Natk4All Leraren opleiding Speciale Relativiteitstheorie (leerjaar 2016-2017) February 5, 2017 Tijd: 2 uur 30 min Afsluitend Maximum Marks: 78+5(bonusopgave) 1. In wereld van serie Star-Trek kunnen mensen bijna instantaan van de ene plek naar de andere plek gebeamed worden. E ectief verplaatsen deze mensen zich met een snelheid van 12 15 c. Stel je voor dat kapitein Picard van het sterresnchip Enterprise zich naar een Klingon slagschip laat beamen. Ga ervan uit dat het slagschip en het sterrenschip Enterprise stilstaan ten opzichte van elkaar, in een stationaire baan rond een planeet. Het sterrenschip en het slagschip zijn een afstand van 2 104 km van elkaar verwijderd. Op het moment van het beamen scheert er een ander Vulkan slagschip vlak langs de Enterprise en het Klingon slagschip. De kapitein van het Vulcan slagschip zou toch gezworen hebben dat kapitein Picard eerst op het Klingon slagschip aangekomen is voordat hij op het sterrenschip Enterprise vertrokken was. Leg uit 1. (4p.) met welke snelheid moet dit Vulkan slagschip minimaal gevlogen moet hebben om het mogelijk te doen zijn dat in dit inertiaalstelsel kapitein Picard eerst aankomt voordat hij vertrekt 2. (2p.) en in welke richting om dit mogelijk te doen zijn. Vloog het Vulkan slagschip juist van het sterresnchip naar het Klingon slagschip toe, of juist in de andere richting? Hint; teken voor jezelf eens een Minkowski diagram hiervan. [6] 2. 1. (4p.) Bereken de snelheid waar mee de kapitein van het Vulcan slagschip kapitein Picard zag verplaatsen 2. (a) (3p.) Leid af, uit de Lorentztransformaties, dat twee snelheden u < c en v < c optellen tot een snelheid w als w= u+v 1 + uv c2 (1) (b) (2p.) en controleer of dit in deze situatie nog steeds op gaat. [9] 3. In figuur 1 is een stukje Minkowski grafiekpapier voor je gemaakt. Dit mag je voor deze opgave gebruiken. Een ster is 8 lichtjaar van ons verwijderd. Ee n van de tweelingen uit de tweelingparadox blijft hier op aarde terwijl de andere tweeling naar deze ster reist. De reis duurt 10 jaar. Daar keert hij om en keert in dezelfde tijd terug naar aarde. Naievelijk kan elk van de twee tweelingen claimen dat de ander jonger geworden is (deze heeft immers ten opzichte van de andere tweeling bewogen). Dit heeft de tweelingparadox. Student s name: Question 3 continues on the next page...
Natk4All Speciale Relativiteitstheorie Page 2 of 5 Figure 1: Minkowski diagram grafiekpapier Student s name: Please go on to the next page...
Natk4All Speciale Relativiteitstheorie Page 3 of 5 1. (3p.) Leg uit waarom de tweelingparadox geen paradox is. Leg hierbij duidelijk uit waarom de tweeling welke op reis geweest is inderdaad het jongst is gebleven bij terugkomst. 2. (5p.) Bepaal met behulp van het Minkowskigrafiekpapier hoe groot de sprong in de tijd is welke de reizende tweeling ondervindt als hij bij de ster van richting omdraait. 3. (4p.) In plaats van thuis te blijven reist nu de eerste tweeling in tegenovergestelde richting met dezelfde constante snelheid weg. Bepaal wanneer voor deze eerste tweeling de tweeling welke naar de ster geweest is weer op aarde aankomt. 4. (4p.) Bepaal wanneer deze eerste tweeling de tweede tweeling weer op aarde ziet aankomen. [16] 4. Positronium bestaat uit een elektron en een positron (zelfde als een elektron maar dan met een positieve lading) welke om elkaar heen draaien. 1. (3p.) In het ruststelsel van het positronium is de massa van het positronium minder dan de massa van twee vrije elektronen. Leg duidelijk uit waarom dit zo is. Leg hierbij duidelijk uit welk e ect het bewegen van het elektron en het positron heeft op de massa. Geef duidelijk aan of deze bijdrage tot de massa positef of negatief is. 2. Na een poosje zal het positronium vervallen in twee fotonen uit impulsbehoud kun je afleiden dat er twee fotonen moeten ontstaan die ieder met dezelfde impuls in tegenovergestelde richting vertrekken. (3p.) Leid af dat voor fotonen moet gelden p = h. (2) Je mag hierbij gebruik maken dat de energie van een foton gegeven is als E = hf (3p.) Leid uit energie en impulsbehoud af dat in dit geval moet gelden h = mc 2 (3) [9] 5. Kosmische straling uit het diepe heelal komt in de hogere regionen van de atmosfeer in contact met lucht en produceert daarbij muonen: de zwaardere variant van elektronen. Vanwege de hoge energie van de kosmische straling hebben de geproduceerde muonen een hoge snelheid waarmee ze richting het aardoppervlak reizen. Nu is het zo dat muonen (gemiddeld) slechts 2.2 10 6 seconden leven voor zij uiteen vallen, zoals bezien in het inertiaalstelsel waarin ze in rust zijn. In deze opgave mag de leeftijd van deeltjes als vaste waarde (in tegenstelling tot een gemiddelde waarde) worden genomen. Stel dat de muonen nét lang genoeg leven om op het aardoppervlak aan te komen: ze vallen uit elkaar precies op het moment dat zij het aardoppervlak bereiken. Volgens een (foutieve!) berekening zou de snelheid van deze muonen gegeven worden door: v = oftewel: de muonen zijn sneller gegaan dan het licht. 8000 meter 2.2 10 6 seconden =3.6 108 m/s, (4) Student s name: Please go on to the next page...
