Reactie van de Resonansgroep Wiskunde op de conceptexamenprogramma s 2011 voor havo wiskunde A en B en vwo wiskunde A, B en C 8 november 2007 De resonansgroep wiskunde heeft met belangstelling kennisgenomen van de conceptexamenprogramma s 2011 voor de vakken wiskunde havo A, havo B, vwo A, vwo B en vwo C die op 3 september 2007 door de Commissie Toekomst Wiskundeonderwijs (ctwo) bekend zijn gemaakt. Met genoegen heeft de resonansgroep geconstateerd dat ctwo erin is geslaagd programma s te ontwerpen die in veel opzichten een grote verbetering zijn ten opzichte van de huidige programma s. In het bijzonder betreft dit de doorstroomrelevantie, een aspect waaraan de resonansgroep krachtens haar opdracht vooral aandacht moet schenken. Als een algemene opmerking stelt de resonansgroep dat zij met de conceptprogramma s voor havo A, havo B en vwo B in grote lijnen van harte kan instemmen. Bij vwo A en vwo C heeft zij echter belangrijke inhoudelijke kritiek. Positief acht de resonansgroep de grote en expliciete aandacht in de programma s voor het ontwikkelen van formulevaardigheid (en bij havo A ook rekenvaardigheid). Dit zal zeker bijdragen aan het verlichten van de ernstige aansluitingsproblemen die er thans zijn bij alle studierichtingen in het hoger onderwijs waar wiskunde als steunvak wordt gebruikt. Er is hier duidelijk sprake van een ontwikkeling in de goede richting. In dit verband spreekt de resonansgroep echter haar zorg uit over het feit dat slechts in het havo B programma studielasturen genoemd worden voor domein A3, het ontwikkelen van wiskundige vaardigheden. Het is voor het hoger onderwijs van het grootste belang dat havo- en vwo-abituriënten op routineniveau beschikken over de noodzakelijke basale rekenvaardigheden en formulevaardigheden en daar moet ook tijd voor uitgetrokken worden. Het werken aan de oplossing van de aansluitingsproblematiek is overigens niet alleen een zaak van havo en vwo. Ook van hbo en wo worden op dit punt bijdragen verwacht. De resonansgroep constateert met voldoening dat er hiertoe van de kant van de universiteiten tal van positieve acties worden ondernomen. 1
Dit geldt ook voor de ontwikkeling van het nieuwe vak wiskunde D. Helaas blijft het hbo hierbij achter: samenwerking tussen havo en hbo lijkt niet goed van de grond te komen. De resonansgroep spreekt hierover haar bezorgdheid uit en spoort het hbo aan op dit punt meer initiatieven te ontplooien. Ten slotte maakt de resonansgroep zich zorgen over het wiskundige gehalte van het natuurkundeonderwijs, aangezien een deel van de leerlingen die dit vak volgen wiskunde A heeft (veelal scholieren in het NG-profiel) en een deel wiskunde B (nl. degenen in het NT-profiel). De docent kan in principe dus slechts de doorsnede van wiskunde A en B bekend veronderstellen. De resonansgroep vreest dat deze doorsnede in de huidige voorstellen een onvoldoende basis voor het natuurkundeonderwijs biedt. ICT-gebruik Op het punt van ICT-gebruik stemt de resonansgroep in met de in verschillende conceptprogramma s geformuleerde algemene uitgangspunten, die samengevat kunnen worden in de steekwoorden use to learn. Zij onderschrijft datgene wat hierover in het programma voor vwo B wordt gesteld: ICT-middelen kunnen en moeten gebruikt worden om overal waar mogelijk het leren van wiskunde te ondersteunen. Terecht noemt de programmacommissie daarbij onder andere ICT als hulpmiddel bij het verkennen van wiskundige problemen en als hulpmiddel bij mede op ICT gebaseerd onderwijs. Naar haar mening geldt dit alles evenzeer voor wiskunde A, B