BRUG TUSSEN WISKUNDE EN BOEK HOUDEN. Prof. Dr. Jacques J.B. de Swart MBA

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "BRUG TUSSEN WISKUNDE EN BOEK HOUDEN. Prof. Dr. Jacques J.B. de Swart MBA"

Transcriptie

1 Prof. Dr. Jacques J.B. de Swart MBA

2 Mijn dank gaat uit naar Tobias Baanders voor zijn illustraties, omslagontwerp en adviezen over lay-out. Hélène de Swart, Leen Paape, Peter Eimers, Dennis Muntslag, Martin van der Esch, Jan Wille en Hans de Swart wil ik hartelijk danken voor hun kritisch commentaar op en discussie over deze oratie. Een digitale versie van dit boekje is beschikbaar. U kunt het aanvragen door een mail te sturen naar

3 Rede In verkorte vorm uitgesproken bij de aanvaarding van het ambt van hoogleraar Toegepaste Wiskunde aan de Nyenrode Business Universiteit op 18 maart 2011 door Prof. dr. Jacques J.B. de Swart MBA

4 ISBN nummer Copyright Jacques de Swart, Amstelveen, Illustraties & omslag Tobias Baanders Druk Karaat Grafimedia Producties, Houten

5 3 Inhoud Lijst van figuren 4 Cicero versus Verres 5 Van data via wiskunde naar impact en vice versa 9 Boek houden versus boekhouden 12 Knelpunten van wiskunde in boek houden 13 Weerstand tegen verandering 13 Inadequate technologie 14 Wiskunde niet voldoende toegespitst op boek houden 15 Bruggen tussen wiskunde en boek houden 17 Veranderkunde 17 Technologie 19 Toespitsing wiskunde op boek houden 25 Conclusie 29 Woord van dank 30 Referenties 31

6 4 Lijst van figuren Figuur 1. Marcus Cicero ( v. Chr.) 5 Figuur 2. Overzicht namen, functies en rollen in de zaak Cicero versus Verres 6 Figuur 3. De analyse van Frugi met bedragen in sestertiën. 7 Figuur 4. Schematische weergave van Cicero's werkwijze volgens het pyramide principe van Barbara Minto 10 Figuur 5. De manipulatieve wiskundige 15 Figuur 6. Verandermodel van Dennis Muntslag 17 Figuur 7. Veronderstelde financiële schade door operationele risico's bij NSAC en NBS in duizenden euro s over de afgelopen 10 maanden 19 Figuur 8. Scatterplot van veronderstelde schade bij NBS vs schade bij NSAC 21 Figuur 9. Het instellen van de hoek van de DVA 22 Figuur 10. Diversificatievoordeelallocatie in zes stappen 23 Figuur 11. Helikopterview om wiskunde toe te spitsen op boek houden 28

7 Cicero versus Verres Geachte leden van het College van Bestuur van Nyenrode Business Universiteit, Geachte leden van de Raden van Toezicht, Geachte mijnheer de Rector Magnificus, Beste collega s en relaties, Lieve familie en vrienden, Geachte belangstellenden, Ik wil u meenemen naar een rechtszaak ten tijde van de Romeinse Republiek. Senator Marcus Cicero treedt op als aanklager tegen Gaius Verres, de voormalige gouverneur van Sicilië. Verres heeft op schandalige wijze Sicilië uitgebuit. Hij heeft daar zoveel geld mee verdiend, dat hij er de gehele gevestigde orde in Rome mee heeft kunnen omkopen. Cicero wordt tijdens de rechtszaak dan ook van alle kanten tegengewerkt. Op zoek naar bewijsmateriaal tegen Verres heeft Cicero het hele eiland rondgereisd. Tenslotte arriveert hij in de mooiste en grootste stad op Sicilië, Syracuse. FIGUUR 1. MARCUS CICERO ( V. CHR.) Het is 23 februari 70 voor Christus. Cicero is moe en moedeloos. Hij heeft ruim 200 belastende verklaringen van Sicilianen verzameld. Hij weet echter dat deze niet toereikend zijn om de door Verres omgekochte rechters voor zich te winnen. Dan neemt Cicero een moedig besluit. Hij doet s nachts een inval bij Carpinatius, de directeur van de belastingonderneming van Sicilië. Hij neemt zijn volledige boekhouding in beslag. Vier wagens wasplankjes (de documentvorm in deze tijd) zijn het resultaat. 5

8 6 Omdat provinciale belastingdocumenten wettelijk beschermd zijn tegen confiscatie, klaagt Carpinatius hem direct aan. Cicero zal de volgende dag al zelf voor de rechtbank moeten verschijnen. De problemen blijven zich opstapelen voor Cicero. Tijdens het doorspitten van de documenten constateren hij en zijn team dat alle sporen die naar Verres zouden kunnen verwijzen lijken te zijn verdwenen. Zijn anderen hen voor geweest? Uiteindelijk vinden ze toch één aanknopingspunt. Een crediteur genaamd Gaius Verrucius komt wel héél vaak voor op de wasplankjes. Nadere inspectie wijst uit dat de laatste twee letters van Verres zijn uitgewist en zijn vervangen door ucius. Cicero krijgt greep op de zaak. Hij hoopt dat Vibius, de voormalige privésecretaris van Verres, nog meer stukken heeft. Daarom doet hij dezelfde dag ook nog een inval in het huis van Vibius. FIGUUR 2. OVERZICHT NAMEN, FUNCTIES EN ROLLEN IN DE ZAAK CICERO VERSUS VERRES Cicero heeft nu de beschikking over drie databronnen: getuigenverklaringen van afgeperste Sicilianen, de vervalste administratie van het belastingkantoor en de privé-administratie van Verres. De rest van de dag gaan Cicero en zijn team op zoek naar verbanden tussen deze bronnen. Het is al ver na middernacht als de jongste medewerker van Cicero, genaamd Frugi, een gil slaakt. Cicero snelt toe en Frugi toont hem enthou-

9 7 siast drie wasplankjes. Op zichzelf betekenen de lijsten met namen en bedragen weinig, maar met elkaar in verband gebracht, blijkt het volgende. FIGUUR 3. DE ANALYSE VAN FRUGI MET BEDRAGEN IN SESTERTIËN1. Op het eerste wasplankje staan de steekpenningen vermeld die door Frugi geselecteerde Sicilianen aan Verres hebben betaald. De som van deze bedragen komt uit op $ en die is gelijk aan de som van de bedragen op het tweede wasplankje met de door Gaius Verrucius gedane investeringen in de belastingonderneming van Carpinatius. Leningen die Verres verstrekte aan dezelfde door Frugi geselecteerde namen komen voor het derde wasplankje. De daarbij vermelde bedragen tellen ook op tot $ Wat had de sluwe Verres gedaan? De afgeperste Sicilianen hadden geen geld om hem steekpenningen te betalen. Dus had Verres hun een lening verstrekt. De steekpenningen had Verres direct geïnvesteerd in de belas- 1 Merk op dat de Romeinen al het $ symbool gebruikten voor hun sestertie.

10 8 tingonderneming. Om dit niet te veel op te laten vallen had hij in de administratie zijn naam in Verrucius laten veranderen. De volgende morgen begeeft Cicero zich met de drie wasplankjes naar de rechtbank, om zich te verdedigen tegen de aanklacht van Carpinatius. Zoals toentertijd gebruikelijk gaat de zitting buiten in het openbaar plaatsvinden. Cicero is zich ervan bewust dat hij niet alleen de Sicilianen, maar ook de Romeinen voor zich moet winnen. Hij heeft dan ook een zo groot mogelijk aantal Sicilianen èn Romeinen op laten trommelen om de rechtszaak bij te wonen. Metellus is de zittende gouverneur en zit vanwege die hoedanigheid de rechtszitting voor. Ook hij is omgekocht door Verres. Direct bij aanvang van het geding belooft Cicero volkomen tegen de verwachting in alle in beslag genomen documenten terug te geven. Vervolgens laat hij een korte stilte vallen, waarna hij als een volleerde inspector Clouseau avant-la-lettre vraagt: Carpinatius, nog één vraagje, wie is toch Verrucius? Met hem heb je zoveel zaken gedaan, maar alleen tijdens het bewind van zijn bijna-naamgenoot Verres. Carpinatius trekt bleek weg en kijkt Metellus vertwijfeld aan. Dan begint iemand in de menigte te schreeuwen: Verrucius bestaat niet! Er is nooit iemand op Sicilië geweest die zo heet! En een ander: Het is Verres! En niet lang daarna scandeert de hele menigte: Het is Verres! Het is Verres! Cicero maant om stilte en richt zich tot de menigte: Carpinatius stelt terecht dat ik deze documenten niet mag meenemen. Maar in dezelfde wet staat dat ik een kopie mag maken, mits die waarheidsgetrouw is en door Romeinse burgers is bevestigd. Wie kan mij helpen om deze documenten te kopiëren, zodat ik ze mee terug kan nemen naar Rome om dat zwijn Verres veroordeeld te krijgen? Om een lang verhaal kort te maken, Cicero krijgt zijn bewijs rond en wint zes maanden later de zaak tegen Verres. Vanaf dat moment is zijn reputatie gevestigd.

