Handleiding. Getal en Ruimte vwo4 wiac. E. van Winsen Versie 24 augustus 2010 OS 2.1

Transcriptie

1 Handleiding Getal en Ruimte vwo4 wiac E. van Winsen Versie 4 augustus 010 OS.1

2 Inhoudsopgave Inhoudsopgave... wia 1 Berekeningen op het rekenmachinescherm... 4 Het rekenmachinescherm... 4 Eenvoudige berekeningen... 4 Mintekens... 5 Haakjes... 5 Breuken... 5 Fouten verbeteren... 6 Werken met breuken... 6 Wetenschappelijke notatie... 8 Herhaald optellen en herhaald vermenigvuldigen... 9 wiac Aantallen mogelijkheden bij telproblemen Permutaties en faculteiten Combinaties wiac Formules, grafieken en tabellen Formules invoeren Het standaardscherm Met de spoor-cursor y-waarden berekenen... 1 Snijpunten van grafieken... 1 Bijzondere punten met Grafiek Analyseren-menu... 1 Formules uitzetten Het uiterlijk van grafieken veranderen De spoor-cursor en functiewaarden Tabellen maken De optie Zoom-Passend wiac 4 Een steekproef opzetten Toevalsgetallen genereren wiac 5 Regressie... 0 Het invoeren van een tabel... 0 Het plotten van punten van een tabel... 0 Het opstellen van de formule van een regressielijn... 1 Het plotten van de regressielijn... 1 Een lijst met residuen... Andere regressiemodellen... WAC 6 Formules Oproepen... 4 wiac 7 Richtingscoëfficiënt van raaklijn... 5 De optie Raaklijn in een Grafieken scherm... 5 wiac 8 Functie en hellinggrafiek... 6 Hellinggrafieken plotten... 6 De optie nderivative( in het Rekenmachinescherm... 7 wiac 9 Statistische berekeningen... 8 Het berekenen van gemiddelde en standaardafwijking... 8 wiac 10 De normale verdeling... 0 De oppervlakte van een gebied onder een normaalkromme... 0 De grens berekenen bij een gegeven oppervlakte onder een normaalkromme... 0 Opmerking bij blz.?? G&R... Opmerking bij blz.?? G&R??... Allerlei tips & trucs... Standaardinstellingen...

3 Resetten... Afronden op de GR... Het gebruik van lettergeheugens... De catalogus... 4 Sommeren... 4 Versie opmerkingen Verdere vertaling, lettertype gecontroleerd, schermdumps met OS wisd9 regressiemodellen toegevoegd OS 1.7 veel nieuwe schermbeelden, rijen in Grafieken OS.1 schermbeelden.1. Handelingen zijn kloppend gemaakt voor.1.

4 wia 1 Berekeningen op het rekenmachinescherm Het rekenmachinescherm Zet de GR aan met c. Je komt dan op het Hoofdscherm. Dit is meestal je startpunt. Je kunt dan al een document open hebben (Huidig is dan zwart) of helemaal schoon beginnen. Begin met een nieuw document. Kies voor 1 Nieuw onder Documenten. Als er wordt gevraagd of je het vorige document wil bewaren kies je nu voor Nee en krijg je de keuze uit de zes toepassingen: Rekenmachine, Grafieken, Meetkunde, Lijsten en Spreeadsheets(L&S), Gegevensverwerking en Statistiek(G&S) en Notities. Kies 1. Rekenmachine. Hier kun je berekeningen maken. Eenvoudige berekeningen Bereken De berekening +*4 gaat op de GR net zoals op een gewone rekenmachine, maar je sluit af met Om het antwoord 14 vervolgens te delen door 5, hoef je alleen maar p5 in te tikken. Je krijgt dan het scherm hiernaast, de GR rekent verder met het laatste antwoord. Druk je nu op dan wordt de berekening uitgevoerd. In plaats van Ans komt de waarde 14 te staan en het antwoord wordt in breukvorm gegeven. Wil je dit getal omzetten naar een kommagetal, dan kan dat via b Getal, 1 Converteren naar Decimaal. Je krijgt dan,8 Als je al weet dat je een kommagetal als antwoord wil kun je in plaats van om de berekening uit te voeren kiezen voor /. Controleer de volgende berekeningen: 1,087 x 80 = 587, = /q 5 + = 5, 6 Na de 5 om onder het wortelteken uit te komen 5 +, = 10, 9 kwadraat = q 5 +, = 17,167 derde macht met l Opgave 1 Bereken in twee decimalen nauwkeurig: 4

5 a. b. 4 5, , 47 c 4 + 6,5 d 5 1,8 11,5 + 8, 7 Opgave Bereken in twee decimalen nauwkeurig: a. 1 +, 51 c 1,8,51 b. 1 +,51 d 1,8,51 Mintekens De toets - hoort bij aftrekkingen. Je krijgt 18-5 met 18-5 Met de toets v zet je een minteken voor een getal. Je krijgt 8 met v-8 Let op dat op het scherm twee verschillende mintekens te zien zijn. Controleer de volgende berekeningen op de GR. 4 = = 1 4 = 10 Haakjes Het kwadraat van -8, is ( 8,) = 68,89 Vergeet niet de haakjes in te tikken. Zonder haakjes krijg je 8, = 68,89. Opgave Bereken. a. het kwadraat van -5,7 c b. de vierde macht van -1,8 d 5,7 4 1,8 Opgave 4 Bereken in twee decimalen nauwkeurig: a.,5 8 c b. 8,91,1 1, d 4 8,1 5 1, 6 4 8,1 1, 5, 7 8 Breuken 000 Bij het berekenen van 5 + 1,18 gebruik je de /p, je krijgt dan de invoermal voor breuken. 5

