Beste leerling, We wensen je heel veel succes vandaag en op je examen straks! Namens het team van de Nationale Examentraining,

Transcriptie

1 Trainingsboek Wiskunde B HAVO 2015

2 Beste leerling, Welkom op de examentraining Wiskunde B Havo! Het woord examentraining zegt het al: trainen voor je examen. Tijdens deze training behandelen we de examenstof in blokken en oefenen we ermee. Daarnaast besteden we ook veel aandacht aan de vaardigheden voor je examen; je leert handigheidjes, krijgt uitleg over de meest voorkomende vragen en leert uit welke onderdelen een goed antwoord bestaat. Verder gaan we in op hoe je de stof het beste kunt aanpakken, hoe je verder komt als je het even niet meer weet en vooral ook hoe je zorgt dat je overzicht houdt. Naast de grote hoeveelheid informatie die je krijgt, ga je zelf ook aan de slag met examenvragen. Tijdens dit oefenen zijn er genoeg trainers beschikbaar om je verder te helpen, zodat je leert werken met de goede strategie om je examen aan te pakken. Hierbij is de manier van werken belangrijk, maar je kunt natuurlijk altijd inhoudelijke vragen stellen, ook over de onderdelen die niet klassikaal behandeld worden. De stof die behandeld wordt komt uit de syllabus, die te vinden is op en de oefenvragen zijn gebaseerd op eerdere examenvragen. Ook de eerdere examens zijn te vinden op Voor iedere vraag zijn er uiteraard uitwerkingen beschikbaar, maar gebruik deze informatie naar eigen inzicht. Vergeet niet dat je op je examen ook geen uitwerkingen krijgt. Sommige vragen worden klassikaal besproken, andere vragen moet je zelf nakijken. Na de tips volgt het programma voor vandaag. We verwachten niet dat je alle opgaven binnen de tijd af krijgt, maar probeer steeds zo ver mogelijk te komen. Als je niet verder komt, vraag dan om hulp! Het doel van de training is immers te leren hoe je er wél uit kunt komen. En onthoud goed, nu hard werken scheelt je straks misschien een heel jaar hard werken We wensen je heel veel succes vandaag en op je examen straks! Namens het team van de Nationale Examentraining, Eefke Meijer Hoofdcoördinator Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

3 Tips en trics voor voorbereiden en tijdens je examens Examens voorbereiden Tip 1: Je bent al voor een belangrijk deel voorbereid. Laat je niet gek maken door uitspraken als Nu komt het er op aan. Het examen is een afsluiting van je hele schoolperiode. Je hebt er dus jaren naartoe gewerkt en hebt in die tijd genoeg kennis en kunde opgedaan om examen te kunnen doen. In al die jaren ben je nooit wakker geworden om vervolgens te ontdekken dat al je Engelse kennis was verdwenen. De beste garantie voor succes is voorbereiden, en dat is nu net wat je al die jaren op school hebt gedaan. Tip 2: Maak een planning voor de voorbereiding die je nog nodig hebt. Deze voorbereidingen bestaan uit twee onderdelen: leren en vragen oefenen. Als je hiermee aan de slag gaat, plan dan niet teveel studie-uren achter elkaar. Pauzes zijn noodzakelijk, maar zorg ervoor dat ze kort blijven, anders moet je iedere keer opnieuw opstarten. Wissel verschillende taken en vakken af, want op die manier kun je je beter concentreren. Wat je concentratie (en je planning) ook ten goede komt, is leren op vaste tijdstippen. Je hersenen zijn dan na een paar keer voorbereid op die specifieke activiteit op dat specifieke moment. Tip 3: Leer op verschillende manieren (lezen, schrijven, luisteren, zien en uitspreken) Alleen maar lezen in je boek verandert al snel naar staren in je boek zonder dat je nog wat opneemt. Wissel het lezen van de stof in je boek dus af met het schrijven van een samenvatting. Let op dat je in een samenvatting alleen belangrijke punten overneemt, zodat het ook echt een samenvatting wordt. Veel docenten hebben tegenwoordig een eigen youtube-kanaal. Maak daar gebruik van, want op die manier komt de stof nog beter binnen omdat je er naar hebt kunnen luisteren. Met mindmaps zorg je er voor dat je de stof voor je kunt zien en kunt overzien. Het werkt tot slot heel goed om de stof aan iemand uit te leggen die de stof minder goed beheerst dan jij. Door uit te spreken waar de stof over gaat merk je vanzelf waar je nog even in moet duiken en welke onderdelen je prima beheerst. Tip 4: Leer alsof je examens zit te maken Oefenen voor je examen bestaat natuurlijk ook uit het voorbereiden op de situatie zelf. Dit betekent dat je je leeromgeving zoveel mogelijk moet laten lijken op je examensituatie. Zorg dus voor zo min mogelijk afleiding (lees: leg je telefoon een uurtje weg), maak je tafel zo leeg mogelijk. Je traint op deze manier je hersenen om tijdens je echte examensituatie niet veel aandacht aan de omgeving (en het gemis van je telefoon) te hoeven besteden. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

