaire verdeling over het interval [b,1], in het midden de cumulatieve triangulaire verdeling en rechts de cumulatieve doelfunctie. doelfunctie T 1 (k) en de bijbehorende doelfunctiewaarde P berekend worden volgens: ( P = FOBJ 1 b [ 1 1 k ]), bij het minimaliseren van een doelfunctie ( P = FOBJ 1 b + (1 b) ) k, bij het maximaliseren van een doelfunctie (5.24) Hierbij wordt een ensemble van doelfunctiewaarden P bekomen. Elk van deze doelfunctiewaarden komen overeen met een bepaalde parameterset. Finaal wordt een ensemble van parametersets bekomen van N leden, die een aanvaardbaar gedrag vertonen volgens de gebruikte doelfunctie. 6. Ter validatie kunnen een aantal ensemble statistieken berekend worden. 34

45 HOOFDSTUK 5. Ensemble generatiemethoden 5.4 Resultaten Deze twee ensemble selectiemethoden worden toegepast om zo goed mogelijke ensembles te genereren. De grootte van het ensemble speelt een belangrijke rol binnen de grondigheid van de beoordeling. Een ensemblegrootte van 32 leden wordt als aanvaardbaar beschouwd (De Lannoy et al., 2006). Vervolgens worden de bekomen ensembles beoordeeld op basis van een aantal ensemble statistieken (correlatie R, diagrammen. <ensk> <mse> en <ensk> <ensp> ) en hun Talagrand Klassieke ensemble selectiemethode Indien het SCE-UA-algoritme toegepast wordt, worden volgende parametersets bekomen voor de 32 locaties in Australië (Tabel 5.3 en 5.4). De performantie van deze parametersets kan nagegaan worden aan de hand van de berekening van een aantal statistieken, zoals de correlatie R, de RM SE, de N SE en de KGE, op basis van de open loop bodemvochtgehalten en de in situ bodemvochtmetingen. De statistieken (R, RMSE, NSE en KGE) voor de open loop simulaties wordt weergegeven in Tabel 5.2. De beoordeling van de simulaties gebeurt steeds tijdens de periode van 14 januari 2010 tot 31 december Hierbij dient opgemerkt te worden dat voor sommige locaties slechts beperkte dagen in situ metingen beschikbaar zijn, gaande van 0 dagen voor locatie 17 tot 470 dagen voor locatie 14. Opdat de beoordelingen gegrond zouden zijn, worden enkel de locaties met meer dan 365 dagen observaties voor zowel de in situ metingen, als de SMOS-observaties tijdens de periode van 2010 t.e.m geselecteerd. Dit is van toepassing voor 13 van de 32 locaties. Tabel 5.2: De statistieken (R (-), RMSE (m 3 /m 3 ), NSE (-), KGE (-)) voor 13 locaties bij een open loop simulatie op basis van de gekalibreerde SCE-UA parametersets. Locatie nr. R(OL) RM SE(OL) N SE(OL) KGE(OL) Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Gemiddelde Optimaal

46 36 Locatie nr. Tabel 5.3: SAC-SMA modelparameters met hun gekalibreerde waarden volgens SCE-UA voor de 32 locaties in Australië (deel 1). UZTWM (mm) UZFWM (mm) LZTWM (mm) LZFPM (mm) LZFSM (mm) UZK (dag 1 ) LZPK (dag 1 ) LZSK (dag 1 ) ZPERC (-) REXP (-) PFREE (%/100) HOOFDSTUK 5. Ensemble generatiemethoden

47 Tabel 5.4: SAC-SMA modelparameters met hun gekalibreerde waarden volgens SCE-UA voor de 32 locaties in Australië (deel 2). 37 Locatie nr. UZTWM (mm) UZFWM (mm) LZTWM (mm) LZFPM (mm) LZFSM (mm) UZK (dag 1 ) LZPK (dag 1 ) LZSK (dag 1 ) ZPERC (-) REXP (-) PFREE (%/100) HOOFDSTUK 5. Ensemble generatiemethoden

48 HOOFDSTUK 5. Ensemble generatiemethoden Indien de statistieken van de open loop bodemvochtgehalten bestudeerd worden, kan gesteld worden dat deze algemeen zeer goed zijn. Er heerst een gemiddelde correlatie tussen de open loop bodemvochtgehalten en de in situ metingen van over de 13 locaties. Daarnaast zijn de bekomen RMSE-waarden eveneens zeer goed, slechts m 3 /m 3 als gemiddelde over de deze locaties. De NSE (en de KGE) geven iets matigere resultaten weer. Dit is mogelijks te wijten aan een tekortkoming van het Sacramento model. Om de performantie te verifiëren wordt voor elke parameterset een ensemble van 32 leden aangemaakt. Op deze ensembles wordt een spreiding geïnduceerd door ruis aan te brengen op enerzijds de inputvariabelen en anderzijds de parameterwaarden. Dit gebeurt zoals beschreven in paragraaf Om deze bekomen ensembles te verifiëren worden een aantal ensemble statistieken berekend en Talagrand diagramman aangemaakt. De bekomen ensemble statistieken worden weergegeven in Tabel 5.5 en de Talagrand diagrammen zijn afgebeeld in Figuur 5.4. Bij het nader bekijken van de ensemble statistieken en de Talagrand diagrammen kan beschouwd worden dat de algemene bekomen toestanden vrij goed zijn. De correlaties tussen de open loop modelvoorspellingen en de aanwezige in situ metingen in de periode van januari 2010 tot april 2011 zijn in het algemeen goed. Deze variëren tussen en 0.894, voor resp. locatie 20 en 3. Indien de ensemble statistiek <ensk> <mse> onder de loep genomen wordt, kan gesteld worden dat deze zeer goed is voor locatie 24, 28 en 32. De statistiek is matig voor de andere locaties. Als de laatste ensemble statistiek <ensk> bestudeerd wordt, kan opgemerkt <ensp> worden dat deze sterk varieert. Het slechtste resultaat wordt bekomen voor locatie 1, nl en de beste statistiek voor locatie 24, nl Voor 11 van de 13 locaties is deze statistiek kleiner dan de optimale waarde. Dit duidt erop dat de gemiddelde spreiding over de ensembles doorheen de tijd te groot is. Bijgevolg kan besloten worden dat de modelsimulaties hier te sterk geperturbeerd zijn. Daarnaast wordt voor locatie 24 en 32 wordt een statistiek bekomen die (in een geringe maat) groter is dan 1. Dit verwijst naar een te kleine spreiding over de ensembles doorheen de tijd en bijgevolg zijn de simulaties onvoldoende geperturbeerd. De Talagrand diagrammen van de 13 locaties worden afgebeeld in Figuur 5.4. Bij een eerste blik op de histogrammen kan besloten worden dat ze er vrij goed uitzien, aangezien er geen hoge pieken (groter dan 10 %) aanwezig zijn. Bij een nadere studie van deze figuur kan opgemerkt worden dat de eerste 9 histogrammen (locatie 1 t.e.m. 23) een n-vormig of convex diagram hebben. Hierbij kan besloten worden dat de ensembles een te hoge variabiliteit en spreiding vertonen rond de observatie. Een lichte U-vorm kan opgemerkt worden in de histogrammen van locatie 24 en 32. Dit duidt een beperkte variabiliteit in de spreiding van de ensembles rond de observatie. Finaal kan besloten worden dat de bekomen ensembles rond de optimale parameterset goede resultaten geven, met de beste uitwerking voor locatie 24 en de minst goede voor locatie 1. 38

