5,6. Praktische-opdracht door een scholier 6215 woorden 25 februari keer beoordeeld

Transcriptie

1 Praktische-opdracht door een scholier 6215 woorden 25 februari ,6 15 keer beoordeeld Vak Wiskunde 2. Inleiding Dit werkstuk gaat over, je kunt het waarschijnlijk als raden, over drie wiskundigen die belangrijk voor deze wereld waren en voor het vak wiskunde natuurlijk. We hadden eerst een ander onderwerp, namelijk loterijen. Dit was echter niet zo goed onderwerp vonden wij. Er was moeilijk informatie over dat onderwerp te vinden en het was ook geen leuk onderwerp. We hebben verder lopen zoeken naar een ander onderwerp en we vonden het volgende onderwerp(en) wel interessant en leuk om over te schrijven. Het onderwerp is, wiskundigen. We hebben daarvoor enkele belangrijke wiskundige gekozen, namelijk Pythagoras, Fibonacci en Pascal. Deze vonden wij interessant om te gaan onderzoeken en we wilden er ook iets meer van leren. We beginnen deze praktische opdracht met het vertellen wie Pythagoras is. Hoe hij leefde en waarmee hij uiteindelijk bekend is geworden. Dan gaan we verder met het uitleggen van de stelling van Pythagoras. Hoe werkt de stelling van Pythagoras en hoe kan je die stelling bewijzen. Wanneer we deze wiskundige hebben besproken en hebben uitgelegd wat hij met wiskunde te maken heeft, gaan we verder met het vertellen van de volgende wiskundige, namelijk Fibonacci. Ook bij Fibonacci gaan we vertellen wie hij is en wat hij met de wiskunde heeft te maken. We gaan ook in deze praktische opdracht uitleggen hoe de rij van Fibonacci werkt en waar je deze rij kan terug vinden in je omgeving. Dan komt onze derde belangrijke wiskundige. Ook bij deze persoon gaan we uitleggen hoe hij leefde en wat hij heeft ontdekt. De driehoek van Pascal is wel de bekendste wiskundige term die met deze persoon te maken heeft. Iedereen kent Pascal daarvan. We aan dan uitleggen hoe de driehoek werkt en wat je er nog meer in kunt terug vinden. Tijdens het onderzoeken van deze wiskundige en hun uitvindingen tref je ook andere wiskundige termen aan. De volgende term troffen we ook aan tijdens het onderzoeken. We kwamen de Gulden Snede tegen. We zijn ook bij deze term op zoek gegaan. Wat is de Gulden Snede precies en wat heeft hij te maken met de rij van Fibonacci? Op deze vragen hebben we ook een antwoord gevonden. Nu rest ons alleen nog te vertellen dat wij jou veel plezier met lezen wensen en dat je er iets wijzer van word. We hopen dat we alles goed hebben uitgelegd en dat we er een leuk en goed verslag van hebben gemaakt. Aan de hand van plaatjes die bij de onderwerpen horen, hopen we dat we daarmee een goede uitleg hebben gegeven. Het is namelijk makkelijker iets uit te leggen aan de hand van plaatjes. Nogmaals veel plezier met het lezen van dit verslag! 3. Pythagoras In dit hoofdstuk gaan we het hebben over de beroemde wiskundige Pythagoras. Hierin gaan we uitleggen wie Pythagoras was en wat hij heeft betekend voor de wiskunde. Pagina 1 van 14