4 Zorg voor jezelf! Tip 1: Verdiep je in ontspanningstechnieken Rust in je hoofd is van groot belang tijdens het leren. Sommigen weten dit prima uit zichzelf voor elkaar te krijgen, maar anderen kost dit wat meer moeite. Gelukkig zijn hier trucs voor, die we ontspanningsoefeningen noemen. Ademhalingsoefeningen kunnen al genoeg zijn maar ook yoga helpt je zeker om tot rust te komen. Voor deze ontspanningsoefeningen hoef je geen uren uit te trekken, 10 minuten is al voldoende. Sporten kan ook een goede ontspanningstechniek zijn, al kost dat natuurlijk meer tijd. Bijkomend voordeel is dan wel weer dat je beter kunt denken (en dus leren) als je fit bent. Tip 2: Vergeet niet te slapen Chinese en Amerikaanse onderzoekers hebben ontdekt waarom slapen goed is voor je geheugen. Tijdens je slaap worden er namelijk nieuwe synapsen opgebouwd. Dit zijn verbindingen tussen je hersencellen. Hoewel het onderzoek is uitgevoerd bij muizen, zeggen de onderzoekers dat ook stampende scholieren hier een les uit kunnen trekken: Langdurig onthouden lukt beter als je na het leren gaat slapen, in plaats van eindeloos door te blijven leren. Want, muizen die een uurtje leerden en daarna gingen slapen haalden betere resultaten dan muizen die drie uur trainden en daarna wakker gehouden werden. Tip3: Let op wat je eet Het onderzoek naar het verband tussen voeding en geheugen staat weliswaar nog in de kinderschoenen, toch zijn er al belangrijke, handige zaken uit naar voren gekomen. En waarom zou je daar geen gebruik van maken? Zo is het inmiddels duidelijk dat je hersenen veel energie nodig hebben in periodes van examens, dus ontbijt elke dag goed. Let dan wel op wat je eet, want brood, fruit en pinda s leveren meer langdurige energie dan koekjes. Koffie, thee en sigaretten hebben geen positief effect op je geheugen, dus vermijd deze zaken zo veel mogelijk. En dan het examen zelf En dan is de dag gekomen. Je zit in de gymzaal, het ruikt een beetje vreemd, je voelt je een beetje vreemd. De docent of misschien zelfs wel de rector begint te gebaren en dan begint het uitdelen. Dan het grote moment: je mag beginnen. Tip 1: Blijf rustig en denk aan de strategieën die je hebt geleerd Wat doe je tijdens het examen? - Rustig alle vragen lezen - Niet blijven hangen bij een vraag waar je het antwoord niet op weet - Schrijf zoveel mogelijk op maar. voorkom wel dat je onzinverhalen gaat schrijven. Dat kost uiteindelijk meer tijd dan dat het je aan punten gaat opleveren. - Noem precies het aantal antwoorden, de redenen, de argumenten, de voorbeelden die gevraagd worden. Schrijf je er meer, dan worden die niet meegerekend en dat is natuurlijk zonde van de tijd. - Vul bij meerkeuzevragen duidelijk maar één antwoord in. Verander je je antwoord, geef dit dan duidelijk aan. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

5 - Ga je niet haasten, ook al voel je tijdsdruk. Tussendoor even een mini-pauze nemen en je uitrekken is alleen maar goed voor je concentratie. En het helpt ook om stijve spieren te voorkomen. - Heb je tijd over? Controleer dan of je volledig antwoord hebt gegeven op álle vragen. Hoe saai het ook is, het is belangrijk, je kunt immers gemakkelijk per ongeluk een (onderdeel van een) vraag overslaan. Tip 2: Los een eventuele black-out op met afleiding Mocht je toch een black-out krijgen, bedenk dan dat je kennis echt niet verdwenen is. Krampachtig blijven nadenken versterkt de black-out alleen maar verder. Het beste is om even iets anders te gaan doen. Ga even naar de WC, rek je even uitgebreid uit. Als je goed bent voorbereid, zit de kennis in je hoofd en komt het vanzelf weer boven. En mocht het bij die ene vraag toch niet lukken, bedenk dan dat je niet alle vragen goed hoeft te hebben om toch gewoon je examen te halen. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

6 Programma Blok 1 Blok 2 Blok 3 Blok 4 Blok 5 Blok 6 Kennismaking en inleiding Algebraïsche vaardigheden Differentiëren Goniometrie Ruimtefiguren Exponentiële functies Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

7 Blok 1 Kennismaking en inleiding Kennismaking We gaan een lange maar leuke dag tegemoet, daarom nemen we nu even de tijd om elkaars naam te leren kennen. Ook zal geïnventariseerd worden welke onderwerpen extra aandacht verdienen in deze groep omdat ze als moeilijk ervaren worden. Inleiding We zullen je nu wat algemene tips geven voor het aanpakken van een examenvraag bij wiskunde. Als je nog vragen hebt over het examen krijg je nu ook de kans om deze te stellen, al mag dat de hele dag door natuurlijk. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

8 Blok 2 Algebraïsche bewerkingen Volgorde van bewerkingen 1. Haakjes 2. Machten/wortels 3. Vermenigvuldigen/delen 4. Optellen/aftrekken Vooral voor de invoer in je GR is dit belangrijk De breuk x 3 voer je in je GR in als (x-3)/(x+5). x+5 Als je een breuk tot een macht verheft, dan zet je de breuk tussen haakjes: (2/3)^2 Ook als je een breuk in de macht hebt, moet deze tussen haakjes: 0,8^(1/7) Rekenen met breuken Vermenigvuldigen a b c a c = d b d Delen a b / c d = a b d a d = c b c Optellen a b + c d = ad bd + bc ad + bc = bd bd Kruislings vermenigvuldigen a b = c a d = b c d Wortels A B = AB A = B A = B 2 Als je een vergelijking op lost is het altijd goed om je antwoorden te controleren, maar als je een wortel weg gewerkt hebt is het zelfs essentieel omdat niet alle verkregen antwoorden altijd een oplossing geven voor het beginprobleem. Je kunt er wel vanuit gaan dat je alle oplossingen gevonden hebt. Ga dit voor jezelf na bij x + 2 2x + 5 = 3x + 2. Rekenregels machten a p a q = a p+q a p / a q = a p q (a p ) q = a pq c a b = a b/c a 0 = 1 Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

9 Ongelijkheden Een methode om ongelijkheden op te lossen is 1. Gelijkstellen en oplossen. Je vindt dan de snijpunten van de twee functies. 2. Plotten op je GR en kijken of je vergelijking voor of na de snijpunten voldoet aan de ongelijkheid. 3. Controleren op het domein voor wortels breuken logaritmen Voorbeeld: x 2 < 4 1. Gelijkstellen en oplossen x 2 = 4 x 2 = 16 x = Plot op je GR x 2 < 4 als x < Onder de wortel mag het niet negatief worden x 2 0 x 2 Antwoord 2 x < 18 Functies Lineair y = a x + b Kwadratisch y = a x 2 + b x + c abc formule: b ± b2 4ac 2a Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