11 Van data via wiskunde naar impact en vice versa Waarom vertel ik u het verhaal over Cicero versus Verres? Cicero deed wat een robuuste accountant, controller en risicomanager ook doet. Ten eerste gaf hij niet op bij het verzamelen van data. Ten tweede slaagde hij erin verrassende verbanden tussen verschillende databronnen bloot te leggen. In dit geval bestond dat uit het vinden van bedragen uit drie bronnen zodanig dat de som per bron gelijk en zo groot mogelijk was. Wiskundigen noemen dat tegenwoordig het oplossen van een Mixed Integer Problem. Een dergelijk probleem oplossen is niet alleen bijzonder uitdagend, maar vreet ook veel tijd omdat de hoeveelheid rekenwerk heel snel toeneemt naarmate de datasets groter worden. Last but not least, Cicero creëerde impact met zijn bevindingen. Met impact creëren bedoel ik een inzicht verschaffen dat nog niemand had en dat invloed gaat uitoefenen op de omgeving. Met het piramideprincipe van Barbara Minto kan de werkwijze van Cicero in kaart worden gebracht als in Figuur 4. Van onder naar boven volgt men een inductieve redenering. Individuele waarnemingen in de data worden gegeneraliseerd tot een uitspraak met impact. Van boven naar beneden toetst men deductief of een uitspraak met impact onderbouwd en/of verbijzonderd kan worden. Cicero deed beide: deductief bewees hij dat Verres steekpenningen had aangenomen en inductief ontdekte hij dat Verres valsheid in geschrifte had gepleegd en daarenboven zelf investeerde in de belastingonderneming. Kortom, Cicero rapporteerde avant-la-lettre de oplossing van een Mixed Integer Problem volgens het piramideprincipe van Minto. In de praktijk blijkt het niet voor iedereen weggelegd om dit schema te doorlopen. Zo zijn er de cowboyconsultants die graag mooie conclusies willen trekken maar ze niet weten te onderbouwen. Geef me uw horloge en ik vertel u hoe laat het is, zeggen ze tegen hun klant. 9

12 10 FIGUUR 4. SCHEMATISCHE WEERGAVE VAN CICERO'S WERKWIJZE VOLGENS HET PYRAMIDE PRINCIPE VAN BARBARA MINTO

13 11 Ook kennen we de IT-ers die heel trots zijn dat ze data kunnen ontsluiten, maar aan analyse en impactcreatie doen ze niet. Wel verdrinken ze je in een te veel aan nietszeggende, te lange uitzonderingslijstjes. Dan hebben we nog de geïsoleerde rekenmeesters. Het type ouderwetse actuaris. Zij vervormen de databronnen net zo lang totdat die in hun model passen. De output van dat model creëert geen impact, wat misschien ook maar beter is. Verderop in dit verhaal kunnen we de knelpunten bij het doorlopen van dit schema systematischer onderzoeken, en ter lering ende vermaak ook hoe ze verholpen kunnen worden.

14 12 Boek houden versus boekhouden Mijn leerstoel richt zich op het met wiskunde versterken van accountancy, controlling en risicomanagement. Omdat deze drie vakgebieden nogal een mond vol zijn, zal ik ze samenvatten met de term boek houden, met spatie. Dat klinkt wel niet zo sexy, maar dekt wel de lading. Voor accountancy is dat evident, want een accountant controleert primair of een organisatie zich heeft gehouden aan het boek waarin de prestaties cijfermatig zijn vastgelegd. Voor de controller kunnen we de voltooide tijd vervangen door de toekomende tijd: hij probeert zodanig te plannen en te controleren dat de organisatie zich aan het toekomstige boek oftewel het budget gaat houden. De risicomanager moet er op zijn beurt voor zorgen dat de risico s zich houden aan de weerstandsmiddelen die in het boek oftewel de balans staan geschreven. Wat opvalt aan deze vergelijkingen is dat deze boek houders met spatie zich altijd op een metaniveau bevinden ten opzichte van de boekhouders zonder spatie. Het is fantastisch om op metaniveau te mogen opereren, maar een stevig ambitieniveau is dan wel een eerste vereiste. En dan zijn we weer terug bij Cicero. Die liet zich inspireren door het motto dat Homerus de Griekse held Achilles meegaf: Het beste willen zijn in het overtreffen van anderen.

15 13 Knelpunten van wiskunde in boek houden Gedegen wiskundige analyses van boek houders met spatie die op basis van goede data impact genereren, blijken vandaag de dag schaars. Waarom? De knelpunten vallen in drie categorieën uiteen: weerstand tegen verandering, inadequate technologie en het onvoldoende toegespitst zijn van de wiskunde op boek houden met spatie. Weerstand tegen verandering Traditioneel hebben boek houders met spatie weinig wiskunde in hun bagage. Het lijkt moeilijk om daar verandering in te brengen. Hoe komt dat? Als ik college geef aan boek houders met spatie, vraag ik tijdens het eerste college altijd wie tijdens zijn werk wel eens in aanraking komt met wiskunde. Meestal gaan er maar enkele vingers de lucht in. De meesten beweren daar geen tijd voor te krijgen. Dit werkt niet bepaald bevorderlijk voor de motivatie om wiskunde onder de knie te krijgen. Een schaarste aan docenten met voldoende praktijkervaring om wiskunde op empathische wijze over te brengen, is een ander gevolg. Dit alles leidt ertoe dat wiskundeonderwijs aan boek houders met spatie verwordt tot examentraining. Innovatie binnen de accountantscontrole is überhaupt een uitdaging. Wat te doen als een nieuwe auditmethode een fout aan het licht brengt die vorig jaar al in de jaarrekening zat? Daarnaast staan de budgetten voor accountants onder druk waardoor het een heidens karwei is om aan alle wet- en regelgeving te voldoen. En die regelgeving stimuleert het gebruik van wiskunde toch al niet. Neem bijvoorbeeld ISA530. Dat is de International Standard for Auditing over steekproeven. Hierin wordt angstvallig het begrip statistische bovengrens vermeden, omdat dat een te wiskundig begrip zou zijn. Paul van Batenburg heeft fijntjes beschreven hoe omslachtig de uitleg over de evaluatie van een steekproef daarmee wordt. Een ander voorbeeld vormen de cijferanalyses in ISA520. Dit zijn in feite wiskundige technieken, maar worden niet als zodanig gepresenteerd.

16 14 Ook buiten de audit is het moeilijk om de regelgeving op kwantitatief gebied te vernieuwen. Soms ontstaat er een kip-of-ei situatie. Zo hebben we eens een nieuwe methode ontwikkeld voor het kwantificeren van operationele risico s bij banken. Deze methode werkt op basis van technieken die met succes zijn ingezet binnen de luchtvaartindustrie. De banken zeiden: Interessante methode, maar keuren de toezichthouders deze aanpak wel goed? Dus wij naar de toezichthouders. Hun leek de methode interessant en ze waren gaarne bereid om deze nader te onderzoeken zodra een bank hem zou gebruiken. Als een toezichthouder zegt: Gaat u maar voor, wij volgen desnoods, frustreert dat innovatie. Inadequate technologie Als we kijken naar hoe boek houders met spatie gebruik maken van technologie, dan lijken ze wel vast te zitten in tweedimensionaal Excel denken. De wereld vangen in rijen en kolommen. Onder collega s hebben we daar wel eens discussie over. Zo voegde mijn collega Niels zijn collega en tevens Excel-fan Michael eens toe: Weet je wat jouw probleem is? Jij verwart excelleren met Excel leren! Weliswaar maken bijna alle bedrijven tegenwoordig ook gebruik van geavanceerdere systemen, maar de laatste bewerkingen vinden nog geregeld plaats in Excel. Bij veel klanten merk ik argwaan als iets niet in Excel past. Dat zou precies omgekeerd moeten zijn en wel om vier redenen. Ten eerste zijn spreadsheets foutgevoelig. De European Spreadsheet Risk Interest Group publiceert een lijst met griezelverhalen over spreadsheets. Zo stortten de aandelen van de C&C Group, een grote Britse drankproducent, met 15% in elkaar toen een fout in de spreadsheet met omzetcijfers aan het licht kwam. Ten tweede geven spreadsheets maar toegang tot een klein gedeelte van het wiskundig instrumentarium. Hierdoor blijft data-analyse in de audit meer dan eens beperkt tot het genereren van uitzonderingslijstjes. Ten derde verliest een beetje complex model in een spreadsheet al snel zijn transparantie. Dat kan ook in het voordeel zijn van de maker. Niet alleen omdat dat hem onmisbaar maakt, maar ook omdat hij naar het gewenste antwoord toe kan modelleren. Die werkwijze is een oud fenomeen. De Schotse schrijver Andrew Lang omschreef de wiskundige die

