Design of an adaptive friction damper

Transcriptie

1 Design of an adaptive friction damper M.J.J. Baeten, A. Bos, J. Bos, L. Ruijter DC Minorproject Design of Mechanical Systems Projectcoördinatoren: dr. ir. I. Lopez Arteaga dr. ir. P.C.J.N. Rosielle Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Werktuigbouwkunde Dynamics and Control Eindhoven, januari, 2010

2

3 Voorwoord Dit verslag bestaat uit twee delen. Het eerste deel beslaat een tussenverslag. Dit is echter niet onbelangrijk, aangezien deel 1 voornamelijk de theorie beschrijft. Deel 2 gaat dieper in op construeren en praktische aangelegenheden. Hierbij moet ook gedacht worden aan het testplan, belangrijke conclusies en aanbevelingen. In deel 2 zal dan ook geregeld terugverwezen worden naar deel 1. Deel 1 en deel 2 vormen samen het complete verslag. Om het ontwerpproces volledig te begrijpen wordt er aangeraden zowel deel 1 als deel 2 te lezen. Voor de lezer die deel 1 gelezen heeft wordt aangeraden om op pagina 50 te beginnen. Voorafgaand aan elk deel wordt een samenvatting gegeven. Voor de duidelijkheid is er voor gekozen om per deel een inhoudopgave te verstrekken, die echter wel doorgenummerd is om terugverwijzen duidelijk te houden. Wij wensen U veel plezier met het lezen van dit verslag over het ontwerpproces van een adaptieve wrijvingsdemper. Groep 7 TU/e Voorwoord 1

4 Samenvatting deel 1 Wrijvingsdempers zijn vaak een kosten-effectieve manier om vibraties in mechanische systemen te verminderen. Wrijvingsdempers worden onder andere toegepast in de suspensie van auto s, terwijl ze ook te vinden zijn in gebouwen om deze te beschermen tegen aardbevingen. Daarnaast vindt het zijn toepassing in verminderen van trillingen in turbinebladen, of het verminderen van geluid in bijvoorbeeld treinwielen. Er moet een demper ontworpen worden die dempt door middel van wrijving en aan specifieke eisen voldoet. Een aluminium balk voert een verticale trilling uit van 100 µm door resonantie bij een eigenfrequentie van 52 Hz, dit is de eerste eigenfrequentie van het systeem. De amplitude die hierbij optreedt, moet met een factor drie gereduceerd worden om binnen de specificaties te blijven. Wegens machine-technische redenen is er geen mogelijkheid om de demper met de vaste wereld te verbinden, de oplossing moet dus in de balk zelf gezocht worden. Daarnaast moet de demper robuust zijn in een frequentiegebied van 52 2 Hz. De extra massa die toegevoegd wordt door de demper mag niet groter zijn dan 1,8 kg en de demper mag geen stof afscheiden, dit wil dus zeggen dat de balk of demper moet worden afgesloten. De manier van dempen is demping door passieve droge wrijving en de demper moet adaptief zijn. Om inzicht in het probleem te krijgen wordt er een literatuurstudie gedaan en onderzocht wat wrijvingsdemping inhoud en wat er gedaan is op dit gebied, daarnaast zijn er enkele praktijkvoorbeelden in de vorm van octrooien gevonden om meer inzicht te krijgen in het probleem. Aan de hand van de theorie blijkt dat de wrijving met behulp van een Coulombs wrijvingsmodel kan worden bepaald. Er wordt gebruik gemaakt van de Harmonic Balance Method (HBM). Daarnaast zijn twee theoretische systeemmodellen bekeken en geoptimaliseerd. Het blijkt dat met een zogenaamde tuned mass damper maximale demping behaald kan worden. De demper zal dus als een tuned mass damper ontworpen worden. Enkele ontwerpen zijn gespecificeerd met voor en nadelen, aan enkele ontwerpen zijn berekeningen gedaan. Er is bewust nog geen uiteindelijk ontwerp gekozen. Een keuze maken voor het definitieve ontwerp in dit stadium van het ontwerpproces zou de bewegingsvrijheid beperken en daardoor consequenties meebrengen voor het uiteindelijke ontwerp. Duidelijk is dat de massa van de demper uit wolfraam vervaardigd zal worden. Om het geheel stofdicht af te sluiten wordt er metaalfolie om de demper heen gelast. Dit geheel zal met epoxy-lijm in de balk worden geplaatst. Om de demper te testen is een balk nodig. Aangezien de balk niet aangeleverd wordt, wordt er zelf een balk ontworpen met vergelijkbare eigenschappen. Er wordt gekozen voor een aluminium balk van 1,05 m lengte en afmetingen 100 x 80 x 3 [mm]. De balk wordt verzwaard met extra massa en zo wordt zijn eigenfrequentie op 52 Hz gelegd. De balk wordt bevestigd aan bladveren om deze niet vast op te leggen, de demper wordt boven aan de balk gemonteerd om deze snel te kunnen demonteren. De balk zal op twee manieren in trilling gebracht worden: door er een klap op te geven, en door gebruik te maken van een shaker. Met behulp van theoretische modellen en proefopstelling wordt er verwacht dat een demping van de amplitude met een factor drie haalbaar moet zijn met behulp van een tuned mass damper. TU/e Samenvatting deel 1 2

5 Inhoudsopgave deel 1 H1 Inleiding 4 H2 Probleemomschrijving 5 H3 Literatuurstudie 6 H4 Ontwerpeisen 8 H5 Modelvorming Wrijvingsmodel Theoretische benadering van het model De bewegingsvergelijkingen van het systeem Oplossen van de bewegingsvergelijkingen Optimaliseren Reflectie op het gebruikte model Keuze van het model 21 H6 Ontwerpen Ontwerp 1: Roterend element Ontwerp 2: Hellend vlak Ontwerp 3: Gescheiden hellend vlak Ontwerp 4: Adaptiviteit met behulp van (knie)hefbomen Ontwerp 5: Adaptiviteit met behulp van inwendige (knie)hefbomen 30 H7 Ontwerp van de balk Eigenschappen van de balk Testopstelling 37 Conclusie 39 Literatuurlijst 40 Symbolenlijst 41 Appendices 42 A. Octrooienonderzoek 42 B. De externe kracht werkend op de balk 48 TU/e Inhoudsopgave deel 1 3

6 H1 Inleiding Wrijvingsdempers zijn vaak een kosten-effectieve manier om vibraties in mechanische systemen te verminderen. Wrijvingsdempers worden onder andere toegepast in de suspensie van auto s, terwijl ze ook te vinden zijn in gebouwen om deze te beschermen tegen aardbevingen. Daarnaast vindt het zijn toepassing in verminderen van trillingen in turbinebladen, of het verminderen van geluid in bijvoorbeeld treinwielen. De bedoeling van dit project is om een demper te ontwerpen die de amplitude van de trilling van een balk verkleint. De mogelijkheden zijn beperkt, aangezien de demper niet aan de vaste wereld kan worden bevestigd wegens de werking van de machine. De oplossing moet dus in de balk zelf gezocht worden. Daarnaast moet er nog aan andere specifieke eisen voldaan worden. Allereerst wordt in hoofdstuk 2 de probleemomschrijving beschreven, waarna in hoofdstuk 3 een literatuurstudie gedaan wordt en de daarbij behorende ontwerpeisen vastgesteld worden in hoofdstuk 4. Vervolgens worden theoretische modellen behandeld en het beste model gekozen in hoofdstuk 5. Daarna worden enkele ontwerpen behandeld in hoofdstuk 6. Uiteindelijk wordt in hoofdstuk 7 de balk voor de testopstelling beschreven. TU/e H1 Inleiding 4

7 H2 Probleemomschrijving In een high-tech systeem zoals weergegeven in figuur 2.1 voert een aluminium balk een trilling uit door resonantie in de z-richting, dit is de eerste eigenfrequentie van het systeem. De amplitude die hierbij optreedt, moet gereduceerd worden om binnen de specificaties te blijven. Wegens machine-technische redenen is er geen mogelijkheid om de demper met de vaste wereld te verbinden, de oplossing moet dus in de balk zelf gezocht worden. Daarnaast moet de demper robuust zijn in een bepaald frequentiegebied. De extra massa die toegevoegd wordt door de demper mag niet groter zijn dan een bepaalde waarde en de demper mag geen stof afscheiden, dit wil dus zeggen dat de balk of demper moet worden afgesloten. De manier van dempen is demping door passieve droge wrijving. Passief wil zeggen dat er geen extra energie aan toe gevoegd mag worden. De demper moet adaptief zijn, wat wil zeggen dat de demping die gerealiseerd moet worden zich op een mechanische manier automatisch aanpast als de amplitude van de te dempen beweging verandert. Dit moet op een zodanige manier gebeuren dat de dempingsfactor constant blijft voor elke amplitude. Daarnaast mogen de eigenschappen en parameters van de demper door slijtage over de tijd niet veranderen. Figuur 2.1. Schematische weergave high-tech systeem. TU/e H2 Probleemomschrijving 5

8 H3 Literatuurstudie Om beter inzicht te krijgen in het probleem en de theorie erachter, wordt er een literatuurstudie gedaan. Er wordt onder andere uitgezocht wat wrijvingsdemping inhoud en daarbij wordt gezocht naar praktijkvoorbeelden en octrooien om meer inzicht te krijgen in mogelijke oplossingen. Daarnaast wordt er bekeken wat er al op dit gebied gedaan is en welke modellen hierbij worden gebruikt. De literatuurstudie bestaat uit twee delen: - Een kort overzicht over wat wrijvingsdemping inhoudt, wat er tot nu toe gedaan is op het vakgebied van wrijvingsdempers en welke modellen hierbij worden toegepast. - Enkele toepassingsgebieden en daarbij behorende praktijkvoorbeelden, hier worden enkele octrooien besproken. Wrijvingsdemping Veel ingenieurs zien droge wrijving als schadelijk voor de prestaties van een systeem. Wrijving kan resulteren in ongewilde verliezen in bijvoorbeeld nauwkeurigheid, effectiviteit of slijtage in contactoppervlakken. Echter kan wrijvingskracht die veroorzaakt wordt door de relatieve beweging van twee contactoppervlakken een goede manier van energie dissiperen zijn. Deze toepassing is dan ook goed te gebruiken in dempers, omdat deze vaak eenvoudig te construeren en kosten-effectief zijn. Een van de moeilijkheden bij het analytisch bestuderen van wrijvingsgedempte systemen is dat de wiskundige modellen die deze systemen proberen te beschrijven vaak niet-lineair zijn. Door deze nietlineairiteit worden er doorgaans vereenvoudigde modellen gebruikt. Lopez et al [1] beschrijft inleidend met enkele referenties dat er al gerekend is aan systemen die gebruik maken van wrijvingsdemping. Daarnaast wordt hier beschreven hoe dissipatie van energie met behulp van wrijvingsdemping te werk gaat met bijbehorende modellen en berekeningen. De manieren waarop demping tot stand kan komen zijn legio, een interessante methode is die van Slocum [2]. Hierin wordt gebruik gemaakt van een staaf die in een balk is ingesloten door middel van hars. Bij een trilling wordt er energie gedissipeerd door afschuiving in een dunne vloeistoffilm om de desbetreffende staaf. Popp et al [3] beschrijft de constitutieve modellen die gebaseerd zijn op de basisvergelijkingen van contactmechanica, dit zijn vereenvoudigde modellen die gebruikt kunnen worden om de wrijving te modelleren. Er is mogelijkheid tussen het Coulomb model, Masing model en Cattaneo-Mindlin model, met toenemende complexiteit in het model. Deze modellen kunnen gebruikt worden bij het modelleren en doorrekenen van het systeem. Da Silva [4] beschrijft in zijn boek de principes van demping, ook wrijvingsdemping wordt beschreven en via een eenvoudig model uitgelegd. Er vindt hier transformatie naar het frequentiedomein plaats voor dit eenvoudige model. Aangezien het in dit geval over wrijvingsdemping gaat, gaan eenvoudige modellen waar een lineaire viskeuze demper verondersteld wordt niet op. Ferri *5+ beschrijft de zogenaamde Harmonic Balance Method (HBM) die gebruikt kan worden als er sprake is van harmonische excitatie. Hier worden ook enkele toepassingsgebieden besproken, waar later op terug gekomen zal worden. Lopez [6] beschrijft in haar PhD. Thesis het ontwerpen van een adaptieve demper voor treinwielen. Veel informatie over modelleren en soorten van wrijving is hier uit te onttrekken. TU/e H3 Literatuurstudie 6

9 Toepassingsgebieden en praktijkvoorbeelden Wrijvingsdemping wordt toegepast om trillingen in systemen te verminderen, daarnaast vind het zijn toepassing in het reduceren van geluid. Een octrooionderzoek is uitgevoerd om toepassingsgebieden en praktijkvoorbeelden te specificeren. Enkele octrooien zullen behandeld worden. Uiteindelijk volgt er een conclusie van het octrooionderzoek. Het eerste octrooi in figuur 3.1 is een wrijvingsdemper die bijvoorbeeld in turbines gebruikt wordt om thermisch uitzetten op te vangen. De trilling van onderdeel 4 ten opzichte van onderdeel 6 wordt gedempt door droge wrijving tussen de twee verticale platen die tegen elkaar gedrukt worden door een schotelveer(16). Deze demper is adaptief doordat de dikte van onderdeel 4 steeds groter wordt naarmate de amplitude van de trilling groter wordt. 18a en 18b zijn de schuine vlakken die hiervoor zorgen. De schotelveer die door een bout en moer op zijn plaats wordt gehouden wordt door een grotere dikte van onderdeel 4 verder ingedrukt waardoor een grotere normaalkracht ontstaat. Figuur 3.1 Variable friction force damper [US ] Het tweede octrooi in figuur 3.2 is een octrooi dat vele toepassingen en vormen heeft. In de figuur staat de vorm die het meest bij het probleem van de balk past. De trilling is hier met pijl 61 weergegeven. De trilling van de balk zorgt dat de massa van 62 gaat trillen en daarbij met wrijvingsvoetjes (88) wrijft over de gekromde oppervlakken van onderdeel 80 en 82. Deze wijden vervolgens uit naar buiten over de hartlijn. Deze onderdelen zitten vast aan de balk met bladveren 84. De adaptiviteit komt door de kromming van de oppervlakken 86. Figuur 3.2 Adaptive-controlled vibration Mount [US (A)] Uit het octrooionderzoek is gebleken dat er enkele octrooien zijn gevonden op het gebied van wrijvingsdemping. Er vallen en aantal octrooien af omdat deze bijvoorbeeld actief geregeld zijn, niet adaptief zijn of aan de vaste wereld verbonden moeten worden. Dit wil niet zeggen dat de uitgekozen octrooien aan alle eisen voldoen, want de eisen zijn erg specifiek. De octrooien hebben wel allemaal iets gemeen met het uiteindelijke doel en samen zullen deze octrooien informatie leveren die gebruikt kan worden in het eindontwerp. Het complete octrooienonderzoek is te vinden in Appendix A. TU/e H3 Literatuurstudie 7

10 H4 Ontwerpeisen Bij het ontwerpen van de adaptieve wrijvingsdemper worden er een aantal ontwerpeisen gesteld waar aan voldaan moet worden: - De equivalente massa van de balk bedraagt 150 kg. - De totale massa van de demper mag niet meer dan 1,8 kg bedragen. - De demper moet in een holte met het volume van 30*20*250 mm 3 passen. - De typische amplitude van 100 µm bij 52 Hz moet met een factor drie gereduceerd worden. - De demper moet robuust zijn in het frequentiegebied van 52 2 Hz. - Er mag geen stof of andere deeltjes vrijkomen, de demper moet afgesloten worden. - Er moet droge wrijving gebruikt worden als dempingsmethode. - Er moet sprake zijn van passieve demping, dat wil zeggen dat er geen extra energie aan de demper toegevoegd mag worden om zijn werking te garanderen. - De demper moet adaptief zijn, dat betekent dat de demping die gerealiseerd moet worden zich op een mechanische manier automatisch aanpast als de amplitude van de te dempen beweging verandert. Dit moet op een zodanige manier gebeuren dat de dempingsfactor constant blijft voor elke amplitude. - De eigenschappen en parameters mogen door slijtage over de tijd niet veranderen; de demper moet zowel nu als over twee jaar dezelfde eigenschappen hebben. Met behulp van de literatuurstudie kunnen er extra eisen gesteld worden waar de demper aan moet voldoen, of waar aan voldaan moet worden om een goede demping te verkrijgen. Hieronder worden deze additionele ontwerpeisen genoemd, met een toelichting in welke literatuur dit gevonden is. In Lopez et al [1] wordt aangetoond dat de grootste energiedissipatie optreedt bij constante slip (dit betekend dus dat er géén sprake mag zijn van stick-slip). Uitgaande van een massa op een bewegende basis (figuur 4.1a) treedt de maximale energiedissipatie op bij een genormaliseerde wrijvingskracht van ongeveer, de maximale genormaliseerde energiedissipatie is dan. Uitgaande van een massa-veerdemper systeem op een bewegende basis (figuur 4.1b) zal de maximale energiedissipatie behaald worden wanneer de natuurlijke eigenfrequentie van de wrijvingsdemper ver beneden de eigenfrequentie frequentie van de balk ligt en de interne demping van de demper zo klein mogelijk is. Er wordt geconcludeerd dat de optimale waarde van wrijvingskracht die zorgt voor maximale energiedissipatie constant is voor een gegeven amplitude van het systeem en een gegeven massa van de demper. Daarnaast wordt er geconcludeerd dat voor een relatieve kleine dempermassa tegenover de massa van het te dempen systeem de energiedissipatie proportioneel is met de dempermassa. Dit wil dus zeggen dat de dempermassa in dit geval zo dicht mogelijk bij de maximaal aanvaardbare dempermassa gekozen moet worden. Figuur DOF systemen. (a) massa op een bewegende basis en (b) massa-veer-demper systeem [1]. TU/e H4 Ontwerpeisen 8

11 In Lopez et al [7]wordt er gerekend aan een model en dit wordt vergeleken met een analytische voorspelling. Uitgaande van een massa-veer-demper systeem aangedreven door een periodieke kracht (figuur 4.2) zal in het geval van constante slip de optimale wrijvingskracht en maximale energiedissipatie binnen 10% van de analytische voorspelling liggen met gebruik van het Coulombse-wrijvings model. Figuur 4.2. Massa-veer-demper system aangedreven door een periodieke kracht [7]. TU/e H4 Ontwerpeisen 9

12 H5 Modelvorming In het dynamische systeem dat in dit geval bestudeerd wordt, moet de amplitude verkleind worden door energie te dissiperen. Het idee is om energie te dissiperen door energie over te brengen naar een trillende massa en door middel van wrijvingsdemping. Optimale overdracht van energie en demping moet gevonden worden door te kijken naar massaverhouding, normaalkracht in de contactoppervlakken en verhoudingen van de eigenfrequenties. Om inzicht in het probleem te krijgen wordt er eerst aandacht besteedt aan het wrijvingsmodel. Daarnaast wordt er gekeken naar eenvoudige 2-DOF systemen die vergelijkbaar zijn met het probleem. Er wordt er een koppeling gemaakt naar het uiteindelijke probleem, waardoor uiteindelijk een keuze gemaakt zal worden voor het beste theoretische model. 5.1 Wrijvingsmodel In het algemeen wordt er in vereenvoudigde modellen uitgegaan van een lineaire viskeuze demper, wat een model relatief eenvoudig houdt. In dit geval wordt er gebruik gemaakt van wrijvingsdemping, wat het model ingewikkelder maakt. Verschillende modellen worden beschouwd en een keuze zal gemaakt worden. Verantwoording voor die keuze zal toegelicht worden. In figuur zijn drie contactmodellen weergegeven. Deze modellen zijn gebaseerd op experimentele observaties en geven direct een globale relatie tussen de tangentiële kracht F T en de relatieve verplaatsing u binnen de contactoppervlakken, waar de kracht F T een variabele parameter is. Figuur geeft de drie basis modellen weer. Er is het Coulomb model, het Masing model en Cattaneo-Mindlin model, met toenemende complexiteit in het model. Als er van een harmonische verplaatsing van uitgegaan wordt en de kracht F T tegen de verplaatsing u wordt uitgezet, kunnen de hysteresis-lussen gevonden worden zoals weergegeven in figuur Figuur Contactmodellen en hysteresis-lussen van de wrijvingskracht F T tegen de relatieve verplaatsing u [3]. De ingesloten hysteresis oppervlakte is equivalent met de hoeveelheid gedissipeerde energie gedurende een vibratiecyclus. Het horizontale gedeelte van de hysteresis-lussen geven een indicatie van het macroscopisch glijden in het wrijvingselement met. TU/e H5 Modelvorming 10

13 Het Coulombse wrijvingsmodel is het minst complex en ook het eenvoudigst toepasbaar. In het Coulombse wrijvingsmodel wordt er geen rekening gehouden met tangentiële stijfheid en microslip, in de complexere modellen is dit wel het geval. In Lopez et al [7]wordt er gerekend aan een wrijvingsmodel en deze wordt vergeleken met een analytische voorspelling van de energiedissipatie. Uitgaande van een een massa-veer-demper systeem aangedreven door een periodieke kracht (figuur 4.2) zal in het geval van constante slip de optimale wrijvingskracht en maximale energiedissipatie binnen 10% van de analytische voorspelling liggen met gebruik van het Coulombse-wrijvingsmodel. Dit geldt enkel onder bepaalde voorwaarden. Dit wil dus zeggen dat het Coulombse-wrijvingsmodel accuraat genoeg is in dit geval. Er wordt in het vervolg van dit verslag uitgegaan van droge Coulombse wrijving. Dit Coulombse wrijvingsmodel moet toegepast worden in het uiteindelijke model van de demper. Er zijn meerdere technieken die toegepast worden om droge wrijvingsgedempte systemen te analyseren, zie Ferri [5]. In het geval van harmonische excitatie wordt er vaak gebruik gemaakt van de zogenaamde Harmonic Balance method (HBM). Dit houdt in dat er gebruik gemaakt wordt van een equivalente viskeuze dempingsconstante voor Coulombse wrijving. Dit suggereert dat de dempingscoëfficiënt van Coulombse wrijving inverse-proportioneel is met de grootte van de slipsnelheid ωx. Deze equivalente stijfheid is weergegeven in vergelijking (5.1). In het model wordt de droge wrijving gemodelleerd met de equivalente dempingsconstante c eq. Waarbij µ de wrijvingscoëfficiënt in [-], N de normaalkracht in [N], ω de frequentie in [rad/s] en X de relatieve verplaatsing in [m] voorstelt. (5.1) TU/e 5.1 Wrijvingsmodel 11

14 5.2 Theoretische benadering van het model Om daadwerkelijk praktische waarden voor de demper te bepalen, zal er eerst met een model gewerkt moeten worden. Met dit model kunnen de variabelen zoals stijfheid, de benodigde wrijvingskracht en de daarbij horende responsie bepaald worden. Er zijn twee verschillende basismodellen waarmee dit probleem opgelost kan worden, deze zijn weergegeven in figuur Hiervoor staat het subscript b voor de componenten van de originele balk en subscript d voor de componenten van de demper. Aangenomen wordt dat de balk ter hoogte van de demper een zuiver translerende beweging uitvoert. Bij het eerste model wordt de demper als flexibel beschouwd en bij het tweede model als star lichaam. Daarnaast is de demper in model 1 zuiver door wrijving aan de balk verbonden, terwijl er in model 2 stijfheid wordt toegekend aan de verbinding. Beide modellen zullen met elkaar vergeleken worden en de parameters voor de optimale demping zullen bepaald worden. Hiervoor moeten echter eerst de bewegingsvergelijkingen opgelost worden De bewegingsvergelijkingen van het systeem Figuur De twee te vergelijken modellen met een niet lineaire wrijvingkracht tussen de twee massa s. a) Model 1 b) Model 2 De bewegingsvergelijkingen voor het totale systeem van de balk en de demper samen is als volgt: Waarbij, en respectievelijk de massa-, dempings- en stijfheidsmatrix, de extern opgelegde krachten en de niet-lineaire interactiekrachten tussen de balk en de demper voorstellen. De gegeneraliseerde coördinaten zijn weergegeven als. Voor de modellen die in figuur weergeven worden, resulteert dit in een 2 DOF systeem. Voor model a) gelden er dan de volgende waarden: (5.2) ; ; ; ; (5.3) De niet-lineaire krachten worden met behulp van de HBM gemodelleerd, uitgelegd in paragraaf 5.1. Doordat er uit wordt gegaan van Coulombse wrijving, ontstaat er een equivalente viskeuze dempingsconstante. TU/e 5.2 Theoretische benadering van het model 12