10 Blok 3 Differentiëren Door een functie te differentiëren kun je de helling van een functie bepalen. Differentiëren: Rekenregels Somregel: Productregel: Quotiëntregel: Kettingregel: y = a x n y = n a x n 1 s(x) = g(x) + h(x) s (x) = g (x) + h (x) p(x) = f(x) g(x) p (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) q(x) = f(x) q (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) (g(x)) 2 k(x) = f(g(x)) k (x) = f (g(x))g (x) Maximum of minimum bepalen Je kunt het maximum van een functie f(x) berekenen door op te lossen f (x) = 0. Stijgend of dalend Je moet aan de hand van een functie of de afgeleide hiervan kunnen beredeneren of de bijbehorende grafiek stijgend of dalend is. f (x) > 0 en f (x) stijgend toenemende stijging f (x) > 0 en f (x) dalend afnemende stijging f (x) < 0 en f (x) stijgend afnemende daling f (x) < 0 en f (x) dalend toenemende daling Raaklijn opstellen De raaklijn van f(x) voor een punt (x, y)stel je als volgt op: 1. Schrijf op y = ax + b 2. Bereken de afgeleide f (x). 3. Bereken a door je x-waarde in te vullen in f (x). 4. Bereken b door je y-, a-, en x-waarde in te vullen in y = ax + b. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

11 Blok 4 Goniometrie Eerst worden klassikaal de tabellen van sinus, cosinus en tangens doorgenomen en de regels voor het rekenen hiermee. Formule f(x) = b + a sin (c (x d)) of f(x) = b + a cos (c (x d)) a = amplitude b = evenwichtstand c = 2π / periode d = verschuiving van standaard formule naar rechts Tabel x π 1 4 π 1 3 π 1 2 π sin x = = = 1 cos x = = = 0 tan x = K. N. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

12 Vergelijkingen oplossen De sinus en cosinus zijn periodieke functies, daarom moet je er rekenen mee houden dat je voor een vergelijking meerdere oplossingen krijgt. Vaak wordt gevraagd om alle oplossingen op een gegeven domein te geven. Om deze oplossingen te vinden kun je de volgende stappen volgen. 1. Zodra je een vergelijking hebt van de vorm sin (a) =... of cos (a) =... kijk in de tabel of los op met je GR als het niet exact hoeft. 2. Denk na over de tweede oplossing. Er geldt 2 e oplossing sinus = π 1 e oplossing 2 e oplossing cosinus = 1 e oplossing 3. Schrijf achter allebei je oplossingen +2π k 4. Los verder op tot je een vergelijking hebt van de vorm x =... (5. Kijk welke oplossingen er binnen het gegeven domein vallen) Oefen klassikaal met sin x = 1 2 cos 2x 1 2 = 0 op het domein (0,2π) Regels Zorg dat je de volgende regels kent sin 2 x + cos 2 x = 1 sin x = sin x cos x = cos x Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

13 Blok 5 Ruimtemeetkunde Zorg ervoor dat je belangrijk eigenschappen van figuren weet zoals: Omtrek van een cirkel: 2 π r Oppervlakte van een cirkel: π r 2 Inhoud piramide: 1 opp grondvlak h 3 Inhoud cilinder: π r 2 h Inhoud kegel: 1 π 3 r2 h Oppervlakte bol: 4 π r 2 Inhoud bol: 4 π r3 3 Bij het aanpakken van een probleem let je op: Wat wordt precies gevraagd Welke gegevens heb je Welke gegevens zou je graag willen weten (en kun je deze bepalen?) Denk bij rechte hoeken bijvoorbeeld aan Pythagoras (a 2 + b 2 = c 2 ) Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

14 Blok 6 Exponentiële functies Exponentiële functies kom je vaak tegen bij groeiprocessen. Als je hier algebraïsch mee wilt rekenen moet je ook de formules voor de logaritmen kennen. Formule De algemene formule: y = b g t b is het startgetal de grafiek snijdt hier de y-as (bij t = 0) g is de groeifactor deze geeft aan hoe veel de grafiek per stapje groeit Grafiek De grafiek van een exponentiële functie is of toenemend stijgend of afnemend dalend Groeifactor bepalen Bij een procentuele toename: g = 1 + Toename in % 100 Bij een procentuele afname: g = 1 Afname in % 100 Als er twee punten zijn gegeven: g = Nieuw Oud Groeifactor omrekenen Je moet de groeifactor om kunnen rekenen naar een andere tijdseenheid Stel de we weten dat de groeifactor per dag 1,3 is, en we we willen de groeifactor g per uur weten. Een uur is 1/24 dag dus g = 1, = 1,011 Stel de groeifactor per dag is 0,8 en we willen de groeifactor g per week weten. Omdat er zeven dagen in een week zitten geldt g = 0,8 7 = 0,210 Verdubbelingstijd en halveringstijd uitrekenen De verdubbelingstijd kun je berekenen door op te lossen g t = 2 De halveringstijd kun je berekenen door op te lossen g t = 0,5 Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

15 Logaritmische functies Je kunt een exponentiële vergelijking oplossen met behulp van logaritmen. a x a = b x = log b Je moet de volgende rekenregels toe kunnen passen: a log b = g log b g log a g log a + g log b = g log(a b) g g g log a log b = log( a ) b g log a b = b g log a Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