17 15 zo te werk gaat in de negentiende eeuw al als volgt: Hij gebruikt wiskunde zoals een dronkenlap een lantaarnpaal, meer voor ondersteuning dan voor verlichting. Tot slot, het maken van grote spreadsheets is bijzonder inefficiënt. U wilt niet weten hoeveel uur er in onze wereld besteed wordt aan bijna dezelfde cashflow modellen, die toch steeds van scratch worden opgezet. Onder druk van klanten, die soms willen dat ik iets oplever in Excel, loop ik daar zelf ook wel eens tegen aan getuige het volgende voorval. FIGUUR 5. DE MANIPULATIEVE WISKUNDIGE Zaterdagochtend kwart over acht. Mijn negenjarige zoon Jacob moet om half negen op het voetbalveld staan, maar is nog steeds zijn scheenbeschermers aan het aandoen terwijl hij ook nog moet ontbijten en naar de voetbalclub moet fietsen (en eigenlijk ook nog de vaatwasser moet uitruimen). Jacob, waarom doe je toch altijd zo vreselijk lang over je scheenbeschermers aandoen. Je lijkt wel een slak, bijt ik hem toe. Deze gelijkenis spreekt mijn zoon niet aan. Je bent zelf een slak, antwoordt hij, want jij bent altijd te laat thuis van je werk omdat je zo vreselijk lang doet over dat rekenen. Wiskunde niet voldoende toegespitst op boek houden In boek houden met spatie zijn er heel wat getallen waarmee gerekend kan worden. Is er wel voldoende wiskunde beschikbaar om dit te faciliteren? Het antwoord varieert per soort boek houden met spatie. Over wiskunde in risicomanagement is veel nuttigs geschreven. Toch zullen we verderop in dit verhaal zien dat de antwoorden op openstaande wiskundige vragen nog steeds voor het oprapen liggen. Literatuur over wiskunde in accountancy en controlling is er niet veel. Paul Touw en Lucas Hoogduin hebben met hun boek Statistiek voor Audit en Controlling een uitstekend begin gemaakt met het plaatsen

18 16 van het statistische gedeelte van de wiskunde in een auditcontext. Ook het lesmateriaal van de stuurgroep Statistical Auditing van het Limperg Instituut levert een bijdrage. Helaas zijn deze twee publicaties slechts in het Nederlands beschikbaar, terwijl grote audits zich vaak internationaal afspelen. Ook nemen ze niet weg dat bijvoorbeeld voor gestratificeerde steekproeven basale statistiek juist in een auditcontext niet volstaat en er uitbreidingen ontwikkeld moeten worden. Als we kijken naar Engelstalige literatuur voor accountancy en controlling, dan zien we net als in de ISA s dat wiskunde angstvallig gemeden wordt. Zo schrijft Robert Knechel zijn overigens uitstekende standaardwerk over auditing pagina na pagina vol over hoe belangrijk de juiste steekproefomvang is. De formule waarmee de lezer deze zelf uit kan rekenen blijft echter achterwege.

19 17 Bruggen tussen wiskunde en boek houden Met het voorafgaande heb ik duidelijk willen maken dat de verbinding tussen wiskunde en boek houden met spatie voor verbetering vatbaar is. Drie soorten bruggen kunnen geslagen worden: Een veranderkundige brug, een technologische brug en eentje die gemaakt is van nieuwe toegepaste wiskunde. Veranderkunde Om de brug tussen wiskunde en boek houden met spatie te slaan, zullen zowel de wiskundigen als de boek houders met spatie moeten veranderen. Omdat mensen verandering moeilijk vinden, ontwikkelde mijn collega Dennis Muntslag het verandermodel in Figuur 6. Dit model biedt ook in deze context perspectief. De gele punten wijzen naar de drie randvoorwaarden voor verandering: noodzaak, bereidheid en vaardigheid. Als men de noodzaak voelt en de bereidheid en vaardigheid heeft om wiskunde in boek houden met spatie toe te passen, gaat het pas echt gebeuren. FIGUUR 6. VERANDERMODEL VAN DENNIS MUNTSLAG De rode punten wijzen naar de drie typen interventies die we kunnen plegen om de drie randvoorwaarden in te vullen. Dit zijn communicatie, educatie en participatie. Hierbij geldt dat elk interventietype de twee aanpalende randvoorwaarden invult. Laten we eens oefenen met dit model. Als ik alleen maar tegen boek houders met spatie roep dat ze meer wiskunde moeten toepassen om de aanzwellende datastromen het hoofd te bieden, vult dat hopelijk de randvoorwaarden noodzaak en bereidheid in. Toch zal er geen verandering plaatsvinden, omdat de vaardigheid om die wiskunde toe te passen niet wordt geadresseerd.

20 18 Nog een voorbeeld. Als ik alleen maar wiskunde mag en ga doceren aan boek houders met spatie, vult dat hopelijk de randvoorwaarden noodzaak en vaardigheid in. Toch zal er geen verandering plaatsvinden, omdat de bereidheid om wiskunde toe te passen niet wordt geadresseerd. Als dat onderwijs de vorm aanneemt van examentraining voor een struikelvak, wordt de veranderbereidheid zelfs negatief. Communicatie en educatie zouden in principe voldoende moeten zijn om de drie randvoorwaarden in te vullen: met een nieuwsbriefje en een traininkje zorgen we wel even voor verandering. Het model laat echter zien dat participatie extra borging geeft. Zeker als de verandering aanzienlijk is blijkt dit type interventie de andere twee bijzonder goed aan te vullen. Een voorbeeldje. Cicero wilde de Romeinen veranderen. Hij wilde dat ze zich niet langer neerlegden bij corruptie. Dus liet hij de menigte participeren in de ontmaskering van Verres. De verandering die ik wil bewerkstelligen is dat boek houders met spatie meer wiskunde gaan gebruiken. Onderwijs in deeltijd biedt uitstekende mogelijkheden om deze doelgroep te laten participeren in het veranderproces. In plaats van de studenten een examen te laten maken, gaan we samen op zoek naar een casus in hun eigen bedrijf waarin ze impact met wiskunde kunnen creëren. Als die casus slaagt, kunnen ze niet alleen wiskunde toepassen, maar willen ze ook doorgaan met de verandering, want succes smaakt naar meer. Het model geldt weer: hun participatie heeft veranderbereidheid en verandervaardigheid opgeleverd. Tot besluit van deze veranderkundige brug nog een opmerking over de kredietcrisis. Die heeft pijnlijk het gebrek aan afstemming tussen kwantitatief en kwalitatief risicomanagement blootgelegd. Op welk punt de kwantitatieve modellen ophielden en kwalitatieve overwegingen belangrijk werden, was onduidelijk. Donald Rumsfeld merkte over de risico s van de inval in Irak terecht op dat er naast de known unknowns ook unknown unkowns zijn. Dat klinkt een beetje cryptisch, maar verderop zullen we zien dat bepaalde operationele risico s kwantitatief te modelleren zijn als known unknowns. Voor de unknown unknowns geldt dat niet. In de woorden van Nassim Taleb:

21 19 Probeer maar eens een zwarte zwaan te modelleren als je ervan overtuigd bent dat er alleen maar witte zijn. Wederom zal de participatie van kwantitatieve en kwalitatieve experts in elkaars werk de veranderkundige brug verstevigen. Technologie Er valt ook een technologische brug tussen wiskunde en boek houden met spatie te bouwen. Door boek houders met spatie alternatieven voor Excel te bieden, kunnen zij veel efficiënter, minder foutgevoelig, flexibeler, leuker en krachtiger rekenen. Algebraïsche modelleertalen, zoals AIMMS, zijn hier geschikt voor. In deze talen staat het model los van de data. Bovendien volgt het model een syntaxis die zich eenvoudig laat lezen. Zo kan het model veilig en vlug aangepast worden. Ook garanderen deze talen een efficiënte doorrekening van data-intensieve modellen. Tot slot bieden ze toegang tot een uitgebreid scala aan wiskundige technieken, waaronder de methode die Cicero s medewerker toepaste. Toch gaat het niet alleen om vernieuwing van technologie in de computer. Om dit te illustreren wil ik de volgende casus met u behandelen. FIGUUR 7. VERONDERSTELDE FINANCIËLE SCHADE DOOR OPERATIONELE RISICO 'S BIJ NSAC EN NBS IN DUIZENDEN EURO S OVER DE AFGELOPEN 10 MAANDEN Net als elke organisatie heeft ook Nyenrode te kampen met financiële schade door operationele risico s. Denk daarbij aan vergissingen van medewerkers, uitvallen van stroom, het kwijtraken van documenten, of het kapot gaan van de verwarming. Maurits van Rooijen, de rector magnificus van deze universiteit, zou zich af kunnen vragen welk bedrag hij als voorziening moet reserveren om dit soort schade te kunnen betalen. Vaak voorspelt men in dit soort situaties de toekomstige schade op basis van historische schade. Stel dat Figuur 7 de schades over de afgelopen