15 In het huidige model zal deze demping ontstaan door het verschil in de absolute amplitude van beide bewegingen. Dit resulteert in de volgende niet lineaire krachten: met (5.4) Omdat de modale dempingsratio s laag zijn, wordt er in het vervolg van proportionele demping uitgegaan. In het oplossen van deze bewegingsvergelijking wordt er gekeken naar de steady-state oplossing van het probleem, bovendien wordt er uitgegaan van een harmonische excitatie De responsie zal er dan uitzien als met daarbij een complexe amplitude. Omdat er nu aangenomen wordt dat de responsie van het systeem harmonisch is, kan er ook vanuit worden gegaan dat de niet-lineaire interactiekrachten harmonisch zijn, dus:. Deze kunnen in termen van de respons amplitude vector geschreven worden via (5.5): (5.5) Met (5.6) De conclusie hiervan is dat deze niet lineaire krachten niet afhankelijk zijn van de frequentie, aangezien dit zorgt voor vergelijking (5.7). Deze kan dus worden gezien als een stijfheid. (5.7) De bovenstaande vergelijkingen substitueren in (5.2) geeft (5.8) Het hele systeem kan ontkoppeld worden door een transformatie te maken naar modale coördinaten. De grootte van de bewegingsvergelijkingen kan hiermee verkleind worden, waardoor het uitrekenen van de responsie vooral voor grotere problemen eenvoudiger wordt. Er wordt gebruik gemaakt van de lineaire transformatie gegeven in vergelijking (5.10). Met de modeshapes zichtbaar in (5.11) en de vector met de modale coördinaten van de balk en de demper. TU/e 5.2 Theoretische benadering van het model 13 (5.8) (5.9) (5.10)

16 (5.11) De matrix kan gebruikt worden om de matrices te normaliseren. Toepassen van massanormalisatie geeft (5.12) waarbij de massamatrix getransformeerd wordt naar de identiteitsmatrix. Op de elementen van de diagonaal van de stijfheidmatrix komen de natuurlijke eigenfrequenties in het kwadraat, onder de aanname van proportionele demping komen er op de elementen van de diagonaal van de dempingmatrix de dempingsfactoren, uitgedrukt in de eigenfrequenties en modale dempingsratio s. Deze dimensieloze grootheid is gedefinieerd als. ; ; ; ; (5.12) Hierdoor is alleen geen diagonaalmatrix en deze induceert een koppeling tussen de bewegingen van de balk en de demper. Wanneer vergelijkingen (5.10) en (5.12) in vergelijking (5.8) en (5.9) worden gesubstitueerd volgt dat (5.13) (5.14) Nu de bewegingsvergelijkingen ontkoppeld zijn kunnen ze eenvoudiger opgelost worden. Aangezien afhangt van de modale coördinaten, moet deze set van vergelijkingen iteratief opgelost worden voor elke frequentie om de responsie van het systeem te analyseren op een gewenst frequentiedomein Oplossen van de bewegingsvergelijkingen Er zijn verschillenden methoden om deze vergelijkingen iteratief op te lossen met betrouwbare resultaten [9]. Een directe methode is zichtbaar in (5.15), waarbij de modale coördinaten uit de vorige stap gebruikt worden om die van de nieuwe stap te berekenen. Deze methode wordt een quasi Newton-Raphson methode genoemd, omdat beschouwd kan worden als een schatting van de Jacobiaan die in een normale Newton iteratie gebruikt wordt. (5.15) Deze iteratie stopt pas als de twee verschillende fouttermen, zichtbaar in vergelijkingen (5.16) en (5.17), beneden een bepaalde tolerantie komen. De eerste foutterm controleert of de iteratie convergeert naar een oplossing en de tweede foutterm waarborgt dat dit ook echt een oplossing is van vergelijking (5.13) (5.16) TU/e 5.2 Theoretische benadering van het model 14

17 (5.17) De procedure die gevolgd wordt om dit probleem op te lossen is beschreven in figuur Start,,,, ; ) Bereken Bereken en NEE en JA NEE JA Stop Figuur De iteratieve oplossingsprocedure TU/e 5.2 Theoretische benadering van het model 15

18 5.2.3 Optimaliseren Voordat er met behulp van de bewegingsvergelijkingen daadwerkelijk vergeleken en geoptimaliseerd kan worden, is het noodzakelijk om een aantal aannamen te doen. Hieronder staan de gebruikte parameters. - De equivalente massa van de balk;. - De eigenfrequentie van de massa van de balk;. - Hieruit volgt de stijfheid voor de balk via. - Voor de interne demping van de balk moet een waarde aangenomen worden. Voor de aluminium balk wordt er aangenomen dat deze ongeveer een verliesfactor heeft van 0.1%. Dit wil zeggen dat. Het effect van het variëren van deze parameter zal bekeken worden. - De amplitude van de kracht op de balk is gelijk aan (zie Appendix B voor de afleiding hiervan). - De massa van de demper zal geoptimaliseerd worden voor de maximale demping, er geldt wel. - De eigenfrequentie van de demper is ook een parameter die geoptimaliseerd kan worden, er zal gewerkt worden met een frequentieratio,,met als maximum dezelfde eigenfrequentie als de balk heeft. - De stijfheid van de demper staat met de optimale frequentieratio vast;. - De interne demping van de demper wordt ook geschat met een verliesfactor van 0.1%, dus. Dit is alleen nodig voor model 1. - De amplitude van de kracht op de demper is gelijk aan. - De optimale wrijvingkracht wordt bepaald met behulp van de verhouding tussen de amplitude van de wrijvingskracht en de amplitude van de kracht die op de balk werkt. Dit wordt aangeduid als. Eerst wordt er voor beide modellen gekeken wat de optimale waarde is van, in figuur is er te zien hoe de responsie van de balk eruit ziet voor beide modellen met het veranderen van de frequentieratio. De aangenomen waarden voor de andere parameters staan erbij aangegeven. Er is al duidelijk een verschil te zien tussen beide modellen, maar voor de echte vergelijking is figuur verduidelijkend. Figuur De responsie van de balk met variërende frequentieratio a) Model 1 b) Model 2 TU/e 5.2 Theoretische benadering van het model 16

19 Figuur De maximale responsie van de balk met variërende frequentieratio In figuur zijn de maximale waarden voor elke frequentieratio berekend die te zien zijn in figuur 5.2.3, deze zijn daarna voor beide modellen geplot zodat de optimale waarde voor de frequentieratio bepaald kan worden en er bovendien bekeken kan worden welk systeem de optimale demping kan bereiken. Op deze manier zullen zowel de optimale massa als de optimale wrijvingskracht bepaald worden. Het resultaat dat uit de figuren en volgt is dat de demper uit model 2 theoretisch de beste demping kan verzorgen. Opvallend is wel dat model 1 een minimum heeft bij een zo laag mogelijke frequentieverhouding en dat model 2 een minimum heeft bij een eigenfrequentie gelijk aan die van de balk. Als er teruggedacht wordt aan het principe van beide systemen, klinkt dit toch logisch; Model 1 dissipeert de energie vooral op wrijving en model 2 vooral door de beweging van de massa die natuurlijk het meest beweegt bij de werkfrequentie. Het laatste wat opvalt, is dat hoe slecht model 2 ook ingesteld wordt op een bepaalde frequentie, theoretisch zal deze in altijd gelijke of meer demping geven dan model 1 op het domein frequentieratio gebruikt worden en voor model 2.. In het vervolg van de optimalisatie zal er voor model 1 de Vervolgens wordt er gekeken naar de optimale waarde van de massa van de demper in de figuren en Het resultaat hieruit is voor beide modellen ongeveer gelijk. Het verhogen van de massa op het domein geeft namelijk in beide gevallen een betere demping. Ook lijkt het dat de demping via een exponentiële functie afhangt van de massa; het blijven verhogen van de massa heeft op een bepaald punt weinig nut meer. Het feit dat volgens figuur model 2 een betere demping kan bereiken met een hogere massa, hangt af van het verschil in frequentieratio. Dit is in figuur al weergegeven. TU/e 5.2 Theoretische benadering van het model 17

20 Figuur De responsie van de balk met variërende dempermassa a) Model 1 b) Model 2 Figuur De maximale responsie van de balk met variërende dempermassa Als laatste wordt er gekeken naar de optimale waarde van de verhouding tussen de wrijvingskracht en de kracht werkend op de balk,. Hierbij zijn in de figuren en toch grote verschillen te zien. Allereerst valt er op dat voor model 1 redelijk hoge wrijvingskrachten nodig zijn in tegenstelling tot model 2, waar juist hele lage wrijvingskrachten optimaal blijken te zijn. In dit laatste geval is het eventueel verstandig om iets voorbij de optimale waarde te gaan zitten met het ontwerpen, een te lage wrijvingskracht verstoort de dempingsfactor enorm zoals te zien is in figuur Wanneer er weer teruggekoppeld wordt naar de verschillende dempingprincipes achter de twee modellen blijken deze resultaten goed overeen te komen met de verwachtingen; model 2 zal de optimale demping bereiken op de werkfrequentie wanneer er helemaal geen demping wordt toegepast. Het nadeel daarvan is echter dat er twee resonantiepieken ontstaan op het nabije frequentiegebied (zie figuur b), wat niet wenselijk is voor het te behandelen systeem. Door daar toch een lage hoeveelheid demping aan toe te voegen is er ergens een optimum waardoor de twee extra pieken ook uitgedempt worden. Model 1 dissipeert echter de meeste energie via wrijving, en heeft daarom een TU/e 5.2 Theoretische benadering van het model 18

21 hogere wrijvingskracht nodig. Wat verder erg opvallend is, is het verschil in de hoeveelheid demping die behaald kan worden. Met deze (aangenomen) parameters kan model 1 optimaal ongeveer een factor 3 dempen, terwijl model 2 bijna een factor 25 aan demping kan behalen. Figuur De responsie van de balk met variërende wrijvingskracht a) Model 1 b) Model 2 Figuur De maximale responsie van de balk met variërende wrijvingskracht De conclusie uit deze optimalisatie is dat wanneer model 2 gerealiseerd kan worden, deze ongeveer een factor 25 aan demping kan behalen. Hierbij moet er gestreefd worden naar een zo hoog mogelijke massa voor de demper, een eigenfrequentie gelijk aan die van de werkfrequentie en een wrijvingskracht die ongeveer 10% is van de kracht die op de balk werkt. Het instellen van vooral de laatste parameter komt erg nauw, zoals in figuur te zien is. Wanneer echter model 1 gerealiseerd wordt, zal de maximale demping een stuk lager uitvallen. Hierbij moet er gestreefd worden naar een zo hoog mogelijke massa van de demper, een zo laag mogelijke eigenfrequentie en een wrijvingskracht die ongeveer 75% is van de kracht die op de balk werkt. Het instellen van de parameters komt in dit geval minder nauw, de keerzijde is echter de lagere demping. TU/e 5.2 Theoretische benadering van het model 19

22 5.2.4 Reflectie op het gebruikte model Bij het opstellen en oplossen van de bewegingsvergelijkingen en bij het invullen van verschillende parameters zijn een aantal aannames gedaan. Deze aannames kunnen hun invloed hebben op het resultaat van de optimalisatie. Daarom worden de belangrijkste aannames nog eens kritisch bekeken en gereflecteerd. De hoofdzakelijke aannames die gemaakt zijn bij het opstellen van de bewegingsvergelijkingen zijn: - De krachten die op het systeem werken en de responsie daarvan zijn harmonisch. - Via de HBM wordt er gebruik gemaakt van een equivalente viskeuze dempingsconstante, afhankelijk van de relatieve verplaatsing (gebaseerd op Coulombse wrijving). De hoofdzakelijke aannames die gemaakt zijn bij het optimaliseren van de parameters zijn: - De verliesfactor voor de interne demping van de balk wordt op 0,1% geschat. - De verliesfactor voor de interne demping van de demper wordt ook op 0,1% geschat (in geval van model 1). Zoals eerder aangegeven kan er aangenomen worden dat er sprake is van een harmonische trilling. Door het gebruik van de HBM gebaseerd op Coulombse wrijving zal er wel een bepaalde fout worden gemaakt. Verder geldt er, zoals eerder beschreven, dat met het gebruik van Coulombse wrijving de berekende optimale wrijvingskracht maar maximaal 10% zal afwijken van de werkelijke wrijvingskracht. Ook het toepassen van het ontwerp in de praktijk zal afwijkingen met zich meebrengen die eventueel nog groter kunnen zijn. Het bovenstaande rechtvaardigt het gebruik van de HBM. Om de invloed van de aangenomen interne demping van zowel de balk als de demper te testen zijn er berekeningen gedaan waarin de interne demping een factor 10 hoger is, het resultaat is voor beide modellen te zien in figuur Voor elk model is de optimale waarde van model 1 en voor model 2 betekent dit. gebruikt, dit betekent voor Figuur De responsie van de balk met variërende interne demping a) Model 1, b) Model 2, TU/e 5.2 Theoretische benadering van het model 20

23 Uit figuur volgt direct dat de aanname van de interne demping van de balk een grote invloed heeft op de demping die maximaal te behalen is. De interne demping van de demper blijkt er niet toe te doen, er is geen verschil te zien tussen de lijnen met een lage en een hogere demping van de demper. Figuur a lijkt misschien te impliceren dat er bij een 10 keer zo grote interne demping van de balk helemaal niets meer te demper valt met model 1. Dit klopt echter niet, met het verhogen van de interne demping verhoogd ook de kracht die nodig is voor een amplitude van 100 μm, de optimale parameters veranderen hierdoor ook weer. Dit geldt ook voor model 2. Uit dit resultaat volgt dat er voorzichtig omgegaan moet worden met de aanname voor de interne demping van de balk. Vandaar dat er gekozen is om eerst de balk te ontwerpen en te bouwen, zodat de interne demping van de balk experimenteel bepaald kan worden. Daarna kan er pas precies ingeschat worden wat de maximaal haalbare demping is. Het ontwerpen van de balk is beschreven in hoofdstuk Keuze van het model Aan de hand van de optimalisatie van beide modellen en de reflectie hierop, is de conclusie dat model 2, ook wel een tuned mass damper genoemd, de beste keuze is om te realiseren. Hiermee kan namelijk een maximale demping verkregen worden wanneer deze goed afgestemd is. In hoofdstuk 6 zullen een aantal ontwerpmogelijkheden gepresenteerd worden om een zo optimaal mogelijk afgestemde demper te realiseren, die constructietechnisch goed in elkaar zit. TU/e 5.2 Theoretische benadering van het model 21

24 H6 Ontwerpen Nu de optimale waarden met het theoretische model bepaald zijn, kan er begonnen worden met het ontwerpen van een demper die aan de ontwerpeisen voldoet. Allereerst zullen algemene gewenste eigenschappen worden besproken. Vervolgens zullen er enkele ontwerpen beschreven worden, dat wil zeggen: de werking, de voor- en nadelen en eventueel verbeteringen die nog toegebracht kunnen worden. Er moet rekening gehouden worden met de maximale massa van de demper. Na berekening blijkt echter dat 1,8 kg lastig te halen is met de vaak gebruikte metalen, zelfs als de holte volledig gevuld zou worden met staal zou dit maar een massa van 1,18 kg opleveren. De massa van de demper zal daarom vervaardigd worden uit wolfraam ( ). Als de volledige holte gevuld wordt met wolfraam zou dit 2,89 kg opleveren. Met wolfraam kan een geschikte demper gemaakt worden. De trilling van de balk wordt veroorzaakt door de eerste eigenfrequentie. Om het aanslaan van hogere frequenties te voorkomen is een symmetrische uitvoering van de demper gewenst. Daarnaast moet er bij het ontwerpen voor gezorgd worden dat ongewenste bewegingen niet mogelijk zijn. Aangezien de demper stofvrij moet worden uitgevoerd, kan de demper worden afgesloten door metaalfolie rondom de demper vast te lassen en vervolgens in de balk te lijmen. Lijmen is de beste manier, aangezien er niet geboord of getapt mag worden in de balk en lassen ook ongewenst is (dit zorgt voor inwendige spanningen in de balk). Een andere optie is klemmen, maar dit is constructietechnisch erg lastig, bovendien neemt het ruimte in en kan het tot ongewenste slijtage leiden. De gebruikte lijm moet een hoge stijfheid hebben om de werking van de demper te kunnen testen. Een dunne laag epoxy-lijm voldoet aan deze eisen. Het uiteindelijke ontwerp wordt nog niet gekozen, aangezien de ontwerpen nog niet naar tevredenheid aan de ontwerpeisen voldoen; van een perfect ontwerp is nog geen sprake. Een keuze maken voor het definitieve ontwerp in dit stadium van het ontwerpproces zou de bewegingsvrijheid beperken en daardoor consequenties meebrengen voor het uiteindelijke ontwerp. Als het ontwerp vastgesteld wordt, betekent dit namelijk dat alle voor- en nadelen van het ontwerp vast staan en daarbij dus ook de ontwerpvrijheid. Dit heeft invloed op constructietechnische oplossingen van problemen die in een later stadium gevonden moeten worden. TU/e H6 Ontwerpen 22

25 Ontwerp 1: Roterend element Figuur 6.1.1: Ontwerp met roterend element R Werking: Bij dit ontwerp wordt gebruik gemaakt van een roterend element R om energie te dissiperen. Als de balk in trilling wordt gebracht krijgt de veer k in eerste instantie een uitwijking. De veer oefent hierbij een kracht uit op het element R. Doordat het contactpunt van de veer naast het draaipunt d van het roterend element is gekozen, gaat er een moment op dit element werken. Hierdoor wordt er een roterende beweging op gang gebracht. De contactoppervlakken, gearceerd in figuur 6.1.1, schuren hierbij langs elkaar waardoor energie wordt onttrokken aan het systeem. Dit ontwerp is adaptief te maken door de baan elliptisch uit te voeren. Voordelen: - Het concept is eenvoudig. De eerste berekeningen aan het systeem zullen dan ook kort zijn. - Dit ontwerp bestaat uit weinig elementen. De dimensies van de demper moeten erg klein zijn om in een holte te passen. Het geringe aantal elementen komt de robuustheid van het ontwerp ten goede. Grotere onderdelen zijn over het algemeen makkelijker te vervaardigen, wat tot lagere kostprijzen zal leiden. Nadelen: - Het roterend element zal zich snel vastlopen tegen de elliptisch wormgegeven wand. Na het vastlopen zal er geen energie meer gedissipeerd worden door het systeem. Dit is te verbeteren door de elliptische baan verend uit te voeren. - Het roterende element kan ervoor zorgen dat de balk een hoekverdraaiing gaat maken. Hierdoor bestaat de mogelijkheid dat de balk in een nieuwe mode gaat trillen. Er moet dan ook een oplossing komen om de nieuwe mode te dempen. De demper kan ook dubbel worden uitgevoerd: de ene demper roteert met de klok mee, de ander gaat juist tegen de klok in. Door een stick-slip beweging kunnen de dempers om en om kleine rukjes geven aan de balk, waardoor de trilling weer een andere vorm aanneemt. TU/e H6 Ontwerpen 23

26 Ontwerp 2: Hellend vlak Figuur 6.2.1: Eerste ontwerp met hellend vlak Werking Als de balk in trilling wordt gebracht, gaat de massa m in figuur in het midden ook een trilling uitvoeren. Door de waardes van de massa m en veer k goed te kiezen ontstaat er een faseverschuiving tussen de beweging van de massa en de balk. Dit resulteert in een relatieve beweging tussen de twee onderdelen waardoor de contactoppervlakken (gearceerd in figuur 6.2.1) langs elkaar gaan schuren. Onderdeel s zorgt voor de normaalkracht om de contactoppervlakken tegen elkaar te drukken. Deze onderdelen kunnen als schotelveren worden uitgevoerd, maar de precieze uitvoeringsvorm kan in een later stadium nog worden bepaald. De adaptiviteit in normaalkracht kan worden behaald door de contactoppervlakken met een helling uit te voeren. Bij grotere amplitudes neemt de dikte van de contactoppervlakken toe waardoor de schotelveren worden ingedrukt. Dit verhoogt de normaalkracht tussen de contactoppervlakken waardoor de contactoppervlakken harder tegen elkaar schuren en dus meer energie dissiperen. Uitgewerkt model In dit uitgewerkt model wordt er een schatting gemaakt voor de wrijvingskracht en uitwijking van de demper en de balk om inzicht te krijgen of dit ontwerp überhaupt uit te voeren is. Dit is niet gedaan met waarden die gevonden zijn in het theoretisch model. Er wordt gekeken naar het ontwerp van hierboven, maar dan uitgevoerd met één contactoppervlak en één schotelveer. In Lopez et al [1] wordt de genormaliseerde wrijvingskracht f r bepaald met vergelijking (6.1). f r N (6.1) Xm d d De optimale waarde voor f r voor maximale energiedissipatie is Dit geldt voor het geval massa op een bewegende basis (figuur 4.1). Er wordt aangenomen dat de optimale waarde voor f r ook voor dit ontwerp gelijk is aan Met vergelijking (6.1) kan de maximale normaalkracht worden berekend die de schotelveer moet kunnen leveren. TU/e H6 Ontwerpen 24

27 De trillingsamplitude van de balk is 100 µm. De meeste energiedissipatie treedt op als de demper met een versterkte amplitude precies in tegenfase trilt met de balk. De relatieve verplaatsing ΔX max tussen de balk en demper kan dus vele malen hoger zijn dan 100 µm en wordt op 500 µm afgeschat. Tevens wordt de aanname gedaan dat alle beschikbare massa gebruikt wordt, waardoor m d gelijk wordt gesteld aan 1.8 kg. Als laatst wordt µ d afgeschat op 0.2. De maximale normaalkracht N max wordt met deze aannames gelijk aan 43 N. De volgende stap is het kiezen van een geschikte schotelveer. In Figuur (6.2.2) hieronder staat aangegeven wat de maataanduidingen zijn voor een schotelveer. Figuur 6.2.2: De maataanduiding voor een schotelveer. De schotelveren die geschikt kunnen zijn voor het ontwerp staan aangegeven in tabel 6.1. Deze schotelveren komen uit de catalogus van Alcomex Veren B.V. [10] Tabel 6.1: Schotelveren die geschikt kunnen zijn voor het ontwerp. Er wordt voor schotelveer S22000 gekozen omdat die de kracht N max aankan (behalve bij S = 0.25h 0 ) en een grotere uitwijking heeft dan schotelveer S22010 bij een bepaalde kracht. De veerweg S = 0.5h 0 zou volstaan qua kracht, maar er wordt echter voor S = h 0 gekozen. Dit wordt gedaan omdat schotelveren een niet lineaire stijfheid hebben. Het verloop van die curve staat weergeven in figuur Door S = h 0 te kiezen blijft de uitwijking beperkt tot het lineaire gebied. Als de voorspanweg van de schotelveer kort is, neemt de gevoeligheid voor toleranties toe. Hier moet rekening mee gehouden worden. Figuur 6.2.3: Verloop van de stijfheid bij een schotelveer. TU/e H6 Ontwerpen 25

28 Nu het type schotelveer bekend is, kan de stijfheid ervan bepaald worden met vergelijking (6.2). Hierbij wordt aangenomen dat de stijfheid gelijk is voor alle uitwijkingen en de curve dus een lineair verloop heeft. F C (6.2) h 0 De lineaire stijfheid van de schotelveer is gelijk aan 5.0*10-5 N/m. Eigenschappen van het hellende vlak staan getekend in figuur (6.2.4). De parameters a en kunnen bepaald worden met vergelijking (6.3) en (6.4). Na het invullen van beide vergelijkingen is de waarde voor a 0.09 mm en is de hoek gelijk aan 9.8 o. N max a (6.3) C 1 a tan X max (6.4) Figuur 6.2.4: Parameters van hellend vlak Omdat de parameters van het hellend vlak klein zijn, wordt de uitvoering van dit ontwerp lastig. Het is moeilijk om dit soort nauwkeurigheden te halen met productietechnieken. Hierdoor zal tevens de prijs van het product relatief hoog liggen. Daarnaast moet er een onderdeel komen dat het hellend vlak moet kunnen volgen. Met dit soort afmetingen en krachten is dat een essentieel probleem. TU/e H6 Ontwerpen 26