2 3.1 Het leven van Pythagoras Pythagoras werd geboren in Griekenland en wel op het eiland Samos. Hij leefde ongeveer 500 jaar voor Christus. De vader van Pythagoras was Mnesarchus. Hij was een koopman uit Tyrus. Tyrus ligt in het Zuidwesten van Turkije. Pythagoras moeder heette Pythais en zij is geboren op het eiland Samos. Als klein kind leefde Pythagoras op het eiland Samos, maar hij kwam ook op andere plekken terecht. Dat komt namelijk doordat hij veel met zijn vader meereisde. Veel over zijn kindertijd is onbekend. Het is alleen zeker dat hij in een goede familie leefde en een brede opvoeding heeft genoten. Hij leerde wel als klein kind de lier (muziekinstrument) bespelen en hij las poëzie. Pythagoras kreeg les van filosofen, namelijk van Thales en Anaximander. Door de lessen van deze twee filosofen werd Pythagoras interesse voor wiskunde en astronomie gewekt. In de tijd van Pythagoras greep Polycrates de macht in Samos. Pythagoras bleek goed met hem te kunnen opschieten en reisde op aanbeveling van Polycrates naar het land Egypte. Dat gebeurde rond het jaar 535 voor Christus. Eenmaal in het land Egypte te zijn aangekomen, maakte hij kennis met de gebruikelijke gewoontes. Deze gewoontes waren later terug te vinden in de regels die golden voor Pythagoras latere volgelingen. Enkele van deze regels waren, een verbod op het eten van bonen en het streven naar reinheid. Rond het jaar 525 voor Christus viel Cambyses de tweede het land Egypte binnen. Hij was koning van het land Perzië. Polycrates verbrak zijn contacten met Egypte en hielp Cambyses met zijn aanval. Egypte viel in handen van Cambyses en Pythagoras werd als gevangene meegenomen naar Babylon. Nadat Polycrates in 522 voor Christus werd gedood en Cambyses ook stierf in het zelfde jaar keerde Pythagoras terug naar Samos. Hij stichtte daar een school op. Deze school was voor het houden van politieke bijeenkomsten. Buiten de stad richtte hij een eigen stek in voor het geven van lessen op het gebied van filosofie en waar hij veel van zijn tijd besteedde aan wiskunde. In 518 voor Christus verliet hij het eiland Samos om zich te vestigen in Croton (plaats in Italië). In Croton stichtte hij een nieuwe school, namelijk de Gemeenschap van de Pythagoreërs. In 510 voor Christus werd Croton aangevallen en verslagen door Sybaris, een stad die er vlak bij lag. In 508 voor Christus werd de Gemeenschap van de Pythagoreërs in Croton bedreigd door Cylon en Pythagoras moest vluchten naar Metapontium, waar hij waarschijnlijk is overleden. 3.2 Stelling van Pythagoras De stelling van Pythagoras dankt zijn naam aan de Griekse wiskundige Pythagoras. Zijn stelling was wel nieuw voor de Grieken, maar in Soemerië en in Babylonië was het resultaat van de stelling al veel langer bekend. Pythagoras of een van zijn leerlingen was wel de eerste die echte bewijzen vond voor de stelling. De stelling van Pythagoras heeft ook een formule. Daarmee kan je de lengte van een zijde van een rechthoekige driehoek berekenen. Zijde a en zijde b zijn rechte zijdes en zijde c is de schuine zijde. Je moet twee van de drie zijdes weten, om de andere zijde te kunnen berekenen. Als je het kwadraat van a en b optelt krijg je het kwadraat van c. Als je dan de wortel van c neemt weet je hoelang de schuine zijde is. Zo kun je ook de lengte van a bereken als je b en c weet. Er volgen nu twee voorbeelden, maar deze zijn op een andere manier berekend. Zijde Cm Kwadraat A 3 9 B Pagina 2 van 14

3 C?? Het kwadraat van 3 is 9 (32 = 9), het kwadraat van 5 is 25 (52 = 25). De volgende stap is dan om de getallen bij elkaar op te tellen. Dan krijg je 9+25=34. Nu weet je het kwadraat dat bij zijde c hoort. Om vervolgens het aantal cm van deze zijde te berekenen, neem je de wortel van is dan 5,8. Controle, 5,82 = 34. Dus bij zijde c hoort 5,8 cm. Zijde Cm Kwadraat A 3 9 B?? C 8 64 Het kwadraat van 3 is 9 (32 = 9), het kwadraat van 8 is 64 (82 = 64). De volgende stap is dan om het kwadraat van zijde a af te trekken van het kwadraat van zijde c. Je krijgt dan 64-9=55. Om vervolgens het aantal cm van zijde b te bereken, neem je de wortel van is dan 7,4. Controle, 7,42 = 55. Dus het aantal cm bij zijde b is 7, Bewijs 1 We beginnen met twee vierkanten naast elkaar. De oppervlakte van de vierkanten zijn a² + b². Dan maken we in de vierkanten twee even grote driehoeken. De schuine zijde noemen we c. We draaien de driehoeken zodat de schuine zijde dus zijde c, aan de buitenkant komt. De oppervlakte van de 2 vierkanten is nu c² geworden. Dus a² + b² = c² Bewijs 2 Oppervlakte, Lengte zijde, A = 9 A = 3 B = 16 B = 4 C = 25 C = 5 Doordat je de oppervlakte van de vierkanten weet kun je de lengte van de zijdes berekenen. Als je de oppervlakte van a en b optelt kom je op de oppervlakte van c. Dus a² + b² = c² Bewijs 3 De lengte en de breedte van het vierkant zijn, a+b. Het oppervlak van het vierkant bereken je door, (a+b)². Ook als je de vier driehoeken bij elkaar optelt dus, Pagina 3 van 14