49 HOOFDSTUK 5. Ensemble generatiemethoden Tabel 5.5: De ensemble statistieken voor 13 locaties na het toepassen van de klassieke ensemble selectiemethode met R(OL, in situ) de correlatie tussen de open loop ensemble gemiddelde bodemvochtgehalten en de in situ metingen. Locatie nr. R(OL, in situ) < ensk > < ensk > < mse > < ensp > Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Gemiddelde Optimaal Figuur 5.4: De Talagrand diagrammen voor 13 locaties na het toepassen van de klassieke ensemble selectiemethode. 39

50 HOOFDSTUK 5. Ensemble generatiemethoden Triangulaire Ensemble Selectiemethode Bij de praktische implementatie van de Triangulaire Ensemble Selectiemethode worden parametersets (X=10 000) gegenereerd. Deze worden willekeurig gekozen over de parameterruimte die begrensd wordt door het interval van iedere individuele parameter (Tabel 4.2). Voor deze parametersets wordt de RMSE bepaald van de simulaties ten opzichte van in situ metingen van het bodemvocht. De RM SE s voor verschillende parameterwaarden worden uitgezet in dotty plots (Figuur 5.5). Hierbij worden voor de meeste parameters geen toename of afname waargenomen in de bekomen RMSE. Echter, voor de parameters UZT W M en UZF W M worden respectievelijk een toename en een afname geregistreerd in de doelfunctiewaarde. Hieruit kan besloten worden dat een lagere parameterwaarde voor UZT W M en een hogere voor UZF W M aanleiding geeft tot een lagere gemiddelde RMSE en vica versa. Figuur 5.5: Dotty plots over het interval van de geschatte parameters. Na de bepaling van RMSE s, wordt op een arbitraire manier de waarde voor de grens tussen aanvaardbaar en niet-aanvaardbaar, x thr, gekozen, bv m 3 /m 3. Deze x thr geeft aanleiding tot de cumulatieve distributiewaarde (b) die gelijk is aan (-). Alle parametersets die een RMSE hebben die kleiner of gelijk is aan 0.08 m 3 /m 3 (x thr ) worden weerhouden en de bijbehorende parametersets worden als aanvaardbaar bestempeld. Dit leidt tot een behoud van gemiddeld 1200 parametersets over de 32 locaties. Hierna wordt de triangulaire verdeling opgesteld met de grootste kans voor een RMSE die 0 is en de kleinste kans voor een RMSE die gelijk is aan 0.08 m 3 /m 3 (x thr ). Aan de hand van deze triangulaire verdeling worden ensembles gekozen voor de 32 locaties. 40

51 HOOFDSTUK 5. Ensemble generatiemethoden Voor deze 32 ensembles worden een aantal ensemble statistieken berekend. Opdat de verificatie gegrond zou zijn, worden eveneens enkel de locaties met meer dan 365 observaties voor zowel SMOS, als in situ metingen tijdens de periode van 2009 tot 2014 geselecteerd. Hieraan voldoen 13 van de 32 locaties. De bekomen ensemble statistieken worden weergegeven in Tabel 5.7 en de Talagrand diagrammen zijn afgebeeld in Figuur 5.6. Uit de statistieken (Tabel 5.7) kan afgeleid worden dat de correlatie tussen de in situ waarnemingen en het gemiddelde bodemvocht over de 32 ensembles goed is. Deze varieert tussen (locatie 20) en (locatie 10), met een gemiddelde van over de 13 locaties. De ensemble statistiek <ensk> <mse> voor locatie 32 (0.638) is zeer goed. Hierbij kan verondersteld worden dat de werkelijke bodemvochtgehalten quasi niet te onderscheiden vallen van de ensemble gesimuleerde bodemvochtgehalten. Echter, voor de overige locaties worden minder goede resultaten bekomen voor deze ensemble statistiek. Bij het nader bekijken van de laatste ensemble statistiek, <ensk>, kan opgemerkt worden dat hier zeer slechte resultaten aanwezig <ensp> zijn ( ). Hierbij kan besloten worden dat de gemiddelde ensemble spreiding veel groter is dan de gemiddelde ensemble skill en bijgevolg is er een te grote variatie aanwezig tussen de verschillende ensemble. De beste waarde wordt bekomen voor locatie 32 (0.681). Uit de Talagrand diagrammen (Figuur 5.6) kan dezelfde conclusie getrokken worden als uit de laatste ensemble statistiek. Een uitgesproken convexe vorm doet zich voor bij de meeste locaties. Hierbij kan geconcludeerd worden dat algemeen de spreiding op de ensembles te groot is. Om dit obstakel te verhelpen kan de grootte van de aangebrachte ruis gewijzigd worden. Daarnaast kan er voor geopteerd worden om strenger toe te zien op de keuze van de 32 parametersets per locatie. Om dit te bewerkstelligen moeten x thr en bijgevolg b kleiner gekozen worden, zodat minder parametersets als aanvaardbaar beschouwd worden. In een tweede poging wordt geopteerd om x thr gelijk te stellen aan m 3 /m 3 (met b = ). Er wordt voor deze x thr gekozen, aangezien dit de minimale waarde is waarbij minstens 32 mogelijke parametersets behouden worden voor elke locatie. Zo heeft locatie 1 bij deze x thr slechts 32 mogelijke parametersets. Daarnaast worden er gemiddeld 800 parametersets behouden voor de 32 locaties. De standaardafwijking van de toegevoegde ruis op de inputvariabelen wordt verlaagd van 0.5 mm/dag naar 0.4 mm/dag voor de neerslag en van 0.3 mm/dag naar 0.25 mm/dag voor de potentiële evapotranspiratie. Andere lagere standaardafwijkingen werden eveneens geprobeerd, maar deze gaven op hun beurt aanleiding tot een afname van de gemiddelde performantie. De ensemble statistieken en Talagrand diagrammen voor deze tweede poging bij een x thr van m 3 /m 3 worden weergegeven in Tabel 5.8 en Figuur 5.7. Een strengere keuze van de bovengrens van de aanvaardbare RMSE s (x thr ) en een afname van de perturbaties op de neerslag en potentiële evapotranspiratie heeft een positief effect op de gemiddelde ensemble statistieken en Talagrand diagrammen. De grootste verbetering is aanwezig in de statistiek <ensk> <mse>. Deze neemt in waarde toe van naar Bijgevolg kan nu besloten worden dat de werkelijkheid quasi niet te onderscheiden valt van de modelsimulaties. Daarentegen vindt een achteruitgang plaats in de correlatie R(OL, in situ) van naar Voor de laatste statistiek <ensk> wijken de gemiddelden ongeveer <ensp> even ver af van de optimale waarde. Echter draagt voornamelijk locatie 32 sterk bij tot de -waarde. Indien geen rekening gehouden zou worden met locatie 32, wordt een grote <ensk> <ensp> 41