6 Opgave 5 Bereken in twee decimalen nauwkeurig: a c b. d Opgave 6 Bereken in twee decimalen nauwkeurig: 118,6 a. 8, 5, 6 5,9 + b. 8, ,1 + 8, 7, 05 1, 7,5 c d,88 + 4, , 6,9 + 7,4 Fouten verbeteren Maak je bij het intikken een fout, dan ga je met de cursor naar de fout. Vervolgens kun je met. de fout verwijderen en vervolgens de goede invoer geven. TI-Nspire voegt automatisch de nieuwe invoer tussen de bestaande. Als je al een gegeven hebt, kun je met de cursor (twee keer) naar de vorige invoer, geef dan weer en je krijgt de vorige invoer op een nieuwe regel en je kunt deze invoer wijzigen. 4 Op het scherm hiernaast is bij 0 + 1,18,8 per ongeluk,48 ingetikt. Na sta je achter de 4. Vervolgens. en je krijgt de gewenste uitkomst. Probeer deze mogelijkheden eens uit. Werken met breuken De GR heeft geen a b / c knop voor gemengde getallen. teller Breuken zijn altijd zonder dat er helen zijn uitgehaald. noemer 5 8 voer je in als 4 of als De berekening 5 op de GR vergt enkele haakjes. 8 7 Je kunt intypen: (5+/8)r(+4/7) en de GR geeft dan de nettere breukenvorm of je voert de breuken in met de breuken invoermal p. De afronding is gemaakt met / 6

7 Bij tik je in 1p+1p Je krijgt dan 5 6 Met b Getal, 1 Converteren naar Decimaal krijg je de afronding 0,8. Bij 8 7 moet je haakjes gebruiken, dus 8r(+p7) Hiernaast zie je de uitkomst. Ook het omgekeerde kan: een decimaal getal omzetten naar een breuk. Met de optie b Getal, Benaderen als breuk kun je bijvoorbeeld,15 als breuk schrijven. Typ je zomaar een decimaal getal is, dan zul je veelal een breuk krijgen met grote teller en noemer. Opgave 7 Bereken. Schrijf het antwoord als een breuk zowel als in twee decimalen nauwkeurig: 1 a. + 4 c b. (1 ) d Opgave 8 Bereken. Schrijf het antwoord als een breuk zowel als in twee decimalen nauwkeurig: a. 8 c ( ) b. ( 6 5) d 1 7 Opgave 9 Bereken. Schrijf het antwoord als een breuk zowel als in twee decimalen nauwkeurig: 1 a. het kwadraat van 1 c 5 gedeeld door 1 b. de vierde macht van 7 7

8 Wetenschappelijke notatie Bij de berekening van 5, geeft de rekenmachine 4.55 E 1. Je moet dit lezen als 4,55 Bij E1 moet de komma 1 plaatsen naar rechts Bij 0,1 geeft de Nspire als antwoord E -8. Dit betekent 0, Bij E-8 moet de komma 8 plaatsen naar links. Het getal 4857 wordt in wetenschappelijke notatie weergegeven als 4.857E4. Je moet dit 4 lezen als 4, Het getal wordt in wetenschappelijke notatie weergegeven als.81e -4. Je moet dit lezen als, Met i kun je een getal rechtstreeks in de wetenschappelijke notatie invoeren. Het getal 5, voer je in als 5.8 i -4 Dit is ook handig bij grote getallen. Zo kun je 1,6 miljard invoeren met 1.6 i 9 Opgave 10 Bereken. Schrijf het antwoord in de wetenschappelijke notatie, dus in de vorm in twee decimalen nauwkeurig: a. c,8 10 0, b. 18 5, d 6 7 0,86 10, a 10 p. Geef a Opgave 11 Bereken. Rond af op 5 decimalen. 5 a. 0,7 c b. 8 0,1 d 9 0,65 0,4 4 (,1: 7,) 8

9 Herhaald optellen en herhaald vermenigvuldigen Een hoeveelheid neemt telkens met 1 toe. De beginhoeveelheid is 180. Op de Gr gaat dit herhaald optellen als volgt: o Typ de beginhoeveelheid, 180 in en. o Tik + 1 en o Tik Bij herhaald vermenigvuldigen ga je op soortgelijke manier te werk. Wordt een hoeveelheid telkens met 1,06 vermenigvuldigd, dan reken je dit op de Nspire als volgt door. Begin met 750. o Typ de beginhoeveelheid, 750 in en. o Tik r 1,06 en o Tik Opgave 1 Een bedrag wordt jaarlijks met 1,045 vermenigvuldigd. Begin met 500. Hoeveel is het bedrag a. na 5 jaar c na 1 jaar b. na 10 jaar c na 5 jaar? Opgave 1 Een bedrag wordt jaarlijks met 0, miljoen vermeerderd. Begin met 18,6 miljoen euro.. Hoeveel is het bedrag a. na 18 jaar b na 5 jaar Opgave 14 Een bedrag wordt jaarlijks door 0,98 gedeeld. Het beginbedrag is 1750,-. Hoeveel is het bedrag a. na 8 jaar b na 1 jaar 9