4 4 x ½ ab. Het binnenste vierkant heeft oppervlakte c². Dus (a+b)² = 2ab + c² a² + 2ab + b² = 2ab + c² a² + b² = c² Bewijs 4 Dit bewijs in niet heel erg moeilijk. We beginnen met vier driehoeken, die samen een figuur maken. Als je de driehoeken zo neerlegt, krijg je een vierkant met daarbinnen in nog een vierkant. Om de oppervlakte van het vierkant uit te rekenen kun je deze driehoeken gebruiken. De zijdes van het vierkant zijn gelijk aan ab. Je kunt dus zeggen dat de oppervlakte van het vierkant gelijk is aan ab. Of te wel ab2. De oppervlakte van de driehoek is (ab)/2. Het grote vierkant= kleine vierkant + 4 * driehoek Oppervlakte van het grote vierkant= (b2-2ab+a2) + (4 (ab)/2) Grote vierkant= a2 + b2 = c2 4. Fibonacci Nu u hopelijk een beter beeld hebt gekregen van de stelling van Pythagoras gaan we verder met een nieuwe wiskundige, namelijk Fibonacci. Deze wiskundige is ook een beroemde geleerde in de wiskunde. In dit hoofdstuk gaan we verder met het vertellen wie Fibonacci is en wat hij met wiskunde te maken heeft. 4.1 Het leven van Fibonacci De naam Fibonacci is niet zijn echte naam. Hij heet eigenlijk Leonardo van Pisa. Hij kreeg de naam Fibonacci, omdat hij een zoon van Guilielmo was. Guilielmo was lid van de familie Bonacci. Fibonacci werd geboren in 1170 na Christus in het land Italië. Waarschijnlijk is hij geboren is de plaats Pisa, maar hij is opgevoed in Noord-Afrika. Zijn vader was namelijk diplomaat in Afrika. Over de jeugd van Fibonacci is weinig bekend. Wat wel bekend is dat hij wiskunde leerde. Hij reisde veel met zijn vader mee naar landen als Egypte, Griekenland en Frankrijk. Telkens als hij in een land was, leerde hij ook de wiskundige kennis van dat land. Hij leerde onder andere werken met de Indische symbolen voor getallen. Deze getallen hanteren wij nu nog steeds. Dat zijn namelijk de getallen 1,2,3,., 9. Rond het jaar 1200 hield het reizen van Fibonacci op en keerde hij terug naar zijn geboorteplaats Pisa. Daar schreef hij een aantal belangrijke werken waarin hij de wiskundige kennis van diverse beschavingen, waaronder ook de Arabische en de Indische wiskunde, deed herleven in West-Europa. Dit deed hij allemaal handgeschreven, want de boekdrukkunst was nog niet uitgevonden in die tijd. Er zijn gelukkig nog een aantal van deze belangrijke werken bewaard gebleven. Dat zijn onder andere, 'Liber Abaci' (uit 1202), 'Practica geometriae' (uit 1220), 'Flos' (uit 1225) en 'Liber quadratorum. Deze boeken werden erg populair in Fibonacci s tijd. Hij beschreef voornamelijk in deze boeken de wiskundige kennis die hij had opgedaan. Hij schreef ze zo op, zodat het niet moeilijk was om deze wiskundige kennis toe te passen. Hij lette niet al te veel op abstracte stellingen. Daardoor werden zijn werken zeer populair. Zelfs zo populair dat de Duitse keizer ervan hoorde. Vooral de geleerden aan het hof Pagina 4 van 14

5 van Frederik II, zoals Michael Scotus de astroloog, Theororus de hoffilosoof en Dominicus Hispanus, Frederik bewogen om Fibonacci te ontmoeten toen zijn hof bijeen kwam in Pisa omstreeks Rond het jaartal 1228 en later is er weinig van Fibonacci bekend. Waarschijnlijk verbleef hij toen der tijd in Pisa om adviezen over het onderwijs te geven aan burgers van Pisa. Vermoedelijk is Fibonacci overleden rond het jaar Fibonacci's invloed op de geschiedenis van de wiskunde wordt veelal onderschat. Van directe betekenis was natuurlijk zijn invoering van de Hindoe-Arabische notatie voor getallen: de negen cijfers, de nul en het positiestelsel in zijn 'Liber Abaci'. Verder maakte hij West-Europa bekend met de wiskundige methoden uit de Hindoe-Arabische culturen en wist ze toe te passen op problemen uit het dagelijks leven. Maar misschien nog veel belangrijker is het feit dat zijn boeken de leerboeken waren voor rekenmeesters en landmeters en voor veel toekomstige wiskundigen. Maar veel van zijn werk in de getallentheorie raakte in de vergetelheid en werd pas driehonderd jaar later weer ontdekt door Maurolico. En zijn letteraanduiding voor een algemeen getal (een coëfficiënt) werd pas weer in de tijd van Vieta ontdekt en verbeterd. 4.2 Rij van Fibonacci De rij van Fibonacci is een reeks getallen waarin een gelijkmatig patroon in verwerkt is. Zie de volgende rij, (de getallen onder de 1000) 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, 610, 987 Hierin zie je als je de twee voorgaande getallen bij elkaar optelt je het volgende getal krijgt. Deze reeks kan oneindig doorgaan. We laten nu zien hoe de rij van Fibonacci werkt. Je begint altijd met het getal 0. Daarna krijg je het getal =1. Dit getal komt daarom achter de getallen 0 en 1. Je hebt dan al het eerste stukje van de rij, namelijk 0,1,1. Nu kan je de rij weer verder aanvullen. Je neemt de twee voorgaande getallen, dat zij 1 en 1, deze getallen tel je weer bij elkaar op en dan krijg je het getal 2. In de volgende rij kan je de rekensommetjes zien die bij de getallen van de rij van Fibonacci horen, Formule van de rij van Fibonacci De formule om de getallen van Fibonacci uit te reken is, f η = (1+ 5)η - (1-5)η / 2ηx 5. Dat is een lastige formule om te gebruiken. Er zijn tal van andere formules waarmee je de rij van Fibonacci kan uitrekenen. De één is makkelijker dan de andere. Deze formule, f η = (1+ 5)η - (1-5)η / 2ηx 5 is de enige formule waarmee je de gehele getallen van Fibonacci kan uitrekenen. De andere formules, waarmee je deze getallen kan uitrekenen, daar komen geen afgeronde getallen in uit. De makkelijkere formule is f η = (1+ 5) / 2) η / 5. Uit deze formule komen geen afgeronde getallen uit, maar als je deze getallen afrond dan komen deze getallen in de rij van Fibonacci voor. Wanneer we het getal van rij achtste willen weten, hoeven we alleen maar de η te vervangen voor een 8. Dat gaan we nu dus ook doen.( In de voorbeelden hak ik de formule in stukjes). Rij 7 = 1+ 5= :2 = , = : 5= (13) Pagina 5 van 14

