Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen
2
Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3
Achtergrondinformatie Auteurs Arie Ebbers, e- mail: aebbers@pieterzandt.nl Jan Keemink, e- mail: jkeemink@xs4all.nl Ronnie Koolenbrander, e- mail: rkoolenbrander@hotmail.com Jan- Otto Kranenburg, e- mail: j.o.kranenborg@hetnet.nl Martijn Nass, e- mail: martijnnass@gmail.com Nanja de Rie, e- mail: N.deRie@hetbaken.nl Waar bestaat het materiaal uit? Het materiaal bestaat uit 2 delen: 1) lessen meetkunde met behulp van Geogebra, aan de hand van de Stelling van Thales (2 lesuren van ieder 45 minuten) 2) een introductie op (vergelijkingen van) lijnen vanuit analytisch meetkundig perspectief (3 lesuren Wiskunde D- klas, veel zelfstandig werken, maar klassikale uitleg was nodig) Wat was de aanleiding om dit te ontwerpen? De lessen met Geogebra helpen de leerlingen om direct het verband te zien tussen een tekening en de bijbehorende wiskundige formules. Het levert als 'extraatje' nog op dat de leerlingen zien dat het product van de richtingscoëfficiënten van twee lijnen die loodrecht op elkaar staan gelijk is aan - 1. Het lesmateriaal over de vergelijkingen van lijnen ademt nog een vleugje historie, en er is vooral aansluiting gezocht met gelijkvormigheid bekend vanuit de onderbouw. Als de geest van het nieuwe programma vooral is dat theorie in samenhang geleerd moet worden en er daarnaast aandacht moet zijn voor wiskundige denkactiviteiten, dan sluit deze stof daar goed bij aan. Wat zijn de ervaringen met dit materiaal? Bij de Geogebra- lessen hebben de leerlingen geleerd en gezien dat de hoek tussen twee lijnen ook te berekenen is met behulp van de richtingscoëfficiënten van deze lijnen en dat je meetkundige stellingen met formules kunt bewijzen. De leerlingen hebben voldoende tijd gehad en konden redelijk zelfstandig met de vragen en opdrachten aan het werk. Bij het onderwerp "lijnen": Het werken met gelijkvormigheid was minder goed verankerd dan gedacht door de schrijvers van het lesmateriaal. Wat een vergelijking van een lijn eigenlijk is, kwam in deze lessen aan de orde. Met de vergelijking y=ax+b had niemand moeite (meer- door gewenning?) maar toen een andere vorm van notatie van een rechte lijn (wat in de tekst vergelijking (1) heet) ten tonele werd gevoerd, kwamen de conceptuele problemen om de hoek: wat is die x; wat is die y? Komt die onduidelijkheid voor de leerlingen voort uit uit beeld geraakte kennis, of is de introductie van vergelijking (1) te abstract en had beter begonnen kunnen worden met getallen ipv met parameters a en b. 4
(NB: er is tevens geexperimenteerd met een andere didactische benadering van het in- product. De benadering van het in- product via "appels en peren" (zie hieronder), en daarna een meetkundiger benadering, is vastgelopen). De kernopgave waar de introductie van het in- product mee startte, was: Je koopt 2 peren à 3 EUR en 3 appels à 1 EUR Je betaalt 2 x 3 + 3 x 1 = 9 EUR Waar is 9? Wat zijn de aanbevelingen voor verdere ontwerpen? Meer bewijzen uit het huidige programma met Geogebra presenteren, op de manier van het eerste deel van dit pakketje. Er hadden meer opgaven mogen zijn waarin het adagium van Descartes (doe of het probleem al is opgelost) toegepast kan worden. Met name het werken met bekenden, ipv getallen. We gaan wel door met het verder schrijven (leerlingen moeten verder!) maar als collega s met deze stof iets zouden willen doen: eigenlijk zouden er meer opgaven moeten komen over de afstand tussen twee lijnen. Doelgroep VWO, klas 4 wiskunde B 5
Meetkunde met Geogebra Voorkennis Eigenschappen van de volgende meetkundige figuren Rechthoek gelijkbenige driehoek gelijkzijdige driehoek rechthoekige driehoek Begrippen middelloodlijn diagonaal helling of raaklijn Lineaire vergelijking Stelling van Pythagoras 6