10 wiac Aantallen mogelijkheden bij telproblemen Permutaties en faculteiten Het aantal permutaties van 4 uit 1 krijg je met npr(1,4). npr krijg je met b5 of met de catalogus k op alfabetische volgorde of door gewoon npr(1,4) in te typen in een Rekenmachinescherm. Op het scherm staat als antwoord Het aantal permutaties van 4 uit 1 is dus Je berekent 8! met 8 b51 Faculteit(!) Het uitroepteken kun je ook bij de bijzondere tekens vinden. Kies hiervoor /k, je krijgt dan alle bijzondere tekens. Hier vind je ook het uitroepteken (faculteitteken). Een voordeel is dat wanneer je dit scherm heropent, het uitroepteken nog geselecteerd staat. Op het scherm staat als antwoord 400. Het aantal volgordes waarin 8 verschillende mensen kunnen gaan staan is dus 400. Combinaties Het aantal combinaties van 5 uit 1, wiskundige 1 notatie, krijg je met ncr(1,5) 5 ncr krijg je met b4 of met de catalogus k op alfabetische volgorde of door gewoon ncr(1,5) in te typen in een Rekenmachinescherm. Het aantal combinaties van 5 uit 1 is dus 79. Opgave 1 Bereken: 10 8 a b c

11 wiac Formules, grafieken en tabellen Formules invoeren Open een nieuw document met c Nieuw. Als je het vorige document wil bewaren kies je voor opslaan en moet je het een zinvolle naam geven. Als je het vorige document niet wil opslaan kom je meteen voor de keuze van de zes mogelijke schermen. Kies eerst voor 1 Rekenmachine toevoegen. Vervolgens open je een tweede scherm via c en een klik op de tweede van de zes iconen voor de zes toepassingen. Beweeg de cursor door je vinger over het touchpad te bewegen over de iconen om te zien welke waar voor staat. Kies voor Grafieken, selecteren kan met een click of met een. Je hebt dan het scherm hiernaast. Met / en / pijl naar links/rechts kun je van pagina wisselen, deze zijn aangegeven met de tabbladen 1.1 en 1. boven in het scherm). Ook kun je het juiste tabblad met de cursor selecteren. Probeer dit eens uit en zorg dat je weer in het Grafieken scherm terecht komt. We gaan de grafiek van y = x 4x + plotten. Daarvoor met je de formule invoeren. Voer achter f1(x)= deze formule in: Xq- 4X+ De grafiek verschijnt na meteen op het scherm. Soms moet je een verstandige schaalverdeling op de x-as en de y-as kiezen. Dat gaat via b, dan 4 Venster, 1 Vensterinstellingen. Als je een waarde hebt ingetypt kun je naar een volgend invulveld met de e toets of met de pijltoetsen, als je op ENTER drukt verlaat je het Venster-menu. Maak een assenstelsel met XMin = -5, XMax = 10, YMin = -5 en YMax = 8 Je hebt nu de grafiek hiernaast getekend op het grafiekenscherm. We zeggen dat de grafiek is geplot. Afspraak: In plaats van laat de GR de grafiek tekenen zeggen we kortweg plot de grafiek. Het standaardscherm De instelling met XMin = -10, XMax = 10, YMin = -6,67 en YMax = 6,67 heet de standaardindeling. Het bijbehorende scherm heet het standaardscherm. De GR heeft een optie waarmee je direct het standaardscherm krijgt. Dit gaat als volgt: b 4 Venster, 5 Zoom-Standaard. Als je voor 7 Zoom-Gebruiker kiest gaat het scherm naar de laatste instellingen die je als gebruiker zelf hebt ingevoerd. 11

12 Met de spoor-cursor y-waarden berekenen Je kunt op meerdere manieren de grafiek onderzoeken. Kies eerst b 5 Spoor, 1 Grafiekspoor en kijk wat er gebeurt als je met de pijltoetsen naar links en naar rechts gaat. Typ nu gevolgd door ENTER. Je ziet dat het punt op de grafiek dat hoort bij x = wordt getekend. Opgave 1 Bereken de y-coördinaten van het punt van de grafiek bij a x = -1,5 b x = c x = 1,5 Ga vervolgens de grafiek met de cursor volgen (Tracen) met b 5 Spoor, 1 Grafiekspoor. Als je in de buurt van het snijpunt met de x-as komt, kleeft de cursor aan het nulpunt en geeft (een benadering) van de coördinaten en nul in beeld. Bij het minimum krijg je de tekst minimum en de coördinaten van de top van de parabool. Een maximum wordt analoog aangegeven. Opgave a. Benader de coördinaten van het andere nulpunt. b. Bereken de exacte oplossingen van de vergelijking x 4x + = 0 1

13 Snijpunten van grafieken Ga weer naar het grafiekenscherm en met e kom je op de invoerregel voor het invoeren van de formules van de functies. Teken in hetzelfde assenstelsel ook de grafiek van f ( x) = 0.5x 1. De parabool en de rechte lijn snijden elkaar twee keer. Een manier om die snijpunten in beeld te krijgen is: o Kies b 7 Punten en lijnen, Snijpunt(en) o Ga met de pijl naar een van beide grafieken (de pijl wordt een handje en de grafiek wordt dikker getekend) en druk x(of op enter). o Ga vervolgens naar de andere grafiek en druk opnieuw x(of op enter). o In beeld verschijnen de coördinaten van beide snijpunten. We gaan onderzoeken wat er gebeurt als we het functievoorschrift van de lijn veranderen. Je kunt de coördinaten verplaatsen. Zet de pijl op de coördinaten en met { pak je de coördinaten vast en deze kun je met de cursor elders op het scherm plaatsen. Dit is handig als de coördinaten boven op elkaar worden weergegeven. Het aantal decimalen kun je ook veranderen. Zet met de cursor de pijl op de coördinaat waarvan je het aantal decimalen wil veranderen. Druk /x en dan kun je met de + het aantal decimalen vergroten en met de - het aantal decimalen verkleinen. Druk op e en daarna op de pijl omhoog zodat je f in beeld hebt. Met. kun je de -1 wissen en vervangen door bijvoorbeeld -. Als je dat gedaan hebt veranderen de coördinaten van de snijpunten in het scherm ook. Opgave Verander het functie voorschrift van f in: f ( x) = x. De snijpunten hebben nu gehele coördinaten. Bereken deze coördinaten. Opgave 4 Hoeveel snijpunten heeft de lijn y = x 5 met de grafiek van de parabool? Opgave 5 Probeer nu, door telkens een andere waarden voor b te nemen, te vinden voor welke waarde van b de grafiek van f(x) de parabool raakt. Druk op e en zodat je weer op de invoerregel van f komt en dan kun je het getal b aanpassen. Bijzondere punten met Grafiek Analyseren-menu 1