22 20 10 maanden rapporteert. Hierbij is een onderscheid gemaakt tussen de schades van de twee scholen die deze universiteit omvat: de Nyenrode School of Accountancy & Controlling (NSAC) en de Nyenrode Business School (NBS). Stel dat we er 90% zeker van willen zijn dat die voorziening voor de komende 10 maanden voldoende groot is om schades door operationele risico s af te dekken. Laten we eerst kijken naar de benodigde voorziening per school. Als we net tegen de maximale schade aan gaan zitten, hebben we precies voldoende voorziening. We hebben immers data over 10 maanden, dus de maand met de hoogste schade zou net buiten de voorziening mogen vallen om nog steeds 90% zekerheid te hebben dat de voorziening voldoende groot is. Voor NSAC is dat maximum en voor NBS We moeten dus voorziening aanhouden voor NSAC en voor NBS. Toch hoeft de heer van Rooijen niet = opzij te zetten. Dit komt door het diversificatievoordeel. Eén van de redenen waarom de twee scholen samen zijn gebracht onder de vlag van één Nyenrode Business Universiteit is de spreiding van risico s: het zal waarschijnlijk niet voorkomen dat zowel de NSAC als de NBS tegelijkertijd veel schade lopen door operationele risico s. Hoe groot is dat diversificatievoordeel? Dan moeten we eerst kijken in welke mate de schades bij NSAC en NBS correleren. Hier is geen computer voor nodig maar volstaat een whiteboard met 10 magneetjes. Voor elke historische maand plaatsen we een magneetje zodanig dat de horizontale coördinaat de schade bij NSAC weergeeft en de verticale de schade bij NBS. Er ontstaat een scatterplot die eruit ziet als een schuin naar boven gerichte puntenwolk. Nu proberen we een lijn te vinden die deze wolk middendoor snijdt. Hoe steiler deze lijn, hoe groter de correlatie tussen de schades bij NSAC en NBS. Om precies te zijn, de helling van deze lijn is gelijk aan de correlatie2. Uit Figuur 8 blijkt dat deze helling, en dus de correlatie, 60% is. Maar hoe kunnen we op basis van deze informatie de benodigde voorziening voor de twee scholen samen bepalen? 2 Dit geldt in dit geval omdat de spreidingen in de data van NSAC en NBS gelijk zijn.

23 FIGUUR 8. SCATTERPLOT VAN VERONDERSTELDE SCHADE BIJ NBS VS SCHADE BIJ NSAC 21 Daartoe ga ik u nu een primeur presenteren: de DiversificatieVoordeelAllocator, kortweg DVA. Deze vinding is gebaseerd op de aloude stelhoek van de timmerman en heeft de vorm van een parallellogram. Als hulpstukken gebruikt de DVA een tafel, een rol lint, een schaar, een liniaal en een touwtje met een stukje lood eraan. De zijden van de DVA stellen de voorzieningen per school voor. De korte zijde hoort bij NSAC en is lang; de lange zijde hoort bij NBS en is lang. De hoeken van de DVA moeten we nog instellen. Die houden verband met de correlatie tussen de schade bij NSAC en NBS. Om precies te zijn: de cosinus van de hoek tussen twee vectoren is de correlatie tussen die twee vectoren. De cosinus is, zoals u wellicht nog weet, de verhouding tussen de aanliggende rechthoekszijde en de schuine zijde van een driehoek. Dus tekenen we met onze liniaal een zijde ter lengte 6, zetten daar loodrecht een stippellijn op, en zoeken met onze liniaal een hoek zodanig dat de schuine zijde op lengte 10 de stippellijn snijdt. Hiermee hebben we de juiste hoek te pakken en kunnen we de DVA instellen zoals in Figuur 9. De DVA staat nu klaar om het diversificatievoordeel voor de universiteit te bepalen. Dit werkt volgens de eerste twee stappen in Figuur 10:

24 22 1. We trekken een lint van linksonder naar rechtsboven over de zijden van de DVA. We knippen het lint door bij de rechterbovenhoek van de DVA. Het lint is nu net zo lang als de som van de twee voorzieningen: = We spannen het lint rechtstreeks, over de diagonaal, van linksonder naar rechtsboven. Nu knippen we het lint weer door bij de rechterbovenhoek van de DVA. Het stukje lint dat op de grond valt is het diversificatievoordeel voor Nyenrode. Als we het opmeten met de liniaal, blijkt het lang te zijn. Waarom kan het diversificatievoordeel zo bepaald worden? Dit komt doordat de DVA de voorziening van elk van de twee scholen voorstelt als vectoren. Als we de DVA met zijn korte kant rechtop op tafel zetten, is de voorziening van NSAC een horizontale vector en loopt die van NBS schuin omhoog. De horizontale component van de NBS vector representeert het gedeelte van de voorziening voor het risico bij NBS dat correleert met dat bij NSAC. De verticale component komt overeen met het gedeelte van de voorziening voor het risico dat onafhankelijk is van de factoren die het risico bij NSAC bepalen. De twee vectoren bij elkaar opgeteld geven een somvector die gelijk is aan de diagonaal in de DVA. De voorziening van de universiteit moet dus gelijk zijn aan deze diagonaal. Het afgeknipte stukje lint is het verschil tussen de lengten van de twee zijden en de diagonaal van de DVA. Dit is ook het verschil tussen de som van de voorzieningen per school en de voorziening van de universiteit. En dat is precies het diversificatievoordeel dat ontstaan is door de twee scholen als onderdeel van één universiteit te laten opereren. FIGUUR 9. HET INSTELLEN VAN DE HOEK VAN DE DVA

25 FIGUUR 10. DIVERSIFICATIEVOORDEELALLOCATIE IN ZES STAPPEN 23

26 24 Het valt nu te verwachten dat Leen Paape, de dean van NSAC, en JanWillem Broekhuysen, de dean van NBS, beiden een stukje van dat diversificatievoordeel opeisen. Maar wie heeft recht op hoeveel? Met andere woorden, hoe kunnen we het diversificatievoordeel alloceren? De DiversificatieVoordeelAllocator zou zijn naam geen eer aan doen als hij dat niet ook zou kunnen bepalen. Daarvoor dienen stap 3 tot en met 6 in Figuur 10: 3. We knippen een nieuw stukje lint af ter grootte van de voorziening van NSAC. 4. We knippen een nieuw stukje lint af ter grootte van de voorziening van NBS. 5. We draaien de DVA zodanig dat zijn diagonaal langs het tafelblad loopt met de NSAC zijde rechtsboven. We leggen het NSAC lint vanaf de rechterhoek langs de diagonaal naar links uit. We laten een lijntje met een stukje lood eraan naar beneden hangen vanuit het hoogste punt van de DVA. Waar het loodlijntje het NSAC lint kruist, knippen we het NSAC lint door. De linkerkant van het doorgeknipte lint is het diversificatievoordeel van NSAC en blijkt lang te zijn. 6. Terwijl we de DVA en het loodlijntje in dezelfde positie houden, leggen we het NBS lint vanaf de linkerhoek langs de diagonaal naar rechts uit. Waar het loodlijntje het NBS lint kruist, knippen we het NBS lint door. De rechterkant van het doorgeknipte lint is het diversificatievoordeel van NBS en blijkt 695 lang te zijn. Tot slot controleren we of de twee gealloceerde diversificatievoordelen opgeteld wel gelijk zijn aan het totale diversificatievoordeel. We kijken daartoe of de in stap 5 en 6 afgeknipte stukjes even lang zijn als het stukje dat in stap 2 werd afgeknipt. En ja hoor, = Quod Erat Demonstrandum, zou Cicero gezegd hebben. Hoe valt deze allocatiemanier te verklaren? Welnu, de diagonaal van de DVA stelde de voorziening van de universiteit voor. De projectie van elk van de zijden op deze diagonaal geeft dan de bijdrage weer van elk van de scholen aan de voorziening van de universiteit. Deze projecties kunnen bepaald worden met het loodlijntje vanuit de top op de diagonaal. De twee stukjes lint die werden afgeknipt in stap 5 en 6 vormen precies het verschil tussen de twee zijden en de projectie op de diagonaal. En dat verschil is weer gelijk aan het verschil tussen de voorziening van een

WISKUNDE B-DAG 2012. Vrijdag 16 november, 9:00-16:00 uur. Eenvou(w)dig. De Wiskunde B-dag wordt mede mogelijk gemaakt door

WISKUNDE B-DAG 2012. Vrijdag 16 november, 9:00-16:00 uur. Eenvou(w)dig. De Wiskunde B-dag wordt mede mogelijk gemaakt door WISKUNDE B-DAG 2012 Vrijdag 16 november, 9:00-16:00 uur Eenvou(w)dig De Wiskunde B-dag wordt mede mogelijk gemaakt door Wiskunde B-dag 2012 1 Opgave 6 van de Kangoeroe wedstrijd wizprof 2010: De foto van