52 HOOFDSTUK 5. Ensemble generatiemethoden gemiddelde <ensk> -waarde bekomen van Bij het nader bekijken van de Talagrand diagrammen dient opgemerkt te worden dat de uitgesproken convexe vorm in de eerste locaties <ensp> niet langer aanwezig is, maar dat er zich nu een concave vorm voordoet in de laatste locaties. Algemeen kan gesteld worden dat er zich een verbetering voordoet voor de meeste locaties (behalve locatie 28 en 32) nadat de bovengrens voor aanvaardbare RM SE s strenger gekozen wordt en nadat de standaardafwijking van de toegevoegde ruis op de inputvariabelen verkleind is Vergelijken van beide ensemble selectiemethoden Om beide ensemble selectiemethoden met elkaar te vergelijken, worden de gemiddelde statistieken over de 13 locaties weergegeven in Tabel 5.6. Uit deze resultaten kan afgeleid worden dat het aanbrengen van perturbaties op de optimale parameterset op elke statistiek beter scoort dan de Triangulaire Ensemble Selectiemethode met een standaardafwijking voor neerslag en potentiële evapotranspiratie van 0.5 mm/dag en 0.3 mm/dag en 0.08 m 3 /m 3 als een bovensgrens voor de RM SE s van aanvaardbare parametersets. Bij het vergelijken van de resultaten van de ensembles waarbij perturbaties aangebracht worden op de gekalibreerde parameterset met een strengere Triangulaire Ensemble Selectie, kan besloten worden dat de ensembles op basis van de gekalibreerde parametersets slechts beter scoort voor twee statistieken. Enerzijds is de correlatie tussen de bodemvochtgehalten verkregen via de open loop simulatie en de in situ metingen groter voor de ensembles met perturbaties op de optimale parameterset en anderzijds vertoont deze methode eveneens een grotere gelijkenis tussen de gemiddelde ensemble skill < ensk > en de gemiddelde ensemble spreiding < ensp > in vergelijking met de ensembles die bekomen werden via de Triangulaire Ensemble Selectiemethode. Kortweg kan gesteld worden dat de ensembles afkomstig van de gekalibreerde parameterset een beter spreiding en een realistischere weergave van de realiteit vertonen. Hieruit kan besloten worden dat het voor het Sacramento model beter is bodemvochtgehalten te simuleren in de directe omgeving van de optimale parameterset in de parameterruimte dan te werken met de parametersets die verkregen worden volgens een triangulaire selectie binnen de parametersets met een aanvaardbare RMSE. Door x thr lager te stellen wordt strenger opgetreden in de ensembleselectie binnen de Triangulaire Ensemble Selectiemethode. Dit leidt ertoe dat er betere resultaten bereikt worden, aangezien hierbij de toegelaten aanvaardbare regio kleiner wordt en bijgevolg dichter bij een optimum zal liggen. Dit optimum kan zowel lokaal als globaal zijn. <ensk> <mse>, <ensk> <ensp> Tabel 5.6: De gemiddelde ensemble statistieken (R(OL, in situ), ) over de 13 locaties voor beide ensemble generatiemethoden met σ N en σ P ET de standaardafwijking (mm/dag) voor de ruis op de neerslag en de potentiële evapotranspiratie. Ensemble generatiemethode R(OL, in situ) < ensk > < ensk > < mse > < ensp > Perturbaties op gekalibreerde parameterset Triangulaire Ensemble Selectiemethode met σ N =0.5, σ P ET =0.3 en x thr = σ N =0.4, σ P ET =0.25 en x thr = Optimaal

53 HOOFDSTUK 5. Ensemble generatiemethoden Tabel 5.7: De ensemble statistieken voor 13 locaties met x thr = 0.08 m 3 /m 3 en b=0.034 na het toepassen van de Triangulaire Ensemble Selectiemethode voor de periode vanaf januari 2010 tot en met 2014 met R(OL, in situ) de correlatie tussen de open loop ensemble gemiddelde bodemvochtgehalten en de in situ metingen (poging 1). Locatie nr. R(OL, in situ) < ensk > < ensk > < mse > < ensp > Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Gemiddelde Optimaal Figuur 5.6: De Talagrand diagrammen voor 13 locaties met x thr = 0.08 m 3 /m 3 en b=0.034 na het toepassen van de Triangulaire Ensemble Selectiemethode (poging 1). 43

54 HOOFDSTUK 5. Ensemble generatiemethoden Tabel 5.8: De ensemble statistieken voor 13 locaties met x thr = m 3 /m 3 en b= na het toepassen van de Triangulaire Ensemble Selectiemethode voor de periode vanaf januari 2010 tot en met 2014 met R(OL, in situ) de correlatie tussen de open loop ensemble gemiddelde bodemvochtgehalten en de in situ metingen (poging 2). Locatie nr. R(OL, in situ) < ensk > < ensk > < mse > < ensp > Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Locatie Gemiddelde Optimaal Figuur 5.7: De Talagrand diagrammen voor 13 locaties met x thr = m 3 /m 3 en b= na het toepassen van de Triangulaire Ensemble Selectiemethode (poging 2). 44

55 Hoofdstuk 6 Data-assimilatie Omwille van het toenemend belang van de accuraatheid en betrouwbaarheid van voorspellingen is er een verhoogde interesse in methoden die modelvoorspellingen kunnen verbeteren (Madsen en Skotner, 2005). Een potentiële methode om dit doel te verwezenlijken is data-assimilatie. Deze techniek combineert observaties, gekenmerkt door een bepaalde onzekerheid, en imperfecte hydrologische modellen, zodat er finaal een betere modelvoorspelling bekomen kan worden (Samuel et al., 2014). M.a.w. data-assimilatie is een feedback procedure waarbij de modelvoorspellingen geconditioneerd worden door de observaties (Madsen en Skotner, 2005). Er bestaan verschillende data-assimilatiemethoden. In deze thesis zal met de Ensemble Kalman Filter (EnKF) en de Newtoniaanse nudging gewerkt worden. Er is voor de Ensemble Kalman Filter gekozen aangezien deze zijn nut reeds bewezen heeft in een aantal hydrologische studies (Han et al., 2012; Moradkhani et al., 2005; Martens et al., 2016; Lievens et al., 2016, 2017). Xie en Zhang (2010) onderzochten de schatting van gecombineerde toestandsparameters door gebruik te maken van verschillende soorten van metingen op basis van synthetische experimenten. Een verbetering van de parameterschatting door het gebruikt van de EnKF werd waargenomen. Chen et al. (2011) voerden experimenten uit op zowel synthetische als werkelijke metingen met behulp van EnKF. Hun onderzoek leidde tot een verbetering van de schatting van het bodemvocht van de bovenste bodemlaag. Slechts een beperkte verbetering werd bekomen voor dieper liggende bodemlagen, dankzij de geringe koppeling tussen verschillende bodemlagen aanwezig in Soil and Water Assessment Tool (SWAT), een semi-gedistribueerd hydrologisch model (Gassman et al., 2007). Tussen de verschillende data-assimilatietechnieken kan een onderscheid gemaakt worden naargelang de variabelen die aangepast worden gedurende het assimilatieproces. Dit kunnen inputvariabelen, modeltoestanden, modelparameters en outputvariabelen zijn. In het laatst genoemde geval wordt er gesproken van een foutencorrectie. Deze methode wordt het vaakst toegepast in de hydrologie. Binnen dit hydrologisch onderzoeksdomein wordt eveneens vaak de Kalman Filter toegepast (Madsen en Skotner, 2005; Komma et al., 2008; Houtekamer en Mitchell, 1998). 45