29 Ontwerp 3: Gescheiden hellend vlak Deze demper maakt gebruik van de traagheidskracht. De verticaal trillende balk zal zijn trilling overbrengen op een dempermassa die op zijn beurt op wrijving twee kleine massa s horizontaal laat trillen. Bij deze wrijving zal energie gedissipeerd worden. Figuur Ontwerp gescheiden hellend vlak Werking: In de kopse randen van stofafdichting zit een staf ingeklemd met een diameter van 6mm. Over deze staf beweegt een massa m1 die met een veer aan de buitenkant van de folie vast zit. De veer duwt massa m1 tegen massa m2 die daardoor ondersteund wordt. Massa m2 zit nergens anders aan vast dan aan massa m1. Aan de andere kant van massa m2 zit een gelijke massa m1 die de gespiegelde variant is van m1. Massa m2 is ongeveer 1,3 kg en zal door de traagheidskracht gaan bewegen ten opzichte van de balk. Deze beweging duwt de massa s m1 en m1 naar buiten waarbij wrijving optreedt op wrijvingsvoet V. Als de massa m2 in de evenwichtstand is zijn de andere twee massa s naar binnengedrukt en als de massa m2 in een van de twee uiterste standen staat dan zijn de massa s zo ver mogelijk naar buiten gedrukt. Voordelen: Een eerste voordeel is dat slijtage wordt opgevangen door de veren die de massa s m1 en m1 ondersteunen. Ook is deze demper adaptief. De wrijving is evenredig met de normaalkracht en die wordt door de lineaire veer tweemaal zo groot als de amplitude tweemaal zo groot wordt. Een ander voordeel is dat het een vrij simpel ontwerp is waar geen dure onderdelen voor gemaakt moeten worden. Ook maakt dit ontwerp vrij goed gebruik van de beperkte ruimte die er is Nadelen: Een nadeel is dat de massa s m1 en m2 steeds losschieten boven en onder. Als m2 boven staat dan is het bovenste wrijvingsvoetje los en andersom ook. Hierdoor krijgt het systeem steeds klappen te verduren als de massa m2 door de evenwichtsstand gaat. Een ander nadeel is dat massa m2 die hier alleen opgehangen is door de twee massa s m1 en m1 nog teveel vrijheidsgraden heeft. Zo zou deze massa kunnen gaan roteren om de x-as en y-as. TU/e H6 Ontwerpen 27

30 Ontwerp 4: Adaptiviteit met behulp van (knie)hefbomen Figuur a) Ontwerp met (knie)hefbomen b) Ontwerp bovenaanzicht massa in de balk Werking: Wanneer de balk in trilling wordt gebracht, gaat de massa (1) in het midden een trilling uitvoeren. Deze trilling wordt doorgegeven aan sprieten die aan hefbomen bevestigd zijn (2). Deze hefboom brengt de beweging over naar de veren (3). De veren zullen een kracht op de kniehefboom uitoefenen. Deze kniehefbomen (4) zijn bevestigd aan platen die een druk uitoefenen op een gecoate dunne plaat die met sprieten aan de vaste wereld zijn verbonden (5, de zwarte platen). Hoe groter de uitwijking wordt, hoe meer kracht er op de gecoate plaat wordt overgebracht, dit zorgt dus voor de adaptiviteit. De veren zijn aanwezig om de massa in zijn begintoestand, of wanneer er nauwelijks een trilling is, op zijn centrale plaats te houden. Door de combinatie van normale hefbomen (2) en kniehefbomen (4) kan er een relatief grote vergroting van de kracht behaald worden. Dit is afhankelijk van de gekozen overbrengverhouding van de normale hefbomen en de hoeken van de kniehefbomen. Waar mogelijk wordt er gebruik gemaakt van onderdelen uit één geheel die werken volgens het principe van elastische deformatie. Aangezien een zo groot mogelijke massa gewenst is, wordt het mechanisme aan twee kanten van de balk uitgevoerd (zie figuur 6.4.1b) met tussen de mechanismen extra ruimte om zoveel mogelijk massa te winnen. Voordelen: - De demper en het daarbij behorende mechanisme is symmetrisch, er treden geen ongewenste bewegingen op in het systeem. - Een grote krachtvergroting is mogelijk door gebruik te maken van (knie)hefbomen, daarbij zorgt dit voor de adaptiviteit (er kan een relatief grote normaalkracht geproduceerd worden zonder de trilling van de massa erg te beïnvloeden). - Door gebruik te maken van elastische deformatie en zo min mogelijk componenten kan de interne wrijving verkleind worden en wordt de maakbaarheid vergroot. TU/e H6 Ontwerpen 28

31 Nadelen: - Er zijn relatief veel (kleine) onderdelen nodig. - Er zijn relatief veel bewegende onderdelen. - Er wordt geen rekening gehouden met mogelijke voorspankracht om slijtage op te vangen. - De kleine afmetingen van elastische componenten zijn gering, hiervan moet de spanning nader bepaald worden. Verbeteringen: - De kniehefbomen zouden omgeklapt kunnen worden zodat er meer ruimte ontstaat om massa toe te voegen. TU/e H6 Ontwerpen 29

32 Ontwerp 5: Adaptiviteit met behulp van inwendige (knie)hefbomen Figuur Het ontwerp volledig berustend op elasticiteit, met boven de kopse kant en onder een dwarsdoorsnede in de lengterichting. Werking Het geheel zal in het stofvrij omhulsel gemaakt worden (1). Daar binnenin transleert er een massa verticaal in de z-richting tussen twee platen (in het figuur aangegeven als zwarte platen, 2). De massa wordt binnen een evenwichtstand gehouden door zowel veren (3) als elastische strippen (5). De veren zijn optioneel en zouden schotelveren kunnen zijn. De elastische strippen, die in de onderste afbeelding ook te zien zijn (5), zijn bevestigd aan het omhulsel. Om deze toch stijfheid te geven zijn de kopse kanten (van de y-richting) van het omhulsel dikker uitgevoerd (6). Deze elastische strippen buigen mee met de beweging van de massa en oefenen hierdoor een kracht uit op de massa. Om het geheel adaptief te maken, wat wil zeggen dat de normaalkracht werkend op het wrijvingsoppervlak lineair moet toenemen met de amplitude, werken deze elastische strippen (5) op elastische hefbomen (4) die één geheel zijn met de massa. Wanneer er bij het in de z-richting bewegen van de massa de elastische strip een kracht op de hefboom uitoefent, wordt deze kracht versterkt via de hefboom. Er ontstaat precies de juiste normaalkracht op de buitenste randen van de massa in de x-richting, die tegen de wrijvingsoppervlakken aan wrijft. Hierbij is er in eerst instantie gekozen dat de elasticiteit bijna volledig in de strippen zit en de hoek van de hefboom (bijna) niet verandert, waardoor de krachtversterking steeds constant is. Deze hefbomen worden zowel horizontaal als verticaal symmetrisch uitgevoerd, zodat er aan beide kanten wrijving optreedt en ook bij zowel het omhoog bewegen als het omlaag bewegen van de massa. Het mechanisme van de hefbomen en de elastische strippen is aan beide uiteinden aangebracht, hierdoor is het mogelijk om meer bewegende massa te hebben. Om de massa TU/e H6 Ontwerpen 30

33 verder een stabiele translerende beweging uit te laten voeren, is het slim om rond de twee uiterste punten van de y-richting wrijving toe te passen. Eenvoudige berekeningen - Bij gelijke afstand rond het scharnierpunt van de hefboom geldt er een Mechanische Versterking (MV) van met de hoek. Hiermee is er met hele kleine hoeken een hele grote krachtversterking mogelijk, maar ook kleine versterkingen zijn mogelijk. - Via vergeet-me-niet jes zoals en zijn de verplaatsingen van de elastische componenten uit te rekenen. - Met dit ontwerp is ongeveer een bewegende massa van 1.5 kg mogelijk. - De spanning moet zodanig zijn dat de werking in het elastische gebied is; te berekenen via met het werkende moment, en de uiterste vezelafstand ( ). Voordelen - Het geheel berust volledig op elastische deformatie, hierdoor is er geen speling en ook geen wrijving op de plaatsen waar dat niet gewenst is (zoals scharnierende componenten). - Er wordt optimaal gebruik gemaakt van het feit dat er relatief weinig ruimte is in de hoogte en breedte, maar veel in de lengterichting. Zo is het mogelijk om een grote bewegende massa te verkrijgen. - Er wordt gebruikt gemaakt van dezelfde beweging als de balk maakt, namelijk een translerende beweging in de z-richting. - De wrijving vindt plaats op de buitenwanden van het geheel, hierdoor is er optimale ruimtebesparing en een goed evenwicht van de krachten. - Kijkend in de lengterichting (y-richting), vindt de wrijving plaats op de uiteinden om (bijna) geen hoekverdraaiing van de massa te krijgen. - Door de (optionele) veren en elastische strippen zal er na een extreem grote uitwijking de massa altijd terug gaan naar zijn evenwichtsstand. Nadelen - Door de kleine elastische delen zal het productieproces relatief duur zijn. Omdat er echter gebruik is gemaakt van zowel symmetrie in de horizontale als in de verticale richting en er bovendien alleen aan de kopse kanten van de massa holtes nodig zijn, is er toch zoveel mogelijk rekening mee gehouden. Door de uiteinden los te monteren waarbij iedere uiteinde in 4 stukken is verdeeld, zal het geheel optimaal te bewerken zijn. Als lasersnijden niet mogelijk blijkt te zijn, kan het via draadvonken, wat een duurdere productietechniek is. - Er zit geen mechanisme bij dat ervoor zorgt dat er een compensatie is voor de opgedane slijtage door de wrijving. Hierdoor zal de normaalkracht in de loop van de tijd afnemen, waardoor de werking van de demper verslechterd. - Een volledige rechtgeleiding is nog niet gegarandeerd. TU/e H6 Ontwerpen 31

34 H7 Ontwerp van de balk De oorspronkelijke balk wordt door ASML niet beschikbaar gesteld vanwege geheimhouding. Daarom zal er een vervangende balk vervaardigd moeten worden met vergelijkbare eigenschappen. In eerste instantie zal er uitgegaan worden van een balk met negen gelijk holtes met de afmetingen van 20*30*250 mm 3. Eerst worden de eigenschappen van de te vervaardigen balk bepaald. Vervolgens wordt er aandacht besteed aan de testopstelling. 7.1 Eigenschappen van de balk In figuur is de dwarsdoorsnede van de balk geschetst. Met puntjes is aangegeven in welke holtes de demper het beste geplaatst kan worden. Het is mogelijk dat de demper de ongewenste stick-slip beweging uitvoert. Door de demper in de verkeerde holte te plaatsen kan bij het losschieten van de contactoppervlakken door de stick-slip beweging een moment op de balk uitgeoefend worden waardoor de balk in een nieuwe mode kan gaan trillen. Dit kan voorkomen worden door deze krachten langs de hartlijn van de balk te laten werken. Figuur 7.1.1: De dwarsdoorsnede van de balk Een balk met zulke dimensies is in dit geval niet beschikbaar, de balk zal dus zelf geproduceerd moeten worden. In eerste instantie werd er aan een kokerprofiel gedacht. Belangrijk is te kijken welke afmetingen de extrusieprofielen hebben die door bedrijven geleverd kunnen worden. Deze profielen moeten vervolgens aan elkaar worden bevestigd. Het aan elkaar lassen van de profielen is geen optie omdat hierbij spanningen in het materiaal ontstaan waardoor de balk krom kan trekken. Bij het aan elkaar lijmen van de profielen ontstaan er afschuifkrachten in de lijm die voor interne demping zorgen. De demping veroorzaakt door de lijm kan voorkomen worden door de balk als enkelvoudig kokerprofiel uit te voeren. Deze uitvoeringsvorm kan gerealiseerd worden omdat er maar één holte nodig is voor de demper. De balk zou uiteindelijk een equivalente massa m eq van 150 kg moeten krijgen. Aluminium kokerprofielen hebben typisch een gewicht van enkele kilo s per meter. Vanwege praktische belemmeringen wordt de lengte van de balk beperkt tot 1 à 2 m. Dit zou betekenen dat de extra massa m e die aan de balk gehangen wordt ongeveer 140 kg moet wegen. Om de stijfheid van de balk niet te veel te verhogen en vanwege bevestigingsproblemen met zoveel extra massa, wordt de equivalente massa verlaagd tot 30 à 60 kg. TU/e H7 Ontwerp van de balk 32

35 Oppervlaktetraagheidsmoment Met vergelijking (7.1) uit Formulas for natural frequency and mode shape [8] kan de lengte van balk bepaald worden bij een gegeven geometrie, eigenfrequentie en bepaalde materiaaleigenschappen. De vergelijking is geldig voor een (aan beide uiteindes) opgelegde balk. De materiaaleigenschappen van Aluminium EN AW-6060 T66 [11] staan in tabel (7.1) weergeven. 12EI L 2 2 f me 0.49m b 1 3 (7.1) Tabel 7.1: Materiaaleigenschappgen van Aluminium EN AW-6060 T66 Dichtheid ρ [kg/m 3 ] Elasticiteitsmodulus E [GPa] Vloeispanning σ [MPa] De term m e +0.49m b in vergelijking (7.1) stelt de equivalente massa voor. Hiervoor kan een waarde tussen de 30 en de 60 kg worden gekozen. Om de lengte L te kunnen bepalen, moet eerst het oppervlaktetraagheidsmoment worden berekend. Oppervlaktetraagheidsmoment De balk bestaat uit één rechthoekig of vierkant kokerprofiel. De maataanduiding van het kokerprofiel is te zien in figuur (7.1.2) Het oppervlaktetraagheidsmoment I kan voor een dergelijk geometrie met vergelijking (7.2) worden bepaald. I xx xy x t y t (7.2) 12 Figuur 7.1.2: Maataanduiding van het kokerprofiel Nu wordt gekeken welke aluminium kokerprofielen er door het bedrijf MCB geleverd worden [11]. In tabel (7.2) worden voor een aantal kokerprofielen het oppervlaktetraagheidsmoment en de lengte berekend volgens (7.4) respectievelijk (7.3). Dit wordt gedaan bij verschillende equivalente massa s. De lengte van de balk mag niet groter zijn dan 6 meter, want dat is de lengte waarop MCB kokerprofielen levert. TU/e H7 Ontwerp van de balk 33

36 Tabel 7.2: het oppervlaktetraagheidsmoment en de lengte voor een aantal kokerprofielen Afmetingen X-Y-t oppervlaktetraagheidsmoment Equivalente Lengte L [m] [mm] I [m 4 ] massa m eq [kg] * * * * Wat meteen opvalt, is dat alle kokerprofielen de maximale lengte van 6 meter niet overschrijden. Alle kokerprofielen hebben de standaardprijs van 8.65 per kg, maar door verschil in gewicht zullen er alsnog prijsverschillen ontstaan tussen de geselecteerde kokerprofielen. In tabel 7.3 is de prijs te zien die per balk van 6 meter betaald moet worden. Bij het kiezen van een kokerprofiel is het verstandig om te kijken of dat er geen goedkoper alternatief is met ongeveer dezelfde eigenschappen. Tabel 7.3: Gewicht en prijs van de geselecteerde kokerprofielen Afmetingen X-Y-t [mm] Gewicht per meter [kg/m] Prijs per balk (6 meter) De lengte van de H-brug die ASML gebruikt wordt geschat op 1 tot 1.5 meter. Om de situatie bij ASML zo goed mogelijk na te bootsen en gelet op de prijzen, wordt voor het kokerprofiel gekozen met afmetingen van 100*80*3 mm. Er wordt voor een lengte van 1.05 m gekozen met een equivalente massa van 30 kg. Op de manier hoe de extra massa bevestigd zal worden kan deze bijdragen aan een hogere stijfheid, waardoor de onnauwkeurigheid in de berekeningen toeneemt. Doorzakking Onder invloed van het eigen gewicht en de extra massa zal de balk doorbuigen. De eigen massa werkt als een verdeelde belasting w over de gehele lengte van de balk. De verdeelde belasting is de massa van de balk m b (3.02 kg) gedeeld door zijn lengte L (1.05 m). In figuur is de situatie schematisch geschetst en is het bijbehorende vergeet-me-niet je (7.5) gegeven. Dit geeft een te verwaarlozen uitwijking U w van -5.8*10-6 m. Het min-teken staat voor een uitwijking naar beneden. TU/e H7 Ontwerp van de balk 34

37 u w 4 5wL 384EI (7.5) Figuur 7.1.3: Eigen massa als verdeelde belasting w gemodelleerd Aangenomen wordt dat de kracht F e die door de extra massa m e (28.52 kg) uitgeoefend wordt als een puntkracht op het midden van de balk beschouwd mag worden. Figuur geeft de situatie schematisch weer en het bijbehorende vergeet-me-niet je is vergelijking (7.6). De uitwijking U F is gelijk aan -8.8*10-5 m. U F 3 FL e (7.6) 48EI Figuur 7.1.4: De extra massa als puntkracht F e gemodelleerd Met superpositie kunnen de uitwijkingen veroorzaakt door deze twee factoren simpelweg bij elkaar worden opgeteld, zie vergelijking (7.7). Utot U w U F (7.7) De totale doorzakking U tot van de balk is gelijk aan -9.4*10-5 m. Hieruit volgt dat de doorzakking van de balk inclusief extra massa acceptabel is voor de testopstelling. Spanning Er moet gekeken worden naar wat de spanning in de balk is bij een bepaalde uitwijking. De maximale amplitude die de balk uit mag voeren bij het experiment wordt aangenomen op 1mm. Een grotere uitwijking wordt voorkomen door de balk tussen twee rubberen aanslagen te zetten. De spanning in de balk kan met vergelijking (7.8) bepaald worden. Parameter c is de afstand tot de neutrale lijn, in dit geval y/2. cm I max max (7.8) Het moment is maximaal in het midden van de balk en kan bepaald worden door middel van superpositie van de verschillende maximale spanningen die bijdragen aan het geheel. Dit zijn: - De maximale spanning veroorzaakt door het eigen gewicht als verdeelde belasting (7.9). - De extra massa aan de balk als puntkracht (7.10). - Een extra puntkracht die nodig is voor de maximale verplaatsing, (7.6) en (7.10). TU/e H7 Ontwerp van de balk 35

38 2 wl M max, w (7.9) 8 FL M max, F (7.10) 4 Het uiteindelijke resultaat van de superpositie volgt in vergelijking (7.11) ylmbg ymegl 6y E max, totaal gewicht extra massa verplaat sin g (7.11) 2 16I 8I L Nu zijn alle waarden bekend om de maximale spanning in de balk te berekenen. Via (7.11) volgt er een waarde van 64 MPa voor de maximale spanning met de gekozen balk. Met de vloeispanning die bekend is uit tabel 7.1 volgt de conclusie dat het gebruik van deze balk met extra massa geschikt is voor de toekomstige experimenten. De aanslagen kunnen dus op een afstand van 2 mm van de balk worden geplaatst. Hierbij blijft er een redelijke marge over voor het geval dat de aanslagen niet goed gepositioneerd zijn. TU/e H7 Ontwerp van de balk 36

39 7.2 Testopstelling In deze paragraaf zal behandeld worden hoe de balk voor de testopstelling gebruikt zal worden om te meten. Hierbij is belangrijk hoe de balk opgehangen wordt zodat hij alleen vrijheidsgraden heeft in de trillingsrichting. Ook de bevestiging van de demper en de massa om de frequentie goed te krijgen wordt behandeld en de balk moet daarna nog in trilling worden gebracht met een shaker. Alle bevestigingen zullen ontworpen worden zodat ze zo min mogelijk dempen. Als de testopstelling te veel dempt zijn de prestaties van de demper moeilijker te achterhalen. Testopstelling: Figuur 7.2.1a Ophanging bladveer Figuur 7.2.1b Bevestiging demper en massa m e Ophanging balk aan de bladveren De balk wordt opgehangen tussen twee bladveren. Bij deze bevestiging weergegeven in figuur 7.2.1a is het belangrijk dat de balk vrij kan trillen maar dat de bevestiging niet dempt. De bladveren aan de balk lassen is geen optie vanwege interne spanningen die dan optreden, een combinatie van lijm en bouten is dan beter. De dikte van de wanden van de balk is echter klein dus tappen van schroefdraad maakt het materiaal daar mogelijk alleen maar zwakker. De dikte van de bladveren moet klein zijn zodat er weinig demping optreedt. Beperken van vrijheidsgraden van de balk Omdat er nog een translatie van de balk in de y-richting mogelijk is wordt in het midden van de balk een spriet vastgemaakt die deze translatie tegenhoudt zonder de trilling te beïnvloeden. Deze spriet zal aan de ene kant aan de vaste wereld gemaakt worden en aan de andere kant aan het midden van de balk. De spriet wordt ondanks de grootste amplitude vastgemaakt in het midden van de balk omdat de balk daar geen hoekverdraaiing heeft. Belangrijk is echter dat de spriet geen demping veroorzaakt. De spriet moet dus slap zijn in de x-richting en stijf in y-richting. De lengte en dikte van de spriet zouden gevarieerd kunnen worden. Tevens worden er rubberen aanslagen gebruikt om schade aan de balk door heftige excitaties te voorkomen. Toegevoegde massa Verder zorgt massa m e ervoor dat de eerste eigenmode van de balk op 52 Hz komt te liggen. Deze massa mag niet bijdragen aan de stijfheid van de balk. De massa moet dus zo dicht mogelijk tegen de balk aan komen te liggen en zo geconcentreerd mogelijk zijn. Massa die verder van de middellijn van de balk af komt te liggen voegt meer stijfheid toe. Om de massa zo dicht mogelijk tegen de balk te krijgen wordt TU/e H7 Ontwerp van de balk 37

40 deze tegen de balk gelijmd. Ook als er 60 kg aan de balk gelijmd zou moeten worden kan epoxy-lijm dit aan. Voor 600 N die dit als afschuifkracht zou geven zou een oppervlak van 1 cm 2 8 MPa afschuifspanning leveren. De meeste epoxy-lijmen kunnen 10 MPa afschuifspanning aan. Omdat de afstand van het materiaal tot de hartlijn in de bewegingsrichting tot de derde macht genomen moet worden met betrekking tot de stijfheid, wordt de extra massa m e zoveel mogelijk aan de twee zijkanten van de balk gehangen. Verder is het slim om in plaats van een lange massa tegen de balk te lijmen, een aantal korte massa s tegen de balk te lijmen. In figuur 7.2.1b is de balk met bevestiging van de massa en de demper weergegeven echter hangt hier voor de duidelijkheid de massa aan de onderzijde. Ook is er een tweede optie als bovenstaande manier te veel stijfheid toevoegt en dat is de massa ophangen met beugels. De massa komt dan niet helemaal strak tegen de balk maar iets daarvan af, zodat de balk beter in staat is om de eerste modeshape uit te voeren. In trilling brengen van de balk Om de balk in zijn eerste mode te laten trillen zijn twee opties mogelijk: De eerste methode is het continu aanslaan van de balk met een shaker. De andere methode is het aanslaan van de balk met een hamer zodat hij daarna uitdempt. Bij de laatste methode is het uitdempen van de trilling goed meetbaar maar is het moeilijk de balk een precieze amplitude te geven. Met de shaker is een experiment te doen waarbij de shaker wordt ingesteld zodat de kale balk 100µm trilt. Daarna kijken wat de maximale amplitude wordt als de demper aan de balk zit met dezelfde instellingen voor de shaker. Ophanging van de demper aan de balk De demper zit in de testopstelling aan de buitenzijde van de balk. Dit is niet de situatie zoals deze uit het probleem komt maar dit komt de testresultaten ten goede. Als de uithardingstijd van de gebruikte epoxy-lijm 24 uur is, kan er pas na die tijd een vergelijkbare test uitgevoerd worden. Dit is niet meer onder vergelijkbare omstandigheden. Door de demper aan de buitenzijde van de balk te plaatsen kan deze snel verwijderd worden waardoor er zonder grote temperatuurschommelingen gemeten kan worden. Lijmen is hier uitgesloten, een mogelijkheid is om de demper met bouten en moeren in de balk vast te zetten. Hierbij zal materiaal uit de balk gehaald moeten worden. Dit is niet gewenst en is te voorkomen door de demper vast te schroeven in twee blokjes die aan de balk gelijmd zijn. In deze blokjes is draad getapt en daaraan wordt de demper bevestigd met twee bouten. Meten Het bepalen van de amplitude en frequentie van de balk en van de demper zal gebeuren met een laservibrometer. Deze meter heeft als voordeel dat er zonder contact gemeten kan worden. De plaatsing van de demper buiten de balk heeft ook hierbij een voordeel, namelijk dat er met een laser bundel gemeten kan worden aan de stand van de demper ten opzichte van de balk. Er zullen dus twee laserbundels gericht worden waarvan een op de bewegende massa van de demper en een op de balk. Door deze signalen van elkaar af te halen is de relatieve verplaatsing meetbaar. TU/e H7 Ontwerp van de balk 38