6 Rij 8 = 1+ 5= :2 = , = : 5= (21) Rij 9 = 1+ 5= :2 = , = : 5= (34) Rij 10 = 1+ 5= :2 = , = : 5= (55) Rij 11 = 1+ 5= :2 = , = : 5= (89) Zoals je kunt zien, komen er getallen uit de formule die de rij van Fibonacci vormen. Rij 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 Getal 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, Konijnenreeks Toen Fibonacci weer terug naar Pisa terugkeerde, kocht hij een koppel konijnen. Deze kocht hij om te fokken. Hij ontdekte al snel dat hij drie konijnen had in plaats van twee. Daarmee kon hij gemakkelijk een conclusie trekken, namelijk 1+1 meer is dan twee. Met deze conclusie ging hij aan de slag. Hij ging het probleem bestuderen. Hij zag in dat de konijnen goed waren in het vermenigvuldigen en als wiskundige had hij daar natuurlijk belangstelling voor. Hij bedacht bij zichzelf, als een konijnenpaar elke maand een jong konijnenpaar op de wereld brengt en dit paar ook weer geslachtsrijp wordt dan heb ik na een maand weer een nieuw paar konijnen. 1 Maand 1 Paar 2 Maanden 1 Paar 3 Maanden 2 Paren 4 Maanden 3 Paren 5 Maanden 5 Paren 6 Maanden 8 Paren 7 Maanden 3 Paren 8 Maanden 21 Paren 9 Maanden 34 Paren 10 Maanden 55 Paren Fibonacci in bloemen De rij van Fibonacci vind je ook weer terug in verschillende bloemsoorten. We kijken dan voornamelijk naar de bloemblaadjes van de bloem. Niet alle bloemen zullen aan de rij van Fibonacci voldoen, maar het grootste gedeelte van alle bloemen wel. De reeks begint bij 3 bloemblaadjes. De lelie en de iris hebben drie bloemblaadjes, daarna komt het getal vijf. Bloemen met vijf blaadjes eraan zijn de boterbloem en of de wilde roos. Dan komt met acht blaadjes de ridderspoor Delphinium. Met 13 bloemblaadjes komt het jakobskruiskruid en of de goudsbloem. Dan krijg je nog de aster. Deze heeft 21 blaadjes, het moederkruid heeft 34 blaadjes en de herfstaster heeft 89 bloemblaadjes. Wanneer we deze kennis op een rij zetten, krijgen we de volgende reeks, 3,5,8,13,21,34,89. Deze reeks is een gedeelte van de rij van Fibonacci. 4.3 Gulden Snede De Gulden Snede of verdeling in uiterste en middelste reden is de verdeling van een lijnstuk in twee delen, waarvan het kleinste zich verhoudt tot het grootste als het grootste tot het geheel. De Gulden Snede speelt, vooral in de renaissance, een belangrijke rol in de beeldende kunst en architectuur als norm voor harmonisch aandoende verhoudingen. De Gulden Snede wordt gebruikt om twee lijnstukken te verdelen. Dan gaan we nu uitleggen met behulp Pagina 6 van 14