Natk4All Speciale Relativiteitstheorie Page 4 of 5 1. (4p.) Leg uit waar de fout in deze berekening zit, en bereken de werkelijke snelheid die deze muonen hebben Vanaf nu zullen we ervan uitgaan dat de muonen een snelheid hebben van v =0.998 c. 2. (3p.) Toon aan dat, zoals bezien in het inertiaalstelsel van het aardoppervlak, de muonen het aardoppervlak bereiken voor zij uiteen vallen. 3. (3p.) Toon aan dat, zoals bezien in het inertiaalstelsel van de muonen zelf, zij het aardoppervlak kunnen bereiken voordat zij uiteen vallen. Behalve muonen produceert kosmische straling eveneens pionen. Pionen hebben een leeftijd die 100 keer korter is dan die van muonen. De pionen worden op dezelfde hoogte boven het aardoppervlak gemaakt als muonen, en reizen met dezelfde snelheid richting de aarde. 4. (2p.) Laat met een berekening zien of de pionen het aardoppervlak bereiken voor zij uiteenvallen. [12] 6. Een mier op een skateboard: Over het trottoir rijdt een skateboard voorbij met daarop een mier. Ten opzichte van het trottoir gaat het skateboard met een snelheid van 3 5 c. Het skateboard zelf heeft een rustlengte van 1.0 meter lang. De mier loopt van de achterkant naar de voorkant van het skateboard, en doet dit met een snelheid van 4 5 c ten opzichte van het board. 1. (4p.) Bereken hoe lang het duurt voor de mier zijn loopje gedaan heeft, zoals bezien in het inetiaalstelsel van het skateboard. Bereken wat de snelheid is van de mier ten opzichte van het inertiaalstelsel van het trottoir. 2. (4p.) Bereken hoe lang het duurt voor de mier zijn loopje gedaan heeft, zoals bezien in het inertiaalstelsel van het trottoir. 3. (4p.) Bereken hoe lang de mier zelf zijn loopje vindt duren. [12] 7. Dubben over dobbers: Een dobber dobbert stilletjes op een meertje. Het feit dat de dobber drijft, betekent dat zijn dichtheid kleiner is dan die van het water. Deze dichtheid geldt voor een waarnemer die stil staat ten opzichte van de dobber. Stel dat iemand met hoge snelheid langs de waterkant rent en de dobber gade slaat. 1. (5p.) Leid een formule af waarmee de dichtheid van de dobber, zoals bezien door de rennende waarnemer, berekend kan worden wanneer bekend is 2. De renner doet de volgende uitspraak: Als ik maar hard genoeg ren ten opzichte van de waterkant, zal de dobbers dichtheid zó erg toenemen dat zij zal zinken. 3. (3p.) Leg uit of de renner gelijk heeft. Even verderop drijft een tweede dobbertje bij een dam van kippengaas. Door een flinke windstoot krijgt de rivier opeens een flink hoge stroomsnelheid: het water stroomt met Student s name: Question 7 continues on the next page...
Natk4All Speciale Relativiteitstheorie Page 5 of 5 een relativistische snelheid (dit wil zeggen: dicht bij die van het licht) door de dam heen. Het dobbertje wordt door het gaas tegengehouden. Wanneer water en dobber in rust zouden zijn ten opzichte van elkaar, zou de dobber blijven drijven. 4. (5p.) Bonusopgave. (deze kan alleen punten bijtellen, niet aftrekken) Beredeneer of, bij een genoeg hoge stroomsnelheid, de dobber zal drijven of zinken. Bekijk bij deze beredenering de situatie vanuit het ruststelsel van de dobber, en vanuit het ruststelsel van het stromende water. [17] Student s name: End of exam