56 HOOFDSTUK 6. Data-assimilatie 6.1 De Kalman Filter De Kalman Filter is een sequentiële data-assimilatiemethode. Dit is een procedure waarbij het model voorwaarts gepropageerd wordt doorheen de tijd. Indien er observaties beschikbaar zijn, worden deze gebruikt om het model te herinitialiseren voordat de methodiek verder gaat (Evensen, 2003). De klassieke Kalman Filter (KF) past de modeltoestanden aan in een conceptueel neerslag-afvoer model. De sterkte van deze methode bevindt zich in het in acht nemen van zowel de onzekerheid van het model als deze van de gegevens tijdens de update van de toestanden en daarnaast wordt eveneens een schatting gemaakt van de onzekerheid van het systeem. Desalniettemin zijn er sterke computationele eisen aan verbonden bij het toepassen van de Kalman Filter op hogere dimensionele modelsystemen (Madsen en Skotner, 2005) Toestand-ruimte model Om een dynamisch systeem te modelleren is er nood aan een toestand-ruimte model dat het systeem kan beschrijven. Dit toestand-ruimte model moet opgebouwd zijn uit enerzijds een systeemmodel en anderzijds een observatiemodel. Het systeemmodel zal de evolutie van de toestanden doorheen de tijd beschrijven. Hierbij wordt de toestand op de huidige tijdstap x k geüpdatet zodat de toestand op de volgende tijdstap x k+1 bekomen wordt aan de hand van volgende vergelijking: x k+1 = f k+1,k (x k, f k, w k ) (6.1) Hierbij weerspiegelt w k de modelfout op tijdstip k. Deze foutenterm dient een Gaussiaanse verdeling te volgen met een gekende variantie en een gemiddelde gelijk aan nul. f k stelt de vector met modelinputs op tijdstip k voor. Deze modelinput kunnen meteorologische gegevens zijn die de hoeveelheid neerslag of potentiële evapotranspiratie beschrijven. De (lineaire) functie die de relatie weerspiegelt tussen enerzijds de toestand van het systeem op tijdstip k en de modelfout en anderzijds de toestand van het systeem op tijdstip k + 1 wordt weergegeven door f k+1,k (.) of m.a.w. het hydrologisch model. Het obsevatiemodel daarentegen visualiseert de relatie h k (.) tussen de toestanden op tijdstip k (x k ) en de observaties van het systeem op tijdstip k (y k ): y k = h k (x k, v k ) (6.2) Hierbij moet echter rekening gehouden worden met de observatiefout op tijdstip k (v k ). Deze wordt verondersteld een normale verdeling te volgen met een gekende variantie en een gemiddelde van nul. De Kalman Filter doelt op het schatten van de systeemtoestanden (ˆx k ) met behulp van beschikbare metingen y k. Hierbij heeft de Kalman Filter het cruciale voordeel dat nietgeobserveerde variabelen samen geüpdatet worden met de geobserveerde variabelen. 46

57 HOOFDSTUK 6. Data-assimilatie Het filter algoritme De Kalman Filter wordt toegepast om de toestanden van een proces te schatten, zodat het verschil tussen de werkelijke toestand x k en de geschatte toestand (ˆx k ) zo minimaal mogelijk is. Er zijn echter twee soorten van schattingen: de a priori en de a posteriori schatting. Bij de a priori schatting (ˆx k ) wordt er een schatting gemaakt van de toestanden, alvorens er rekening gehouden wordt met de observaties van dit tijdstip. Daarentegen worden de observaties van het huidige tijdstip wel in rekening gebracht bij de a posteriori schatting (ˆx + k ). De Kalman Filter oogt op een zo goed mogelijke a posteriori schatting van de toestand, en dus een minimale a posteriori schattingsfout e + k. Deze wordt gedefinieerd als het verschil tussen de werkelijke toestand x k en de geschatte a posteriori toestand ˆx + k. e + k = x k ˆx + k (6.3) Dit kan herleid worden tot de minimalisatie van de a posteriori foutencovariantie P + k. Deze wordt beschreven als: P + k = E[e+ k e+t k ] (6.4) Volgens dezelfde principes kunnen eveneens de a priori schattingsfout e k foutencovariantie P k berekend worden: en de a priori P k e k = x k ˆx k = E[e k e T k ] (6.5) De a priori foutencovariantie geeft een maat voor de onzekerheid van de schatting van de toestand wanneer de informatie vervat in de observaties niet in rekening gebracht wordt. Indien deze informatie wel in acht genomen wordt, reflecteert de a posteriori foutencovariantie de onzekerheid op de schatting van de toestand. De a posteriori schatting van de toestanden ˆx + k kan beschouwd worden als het gemiddelde of eerste moment van de toestandsverdeling, terwijl de a posteriori schatting van de foutencovariantie P + k de variantie of tweede moment van de toestandsverdeling weerspiegelt. Hieruit kan geconcludeerd worden dat enkel de eerste twee momenten van de toestandsverdeling behouden blijven gedurende het Kalman Filter algoritme. Daarenboven wordt bij de Kalman Filter verondersteld dat de fouten normaal verdeeld zijn. De momenten van de toestandsverdeling worden geschat door middel van een feedback controle. Hierbij zal eerst een schatting gemaakt worden van de procestoestanden op een bepaald tijdstip en vervolgens zal een feedback plaatsvinden aan de hand van observaties. Dit proces wordt uitgevoerd in twee stappen: Tijd-update stap: tijdens deze stap wordt de huidige toestandschatting ˆx + k en de huidige schatting van de foutencovariantie P + k gebruikt om een schatting te maken van de a priori toestandsvector en de a priori foutencovariantie voor de volgende tijdstap 47