7 van het volgende voorbeeld. We tekenen een lijn (lengte is x) met aan de buitenzijdes de letters A en B. Dan zetten we in die lijn de letter P. Het maakt niet uit maar je hem neerzet. A * B P Nu krijg je een verhouding, namelijk PB:AP = AP:AB. Hierdoor krijgen we de volgende vergelijking, 1 - x x = Met kruislings vermenigvuldigen kunnen we deze vergelijking omzetten in, x2 + x -1 = 0. x 1 De vergelijking om de Gulden Snede uit te rekenen is ( 1 + 5)/2. Als we de lengte van de lijn AB (x) in de vergelijking invullen krijgen we, x = ( 1 + 5)/ Of je doet het op deze manier, x = ( 1 5)/ Deze manier mag niet, want er mag geen negatief getal uit de vergelijking komen. Waar is de gulden snede eigenlijk goed voor? Dat antwoord kunnen we terug vinden in bepaalde zaken. Eén zaak daarvan is dat we de Gulden Snede kunnen terug vinden in de kunst. Het blijkt namelijk dat we de verhouding van phi, dus 0,6180 al eeuwenlang een mooie verhouding vinden. Deze verhouding heeft op een of andere manier een grote esthetische waarde. Een andere zaak van de gulden snede kan je terug zien in de architectuur. Het blijkt dat we een gebouw waarvan de hoogte 62% van de breedte is, of omgekeerd: waarvan de breedte 62% is van de hoogte mooier vinden dan een gebouw met andere voorwerpen. Deze manier wordt al sinds de oudheid toegepast in de architectuur. Ze gebruiken de Gulden Snede dan om het gebouw er mooier uit te laten komen. Op het plaatje kan je zien waar de Gulden Snede is toegepast. Ook in de schilderkunst is de gulden snede te vinden. Men kan namelijk mensen en voorwerpen op deze manier in een schilderij schilderen, zodat je de verhouding van 0,6180 kunt terugvinden. Bij het schilderij van Rubens kan je goed zien dat er gebruik is gemaakt van de Gulden Snede. Je kunt op dat schilderij een heleboel denkbeeldige lijnen zien, bijvoorbeeld de omtrek van het schilderij en de twee lijnen van het kruis. Al die lijnen snijden elkaar. Als je kijkt waar die lijnen elkaar snijden, dan vind je overal de verhouding van de Gulden Snede terug (0.6180) Gulden Snede in de rij van Fibonacci Kenmerkend voor de rij van Fibonacci is ook dat de twee opeenvolgende getallen een vaste verhouding hebben. Dat is de Gulden Snede dus. Ze liggen allemaal rond het getal 0, Dit getal wordt ook wel aangegeven met deze Griekse letter, φ. Het wordt ook wel phi genoemd. Dit getal heet de gouden verhouding, 1:0, (1, ). Wanneer je het voorgaande getal uit de rij van Fibonacci deelt door het huidige getal dan krijg je waardes die liggen rond dat getal. Vanaf de zevende verhouding komt er een getal uit die rond de waarde van de Gulden Snede ligt. Zie de volgende voorbeelden, De eerste verhouding is, 1/1 = 1. De tweede verhouding is, 2/1 = 2. De derde verhouding is, 3/2 = 1,5. De vierde verhouding is, 5/3 = 1, De vijfde verhouding is, 8/5 = 1,6. De zesde verhouding is, 13/8 = 1,625. De zevende verhouding is, 21/13 = 1, De achtste verhouding is, 34/21 = 1,6190. De negende verhouding is, 55/34 = 1,6176. De tiende verhouding is, 89/55 = 1, De volgende verhouding is, 144/89 = 1,6179. De volgende verhouding is, 233/144 = 1, Dan, 377/233 = 1,618025, 610/377 = Pagina 7 van 14