14 Het handige Grafiek Analyseren (b 6 Grafiek Analyseren) gebruik je voor het berekenen van bijzonderheden van een grafiek. Er wordt gevraagd naar welke grafiek, de ondergrens en de bovengrens. Deze geef je aan door er met de muis heen te gaan en te clicken voor vastlegging. Hieronder enkele schermafdrukken. De functies zijn f 1( x) = x 4x + en f ( x) = x Overbodige vragen, zoals welke grafiek als er maar één is, van welke grafieken het snijpunt als je maar twee grafieken hebt, worden niet gesteld. Formules uitzetten Om alleen de grafiek van f1 te zien moet je f verbergen. De functie is er nog wel, maar wordt niet meer weergegeven. Dit is iets anders dan Wissen, waarbij je de functie verwijdert. Ga hiervoor naar de grafiek van f en ga met /b naar het context-afhankelijke menu. Hierin kies je voor Verbergen/Weergeven om de grafiek van f niet meer te zien. Oefen hiermee en zet de grafiek van f uiteindelijk weer op zichtbaar. Opgave 6 a Plot de grafiek van f 1( x) = 0,5x x + x + 5 met venster [-1,1]x[-1,1]. 4 b Plot ook de grafiek van f ( x) = 0, 5x, 7x + 8x in hetzelfde scherm. c..hoeveel snijpunten hebben de grafieken van f1 en f op dit scherm? d Hoe kun je er zeker van zijn dat er geen andere snijpunten zijn? 14

15 Het uiterlijk van grafieken veranderen Wanneer je meerdere grafieken in één scherm hebt kun je het uiterlijk van grafieken aanpassen. Je kunt ze dikker maken of als stippel- of streeplijn laten tekenen. Ga hiervoor met de cursor naar de aan te passen grafiek. Kies in het context-afhankelijke menu na /b voor Eigenschappen. Probeer dit uit en maak de grafiek van f dikker en gestreept door keuzes te maken met de pijltjestoetsen. De spoor-cursor en functiewaarden Begin een nieuw document met een rekenmachine en een Grafieken scherm. Gegeven is de functie f ( x) = 0,6x,8x + 6 Je krijgt f(4,5) als volgt. o plot de grafiek van f 1( x) = 0,6x,8x + 6 o kies b 5 Spoor, 1 Grafiekspoor en tik in 4^5 o druk en je ziet de cursor op het punt (4.5,,975) staan. Dus f(4,5)=,975 Met nog een keer worden de coördinaten in het assenstelsel geplakt, zodat je ze bij verder tracen blijft zien. Een alternatieve methode gebruikt het rekenmachinescherm: Je krijgt f(4,5) als volgt. o plot de grafiek van f 1( x) = 0,6x,8x + 6 o ga naar het rekenmachinescherm met / en typ in: f1(4.5) o druk en je ziet dat f1(4.5)=.975 Opgave 7 Gegeven is de functie f ( x) = 1,x + 1,8 x a..plot de grafiek op het standaardscherm. b..bereken f(-5), f(-1,), f(0,8) en f(8,) c..ga na wat er gebeurt als je met de spoor-cursor f(5) berekent. Het standaardvenster kun je snel weer terugzetten met b45 d..bereken in het rekenmachinescherm f(-17), f(51) en f(10) 15

16 Tabellen maken Bij de formules f 1( x) = 0,5x x + en f ( x) = x + 1,5 x + 6 krijg je als volgt tabellen op het scherm. o Voer beide formules in. o Voeg een Lijsten en Spreadsheets scherm toe met c Typ /T om een functietabel te maken. Je krijgt dan de mogelijkheid om te kiezen voor f1 of f. Kies eerst voor f1, ga met de cursor een kolom naar rechts en kies daar voor f. Je krijgt standaard een tabel die begint bij x = 0 en die stapjes van 1 maakt. o De tabel kun je helemaal aanpassen aan wat de situatie van je vraagt. Dit gaat via b 5 Functietabel, 5 Functietabelinstellingen bewerken. Je kunt hier de startwaarde en de stapgrootte aanpassen. Kies Tabelstart = en Tabelstap = 0.5 en bekijk de tabel. Als je Onafhankelijk op Vraag zet, dan kun je in de eerste kolom van de tabel zelf de x-en invullen en worden de bijbehorende functiewaarden berekend. Opgave 8 Gegeven zijn de functies f 1( x) = 0,5x x + en f ( x) = x + 1,5 x + 6 a Maak een tabel met startwaarde 4 en stapgrootte 0,0 b Maak een tabel waarin je f1(1,74) en f(1,68) kunt aflezen. Welke startwaarde en welke stapgrootte heb je gekozen? Opgave 9 Gegeven is de functie g( x) = 0,8x x + Maak een geschikte tabel op de GR en vul de volgende tabel in: x y Opgave 10 De oplossingen van 0, x + x + 5 = 4 spoor je met de GR eenvoudig op. Dit gaat als volgt. o plot de grafieken van f 1( x) = 0, x + x + 5 en f ( x ) = 4 o bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafieken met b 7 Punten en Lijnen, Snijpunt(en) waarna je de twee grafieken moet selecteren. o De x-coördinaten van de snijpunten zijn de oplossingen van de vergelijking. Bereken de oplossingen van 0, x + x + 5 = 4 in twee decimalen nauwkeurig. 16