58 HOOFDSTUK 6. Data-assimilatie (ˆx k+1 en P k+1 ). Deze schatting gebeurt aan de hand van het systeemmodel f k+1,k(.) (vergelijking 6.1). Omwille van het feit dat de toestanden meestal onderhevig zijn aan een ongekende verdeling, hetgeen geïntroduceerd wordt door ruis w k, zal deze stap een spreiding en vervorming aanbrengen in de toestandsverdeling. Observatie-update stap: gedurende deze stap zal de a priori schatting van de toestandsvector ˆx k+1 geüpdatet worden tot ˆx + k+1 door rekening te houden met de observaties op hetzelfde tijdstip y k+1. Deze observaties worden met behulp van het observatiemodel h k+1 (.) vertaald in systeemtoestanden (vergelijking 6.2). Indien voor deze tijdstap geen observaties beschikbaar zijn, wordt de geschatte a posteriori toestandsvector gelijk gesteld aan de geschatte a priori toestandsvector (ˆx + k+1 = ˆx k+1). Deze twee stappen blijven zich herhalen voor elke tijdstap. Een schematisch overzicht van het Kalman Filter algoritme wordt gegeven in Figuur 6.1. Kennis toestand P + k ˆx + k Voorspelling stap a.d.h.v. hydrologisch model Tijd-update stap k k + 1 P k+1 ˆx k+1 Output: toestandschatting P + k+1 ˆx + k+1 Observatieupdate stap voorspelling vergelijken met observaties Observatie y k+1 Figuur 6.1: Schema van de Kalman Filter. De klassieke Kalman Filter is in principe enkel toepasbaar op lineaire modellen. Dit leidt ertoe dat het toestand-ruimte model geschreven wordt door middel van lineaire stochastische vergelijkingen. Hierdoor kunnen vergelijkingen 6.1 en 6.2 herschreven worden tot: x k+1 = A k x k + B k f k + w k (6.6) y k = H k x k + v k (6.7) In de beschrijving van het systeemmodel (vergelijking 6.6) stellen A k en B k de modelmatrices voor. Deze kunnen doorheen de tijd variëren of constant blijven. De matrix A k weerspiegelt het verband tussen de toestand op het huidige tijdstip x k+1 en deze op het vorige tijdstip x k, indien er geen ruis (w k ) of modelinputs (f k ) aanwezig zijn. Daarenboven zorgt de matrix B k voor de relatie tussen de toestanden op het huidige tijdstip x k+1 en de inputvariabelen van het vorige tijdstip f k. Het observatiemodel kan eveneens als een lineaire vergelijking beschreven worden (vergelijking 6.7). Hierbij is H k de observatiematrix. Deze beschrijft het verband tussen de 48

59 HOOFDSTUK 6. Data-assimilatie toestandsvector x k en de observaties y k, mits het in rekening brengen van een mogelijke correctie door middel van de observatiefout v k. Bij de Kalman Filter wordt verondersteld dat de fouten een Gaussiaanse verdeling volgen. Dit impliceert dat zowel de modelruis w k, als de observatiefout v k random geselecteerd worden uit een normale verdeling met een gemiddelde van nul en een gekende variantie, respectievelijk Q k en R k. De procesfoutencovariantie, Q k, en de observatiefoutencovariantie, R k, op tijdstip k worden gegeven door: E[w k w T k ] = Q k 0 E[v k v T k ] = R k 0 (6.8) De foutcovariantie op de observatie R k moeten bepaald worden aan de hand van de gegevens over de accuraatheid van de observaties en methoden die gebruikt zijn om de metingen te verzamelen (Evensen, 2003). Q k en R k zijn diagonaalmatrices waarbij elk element de variantie voorstelt van de overeenkomstige ruis op de modeltoestanden, x k, en de observaties, y k. Deze ruis wordt witte ruis genoemd, aangezien deze niet gecorreleerd is doorheen de tijd (Han et al., 2012). Er mag verondersteld worden dat er afwijkingen aanwezig zijn op de modeltoestanden door benaderingen in de modelbeschrijving ten gevolge van verwaarlozing van fysische en numerieke nauwkeurigheden (Evensen, 2003). Tijdens de tijd-update stap wordt de a priori toestandsvector voor de volgende tijdstap geschat a.d.h.v. de geschatte a posteriori toestandsvector van de huidige tijdstap. ˆx k+1 = A kˆx + k + B k f k (6.9) Wanneer deze vergelijking gecombineerd wordt met vergelijking 6.5, wordt de a priori foutencovariantiematrix P k als volgt berekend: P k = A k 1P + k 1 AT k 1 + Q k 1 (6.10) Tijdens de observatie-update stap wordt de geschatte a priori toestandsvector ˆx k geüpdatet tot de geschatte a posteriori toestandvector ˆx + k door middel van een lineaire combinatie van de a priori schatting van de toestandsvector ˆx k en een gewogen verschil tussen de observatie y k en de voorspelde observatie H kˆx k met gewicht K k. ˆx + k = ˆx k + K k (y k H kˆx k ) (6.11) Het verschil tussen werkelijke observatie en de voorspelde observatie (y k H kˆx k ) wordt het residu genoemd. Hoe dichter deze in absolute waarden nadert naar nul, hoe beter de voorspelling van de observatie de werkelijke meting benadert. K k stelt de Kalman Gain voor. Dit is een matrix die zo berekend wordt dat de a posteriori foutencovariantie P + k geminimaliseerd wordt. Dit wordt bereikt via vergelijking 6.12 die een combinatie is van vergelijkingen 6.4 en K k = P k HT k (H k P k HT k + R k ) 1 (6.12) 49

60 HOOFDSTUK 6. Data-assimilatie aangepast worden, zodat de a posteriori fout- Tot slot moet de a priori foutcovariantie P k covariantie bekomen wordt: P + k = [I K kh k ]P k (6.13) 6.2 De Extended Kalman Filter Zoals reeds vermeld is de klassieke Kalman Filter enkel toepasbaar voor lineaire systemen. Doch zijn in de hydrologie de meeste systemen niet lineair. Bijgevolg wordt de klassieke Kalman Filter aangepast zodat het tevens gehanteerd kan worden bij niet-lineaire systemen. Dit wordt de Extended Kalman Filter (EKF) genoemd (Evensen, 2003). De Extended Kalman Filter zorgt voor een linearisatie van het toestand-ruimte model rond het gemiddelde en de foutencovariantie. Dit wordt verkregen door het systeemmodel f k+1,k (.) en het observatiemodel h k (.) partieel af te leiden. Bijgevolg worden schattingen van de nietlineaire relaties bekomen. Deze zitten vervat in de Jacobiaan matrices A k, W k, H k en V k en worden als volgt berekend: A k [i, j] = f k+1,k(ˆx + k, f k, 0)[i] x[j] W k [i, j] = f k+1,k(ˆx + k, f k, 0)[i] w[j] H k [i, j] = h k(ˆx k, 0)[i] x[j] V k [i, j] = h k(ˆx k, 0)[i] v[j] (6.14) Vervolgens kunnen het systeem- en observatiemodel, resp. f k+1,k (.) en h k (.) (cfr. vergelijking 6.2 en 6.3), herschreven worden tot: { xk+1 = ˆx k+1 + A k (x k ˆx + k ) + W k w k y k = ŷ k + H k (x k ˆx k ) + V k v k (6.15) Met x k en y k de werkelijk toestandsvector en de observatievector, ˆx k en ŷ k de a priori schatting van de toestandsvector en de observatievector, ˆx + k de a posteriori schatting van de toestandsvector. Daarnaast stellen w k en v k de witte ruis aanwezig op het model en de observaties voor. Eerst vindt de tijd-update stap plaats. Hierbij zal de toestandsvector voor de volgende tijdstap geschat worden aan de hand van de geschatte toestandsvector van de huidige tijdstap. { ˆx k+1 = f k+1,k (ˆx + k, f k, 0) ŷ k = h k (ˆx k+1, 0) (6.16) 50