Stelling van Thales Les bij deel 1 In de figuur zie je een vierhoek ABCD getekend met daarin de diagonalen AC en BD. De diagonalen snijden in M. ABCD is een rechthoek 1. Wat weet je van de diagonalen van rechthoek ABCD? 2. Leg uit waarom je een cirkel met middelpunt M door de hoekpunten van ABCD kunt tekenen. Open het Geogebra bestand Thales1 en versleep punt B een stukje over het scherm. 3. Wat gebeurt er met de vorm van vierhoek ABCD en met name met de hoeken? Klik met je rechtermuisknop op punt B en zet het spoor van punt B aan. Versleep punt B totdat er een cirkel ontstaat. Stelling van Thales: In een rechthoekige driehoek is het midden van de schuine zijde het middelpunt van de omgeschreven cirkel 1) van die rechthoekige driehoek. Bewijs deze stelling met behulp van de vorige vragen. dus. AM = BM = CM (halve diagonalen van rechthoek ABCD) enz.. 1) Omgeschreven cirkel is de cirkel die door de drie hoekpunten van een driehoek gaat. Het middelpunt van de cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van de driehoek B A M C In de figuur zie je de rechthoekige gelijkbenige driehoek ABC met schuine zijde AC. De rechte hoek B ligt tegenover zijde AC. M is het midden van zijde AC. Voor het gemak noemen we ABM en CBM vanaf nu B 1 en B 2. 1. Hoe groot zijn A, B 1, B 2 en C? 2. Leg uit waarom geldt: AM = BM 3. Wat voor soort driehoek is AMB? En BMC? 7
Open het Geogebra bestand Thales2. Je ziet een rechthoekige driehoek ABC en de omgeschreven cirkel. De AMB en BMC zullen niet bij elke positie van hoekpunt B op de cirkel rechthoekige driehoeken blijven. Versleep hoekpunt B een stukje over de cirkel. M blijft het midden van de zijde AC. 4. Welke eigenschap behouden AMB en BMC wel? De hoekensom van ABC is 180, dus A + B 1 + B 2 + C = 180 5. Leg uit dat hoek B 12 van ABC (met AM=BM=CM) altijd een rechte hoek is. Je hebt nu min of meer de omgekeerde stelling van Thales aangetoond. Omgekeerde Stelling van Thales: Als het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek op het midden een zijde ligt dan is de hoek tegenover die zijde recht. De omgekeerde stelling van Thales analytisch bewijzen. De omgekeerde stelling van Thales zegt dat als de schuine zijde van ABC op de middellijn van de omgeschreven cirkel ligt dat dan de hoek tegenover die zijde recht is. Om dit analytisch aan te tonen maken we gebruik van het volgende: Als twee lijnen loodrecht op elkaar staan is het product van de hellingsgetallen gelijk aan - 1. Voorbeelden: de lijn y = x en de lijn y = x snijden elkaar loodrecht in de oorsprong. Of de lijn y = 2x en de lijn y =!! x. 1. Ga na dat het product van de hellingsgetallen van deze lijnen telkens - 1 is 2. Bedenk zelf een ander voorbeeld van twee lijnen die loodrecht op elkaar staan en ga na wat het product van de hellingsgetallen is. Open het bestand Thales3. Je ziet de rechthoekige driehoek ABC met A(- 2, 0) en C (2, 0) en de omgeschreven cirkel door A, B en C. Ga na dat de straal van de omgeschreven cirkel door ABC is r=2. Je gaat nu aantonen dat B = 90. Je gaat dit doen door het product van de hellingen van AB en BC te berekenen. In het grafieken venster van het bestand Thales3 kun je het punt B over de cirkel bewegen. De vergelijkingen van de lijnen door AB en BC worden links in het algebravenster weergegeven in de vorm px + qy = c. 3. Kies een punt B en herleid de vergelijkingen van de beide lijnen (getoond in het algebra venster) tot de vorm y = ax + b 4. Wat is de helling van de lijn door A en het gekozen punt B? 8
5. Wat is de helling van de lijn door BC? 6. Bereken het product van de beide hellingen. Je hebt nu gezien dat het product - 1 is. Door middel van de volgende stap kun je aantonen dat dit zo is voor elk punt B op de omgeschreven cirkel. M is het midden van zijde AC. Er geldt dus AM = CM =2. Teken eventueel een analyse figuur van ABC. Een willekeurig punt B op de cirkel heeft x- coördinaat x! = x. 7. Laat met behulp van de stelling van Pythagoras zien dat voor 0 < x! < 2de bijbehorende y- coördinaat van punt Bin x is uit te drukken is:y! = 4 x! De helling van de lijn door AB bereken je dan met de formule!"#$%&#!!"#$%&#! Voor de helling van y = ax + b, de lijn door AB, geldt dan a!" =!!!!!!!. 8. Geef op een vergelijkbare manier ook een uitdrukking voor de helling a!" van de lijn door BC 9. Bereken a!" a!" en herleid de uitkomst zo ver mogelijk. 9