16 Opgaven Blok 2 Algebraïsche bewerkingen Opgave 1: Twee functies De functies f en g zijn gegeven door f(x) = x x + 2 en g(x) = x 2. De grafieken van f en g snijden elkaar in de punten A en B. a) Bereken exact de x-coördinaten van A en B. Opgave 2: Zuinig inpakken In deze opgave wordt een balkvormige doos in een rechthoekig vel papier ingepakt. De hoogte van de doos noemen we h, de breedte b en de lengte l. Zie foto 1. Alle maten zijn in centimeter. Er geldt h b l. Het papier wordt eerst strak in de lengterichting om de doos gevouwen. Het papier is zo lang dat twee randen ervan precies tegen elkaar aan komen. Zie foto 2. De lengte van het papier in centimeter is dus 2l + 2h. Vervolgens wordt het papier aan de voor- en achterkant strak tegen de doos aan gevouwen. Het papier is zo breed dat de randen van het papier precies tegen elkaar aan komen. Zie foto 3. De breedte van het papier in centimeter is dus b + h. De oppervlakte van het papier in cm 2 noemen we O. a) Druk O uit in b, l en h. Werk de haakjes weg. We vragen ons af hoe groot de maximale inhoud van een balkvormige doos is als we deze op de beschreven manier in een stuk cadeaupapier van 120 cm bij 50 cm verpakken. Als de doos op deze manier wordt ingepakt, geldt: 2l + 2h = 120 en b + h = 50. Met behulp van bovenstaande gegevens is de inhoud I in cm 3 uit te drukken in de breedte b. Er geldt: I = b(b + 10)(50 b) b) Toon dit aan. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

17 Opgave 3: Tornadoschalen In tornado s kunnen hoge windsnelheden bereikt worden. De zwaarte of heftigheid van een tornado wordt intensiteit genoemd. Er zijn verschillende schalen om de intensiteit van een tornado uit te drukken in een getal. Zo is er de Fujita-schaal die in 1971 is ontwikkeld. Voor de intensiteit op de Fujita-schaal geldt de volgende formule: F = ( v 2 6,3 ) 3 2 Hierin is v de maximale windsnelheid in de tornado in m/s en F de intensiteit van de tornado op de Fujita-schaal. F wordt afgerond op een geheel getal. In een zware tornado worden maximale windsnelheden van ongeveer 280 km/u bereikt. a) Bereken de intensiteit van deze tornado op de Fujita-schaal. Een tornado met intensiteit 4 op de Fujita-schaal komt niet zo vaak voor. b) Bereken de minimale waarde van v in zo n tornado. Rond je antwoord af op één decimaal. Een andere schaal voor de intensiteit van tornado s is de in 1972 ontwikkelde Torro-schaal T. Het verband tussen v en T wordt gegeven door de formule: v = 2,39 (T + 4) 3 2 Hierin is v de maximale windsnelheid in de tornado in m/s en T de intensiteit van de tornado op de Torro-schaal. T wordt afgerond op een geheel getal. Door de formule van de Torro-schaal in te vullen in de formule van de Fujita-schaal en vervolgens de ontstane formule te herleiden, kan worden aangetoond dat er een lineair verband bestaat tussen de onafgeronde F- en T-waarden. Dit lineaire verband kan worden beschreven met een formule van de vorm F = at + b. c) Bereken de waarden van a en b. Rond je antwoorden af op twee decimalen. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

18 Opgave 4: Vliegende parkieten De wetenschapper Vance Tucker heeft onderzocht hoeveel energie een parkiet verbruikt bij het vliegen met verschillende snelheden. Uit zijn onderzoek blijkt dat de hoeveelheid energie die een parkiet per meter bij een bepaalde snelheid verbruikt, bij benadering berekend kan worden met behulp van de formule D = 6,0 v 2 + 0,00050v2 0,033 Hierin is D het energieverbruik per meter (in Joule per meter, J/m) en v de snelheid in meter per seconde (m/s). De formule geldt voor v > 5. In de figuur zie je de grafiek die bij deze formule hoort. Een parkiet versnelt van 12 m/s naar 15 m/s. a) Bereken met hoeveel procent D toeneemt. Als het energieverbruik per meter minder is dan 0,10 J/m, kan een parkiet heel lang blijven vliegen. b) Bereken bij welke snelheden dit het geval is. Geef je antwoord in meter per seconde in één decimaal nauwkeurig. De snelheid waarbij het energieverbruik per meter minimaal is, heet de kruissnelheid. Om de kruissnelheid te berekenen, is de afgeleide van D nodig. Er geldt: dd dv = 12,0 v 3 + 0,00100v c) Bereken op algebraïsche wijze de kruissnelheid van parkieten in meter per seconde. Rond daarna je antwoord af op één decimaal. Opgave 5: Functies met een wortel Voor elke waarde van a is de functie f a gegeven door f a (x) = x x + a. Er is een waarde van a waarvoor het punt (27,108) op de grafiek van f a ligt. a) Bereken exact deze waarde van a. De functie f 18 is gegeven door f 18 (x) = x x In de figuur zijn de grafiek van f 18 en de lijn k met vergelijking y = 2x getekend. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

19 De lijn k snijdt de grafiek van f 18 in twee punten: O(0, 0) en het punt P. b) Bereken exact de lengte van het lijnstuk OP. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

20 Blok 3 Differentiëren Opgave 1: Gebroken functie De functie f is gegeven door f(x) = 60 x In de figuur is de grafiek van f getekend. De horizontale lijn met vergelijking y = 2 snijdt de grafiek van f in twee punten. a) Bereken exact de coördinaten van deze twee punten. Voor de afgeleide van f geldt: f (x) = 240x3 (x 4 +4) 2 b) Toon dit op algebraïsche wijze aan. Het punt A(2, 3) ligt op de grafiek van f. c) Bereken exact de waarden van a en b waarvoor y = ax + b een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in A is. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