8 1,618037, 987/610 = 1, en 1597:987 = 1, Hoe verder je in de rij nadert, hoe dichter je bij het getal van de Gulden Snede komt. 5. Pascal Nu we uitvoerig de rij van Fibonacci hebben besproken is het nu tijd om het over Pascal te hebben. Pascal is ook een deskundige op het gebied van de wiskunde. Wie is Pascal nou eigenlijk en wat had hij te betekenen voor de wiskunde. Dat gaan we nu in de volgende paragraven bespreken. 5.1 Het leven van Pascal Blaise is de voornaam van Pascal. Hij is geboren als derde kind van Antoinette Bégon en van Etienne Pascal. Hij is de enige zoon van het gezin. De ouders zijn beide afkomstig uit een goede familie. De vader van Pascal, Etienne dus, is een hoge belastingambtenaar met een voorliefde en grote interesse voor wiskunde. In 1626 overlijdt de moeder van Pascal. Dan verhuist hij samen met zijn vader en zijn zussen naar Parijs. Etienne neemt de opvoeding zelf in de hand. Als Pascal op 12-jarige leeftijd is, blijkt hij een grote aanleg te hebben voor meetkunde. Hij ontdekte zelfs dat de som van de hoeken van een driehoek gelijk is aam twee rechte hoeken. Als Pascal 14 jaar wordt gaat hij met zijn vader mee naar een bijeenkomst van de academie van Mersenne. Daar leert hij Fermat Roberval en Desargues kennen. In het jaar 1639 gaat de familie van Pascal naar de plaats Rouen. De vader van Pascal wordt daar een belastinginner. Kort daarna publiceert Pascal zijn eerste werk, namelijk Essai pour les coniques. Dat werk ging over het snijden van kegels. Dan vindt Pascal in 1642 een nieuwe uivinding uit, namelijk de eerste digitale rekenmachine. Deze wordt ook wel de Pascaline genoemd en wordt als hulpmiddel bij het rekenwerk van zijn vader gebruikt. Er zijn er maar rond de 50 stuks van gemaakt. Dat was genoeg om beroemd mee te worden. In 1646 kwamen Pascal en zijn vader in contact met de broeders van een religieuze beweging. De vader van Pascal moest behandeld worden tegen een kwaal in zijn benen. Pascal ging onder deze gebeurtenis geschriften bestuderen van broeder Jansénius. Zijn wetenschappelijke onderzoeken gaan ook nog door. Zo onderzoekt hij de luchtdruk in de atmosfeer en raakt overtuigt van dat er buiten de atmosfeer vacuüm is. In 1650 keert de familie Pascal terug in Parijs. Ze gaan terug naar Parijs, omdat de vader van Pascal ziek is en hij kan daarom minder werken. Hij verkeert meer met vrienden als de dichter Desbarreaux, als Chevalier de Méré. De laatste inspireert hem echter wel om zijn stappen te zetten op het pad van de kansrekening. In het jaar 1651 overlijdt de vader van Pascal. In 1653 schrijft Pascal zijn belangrijkste natuurkundige werk, namelijk Traites de l équilibre des linquers et de la pesanteur de la masse de l aire. Daarin staat de beroemde wet van Pascal. Zijn gezondheid gaat langzamerhand steeds slechter achteruit. Een jaar later krijgt Pascal een ongeluk waarbij hij bijna het leven verliest. In 1656 begint hij zijn filosofische werk rond het menselijk lijden en het geloof, dat hij nooit helemaal heeft afgemaakt. Het zijn de beroemde Pensées, waarin zijn beroemde verdediging van het geloof in God staat. In 1658 schrijft Pascal zijn laatste werk over een wiskundig onderwerp, namelijk de cycloïde. Dat gaat over de kromme baan van een punt op de omtrek van een rollende cirkel. Daarna bemoeit hij zich nauwelijks Pagina 8 van 14

9 nog met de wetenschap. In 1662 krijgt hij een kwaadaardig gezwel in zijn maag, dat zich uitzaait naar de hersenen. Hij sterft een pijnlijke dood. Hij werd slechts 39 jaar oud. 5.2 Driehoek van Pascal De driehoek van Pascal is een driehoek die de problemen van kansspellen oplost. Deze driehoek legt later de basis voor de kansberekening. Eigenlijk heeft Pascal de driehoek niet uitgevonden. De Chinese bevolking was er eerder bij. Omstreeks 1330 na Christus hebben ze een soortgelijke driehoek uitgevonden. In het volgende driehoeken kunnen we laten zien hoe de driehoek van Pascal daadwerkelijk werkt en wat voor verschillende mogelijkheden erin zijn te ontdekken Vormingswet n/p Je kunt zien dat de driehoek van Pascal begint met 1. Vervolgens loopt de hele rij met het getal 1 af. De andere kant van de driehoek loopt ook met het getal 1 af, zodat je later de twee enen bij elkaar kan optellen. 1+1 wordt dan 2. Dit getal vind je dan rechtsonder. De 2 tel je dan weer bij de 1 op en zo krijg je 2+1=3. Dat gaat telkens op deze manier. In de rood gekleurde kolommetjes kun je zien hoe deze reeks is ontstaan. Als eerste beginnen we met de twee drieën. Als je deze bij elkaar optelt krijg je het getal 6 eruit. Zo werkt het ook bij de andere getallen. 6+15=21, 21+7=28 en 9+36=45. De som van twee willekeurige getallen naast elkaar vinden we steeds weer onder het rechtse getal. n/p som van alle getallen op deze rij = Pagina 9 van 14

