Deel 1 Extra oefenmateriaal H10 Kegelsneden 1. Bereken de inhoud van de volgende twee afgeknotte figuren. 2. Hiernaast zie je een afgeknot zeszijdig prisma. Het grondvlak is een regelmatige zeshoek met zijden 6. Het bovenvlak is een zeshoek met zijden 2. De loodrechte afstand tussen bovenvlak en ondervlak is 10. Bereken de inhoud in twee decimalen nauwkeurig. 3. Hoeveel liter gaat er in het speelgoedemmertje hiernaast? 4. Hiernaast zie je een originele klok. Het is een piramide die verdeeld is in 4 stukken. De middelste twee stukken draaien rond en geven zo de uren en minuten aan. Aan de vorm van de piramide kun je dan zien hoe laat het is!! (Of als je een watje bent, dan kijk je naar de schaalverdeling op de middelste twee stukken) De vier stukken van de piramide hebben hoogtes (van onder naar boven) gelijk aan 4, 3, 2 en 6 cm. Het grondvlak is een vierkant met zijden 12. Bereken de inhoud van de vier afzonderlijke stukken.
5. Hiernaast zie je in het blauw de uitslag van de mantel (dat is het gekromde oppervlak) van een afgeknotte kegel. Bereken de inhoud van die afgeknotte kegel. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig. 6. Het heerlijke toetje hiernaast heeft een grondcirkel met straal 8 cm. De bovencirkel heeft straal 6 cm. Bereken de hoogte van het toetje als de inhoud gelijk is aan 850 cm 3 7. Een goudstaaf heeft als grondvlak een rechthoek van 18 bij 7,2 cm en als bovenvlak een rechthoek van 15 bij 6 cm. De hoogte van de goudstaaf is 4 cm. Goud heeft een soortelijk gewicht van 19,3 gram per cm 3. a. Toon aan dat deze goudstaaf de vorm van een afgeknotte piramide heeft. b. Bereken het gewicht van deze goudstaaf. Bron bovenstaande opgaven: http://www.hhofstede.nl/modules/afgeknot.htm Meer oefenen: zie http://www.hhofstede.nl/modules/meeropgaven/meerafgeknot.htm
Uitwerkingen 1. Linkerfiguur Over hoogteverschil 3 wordt de diameter ook 3 minder. Als de diameter nul moet worden is dat 8 minder, dus zal de oorspronkelijke hoogte ook 8 zijn geweest. Hele kegel: 1 / 3 π 4 2 8 = 42 2 / 3 π Bovenste deel: 1 /3 π 2,5 2 5 = 125 /12π Afgeknotte kegel: 42 2 /3π - 125 /12π = 32 1 /4π Rechterfiguur: Over hoogteverschil 8 wordt de zijde 6 minder. Δh 8?? Δz 6 8?? = 10 2 /3 Hele piramide: 1 /3 8 2 10 2 /3 = 227 5 /9 Bovenste deel: 1 /3 2 2 2 2 /3 = 3 5 /9 Afgeknotte piramide: 224 2. Een regelmatige zeshoek met zijden 6 bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken met zijden 6. Voor de hoogte h daarvan geldt: h 2 + 3 2 = 6 2 h 2 = 27 h = 27 De oppervlakte van zo'n driehoek is dan 1 /2 6 27 = 3 27 De oppervlakte van de zeshoek is dan 18 27 Over hoogteverschil 10 neemt de zijde 4 af, dus als de zijde 6 moet afnemen hoort dat bij hoogteverschil 15. De inhoud van de oorspronkelijke piramide was 1 /3 3 27 15 = 15 27 De oorspronkelijke hoogte was 15, en de hoogte van het afgesneden deel is 5, dus dat is verkleiningsfactor 1 /3.