17 Opgave 11 Los de volgende vergelijkingen op met de GR. Geef de oplossingen zo nodig in twee decimalen nauwkeurig. a 0, x + 5 =,6 x b c 0,5x 1 = 5 0, 4x 10 = 5 + 4x x x Opgave 1 a Plot de grafieken van f 1( x) = 0,6x 4, f ( x) = 0,x + x + 1 en f ( x) = x 4x b Bereken de x-coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f 1 en f in twee decimalen nauwkeurig. c Bereken de x-coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f en f in twee decimalen nauwkeurig. De optie Zoom-Passend Bij ingewikkelde functies met derde en vierde machten is het opsporen van een geschikt venster geen eenvoudig karwei. Vaak volgen XMin en XMax uit de gegevens, maar moet je YMin en YMax zelf bepalen. De optie A Zoom-Passend uit het venster menu kan je hierbij helpen. Bij de formule f 1( x) = 0, 0x 1,5 x + 16x met x tussen 0 en 70 gaat dat als volgt. o Voer de formule in bij f1(x) o Kies b 4 Venster, 1 Vensterinstellingen en stel daar de XMin op 0 en XMax op 70 in. o Kies vervolgens b 4 Venster, A Zoom- Passend. De GR geeft dan de grafiek zoals hiernaast. o Zorg eventueel voor rondere getallen bij YMin en YMax bij de Vensterinstellingen. Neem in dit geval bijvoorbeeld YMin = 0 en YMax = o Je krijgt dan ook de assen in het scherm wat vaak wel overzichtelijk is. Opgave 14 Gegeven is de formule f 1( x) = x 1x + 8x + 50 met x tussen -5 en 15. a Plot de grafiek met behulp van Zoom-Passend. Welke YMin en YMax heb je genomen? b De grafiek snijdt de x-as. Bereken de x-coördinaten van dit punt in twee decimalen nauwkeurig. c Voor welke x is f 1( x ) = 500? Rond af op twee decimalen. Opgave 15 4 Gegeven is de formule f 1( x) = 0,1x + 5, 75x 1,8 x 5x + 18 met x tussen -1 en a Plot de grafiek met behulp van Zoom-Passend. Welke YMin en YMax heb je genomen? b Vanaf welke x is f 1( x ) > 5? Rond in het antwoord af op twee decimalen. 17

18 c Behalve het snijpunt met de y-as zijn er nog twee punten op de grafiek van 1 f met y- coördinaat 18. Bereken de x-coördinaten van deze punten in twee decimalen nauwkeurig. 18

19 wiac 4 Een steekproef opzetten Toevalsgetallen genereren Je kunt de GR een willekeurig getal laten kiezen uit de getallen 1,,,4,5,.,79,80. Zo n getal heet een toevalsgetal. Je gaat als volg te werk: o Kies de optie RandInt via b 5 Kansen, 4 Willekeurig, Geheel getal. o Zorg voor RandInt(1,80) op het Rakenmachinescherm. o Na verschijnt het eerste toevalsgetal. Door nog enkele keren op te drukken verschijnen nog meer toevalsgetallen uit 1,,,,80. Met de optie RandInt( genereert de GR een toevalsgetal. Met RandInt(1,6) kun je het gooien met een gewone dobbelsteen nabootsen. Opgave 1 Laat de GR vijf toevalsgetallen genereren uit de getallen: a 1,,,4,5,.,59,60 b 8,9,10,11,1,.,99,100 c 8,9,10,11,1,.,1999,000 d 1,,,4,5,6,,9999,10000 Opgave Zorg op het basisscherm voor RandInt(1,100,8). Druk enige keren op. a Wat is het resultaat? b Zorg voor RandInt(1,6,0) en druk op Welk kansexperiment heb je nu gesimuleerd? 19

20 wiac 5 Regressie In dit practicum werken we met de volgende tabel. x y Het invoeren van een tabel Kies voor een Lijsten en Spreadsheets scherm. Je krijgt een lege spreadsheet zoals je wel van Microsofts Excel kent. Boven de kolommen zetten we x en y. In de kolom van de x zetten we de x-en onder elkaar en onder de y de waarden van y. Met de cursor kun je op en neer door de tabel gaan omdat deze niet helemaal in één keer op het scherm past. Het plotten van punten van een tabel Na het invoeren van tabel krijg je als volgt de puntengrafiek van de tabel. o Open een Grafieken scherm. o Kies b4 om via Grafiektype naar Scatter Plot te gaan. o In de invoervakken onderin het scherm geef je aan wat op welke as moet komen. Hier dus de x op de x-as en de y op de y-as. Welke lijsten je kunt kiezen krijg je in beeld als je op de h knop drukt. Selecteer de juiste lijst en bevestig met klik of enter. Omdat de punten allemaal buiten het Venster liggen zie je geen enkel punt. Pas het Venster aan met XMin=0, Xmax=0, YMin=0 en YMax=40. 0