10 Som van getallen op een rij Je kunt ook in de driehoek van Pascal de som van een rij berekenen. Dat doe je door middel een 2 bij een η voegen (η staat voor het rijnummer). Dan krijg je 2 η Dat wil zeggen dat elke som gelijk is aan 2 η. Je kunt hierboven in de driehoek zien hoe dat in zijn werk gaat. Rij 0 1=2º 2º = 1 Rij 1 1+1=2=2¹ 2¹ = 2 Rij =4=22 22 = 4 Rij =8=2³ 2³ = 8 Dat gaat bij elke rij zo verder. Bij rij 4 krijg je =16=24 en bij rij 5 is dat =32=25 Als je het voorgaande getal van de vorige rij neemt dan kan je die x2 doen en je hebt het volgende getal van de volgende rij. Dat zullen we nu bewijzen. Je wilt de uitkomt van rij 3 weten. Rij 2 heeft als uitkomst 4. Wanneer je 4 x 2 uitrekent krijg je het volgende getal, namelijk 8. Nu gaan we het getal vermenigvuldigen met 2. Dan krijg je als uitkomt 16. Dat gaat bij elke rij zo verder Magisch getal 11 n/p opeenvolgende machten van 11: 110= = = = = = = = = Pagina 10 van 14

11 = = = = = = Als we een rij omzetten in een geheel getal door elk element van de rij te beschouwen als een cijfer van dat getal, dan krijgen we machten van 11. Tot en met rij 4 is dit direct na te gaan. Dat zul je nu zien in de volgende sommen. 0 Rij 0 komt overeen met het getal 1 =110 1 Rij 1 komt overeen met het getal 11 =111 2 Rij 2 komt overeen met het getal 121 =112 3 Rij 3 komt overeen met het getal 1331 =113 4 Rij 4 komt overeen met het getal =114 Vanaf rij 5 komen er elementen in voor boven de 9. Deze getallen bestaan uit 2 of meer getallen. Om deze getallen in een geheel getal om te zetten moeten we dat doen met een andere formule. In het tientallig stelsel worden er getallen gegeven met behulp van het positiestelsel. Het cijfer hangt af van de positie waarop hij zich begeeft. Om het positiestelsel in gebruik te nemen hebben we 10 getallen nodig, namelijk 0,1,2,3,4,5,6,7,8 en 9. Een voorbeeld hiervan is bijvoorbeeld het getal 3451 = = 3x x x x100 Met deze kennis kunnen we ook rij 5 verklaren en in een geheel getal omzetten. De elementen die bij rij 5 staat zijn, Daaruit komt het volgende getal, namelijk , want (en nu kunnen we deze getallen in de formule stoppen) 1x x x x x x100 = Er blijkt dat 115 = Rij van Fibonacci in de Driehoek van Pascal n/p som van alle getallen op de opeenvolgende diagonalen = Pagina 11 van 14

12 In de driehoek van Pascal vind je ook de rij van Fibonacci terug. Hierboven wordt dat duidelijk weergegeven. Als je de getallen diagonaal van elke rij bij elkaar optelt krijg je een getal wat in de rij van Fibonacci past. Zoals je nu weet moet je bij de rij van Fibonacci twee getallen bij elkaar optellen en zo krijg je het volgende getal. We beginnen bij rij 0. Daar kom je maar in één kolom terecht als je diagonaal gaat. Hieruit komt dus het getal 1. (Rij 0 = 1) Dat is hetzelfde als bij rij 1. Daar kom je ook in één kolom terecht. Dus bij rij 1 is het getal 1(Rij 1 = 1). Nu gaan we naar rij 2. Daar kom je, als je diagonaal gaat, in 2 kolommen terecht. We tellen deze getallen bij elkaar op (1+1) en daar komt het getal 2 uit. Zo gaat dat bij elke rij verder. Op een ogenblik heb je zo een deel van de rij van Fibonacci. (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144) 5.3 Andere vormen Er zijn nog een aantal andere vormen die in de driehoek van Pascal zitten. Dit zijn onder andere, het priemgetal en het hockeystick patroon. Deze gaan we nu bespreken in deze paragraaf Priemgetal n/p is het rijnummer een priemgetal? ja ja ja neen ja neen ja neen neen neen ja neen ja neen neen Een priemgetal is alleen deelbaar door zichzelf of door het getal 1. Als het tweede getal van links een priemgetal is, kan je de hele rij door dit getal delen. Dat gaan we nu bewijzen bij twee rijen. Te beginnen bij rij 7. Rij 7 bestaat uit, 1,7,21,35,35,21,7,1. Het getal 7 is het eerste elementgetal. De getallen 7,21,35 zijn allemaal deelbaar door het getal 7. 7:7=1, 21:7=3, 35:7=5 Pagina 12 van 14