De inhoud van het afgesneden deel is dan ( 1 /3) 3 = 1 /27 deel van de oorspronkelijke piramide, dus het overgebleven afgeknotte deel is 26 /27 deel. De inhoud is dan 26 /27 15 27 = 14 4 /9 27 = 75,06 3. uit gelijkvormigheid volgt 10 /(25 + h) = 7 /h 7(25 + h) = 10h 175 + 7h = 10h 3h = 175 h = 58 1 /3 dus de totale hoogte was 83 1 /3 cm Inhoud hele kegel: 1 /3 π 10 2 83 1 /3 = 8726,65 Inhoud onderste kegel: 1 /3 π 7 2 58 1 /3 = 2993,24 Inhoud van de emmer is 8726,65-2993,24 = 5733,41 cm 3 Dat is 5,7 liter. 4. De hele piramide heeft inhoud 1 /3 12 2 (4 + 3 + 2 + 6) = 720 cm 3 Het bovenste deel heeft hoogte 6 dus verkleiningsfactor 6 /15 De inhoud is dan ( 6 / 15 ) 3 720 = 46,08 De bovenste twee delen hebben samen hoogte 8, dus verkleiningsfactor 8 /15 De inhoud is dan ( 8 /15) 3 720 = 109,23 Dan heeft het tweede deel inhoud 109,23-46,08 = 63,15 De bovenste drie delen hebben samen hoogte 11, dus verkleiningsfactor 11 /15 De inhoud is dan ( 11 /15) 3 720 = 283,95 Dan heeft het derde deel inhoud 283,95-109,23 = 174,72 Dan heeft het vierde deel inhoud 720-283,95 = 436,05 5. Het bovenvlak heeft omtrek 1 /4 2 π 4 = 2π (rood) De straal is dan 1 Het ondervlak heeft omtrek 1 /4 2 π 10 = 5π (groen) De straal is dan 2,5 Dan is x = 1,5 h 2 + 1,5 2 = 6 2 geeft h = 33,75 = 5,81 over hoogteverschil 5,81 neemt de straal 1,5 af Δh 5,81?? Δr 1,5 2,5
?? = 9,68 dus de oorspronkelijke hele kegel had hoogte 9,68 Inhoud hele kegel: 1 /3 π 2,5 2 9,68 = 63,37 Inhoud bovenste deel: 1 /3 π 1 2 3,87 = 4,06 Inhoud afgeknotte kegel is 63,37-4,06 = 59,3 6. Noem de hoogte van het toetje h De straal is 2 afgenomen over hoogteverschil h Dan had de oorspronkelijke kegel hoogte 4h Inhoud oorspronkelijk kegel: 1 /3π 8 2 4h = 85 1 /3hπ Deel dat eraf is gehaald heeft inhoud 1 /3π 6 2 3h = 36hπ Afgeknotte deel heeft dan inhoud 85 1 /3πh - 36hπ = 49 1 /3hπ = 850 154,99h = 850 h = 5,5 cm 7. a. 18 /7,2 = 2,5 en 15 /6 = 2,5 en die zijn dus gelijk. Dat betekent dat ondervlak en bovenvlak gelijkvormig zijn, dus dat de lengte en breedte evenveel (relatief) zijn afgenomen. De opstaande ribben zullen elkaar daarom in één punt ontmoeten, dus is het een piramide. b. De lengte gaat van 18 naar 15, dus neemt 3 af over een hoogte van 4 cm. De hoogte van de oorspronkelijke piramide zal dan 6 4 = 24 cm zijn inhoud hele piramide: 1 /3 18 7,2 24 = 1036,8 inhoud bovenste deel 1 /3 15 6 20 = 600 De goudstaaf heeft inhoud 1036,8-600 = 436,8 cm 3 Hij weegt 436,8 19,3 = 8430,24 gram en dat is ongeveer 8,4 kg
Extra oefenmateriaal H10 Aanzichten Deel 2 1. Hieronder zie je drie stapels met kubusjes. Teken daarvan de drie aanzichten. 2. Teken een zijaanzicht, een vooraanzicht en een bovenaanzicht van de volgende ruimtelijke figuren. 3. Van een regelmatige piramide met vierkant grondvlak worden alle middens van aangrenzende ribben met elkaar verbonden. Teken de aanzichten van het lichaam dat daardoor ontstaat.
4. Hiernaast staan van een ruimtelijke figuur een bovenaanzicht en een vooraanzicht getekend. a. Gijs denkt dat de figuur een kubus met een gat erin is. Leg duidelijk uit waarom dat niet zo kan zijn. b. Teken een ruimtelijke figuur die wél bij deze beide aanzichten zou kunnen horen. 5. Hieronder zie je de drie aanzichten van een ruimtelijke figuur. Maak een (ruimtelijke) tekening van die figuur.