21 Opgave 2: Wortels met raaklijn De functie f is gegeven door f(x) = 3 + 2x + 6. De grafiek van f snijdt de x-as in het punt A(1 1, 0). Verder zijn gegeven de punten B( 3,0) en C( 3, 3). Zie onderstaande figuur. 2 De helling van de grafiek van f in punt A is 1 3. a) Toon dit langs algebraïsche weg aan. De raaklijn in A aan de grafiek van f snijdt de lijn BC in het punt S. b) Toon aan dat S het midden van BC is. Opgave 3: Functies met een wortel Voor c > 0 is de functie f c gegeven door f c (x) = (x 2 11x + c) x. In figuur 1 is de grafiek van de functie f 28 (x) = (x 2 11x + 28) x getekend. a) Bereken exact de x-coördinaten van de snijpunten van de grafiek van f 28 met de x-as. Op de grafiek van f 28 ligt punt A. Punt A is een top van de grafiek. Zie figuur 1. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

22 b) Bereken met behulp van differentiëren de coördinaten van A. In figuur 2 is voor enkele waarden van c de grafiek van f c getekend. c) Bereken exact voor welke waarde van c de grafiek van f c de x-as raakt. Opgave 4: Bushalte Langs een rechte weg staan twee flatgebouwen. De ingang van flat 1 (punt E) ligt 40 meter van de weg af en de ingang van flat 2 (punt D) ligt 60 meter van de weg af. Men wil een bushalte plaatsen (punt B) en daarna van de bushalte naar de ingang van elk van de twee flats een recht voetpad aanleggen. Punt A is het punt aan de weg dat het dichtst bij de ingang van flat 1 ligt en punt C is het punt aan de weg dat het dichtst bij de ingang van flat 2 ligt. De afstand tussen punt A en punt C is 80 meter. In de figuur is van deze situatie een schematisch bovenaanzicht getekend. De lengte van het voetpad tussen de bushalte en de ingang van flat 1 in meters wordt gegeven door de formule BE = x en de lengte van het voetpad tussen de bushalte en flat 2 in meters wordt gegeven door de formule BD = x 2 160x Hierin is x de afstand tussen punt A en de bushalte B in meters. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

23 Het is mogelijk de bushalte zo te plaatsen dat de twee voetpaden even lang zijn. a) Bereken op algebraïsche wijze de waarde van x in deze situatie. De totale lengte van de twee voetpaden L in meters wordt gegeven door de formule: L = x x 2 160x Als de twee voetpaden even lang zijn, is de totale lengte van deze voetpaden (ongeveer) 132 meter. Men wil de bushalte zo plaatsen dat de totale lengte van de twee voetpaden minimaal is. Hierdoor hoeft er minder dan 132 meter voetpad aangelegd te worden. b) Bereken met behulp van differentiëren hoeveel meter minder. Opgave 5: Wortelfunctie De functie f is gegeven door f(x) = (4x 12) De lijn met vergelijking y = 2x 5 en de grafiek van f snijden elkaar niet. a) Toon dit op algebraïsche wijze aan. Er bestaat precies één lijn die evenwijdig is aan de lijn y = 2x 5 en die raakt aan de grafiek van f. Omdat deze lijn evenwijdig is aan de lijn heeft deze een vergelijking van de vorm y = 2x b. b) Bereken met behulp van differentiëren de exacte waarde van b. De functie g is gegeven door g = x. De grafiek van f ontstaat uit de grafiek van g door twee transformaties na elkaar toe te passen. c) Geef aan welke twee transformaties dit kunnen zijn en in welke volgorde ze moeten worden toegepast. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

24 Blok 4 Goniometrie Opgave 1: f boven g Op het domein [0, 4] zijn de functies f en g gegeven door f(x) = sin x en g(x) = x 1 6 x3. In de figuur zijn de grafieken van f en g getekend. De grafiek van g snijdt de x-as in de oorsprong en in punt A. De grafiek van f snijdt de x-as in de oorsprong en in punt B. a) Bereken exact de lengte van het lijnstuk AB. Het maximum van g kan geschreven worden in de vorm a b met b een zo klein mogelijk geheel getal. b) Bereken exact de waarden van a en b. De grafiek van f ligt voor 0 < x 4 boven de grafiek van g. c) Bereken de maximale waarde van x waarvoor het verschil tussen f (x) en g(x) minder dan 0,01 bedraagt. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

25 Opgave 2: Cosinus met lijnen De functie f is gegeven door f(x) = x + cos x en de lijn k is gegeven door y = x 1. In figuur 1 zijn de grafiek van f en de lijn k getekend op het interval [0,14]. De grafiek van f en de lijn k hebben op het interval [0,14] twee gemeenschappelijke punten. a) Bereken exact de coördinaten van deze punten. In de gemeenschappelijke punten van de grafiek van f en de lijn k raakt de lijn k aan de grafiek van f. In figuur 2 zijn weergegeven de grafiek van f, de lijn k en de lijn l die is gegeven door y = x + 1. De grafiek van f en de lijn l hebben op het interval [0,14] drie gemeenschappelijke punten en in deze gemeenschappelijke punten raakt de lijn l aan de grafiek van f. b) Toon dit met behulp van exacte berekeningen en differentiëren aan. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

26 In figuur 3 zijn weergegeven de grafiek van f, de lijn k die is gegeven door y = x 1en de lijn m die is gegeven door y = x + 4. De functie g is gegeven door g(x) = x a cos x. Voor een bepaalde positieve waarde 2 van a raken de lijnen k en m beide aan de grafiek van g. c) Onderzoek voor welke positieve waarde van a dit het geval is. Opgave 3: Derdegraadsfunctie en sinus De functies f en g zijn gegeven door f(x) = x 3 + 4x en g(x) = a sin(πx). In de oorsprong zijn de hellingen van de grafieken van f en g gelijk. a) Bereken exact de waarde van a. Opgave 4: Grafiek van een cosinus In de figuur is op het interval [0, 5] een sinusoïde getekend. Deze sinusoïde is te beschrijven met een vergelijking van de vorm y = a + b cos(c(x d)). a) Bepaal geschikte waarden van a, b, c en d zodat y = a + b cos(c(x d)) een vergelijking is van deze sinusoïde. Licht je werkwijze toe. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