41 Conclusie De demping van een high-tech systeem moet vaak aan veel eisen voldoen. Wrijvingsdemping blijkt een goede manier om energie te dissiperen uit een systeem. In dit geval moet de demper aan strenge ontwerpeisen voldoen. Er is voor het Coulombse wrijvingmodel gekozen, omdat dit model nauwkeurig genoeg is om het probleem te beschrijven. De Harmonic Balance Method wordt gebruikt om de niet-lineaire wrijvingskracht te modelleren. Door middel van theoretische systeemmodellen is het duidelijk geworden dat met behulp van een tuned mass damper de beste demping verkregen kan worden. De maximale demping die behaald kan worden is echter afhankelijk van de interne demping van de balk. Er zijn enkele ontwerpen gemaakt waarmee het probleem op te lossen valt. Er is bewust nog geen uiteindelijk ontwerp gekozen. Een keuze maken voor het definitieve ontwerp in dit stadium van het ontwerpproces zou de bewegingsvrijheid beperken en daardoor consequenties meebrengen voor het uiteindelijke ontwerp. Daarnaast is een balk ontworpen die vergelijkbare eigenschappen heeft met de balk van het initiële probleem. Er is gekozen voor één aluminium extrusieprofiel met afmetingen van 100*80 [mm] met een wanddikte van 3 mm. De benodigde lengte voor een frequentie van 52 Hz is 1.05 m. Hierbij is een equivalente massa van 30 kg gekozen. Er is een testopstelling ontworpen om de balk inclusief demper te kunnen testen, dit wordt gedaan door de balk in excitatie te brengen door er eenmalig een klap op te geven, of om de balk te laten exciteren met behulp van een shaker. Met behulp van theoretische modellen en proefopstelling wordt er verwacht dat een demping van de amplitude met een factor drie haalbaar moet zijn. TU/e Conclusie 39

42 Literatuurlijst [1] I. López, J.M. Busturia, H. Nijmeijer, Energy dissipation of a friction damper, Journal of Sound and Vibration, 278(3), , (2004) [2] A.H. Slocum, E.R. Marsh, D.H. Smith, A new damper design for machine tool structures: the replicated internal viscous damper, ASPE Journal of Precision Engineering, 16(3), , (1994) [3] K. Popp, L. Panning, & W. Sextro, Vibration Damping by Friction Forces: Theory and Applications, Journal of Vibration and Control, 9(3-4), , (2003) [4] C.W. da Silva (2007). Vibration, Control, Damping and Design, Boca Raton, Florida: C&C Press, Taylor & Francis Group [5] A.A. Ferri, Friction Damping and Isolation Systems, Journal of Mechanical Design, Transactions of the ASME, 117B, , (1995) [6] I. Lopez Arteaga, Theoretical and experimental analysis of ring-damped railway wheels, PhD. Thesis, 1998, Universidad de Navarra [7] I. Lopez Arteaga, H. Nijmeijer, Prediction and validation of the energy dissipation of a friction damper, J. of Sound and Vibration, (2009),doi: /j.jsv [8] Blevins, R.D. (2001). Formulas for Natural Frequency and Mode Shape, Reprint Edition. Malabar, Florida: Krieger Publishing Company [9] B. Kuran, H. N. Özgüven, A modal superposition method for nonlinear structures, Journal of Sound and Vibration, 189, , [10] Catalogus voor schotelveren van het bedrijf Alcomex Veren B.V. [11] Catalogus voor aluminium profielen van bedrijf MCB TU/e Literatuurlijst 40

43 Symbolenlijst x,y,z Cartesische coördinaten [m] L Lengte [m] u Verplaatsing [m] X Amplitude [m] δ Deflectie [m] A Oppervlakte [m 2 ] V Volume [m 3 ] I Oppervlaktetraagheidsmoment [m 4 ] m Massa [kg] m Massa per eenheid lengte [kg/m] ρ Dichtheid [kg/m 3 ] E Elasticiteitsmodulus [Pa] σ Spanning [Pa] F Kracht [N] N Normaalkracht [N] k Veerconstante [N/m] w Verdeelde belasting [N/m] c Dempingsconstante [Ns/m] f Frequentie [Hz] ω Frequentie [rad/s] µ Wrijvingscoëfficiënt [-] ζ Dempingsratio [-] λ Parameter afhankelijk van randvoorwaarden balk [-] TU/e Symbolenlijst 41

44 Appendices A. Octrooienonderzoek Probleemomschrijving Er zijn twee verschillende problemen gegeven waarbij een adaptieve wrijvingsdemper voor ontworpen kan worden, in beide gevallen is er sprake van een passieve demper (dus geen elektronische regelaars/componenten). Verder moet er droge (Coulombse) wrijving gebruikt worden, dus bijvoorbeeld geen visco-elastische wrijving: 1. Een trillende balk met een te grote amplitude. De demper kan echter niet aan de vaste wereld verbonden worden, maar moet in een kleine ruimte binnenin de balk worden bevestigd. 2. Een cabine van een truck zit op het onderstel van een truck verbonden, maar daar worden te heftige trillingen doorgegeven. Een wrijvingsdemper moet ervoor zorgen dat de ongewenste heftige bewegingen uitgedempt worden, maar bepaalde nuttige bewegingen te voelen zijn voor de chauffeur als feedback voor het rijgedrag. Op dit moment gaat de voorkeur naar probleem 1 (welke met grote zekerheid gekozen gaat worden). Daarom is er alleen naar dit probleem gezocht. Zoeken op espacenet.com Hierbij is er eerst gezocht via uitgebreid zoeken door verschillende combinaties van de onderstaande woorden in te vullen onder woord(en) uit titel of samenvatting. Bij het zoeken zijn trefwoorden afgekapt met een * om ook termen die beginnen met deze afgekapte woorden mee te nemen. Zo zoek je met damp* zowel op damping, en damper. Zoektermen die het soort demper aangeven: - Adaptive friction damper Vervolgens kun je adaptive vervangen door de volgende synoniemen, waardoor je andere zoekresultaten zult krijgen: - Adjustable / variable Zoektermen die aangeven wat de functie van de demper is: - Vibration reduction (friction damper) / reduce vibrations (friction damper) Zoektermen die de verschillende toepassingsgebieden aangeven: - Earthquake control (in buildings) / earthquake friction damper - Reducing vibrations in turbine blades / turbine blades (friction) damper - Noise reduction of railway wheels / damper railway wheels - Automotive suspensions / adaptive (friction) damper automotive Zoektermen die de werking van de demper aangeven: TU/e Appendices 42

45 - Changing (of variable) normal force (friction) damper / force of displacement (friction) damper - Passive friction damper De gevonden artikelen hadden vaak dezelfde 'aanvrager. De naam van het bedrijf kan weer als nieuwe zoekterm worden opgegeven: - Sumitomo Metal Industries Limited - General Electric company Door verschillende combinaties van deze woorden te gebruiken met het oog op de opdracht en de gegeven codes (F16F7 en F16F15) kwamen de volgende ECLA codes naar voren, daarbij staat een kleine verantwoording: - F16F7/08 (droge wrijving, dus wrijving tussen platen is het eerste idee) - F16F7/08A (hij moet adaptief zijn, dus de normaalkracht moet aangepast kunnen worden) - F16F15/02 (vibraties tegengaan voor niet roterende elementen) - F16F15/129 (Deze is eigenlijk voor roterende elementen, maar dit kan ook nuttige informatie hebben) - F16F15/129A (Deze is eigenlijk voor roterende elementen, maar dit kan ook nuttige informatie hebben) - F16F13/02 (er kan zowel een counter massa met veren samen met een wrijving demper gebruikt worden) - B60G15/04 (Mechanische of dynamische demper in ophanging van automobielen) - E04B1/98A (Bescherming van gebouwen tegen aardbevingen met passieve dynamische massa demping systemen) - F01D5/26 (Dempen van trillingen in turbinebladen) Bij het zoeken met behulp van deze codes wordt wel bijvoorbeeld het zoekwoord friction* toegevoegd, om het aantal treffers te minimaliseren. Enkele interessante octrooien Er zijn verschillende interessante octrooien gevonden, de titel en het octrooinummer zullen gegeven worden. Hierbij wordt ook uitgelegd waarom er voor deze octrooien gekozen is. Er vallen al heel veel octrooien af omdat deze bijvoorbeeld actief geregeld zijn, niet adaptief zijn of aan de vaste wereld verbonden moeten worden. Dit wil niet zeggen dat de uitgekozen octrooien hier wel aan voldoen want onze eisen zijn erg specifiek. De octrooien hebben wel allemaal iets gemeen met het doel en samen zullen deze octrooien informatie leveren die gebruikt kan worden in het eindontwerp. TU/e Appendices 43

46 Damping device with adaptable friction WO (A1) Dit is een goed voorbeeld van hoe een adaptieve wrijving wordt toegepast. Het enige nadeel is dat het artikel verder in het Frans is, waardoor het moeilijk te begrijpen is of deze adaptiviteit actief of passief geregeld word Methods for damping stick-slip vibrations WO (A2) Dit is duidelijk een voorbeeld van ons probleem, in ieder geval wat voor ons de bedoeling is. Echter is dit niet echt een realisatie, vooral een theorie. De tekst is in het Duits en de gebruikte formules zijn ook in andere artikelen te vinden (in de literatuurstudie al gevonden). Friction damper for damping movement of structures KR (A) Een goed voorbeeld van een passieve wrijvingsdemper zonder vaste wereld, hij is echter niet adaptief. Adaptive-controlled vibration mount US (A) Deze demper is misschien niet zo goed toe te passen in een kleine ruimte, maar hij werkt wel met een verende massa en adaptieve wrijvingskracht (namelijk verschillende normaalkracht bij verschillende amplitude, precies wat wij ook willen). Het geheel is weer een passieve demper. Variable friction force damper US Door veranderingen in de geometrie van de glijdende oppervlakken zal de wrijvingskracht van deze demper passief worden aangepast aan de amplitude van de beweging. Railway Axle Friction Snubber Assembly US Door trillingen zullen de twee wrijvingsoppervlakken tegen elkaar gedrukt worden door de veren in het systeem. Hoe groter de uitwijking, hoe harder de veren de oppervlakken tegen elkaar drukken. Vehicle suspension system with rubber springs and friction damping CA A1 Deze demper is verbonden met de vaste wereld maar heeft wel een variabele normaalkracht. Een zelfde soort demper is terug te vinden in een Amerikaanse publicatie. Ook deze demper heeft dezelfde toepassing en eigenschappen. US A Self-tuning impact damper for rotating blades US (B1) Deze demper dempt trillingen uit een rotorblad van bijvoorbeeld een turbine. Hij is adaptief omdat hij zich aanpast aan de snelheid van de rotor. Omdat de demper klein is en in een rotorblad is geïntegreerd is hij erg interessant. TU/e Appendices 44

47 Arrangement for damping vibrations of structures or parts thereof EP (A1) Dit is ook een manier van wrijvingsdemping in het object zelf (in dit geval bouwwerken of soortgelijke structuren). Alleen in dit geval niet adaptief. Vibration insulator with dry friction damper RU (C1) Deze demper waarvan twee octrooien te vinden zijn is puur op droge wrijving gebaseerd. De demper is alleen niet adaptief en ook zeer waarschijnlijk niet erg slijtvast. Het andere octrooi met nummer RU (C1) lijkt sterk op het eerste octrooi Tunable stacked plate vibration isolator US (B1) Dit octrooi is een adaptieve demper, er zit door middel van een klem die de normaalkracht op een stapel schijven uitoefent een variabele in het systeem die ervoor zorgt dat deze demper adaptief is Vibration suppressing structure JP Wederom niet in een toegankelijke taal geschreven maar vrij direct toe te passen want de demper gebruikt droge wrijving en is adaptief, ook lijkt hij op de tekening redelijk gemakkelijk in te passen in een kleine ruimte. Improved frictionally damped suspension strut EP Deze adaptieve demper is aan de vaste wereld verbonden en heeft zijn toepassing in de automotive. De demper is adaptief door een of meerdere wiggen die voor de demping zorgen. Octrooi-inbreuk versus vrijheid van handelen Een geldig octrooi levert een tijdelijk monopolie op een product of een werkwijze op. Een octrooi is een verbodsrecht, op het overtreden van dit recht staan pittige sancties. Er kan echter een licentie verleend worden, waar natuurlijk wel voor betaald moet worden. Er kan veel geld verdiend worden met deze licenties, in plaats van geld kan er ook gekozen worden om samen te werken. Ook kan een octrooihouder ervoor kiezen om alle anderen te verbieden gebruik te maken van het octrooi. Voordat een product ontworpen wordt is het daarom handig om inzicht te krijgen in bestaande octrooien, zeker als het uiteindelijk ontwerp een al bestaand (en geldig) octrooi omvat. Een octrooi kan nadelig voor de ontwerper gebruikt worden wanneer het octrooi geldig is (de levensduur nog niet verlopen is) en het octrooi betrekking heeft op het land waar geproduceerd en verhandeld gaat worden. Om niet in de problemen te komen met octrooien van anderen, is het aan te raden om onder andere te kijken naar octrooien van concurrenten. Er wordt daarom naar concurrentie van ASML gezocht. Daarnaast wordt er ook onderzocht of er veel geoctrooieerd wordt in de wrijvingsdemper branche. Als laatste wordt een octrooi beschouwd dat in de buurt komt van het ontwerp. Hierbij wordt uitgelegd waarom er geen inbreuk op dat octrooi wordt gemaakt. De wrijvingsdemper die ontworpen moet worden om een amplitude te verkleinen in een machine van ASML, dient er voor de nauwkeurigheid van die machine te kunnen opschroeven. Het gaat hier om demping van een balk in een H-brug, die typisch gebruikt worden bij wafersteppers en scanners. TU/e Appendices 45

48 ASML is een Nederlands high-techbedrijf en een van de belangrijkste leveranciers van machines voor de halfgeleiderindustrie, in het bijzonder steppers en scanners. De voornaamste concurrenten van ASML zijn Canon en Nikon. Daarnaast is een concurrent dichter bij huis te vinden, namelijk het opkomende Mapper Lithography dat ook in Nederland gevestigd is. Aangezien er constant een strijd om het grootste marktaandeel plaatsvindt die in grote mate afhangt van de snelgroeiende technologie en innovatie, is er veel sprake van geheimhouding in deze branche. Specifieke dempers voor deze balk zijn dan ook niet gevonden. Wanneer er in Espacenet bij uitgebreid zoeken gezocht wordt op lithography damp* kunnen er enkele pantenten gevonden worden die de demping van onderdelen van een lithografie-machine regelen. Veel patenten betreffende lithografie zijn in handen van ASML. Er wordt wel degelijk geoctrooieerd in deze branche, al wordt er ook veel geheim gehouden. Specifieke productietechnieken - zoals de immersielithografie van ASML, waarmee tot nu toe de allerkleinste afbeeldingen gemaakt kunnen worden - worden zeker geoctrooieerd. Wanneer gezocht wordt naar de concurrenten op het gebied van de gebruikte toepassing van adaptieve wrijvingdempers, volgt hieruit dat er niet een specifieke grote concurrent is. Bijna alle octrooien die nuttig blijken te zijn, zijn eigendom van verschillende bedrijven. Wat opvalt is dat veel octrooien uit delen van Azië komen (in verband met de vele aardbevingen) en redelijk wat octrooien voor wrijvingsdempers uit de automobielsector komen. Omdat er niet direct een vergelijkbare wrijvingsdemper gevonden kan worden is er gezocht naar wrijvingsdempers. Twee octrooien die een vergelijkbaar aspect met een voorlopig ontwerp kunnen hebben zijn: US Variable friction force damper, door verandering van geometrie van de glijdende oppervlakken is dit een adaptieve wrijvingsdemper. Het octrooi heeft alleen betrekking op de Verenigde Staten (US), dus is geen gevaar voor ons ontwerp. Daarnaast is het octrooi ingegaan op 1993/07/20 (publicatiedatum van dit octrooi is ) en vervallen op 2003/02/04 volgens Espacenet. Dit wil zeggen dat er geen inbreuk gemaakt wordt op dit octrooi. Als dit octrooi wel nog geldig was, dan maakten wij alsnog geen letterlijke inbreuk. Omdat In de conclusies wordt gesproken over twee bewegende onderdelen met conische vorm die zorgen voor de adaptiviteit. Ons ontwerp baseert zich op een conische vorm, maar deze vormen bewegen niet: de beweging wordt gevolgd door een ander onderdeel. We zouden wel inbreuk kunnen maken op grond van equivalentie omdat de methode en resultaat hetzelfde is. Het enige verschil is dat we het conische oppervlak naar het andere deel verplaatsen. Omdat het octrooi niet geldig meer is gaan we hier niet dieper op in. Een ander octrooi met eenzelfde aspect als een voorlopig ontwerp is: US (A), Adaptivecontrolled vibration Mount. Een eenzelfde opzet van adaptiviteit is gekozen in een ontwerp. Dit octrooi is ingegaan op 1985/08/21 (publicatiedatum van dit octrooi is ) en vervallen op 1999/08/31. Verder had dit octrooi alleen betrekking op de Verenigde Staten (US) en Israel (IL). Er wordt geen inbreuk gemaakt op dit octrooi. Octrooistrategie De demper zal als een black box in lithografiemachines geplaatst worden. De werking van de demper is dan niet meer in een oogopslag te achterhalen. Door een octrooiaanvraag in te dienen, zal het ontwerp gepubliceerd worden. Hierin is voor iedereen de werking van de demper te achterhalen en kan men proberen om het bestaande ontwerp te verbeteren. Een van de ontwerpen is gebaseerd op een vervallen octrooi. Als voor dit ontwerp wordt gekozen, is het maar zeer de vraag of dat er een geldig octrooi aangevraagd kan worden. Want misschien heeft het ontwerp niets vernieuwend ten opzichte van het oudere ontwerp. TU/e Appendices 46

49 Als het tot een octrooiaanvraag komt, wordt er waarschijnlijk geprobeerd om de adaptiviteit van het ontwerp te beschermen. Dit komt omdat de adaptiviteit het belangrijkste element van het ontwerp is. Uit het octrooionderzoek kon geconcludeerd worden dat er maar weinig octrooien bestaan waarin de wrijvingsdemper adaptief is. Als er een nieuw mechanisme uitgevonden wordt wat voor de adaptiviteit zorgt, kan het octrooi waardevol zijn. In dat geval heb je een geheel nieuw concept in handen en moet er gekeken worden naar wat de meerwaarde van het ontwerp is ten opzichte van bestaande modellen. Andere vormen van bescherming Modelrecht: totaal onbelangrijk voor de wrijvingsdemper. De vormgeving is van ondergeschikte rang. Voor dit soort toepassingen gaat het puur om de werking van het apparaat. En omdat de wrijvingsdemper als een soort black-box in de machine gepositioneerd wordt, zullen mensen het apparaat niet eens onder ogen zien. De wrijvingsdemper wordt dus niet om zijn goede looks gekocht. Merkenrecht: de wrijvingsdemper zal verkocht worden aan bedrijven die machines ontwerpen en produceren. De demper zal niet in de winkel liggen om direct aan de consument te worden verkocht. Het imago wat mensen bij een bedrijf hebben kan van grote invloed zijn op hun koopgedrag. Veel geld investeren in een sterke bedrijfsnaam en logo is dus niet strikt noodzakelijk. Landen Als blijkt dat wrijvingsdempers in veel machines toepasbaar zijn en nuttig zijn voor de prestaties, kan er gekeken worden in welke Westerse landen het octrooi een meerwaarde heeft. In West-Europa worden veel machines ontwikkeld, dit kunnen High-Tech systemen zoals lithografiemachines zijn. Omdat ASML een groot gedeelte van die markt in handen heeft, is er veel potentie voor wrijvingsdempers. Vanwege de grote High-Tech sector in de VS en Canada is het investeren in een octrooi ook in deze landen waardevol. Hiernaast heeft ook Azië een grote semiconductor industrie, want marktleider ASML verkoopt hier de meeste machines. In Japan zitten de 2 grootste concurrenten van ASML gevestigd: Nikon en Canon. Door ook daar een octrooiaanvraag in te dienen, kunnen de concurrenten effectief worden gedwarsboomd. Er kan echter ook voor gekozen worden om de octrooiaanvragen uit te breiden met grootmacht China. China is een snel opkomende economie en produceert ontzettend veel producten voor de hele wereld. Door ook hier een octrooi aan te vragen kan voorkomen worden dat mensen in China je product kopiëren. Overwegingen octrooiaanvraag Er zal geen octrooi worden aangevraagd, ondanks dat er misschien een demper wordt ontworpen met een nieuw mechanisme voor de adaptiviteit. Een heikel punt is het controleren dat niemand zich vergrijpt aan het kopiëren van het product. Voordeel is dat de demper als een black box in een lithografiemachine wordt geplaatst. Nadeel is dat anderen dit ook tegen je kunnen gebruiken. Een lithografiemachine openbreken om te achterhalen ofdat de concurrent de demper heeft gekopieerd, is een dure aangelegenheid; de machines kosten namelijk tientallen miljoenen euro s per stuk. In dit geval is het geheim houden van het product dus een betere keus. Extra beschermingsmaatregelen op het product zijn overbodig. De design van de demper is ondergeschikt, het gaat volledig om de functionaliteit. Het merkenrecht is niet nodig omdat de demper niet direct aan de consument wordt geleverd. TU/e Appendices 47

50 B. De externe kracht werkend op de balk Wanneer de optimale verhouding tussen de wrijvingskracht en de kracht op de balk bekend is, moet er alleen nog gezorgd worden dat de kracht op de balk berekend wordt. Aan de hand van een eenvoudig model van de balk dat te zien is in figuur B.1, wordt de kracht analytisch bepaald voor elk mogelijke amplitude. Figuur B.1 Model van de balk De bewegingsvergelijking van dit systeem is beschreven in vergelijking (B.1): (B.1) Verder is de eigenmode van de balk bekend uit [8]: (B.2) Dit resulteert in een snelheid en versnelling zoals in vergelijking (B.3). Op het midden van de balk, ; (B.3), is de grootste mogelijke amplitude aanwezig. Aangezien de demper ongeveer in het midden van de balk bevestigd wordt, wordt er aangenomen dat er met als de maximale amplitude in het midden van de balk. Vergelijkingen (B.2) en (B.3) substitueren in (B.1) resulteert in (B.4). Wanneer er wordt uitgegaan van een harmonische excitatie, namelijk met als complexe amplitude beschreven in vergelijking (B.5). geldt, (B.4) (B.5) TU/e Appendices 48

51

52 Terugblik deel 1 Om een adaptieve wrijvingsdemper te ontwerpen, is in deel 1 gekeken naar de probleemomschrijving. Met behulp van een literatuurstudie wordt er meer inzicht verkregen in het probleem en de theorie daarachter. Uiteindelijk worden hieruit de ontwerpeisen vastgesteld. Met behulp van de opgedane kennis worden er twee modellen vergeleken. De beste mogelijke uitvoering wordt gekozen: de tuned mass damper. Met behulp van de theoretische modelvorming is het mogelijk een model te maken waarmee optimale demping verkregen wordt. Dit hangt af van de massa van de balk, de massa van de demper, de interne demping van de balk en de frequentieratio. Met behulp van deze parameters kan een wrijvingsdemper ontworpen worden. De volgende stap in het ontwerpproces is het daadwerkelijk ontwerp van de demper. Verschillende uitvoeringsvormen met elke zijn voor- en nadelen worden besproken. De bedoeling is om een uiteindelijk ontwerp te vinden die aan alle ontwerpeisen voldoet. Daarbij moeten goede constructietechnische oplossingen gevonden worden voor alle mogelijke problemen. Dit uiteindelijk ontwerp zal in deel 2 van het verslag nader toegelicht worden. Aangezien de oorspronkelijke balk door ASML niet beschikbaar werd gesteld vanwege geheimhouding, moet er een vervangende balk vervaardigd worden met vergelijkbare eigenschappen. Een opzet voor het ontwerp van de balk en de bijbehorende testopstelling is gemaakt. Enkele aanpassingen zullen in deel 2 worden beschreven. TU/e Terugblik deel 1 50