61 HOOFDSTUK 6. Data-assimilatie Daarnaast moet eveneens de a priori foutencovariantie bepaald worden voor de volgende tijdstap. P k = A k 1P + k 1 AT k 1 + W k 1 Q k 1 W T k 1 (6.17) Tijdens de tweede stap, nl. de observatie-update stap, wordt de a priori schatting geüpdatet tot de a posteriori schatting met behulp van de beschikbare observaties. K k = P k HT k (H k P k HT k + V k R k V T k ) 1 ˆx + k = ˆx k + K k (y k ŷ k ) P k = [I K kh k ]P k (6.18) waarbij K k de Kalman Gain Factor die wordt berekend met behulp van de Jacobiaan H k. Deze Jacobiaan matrix zorgt ervoor dat enkel de relevante componenten van de toestandsvector beïnvloed worden. Indien geen observaties voor handen zijn, vindt er geen update plaats: { ˆx + k P k = ˆx k = P k (6.19) 6.3 De Ensemble Kalman Filter Algemeen De Ensemble Kalman Filter is net zoals de klassieke Kalman Filter een sequentiële dataassimilatiemethode. Daarenboven maakt de EnKF gebruik van een Monte Carlo ensemble generatie (Burgers et al., 1998). Hierbij wordt bij elke realisatie van het ensemble het model toegepast met een licht geperturbeerde parameterset of forcinginput. Deze Monte Carlo concepten worden gebruikt om de traditionele Kalman Filter (Kalman, 1960) uit te breiden tot de Ensemble Kalman Filter (EnKF) (Evensen, 1994). Een ensemble-gebaseerde techniek, zoals de EnKF, beschikt over twee potentiële voordelen ten opzichte van de traditionele Kalman Filter. Enerzijds is er een significante verlaging van de kosten, aangezien de covarianties geschat worden door het gebruik van een beperkt aantal willekeurige waarden. Anderzijds geldt er een grotere accuraatheid. Dit is te verklaren door het feit dat de covarianties geschat worden door de modeltoestanden onder de veronderstelling van een niet-lineair model (Hamill et al., 2001). De EnKF heeft als voordeel dat het gekenmerkt wordt door een lage computationele kost voor sterk niet-lineaire systemen, zoals deze die de invloed van infiltratie, evaporatie en drainage op het bodemvochtgehalte beschrijven (Han et al., 2012). 51

62 HOOFDSTUK 6. Data-assimilatie Het EnKF algoritme De Ensemble Kalman Filter wordt in het hydrologische onderzoeksdomein vaak toegepast om grootschalige problemen op te lossen. Deze worden meestal gekarakteriseerd door zowel een temporele, als een ruimtelijk dimensie. Omwille van deze reden is het nodig om het probleem discreet te benaderen. Dit resulteert in een grid constructie, waarbij elke cel gekenmerkt wordt door een aantal statische en dynamische variabelen, welke gedefinieerd zijn in functie van tijd en ruimte. De kennis inzake de beschrijvende modelparameters wordt gekenmerkt door een bepaalde onzekerheid. Deze wordt verwerkt in de EnKF aan de hand van een ensemble generatie door steeds een kleine perturbatie te induceren in de parameterset of de inputvariabelen van het model. De M toestandsvariabelen van één realisatie van het ensemble worden opgeslagen in de kolomvector x i k, de toestandsvector. Hierbij stelt i het i-de ensemble lid voor van de N aantal ensemble leden (i 1,..., N), k de tijdstap en het minteken duidt op de voorspellingsvariabelen die bekomen worden voordat de assimilatie plaatsvindt. Al deze a priori modeltoestanden van tijdstap k van het totale ensemble kunnen bijgehouden worden in de toestandsvector x k op tijdstap k. x k = ( x 1 k ) x 2 k x N T k (6.20) De a priori modeltoestanden x i k worden bepaald aan de hand van de a posteriori modelvoorspelling van de vorige tijdstap x i+ k 1 door het niet-lineaire model f k 1(.): x i k = f k 1 (x i+ k 1 ) + wi k 1 (6.21) Hierbij moet er echter rekening gehouden worden met de aanwezige imperfecties in de voorspelling. Enerzijds zijn er onzekerheden aanwezig in de inputvariabelen of forcings van het model, in een aantal parameters en in de modelformulatie door numerieke benaderingen. Anderzijds zijn er onvolkomenheden die opduiken in de kennis inzake de hydrologische processen (Han et al., 2012). Deze onvolmaaktheden van het model worden weergegeven als w i k 1. Er mag verondersteld worden dat elk van deze fouten een Gaussiaanse verdeling volgt met gemiddelde nul (Reichle et al., 2008), waarbij: Q k = E[w k w T k ] (6.22) Q k is een diagonaalmatrix waarbij elk element de variantie van de witte ruis op x k beschrijft. Er wordt verondersteld dat bij aanvang van de assimilatie de variantie van de modelruis gekend is. De toestandsvariabelen van de individuele ensemble realisaties kunnen geüpdatet worden aan de hand van vergelijking Hierbij vindt de werkelijke assimilatie plaats. 52

63 HOOFDSTUK 6. Data-assimilatie x i+ k = x i k + K k[y k + v i k H k x i k ] (6.23) Hierbij is y k de kolomvormige observatievector die de aanwezige N observaties op tijdstap k voorstelt: y k = ( y 1 k y 2 k y N k ) T (6.24) De observaties y k kunnen additief geperturbeerd worden (y k + v k ) om zo een voldoende spreiding te bekomen (De Lannoy et al., 2007). Met E k de observatie perturbatie matrix voor elke kolomvector van de observaties in y k : E k = ( v 1 k v 2 k v N k ) T (6.25) v i k introduceert een willekeurige term met een Gaussiaanse distributie met gemiddelde nul en een variantie gelijk aan de observatie error covariantiematrix R k (Han et al., 2012): R k = E[v k v T k ] (6.26) Deze observatie error covariantiematrix R k is eveneens een diagonaalmatrix met op de diagonaal de covarianties van de observaties. Er moet verondersteld worden dat bij de start van de assimilatieprocedure deze gekend is. Het ensemble van de geperturbeerde observaties wordt als volgt gedefinieerd: y i k = y t k + v i k (6.27) met y t k de werkelijke waarde van de observatie. Het is belangrijk dat de geperturbeerde observaties y i k behandeld worden als random variabelen met een normale verdeling met gemiddelde gelijk aan de werkelijke waarde y t k en als covariantie R k, de covariantiematrix van de waarnemingsfouten (Evensen, 2003). Het beschouwde systeem kan beschreven worden, indien voldaan is aan de volgende vergelijking: y k = h k (x k, v k ) (6.28) M.a.w. de niet-lineaire observatieoperator h k (.) kan de relatie tussen enerzijds de observaties y k en anderzijds de modelvoorspelling x k en een foutenterm v k beschrijven (Burgers et al., 1998). H k en K k in vergelijking 6.23 stellen respectievelijk de Jacobiaan van de observatieoperator h k (.) en de Kalman gain matrix voor (Burgers et al., 1998). Deze laatstgenoemde doet dienst als een gewogen factor tussen de onzekerheden van de modelvoorspellingen en de observaties (Han et al., 2012). De Kalman gain matrix K k kan berekend worden via volgende 53