27 Opgave 5: Sinusoïdes De functies f en g zijn gegeven door f(x) = 4 sin(x 1 1 π) en g(x) = 4 sin(x + π) Deze twee functies hebben dezelfde evenwichtsstand en dezelfde periode. In de figuur zie je (een deel van) de grafieken van de functies f en g. Je kunt de grafiek van f horizontaal over een afstand m verschuiven, zodat deze samenvalt met de grafiek van g. a) Bereken exact een mogelijke waarde van m. De verschilfunctie v is gegeven door v(x) = f(x) g(x). Hieruit volgt dat v(x) kan worden geschreven in de vorm v(x) = a + b sin(c(x d)). b) Bereken mogelijke waarden van a, b, c en d. Rond de gevonden waarden zo nodig af op twee decimalen. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

28 Blok 5 Ruimtemeetkunde Opgave 1: Bloembak Op de foto is een bloembak afgebeeld. De bloembak heeft de vorm van een (omgekeerde) halve kegel met boven aan de vlakke achterkant een extra halve cirkelschijf voor de bevestiging. De totale hoogte van de bloembak is 39,0 cm. De straal van de extra halve cirkelschijf is 9,0 cm. In de figuur is de bloembak schematisch getekend. a) Teken op schaal 1 : 3 het zijaanzicht van de bloembak in de kijkrichting PQ. Zo n bloembak wordt gemaakt door uit een plaat metaal de verschillende stukken te snijden en deze dan aan elkaar te lassen. b) Bereken hoeveel cm2 metaal hiervoor nodig is. De bloembak wordt met 1 liter potgrond gevuld. Dit is niet genoeg om de bloembak tot de rand te vullen. c) Bereken tot hoeveel centimeter onder de rand de potgrond komt. Rond je antwoord af op één decimaal. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

29 Opgave 2: Theezakje Theezakjes zijn er in diverse vormen. In deze opgave bekijken we een theezakje in de vorm van een piramide. Zie de foto. De in figuur 1 getekende piramide T.ABC is een model van het theezakje. De vier zijvlakken van deze piramide zijn gelijkzijdige driehoeken met zijden van 6 cm. Punt D is het midden van AB. In figuur 1 zijn ook CD en TD en het punt S recht onder T op CD aangegeven. Er geldt CS : DS = 2 :1. Voor de productie van deze theezakjes wordt gaas gebruikt. De piramide wordt gevouwen uit een plat stuk gaas. Waar twee delen van randen van het stuk gaas door het vouwen tegen elkaar aan zijn gekomen, worden deze aan elkaar vast gemaakt zodat er naden in het theezakje ontstaan. In figuur 2 zijn de naden dik getekend. Het betreft de lijnstukken AB, DT en CT. Er geldt CD = TD. Uit de gegevens volgt: CD = 27 cm en de hoogte TS van de piramide is 24 cm. a) Toon door exacte berekening aan dat uit de gegevens volgt CD = 27 cm en TS = 24 cm. Door de piramide van figuur 2 langs de naden AB, DT en CT open te knippen en vervolgens open te vouwen, krijg je een uitslag van de piramide. b) Teken deze uitslag op ware grootte. Zet daarin de letters A, B, C, D en T op de juiste plaatsen. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

30 Opgave 3: Afgeknotte piramide Gegeven is de piramide T.ABCD. Het grondvlak ABCD van deze piramide is een vierkant met zijde 6. De top T ligt recht boven D. De hoogte van de piramide is dus gelijk aan de lengte van DT. Deze is 8. De piramide wordt afgeknot op hoogte 4. Hierdoor ontstaat de afgeknotte piramide ABCD.EFGH. Zie onderstaande figuur. a) Teken het bovenaanzicht van de afgeknotte piramide ABCD.EFGH. Zet de letters bij de hoekpunten. b) Bereken de totale oppervlakte van de afgeknotte piramide ABCD.EFGH. Opgave 4: Kegels en kubus Gegeven is de kubus ABCD.EFGH met ribbe 1. In deze kubus passen kegels waarvan de grondcirkel in het grondvlak van de kubus ligt en waarvan de top in het bovenvlak van de kubus ligt. Van deze kegels heeft de kegel waarvan de grondcirkel raakt aan de zijden van vierkant ABCD de grootste inhoud. Zie figuur 1. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

31 a) Bereken exact de inhoud van de kegel met de grootste inhoud die in de kubus ABCD.EFGH past. Er zijn ook kegels die precies om de kubus ABCD.EFGH met ribbe 1 passen. Hiermee bedoelen we dat geldt: - het grondvlak ABCD van de kubus ligt in het grondvlak van de kegel; - de hoekpunten E, F, G en H van het bovenvlak van de kubus liggen op de kegelmantel; - het middelpunt M van de grondcirkel van de kegel ligt recht onder de top T van de kegel. Zie bijvoorbeeld de figuren 2 en 3. In figuur 4 is een verticale doorsnede door A, C en T getekend. Het punt N is het snijpunt van MT met het bovenvlak van de kubus. De afstand van de top T van de kegel tot het bovenvlak van de kubus noemen we x. De lengte van de straal PM van de grondcirkel van de kegel kan uitgedrukt worden in x. Er geldt: PM = (x 2 x ) b) Leid deze formule af met behulp van gelijkvormigheid van driehoeken. Voor de inhoud I van de kegel geldt: I = 1 6 π (x x 1 + x 2 ) Er bestaan twee kegels met inhoud 4 3 π die precies om kubus ABCD.EFGH passen. c) Bereken de hoogten van deze twee kegels. Rond (indien nodig) je antwoord af op één decimaal. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