53 Samenvatting deel 2 Met behulp van verschillende alternatieven zoals weergegeven in deel 1 is er een definitief ontwerp ontstaan. De belangrijkste problemen en de constructieve oplossing daarvan worden besproken. Bij het zoeken naar de constructieve oplossing van het totale probleem, is het mogelijk om verschillende problemen apart op te lossen. Deze verschillende oplossingen zijn daarna gecombineerd tot één systeem. Het prototype is in een aantal opzichten verschillend aan dat van het definitieve ontwerp voor ASML, omdat er bij het prototype een aantal andere eisen gesteld worden. Om inzicht te krijgen in de kosten die nodig zijn om de demper te vervaardigen wordt er een begroting gemaakt. De begroting zal afhangen van materiaalkosten en productiekosten. De begrootte kosten voor het uiteindelijk ontwerp voor ASML bedragen ongeveer 3000,00. De ongedempte testopstelling wordt behandeld. De gebruikte balk wordt hierbij beschouwd, ook wordt besproken hoe de testopstelling tot stand is gekomen. Met deze testopstelling zijn experimenten uitgevoerd met de twee ongedempte balken. Daarnaast wordt behandeld hoe er gemeten is en met welke hulpmiddelen. Er worden enkele experimenten met de demper uitgevoerd om de werking van de demper te achterhalen. De conclusie uit de experimenten en de terugkoppeling hiervan met het model, is dat er een passieve demper is ontworpen en gefabriceerd die werkt volgens het principe van droge wrijving, robuust is over een bepaald frequentiegebied en waarmee een goede amplitudereductie bereikt kan worden. Bovendien is het mogelijk gebleken om met het opgesteld theoretisch model de werking van de demper te voorspellen. De adaptiviteit van de demper is echter nog niet bewezen. Hoewel dit project gebaseerd is op droge wrijvingsdemping, wil dat niet zeggen dat er geen goede alternatieven zijn. Er wordt een alternatief gepresenteerd dat werkt met behulp van viskeuze afschuiving. Wanneer de manier van dempen niet belangrijk is, kan er meer onderzoek gedaan worden naar interne viskeuze demping Door de demper verder door te meten kan de precieze werking van de demper bepaald worden. Met deze experimenten kunnen specifieke verbeterpunten aangegeven worden. Ook kan er meer onderzoek gedaan worden naar de warmteontwikkeling en slijtage door wrijving en de invloed die dat heeft op de werking van de demper. Om de stofdichtheid te garanderen moet er onderzoek gedaan worden naar materiaal die zuurstof doorlaat, maar fijnstof niet. Om de demper nauwkeuriger af te kunnen stemmen aan de eisen van ASML is meer informatie over het te dempen systeem nodig. Het ontwerpen van een wrijvingsdemper om trillingen in een systeem te verminderen blijkt goed te realiseren binnen de gewenste ontwerpeisen. Bovendien is het mogelijk gebleken om met het opgesteld theoretisch model de werking van de demper te voorspellen, wat het ontwerpen en nauwkeurig afstellen van andere dempers mogelijk maakt. De adaptiviteit van de demper is nog niet bewezen, hiervoor is verder doormeten van de demper noodzakelijk. TU/e Samenvatting deel 2 51

54 Inhoudsopgave deel 2 H8 Inleiding deel 2 53 H9 Uitwerking gekozen ontwerp De adaptieve wrijvingsdemper voor ASML 55 H10 Het prototype Het prototype De assemblage van de adaptieve wrijvingsdemper 71 H11 Begroting ASML 74 H12 Testopstelling Kokerprofiel Onderdelen testopstelling Experimenten ongedempte testopstelling kosten testopstelling 86 H13 Experimenten demper Experiment Experiment Experiment Terugkoppeling 98 H14 Alternatief interne viskeuze demping 103 Aanbevelingen 104 Conclusie 106 Literatuurlijst 107 Symbolenlijst 108 Appendices 109 A. Technische tekeningen ASML 109 B. Technische tekeningen prototype 114 C. MATLAB-script: bepalen dempingscoëfficiënt ζ ongedempte testopstelling 124 D. MATLAB-script: bepalen dempingscoëfficiënt ζ gedempte testopstelling 127 TU/e Inhoudsopgave deel 2 52

55 H8 Inleiding deel 2 De bedoeling van dit project is om een demper te ontwerpen die de amplitude van de trilling van een balk verkleint. De mogelijkheden zijn beperkt, aangezien de demper niet aan de vaste wereld kan worden bevestigd wegens de werking van de machine. De oplossing moet in de balk zelf gezocht worden. Daarnaast moet er nog aan andere specifieke eisen voldaan worden, aangezien het om een high-tech systeem gaat. In deel 2 van dit verslag zal het gekozen ontwerp nader toegelicht worden in hoofdstuk 9, dit is het uiteindelijke ontwerp dat volgt op de mogelijke ontwerpen uit deel 1. Het ontwerp wordt gesplitst in het ontwerp voor ASML in hoofdstuk 9 en het prototype voor de testopstelling in hoofdstuk 10. In hoofdstuk 11 wordt een begroting gepresenteerd. In hoofdstuk 12 wordt de ongedempte testopstelling behandeld, deze verschilt enigszins van de testopstelling gepresenteerd in deel 1 van dit verslag. Hoofdstuk 13 behandelt het gehele testplan van de demper, inclusief de testresultaten en de terugkoppeling op het theoretische model. Het gehele theoretische model is te vinden in deel 1 van dit verslag. In hoofdstuk 14 wordt er een alternatief gepresenteerd. Uiteindelijk worden er enkele aanbevelingen gedaan en volgt er een conclusie. TU/e H8 Inleiding deel 2 53

56 H9 Uitwerking gekozen ontwerp In hoofdstuk 6 zijn er verschillende ontwerpeisen gesteld aan de te maken demper. Bovendien zijn er een aantal ontwerpen met bijbehorende voordelen en nadelen genoemd. Met behulp van deze verschillende alternatieven is er uiteindelijk een definitief ontwerp ontstaan. Hoewel het ontwerp gedetailleerd besproken zal worden vanaf paragraaf 9.1, zijn de belangrijkste problemen en de constructieve oplossingen daarvan kort aangegeven in tabel 9.1. Tabel 9.1 De problemen en constructieve oplossingen beknopt weergegeven Probleem Constructieve oplossing Behalen van maximale massa in een ruimte van Gebruik van wolfraam. Bovendien een zo groot 30*20*250 [mm]; maar niet meer dan 1.8 kg. mogelijke bewegende massa overhouden door andere componenten zo klein mogelijk te houden. Stofvrije afsluiting De kopse kanten van de demper afsluiten met materiaal dat wel zuurstof doorleidt, maar geen fijnstof. Eigenfrequentie van de demper gelijk aan die van Stijfheid van de verende elementen precies de te dempen balk. Wrijvingsoppervlakken Adaptief systeem Compensatie eigengewicht Mogelijkheid om de normaalkracht te veranderen Rechtgeleiding Maakbaarheid afstemmen met minimale hysteresis. Twee platen die langs elkaar heen wrijven, symmetrisch en op de kopse kanten van de massa. Wrijving vindt plaats op de lijn door het zwaartepunt. Het gebruik van vier adaptieve veren die een grotere normaalkracht geven bij een grotere amplitude. De helft van de benodigde stijfheid wordt gebruikt om de zakking van het eigengewicht op te heffen, zodat het adaptief systeem minimale voorspanning heeft in rust. Het is mogelijk om de adaptieve veren te vervangen door veren met een ander ontwerp en andere eigenschappen Wrijving vindt plaats op de lijn door het zwaartepunt. Bovendien is alles symmetrisch uitgevoerd. Hoofdzakelijk gebruik van draadvonken of lasersnijden om goede toleranties te behalen. TU/e H9 Uitwerking gekozen ontwerp 54

57 9.1 De adaptieve wrijvingsdemper voor ASML Bij het zoeken naar de constructieve oplossing van het totale problemen, is het mogelijk om soms verschillende problemen apart op te lossen. Deze verschillende oplossingen moeten daarna gecombineerd worden naar één systeem. Het is in veel gevallen echter niet mogelijk om de keuze van een bepaalde oplossing volledig te verantwoorden zonder dat er met andere oplossingen rekening gehouden wordt. Toch zal er geprobeerd worden deze verschillende oplossingen apart te bespreken, zodat er geen enkel detail van het totaal over het hoofd gezien wordt. In figuur 9.1 wordt het uiteindelijke ontwerp getoond in een schematische weergave, waarvan de verschillende componenten apart besproken zullen worden. De technische tekeningen van het uiteindelijke ontwerp zijn te vinden in Appendix A. Figuur 9.1 Het ontwerp van de definitieve adaptieve wrijvingsdemper De stofvrije afsluiting Het is mogelijk om het geheel te omhullen in een afgesloten doos van bijvoorbeeld metaalfolie. De meeste effectieve manier om echter zoveel mogelijk ruimte en materiaal over te houden in zowel de breedte als de hoogte (met afmetingen van 30x20 [mm]) is alleen het afsluiten van de ruimte waar er voldoende ruimte is. Zoals bij de bespreking van de bewegende massa zal volgen, is er genoeg ongebruikte ruimte in de lengterichting. De keuze voor de stofvrije afdichting valt op het afdichten van de kopse kanten van de ruimte. Omdat het systeem werkt via het principe van droge wrijving, vindt er slijtage plaats op de wrijvingsoppervlakken. Door slijtage vindt er oxidatie plaats op de wrijvingsoppervlakken waardoor zuurstof uit de lucht wordt onttrokken. Wanneer het dempersysteem volledig afgesloten wordt, is het mogelijk dat de zuurstof in de loop der tijd opraakt en de adaptieve wrijvingsdemper vastloopt door gebrek aan zuurstof. Een goede oplossing voor dit probleem is het gebruik van een afdichtingzeef die wel zuurstof doorlaat maar geen ongewenste stofdeeltjes. TU/e H9 Uitwerking gekozen ontwerp 55

58 Er is echter meer onderzoek nodig naar deze oplossing, wanneer dit ook echt toegepast gaat worden. In het kader van dit project is daar verder geen aandacht aan besteed. De bewegende massa (zie Appendix A.2) Volgens hoofdstuk 5 volgt uit het theoretische model dat er een zo groot mogelijke massa wenselijk is voor de demper in de kleine ruimte van 30x20x250 [mm]. Er is echter wel een eis die zegt dat de massa maximaal 1.8 kg mag zijn. Wanneer volledig gebruik gemaakt wordt van deze ruimte met staal als materiaal, zou er maar 1.2 kg gebruikt kunnen worden. Er is een materiaal nodig met een hogere dichtheid; een geschikt materiaal hiervoor is wolfraam. Wolfraam heeft ongeveer een 2.5 keer zo hoge dichtheid en een 2 keer zo hoge elasticiteitsmodulus. Met wolfraam is de maximale massa van 1.8 te halen, wanneer het adaptieve wrijvingssysteem niet teveel ruimte in beslag neemt. Wolfraam is echter zo stijf dat spaanbewerkingen niet eenvoudig meer toe te passen zijn. De bewerkingen die nodig zijn zullen met behulp van draadvonken of eventueel lasersnijden uitgevoerd moeten worden. De definitieve bewegende massa met hoofdafmetingen van 28x18x204 [mm] heeft een massa van 1.77 kg. Waardoor de totale massa net onder de 1.8 kg gehouden wordt. In de breedte en de hoogte is er gekozen voor zoveel mogelijk materiaal. Daarom is er aan elke kant alleen rekening gehouden met een maximale amplitude van 1 mm. Op de kopse kanten is allereerst extra materiaal weggelaten voor de platen die het geheel stofvrij houden en ook zorgen voor extra bewegingsvrijheid. Bovendien is het mogelijk om een maximale lengte van 246 mm te hebben, hierdoor zal de massa 2.18 kg worden en niet meer aan de eisen voldoen. Wanneer er echter toch een hogere massa nodig blijkt dan 1.8 kg om de demping verder te verbeteren, zou deze maximaal 2.18 kg kunnen worden. De inkepingen die te zien zijn op de kopse kanten zijn gemaakt voor het adaptieve wrijvingssysteem; deze worden bij de wrijvingsoppervlakken en het adaptieve systeem verder beschreven. De nulstandveren (zie Appendix A.2) Om ervoor te zorgen dat de eigenfrequentie van de demper gelijk is aan die van de te dempen balk, moet er een eigenfrequentie van 52 Hz behaald worden. Er wordt in dit geval uitgegaan van een starre bewegende massa, waarbij de stijfheid uit verende componenten gehaald moet worden. De benodigde stijfheid is te bepalen met behulp van vergelijking (9.1), waarin ω de eigenfrequentie in [rad/s] voorstelt, k de stijfheid in [N/m] en m de massa in [kg]. (9.1) Omdat de bewegende massa verandert met verschillende oplossingen voor de stijfheid en het adaptieve wrijvingssysteem, is dit een iteratief proces. De uiteindelijke benodigde stijfheid met een massa van 1.77 kg, is 1.89*10 5 N/m. Omdat het systeem dat zorgt voor de adaptiviteit ook een stijfheid in de bewegingsrichting genereert, is het nodig om de nulstandveren maar een deel van de benodigde stijfheid te geven. In dit geval is er gekozen voor de helft van de stijfheid, maar wanneer dit voor een andere toepassing (bijvoorbeeld bij het opschalen of bij veranderende eigenfrequentie) moet veranderen, is het mogelijk deze aan te passen. Bovendien is er gekozen voor een zoveel mogelijk symmetrisch systeem en zal dit ook toegepast worden op de nulstandveren. De hoofdreden waarom er gekozen wordt voor de nulstandveren is omdat er zo geen voorspanning ontstaat wanneer er nog geen trilling plaatsvindt. Het eigengewicht van de bewegende massa resulteert in een zakking. Deze zakking zou dan zorgen voor een vergroting van de normaalkracht omdat er ten TU/e H9 Uitwerking gekozen ontwerp 56

59 opzichte van de nulstand een amplitude is. Dit moet natuurlijk niet gebeuren als er geen trilling is, deze hogere normaalkracht zou dan kunnen zorgen voor stick. De oplossing voor dit probleem zijn extra verende elementen, die de zakking van de massa op zich nemen. Deze zakking door het eigengewicht is in dit geval met de nulstandveren 0.18 mm. Het adaptieve systeem kan dan na deze zakking geassembleerd worden, om ervoor te zorgen dat normaalkracht in de ruststand nagenoeg nul is. Deze extra veren worden geconstrueerd op basis van elastische deformatie, omdat er met een oplossing berustend op elastische deformatie zoveel mogelijk spelingsvrij en wrijvingsloos geconstrueerd wordt. Het is namelijk de bedoeling dat er alleen wrijving optreed waar dat ook gewenst is, namelijk op de wrijvingsplaten. Er zijn twee verschillende oplossingen die beide goed uitgevoerd zouden kunnen worden. De eerste oplossing is een verende spriet. In dit geval worden er drie sprieten, om statisch bepaald te construeren, aan de massa bevestigd door van beide kanten gaten te boren in de massa deze dan precies in het midden van de massa vast te klemmen. Het nadeel van deze oplossing is alleen dat deze sprieten in de zijkant stijf bevestigd moeten worden. De zijkanten van de balk zijn precies de plaatsen waar dit niet kan, omdat daar ook een luchtlagering aanwezig is. Het zou wel mogelijk zijn om extra wanden te maken, dit zou alleen de beschikbare ruimte van 30 mm nog verder verkleinen, waardoor constructieruimte en de bewegende massa ook weer kleiner wordt. De tweede oplossing, die als definitieve oplossing is gekozen, is het gebruik van bladveren aan beide kanten van de bewegende massa. Deze bladveren kunnen uit het blok van de bewegende massa gedraadvonkt worden om te zorgen dat er geen hysteresis plaats kan vinden. Er wordt dan ook rekening gehouden met een maximale amplitude van 1 mm. Deze bladveren zouden dan bijvoorbeeld met bouten bevestigd kunnen worden aan de bovenkant (eventueel onderkant) van de balk, daar waar er wel plaats is voor extra bevestiging. Elke bladveer moet uiteindelijk een stijfheid krijgen van 4.7*10 4 N/m. Met behulp van vergelijkingen (9.2) en (9.3) kan de stijfheid k ingesteld worden met de elasticiteitsmodulus E, de breedte b, de hoogte h en de lengte L van de bladveer. (9.2) (9.3) Omdat de veren ook vervaardigd worden uit de bewegende massa van wolfraam met een elasticiteitsmodulus van 411 GPa, is de breedte 28 mm. Met de keuze van een hoogte van 0.5 mm, volgt dat er een lengte nodig is van mm. Deze bladveren worden met twee M1 bouten bevestigd aan de balk, waarbij de hartlijnen van de gaten 20 mm uit elkaar liggen. Figuur 9.2 geeft een duidelijker beeld van de nulstandveren, voor de precieze afmetingen, zie Appendix A.2. TU/e H9 Uitwerking gekozen ontwerp 57

60 Figuur 9.2 De nulstandveren De wrijvingsoppervlakken (zie Appendix A.3 en A.4) Er is gekozen om wrijving op te laten treden tussen twee verschillende wrijvingsplaten, waarbij er één kant aan de massa wordt gelijmd en één kant aan de vaste wereld wordt bevestigd. Door speciale wrijvingsplaten te gebruiken, kan er gezorgd worden voor de gewenste wrijvingscoëfficiënt. Deze is namelijk moeilijk te voorspellen en zal daarom experimenteel geverifieerd moeten worden. De uiteindelijke uitgeoefende wrijvingskracht is namelijk afhankelijk van zowel de wrijvingscoëfficiënt als de normaalkracht. Het verwisselen van wrijvingsplaten wordt zo eenvoudiger. Ook kan er zo gekozen worden voor wrijvingsoppervlakken die minder gevoelig zijn voor slijtage, zodat het product een lange levensduur heeft. Bij de uitvoering van de wrijvingsplaten wordt er bovendien twee keer gebruikt gemaakt van symmetrie. Het wordt zowel op beide kopse kanten gebruikt om ervoor te zorgen dat er een zo recht mogelijke beweging plaatsvindt. Ook wordt het op elke kopse kant twee keer uitgevoerd. Zo wordt ervoor gezorgd dat, hoewel er een veranderende normaalkracht is, er toch geen resulterende kracht werkt op de bewegende massa die een andere trillingsvorm kan stimuleren. Door twee inkepingen te maken aan beide kanten van de bewegende massa, is het mogelijk om tussen de inkepingen het adaptieve systeem te plaatsen. Het is nu slim om de wrijving plaats te laten vinden op de middelste overgebleven vin. Hierdoor wordt ervoor gezorgd dat de wrijvingskracht zo dicht mogelijk op de lijn van het zwaartepunt van de massa ligt. Dit komt zowel de krachtdoorleiding, als de rechtgeleiding van de totale massa ten goede. Om de vin kan dan met weinig ruimte symmetrische wrijvingsplaten geconstrueerd worden die bovendien aan de boven en onderkant van de balk bevestigd kunnen worden. De inkepingen worden voor het uiteindelijke ontwerp gekozen op 11 mm diep (dit is genoeg voor het adaptieve systeem) en over de volledige hoogte (18 mm) van de bewegende massa. Zo kan het adaptieve wrijvingssysteem op het midden van de bewegende massa werken en is er sprake van symmetrie. Ook is het eenvoudig om deze vormen uit het blok wolfraam te draadvonken. Door de middelste uitstekende vin zowel boven als onder te verlagen, kunnen hier de wrijvingsoppervlakken die aan de vaste wereld zitten, bevestigd worden. Deze hebben dan een lengte van 10 mm waar de wrijving op kan plaatsvinden. Deze wrijvingsoppervlakken zitten zowel boven als onder aan blokken bevestigd, die aan de balk bevestigd kunnen worden met zowel boven als onder twee M1 bouten. Om het geheel hysteresis vrij te houden, worden deze componenten uit één stuk materiaal gevonkt, weer uit het gewenste materiaal om de gewenste wrijvingscoëfficiënt te behalen. TU/e H9 Uitwerking gekozen ontwerp 58

61 Het materiaal is staal geworden, zowel op de bewegende massa als de oppervlakken aan de vaste wereld. De wrijvingscoëfficiënt wordt geschat op 0.5. Toevoeging van een smeermiddel kan deze waarde sterk verlagen, dit kan echter ook viskeuze demping gaan veroorzaken. Een andere manier om het metaal te beschermen en om een gewenste wrijvingscoëfficiënt te bewerkstelligen, is het toevoegen van een coating op de wrijvingsoppervlakken. De wrijvingsplaat die op de massa wordt gelijmd is een eenvoudige plaat, welke ook duidelijk te zien is in figuur 9.1. Het wrijvingsoppervlak dat bevestigd wordt aan de balk is weergegeven in figuur 9.3. Figuur 9.3 Wrijvingsoppervlak balk Het adaptieve systeem (zie Appendix A.5) De eigenschappen waar het adaptieve systeem aan moet voldoen is dat het systeem een vergroting van de amplitude moet kunnen waarnemen. Wanneer dit gebeurt, moet de normaalkracht toenemen. Ook moet het systeem back-driveable zijn, dit wil zeggen dat de normaalkracht ook weer af moet nemen wanneer de amplitude afneemt. Bovendien moet het adaptieve systeem zowel bij een beweging naar boven als bij een beweging naar beneden werken om de balk zo snel mogelijk uit te dempen. Verder moet het systeem klein zijn en in deze kleine ruimte te assembleren zijn. De uitkomst is te zien in figuur 9.6 en is een veer. Voor de demper zijn er vier nodig, aan elke kant twee. Dit systeem is ontstaan uit de ontwerpen in paragraaf 6.4 en 6.5, omdat deze oplossing het beste aan de bovenstaande eisen voldoet. In figuur 9.4 is er eerst een schematische weergave van dit systeem geschetst, wat uiteindelijk, na het verbeteren van verschillende problemen resulteert in het uiteindelijke ontwerp. Het adaptieve systeem is hierin met de dikke lijnen aangegeven, De belangrijke parameter hierbij is de normaalkracht N loodrecht op het wrijvingsoppervlak. TU/e H9 Uitwerking gekozen ontwerp 59

62 Figuur 9.4 Schematische waargave van het adaptieve systeem Definitief concept van het adaptieve systeem Een voorbeeld van een verbetering is bijvoorbeeld de symmetrie, in figuur 9.4 is de stijfheid van de wrijvingsbladveren (blauw) bij een beweging x naar boven niet gelijk aan die van een beweging naar beneden. Een ander voorbeeld is de vorm van de adaptieve veren. Wanneer er gewoon twee rechte bladveren gebruikt worden, zoals in figuur 9.4, bleek de stijfheid zowel in de bewegingsrichting als in de normaalkracht richting te hoog. Door een aanpassing te maken die te zien is in figuur 9.5 is dit probleem verholpen. In dit figuur is er één zijde geschetst van de adaptieve veer, waarbij bladveer G evenwijdig loopt met de bewegingsrichting x. De vervormde toestand is bovendien zichtbaar gemaakt in via de gestippelde zwarte lijn. Analytische berekening Voor deze oplossing als adaptieve veer is het mogelijk om analytische voorspellingen te doen om zowel de stijfheid van de veer in de bewegingsrichting als de grootte van de normaalkracht in te stellen. De stijfheid in de bewegingsrichting wordt bepaald door de loodrechte component van bladveer L. Deze stijfheid is te vinden in vergelijking (9.4). (9.4) Waarbij E de elasticiteitsmodulus voorstelt, L en A L de lengte en oppervlakte van bladveer L en θ de hoek aangegeven in figuur 9.5. De oppervlakte A is het product van de dikte t en de breedte b van de desbetreffende bladveer. TU/e H9 Uitwerking gekozen ontwerp 60