Nadere informatie

Wiskunde en informatica: innovatie en consolidatie Over vragen in het wiskunde- en informaticaonderwijs

Wiskunde en informatica: innovatie en consolidatie Over vragen in het wiskunde- en informaticaonderwijs Tijdschrift voor Didactiek der β-wetenschappen 22 (2005) nr. 1 & 2 53 Oratie, uitgesproken op 11 maart 2005, bij de aanvaarding van het ambt van hoogleraar Professionalisering in het bijzonder in het onderwijs

Nadere informatie

INHOUD 1 Introductie van de Roos van Leary 2 De uitwerking van de Roos van Leary 3 Werken met de Roos van Leary

INHOUD 1 Introductie van de Roos van Leary 2 De uitwerking van de Roos van Leary 3 Werken met de Roos van Leary INHOUD 1 Introductie van de Roos van Leary 11 Invloed op anderen 11 De Roos van Leary 13 Kiezen van gedrag 23 Communicatie 26 Uitbreiding van het model 27 Het verhaal en de Roos van Leary 28 2 De uitwerking

Nadere informatie

Leve de Wiskunde! 2011 W I N G O! Uw Wingo-master van vandaag: Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam

Leve de Wiskunde! 2011 W I N G O! Uw Wingo-master van vandaag: Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Leve de Wiskunde! 2011 W I N G O! Uw Wingo-master van vandaag: Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam W I N G O = W I S K U N D E - B I N G O W I N G O 17 15 π

Nadere informatie

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden.

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Uitleg Welkom bij de Beverwedstrijd 2006 Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Je krijgt 5 vragen van niveau A, 5 vragen van niveau B en 5 vragen van niveau C. Wij denken

Nadere informatie

Boost uw carrière. Zo kiest u de MBAopleiding die bij u past. Deze whitepaper is mede mogelijk gemaakt door

Boost uw carrière. Zo kiest u de MBAopleiding die bij u past. Deze whitepaper is mede mogelijk gemaakt door Boost uw carrière Zo kiest u de MBAopleiding die bij u past Deze whitepaper is mede mogelijk gemaakt door Introductie Update uw kennis De wereld om ons heen verandert in een steeds hoger tempo. Hoe goed

Nadere informatie

Groeien naar lean & meaningful management support

Groeien naar lean & meaningful management support Groeien naar lean & meaningful management support LEAN AND MEANINGFUL 07 DEF.indd 1 25-08-14 17:47 LEAN AND MEANINGFUL 07 DEF.indd 2 25-08-14 17:47 Groeien naar lean & meaningful management support Annemarie

Nadere informatie

hoe we onszelf zien, hoe we dingen doen, hoe we tegen de toekomst aankijken. Mijn vader en moeder luisteren nooit naar wat ik te zeggen heb

hoe we onszelf zien, hoe we dingen doen, hoe we tegen de toekomst aankijken. Mijn vader en moeder luisteren nooit naar wat ik te zeggen heb hoofdstuk 8 Kernovertuigingen Kernovertuigingen zijn vaste gedachten en ideeën die we over onszelf hebben. Ze helpen ons te voorspellen wat er gaat gebeuren en te begrijpen hoe de wereld in elkaar zit.

Nadere informatie

Modulewijzer InfPbs00DT

Modulewijzer InfPbs00DT Modulewijzer InfPbs00DT W. Oele 0 juli 008 Inhoudsopgave Inleiding 3 Waarom wiskunde? 3. Efficiëntie van computerprogramma s............... 3. 3D-engines en vectoranalyse................... 3.3 Bewijsvoering

Nadere informatie

Stelling van Pythagoras

Stelling van Pythagoras 1 of 6 Stelling van Pythagoras Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie De stelling van Pythagoras is een wiskundige stelling die zijn naam dankt aan de Griekse wiskundige Pythagoras. 'Zijn' stelling was overigens

Nadere informatie

Examen HAVO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 vrijdag 17 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 vrijdag 17 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 201 tijdvak 1 vrijdag 17 mei 1.0-16.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Les techniek licht. Lesdoelen. Bronnen

Les techniek licht. Lesdoelen. Bronnen Les techniek licht Lesdoelen Bronnen o http://nl.wikibooks.org/wiki/wikijunior:natuurkunde/licht#de_regenboog o http://www.proefjes.nl/categorie/licht o http://www.keesfloor.nl/artikelen/diversen/regenboog/12vragen.htm

Nadere informatie

Biljarten op een ellips. Lab kist voor 3-4 vwo

Biljarten op een ellips. Lab kist voor 3-4 vwo Biljarten op een ellips Lab kist voor 3-4 vwo Dit lespakket behoort bij het ellipsvormige biljart van de ITS Academy. Ontwerp: Pauline Vos, in opdracht van Its Academy Juni 2011 Leerdoelen: - kennismaken

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

Groningse beginner, vs Sterke man uit Amsterdam, (Date unknown)

Groningse beginner, vs Sterke man uit Amsterdam, (Date unknown) Groningse beginner, vs Sterke man uit msterdam, (Date unknown) 2 3 Figure 1 (999 0) Het commentaar bij deze partij is een bewerking van de opmerkingen van Peter Zandveld in GO 18-5 (juli 1981). De uitvoerige

Nadere informatie

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag Practicum algemeen 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag 1 Diagrammen maken Onafhankelijke grootheid en afhankelijke grootheid In veel experimenten wordt

Nadere informatie

PUZZLES & RIDDLES. Puzzels. Charles Mathy en Paul Friedel

PUZZLES & RIDDLES. Puzzels. Charles Mathy en Paul Friedel Charles Mathy en Paul Friedel PUZZLES & RIDDLES iks, nada, noppes. iemand heeft de puzzels vorige keer ingeleverd. Jammer, een leeg velletje (zelfs email) was 7,50 waard geweest. We zijn trouwens van het

Nadere informatie

Speech Gerbrandy-debat

Speech Gerbrandy-debat Speech Gerbrandy-debat Goedemiddag allemaal, Woorden doen ertoe. Vandaag en toen. De woorden van premier Gerbrandy hebben een belangrijke rol gespeeld in de Nederlandse geschiedenis. Via de radio sprak

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden 1 V 1 8 en 12 V 2 7 en 11 V 3 6 en 10 V 4 5 en 9 2 5040 opstellingen 3 De zijde is 37 4 α = 100 5 10, 2 liter 6 De volgorde is 2, 5, 3, 4, 1 7 30 euro 8 De straal

Nadere informatie

Wij zijn Kai & Charis van de Super Student en wij geven studenten zin in de toekomst.

Wij zijn Kai & Charis van de Super Student en wij geven studenten zin in de toekomst. Hallo, Wij zijn Kai & Charis van de Super Student en wij geven studenten zin in de toekomst. Dat is namelijk helemaal niet zo makkelijk. Veel studenten weten nog niet precies wat ze willen en hoe ze dat

Nadere informatie

BIJ DIE WERELD WIL IK HOREN! HANS ROMKEMA 3 MAART 2010, DEN HAAG

BIJ DIE WERELD WIL IK HOREN! HANS ROMKEMA 3 MAART 2010, DEN HAAG BIJ DIE WERELD WIL IK HOREN! HANS ROMKEMA 3 MAART 2010, DEN HAAG STUDENTEN DOEN UITSPRAKEN OVER DE ACADEMISCHE WERELD, HET VAKGEBIED EN HET BEROEPENVELD.. onderzoek niet zo saai als ik dacht werken in

Nadere informatie

Rekenen: Getallen groep 5 en hoger. Rekenen en schattingen ontdekken. Algebra groep 5 en hoger. Patronen en relaties ontdekken.