32 d) Bereken met behulp van differentiëren de kleinst mogelijke inhoud van een kegel die precies om kubus ABCD.EFGH past. Opgave 5: Hearst Tower In 2006 is in New York de Hearst Tower gebouwd op de plek waar sinds 1928 het Hearst building staat. Bij de bouw van de Hearst Tower zijn alleen de buitenmuren van het Hearst Building blijven staan. De Hearst Tower heeft een plat dak en is 182,0 m hoog. De gehele toren bestaat uit drie delen. Het onderste deel is het oude gebouw. Daarbovenop zit een laag die de vorm heeft van een balk. De hoogte van deze laag en het oude gebouw samen is 33,8 m. Van het bovenste deel van de toren bestaan de verticale wanden uit even grote gelijkzijdige driehoeken. Er staan negen lagen van zulke driehoeken op elkaar. Zie de foto. Uit deze gegevens volgt dat de hoogte van zo n gelijkzijdige driehoek ongeveer 16,5 m is en dat de zijden van deze driehoek ongeveer 19,0 m lang zijn. a) Toon met berekeningen aan dat deze twee afmetingen uit de gegevens volgen. Op de foto is te zien dat een horizontale doorsnede van het bovenste deel van de toren maximaal vier maal de lengte van zo n driehoekszijde lang is, en maximaal drie maal de lengte van zo n driehoekszijde breed is. b) Teken op schaal 1:1000 het bovenaanzicht van het bovenste deel van de toren. Licht je werkwijze met berekeningen toe. Een laag van het bovenste deel van de toren heeft de vorm van een balk waaruit vier piramidevormige stukken zijn weggelaten. c) Bereken de inhoud van één zo n laag. Geef je antwoord in duizenden m 3 nauwkeurig. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

33 Blok 6 Exponentiële functies Opgave 1: Kwelders De vorm van eilanden, bijvoorbeeld in de Waddenzee, verandert voortdurend. De zee spoelt stukken strand weg en op andere plekken ontstaat juist nieuw land. Deze nieuwe stukken land worden kwelders genoemd. Een plant die op kwelders groeit, is de zoutmelde. Het verband tussen de leeftijd van een kwelder en het percentage van de bodem dat bedekt is met zoutmelde kan bij benadering beschreven worden door de formule: 100 P(t) = ,5 t Hierin is P het percentage van de kwelder dat bedekt is met zoutmelde en t de leeftijd van de kwelder in jaren. In figuur 1 is de bijbehorende grafiek getekend. a) Bereken na hoeveel jaar de helft van een kwelder bedekt is met zoutmelde. Rond je antwoord af op een geheel aantal jaren. Zoutmelde neemt na verloop van tijd de plaats in van een deel van de planten die door ganzen worden gegeten. Ganzen eten de zoutmelde niet. Daarom heeft de hoeveelheid zoutmelde invloed op het aantal ganzen. Het gemiddelde aantal ganzen per vierkante kilometer kwelder hangt dus af van de leeftijd van de kwelder. Dit verband kan vanaf het vierde jaar bij benadering beschreven worden door de formules: G 1 (t) = 2(t 4) 2 voor 4 t 8 G 2 (t) = 2(t 12) voor 8 t 16 G 3 (t) = 80t 1184 voor t 16 4t 61 Hierin zijn G 1, G 2 en G 3 de gansdichtheden in de verschillende periodes en is t de leeftijd van de kwelder in jaren. De gansdichtheid is het gemiddelde aantal ganzen per vierkante kilometer kwelder. In figuur 2 zijn de bijbehorende grafieken getekend. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

34 De grafieken van de eerste twee periodes sluiten vloeiend op elkaar aan. Dit betekent dat aan de volgende twee voorwaarden is voldaan: 1. de formules hebben voor t = 8 dezelfde uitkomst; 2. de hellingen van de grafieken zijn voor t = 8 aan elkaar gelijk. b) Toon op algebraïsche wijze aan dat aan beide voorwaarden is voldaan. Gedurende een aantal jaren ligt de gansdichtheid boven de 40 (ganzen per km 2 ). c) Bereken gedurende hoeveel jaar dit het geval is. Als de kwelder op den duur grotendeels is begroeid met zoutmelde is het voor de ganzen moeilijk om voedsel te vinden. Toch blijven er dan ganzen op de kwelder komen. In figuur 2 is te zien dat de gansdichtheid op de lange duur tot een bepaalde grenswaarde daalt. d) Onderzoek hoe groot deze grenswaarde volgens de formule voor G 3 is. Opgave 2: Functie met logaritme De functie f is gegeven door f(x) = 2 log(x 2 x). De grafiek van f heeft twee verticale asymptoten. Zie de figuur. a) Geef van elk van deze asymptoten een vergelijking. De grafiek van f snijdt de x-as in de punten A en B. Zie de figuur. b) Bereken exact de lengte van lijnstuk AB. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

35 Opgave 3: Windenergie Er wordt steeds meer gebruikgemaakt van windenergie. Hoewel de bijdrage van windenergie nu nog klein is, kan windenergie in de toekomst een grote bijdrage aan onze elektriciteitsvoorziening gaan leveren. Men voorspelt dat in het jaar 2050 in Nederland gigawattuur (GWh) aan windenergie opgewekt zal worden. Dat zal dan 40% tot 50% van de totale behoefte aan elektrische energie in Nederland zijn. Met behulp van deze gegevens kan worden berekend welke maximale totale behoefte aan elektrische energie in Nederland er voor 2050 wordt voorspeld. a) Bereken deze voorspelde maximale totale behoefte. In de figuur is voor de periode de ontwikkeling van het wereldwijd door windmolens geleverde vermogen in megawatt (MW) weergegeven. In deze periode is dit vermogen (bij benadering) exponentieel gegroeid. In 1993 was het wereldwijd door windmolens geleverde vermogen 2900 MW. In 2011 was dit MW. b) Bereken in één decimaal nauwkeurig het jaarlijkse groeipercentage van het wereldwijd door windmolens geleverde vermogen dat uit de gegevens volgt. Na 2011 wordt er een jaarlijkse groei van 22% van het wereldwijd door windmolens geleverde vermogen verwacht. c) Bereken in welk jaar dit vermogen zal zijn verdubbeld ten opzichte van het jaar Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