63 Figuur 9.5 De verbetering van het adaptieve systeem Er wordt voor de versimpeling van de analytische berekening aangenomen dat de bladveer G de volledige normaalkracht op zich neemt. Hierbij wordt bovendien aangenomen dat de zijdelingse stijfheid van bladveer G zodanig veel kleiner is dan de axiale stijfheid van bladveer L, zodat er bij een beweging x de lengte van bladveer L ongewijzigd blijft. De normaalkracht op het vlak is dan te schatten met vergelijking (9.5), waarbij staat voor de buigstijfheid van bladveer G. (9.5) De wrijvingskracht Nu de gewenste stijfheid voor een enkele veer bekend is en de ideale normaalkracht uit het theoretische model (hoofdstuk 5) te halen is, kan er een veer ontworpen worden. Omdat er vier veren gebruikt worden die allemaal parallel staan, is er een stijfheid in de bewegingsrichting gewenst van 2.4*10 4 N/m per veer. Bovendien volgt er uit het theoretische model dat er in het optimale geval een wrijvingskracht nodig is ter grootte van 0.3 N, met de aanname dat de ideale wrijvingskrachtverhouding op 0.1 ligt en de demping een grootte heeft van 0.1 %. Dit houdt in dat wanneer de wrijvingscoëfficiënt precies bekend is, de normaalkracht ook bekend is. Met de geschatte wrijvingscoëfficiënt van 0.5 levert dit een ideale normaalkracht op van 0.6 N. Omdat de wrijvingscoëfficiënt echter erg kan verschillen en het zelfs mogelijk is dat deze niet gelijk is over het hele wrijvingsoppervlak, blijft er een afwijking in de normaalkracht mogelijk. Volgens het theoretische model, zie hoofdstuk 5, is de optimale wrijvingskracht zeer laag. Wanneer deze wrijvingskracht echter iets hoger uit zou vallen zal de demping niet optimaal zijn, maar zal de demper nog steeds naar behoren werken. Een te lage wrijvingskracht heeft echter grotere gevolgen; de normaalkracht zal hoger gekozen worden als voorzorgsmaatregel voor de onnauwkeurigheden die optreden bij het fabriceren van de demper. Ontworpen adaptieve veer Met behulp van de vergelijkingen (9.4) en (9.5) zijn er verschillende veerontwerpen gemaakt. Omdat er verschillende aannamen gemaakt zijn, moet de theorie wel bewezen worden. Daarom wordt er gebruik TU/e H9 Uitwerking gekozen ontwerp 61

64 gemaakt van een eindige elementen pakket om de veer te verfijnen. Er is gestreefd naar een veerontwerp dat zowel voor de ASML toepassing als voor het prototype te gebruiken is. Deze veer kan namelijk getest worden om de berekeningen te verifiëren. Omdat deze adaptieve veer in eerste instantie voor het prototype is ontworpen, zal deze volledige uitwerking beschreven worden bij de uitleg en opbouw van het prototype. Er moet ook vermeld worden dat de interne demping van de trillende balk van ASML onbekend is en dat dit veerontwerp pas optimaal bepaald kan worden voor ASML wanneer deze waarde bekend is. In het vervolg moet deze waarde aangenomen worden. Ook dit is een reden dat de afmetingen die verantwoordelijk zijn voor de stijfheid en de normaalkracht, gelijk zijn aan de veer van het prototype. In figuur 9.6 wordt deze veer getoond. Figuur 9.6 De adaptieve veer Hierbij is er in figuur 9.6 bovenaan een blokje gemaakt waar de adaptieve veer bevestigd wordt aan de bewegende massa doormiddel van epoxylijm. Dit blokje heeft een hoogte gekregen die ervoor zorgt dat deel G van de bladveer vrij blijft van de bewegende massa tot een uitwijking van 1 mm. Ook zorgt dit blokje ervoor dat de veer precies past in de daarvoor bestemde ruimte, met zo min mogelijk voorspanning. Met breedte w is de effectieve lengte van G te wijzigen. Verder is er aan de onderkant van de adaptieve veer aan beide kanten een stuk van 1 mm over. De veer is hiermee bevestigd aan de wrijvingsoppervlakken die aan de balk bevestigd zitten. Dit gebeurt wederom met epoxylijm. Er is bovendien een radius in bij de hoeken gekozen die gelijk is aan de dikte van de veer, namelijk 0.1 mm. Deze veer zal ook door middel van draadvonken vervaardigd moeten worden, om ervoor te zorgen dat de aangegeven maten gehaald worden. Een verandering van de lengte van delen van de bladveer, vooral deel G, heeft een namelijk een grote invloed op de stijfheid en normaalkracht die uitgeoefend wordt. TU/e H9 Uitwerking gekozen ontwerp 62

65 H10 Het prototype Het prototype Het prototype is in een aantal opzichten verschillend aan dat van het definitieve ontwerp voor ASML, omdat er bij het prototype een aantal andere eisen gesteld worden. Allereerst is er de harde eis van het maximale budget; zoals er in de begroting (hoofdstuk 11) vooral te zien is, is een stuk wolfraam niet goedkoop. Bovendien zullen de kosten boven het budget uitrijzen door hoofdzakelijk gebruik van draadvonken als bewerkingstechniek. De geringe grootte van de onderdelen vermoeilijken het nauwkeurig assembleren van het totale product. Verder is het bij het prototype belangrijk dat de demper goed toegankelijk is, goed te assembleren is en er nog goed gemeten kan worden. Hiervoor zijn ook aanpassingen nodig. Als laatste moet het nog mogelijk zijn om sommige eigenschappen van de demper eenvoudig aan te passen, mocht het systeem niet volledig naar behoren werken. Bovenstaande eisen hebben tot een prototype geleid dat nog steeds werkt volgens hetzelfde principe, maar er enigszins anders uitziet. Dit prototype is te zien in figuur 10.1, figuur 10.2 en Appendix B.1; wederom zullen alle componenten apart toegelicht worden en zijn de technische tekeningen beschikbaar in Appendix B. Figuur 10.1 Exploded view van het prototype TU/e H10 Het prototype 63

66 Figuur 10.2 Het prototype op de balk De ophangpunten (zie Appendix B.3) De demper wordt aan de balk bevestigd met twee platen met een dikte van 5 mm om ervoor te zorgen dat de trilling van de balk doorgegeven wordt aan de demper. Bovendien is het zo niet nodig om een omhulsel om de demper heen te maken, omdat de wrijvingsoppervlakken en de nulstandveren nu aan deze ophangpunten bevestigd kunnen worden. De nulstandveren zijn nu aan de onderkant van de bewegende massa bevestigd, zodat de adaptieve veren nog goed zichtbaar zijn, hiervoor zijn er twee sleuven onderaan de ophangpunten gemaakt van 2 mm hoog. Verder steunen de ophangpunten nog op twee revetten die ervoor zorgen dat er zo min mogelijk hysteresis optreed bij de bevestiging van de demper aan de balk. De bevestiging aan de balk gebeurt door middel van vier M3 bouten. Hiervoor zijn er gaten getapt in de aluminium balk, precies in het hart van de zijwanden. Hierdoor kan het systeem stijf verbonden worden met de balk, zodat de trilling goed doorgeleidt wordt. Bovendien is het op deze manier mogelijk om de adaptieve demper eenvoudig te monteren en demonteren. De gaten staan hart op hart op een afstand van 245 mm; de ophangpunten met een dikte van 5 mm zorgen er voor dat het totale systeem precies een lengte van 250 mm heeft. Figuur 10.3 Ophangpunt Figuur 10.4 Ontwerp ophangpunt TU/e H10 Het prototype 64

67 De bewegende massa (zie Appendix B.2) De bewegende massa is bij het prototype niet van wolfraam gemaakt, maar van staal (St-37). Er is gekozen voor staal, omdat het product dan goedkoop is en bovendien gemakkelijk te bewerken is. Deze bewerkingen zijn nu zelf uit te voeren, waardoor bewerkingen door een extern bedrijf niet nodig zijn. Omdat er met de materiaalkeuze van staal het gewicht van 1.8 kg niet meer gehaald kan worden en om ervoor te zorgen dat het totale product eenvoudiger te maken en te assembleren is, is ervoor gekozen om de afmetingen in zowel de lengte als de breedte te vergroten. Deze vergroting zou betekenen dat de eis van de maximale afmetingen van 30x20x250 [mm] niet meer behaald wordt; dit wordt echter op de volgende manier gerechtvaardigd: Om ervoor te zorgen dat de massa van de bewegende massa van staal gelijk is aan dat van wolfraam, mogen de afmetingen van de breedte en de hoogte maximaal vermenigvuldigd worden met een factor f g van 1.56, deze factor volgt uit vergelijking (10.1). (10.1) De definitieve afmetingen van de bewegende massa van het prototype zijn 37.5x25x238 [mm]. Met deze afmetingen is het eenvoudiger om het prototype te maken, maar blijven de afmetingen in verhouding binnen de grenzen van het originele ontwerp voor ASML. De inkepingen op de kopse kanten van de massa krijgen een afmeting van 12 mm, zodat daar dezelfde veren inpassen als in het originele ontwerp. Deze inkepingen worden gefreesd met een frees van straal 5. De diepte hiervan is, net als bij het originele ontwerp, 11 mm diep (exclusief de freesradius). In figuur 10.5 is dit duidelijk te zien. In dit figuur zijn ook de vier extra gefreesde banen te zien, die ervoor zorgen dat de adaptieve veren beter toegankelijk zijn. Figuur 10.5 Bewegende massa inclusief wrijvingsplaten De nulstandveren worden niet in de bewegende massa gevonkt, maar worden als een los onderdeel gemaakt en bevestigd met twee bouten. Daarvoor worden ook gaten in de massa gemaakt. Als laatste wordt er nog een gat in het midden van de massa gemaakt, zodat eventueel bij het experimenteren de laser-vibrometer tegelijk de beweging van het midden van de balk als de beweging van het midden van de demper kan bepalen. Het gewicht van de uiteindelijke bewegende massa, waarvan het ontwerp te zien is in figuur 10.6, is 1.7 kg. TU/e H10 Het prototype 65

68 Figuur 10.6 Ontwerp bewegende massa De nulstandveer (zie Appendix B.4) De nulstandveren worden op dezelfde manier uitgevoerd als het ontwerp van ASML, deze worden echter niet gedraadvonkt uit de dempermassa. Om ervoor te zorgen dat de bewegende massa eenvoudig op te hangen is aan de ophangpunten, worden deze los gemaakt en worden ze zowel aan de massa als aan de ophangpunten met M2 bouten bevestigd. Het ontwerp in figuur 10.8 wordt gemaakt door een stuk staal (St-37) te boren en frezen tot het uiteindelijke resultaat in figuur Om ervoor te zorgen dat de bladveren goed zichtbaar zijn, worden deze bladveren onderaan de massa bevestigd. Hierdoor is het gemakkelijker om het prototype te assembleren en in de gaten te houden. Bovendien is het zo eenvoudiger om de bladveren te vervangen wanneer dit nodig is. Omdat de nulstandveren ook gemaakt zijn uit staal en niet uit wolfraam, zullen de dimensies veranderen. Met behulp van vergelijking (9.1) kan de benodigde stijfheid bepaald worden, nu het precieze gewicht van de bewegende massa bekend is. In dit geval wordt er weer gekozen om de nulstandveren de helft van de totaal benodigde stijfheid te geven, namelijk 4.5*10 4 N/m. Er wordt wederom gekozen voor een bladveer met een hoogte van 0.5 mm en de breedte wordt gekozen op 30 mm. Vergelijkingen (9.2) en (9.3) geven dan een benodigde lengte van 25.2 mm. De blokken aan de uiteinden van de bladveer krijgen een breedte van 5 mm en een hoogte van 6 mm, zodat de veren nog goed met M2 bouten bevestigd kunnen worden. Figuur 10.7 Gefabriceerde nulstandveer Figuur 10.8 Ontwerp nulstandveer TU/e H10 Het prototype 66

69 Om ervoor te zorgen dat de bewegende massa en de nulstandveren op een juiste hoogte geassembleerd kunnen worden, waarbij er een bewegingsvrijheid van 1 mm overblijft, worden er extra tussenblokken gezet tussen de bewegende massa en de nulstandveren. Deze zijn te zien in figuur Hiervan is eenvoudig de hoogte aan te passen zonder dat de bladveren beschadigen. De hoogte van deze tussenblokken is berekend op 1.5 mm en zijn zichtbaar in figuur B.5. Figuur 10.9 Tussenblokken zichtbaar aan de onderkant De wrijvingsoppervlakken (zie Appendix B.6, B.7 en B.8) De wrijvingsoppervlakken van het prototype wijken ook weinig af van de demper voor de toepassing voor ASML. Alleen de dimensies zijn veranderd door de verandering van de dimensies van de bewegende massa. Bovendien is de het wrijvingsoppervlak dat aan de balk wordt bevestigd niet vervaardigd via draadvonken om geen onnodige kosten te maken. Daarom is deze gemaakt door de wrijvingsplaten op twee blokjes te bevestigen via puntlassen, zoals te zien is in figuur In figuur is het ontwerp beter te zien. Deze wrijvingsoppervlakken steken boven de massa uit, om de assemblage te vereenvoudigen. TU/e H10 Het prototype 67

70 Figuur De wrijvingsoppervlakken Figuur Ontwerp wrijvingsoppervlakken Het adaptieve systeem (zie Appendix B.9 en B.10) Zoals bij de demper van ASML beschreven is, is daar het adaptieve systeem gebruikt dat voor het prototype ontworpen is met enkele kleine aanpassingen. Dit veerontwerp heeft relatief veel te kiezen parameters, er moet echter wel binnen bepaalde grenzen gebleven worden. De adaptieve veer moet namelijk binnen de inkeping van 12 mm bij 11 mm bij 25 mm van de bewegende massa passen. Ook moet hierbinnen zowel de gewenste stijfheid als de normaalkracht gehaald worden. Theoretische voorspelling Het theoretische model voorpelt dat er in het optimale geval een wrijvingskracht nodig is ter grootte van 0.1 N bij een uitwijking van 100 μm. Hierbij is er aangenomen dat de ideale verhouding tussen de wrijvingskracht en de excitatiekracht op 0.45 ligt (zie figuur 10.12) en de equivalente massa van de balk van de testopstelling 8.79 kg is (zie hoofdstuk 12).Dit houdt in dat wanneer de wrijvingscoëfficiënt precies bekend is, de normaalkracht ook bekend is. Met de geschatte wrijvingscoëfficiënt van 0.5 levert dit een ideale normaalkracht op van 0.3 N. Deze waarde is uitzonderlijk klein en bij het ontwerp van het prototype zullen er onnauwkeurigheden optreden. In figuur is zichtbaar dat het dan wederom verstandiger is om een te grote wrijvingskracht te behalen. Bij een te lage wrijvingskracht zal de amplitudereductie snel afnemen. TU/e H10 Het prototype 68

71 Figuur Optimale verhouding tussen de excitatiekracht en de verplaatsing voor het prototype in combinatie met de testopstelling De afmetingen van de adaptieve veer Met behulp van vergelijkingen (9.4) en (9.5) worden verschillende parameters afgeschat, enkele parameters worden echter vastgesteld. De dikte van de adaptieve veer wordt vastgesteld op 0.1 mm, omdat met deze afmetingen het totale ontwerp binnen de opgestelde grenzen kan blijven en er voldoende verenbandstaal van deze dikte aanwezig is. Hierdoor hoeven geen extra kosten gemaakt te worden. Bovendien wordt de eis gesteld dat de hoogte tussen de 10 en 11 mm ligt, om ervoor te zorgen dat de veer en het tussenblok goed in de inkepingen passen van 12 mm. De breedte van de veer moet ook pasbaar zijn in het ASML ontwerp en moet tussen de 10 en 20 mm liggen; de diepte moet kleiner zijn dan 10 mm, maar niet te klein zijn om wel het oppervlak effectief te gebruiken. Nadat er analytisch een schatting gemaakt is van de afmetingen, wordt er gebruik gemaakt van de Eindige Elementen Methode (EEM) in Unigraphics om deze afmetingen te verifiëren en optimaliseren. Hierbij kan er gebruik gemaakt wordt van lineaire elementen, omdat de deformaties klein zijn. De uiteindelijke afmetingen van de veer staan in figuur Hierbij is de EEM analyse gebruik voor de uiteindelijke afmetingen, met als controle de analytische analyse. De analytische analyse heeft namelijk meer aannamen, maar moet wel in dezelfde orde liggen als die uitkomsten van de EEM analyse. TU/e H10 Het prototype 69

72 Figuur Afmetingen adaptieve veer De EEM analyse Uit de EEM analyse volgt dat de stijfheid en normaalkracht niet overeenkomen met de analytische berekening. De analytische stijfheid in de bewegingsrichting is 3.5*10 6 N/m, terwijl de EEM analyse 2.3*10 4 N/m geeft. De analytisch berekende normaalkracht bij een uitwijking van 100 μm is 1.3 N (met een verticale verplaatsing van mm), terwijl de EEM analyse een normaalkracht van 0.1 N (met een verticale verplaatsing van mm) geeft. Vooral de waarden van de normaalkracht wijken veel af, terwijl de voorspelde verticale verplaatsing wel nagenoeg gelijk is. De stijfheid in de bewegingsrichting wijkt ook veel af. Bij de EEM analyse is er gebruik gemaakt van een 3D rekenrooster met een grootte van 0.15 mm. In figuur is er een voorbeeld gegeven van een afbeelding waarin de deformatie van de adaptieve veer geschaald is weergegeven. Deze deformatie treedt op bij een verplaatsing van 100 μm. Via overeenkomstige simulaties kan bijvoorbeeld de verwachtte stijfheid, normaalkracht en de maximaal optredende spanning bepaald worden. De beide analyses wijken relatief veel van elkaar af. Het grote verschil wordt vermoedelijk veroorzaakt door de elementkeuze, beter was geweest om met plaatelementen te werken. Omdat er bij de EEM analyse minder aannames gemaakt zijn, wordt er verder gegaan met de resultaten van de EEM. Mocht de demper niet naar behoren werken, moet er meer onderzoek gedaan worden naar deze veer. TU/e H10 Het prototype 70

73 Figuur EEM analyse van de deformatie van de adaptieve veer bij een verplaatsing van 100 μm Fabricage adaptieve veer Bij het fabriceren van de adaptieve veer zijn er voor het prototype platen verenbandstaal gebruik met een dikte van 0.1 mm. Deze zijn daarna in de gewenste vorm gebogen. Deze manier van fabriceren geeft meer onnauwkeurigheden dan wanneer de veren vervaardigd worden met draadvonken, maar bespaart veel kosten. Ook is het hierdoor mogelijk om eventueel snelle aanpassingen te doen aan de veer en zelfs het veranderen van de afmetingen van de veren is hierdoor nog mogelijk. Het passingsblok Het bovenste blok dat zorgt voor de ruimte bij deformatie en voor het passend maken van de adaptieve veren in de inkepingen van de bewegende massa, wordt los op de gevouwen veer gelijmd met epoxylijm. Puntlassen zou tot interne spanningen en eventuele vervormingen kunnen leiden. Dit blok is bovenaan te zien is in figuur en heeft een hoogte van 1 mm gekregen. Voor een goede passing van alle vier de adaptieve systemen kan het blokje waar nodig geschuurd worden tot er een minimale voorspanning op de adaptieve systemen staat De assemblage van de adaptieve wrijvingsdemper Alle beschreven componenten moeten zo geassembleerd worden dat er alleen wrijving plaatsvindt op de plaats waar dat dit gewenst is. De componenten moeten zo nauwkeurig en hysteresisvrij geassembleerd worden. De nulstandveer en wrijvingsoppervlakken worden eerst aan de beide ophangpunten bevestigd zoals in figuur De nulstandveer wordt met twee M2 bouten bevestigd. De wrijvingsoppervlakken worden bevestigd door de daarvoor bestemde blokken te bevestigen met M2 bouten. In figuur 10.3 is duidelijk te zien dat de onderste bout verzonken is in het metaal. Met de bovenste bout is het mogelijk om de bladveren recht uit te lijnen, omdat deze in hoogte versteld kan worden. TU/e H10 Het prototype 71

74 Figuur De nulstandveer en wrijvingsoppervlakken bevestigd aan de ophangpunten Nadat de nulstandveren en de wrijvingsoppervlakken bevestigd zijn aan de ophangpunten kan de bewegende massa tussen de wrijvingsoppervlakken geschoven worden; de nulstandveren kunnen nu ook bevestigd worden aan de bewegende massa met M2 bouten. Het is hierbij aangeraden om de bewegende massa te ondersteunen met blokken om de nulstandveren niet te beschadigen. De passingsblokken worden nu op de adaptieve veren gelijmd, wederom met epoxylijm. Dit is verduidelijkt in figuur Figuur Het dempersysteem zonder geassembleerde adaptieve veren Het bevestigen van de adaptieve veren gebeurt wederom met een epoxylijm. De extra inkepingen geven het geheel nu meer toegankelijkheid; de adaptieve veren zijn nu eenvoudig te plaatsen en te lijmen. De TU/e H10 Het prototype 72

75 gebruikte epoxylijm heeft in dit geval een uithardingtijd van 24 uur, zodat er tijdens het lijmen geen interne spanningen aangebracht worden in het totale systeem; door deze langere tijd kan de eventuele opgelopen spanning langzaam weg relaxeren. De adaptieve veren zijn gelijmd door eerst de bovenkant van de passingsblokken te voorzien van lijm en deze dan voorzichtig te positioneren met een lichte druk (hierdoor veren de adaptieve veren licht in). Wanneer deze juist zijn gepositioneerd, wordt de druk weggehaald en is een goede lijmverbinding tussen de bewegende massa en de adaptieve veren ontstaan. De volgende stap is het lijmen van de poten aan de wrijvingsoppervlakken. Deze worden aan de bovenzijde vastgelijmd, zoals in figuur is weergegeven. Deze lijmmethode en -volgorde wordt gebruikt, omdat het niet eenvoudig is om ook de onderkant van de poten te lijmen zonder de lijmverbinding tussen de passingsblokken en de bewegende massa te verslechten of zelfs verbreken. Een andere mogelijke oplossing is het bevochtigen met epoxylijm van zowel de passingsblokken en de poten voordat de adaptieve veer op zijn plaats gezet wordt. Dit kan er echter toe leiden dat er ongewenste delen aan elkaar worden vastgelijmd, omdat er veel lijm op ongewenste delen terechtkomt. Bovendien kan dit ertoe leiden dat er weinig lijm overblijft op de bedoelde verbinding. Een laatste oplossing zou zijn het vastklemmen van de bewegende massa op de juiste hoogte en dan de ophangpunten en andere componenten demonteren. Dan kunnen wel alle vlakken bevochtigd worden met epoxylijm en op hun plaats gezet worden, de moeilijkheid zit hem dan in het opnieuw assembleren zonder het verschuiven van de adaptieve veren. Na het uitharden van de expoylijm is het volledige prototype geassembleerd en kan er begonnen worden met experimenteren. Dit wordt beschreven in hoofdstuk 13. Figuur De gelijmde adaptieve veren TU/e H10 Het prototype 73

76 H11 Begroting ASML Om inzicht te krijgen in de kosten die nodig zijn om de demper te vervaardigen wordt er een begroting gemaakt voor de uiteindelijke demper van ASML. De begroting zal afhangen van materiaalkosten en productiekosten. De precieze kosten zijn moeilijk in te schatten, de begroting geeft daarom ook een ruwe schatting van de kosten en is niet meer dan een orde van grootte. Het uiteindelijk ontwerp voor ASML verschilt in enkele opzichten van het prototype. In eerste instantie verschilt het basismateriaal, namelijk wolfraam. Ook verschilt de maaknauwkeurigheid en de productietechnieken. Hierover is meer te vinden in hoofdstuk 9. In de begroting van het ontwerp voor ASML wordt er van uitgegaan dat de demper door een professionele instrumentenmaker vervaardigd wordt met bijbehorende apparatuur. In de kosten voor de manuren zit het apparatuurgebruik inbegrepen. De begroting voor het ASML ontwerp is te vinden in tabel 11.1 en bedraagt ongeveer 3000,00. Tabel 11.1 begroting ASML ontwerp Categorie Hoeveelheid Stukprijs Totaal 2 kg wolfraam 3 kg / kg dempermassa (te bestellen in staven) Diversen Stofvrije afdichting Epoxylijm Manuren Totaal TU/e H11 Begroting ASML 74