13 Bij rij 11 is dat geval hetzelfde. De getallen uit rij 7 bestaan uit, 1,11,55,165,330,462,462,330,165,55,11,1. Het getal 11 is het eerste elementgetal. De getallen 11,55,165,330,462 zijn allemaal deelbaar door het getal :11=1, 55:11=5, 165:11=15, 330:11=30, 462:11= Hockeystick patroon Dan bestaat er bij de driehoek van Pascal ook nog een soort hockeystickpatroon. Als je willekeurige getallen diagonaal bij elkaar optelt, krijg je de som die niet op de diagonale lijn ligt. Je krijgt dan het getal wat recht onder de diagonale lijn ligt. We kunnen dat bewijzen met de volgende driehoek van Pascal. 1+12= = = Patroon Wanneer je getallen in de driehoek van Pascal inkleurt, krijg je interessante regelmatigheden in de driehoek. Zo kan je alle getallen die deelbaar zijn door 2 in gaan kleuren en daaruit ontstaan dan driehoekjes. Je kunt deze methoden gebruiken om meer patronen in een driehoek te vinden. Zo kan je alleen de oneven getallen inkleuren. Je kunt ook alleen de getallen inkleuren die deelbaar zijn door het getal 3. Daaruit ontstaan allerlei patronen. 6. Conclusie Het is alweer zover. We zijn al bijna aan het einde van het verslag op de bijlagen na. We gaan in de conclusie vertellen wat onze onderzoeksresultaten waren na afloop van het maken van deze praktische opdracht voor het vak wiskunde. We hebben een heleboel informatie verwerkt in deze praktische opdracht. We hopen daarom ook dat je ook iets nieuws geleerd hebt na het lezen van deze opdracht. We begonnen deze praktische opdracht met de eerste wiskundige, namelijk Pythagoras. We zijn er achter gekomen wie en wat Pythagoras voor een persoon is. We weten nu dat Pythagoras leefde van ca. 582 tot ca. 507 v. Chr. Hij was een Griekse wiskundige en filosoof. Hij werd door sommigen als één van de Zeven Wijzen beschouwd. Pythagoras werd beroemd met de stelling, dus de stelling van Pythagoras. Die stelling kan je uitreken door middel van een formule, namelijk a2+b2=c2. Er zijn wel ruim driehonderd bewijzen om de stelling te bewijzen en uit te leggen. Daarna begonnen we te vertellen over wie en wat Fibonacci is. Onze tweede wiskundige van de opdracht. Leonardo van Pisa, Fibonacci dus, leefde van ca tot 1250 n. Chr. Hij was een Italiaanse wiskundige. Hij wordt vaak beschouwd als de eerste westerse wiskundige die origineel werk publiceerde sinds de Griekse oudheid. Fibonacci is vooral bekend geworden door zijn rij. De rij van Fibonacci. De rij van Fibonacci is een rij van getallen die je doormiddel van de twee laatste getallen bij elkaar optelt een ander nieuw getal krijgt. De rij van Fibonacci kan je berekenen met de formule f η = (1+ 5)η - (1-5)η / 2ηx 5. De rij is ontstaan door eigenlijk het fokken van konijnen te bestuderen. Daarom noemen ze de rij ook wel de konijnenrij. De rij van Fibonacci vind je ook terug in de natuur, namelijk bij bloemen en planten, fruit en groentes. In de rij kan je ook de Gulden Snede berekenen. De Gulden Snede ligt bij Door twee getallen in de rij naast elkaar te delen door twee kom je hoe verder je de rij nadert de Gulden Snede tegen. Pagina 13 van 14

14 De Gulden Snede voor veelzijdig in de kunst gebruikt, namelijk bij schilderijen en bij de architectuur. Deze verhouding van de Gulden Snede wordt als mooi beschouwd door de maatschappij. Toen kwam de derde wiskundige aanzetten, Blaise Pascal. Hij leefde van ca tot 1662 n. Chr. Hij is geboren in Frankrijk en hij was een filosoof, theoloog, wiskundige en een natuurkundige. Hij was de eerste die een mechanische rekenmachine bouwde, de Pascaline. Pascal ken je vooral van de driehoek van Pascal. Door middel van een som kan je de getallen van de driehoek van Pascal uitrekenen, namelijk het getal krijg je door twee naast elkaar liggende getallen bij elkaar op te tellen. Uit de driehoek van Pascal kan je ook vele andere zaken halen. Zo kan je de getallen van elke rij bij elkaar optellen en daaruit vormt een getal. Dat getal is gelijk aan 2 η. Wanneer je achter de 2 het rijnummer zet, krijg je de optelsom van alle getallen die in de rij staan. Een andere zaak die je terug kan vinden in de driehoek is een driehoekenpatroon. Deze patronen krijg je door middel van de getallen te kleuren die deelbaar zijn door een getal. Je kunt bijvoorbeeld alle getallen inkleuren die deelbaar zijn door 2. Daaruit ontstaan ook driehoeken. Nu we elke hoofdstuk weer hebben toegelicht, is dit het einde van het verslag. Wij vonden het een leuk verslag om te maken en we hebben er ook weer veel van geleerd. Vooral hoe deze drie, eigenlijk vier soorten onderwerpen werken en deze kunnen we nu ook toepassen. We hopen dat je er ook iets van hebt geleerd en het een leuke praktische opdracht vond om het te lezen en te zien. Pagina 14 van 14