36 Opgave 4: Olie Olie is een belangrijke grondstof. In figuur 1 is af te lezen hoeveel olie er wereldwijd in totaal is verbruikt sinds er in 1859 voor het eerst een oliebron geslagen werd. Zo valt bijvoorbeeld af te lezen dat het totaal van 1000 miljard vaten in de loop van 2002 gepasseerd werd. In de grafiek van figuur 1 zijn vanaf 1948 de perioden aangegeven waarin de totale hoeveelheid verbruikte olie verdubbelde. Tussen 1948 en 1981 duurde het telkens ongeveer 11 jaar tot de totale hoeveelheid verbruikte olie was verdubbeld. Dit betekent dat tussen 1948 en 1981 de totale hoeveelheid verbruikte olie bij benadering exponentieel groeide. a) Bereken het jaarlijkse groeipercentage dat hoort bij een verdubbelingstijd van 11 jaar. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig. Vanaf 1981 groeide de totale hoeveelheid verbruikte olie bij benadering nog steeds exponentieel, maar met een andere groeifactor. In de grafiek is te zien dat de totale hoeveelheid verbruikte olie verdubbelde van 500 miljard tot 1000 miljard vaten in de periode van 1981 tot Een verdubbelingstijd van 21 jaar komt overeen met een groei van ongeveer 3,4% per jaar. b) Bereken op algebraïsche wijze het jaar waarin volgens dit exponentiële model de totale hoeveelheid verbruikte olie de grens van 750 miljard vaten passeerde. Er zijn in de loop der jaren verschillende modellen gemaakt die het verbruik van olie voorspellen. Een van deze modellen is het model van Hubbert uit In figuur 2 zie je een grafiek die uit dit model volgt. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

37 Deze grafiek hoort bij de totale hoeveelheid olie die tot dat moment verbruikt is. Een formule voor deze totale hoeveelheid is: 2400 V = ,95 t Hierin is V de totale hoeveelheid verbruikte olie in miljarden vaten en t de tijd in jaren, met t = 0 op 1 januari De totale hoeveelheid winbare olie in de wereld wordt geschat op 2400 miljard vaten. c) Bereken in welk jaar deze geschatte voorraad volgens het model van Hubbert voor de helft verbruikt was. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

38 Opgave 5: CO 2 Sinds 1870 meet men de CO 2 -concentratie in de atmosfeer. De CO 2 -concentratie wordt uitgedrukt in parts per million (ppm). Dit is het aantal CO 2 -deeltjes per miljoen deeltjes. Hieronder kun je zien hoe de CO 2 -concentratie in de atmosfeer is veranderd in de periode In het jaar 1900 veronderstelde de latere Nobelprijswinnaar Arrhenius dat de lineaire groei van de CO 2 -concentratie zoals die toen al sinds 1880 optrad, zich op dezelfde manier zou voortzetten. Hij voorspelde hiermee hoeveel de CO 2 -concentratie tussen 1900 en 2000 zou toenemen. De toename zoals die door Arrhenius is voorspeld, is veel kleiner dan de werkelijke toename tussen 1900 en a) Bepaal met behulp van de figuur hierboven hoeveel ppm de door Arrhenius voorspelde toename te klein uitviel. Na 1930 steeg de CO 2 -concentratie sneller dan Arrhenius in 1900 had aangenomen. Een model dat beter past bij de gegevens van 1930 tot 2000 gaat uit van een natuurlijk niveau in de CO 2 -concentratie met daar bovenop een bijdrage van de mens aan de CO 2 - concentratie, de zogeheten menselijke component. Wetenschappers hebben kunnen vaststellen dat het natuurlijke niveau al eeuwen rond de 285 ppm schommelt. Voor de menselijke component vanaf 1930 wordt in het model uitgegaan van exponentiële groei. In 1930 bedroeg de CO 2 -concentratie 300 ppm. Hiervan was 285 ppm het natuurlijke niveau en 15 ppm de menselijke component. In 2000 was de CO 2 -concentratie gestegen tot 370 ppm. Met behulp van deze gegevens kun je berekenen met hoeveel procent de menselijke component elke 10 jaar volgens het model toeneemt. b) Bereken deze procentuele toename per 10 jaar. Rond je antwoord af op een geheel aantal procenten. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

39 Een formule die de CO 2 -concentratie vanaf 1 juli 1930 goed benadert, is C = 15 1,025 t Hierin is C de CO 2 -concentratie in ppm en t is de tijd in jaren na 1 juli c) Bereken met behulp van deze formule in welk jaar de menselijke component even groot zal zijn als het natuurlijke niveau. Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

40 Uitwerkingen Blok 2 Algebraïsche bewerkingen Opgave 1: Twee functies Opgave 2: Zuinig inpakken Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

41 Opgave 3: Tornadoschalen Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

42 Opgave 4: Vliegende parkieten Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

43 Opgave 5: Functies met een wortel Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

44 Blok 3 Differentiëren Opgave 1: Gebroken functie Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

45 Opgave 2: Wortels met raaklijn Opgave 3: Functies met een wortel Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

46 Opgave 4: Bushalte Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

47 Opgave 5: Wortelfunctie Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

48 Blok 4 Goniometrie Opgave 1: f boven g Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

49 Opgave 2: Cosinus met lijnen Opgave 3: Derdegraadsfunctie en sinus Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

50 Opgave 4: Grafiek van een cosinus Opgave 5: Sinusoïdes Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

51 Blok 5 Ruimtemeetkunde Opgave 1: Bloembak Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

52 Opgave 2: Theezakje Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

53 Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

54 Opgave 3: Afgeknotte piramide Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

55 Opgave 4: Kegels en kubus Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

56 Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

57 Opgave 5: Hearst Tower Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

58 Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

59 Blok 6 Exponentiële functies Opgave 1: Kwelders Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

60 Opgave 2: Functie met logaritme Opgave 3: Windenergie Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

61 Opgave 4: Olie Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO

62 Opgave 5: CO 2 Nationale Examentraining Wiskunde B HAVO