77 H12 Testopstelling In dit hoofdstuk wordt behandeld hoe de testopstelling tot stand is gekomen. Hiervoor wordt eerst teruggekomen op de keuze voor het kokerprofiel. Eerst komt aan bod welk kokerprofiel gebruikt is voor de testopstelling. In de tweede paragraaf worden de overige onderdelen voor de testopstelling behandeld. Met de testopstelling zijn experimenten uitgevoerd zonder demper. Met de resultaten zijn vervolgens verbeteringen uitgevoerd om de testopstelling op de juiste eigenfrequentie te laten trillen. In de derde paragraaf wordt de demping van de ongedempte testopstelling bepaald. Hierbij wordt uitgelegd hoe er is gemeten en met welk meetapparatuur. Als laatste worden de kosten die gemaakt zijn bij het vervaardigen van de testopstelling weergegeven Kokerprofiel In deze paragraaf komt eerst aan bod welk kokerprofiel gebruikt is voor de testopstelling en zal met twee experimenten worden bepaald welke lengte de gewenste eigenfrequentie oplevert. Keuze kokerprofiel Omdat de oorspronkelijke balk van ASML niet beschikbaar wordt gesteld, werd in het eerste verslag een geschikt kokerprofiel uitgezocht. Dit kokerprofiel had afmetingen van 100 bij 80 mm en een wanddikte van 3 mm. Er zijn echter twee argumenten om van kokerprofiel te wisselen. Ten eerste levert de geringe wanddikte problemen op voor het bevestigen van de balk aan de bladveren. Hiervoor moeten namelijk gaten worden geboord in de kopse kanten van de balk, waarna er schroefdraad moet worden getapt. Voor deze bewerkingen gaat de voorkeur uit naar een grotere wanddikte van 4 à 5 mm. Ten tweede is het gewenst dat de verhouding tussen de breedte en hoogte van het kokerprofiel een stuk groter is dan één. Dit betekent dat de stijfheid in de breedte een stuk hoger is dan in de hoogte. Vanwege de lagere stijfheid in verticale richting zal het kokerprofiel een voorkeur hebben om na het aanslaan een trilling in die richting uit te voeren. Dat is de gewenste trillingsrichting. Ook in de ASML-applicatie wordt de koker zo georiënteerd gebruikt in verband met versnelling in het horizontale vlak. Dimensies kokerprofiel In het artikelenbestand van MCB zijn twee kokerprofielen te vinden die aan de bovenstaande eisen voldoen. Net als in het eerste deel van het verslag wordt het oppervlaktetraagheidsmoment I berekend met vergelijking (7.4) en de benodigde lengte L voor een eigenfrequentie van 52.0 Hz met vergelijking (7.3). In tabel (12.1) staan de oppervlaktetraagheidsmomenten en de benodigde lengtes bij verschillende equivalente massa s M eq weergeven voor beide kokerprofielen. Er is ook naar de situatie gekeken wanneer er geen extra massa aan de balk wordt gehangen en de equivalente massa alleen door de massa van de balk M b wordt bepaald. Tabel 12.1 Het oppervlaktetraagheidsmoment en de lengte bij verschillende M eq voor de twee kokerprofielen Afmetingen X-Y-t oppervlaktetraagheidsmoment I Equivalente Lengte L [m] [mm] [m 4 ] massa m eq [kg] 100x50x4 4.74* * x50x5 5.62* * *= geen extra massa, M eq = 49% van totale massa van de balk. TU/e H12 Testopstelling 75

78 Uit bovenstaande tabel blijkt dat beide kokerprofielen ongeveer dezelfde eigenschappen hebben en dat de lengte in alle gevallen hanteerbaar blijft voor de testopstelling. Dit betekent dat beide kokerprofielen geschikt zijn. Omdat een grotere wanddikte voordelen oplevert tijdens het kops boren en tappen, wordt het kokerprofiel gekozen met dimensies 100x50x5 [mm]. Experiment 1 Allereerst wordt er gekeken in hoeverre de eigenfrequentie van het kokerprofiel te voorspellen is met vergelijking (12.1) uit Formulas for natural frequency and mode shape [1]. Het kokerprofiel is geleverd door MCB in twee stukken van 3 meter. Een vereiste voor de vergelijking is dat de balk aan beide uiteindes vrij wordt opgelegd. Hiervoor zijn meskanten gebruikt. Deze gebruikte oplegpunten verkorten de balk aan beide uiteindes met 15 mm. Het gedeelte waar de balk vrij kan trillen is L = 2.97 m. De massa M b van de balk kan berekend worden met L*M *, waarbij M * de massa per meter is. De waarde van M * kan opgezocht worden in de catalogus van MCB en heeft voor dit kokerprofiel een waarde van 3.86 kg/m. f 2 3EI 3 L 0.49M b 1 2 (12.1) De vergelijking voorspelt een eigenfrequentie van 18.0 Hz. De frequentie is gemeten met een contactmeting door een verplaatsingsopnemer tegen de balk te plaatsen. Het signaal is uitgelezen met een oscilloscoop. De meetapparatuur gaf een eigenfrequentie van 19 Hz aan. Dit is 1 Hz hoger dan voorspeld. Lengtes kokerprofiel Er is gekozen om twee balken te maken voor de testopstelling. De eerste balk wordt uitgevoerd met extra massa, de tweede balk wordt echter zonder massa uitgevoerd. Dit wordt gedaan om te kijken of er onverwachte effecten optreden door het toevoegen van extra massa aan balk. Voor de balk zonder extra massa wordt een lengte van m gerekend. Dit is 51 mm langer dan nodig is volgens tabel (12.1), maar zo ontstaat er een foutmarge. Dit is omdat dat het inkorten van een balk altijd nog mogelijk is, maar het verlengen niet. De tweede balk waaraan de extra massa komt te hangen heeft een lengte van m. Dit is het stuk wat over is na het afzagen van de eerste balk. Nu moet de extra massa M e opnieuw bepaald worden om de eigenfrequentie van de korte balk op 52 Hz te brengen. Dit wordt gedaan met vergelijking (12.2). M e 12EI 0.49LM (12.2) f L Invullen van de vergelijking geeft een waarde voor de extra massa van kg. Er wordt een tweede experiment uitgevoerd met de lange balk (L = m) om opnieuw de eigenfrequentie te meten en deze te vergelijken met de voorspelde waarde. Experiment 2 Analoog aan experiment 1 wordt de lange balk (L = m) aan beide uiteindes vrij opgelegd. Dit experiment wordt niet voor de korte balk uitgevoerd omdat invloeden van de extra massa hierin niet worden meegenomen. In tabel (12.2) zijn de voorspelde en gemeten eigenfrequenties gegeven voor de lange balk. TU/e H12 Testopstelling 76

79 Tabel 12.2 De voorspelde en gemeten eigenfrequenties voor de lange balk L [m] Voorspelde f [Hz] Gemeten f [Hz] Net als in het eerste experiment is het verschil tussen de voorspelde en gemeten eigenfrequentie ongeveer 1 Hz. Dit betekent dat de eigenfrequentie van de balk, die vrij is opgelegd op meskanten, goed te voorspellen is met vergelijking (12.1). Daarom wordt in het vervolg voor de testopstelling deze vergelijking gebruikt Onderdelen testopstelling Deze paragraaf behandelt achtereenvolgens de bladveren, de spriet, de bevestiging van extra massa en de tafel die gebruikt is voor de testopstelling. Bladveren Zoals is omschreven in het eerste verslag worden de bladveren aan de balk vast gemaakt met bouten en lijm. Hiervoor worden M3 bouten gebruikt. Er moeten daarom gaten in de bladveer en de kopse kanten van de balk worden geboord. Het is niet gewenst dat het binnenste van de balk na assembleren volledig is afgesloten van de buitenwereld. Door temperatuursverschillen kan de lucht in de balk uit gaan zetten. In dat geval fungeert de balk als een barometer. Dit probleem wordt verholpen door een extra gat in de bladveren te boren op de plaats waar de balk bevestigd wordt. Het gat wordt tevens gebruikt om de spriet in de balk te kunnen bevestigen. In figuur 12.1 is een voor- en zijaanzicht te zien van een bladveer. De maten zijn in mm. Figuur 12.1 Voor- en zijaanzicht van de bladveer, inclusief maten in mm TU/e H12 Testopstelling 77

80 Uit de figuur is op te maken dat de dikte van de bladveer 1 mm is. In het zijaanzicht is te zien dat een stuk van 70 mm is omgebogen. Dit heeft als doel om de kniklast te verhogen bij nagenoeg gelijkblijvende buigstijfheid uit het vlak. De blokken die aan de bladveer zijn bevestigd hebben freesbanen op de onderkant en aan de zijkant waar het blok tegen de bladveer is bevestigd. Dit is weergeven in figuur De voetjes zullen het kantelen van de bladveer op de ondergrond tegengaan en om de bladveerinklemmingshysteresis te minimaliseren. De bladveer wordt tussen twee blokken bevestigd, zoals is aangegeven in figuur Voor de duidelijkheid is alleen het onderste gedeelte van de bladveer weergegeven. De hartlijn geeft de boring weer voor de bouten die het geheel inklemmen. Figuur 12.2 Zijaanzicht blokken om het kantelen bladveer tegen te gaan Spriet Bij de spriet is het belangrijk dat de spriet aan de uiteinden smal is bij de bevestiging aan de vaste wereld en aan de balk. Dit is te zien in figuur Hierdoor is de spriet in dwarsrichting slap en stijf in de lengterichting. Er is gekozen om voor dit onderdeel een draadeind te gebruiken omdat dit gemakkelijk ergens in te draaien is. Om te vermijden dat de spriet gaat knikken is voor het middenstuk een aluminium buis gekozen. Deze is licht en heeft een grotere diameter dan het draadeind om knikken te voorkomen. Ook is er een ronde aluminium eindprop gemaakt die gelijmd is in de aluminium buis en waarin een schroefdraad is getapt om het draadeind in te draaien. De maat van de diameter a verschilt per balk, omdat deze twee materialen voorhanden waren. De diameter a voor de korte balk is 12.5 mm en voor de lange balk geldt a = 20 mm. Figuur 12.3 Spriet, afmetingen in mm Het draadeind is aan de ene kant aan de vaste wereld bevestigd door een borgmoer op het draadeind te draaien en dit in te klemmen op een blok dat op de tafel staat. Het idee om de andere kant van de spriet aan de extra massa te bevestigen is het niet geworden omdat de lange balk geen extra massa heeft. Voor het andere eind is een blok gemaakt dat op het draadeind gedraaid kan worden. Dit blok is passend in het balkprofiel gemaakt en vastgezet met twee bouten aan bovenzijde en twee aan onderzijde. Deze bouten worden in het midden van de balk bevestigd 35 mm uit elkaar. Dit blok bevestigd aan de spriet is te zien in figuur 12.4 en de inklemming van de spriet aan de vaste wereld is te zien in figuur TU/e H12 Testopstelling 78

81 Figuur 12.4 Blok bevestigd aan de spriet Figuur 12.5 Inklemming van de spriet aan de vaste wereld Bevestiging extra massa De extra massa is bevestigd op de neutrale lijn van de balk om geen demping toe te voegen. Er zijn hiervoor strips gemaakt die in de massa en op de neutrale lijn in de balk geschroefd zijn. Voor de bevestiging van de bovenste gaten aan de balk zijn revetten gebruikt om hysteresis te minimaliseren. In figuur 12.6 zijn de afmetingen gegeven van de strip. De dikte van de strip is 1 mm. In de strip zit een inkeping om ervoor te zorgen dat de y-positie niet overbepaald geconstrueerd is en tot spanningen zal leiden in de balk. De hysteresis die anders mogelijk was, zou tot extra interne demping hebben geleid. Om die inkeping te kunnen maken moet er eerst een diagonaal worden getrokken tussen het gat linksboven en het gat rechtsonder in de strip, volgens de stippellijn in figuur De inkeping mag die diagonaal niet doorsnijden, omdat de krachtdoorleiding in de strip dan verslechtert. TU/e H12 Testopstelling 79

82 Figuur 12.6 Afmetingen [mm] van de strip om de extra massa op te hangen De stijfheid van de strip is in de dwarsrichting erg laag, dit betekent dat die vrijheidsgraad nog niet is vastgelegd. De lage stijfheid zou tot zijdelingse beweging van de extra massa kunnen leiden en is ongewenst. Dit probleem kan worden verholpen door een strip dwars op de extra massa te bevestigen. Dit is weergeven in figuur Door ringetjes tussen deze strip en de extra massa te plaatsen kan de hysteresis worden beperkt. De ruimte die hierdoor ontstaat tussen de strip en de extra massa is tevens geschikt om deze strip met een bout aan de balk te bevestigen. Figuur 12.7 Strip tegen zijdelingse beweging Tafel De tafel die gebruikt wordt voor de twee testopstellingen is een Newport Stabilizer. Het gaat om de High Performance laminar flow isolator, I-2000 series. Zo kunnen externe trillingen van de grond worden uitgesloten tijdens het experiment. De bladveren en de spriet worden aan de tafel vastgekikkerd. Nadat alles is bevestigd worden de bouten nog een stukje losgedraaid om de hysteresis in de balk te verminderen, waarna de bouten weer worden vastgedraaid. TU/e H12 Testopstelling 80

83 12.3 Experimenten ongedempte testopstelling In deze paragraaf wordt behandeld hoe de frequentie van beide testopstellingen is gemeten en hoe de kokerprofielen vervolgens zijn aangepast om de eigenfrequentie op de gewenste waarde te krijgen. Hierna is met een nieuwe serie metingen de dempingscoëfficiënt van beide testopstellingen bepaald. Experiment ongedempte balk van L = m (M e = 0 kg) Nadat de lijm van de balk met lengte m is uitgehard, kunnen de eerste experimenten met de echte testopstelling uitgevoerd worden. De balk wordt met een hamer met een rubberen punt aangeslagen, waarna met de versnellingsopnemer de frequentie van de trilling bepaald kan worden. Dit experiment is met een tweede versnellingsopnemer geverifieerd. Er is gebruik gemaakt van de volgende versnellingsopnemers: 1 Kistler - Low Impedance PiezoBEAM, type 8628B50, gevoeligheid: 0.01 g /mv 2 Miniature DeltaTron Piezoelectic Accelerometer, type 4517, gevoeligheid: 0.1 g /mv Voor de verwerking van het meetsignaal is SigLab gebruikt, in combinatie met een laptop. Met Matlab is vervolgens de data geanalyseerd. In tabel 12.3 zijn de resultaten weergeven voor beide versnellingsopnemers. Omdat de gemeten waardes gelijk zijn voor beide versnellingsopnemers en omdat er ruis van 50 Hz op het signaal van de tweede versnellingsopnemer tevoorschijn komt, wordt in het vervolg alleen nog maar van de eerste gebruik gemaakt. Tabel 12.3 Eigenfrequentie bij verschillende versnellingsopnemers met L = m. f met versnellingsopnemer 1 [Hz] f met versnellingsopnemer 2 [Hz] Volgens vergelijking (12.1) zou de eigenfrequentie op 49.1 Hz moeten liggen. In tegenstelling tot het eerste experiment is de eigenfrequentie nu juist lager dan voorspeld. Hier zijn twee redenen voor. Allereerst buigen de bladveren mee tijdens de trilling. Dit betekent dat aan beide uiteindes de helft van de dikte van de bladveer meedoet met de trilling. Omdat de dikte van een bladveer 1.0 mm is, wordt de lengte L van de balk met 2*0.5 = 1 mm langer. Met toenemende lengte L neemt de eigenfrequentie af. Hiernaast telt ook de massa die de spriet en het blok toevoegt mee. Omdat het blok zich precies in het midden van de balk bevindt, telt de massa van dit blok volledig mee voor de frequentie. Omdat de balk in de eerste mode trilt, is de massa minder belangrijk naarmate deze zich meer richting de uiteindes van de balk bevindt. Dit komt doordat de balk aan de uiteindes geen amplitude heeft. Daarom telt de massa van de balk zelf voor 49% mee voor de frequentie volgens vergelijking (12.1). Omdat de spriet tot het midden van de balk reikt, wordt aangenomen dat de massa van de spriet ook voor 49% meetelt, net als de massa van de balk zelf. De massa M spriet die de spriet en het blokje effectief bijdragen aan de frequentie is kg. Na deze twee aanpassingen kan de vergelijking voor de eigenfrequentie worden omgeschreven tot vergelijking (12.3). f 2 3EI 3 L LM M e M spriet 1 2 (12.3) Volgens vergelijking (12.3) wordt de eigenfrequentie van de balk 47.9 Hz (M e is in dit geval nul). Deze voorspelling ligt dichter bij de gemeten waarden voor de eigenfrequentie vergeleken met de oude TU/e H12 Testopstelling 81

84 voorspelling volgens vergelijking (12.1). Vandaar dat in het vervolg met vergelijking (12.3) wordt gewerkt. Nieuwe lengte kokerprofiel (M e = 0 kg) Na omschrijven van vergelijking (12.3) kan de lengte bepaald worden voor de balk waar geen extra massa aan bevestigd wordt. De nieuwe lengte van de balk wordt m. Dit betekent dat aan beide kanten 35 mm van de balk gezaagd moet worden. Dit moet aan beide uiteinden gebeuren, omdat anders de gaten in de balk voor het bevestigen van de spriet zich niet meer in het midden van de balk zouden bevinden. Voor de nieuwe meting is dezelfde meetapparatuur gebruikt als boven is omschreven. De nieuwe eigenfrequentie van de balk is nu 50.6 Hz. Dimensies extra massa voor balk van L = m Nu er een betere benadering is voor de eigenfrequentie, kan de extra massa bepaald worden die nodig is om de korte balk op een eigenfrequentie van 52.0 Hz te brengen. Na omschrijven van (12.3) en invullen van de parameters kan M e worden berekend. Voor de korte balk is een kortere en dunnere spriet gebruikt. Hierdoor is M spriet = kg voor deze balk. De extra massa M e wordt hiermee op 7.92 kg berekend. Uit voorzichtigheid wordt er eerst een grotere massa gekozen, zodat later bij het afstellen eventueel extra massa afgezaagd kan worden. De extra massa wordt aan de strip bevestigd. Omdat de strips aan de zijkant van de balk worden bevestigd, moet de breedte b van M e gelijk worden aan de breedte van de balk (100 mm). De hoogte h van M e wordt gekozen op 40 mm. Met vergelijking (12.4) kan de benodigde lengte voor de extra massa bepaald worden. M e l (12.4) hb Met de dichtheid van staal (ρ = 7850 kg/m 3 ) wordt bij een massa van kg een lengte l verkregen van 252 mm. Uit voorzichtigheid is een grotere massa gewenst, vandaar dat de lengte op 260 mm wordt gekozen. Dit komt overeen met een massa van 8.16 kg. Met dezelfde meetapparatuur wordt opnieuw de eigenfrequentie van de balk met de extra massa gemeten. De waarde van de eigenfrequentie is 51.4 Hz. Demping testopstelling Om de optimale waarde van de wrijvingskracht te bepalen met het model, moet de demping van de testopstelling bepaald worden. Dit gebeurt zonder dat de demper aan de balk is bevestigd. Voor deze meting is gebruik gemaakt van een hamer, versnellingsopnemer 1, SigLab en een laptop met Matlab. Met deze meetapparatuur is de trilling van de balk gemeten, nadat deze is aangeslagen met een hamer. Er zijn een aantal metingen uitgevoerd, waarbij elke meting een gemiddelde is van vijf excitaties van de testopstelling. Deze metingen zijn zowel gedaan met de lange balk (zonder extra massa) als met de korte balk (met extra massa). Voor een goede meting moeten er eerst een aantal parameters ingesteld worden in SigLab. Op kanaal 1 komt het signaal binnen van de hamer, die een sensitivity heeft van 500 N/V. Als window is de Boxcar functie gebruikt zonder gebruik te maken van overlap. De bemonsterfrequentie staat ingesteld op 512 Hz, wat een stuk hoger is dan twee keer de te meten eigenfrequentie. Dit is in overeenstemming met het theorema van Nyquist-Shannon dat stelt dat de bemonsterfrequentie minimaal tweemaal zo hoog TU/e H12 Testopstelling 82

85 gekozen moet worden als de hoogste frequentie in het te meten signaal. Er is hierbij voor de maximale Record Length van 8192 meetpunten gekozen. De meting wordt gestart wanneer er met de hamer op de balk geslagen wordt. Dit wordt gedaan met een trigger. Er is gekozen voor een trigger voor elk frame van 9% en een delay van Dit betekent dat ook de informatie net voor het aanslaan wordt opgeslagen. Daaraan is te zien of de balk nog een resttrilling uitvoert van de voorgaande meting. Vanwege de lage demping van de testopstelling wordt de balk na elke meting met de hand uitgedempt. Als laatst moet de gevoeligheid voor beide sensoren worden opgegeven. Voor de hamer geldt een gevoeligheid van 5 N/mV en voor de versnellingsopnemer geldt 0.01 ms -2 /mv. In figuur 12.7 is een plot te zien waarbij de acceleratie uitgezet is als functie van de tijd. Figuur 12.7 Acceleratie als functie van de tijd (lange balk) Met vergelijking (12.5) kan een e-macht gefit worden door de toppen van de amplitudes. Hiermee is de dempingcoëfficiënt ζ van de testopstelling te bepalen. Parameter x is een nader te bepalen constante [-], ω n is de eigenfrequentie [rad/s], t is de variabele voor de tijd [s] en y is de parameter voor de verplaatsing [m]. y x e n t (12.5) Omdat parameter y de verplaatsing voorstelt, moet vergelijking (12.5) twee keer gedifferentieerd worden om een fit door het gemeten signaal te kunnen maken. Deze bewerking levert vergelijking (12.6) op. 2 2 n y x e t (12.6) Voor een afschatting van de constante x en dempingscoëfficiënt ζ zal de bovenstaande vergelijking iteratief moeten worden opgelost. Dit kan worden voorkomen door de term xζ 2 ω n 2 te vervangen door een nieuwe constante a. De dempingscoëfficiënt ζ en constante a worden afgeschat met de kleinste kwadraten methode. n TU/e H12 Testopstelling 83

86 Bepalen dempingscoëfficiënt Om een fit door de metingen te kunnen maken, moeten eerst de toppen van het signaal gevonden worden. Het signaal moet worden gedifferentieerd, waarna bepaald wordt of de helling positief of negatief is. De helling moet een tweede keer gedifferentieerd worden om te kunnen zien wanneer de helling van teken omklapt. Het omklappen van het signaal kan met een logische operator worden opgelost. De niet-nul elementen zijn precies de punten waar het signaal een top heeft. Nu de toppen bekend zijn, kan met de kleinste kwadraten methode een afschatting worden gemaakt voor de parameters ζ en a. Hiertoe wordt eerst de natuurlijke logaritme genomen van de acceleratie, zo verandert vergelijking (12.6) in (12.7). ln( y) ln( a) nt (12.7) De kleinste kwadraten oplossing levert een waarde op voor ln(a) en -ζω n. Omdat de eigenfrequentie van de twee balken verschilt, moet de dempingscoëfficiënt voor beide balken apart worden bepaald. Het volledige Matlab-script is te vinden in Appendix C. In tabel 12.4 staat voor beide testopstellingen de dempingscoëfficiënt weergeven bij verschillende metingen. Tabel 12.4 De dempingscoëfficiënt ζ voor beide testopstellingen. ζ 1 [*10-4 ] ζ 2 [*10-4 ] ζ 3 [*10-4 ] Testopstelling 1 (L = m) Testopstelling 2 (L = m) Nu alle parameters bekend zijn van vergelijking (12.5) kan de e-macht geplot worden door de meetpunten. Uit figuur 12.8 is te concluderen dat de demping van de testopstelling goed te voorspellen is met deze e-macht (rode curve). Figuur 12.8 Exponentiële fit om dempingscoëfficiënt ζ te bepalen TU/e H12 Testopstelling 84

87 Belangrijke waarden testopstelling In tabel 12.5 staan de waarden van de belangrijke parameters van de twee testopstellingen. Deze waarden zijn in het vervolg nodig om te vergelijken met de gedempte testopstellingen. De gemiddelde dempingscoëfficiënt ζ gem wordt bepaald aan de hand van de drie berekende waardes weergeven in tabel Tabel 12.5 Belangrijke waarden testopstelling f [Hz] M eq [kg] ζ gem [*10-4 ] Testopstelling 1 (L = m) Testopstelling 2 (L = m) Er moet vermeld worden dat de equivalente massa van testopstelling 2 na dit experiment met 1.70 kg lichter is gemaakt door aan beide kanten 28 mm van de extra massa af te zagen. Dit is gedaan om de eigenfrequentie op 52 Hz te houden voor experimenten waar de demper (1.70 kg) aan de testopstelling is bevestigd. Deze experimenten worden in het hoofdstuk 13 behandeld. TU/e H12 Testopstelling 85