64 HOOFDSTUK 6. Data-assimilatie vergelijking: K k = P k HT k [H k P k HT k + R k ] 1 (6.29) De Kalman gain wordt bepaald dus door middel van de a priori error covariantiematrix P k en de covariantiematrix van de voorspelde observaties (H k P k HT k ) (Han et al., 2012). De a priori error covariantiematrix P k wordt bepaald aan de hand van de a priori modeltoestanden van het gehele ensemble x k en de werkelijke toestanden x t k. P k = 1 N 1 [x1 k x t k x N k x t k][x 1 k x t k x N k x t k] T (6.30) Omwille van het feit dat de werkelijke toestanden x t k niet gekend zijn, kunnen deze benaderd worden aan de hand van de gemiddelde a priori modeltoestanden x k. P k = 1 N 1 [x1 k x k xn k x k ][x1 k x k xn k x k ]T (6.31) Hierbij stelt x k het aritmetisch gemiddelde van de a priori modelvoorspellingen xi k voor: x k = 1 N N i=1 x i k (6.32) De Jacobiaanmatrix H k van de observatieopeator h k (.) beschrijft voor welke toestanden observaties beschikbaar zijn. H k = ( w 1 w 2 w M ) T (6.33) met w de factoren die de M modeltoestanden omvormen tot observaties Voorbeschouwing Bij het toepassen van de EnKF op het SAC-SMA model moet er met een aantal elementen rekening gehouden worden. Om de finaal verkregen geassimileerde bodemvochtgehalten te kunnen plaatsen dient een referentiescenario aanwezig te zijn. Dit wordt bereikt aan de hand van een open loop simulatie over de 32 locaties in Australië op basis van de gekalibreerde parameterset. Hierbij zijn geen perturbaties aanwezig op de parametersets of de inputvariabelen. Daarnaast is het belangrijk om rekening te houden met de dimensies waarin de in situ metingen, de SMOS-observaties en de modelsimulaties uitgedrukt worden. Zo worden de SMOS-observaties en de in situ metingen uitgedrukt in absolute bodemvochtgehalten. Deze variëren tussen ongeveer tussen 0 en 0.8 m 3 /m 3. Hierbij is het noodzakelijk om de modelsimulaties in dezelfde eenheid uit te drukken om een vergelijking te kunnen bekomen, nl. m 3 /m 3. 54

65 HOOFDSTUK 6. Data-assimilatie Het SAC-SMA model simuleert de individuele hoeveelheden water (m 3 ) aanwezig in het bovenste reservoir van hangwater, het bovenste reservoir van vrij water, het onderste resevoir van hangwater, het onderste reservoir van supplementiar vrij water en het onderste reservoir van primair vrij water, of kortweg UZT W C, UZF W C, LZT W C, LZF SC en LZF P C. Deze volumes aan water moeten echter relatief uitgedrukt worden ten opzichte van de capaciteiten van de individuele reservoirs (m 3 ), nl. UZT W M, UZF W M, LZT W M, LZF SM en LZF P M. Aangezien de SMOS-observaties en de in situ metingen geen onderscheid maken tussen hang- en vrij water, maar enkel per laag differentiëren, is het noodzakelijk om de gesimuleerde hoeveelheden water per laag uit te drukken. Dit wordt verkregen door de som van de individuele hoeveelheden water per laag te verhouden ten opzichte van de som van de capaciteiten van de individuele reservoirs per laag, of m.a.w. USW F = LSW F = UZT W C + UZF W C UZT W M + UZF W M LZT W C + LZF SC + LZF P C LZT W M + LZF SM + LZF P M (6.34) Bij het berekenen van deze verhoudingen wordt de fractie van bodemvocht in de bovenste laag (USW F - Upper Soil Water Fraction) en onderste laag (LSW F - Lower Soil Water Fraction) bekomen. Deze fracties worden beiden uitgedrukt in m 3 /m 3. Vervolgens dienen deze relatieve fracties (U SW F en LSW F ) herschaald te worden tussen het residueel en het verzadigde bodemvochtgehalte (θ res en θ sat ) om het absolute bodemvochtgehalte in de bovenste en onderste laag (θ upper en θ lower ) te bekomen: θ upper = θ res + (θ sat θ res ) USW F θ lower = θ res + (θ sat θ res ) LSW F (6.35) Het residuele en het verzadigde bodemvochtgehalte over de 32 locaties varieert respectievelijk tussen m 3 /m 3 en m 3 /m 3 en tussen m 3 /m 3 en m 3 /m 3. Het verzadigde bodemvochtgehalte komt overeen met de porositeit van de bodem op die locatie. Deze bekomen absolute bodemvochtgehalten (θ upper en θ lower ) worden gebruikt om een vergelijking uit te voeren met de in situ metingen en de SMOS-observaties. Daarnaast moet tijdens de werkelijke assimilatiestap de toestandsvariabelen geüpdatet worden aan de hand van vergelijking Hierbij moeten de toestandsvariabelen van het model en de SMOS-observaties in eenzelfde eenheid uitgedrukt worden, zodat ze vergelijkbaar zijn. Zoals hierboven vermeld worden de SMOS-observaties uitgedrukt in absolute hoeveelheden bodemvocht. Om deze absolute SMOS-observaties te kunnen toepassen in de assimilatieprocedure moeten deze omgezet worden naar de relatieve hoeveelheid bodemvocht. Dit wordt bereikt door de hoeveelheid bodemvocht uit te drukken ten opzichte van de maximale capaciteit aan bodemvocht. Daarnaast registreert SMOS enkel het bodemvocht in de bovenste 5 cm, m.a.w. de bovenste bodemlaag. Bijgevolg dient de omzetting van absoluut bodemvocht naar relatieve hoeveelheid bodemvocht enkel te gebeuren voor de bovenste bodemlaag 1 via de factor. Binnen de EnKF wordt deze omzetting uitgevoerd door de Jacobiaanmatrix H k : UZT W M+UZF W M ( ) 1 H k = UZT W M + UZF W M (6.36) 55

66 HOOFDSTUK 6. Data-assimilatie Eenmaal de bodemvochtobservaties in relatieve hoeveelheden uitgedrukt worden, dienen deze herschaald te worden zodat de bias verwijderd is van deze herschaalde observaties (De Lannoy et al., 2015). Een mogelijke methode om deze herschaling te bereiken, is het laten overeenstemmen van de cumulatieve distributiefunctie (CDF) van de geobserveerde SMOSwaarnemingen met de CDF van het gesimuleerde bodemvochtgehalte (U SW F ) (Reichle en Koster, 2004; Drusch et al., 2005). Hierbij worden de lange termijn eerste, tweede en hogere orde momenten van de observaties gematched aan deze van de simulaties. Dit wordt beschreven als CDF-matching. In Figuur 6.2 wordt deze procedure gevisualiseerd. In Figuur 6.2a worden de oorspronkelijke CDF s van de SMOS-observaties en de gesimuleerde bodemvochtgehalten (USW F ) weergegeven en in Figuur 6.2b worden de gematchte CDF van de afstandswaarnemingen en de oorspronkelijk CDF van U SW F afgebeeld. Finaal worden deze herschaalde SMOS-observaties dan gebruikt in de assimilatieprocedure. Figuur 6.2: Visualisatie van de toegepaste herschalingstechniek, CDF-matching, voor het locatie nr. 1. (a) de oorspronkelijke CDF s van de bodemvochtgehalten van de SMOSobservaties en de gesimuleerde bodemvochtfracties van de bovenste laag (U SW F ). (b) de CDF s van de bodemvochtgehatlen van de modelsimulaties en van de SMOSobservaties na CDF-matching. In Vergelijking 6.23 wordt een term, v i k, toegevoegd aan de observaties y k. Deze term weerspiegelt een additieve perturbatie op de observaties met Gaussiaanse verdeling met gemiddelde 0 en een variantie gelijk aan de observatie error covariantiematrix R k. Met als standaardafwijking σsmos: σ SMOS = σ SMOS s USW F s SMOS (6.37) Hierbij wordt de fouten standaardafwijking σ SMOS herschaald tot σ SMOS door gebruik te maken van de standaardafwijking op de SMOS-observaties, s SMOS, en de simulaties, s USW F. Hierbij worden de standaardafwijkingen van de fouten op de SMOS-observaties σ SMOS gelijk gesteld aan 0.04 m 3 /m 3. Deze waarde is gebaseerd op literatuur (Barré et al., 2008; De Lannoy et al., 2015). 56