Rekenen: Getallen groep 5 en hoger. Rekenen en schattingen ontdekken. Algebra groep 5 en hoger. Patronen en relaties ontdekken. Activiteit 4 Kaarten truc Fout opsporen & herstellen Samenvatting Wanneer data worden opgeslagen op een harde schijf of worden verzonden van de ene computer naar de andere, nemen we aan dat de data niet

Nadere informatie

'Risico's it-investeringen doorgaans hoog'

'Risico's it-investeringen doorgaans hoog' Computable Computable In bedrijf: 07/05/04 - 'Risico's it-investeringen doorgaans hoog' It-portfoliobeheer: inzicht als eerste stap naar controle 'Risico's it-investeringen doorgaans hoog' Chris Verhoef,

Nadere informatie

http://www.kidzlab.nl/index2.php?option=com_content&task=vi...

http://www.kidzlab.nl/index2.php?option=com_content&task=vi... Veelvlakken De perfecte vorm Plato was een grote denker in de tijd van de Oude Grieken. Hij was een van de eerste die de regelmatige veelvlakken heel bijzonder vond. Hij hield ervan omdat ze zulke mooie,

Nadere informatie

Het Innovatiekompas Inspiratie sessies Dr. Guy Bauwen

Het Innovatiekompas Inspiratie sessies Dr. Guy Bauwen Het Innovatiekompas Inspiratie sessies Dr. Guy Bauwen 1 Innovatiekompas Inspiratie Sessies Contacteer ons voor: Een voordracht om kennis te maken met het kompasmodel. Een workshop om het toepassen van

Nadere informatie

Wetenschappelijk onderzoek NLP Test. 2012 Stichting NLP Kring Joost van der Leij

Wetenschappelijk onderzoek NLP Test. 2012 Stichting NLP Kring Joost van der Leij Wetenschappelijk onderzoek NLP Test 2012 Stichting NLP Kring Joost van der Leij Inleiding NLP is geen wetenschap, maar we kunnen er wel een van maken. Om hiermee te beginnen dienen we eerst de volgende

Nadere informatie

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Ter inleiding: tellen Turven, maar: onhandig bij grote aantallen. Romeinse cijfers: speciale symbolen voor

Nadere informatie

pythagoras handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek pythagoras

pythagoras handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek pythagoras inhoudsopgave 1 de grote lijn applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek 1 de grote lijn hoofdlijn de zijlijn De oppervlakte van rechthoekige driehoeken. Van een

Nadere informatie

Marketing NIMA-B. studiejaar 2015-2016. Media, Informatie en Communicatie. Modulehandleiding. Specialisatie Mediaondernemerschap

Marketing NIMA-B. studiejaar 2015-2016. Media, Informatie en Communicatie. Modulehandleiding. Specialisatie Mediaondernemerschap Opleiding: Media, Informatie en Communicatie Marketing NIMA-B Modulehandleiding Specialisatie Mediaondernemerschap studiejaar 2015-2016 Blok 1 + 2 Docenten:, Eric de, Willem Buffing, Marcel van der Lugt

Nadere informatie

slides2.pdf 2 nov 2001 1

slides2.pdf 2 nov 2001 1 Opbouw Inleiding Algemeen 2 Wetenschap Informatica Studeren Wetenschap en Techniek Informatica als wetenschap Informatica studie Wetenschappelijke aanpak Organisatie Universiteit Instituut Piet van Oostrum

Nadere informatie

Module 3. Hoe gebruik ik informatie op een correcte manier? www.thomasmore.be/bibliotheek

Module 3. Hoe gebruik ik informatie op een correcte manier? www.thomasmore.be/bibliotheek www.thomasmore.be/bibliotheek Module 3 Hoe gebruik ik informatie op een correcte manier? Gebaseerd op de tutorials informatievaardigheden van Bibliotheek Letteren - K.U.Leuven Hoe gebruik ik informatie

Nadere informatie

Iedereen sterk. Zo stimuleer je innovatief gedrag en eigenaarschap van medewerkers

Iedereen sterk. Zo stimuleer je innovatief gedrag en eigenaarschap van medewerkers Iedereen sterk Zo stimuleer je innovatief gedrag en eigenaarschap van medewerkers JANUARI 2016 Veranderen moet veranderen Verandering is in veel gevallen een top-down proces. Bestuur en management signaleren

Nadere informatie

Zoek nu even zelf hoe het verder gaat. Een schematische voorstelling kan hierbij zeker helpen.

Zoek nu even zelf hoe het verder gaat. Een schematische voorstelling kan hierbij zeker helpen. De rij van Fibonacci Leonardo di Pisa (/ ca. 1170, artiestennaam Fibonacci, invoerder van de Indische cijfers in Europa), zat in 1202 met het volgende zware wiskundige probleem: Stel: een boer koopt op

Nadere informatie

De diep verstandelijk gehandicapte medemens

De diep verstandelijk gehandicapte medemens De diep verstandelijk gehandicapte medemens Eerste druk, mei 2012 2012 Wilte van Houten isbn: 978-90-484-2352-1 nur: 895 Uitgever: Free Musketeers, Zoetermeer www.freemusketeers.nl Hoewel aan de totstandkoming

Nadere informatie

SPEELWIJZE LEKKER BLIJVEN WERKEN SPEL

SPEELWIJZE LEKKER BLIJVEN WERKEN SPEL SPEELWIJZE LEKKER BLIJVEN WERKEN SPEL De huidige arbeidsmarkt ziet er heel anders uit dan die van vroeger: we veranderen vaker van baan of de inhoud ervan verandert, banen zijn minder zeker en de groei

Nadere informatie

De kwaliteitsrekening

De kwaliteitsrekening De kwaliteitsrekening VRIJE UNIVERSITEIT De kwaliteitsrekening ACADEMISCH PROEFSCHRIFT ter verkrijging van de graad Doctor aan de Vrije Universiteit Amsterdam, op gezag van de rector magnificus prof.dr.

Nadere informatie

a. De hoogte van een toren bepalen met behulp van een stok

a. De hoogte van een toren bepalen met behulp van een stok Gelijkvormigheid in de 17 de - en 18 de -eeuwse landmeetkunde Heb jij enig idee hoe hoog dat gebouw of die boom is die je uit het raam van je klaslokaal ziet? Misschien kun je de hoogte goed schatten,

Nadere informatie

Toelichting en lesplanning bij groepswerk gelijkvormigheid voor klas 9B (havogroep)

Toelichting en lesplanning bij groepswerk gelijkvormigheid voor klas 9B (havogroep) Toelichting en lesplanning bij groepswerk gelijkvormigheid voor klas 9B (havogroep) Deze week gaan we groepswerk over gelijkvormigheid. De groepsindeling is als volgt: Boudewijn Kjell Pepijn Synne Tom

Nadere informatie

Het gebruik van Excel 2007 voor statistische analyses. Een beknopte handleiding.

Het gebruik van Excel 2007 voor statistische analyses. Een beknopte handleiding. Het gebruik van Excel 2007 voor statistische analyses. Een beknopte handleiding. Bij Excel denken de meesten niet direct aan een statistisch programma. Toch biedt Excel veel mogelijkheden tot statistische

Nadere informatie

God de Vader maakte voorbereidingen

God de Vader maakte voorbereidingen L e s 1 God de Vader maakte voorbereidingen Thema: Redder Bijbelgedeelte: Genesis 3:15, 12:1-3; 2 Samuël 7:8-16; Lucas 1:26-38; Jesaja 7:14; Matteüs 1:18-25 Bijbeltekst: Matteüs 1:21 Herhalingsspel In

Nadere informatie

Dier op dier. Het grote avontuur

Dier op dier. Het grote avontuur Dier op dier Het grote avontuur Een spannend stapelspel voor 2 4 spelers van 5 99 jaar. Spelidee: Illustraties: Speelduur: Klaus Miltenberger Michael Bayer ca. 20 minuten Verbaasd en een beetje angstig

Nadere informatie

Een nieuwe bank. Lesvoorbereiding Crisis graad 2. Verwondering

Een nieuwe bank. Lesvoorbereiding Crisis graad 2. Verwondering Een nieuwe bank Lesvoorbereiding Crisis graad 2 Voorzie speelgoed - geld, echte kleine muntstukken of print het blad met de centen. Op elk blad staan 100 centen in rijen van 10. Zo kan je gemakkelijk het

Nadere informatie

project: Trends en actualiteit in de Jeugdzorg

project: Trends en actualiteit in de Jeugdzorg project: Trends en actualiteit in de Jeugdzorg Colofon Uitgeverij Edu Actief b.v. Meppel Postbus 1056 7940 KB Meppel Tel.: 0522-235235 Fax: 0522-235222 E-mail: info@edu-actief.nl Internet: www.edu-actief.nl

Nadere informatie

18 tips om te werken aan je eigen inzetbaarheid

18 tips om te werken aan je eigen inzetbaarheid 18 tips om te werken aan je eigen inzetbaarheid Goed, gezond en gemotiveerd aan het werk tot je pensioen? Dat bereik je door kansen te pakken op het werk. Leer aan de hand van onderstaande punten hoe je

Nadere informatie

Samenvatting spelregels om het spel te leren kennen

Samenvatting spelregels om het spel te leren kennen Samenvatting spelregels om het spel te leren kennen Gemaakt in opdracht van de provincie Flevoland Lotte van den Berg & Trygve Rosenvinge Norwegian university of Science and Technology (NTNU) Voor verantwoording

Nadere informatie

Meten en Meetkunde 3. Doelgroep Meten en Meetkunde 3. Omschrijving Meten en Meetkunde 3

Meten en Meetkunde 3. Doelgroep Meten en Meetkunde 3. Omschrijving Meten en Meetkunde 3 Meten en Meetkunde 3 Meten en Meetkunde 3 besteedt aandacht aan het onderhouden en uitbreiden van de basisvaardigheden van het rekenen met maten, oppervlaktes en inhouden, coördinaten en assenstelsels,