21 Het opstellen van de formule van een regressielijn De punten van de tabel liggen niet op een rechte lijn. De lijn die zo goed mogelijk bij de punten past heet de regressielijn. De GR bezit een optie om de formule van de regressielijn op te stellen. Uitgaande van onze tabel gaat dat als volgt. o Ga naar het L&S scherm waar de tabel staat. o Kies b41 om via Statistieken naar Statistiekberekeningen te gaan. Hier krijg je een lijst van regressiemogelijkheden. We kiezen voor Lineaire Regressie (mx+b) Geef aan dat de X List in kolom a[] staat en de Y List in kolom b[]. Dit doe je door e en achter Y List een b en laat de regressievergelijking maar in f1 opslaan. Verder laten we dit scherm voor wat het is. Na wordt een en ander uitgerekend. In de keuzevakken kun je ook de namen van de lijsten (hier x en y kiezen of intypen). Pas de breedte van de kolommen C en D aan met b11 om via Acties, Afmetingen aanpassen, Kolombreedte menu te komen. Met de pijltjes en en een pas je de kolombreedte aan zo dat de kunt lezen wat er staat. Afgerond op twee decimalen is de formule van de regressielijn y = 0, 68x + 1, 66 Het plotten van de regressielijn De regressielijn krijg je getekend in het Grafieken scherm met b1 via Grafiektype en Functie de grafiek van f1 laat tekenen. Je ziet dat de best passende lijn door de gegeven punten is getekend. Ga na dat de formule van de regressielijn is ingevuld achter f1(x). Ga met de cursor naar de grafiek van de regressielijn om de vergelijking in het scherm te zien. 1

22 Een lijst met residuen Uit de tabel volgt dat bij x = 16 hoort y = 18 Uit de formule van de regressielijn volgt: bij x = 16 hoort y = f1(16)=0,797. Het verschil van de y-waarde uit de tabel en de y- waarde van de regressielijn, hier 18 0,797 heet het residu bij x=16 en is de afwijking van de formule met de tabelwaarde. Open een Rekenmachinescherm en ga dit na. In het L&S scherm zie je in kolom C onderaan Resid staan. Daarnaast is een lijst met residuen te vinden. Het is lastig om de -,797 hierin terug te vinden vanwege het grote aantal decimalen van ieder residu, maar het kan wel. Je kunt als volgt een overzichtelijker lijst met residuen krijgen. o Stel eerst het aantal decimalen wat kleiner in voor dit document. Kies c 5 Instellingen en status, Instellingen 1 Algemeen voor Cijfers weergeven op Drijvend4 Na OK worden deze instellingen op het huidige document toegepast. Met een klik op Standaard zullen deze instellingen ook gelden voor alle volgende documenten. o selecteer kolom C o Kies b om via Invoegen en Kolom invoegen een lege kolom C in te voegen. De regressiegegevens schuiven keurig naar rechts. o Typ in het vak onder de C: y-f1(x) in en geef o Omdat er ook kolommen x en y in de spreadsheet zijn (een stuk naar rechts) moet je op de vraag van de GR aangeven dat de hier gebruikte x en y (lijst)variabelen zijn (die we boven de kolommen hebben getypt). Nu worden in kolom C de residuen netjes berekend.

23 Andere regressiemodellen Hierboven heb je de best-passende lijn gevonden bij de gegeven tabel. Je werkt dan met een lineair model. Het is ook mogelijk op zoek te gaan naar de best-passende parabool die bij de tabel hoort. Je gebruikt dan de optie Kwadratische Regressie (met b41 kom je in het regressiemenu). Met de optie Derdegraads Regression krijg je de best passende derdegraadsfunctie en met de optie Vierdegraads Regression de best-passende vierdegraadsfunctie. Zo zijn er nog veel meer regressiemodellen waar je uit kunt kiezen. Opgave 1 Welk regressiemodel zie je hiernaast? Geef de formule (benadering decimalen).

24 WAC 6 Formules Oproepen Opgave 1 a Gegeven is de functie f ( x) = 0, 4x + x +. 1 Bereken de exacte waarde van f ( ) en f (4 ) b Gegeven is de functie g( x) = x x 5. Bereken de exacte waarde van g (1, 5) en g (4) c Gegeven is de functie Bereken de exacte waarde van h( x) = x 0,5x,8. 1 h( ) h(). 6 4

25 wiac 7 Richtingscoëfficiënt van raaklijn De richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek van met x A = 5 krijg je als volgt. f ( x) = 0,5x x 1 in het punt A De optie Raaklijn in een Grafieken scherm Open een Grafieken scherm en typ achter f1(x) de functie in. Je krijgt dan de grafiek van f te zien. o Kies een punt op de grafiek van f met de optie Punt op (b7) o Sleep vervolgens deze coördinaten naar linksboven in het scherm. Geef d als de coördinaten daar staan waar je ze wil hebben. o Ga met de cursor naar de x-coördinaat en geef twee keer of twee keer x. Na de eerste keer wordt de x-coördinaat grijs en na de tweede keer kun je de x-coördinaat wijzigen in 5. Het punt wordt nu (5; 1,5). o Kies in b 7 Punten en lijnen, 7 Raaklijn, ga met de cursor naar het punt (5,1.5) van de grafiek en geef. De raaklijn wordt nu getekend. o De richtingscoëfficiënt krijg je met b 8 Meting, Helling. Bevestig met. Voor het overzicht kun je deze richtingscoëfficiënt ook naar links slepen. dy Dus dx =. De gevraagde richtingscoëfficiënt is. x= 5 Je weet nu ook dat de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = 5 gelijk is aan. Het voordeel van deze methode is dat je het punt op de grafiek kunt verplaatsen waarbij de coördinaten en de richtingscoëfficiënt worden aangepast. Opgave 1 Gegeven is de functie f ( x) = 0, 4x + x + a Bereken de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek in het punt A met x A = -1. En ook in het punt B met x B =. b Bereken de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = 5. c Bereken de helling van de grafiek in het punt C met x C = 8. Opgave Gegeven is de functie g( x) = 0,5x +,5x x + a Plot de grafiek van f. Neem XMin = -. XMax = 6, YMin = -10 en YMax = 10. b Bereken de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek in het punt P met x P = -. En ook in het punt Q met x Q = 5. c Met welke snelheid verandert g(x) voor x =. d Bereken de helling van de grafiek in het punt R met x R = 4. 5