88 12.4 Kosten testopstelling De kosten van de testopstelling bestaan uit kosten die gemaakt zijn bij het vervaardigen van de balken en het prototype. Als eerste worden de kosten van de balken beschouwd. Niet alle kosten zijn in rekening gebracht, aangezien veel materiaal direct gebruikt is vanuit de werkplaats. Ook de manuren zijn niet in rekening gebracht. Uiteraard moet er een trillingsvrije tafel aanwezig zijn en apparatuur om de balk mee vast te zetten. Ook meetapparatuur zoals een versnellingsopnemer, krachtcel, ladingsversterker, shaker met versterker en software is nodig om experimenten te kunnen doen. De kosten van de meetapparatuur worden niet in rekening gebracht. De balken De balken worden vervaardigd van een aluminium kokerprofiel van 100x50x5 [mm]. Dit kokerprofiel kan enkel besteld worden in een lengte van 6.0 m. De kosten die dit met zich meedragen zijn 105,00. Daarnaast zijn er om de testopstelling compleet te maken bladveren, epoxylijm, enkele bouten en moeren en een spriet om de zijdelingse trilling tegen te houden nodig. Het prototype De tweede post van kosten zijn de kosten die gemaakt zijn bij het vervaardigen van het prototype van de demper. Componenten zoals weergegeven in figuur 10.1 zijn hiervoor benodigd. Gemaakte kosten zijn de dempermassa van 2 kg voor 6,00, een strip staal waar de nulstandveren van gemaakt zijn voor 1,10 en de 3M epoxylijm voor 19,50. Dit brengt de totale kosten op 131,60. De gebruikte materialen uit de werkplaats zijn hier niet bij inbegrepen. TU/e H12 Testopstelling 86

89 H13 Experimenten demper In dit hoofdstuk wordt behandeld hoe het prototype van de demper getest is. Dit prototype is behandeld in hoofdstuk 10 en de testopstelling is behandeld in hoofdstuk 12. Er zijn drie experimenten gedaan om het prototype van de demper te testen. Allereerst is de demping van de balk met demper bekeken met een versnellingsopnemer. Hieruit is een schatting voor de demping bepaald om deze te vergelijken met de demping van de balk zonder demper. In het tweede experiment is ook een versnellingsopnemer op de demper geplaatst om de relatieve versnelling te meten. Voor het derde experiment is de balk in trilling gebracht met een shaker om ervoor te zorgen dat de balk zonder demper en met demper op kwantitatief dezelfde manier in trilling gebracht wordt. Afsluitend zal in dit hoofdstuk de terugkoppeling plaats vinden met het theoretische model Experiment 1 In het eerste experiment zal de demping van de balk plus demper bepaald worden door met een versnellingsopnemer de beweging van de balk te bekijken. Dit experiment is identiek aan het experiment met de ongedempte testopstelling van hoofdstuk 12. Het verschil is echter dat de demper gemonteerd is op de balk. Ook is voor dit experiment alleen de korte balk met extra massa gebruikt. De extra massa is zoals eerder vermeld 1.7 kg lichter gemaakt om de toegevoegde massa van de demper te compenseren. De opstelling De beste plaats om zowel de versnellingsopnemer als de hamerslag te plaatsen is in het midden van de balk zowel in x- als in y-richting. Omdat daar de demper en de extra massa bevestigd zijn is dit niet mogelijk. In figuur 13.1 is schematisch weergegeven waar de versnellingsopnemer en de hamerslag geplaatst zijn. Figuur 13.1 Schematische weergave van plaatsing versnellingsopnemer en hamerslag op de balk TU/e H13 Experimenten demper 87

90 Omdat met een hamerslag op plaats 1 de slag niet in het midden van de balk in y-richting wordt gegeven zal een torsietrilling eerder optreden. Bij plaats 2 zal er eerder een hogere mode worden aangeslagen omdat de balk niet in het midden in de x-richting van de balk wordt aangeslagen. Beide posities zijn aangeslagen om te kijken wat voor invloed dit had. Door de uitvoer van de versnellingsopnemer zijn e-machten gefit om de dempingscoëfficiënt te bepalen. Hiervoor is dezelfde m-file gebruikt als beschreven is in hoofdstuk 12. In figuur 13.2 is te zien hoe de e- macht door de data is geplot. Figuur 13.2 E-macht gefit door gehele dataset om dempingscoëfficiënt ζ te bepalen a) meting 1, b) meting 2 De rode punten zijn de punten waardoor de fit gemaakt is. De m-file is hiervoor aangepast omdat er ook locale maxima in het signaal zaten die onder de nul lijn lagen of net daarboven. Niet alle locale maxima moeten dus gebruikt worden voor de fit. De aanpassing is te vinden in appendix D. Hierin wordt per locaal maximum gekeken of de 15 maxima die na dit maximum komen een hogere waarde voor coördinaat y hebben. Als dit zo is bij één van de 15 maxima die volgen dan wordt het maximum niet meegenomen in het fitten van de e-macht. Het blijkt uit figuur 13.2 dat er geen e-macht goed gefit kan worden. Een verklaring hiervoor zou kunnen zijn dat de demper na 0.1 s op stick vast zit en er geen wrijving meer optreedt. Om toch een schatting voor de dempingscoëfficiënt te maken is de e-macht gefit over het korte tijdsinterval direct na de hamerslag. In Figuur 13.3 is te zien door welke punten de e- macht gefit is. TU/e H13 Experimenten demper 88

91 Figuur 13.3 E-macht gefit door beperkt aantal maxima om dempingscoëfficiënt ζ te bepalen in gewenst gebied a) meting 1, b) meting 2 Doordat de toppen na 0.2 s na de hamerslag niet meer worden meegenomen klopt de e-macht daar dus minder goed. De e-macht die gefit is ligt nu wel beter in het gebied tot 0.2 s na de hamerslag. In tabel 13.1 zijn alle resultaten weergegeven. Tabel 13.1 Meting Resultaten en eigenschappen van de afzonderlijke metingen Aantal Bemonsterfrequentie Tijdsduur [s] Slagpositie Dempingshamerexcitaties [Hz] coëfficiënt TU/e H13 Experimenten demper 89

92 Resultaten Een conclusie die getrokken kan worden uit de tabel is dat de dempingscoëfficiënt ζ ongeveer 0.04 is voor de balk met demper. Dit was voor de balk zonder demper ζ 3*10-4. De dempingscoëfficiënt voor de opstelling is een factor 100 groter geworden. Echter blijft dit een schatting en kan het uitdempgedrag alleen beschreven worden met een e-macht op een kort tijdsinterval na de hamerslag. Dit resultaat zegt eigenlijk alleen dat er gedempt wordt. Er doet een vermoeden opkomen dat kort na de hamerslag de demper vastloopt door een te hoge wrijvingskracht. Door de niet lineaire effecten wil de factor 100 stijging in de dempingscoëfficiënt niet zeggen dat de amplitude van de balk met een factor 100 omlaag gaat. Experiment 2 zal er daarom ook op gericht zijn om het vermoeden dat de demper na een korte tijd vastloopt te controleren. Frequentieanalyse Een belangrijk aspect van de testopstelling is dat deze ontworpen is om de balk in zijn eerste mode te laten trillen. Allerlei andere modes en torsiefrequenties zijn niet gewenst. De grafieken worden in het frequentiedomein bekeken om te kijken of er hogere modes optreden en/of torsiefrequenties eventueel een rol spelen. Er zijn drie pieken zichtbaar in figuur 13.4 bij 51.9 Hz, 64.6 Hz, en bij 238 Hz. De eerste piek is de eerste mode van de balk. De tweede mode van de balk zou dan op 104 Hz liggen en de derde mode bij 156 Hz. Omdat deze modes beide niet zichtbaar is kan aangenomen worden dat de balk alleen in zijn eerst mode trilt. De twee pieken van 64.6 Hz en 238 Hz zouden dan een torsietrilling kunnen zijn. Figuur 13.4 Frequentieanalyse over verschillende frequentiedomeinen a) Hz, b) Hz TU/e H13 Experimenten demper 90

93 13.2 Experiment 2 In dit experiment zal de relatieve verplaatsing van de demper ten opzichte van de balk centraal staan. Hiervoor zal aan de opstelling van experiment 1 een versnellingsopnemer aan de demper toegevoegd worden. Door de twee signalen van elkaar af te trekken kan een maat voor de relatieve verplaatsing gevonden worden. Het type versnellingsopnemer voor de demper is type 4517 van het merk Bruel en Kjaer. De calibratiefactor is g/mv. Resultaten Er zijn twee metingen gedaan met een bemonsterfrequentie van 512 Hz en een van 2560 Hz. De resultaten van deze meting zijn weergegeven in figuur Figuur 13.5 Relatieve versnelling met verschillende bemonsterfrequenties a) bemonsterfrequentie 512 Hz, b) bemonsterfrequentie 2560 Hz In beide grafieken vallen twee aspecten meteen op. Er lijkt voor beide metingen een relatieve verplaatsing te zijn tot minimaal 0.1 s na de hamerslag. Het tweede aspect is dat de relatieve versnelling niet nul is. Een vereiste voor deze meting is dat het gemiddelde van het signaal ongeveer nul is. De gemiddelden van beide signalen liggen echter beide op Als dit gemiddelde niet nul is dan betekent dit dat er gemiddeld gezien een relatieve versnelling in een bepaalde richting is. Dit zou betekenen dat de demper naar boven of naar beneden blijft bewegen. Een verklaring zou kunnen zijn dat de TU/e H13 Experimenten demper 91

94 versnellingsopnemer van de balk een offset van +0.4 m/s 2 heeft of de versnellingsopnemer van de demper een offset van -0.4 m/s 2. Om dit te testen is hetzelfde experiment opnieuw uitgevoerd met beide versnellingsopnemers bovenop elkaar bevestigd. Nu zouden beide signalen exact gelijk moeten zijn en moet het verschil nul zijn als de beide versnellingsopnemers gelijk aan elkaar zijn. In figuur 13.6 is het verschil van de versnellingsopnemers geplot. Figuur 13.6 Het verschil van de versnellingsopnemers, gemiddelde waarde 0.39 Uit figuur 13.6 blijkt dat beide versnellingsopnemers nogal verschillen in signaal. Het gemiddelde van bovenstaand signaal is een maat voor de offset van een van de twee versnellingsopnemers. De waarde van dit gemiddelde is Dit is exact de waarde van de offset die het signaal in figuur 13.5 had. Conclusie De conclusie die uit experiment 2 getrokken kan worden is dat waarschijnlijk een te hoge wrijvingskracht optreedt voor de aangebrachte excitatie. Dit zorgt ervoor dat vanaf een bepaalde kleine excitatie er geen slip meer optreedt en de demper dus geen energie meer dissipeert. De werking van de demper zou verbeterd kunnen worden door deze normaalkracht te verlagen. Hierdoor zal de demper langer werken en meer energie dissiperen. TU/e H13 Experimenten demper 92

95 13.3 Experiment 3 Het derde experiment heeft als doel een betere vergelijking te maken tussen de demping van de balk en de demping van de balk met demper. Het eerste experiment heeft een schatting gegeven van de dempingscoëfficiënt maar dit geeft geen indicatie voor de amplitudereductie die de demper realiseert. Daarom wordt in experiment 3 de balk geëxciteerd met een shaker. Hiermee kan namelijk een reproduceerbare kracht uitgeoefend worden op het systeem. Nu kan dezelfde hoeveelheid energie aan de balk toegevoegd worden om de trilling van de balk met demper te vergelijken met de trilling van de balk alleen. De keerzijde van het gebruik van een shaker is dat er extra demping in het systeem wordt aangebracht. De opstelling De opstelling is deels hetzelfde gebleven maar hij is op een andere ondergrond gezet. De dempende tafel zou te veel bewegen door het schudden van de shaker. Daarom is een stalen tafel gebruikt die de reactiekrachten van de shaker beter op kan vangen. Op deze tafel zijn dezelfde bladveren met de balk en spriet vastgekikkerd. Ook is SigLab weer gebruikt om de versnellingsopnemer uit te lezen. Verder is de shaker aan een portaal boven de balk met postelastieken opgehangen. Dit is gedaan om een laagdoorlaatfilter te creëren. De shaker is bevestigd met een spriet aan de krachtcel die vervolgens met bijenwas op de balk is bevestigd. Om de output van SigLab naar de shaker te versterken is een versterker gebruikt van het merk LDF en het type PA25e. Om de krachtcel uit te lezen is een ladingsversterker gebruikt van het merk LF, type In figuur 13.7 is schematisch weergegeven welke hardware gebruikt is. Laptop Siglab Ldf PA25e Versterker Shaker Data Aquisitie systeem LF charge amplifier Krachtcel Type 2628 Versnellingsopnemer BALK Figuur 13.7 Schematische weergave van de testopstelling van experiment 3 TU/e H13 Experimenten demper 93

96 Figuur 13.8 Opstelling shaker In figuur 13.8 is een foto van de ophanging van de shaker te zien. De shaker is opgehangen aan de driepoot en brengt de balk in trilling aan het uiteinde van de balk om de toegevoegde demping van de shaker te verminderen. De verbinding van de balk met de shaker is een spriet met een krachtcel. De krachtcel is niet gebruikt omdat er problemen met de ladingsversterker waren. TU/e H13 Experimenten demper 94

97 Droge wrijving Een kenmerk van droge wrijving is dat het niet lineair is. Deze eigenschap zorgt ervoor dat er weinig gebruik gemaakt word van droge wrijving omdat het een moeilijk voorspelbaar verschijnsel is. Deze eigenschap vertaalt zich in de Frequentie Responsie Functie (FRF) als een breed plateau in plaats van een scherpe piek. In figuur 13.9 is de FRF weergegeven voor een meting met demper en een meting zonder demper met shakersignaal 1.5 V. Bij de meting zonder demper is het verlies aan massa door het verwijderen van de demper gecompenseerd door twee blokken op de balk te plaatsen. De conclusie die uit figuur 13.9 getrokken kan worden is dat er zeker droge wrijving optreedt omdat de blauwe grafiek niet-lineair gedrag laat zien. Figuur 13.9 FRF voor meting met en zonder demper TU/e H13 Experimenten demper 95

98 Resultaten In figuur zijn de signalen van de versnellingsopnemer van de balk met demper links weergeven, rechts is de vrij trillende balk te zien. De blauwe meting is met een amplitude van het shaker signaal van 0.05 V en de rode meting met een amplitude van 1 V. De eenheid van deze amplitude is niet van belang omdat het niet gelukt is de kracht te meten met de krachtcel. Hierdoor kan er geen zuivere overdrachtsfunctie geplot worden. Het is daarom voldoende om te weten dat bij de rode meting een kracht op de balk stond die 20x zo groot was als bij de blauwe meting. Figuur Amplitudereductie voor metingen met en zonder demper voor verschillende shakersignalen Uit de metingen met demper lijkt een plateau op te treden zoals ook voorspeld wordt met het model. Echter er zijn een aantal pieken zichtbaar op dit plateau rondom de werkfrequentie. Dit verschijnsel is niet eenvoudig te verklaren en hiervoor zullen meerde metingen nodig zijn. Vooralsnog wordt hier de aanname gemaakt dat voor de amplitudereductie de hoogte van het plateau genomen moet worden. Het verschijnsel kan echter niet genegeerd worden maar hier is uitgebreider onderzoek voor nodig. Beide pieken van de metingen zonder demper liggen rond 20 db met 1 db verschil, dus kan aangenomen worden dat de kracht recht evenredig is met de spanning die uitgestuurd wordt. Een andere conclusie die getrokken kan worden uit figuur 13.9 en is dat bij een shakersignaal van 1 á 1.5 V de optimale verhouding voor de wrijvingskracht in de buurt komt. De afplatting komt hierbij in de grafiek terwijl deze bij shakersignaal 0.05 V niet zichtbaar is. De meting zonder demper is twee keer minder uitgevoerd dan de meting met demper. Omdat de twee metingen waarvoor geen vergelijkbare meting zonder demper is uitgevoerd, worden de waarden aangenomen van de meting die het dichtst in de buurt lag. In tabel 13.2 zijn de resultaten weergegeven, de twee metingen die fictief zijn, zijn met een sterretje aangeduid. TU/e H13 Experimenten demper 96

99 Tabel 13.2 Resultaten Amplitudereductie Shakersignaal Met demper Zonder demper Verschil Amplitudereductie [V] [db] [db] [db] * * Uit tabel 13.2 blijkt dat met de demper een goede amplitudereductie behaald kan worden in de buurt van de optimale verhouding tussen wrijvingskracht en excitatiekracht. Dempingscoëfficiënt De dimensieloze dempingscoëfficiënt kan bepaald worden met de half-power bandwith methode. Hierbij wordt in de frequentie response functie gekeken naar de half-power punten waarvoor vergelijking (13.1) geldt. 2 2 H max H ( i ) (13.1) 2 Met deze half-power punten kan vervolgens de dempingscoëfficiënt bepaald worden volgens vergelijking (13.2) (13.2) De resultaten van deze methode zijn te gebruiken om de demping door de shaker af te schatten. De resultaten zijn weergegeven in tabel Tabel 13.3 Resultaten dempingscoëfficiënt Meting Shakersignaal [V] Demper Dempingscoëfficiënt [ - ] Met demper * * Zonder demper De resultaten die met een * zijn aangegeven zijn minder nauwkeurig omdat wederom uitgegaan is van het plateau. De conclusie die getrokken kan worden uit de schattingen met de half-power bandwith methode is dat de demping van de opstelling met shaker een factor 4 á 5 hoger ligt dan de opstelling zonder shaker. De demping van de opstelling met demper ligt echter ongeveer een factor 8 á 10 hoger. Hiervoor is gekeken naar de demper rond zijn optimale werkgebied, namelijk de eerste en de vierde meting. Het is dus acceptabel om met deze opstelling de amplitudereductie te bekijken zoals in tabel 13.2 is weergegeven. TU/e H13 Experimenten demper 97

100 13.4 Terugkoppeling Uit de experimenten 1, 2 en 3 is duidelijk aangetoond dat de demper werkt volgens het principe van droge wrijving. Voor deze toepassing is het echter niet alleen een goede werking interessant, maar ook de nauwkeurigheid waarmee het theoretische model de werkelijkheid voorspelt. Bij de terugkoppeling tussen het theoretische model uit hoofdstuk 5 en het gemaakte prototype uit hoofdstuk 10 zal de experimentele data uit experiment 3 gebruikt worden, omdat deze toegebrachte excitatie goed te vergelijken is met het model. De vergelijkingen die gemaakt worden, zijn zodanig alleen vastgesteld bij de korte balk met extra massa. Er zal eerst een vergelijking gemaakt worden tussen de belangrijke theoretische parameters van ASML en het prototype. Vervolgens wordt de gemeten amplitudereductie vergeleken met de theoretische voorspelling van het prototype. Als laatste wordt er getracht de adaptiviteit te bewijzen. Gebruikte modelparameters Uit het theoretische model van de tuned-mass damper voor de balk van ASML, volgde in hoofdstuk 5 dat de maximale demping behaald kan worden met een maximale massa, een gelijke eigenfrequentie en een relatief lage wrijvingskracht. Zover mogelijk zijn deze optimale instellingen gebruikt voor het realiseren van de adaptieve demper. Er zijn echter wel enkele verschillen ontstaan in de testopstelling. In tabel 13.4 zijn de aangenomen, ontworpen en gemeten parameters te vinden die van belang zijn in het model. Tabel 13.4 De aangenomen, ontworpen en gemeten parameters voor ASML en het Prototype Parameter ASML Prototype Equivalente massa lege balk 150 kg 8.8 kg Eigenfrequentie lege balk 52 Hz 56 Hz Eigenfrequentie lege balk Hz shaker Dempingscoëfficiënt lege balk 0.1 % % Dempingscoëfficiënt lege balk+shaker % Dempermassa Eigenfrequentie demper 52 Hz 52 Hz Stijfheid demper 1.9*10 5 N/m 1.8*10 5 N/m Optimale Wrijvingscoëfficiënt Eigenfrequentie balk+demper 52 Hz 52 Hz Eigenfrequentie - 51 Hz balk+shaker+demper Dempingscoëfficiënt balk+demper+shaker - 10 % Wanneer deze waarden van het prototype bekend zijn, kan de overdracht berekend worden voor verschillende excitaties. Deze kunnen dan vergeleken worden met de excitaties uit experiment 3. Het enige probleem is dat de excitatiekracht uit experiment 3 niet precies bekend is. Bij experiment 3 wordt er namelijk de overdracht berekend tussen de uitgestuurde spanning naar de shaker en de TU/e H13 Experimenten demper 98

101 gemeten versnelling van de balk. De precieze excitatiekracht en verplaatsing van de balk is nog steeds niet precies bekend. Wanneer er echter in het theoretische model naar de overdracht gekeken wordt, wordt er gekeken naar de overdracht tussen de excitatiekracht op de balk en de verplaatsing van de balk. Aan de hand van de gemeten waarden van experiment 3 kan er alleen een schatting gemaakt worden van de grootte van de verhouding tussen de wrijvingskracht en de excitatiekracht van de demper bij een bepaalde excitatie. Deze terugkoppeling zou dus beter uitgevoerd kunnen worden als ook de gegevens van de excitatiekracht op de balk en de verplaatsing van de balk bekend zijn. Amplitudereductie In paragraaf 13.3 is bepaald wat de maximale gemeten amplitudereductie is van de balk en demper combinatie. Hiervoor is de overdracht van de lege balk met de shaker vergeleken met die van de balk met demper (wederom met de shaker). Dit gaat nu vergeleken worden met de voorspelde overdracht van beide gevallen. Deze vergelijking gebeurt op het zelfde domein als de experimenten gedaan zijn, namelijk tussen de 42 en 62 Hz. Bij de metingen die te zien zijn in figuur 13.9 en is voorspeld dat de demper bij deze excitatie rond zijn optimale verhouding werkt. Dit is voorspeld, omdat de vorm van de overdracht sterk overeenkomt met de optimale waarde die te zien is in de theoretische modellen. Om deze reden wordt de amplitudereductie van deze meting vergeleken met het optimale geval uit het theoretische model. Deze meting geeft een amplitudereductie van een factor 53. De voorspelde overdracht van de lege balk met de shaker is in figuur weergegeven met de blauwe lijn. Die van de balk met de adaptieve wrijvingsdemper in het optimale geval is weergegeven met de rode lijn. De theoretische amplitudereductie die hieruit volgt is in dit geval een factor 25 (28 db). De reden dat deze optimale voorspelde waarde lager ligt dan de gemeten waarde, heeft waarschijnlijk te maken met het feit dat de adaptiviteit (niet meegenomen in het model) zorgt voor een betere amplitudereductie. Figuur De amplitudereductie in de overdracht tussen de lege balk en de balk met demper TU/e H13 Experimenten demper 99

102 Adaptiviteit In figuur is alleen de optimale voorspelde overdracht weergegeven, maar om de adaptiviteit van de demper te bewijzen, zijn er meerdere metingen nodig. Bij experiment 3 is de excitatiekracht vier keer aangepast. Hierdoor is het mogelijk om de adaptiviteit van de demper te bewijzen, door aan te tonen dat de breedte van in de praktijk groter is dan die weergegeven wordt in het theoretische model. Dit wil zeggen dat de afplatting door de niet-lineaire wrijving, die te zien is in de overdracht, over een groter bereik van excitaties verspreid wordt. In het theoretische model is deze adaptiviteit niet zichtbaar, omdat er niet uitgegaan wordt van een variabele wrijvingskracht. De droge wrijving wordt gemodelleerd met een equivalente dempingsconstante c eq. Om dit te illustreren wordt in figuur de voorspelling van de overdracht weergegeven, waarbij verandert. Hierbij moet vermeld worden dat figuur niet overeenkomt met figuur omdat de modelparameters anders gekozen zijn. In figuur wordt de voorspelde overdracht voor het ASML probleem weergegeven, terwijl figuur de voorspelde overdracht van de gerealiseerde situatie weergeeft. Zoals in hoofdstuk 10 besproken is, blijkt uit figuur dat het niet nodig is om op de optimale waarde te leggen. Het is verstandiger om een te grote wrijvingskracht te kiezen, aangezien bij een te lage wrijvingskracht de amplitudereductie snel af zal nemen. Figuur De voorspelling van de overdracht tussen de excitatie op de balk en de verplaatsing van de balk voor verschillende waarden van In paragraaf 13.3 Is gebleken dat de verdubbeling van de aangestuurde spanning ook een verdubbeling geeft van de excitatie. Omdat de aangestuurde spanning bij de optimale werking van de demper ook bekend is (namelijk bij een spanning van 1.5 V), is het nu mogelijk om de vorm van de voorspelde overdrachten te vergelijken met de gemeten overdrachten. In tabel 13.5 worden de berekende wrijvingsfactoren weergegeven. TU/e H13 Experimenten demper 100