Nadere informatie

Voorwoordje. 1 'Het pad van de Junzi'. (2011) Te bestellen via www.pumbo.nl. 1. In dit boek zal vooral een nieuw ontdekte manier gepresenteerd worden

Voorwoordje. 1 'Het pad van de Junzi'. (2011) Te bestellen via www.pumbo.nl. 1. In dit boek zal vooral een nieuw ontdekte manier gepresenteerd worden Voorwoordje In tijden van grote economische en individuele veranderingen worden we doodgegooid met coaching-programma's als 'The Secret', 'The Power', 'Human Design', 'De Wet van Resonantie' of 'De Wet

Nadere informatie

MALADAPTIVE SOCIAL BEHAVIOUR OF STUDENTS IN SECONDARY VOCATIONAL EDUCATION

MALADAPTIVE SOCIAL BEHAVIOUR OF STUDENTS IN SECONDARY VOCATIONAL EDUCATION MALADAPTIVE SOCIAL BEHAVIOUR OF STUDENTS IN SECONDARY VOCATIONAL EDUCATION PROEFSCHRIFT ter verkrijging van de graad van Doctor aan de Universiteit Leiden op gezag van de Rector Magnificus Dr. D. D. Breimer,

Nadere informatie

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002 - 0 - WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2 maar en hoe nu verder? 29 november 2002 De Wiskunde B-dag wordt gesponsord door Texas Instruments - 1 - Inleiding Snel machtverheffen Stel je voor dat je 7 25 moet uitrekenen.

Nadere informatie

1. Vectoren in R n. y-as

1. Vectoren in R n. y-as 1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale

Nadere informatie

Wat mevrouw verteld zal ik in schuin gedrukte tekst zetten. Ik zal letterlijk weergeven wat mevrouw verteld. Mevrouw is van Turkse afkomst.

Wat mevrouw verteld zal ik in schuin gedrukte tekst zetten. Ik zal letterlijk weergeven wat mevrouw verteld. Mevrouw is van Turkse afkomst. Interview op zaterdag 16 mei, om 12.00 uur. Betreft een alleenstaande mevrouw met vier kinderen. Een zoontje van 5 jaar, een dochter van 7 jaar, een dochter van 9 jaar en een dochter van 12 jaar. Allen

Nadere informatie

Annelies Knoppers Hoogleraar pedagogiek en didactiek van sport en lichamelijke opvoeding Universiteit Utrecht

Annelies Knoppers Hoogleraar pedagogiek en didactiek van sport en lichamelijke opvoeding Universiteit Utrecht Annelies Knoppers Hoogleraar pedagogiek en didactiek van sport en lichamelijke opvoeding Universiteit Utrecht Vragen stellen bij schijnbare vanzelfsprekendheden is een basisvoorwaarde voor wetenschappelijk

Nadere informatie

Utrecht Business School

Utrecht Business School Cursus Controlling & Accounting De cursus Controlling & Accounting duurt ongeveer 2 maanden en omvat 5 colleges van 3 uur. U volgt de cursus met ongeveer 10-15 studenten op een van onze opleidingslocaties

Nadere informatie

E-PAPER. Drie praktische tips om je werk als apothekersassistent(e) leuker te maken!

E-PAPER. Drie praktische tips om je werk als apothekersassistent(e) leuker te maken! Dé expert in praktische apotheektrainingen E-PAPER Drie praktische tips om je werk als apothekersassistent(e) leuker te maken! 1 Inhoudsopgave De cliënt en ik 3 Weet jij nog waarom je in de apotheek wilde

Nadere informatie

WISKUNDE D VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0

WISKUNDE D VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 WISKUNDE D VWO VAKINFORMATIE STAATSEAMEN 2016 V15.7.0 De vakinformatie in dit document is vastgesteld door het College voor Toetsen en Examens (CvTE). Het CvTE is verantwoordelijk voor de afname van de

Nadere informatie

Onmogelijke figuren. Geschreven door Judith Floor en Vivike Lapoutre. Herzien door Dieuwke van Wijk en Amarins van de Voorde

Onmogelijke figuren. Geschreven door Judith Floor en Vivike Lapoutre. Herzien door Dieuwke van Wijk en Amarins van de Voorde Onmogelijke figuren Geschreven door Judith Floor en Vivike Lapoutre Herzien door Dieuwke van Wijk en Amarins van de Voorde Vierkant voor Wiskunde Zomerkamp A 2010 Voorwoord Je hebt vast wel eens een stripboek

Nadere informatie

Hersenen, emotie en gedrag beïnvloeden

Hersenen, emotie en gedrag beïnvloeden Breinvoeding voor beïnvloeding Hersenen, emotie en gedrag beïnvloeden Bekijk de onderstaande twee figuren. Bij welke figuur is de lange lijn precies doormidden gedeeld? Tekening: Patrick Maitimo Meet de

Nadere informatie

Jezus, het licht van de wereld

Jezus, het licht van de wereld Jezus, het licht van de wereld Het evangelie naar Johannes 8: 1-30 1 Overzicht 1. De overspelige vrouw 2. Jezus als het Licht der wereld 3. Twistgesprekken met de Farizeeën 2 De overspelige vrouw Bijbeltekst

Nadere informatie

De toekomst van consultancy

De toekomst van consultancy De toekomst van consultancy Course Assignment Management Consulting 5 oktober 2013 Teska Koch 2518936 Teska.koch@hotmail.com Word count: 1.510 Een kijkje in de glazen bol: Wat is de toekomst van consultancy?

Nadere informatie

SPEL VAN DE GOUDEN EEUW - LESMATERIAAL

SPEL VAN DE GOUDEN EEUW - LESMATERIAAL Amsterdam in 1594, aan het begin van de Gouden Eeuw. De Nederlandse kunst, wetenschap en vooral de economie bloeien op. Ondernemers krijgen nieuwe kansen en kunnen steeds grotere investeringen doen. De

Nadere informatie

Dossieropdracht 4. Analyse 1 - Didactiek

Dossieropdracht 4. Analyse 1 - Didactiek Dossieropdracht 4 Analyse 1 - Didactiek Naam: Thomas Sluyter Nummer: 1018808 Jaar / Klas: 1e jaar Docent Wiskunde, deeltijd Datum: 27 november, 2007 Samenvatting Al eerder zijn de studenten bloot gesteld

Nadere informatie

MEMORY WOORDEN 1.1. TaalCompleet A1 Memory Woorden 1 1

MEMORY WOORDEN 1.1. TaalCompleet A1 Memory Woorden 1 1 MEMORY WOORDEN 1.1 TaalCompleet A1 Memory Woorden 1 1 ik jij hij zij wij jullie zij de baby het kind ja nee de naam TaalCompleet A1 Memory Woorden 1 2 MEMORY WOORDEN 1.2 TaalCompleet A1 Memory Woorden

Nadere informatie

Mobiliteit van de manager vraagt om nieuwe toepassingen Procesgegevens nu ook inzichtelijk en overzichtelijk op je ipad

Mobiliteit van de manager vraagt om nieuwe toepassingen Procesgegevens nu ook inzichtelijk en overzichtelijk op je ipad Mobiliteit van de manager vraagt om nieuwe toepassingen Procesgegevens nu ook inzichtelijk en overzichtelijk op je ipad Insurance Government Automotive Finance Energy Healthcare Logistics Mobiliteit van

Nadere informatie

Vaardigheidsmeter Communicatie

Vaardigheidsmeter Communicatie Vaardigheidsmeter Communicatie Persoonlijke effectiviteit Teamvaardigheden Een goede eerste indruk Zelfempowerment Communiceren binnen een team Teambuilding Assertiviteit Vergaderingen leiden Anderen beïnvloeden

Nadere informatie

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken

Nadere informatie

Goede zorg van groot belang. Nederlanders staan open voor private investeringen

Goede zorg van groot belang. Nederlanders staan open voor private investeringen Goede zorg van groot belang Nederlanders staan open voor private investeringen Index 1. Inleiding p. 3. Huidige en toekomstige gezondheidszorg in Nederland p. 6 3. Houding ten aanzien van private investeerders

Nadere informatie

rekentrainer jaargroep 7 Fietsen op Terschelling. Teken en vul in. Zwijsen naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs

rekentrainer jaargroep 7 Fietsen op Terschelling. Teken en vul in. Zwijsen naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs Zwijsen jaargroep 7 naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs Waar staat deze paddenstoel ongeveer? Teken op de kaart. Welke afstand of welke route fietsen de kinderen? naam route afstand Janna

Nadere informatie

Wij willen u inspireren.