26 wiac 8 Functie en hellinggrafiek Hellinggrafieken plotten Bij de functie f ( x) = 0,75x krijg je als volgt een plot van de hellinggrafiek. o voer in f 1( x) = 0,75x o de cursor staat nu achter f(x)= en kies de optie nderivative( uit de catalogus. Deze krijg je met k en daarna een n in te typen en om deze optie te selecteren. Geef nu en je komt weer op de functie invoerregel. Vul aan met f1(x),x=x en de hellinggrafiek wordt getekend. De grafiek wordt eerst gestippeld, dan gestreept en dan een doorgetrokken lijn omdat de GR wat tijd nodig heeft om in ieder punt van de grafiek van f1 de helling te benaderen om daarna deze helling te plotten. Met Spoor kun je de functiewaarden van f opvragen. Je krijgt daarmee de helling van de grafiek van f1 voor de opgegeven x-waarde. nderivative(f1(x),x=x) of nderivative(f1(x),x) Een ander woord voor hellingfunctie is afgeleide functie. In nderivative herken je het Engelse woord derivative dat afgeleide betekent. Tussen haakjes staat eerst de functie en daarna, wat vreemd, x=x. Met nderivative(f1(x),x=) bereken je de helling bij x=. en met f ( x) = nderivative( f1( x), x= x) wordt zo bij iedere x de helling berekend. Opgave 1 Plot in één figuur de grafiek van f en de bijbehorende hellinggrafiek. a f ( x) = x. b c f ( x) 0,5 = x. f ( x) = 1x + 8x

27 De optie nderivative( in het Rekenmachinescherm Je kunt de optie nderivative( gebruiken om de helling in een punt van de grafiek te krijgen. Bij de functie f ( x) = 0,5x krijg je de helling van de grafiek in het punt A met x A = als volgt. o open een Rekenmachinescherm o typ in nderivative(0.5x,x=). Haal nderivative( op uit de catalogus k. o na krijg je 6. Je weet nu dat bij de functie dy dx x= 6 f ( x) 0,5 = x geldt Met nderivative(f(x),x=x 0 ) krijg je de helling van de grafiek van f in het punt met x-coördinaat x 0 nderivative(f(x),x=x 0 ) = dy dx = Met nderivative ( x 5 x, x = ) krijg je x x 0 dy dx x= bij de functie f ( x) = x 5x. Opgave a Zorg op het Rekenmachinescherm voor nderivative ( x, x = ). Welk getal krijg je? b Bereken op het Rekenmachinescherm de helling van de grafiek van f ( x) = x + x in het punt A met x A = 5. c Bereken op het Rekenmachinescherm de helling van de grafiek van g( x) = 0,5x 4x + 8x in het punt B met x B = -1. 7

28 wiac 9 Statistische berekeningen Het berekenen van gemiddelde en standaardafwijking In dit practicum werk je met de volgende tabel. Cijfer freq o Voer deze tabel in in een L&S scherm. Je ziet cijfer als je de kolombreedte aanpast. o Kies b411 Statistieken voor één variabele. o Kies voor Aantal lijsten 1 (dus ) en geef de gevraagde informatie, de X1 Lijst is de lijst van de cijfers, click en kies cijfer en de Frequentielijst is de lijst van de frequenties, dus freq. o Geef OK en er wordt gerekend. In de kolommen C en D staat nu statistische informatie. Hieronder een lijst met de betekenis van de meest gebruikte statistische informatie. x Het gemiddelde van de waarnemingsgetallen, in dit geval x = 6,48 σ x : = σ nx De standaardafwijking, in dit geval σ 1,5 n Het totale aantal waarnemingsgetallen, hier dus totaal 9 cijfers. MinX Het kleinste waarnemingsgetal, het laagste cijfer Q 1 X Het eerste kwartiel MedianX De mediaan van de waarnemingsgetallen Q X Het derde kwartiel MaxX Het grootste waarnemingsgetal, het hoogste cijfer De breedte van de eerste twee kolommen is aangepast met menukeuze b11. 8

29 Opgave 1 Gegeven is de volgende waarnemingstabel. waarnemingsgetal frequentie Bereken in één decimaal nauwkeurig het gemiddelde en de standaardafwijking. Geef ook de mediaan en de kwartielen. Opgave Gegeven is de volgende frequentietabel met proefwerkcijfers van een vierde klas. Cijfer jongens meisjes a Bereken het gemiddelde proefwerkcijfer van de jongens. Geef ook de standaardafwijking en de mediaan. b Bereken het gemiddelde proefwerkcijfer van de meisjes. Geef ook de standaardafwijking en de mediaan. c Bereken het gemiddelde proefwerkcijfer van de hele klas. Geef ook de standaardafwijking en de mediaan. 9

30 wiac 10 De normale verdeling De oppervlakte van een gebied onder een normaalkromme De oppervlakte van het gebied onder de normaalkromme hiernaast tussen 8,5 en 4, is normcdf(8.5,4.,,4) Je berekent deze oppervlakte als volgt met de GR. Kies op een Rekenmachinescherm b55 voor Normal Cdf. Een wizard vraagt naar Ondergrens, Bovengrens, gemiddelde µ en standaardafwijking σ. Je kunt ook via de catalogus k NormCdf kiezen of gewoon normcdf(8.5,4.,,4) intypen. In dit laatste geval maakt TI-Nspire maakt automatisch van c een hoofdletter. De algemene syntax is normcdf ( l, r, µ, σ ) Opgave 1 Bereken in decimalen de oppervlakte van de aangeduide gebieden onder de normaalkrommen hieronder. De grens berekenen bij een gegeven oppervlakte onder een normaalkromme 0