67 HOOFDSTUK 6. Data-assimilatie Tijdens de effectieve assimilatiestap wordt de hoeveelheid bodemvocht in de bovenste laag geassimileerd met de SMOS-observaties. Finaal wordt de a posteriori hoeveelheid bodemvocht gegenereerd voor de bovenste bodemlaag. Deze hoeveelheid dient echter verdeeld te worden over het bovenste reservoir van vrij en hangwater (UZT W C en UZF W C). Hierbij wordt aangenomen dat steeds het reservoir van hangwater (UZT W C) als eerste wordt opgevuld. Indien voor dit reservoir de maximale capaciteit (U ZT W M) bereikt wordt, zal vervolgens het vrije water reservoir (UZF W C) zich beginnen opvullen. Tot slot worden deze toestanden meegegeven als input voor het SAC-SMA model voor de volgende tijdstap. Een schematisch overzicht van de toegepaste assimilatietechniek wordt weergegeven in Figuur 6.3. Hierbij worden de bodemvochtobservaties van de SMOS-satelliet en de bodemvochtsimulaties van het hydrologische Sacramento Soil Moisture Accounting model gebruikt als basis voor het uitvoeren van de EnKF. Vervolgens worden de gesimuleerde bodemvochtgehalten gebruikt om de bias te verwijderen op de bodemvochtobservaties via CDF-matching. Op de bodemvochtobservaties wordt een fout geïntroduceerd. Deze kent een Gaussiaanse verdeling met gemiddelde nul en een standaardafwijking σ SMOS. De modelonzekerheid wordt geïntroduceerd door een spreiding aan te brengen op inputvariabelen en de gebruikte parameters. Tot slot worden de model-toestanden geüpdatet door de effectieve EnKF-assimilatie. Deze worden op hun beurt meegegeven als input voor het SAC-SMA model voor volgende tijdstap. SMOS-data; Bodemvochtobservaties SAC-SMA model; Bodemvochtsimulaties Observatie fout kwantificeren Bias correctie Model fout kwantificeren Ensemble Kalman Filter Toestanden updaten Figuur 6.3: Schema van de data-assimilatietechniek: Ensemble Kalman Filter (Lievens et al., 2015). 57

68 HOOFDSTUK 6. Data-assimilatie Resultaten De beoordeling van deze assimilatietechniek zal gebeuren op basis van een aantal statistieken, zoals de Root Mean Squarred Error (RMSE), de Nash-Sutcliff Efficiëntie (NSE), de Kling Gupta Efficiëntie (KGE) en de correlatie (R). Om de accuraatheid van bekomen bodemvochtgehalten te evalueren worden alle vermelde statistieken geïmplementeerd. Voor de RMSE, de NSE en de KGE worden respectievelijk vergelijkingen 5.15, 5.17 en 5.16 gebruikt. Om de correlatie R te bepalen wordt onderstaande formule toegepast: R = cov(θ obs, θ mod ) σ(θ obs )σ(θ mod ) (6.38) Hierbij stellen θ obs en θ mod de geobserveerde en gemodelleerd bodemvochtgehalten (m 3 /m 3 ) voor. Bij het toepassen van de Ensemble Kalman Filter kan gewerkt worden met zowel de optimale parametersets die bereikt werden via het Shuffled Complex Evolution (Tabel 5.3 en 5.4) mits het aanbrengen van de nodige perturbaties op de parameterwaarden, als met de 32 ensembles aan parametersets die geselecteerd werden in de Triangulaire Ensemble Selectiemethode Perturbaties op de gekalibreerde parameterset Omwille van het feit dat de bekomen ensembles van de gekalibreerde parametersets aanleiding gaven tot goede ensemble statistieken en Talagrand diagrammen (Tabel 5.5 en Figuur 5.4), wordt gewerkt met dezelfde variatie van de toegevoegde ruis op de inputvariabelen en parametersets als in de ensemble generatie (Sectie 5.3.3), nl. 0.5 mm/dag en 0.3 mm/dag als standaardafwijking op de inputvariabelen neerslag en potentiële evapotranspiratie en 0.4 als standaardafwijking van de ruis op de gekalibreerde parametersets. Bij het uitvoeren van deze assimilatietechniek werden algemeen verbeterde resultaten bereikt. Het gesimuleerde bodemvochtgehalte na assimilatie voor locatie 1 voor de gehele periode (1 januari 2002 tot 31 december 2014) wordt gevisualiseerd in Figuur 6.4a en een meer gedetaileerd beeld van de gesimuleerde bodemvochtgehalten kan beschouwd worden in Figuur 6.4b. In deze figuren zijn de afgebeelde gesimuleerde bodemvochtgehalten met en zonder data-assimilatie steeds het gemiddelde over de 32 ensembles voor ieder tijdstip. In deze laatste figuur kan duidelijk aanschouwd worden dat de geassimileerde bodemvochtgehalten naar de SMOS-observaties toegetrokken worden. In dit werkstuk wordt steeds het bodemvocht geassimileerd van de bovenste (0-5 cm) laag. Onrechtstreeks zal dit effect hebben op het bodemvocht van de onderste (30-60 cm) laag. De veranderingen in het bodemvochtgehalte in de onderste laag zullen echter minder uitgesproken zijn dan deze in de bovenste laag, aangezien het oppervlakkige bodemvocht sterker onderhevig is aan de beïnvloedende factoren, zoals neerslag, evapo(transpi)ratie, etc. Dit leidt ertoe dat de variatie van het bodemvochtgehalte veel beperkter is in de dieperliggende lagen. Dit is uitgesproken waarneembaar in Figuur 6.4c. Daarnaast kan eveneens gezien worden dat dieper liggende lagen een hoger bodemvochtgehalte hebben. 58

69 HOOFDSTUK 6. Data-assimilatie (a) (b) (c) Figuur 6.4: Simulaties van het bodemvocht bij het toepassen van de EnKF met de ensembles op basis van de gekalibreerde parametersets voor locatie 1 (a) voor de periode van 1 januari 2002 tot 31 december (b) voor de periode van 14 januari 2010 tot 10 april (c) In situ metingen van het bodemvochtgehalte in de bovenste (0-5 cm) en onderste (30-60 cm) bodemlaag en de gesimuleerde ensemble gemiddelde bodemvochtgehalten voor de periode van 1 januari 2002 tot 10 april