Wij willen u inspireren. FITCH Wij willen u inspireren. Mensen die energie krijgen van wat ze doen. Dat zijn de medewerkers die het verschil maken in uw organisatie. Fitch gelooft in het succes van geïnspireerde bedrijven. Dat

Nadere informatie

Veranderen is een noodzaak, verbeteren is een keuze (1)

Veranderen is een noodzaak, verbeteren is een keuze (1) (1) Inspirerend leiderschap van bestuurders en directeuren vraagt om meer aandacht voor hun verander- en verbetercapaciteit. In dit eerste deel (van twee) staat een belangrijke component hiervan centraal:

Nadere informatie

1 DE STELLING VAN PYTHAGORAS

1 DE STELLING VAN PYTHAGORAS 1 DE STELLING VAN PYTHAGORAS 1.1 Verkennende opdrachten 1.1.1 Pythagoras puzzel (mozaïek van Henry Perigal 1801-1898) Open de link naar het bestand 1 Pythagoras_puzzel.htm Gegeven is een rechthoekige driehoek

Nadere informatie

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling.

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. Opgaven hoofdstuk 6 I Learning the Mechanics 6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. De random variabele x wordt tweemaal waargenomen. Ga na dat, indien de waarnemingen

Nadere informatie

DE TOENEMENDE LAGENSNIT MET PROJECTIE (vanaf 120 )

DE TOENEMENDE LAGENSNIT MET PROJECTIE (vanaf 120 ) DE TOENEMENDE LAGENSNIT MET PROJECTIE (vanaf 120 ) Algemeen Als klanten met lang haar geen massieve snit hebben, is het meer dan waarschijnlijk dat zij lagen in het haar hebben en meestal toenemende lagen.

Nadere informatie

Oplossingsgerichte vragen (Het Spel van Oplossingen IKB & TS)

Oplossingsgerichte vragen (Het Spel van Oplossingen IKB & TS) Oplossingsgerichte vragen (Het Spel van Oplossingen IKB & TS) Stel dat dat (te grote wonder) gebeurt, ik betwijfel of dat zal gebeuren, maar stel je voor dat, wat zou je dan doen dat je nu niet doet? (p36)

Nadere informatie

Invloed van IT uitbesteding op bedrijfsvoering & IT aansluiting

Invloed van IT uitbesteding op bedrijfsvoering & IT aansluiting xvii Invloed van IT uitbesteding op bedrijfsvoering & IT aansluiting Samenvatting IT uitbesteding doet er niet toe vanuit het perspectief aansluiting tussen bedrijfsvoering en IT Dit proefschrift is het

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

Een boekje met wiskundige vragen en opdrachten voor Havo 3

Een boekje met wiskundige vragen en opdrachten voor Havo 3 Een boekje met wiskundige vragen en opdrachten voor Havo 3 Gemaakt door: Harm Bakker Peter Vaandrager April 2002. Met dank aan mevr.o. De Meulemeester van KSO Glorieux uit Ronse in België. Geschiedenis

Nadere informatie

11 Junior Wiskunde Olympiade 2001-2002: tweede ronde

11 Junior Wiskunde Olympiade 2001-2002: tweede ronde Junior Wiskunde Olympiade 200-2002: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

Meten en Meetkunde 3. Doelgroep Meten en Meetkunde 3. Omschrijving Meten en Meetkunde 3

Meten en Meetkunde 3. Doelgroep Meten en Meetkunde 3. Omschrijving Meten en Meetkunde 3 Meten en Meetkunde 3 Meten en Meetkunde 3 besteedt aandacht aan het onderhouden en uitbreiden van de basisvaardigheden van het rekenen met maten, oppervlaktes en inhouden, coördinaten en assenstelsels,

Nadere informatie

Sociale psychologie en praktijkproblemen

Sociale psychologie en praktijkproblemen Sociale psychologie en praktijkproblemen Sociale psychologie en praktijkproblemen van probleem naar oplossing prof. dr. A.P. Buunk dr. P. Veen tweede, herziene druk Bohn Stafleu Van Loghum Houten/Diegem

Nadere informatie

Vrijstelling op grond van praktijkervaring binnen de masteropleiding Onderwijswetenschappen

Vrijstelling op grond van praktijkervaring binnen de masteropleiding Onderwijswetenschappen Vrijstelling op grond van praktijkervaring binnen de masteropleiding Onderwijswetenschappen Quickscan U voert een quickscan uit om vast te stellen of de vrijstellingsprocedure op grond van praktijkervaring

Nadere informatie

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Inleiding: topologische oppervlakken en origami Een topologisch oppervlak is, ruwweg gesproken, een tweedimensionaal meetkundig object. We zullen in deze tekst

Nadere informatie

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden.

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Uitleg Welkom bij de Beverwedstrijd 2006 Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Je krijgt 5 vragen van niveau A, 5 vragen van niveau B en 5 vragen van niveau C. Wij denken

Nadere informatie

Docentenhandleiding Schrijven bij geschiedenis

Docentenhandleiding Schrijven bij geschiedenis Docentenhandleiding Schrijven bij geschiedenis In deze docentenhandleiding vindt u meer informatie over de schrijfinstructie-les, die aansluit bij de lessenserie Nederland als democratie. Het doel van

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

De 10 e editie havo-vwo OB

De 10 e editie havo-vwo OB De 10 e editie havo-vwo OB Presentatie havo/vwo onderbouw 10 e editie 1 HAVO/VWO 1 VWO 2 HAVO 2 HAVO/VWO 2 VWO De delen 10 e editie onderbouw 3 HAVO deel 1 3 HAVO deel 2 3 VWO deel 1 3 VWO deel 2 Presentatie

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur wiskunde A1 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

Tien tips voor een geweldige relatie

Tien tips voor een geweldige relatie Tien tips voor een geweldige relatie In het begin van een relatie is het spannend en weet je elkaar te vermaken en te prikkelen. Als je wat langer met elkaar bent, kunnen er problemen ontstaan of kan het

Nadere informatie

Wiskunde D assignment problem. Hier stonden ooit namen

Wiskunde D assignment problem. Hier stonden ooit namen Wiskunde D assignment problem Hier stonden ooit namen Inhoud Wat? Pagina Het probleem 2 Probleem analyse 3 4 Oplossing adjacency assignment 5 6 Oplossing gerneral assignment via hungarian algorithm Oplossing

Nadere informatie

Utrecht Business School

Utrecht Business School Cursus Agile & Scrum Projectmanagement De cursus Agile & Scrum Projectmanagement duurt ongeveer 2 maanden en omvat 5 colleges van 3 uur. U volgt de cursus met ongeveer 10-15 studenten op een van onze opleidingslocaties

Nadere informatie

= 50 : 2 = 25 Zo kun je bijvoorbeeld ook rekenen bij 24 : 5 + 24 : 20 = 24 x 1 5 + 24 x 1

= 50 : 2 = 25 Zo kun je bijvoorbeeld ook rekenen bij 24 : 5 + 24 : 20 = 24 x 1 5 + 24 x 1 Moeilijke deelsom 50 : 6 + 50 : 3 = 50 x 1 6 + 50 x 1 3 = 50 x ( 1 6 + 1 3 ) = 50 x 1 2 = 50 : 2 = 25 Zo kun je bijvoorbeeld ook rekenen bij 24 : 5 + 24 : 20 = 24 x 1 5 + 24 x 1 20 = 24 x (1 5 + 1 20 )

Nadere informatie

WISKUNDE D HAVO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0

WISKUNDE D HAVO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 WISKUNDE D HAVO VAKINFORMATIE STAATSEAMEN 2016 V15.7.0 De vakinformatie in dit document is vastgesteld door het College voor Toetsen en Examens (CvTE). Het CvTE is verantwoordelijk voor de afname van de

Nadere informatie

Pythagoreïsche drietallen Guy Van Leemput, Sint-Jozefcollege te Turnhout, België

Pythagoreïsche drietallen Guy Van Leemput, Sint-Jozefcollege te Turnhout, België Pythagoreïsche drietallen Guy Van Leemput, Sint-Jozefcollege te Turnhout, België Toelichtingen: Wat op de volgende bladzijden volgt is een werktekst met antwoorden rond het zoeken van rechthoekige driehoeken

Nadere informatie

MODULE #6 DREAMBOARD PROCES

MODULE #6 DREAMBOARD PROCES MODULE #6 DREAMBOARD PROCES Welkom bij het 90 dagen mindset coachings programma. Dit programma heeft de potentie om jouw leven compleet te veranderen de komende 90 dagen. Daarin is het belangrijk dat je

Nadere informatie

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Ruimtelijke figuren

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Ruimtelijke figuren Escher in Het Paleis Wiskundepakket Ruimtelijke figuren Ruimtelijke figuren Escher maakt in EEN AANTAL prenten gebruik van wiskundig interessante ruimtelijke vormen, zoals Platonische lichamen en Möbiusbanden.

Nadere informatie

Doel van Bijbelstudie

Doel van Bijbelstudie Bijbelstudie Hebreeën 4:12 Want het woord Gods is levend en krachtig en scherper dan enig tweesnijdend zwaard en het dringt door, zó diep, dat het vaneen scheidt ziel en geest, gewrichten en merg, en het

Nadere informatie