31 In de figuur hiernaast is de oppervlakte van een gebied onder de normaalkromme links van a gelijk aan 0,18. Dus a = invnorm(0.18,,4) invnorm krijg je met b55 Inverse-normaal. Een wizard vraagt de in te voeren waarden voor oppervlakte, gemiddelde µ en standaardafwijking σ. Dus a 8,9 Je kunt invnorm natuurlijk ook met de catalogus en door intypen krijgen. Opgave Zie de figuur hiernaast. Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. 1

32 Opmerking bij blz.?? G&R Als je de oplossing wilt vinden van normalcdf(,10 99,8,x)=0,8 krijg je geen oplossingen met nsolve(normalcdf(,10 99,8,x)=0,8,x). Wel als je een redelijke hint voor een oplossing meegeeft, hiernaast x=0 of de beperking die er voor de x geldt, hier moet x > 0 zijn. Het is natuurlijk lastig als je maar moet proberen en misschien zo een oplossing kunt vinden. Beter is het tekenen van de grafieken van linker en rechter deel van de vergelijking. Met b6verwacht je de coördinaten van het snijpunt in beeld te krijgen. Helaas werkt dit niet altijd. Het beste kun je hier werken met Grafiek Analyseren. Je kunt nu het snijpunt van de grafieken bepalen. Nu weet je dat de gezochte σ = 5, 4 Opmerking bij blz.?? G&R?? Een machine vult pakken hagelslag waarvan het gewicht normaal verdeeld is met een gemiddelde van 60 gram en een standaardafwijking van 8 gram. Bereken de kans dat in een steekproef van 5 pakken er minstens 4 minder dan 50 gram wegen. De aanpak in het voorbeeld is dat je eerst de kans berekent dat één pak minder dan 50 gram weegt en vervolgens gebruikt dat P( X 4) = 1 P( X ). De uitwerking is dan zoals hiernaast. Het tweede scherm hoort bij de tweede regel. Daar wordt Ans gebruikt om de uitkomst van de eerste regel in de Wizard mee te geven. Met Nspire kan de laatste kans ook benaderd worden met binomcdf(5, ,4,5). Hiernaast zie je ook het verschil in uitkomst als je in plaats van alle decimalen van de eerst berekende kans er maar 4 invoert.

33 Allerlei tips & trucs Standaardinstellingen Sommige problemen in de weergave op het scherm kunnen veroorzaakt zijn door wijzigingen in de document en/of systeeminstellingen. Deze kun je terugzetten op de standaardinstellingen via c51 Algemeen en dan kiezen voor Herstel. Je krijgt een waarschuwing dat een en ander op de fabrieksinstellingen wordt teruggezet. Let op dat standaard de hoekinstelling radialen is. Dit herhaal je eventueel bij c5 Grafieken en Meetkunde instellingen. Een prettig werkende set van instellingen is hiernaast aangegeven. Met de knop Standaard worden alle toekomstige documenten op deze wijze ingesteld. Resetten Als de GR niet meer lijkt te werken helpt een volledige reset. Hiervoor zit een knopje achterop de rakenmachine. Je moet weer je taal kiezen en de grootte van het lettertype. De instellingen zijn weer op de standaard fabrieksinstellingen teruggezet. Je bestanden blijven behouden. Afronden op de GR Bij de instelling van het aantal decimalen kun je kiezen uit Drijvend en Vast. Het getal 0,0 wordt bij Drijvend4 weergegeven als 0.0 en bij Vast4 als Het gebruik van lettergeheugens Je kunt een getal opslaan in een geheugen. daarvoor zijn de letters A, B, beschikbaar. Ook kun je gebruik maken van meerletter geheugens zoals links, rechts, freq. Hiervoor is de functie STO die je met /h krijgt. Hiernaast zie je dat de waarde in geheugen a geplaatst is, de waarde 5 in geheugen b. Vraag je ab op dan krijg je een foutmelding. Bij a b krijg je de uitkomst 15.

34 De catalogus Met k krijg je de catalogus. Hierin staan alle voorgeprogrammeerde functies van Nspire vermeld met hun syntax. Weet je bijvoorbeeld niet meet wat er nu achter normcdf( ingevuld moest worden, dan kun je hier zien dat ondergrens en bovengrens verplicht zijn en daarachter µ en σ ingevuld kunnen worden maar niet verplicht zijn. Als je µ en σ niet invult rekent Nspire met de standaardwaardes µ = 0 en σ =1. Sommeren Je hebt bij de driehoek van Pascal een handige manier geleerd om het volgende te berekenen: = = = = In de rekenmachine zit een handige tool om dit soort berekeningen uit te voeren. Bij de invoermallen t vind je de sommatiemal. Zie het scherm hiernaast. In deze mal moet je vier dingen invoeren: een variabele, hier i die loopt van een ondergrens, hier 0 tot en met een bovengrens, hier 5 waarbij steeds moet worden uitgerekend ncr(1,i) en deze uitkomsten moeten worden opgeteld. Met e ga je van het ene invulvak naar het volgende. Opgave a. Bereken de som van de kwadraten van 1 tot en met 0 met behulp van deze sommatiemal. b. Bereken met behulp van deze sommatie-mal