6. In de kubus hiernaast is een rode draadfiguur getekend, waarmee steeds middens van vlakken of ribben met elkaar worden verbonden. a. Teken een vooraanzicht van de rode figuur. b. Teken een aanzicht in de richting BD van de rode figuur. c. Teken een aanzicht in de richting DF van de rode figuur. 7. Ik heb thuis drie wasbakken naast elkaar. Het gat waardoor het water wegstroomt heeft voor alle drie een andere vorm: een cirkel, een vierkant en een kruis (zie figuur). Dat vind ik als wiskundige nou eenmaal mooi. Plotseling bedenk ik me, dat, als ik de drie gaten beschouw als aanzichten van een ruimtelijke figuur, dat dan die figuur als stop voor alle drie de gaten gebruikt kan worden! Schets een ruimtelijk figuur die daaraan voldoet. Bron: http://www.hhofstede.nl/modules/aanzichten.htm
Uitwerkingen 1a. 1b. 1c. 2a.
2b. 2c.
2d. 2e.
3 4a. Als het een kubus met een gat erin zou zijn, dan zou je stippellijntjes moeten zien op de plaatsen waar het gat binnen in de kubus zit. Die zijn er niet... 4b. 5a.
5b. 5c. 6a. 6b. De hoekpunten en ribben van de kubus zijn er voor de duidelijkheid in het zwart bij gegeven.
6c. De hoekpunten en ribben van de kubus zijn er voor de duidelijkheid in het zwart bij gegeven. 7. Zoiets als hiernaast
Deel 3 Extra oefenmateriaal H10 Perspectief 1. Maak de volgende drie perspectieftekeningen van een balk af.
2. Leg uit welke vorm van perspectief bij onderstaande foto's is gebruikt en teken de plaats van de horizon. 3. examenopgave 1990. Hieronder zie je een schematische tekening van de ingang van een station. Naar de deur loopt een betonnen pad met aan weerszijden drie rijen vierkante tegels. Om het pad wat op te fleuren heeft een kunstenaar een zuil ontworpen in de vorm van een vierzijdig prisma (ABCDA'B'C'D') met als grondvlak het parallellogram ABCD dat linksonder is getekend. In de tekening van het station zijn de plaatsen van de punten A, B, S, D en S' aangegeven. Maak de perspectieftekening van de zuil af.
4. Examenvraagstuk 1992 Een oude molen is verbouwd tot woonruimte. De romp van de molen heeft een regelmatige achthoek als grondvlak. Dat grondvlak heeft zijden van allemaal 3 meter. Hieronder is een begin gemaakt van een tekening van het grondvlak in perspectief. Hierin zijn GF en BC evenwijdig. Maak die perspectieftekening af. Bron: http://www.hhofstede.nl/modules/centraleprojectie.htm
Uitwerkingen a. bodemlijn TQ naar de horizon doortrekken geeft V UV tekenen en WV lijn QR evenwijdig aan TU geeft punt R lijn QP evenwijdig aan WT geeft punt P PS evenwijdig aan QR en even lang geeft punt S. WX evenwijdig aan TU en even lang geeft punt X. b AB en CD snijden geeft V1 en de horizon AE verlengen geeft V2 op de horizon. CV2 tekenen EF evenwijdig aan AC snijden met CV2 FV1 en DV2 snijden geeft EV1 en BV2 snijden geeft H.
c BF en DH snijden geeft V1 en de horizon. AD verlengen geeft V3 AB verlengen geeft V2 V3B en V2D snijden geeft C V1A en V2F snijden geeft E FV3 en HV2 snijden geeft G 2. 3.
de rode lijnen geven de plaats van de horizon de blauwe lijnen geven daarna de plaats van C in het grondvlak (met de verdwijnpunten V1 en V2) AC snijdt de horizon in een derde verdwijnpunt V, en de lijn S'V snijden met de lijnen van A en C recht omhoog geeft de plaats van A' en C' in het bovenvlak Dan geeft tenslotte het snijden van A'V2 en A'V1 met de lijnen vanaf B en D recht omhoog de plaatsen B' en C' in het bovenvlak. 4. BG en CF snijden geeft V1 en de horizon evenwijdig aan BC. AB geeft dan V2, en op V2F moet E liggen geeft V3 en op V3C moet E liggen Daarmee is de plaats van E bepaald. AG EH is evenwijdig aan de horizon, en H moet ook op AV1 liggen. Dus daarmee ligt H vast. AD is evenwijdig aan de horizon en D moet op EV1 liggen. Dus daarmee is D bepaald.