en D op het havo en wiskunde A, C en D op het vwo. Ook bij het schoolexamen kan en moet ICT op een verantwoorde manier worden ingezet. De resonansgroep is echter van mening dat de beschikbaarheid van ICT-middelen zoals de grafische rekenmachine op het centraal schriftelijke eindexamen (CE) de ontwikkeling en toetsing van wiskundige vaardigheden ernstig belemmert. Inspectie van de verschillende domeinen en domeinonderdelen leert dat ICTgebruik tijdens het CE slechts bij de kansrekening en statistiek noodzakelijk is. De resonansgroep stelt daarom voor het gebruik van ICT-middelen, zoals de grafische rekenmachine (GR), tijdens het CE bij de vakken wiskunde B op havo en vwo geheel te verbieden, en bij wiskunde A op het havo en wiskunde A en C op het vwo alleen toe te staan bij het domein kansrekening en statistiek. Dit betekent bij havo A en vwo A en C dus een splitising van het CE in een deel met, en een deel zonder ICT-middelen. De resonansgroep gaat ervan uit dat de formulekaart op het CE niet meer gebruikt wordt. Havo A De resonansgroep stemt van harte in met dit conceptexamenprogramma. Het is in alle opzichten en in alle onderdelen doorstroomrelevant. Ten aanzien van het 2
gebruik van ICT-hulpmiddelen zoals de GR bij het CE stelt de resonansgroep voor dit te beperken tot Domein E (kansrekening en statistiek). Zij gaat er wel vanuit dat ICT-vaardigheden expliciet getoetst worden in het SE. Er is geen expliciete urencalculatie voor de verschillende onderdelen gemaakt. Het is de resonansgroep daarom niet duidelijk of het voorgestelde programma in de gestelde tijd kan worden gerealiseerd. Als een opmerking terzijde spreekt de resonansgroep haar zorgen uit over het feit dat het havo-profiel Natuur en Gezondheid met wiskunde A formeel toegang geeft tot de technische hbo-opleidingen. Toekomstige hbo-studenten met uitsluitend wiskunde A in hun profiel hebben beslist een onvoldoende wiskundeondergrond om zulke studierichtingen met succes te kunnen volgen. Het hbo zal dan zelf de resulterende aansluitingsproblemen moeten oplossen. Bij A3 staat: kan waar nodig ICT-middelen inzetten. Dit zou beter als volgt kunnen worden geformuleerd: ziet in waar ICT-middelen ingezet moeten worden om omvangrijke en rekenintensieve problemen aan te pakken en kan deze adequaat gebruiken. Bij C2: logaritmische schaalverdeling weglaten. Logaritmen worden verder niet behandeld en er is ook geen tijd voor om dat op een zinvolle wijze wel te doen. Bij C4 toevoegen: kan (eenvoudige) lineaire ongelijkheden oplossen. Bij E5 3e bolletje wijzigen in: kansen van een binomiaal verdeelde grootheid uitrekenen. (De leerling kan dus zelf beslissen hoe hij/zij dit doet.) Havo B De resonansgroep stemt van harte in met dit conceptexamenprogramma. Het is in alle opzichten en in alle onderdelen doorstroomrelevant. De resonansgroep betreurt het dat de e-macht en natuurlijke logaritme niet behandeld worden, maar met instemming stelt zij vast dat weer alle rekenregels voor differentiëren op het programma staan. Ten aanzien van het gebruik van hulpmiddelen zoals de GR bij het CE stelt de resonansgroep voor dit geheel te verbieden. Zij gaat er wel vanuit dat ICTvaardigheden expliciet getoetst worden in het SE. De hbo-deskundigen in de resonansgroep spreken hun zorgen uit over de vermelde aantallen studielasturen. Vanuit hun ervaring stellen zij dat bijvoorbeeld de 20 slu voor domein A (in het bijzonder domein A3) zeker te weinig zal zijn. Is het gehele programma niet te ambitieus en te overladen? Bij subdomein C3 zou, als nadere studie inderdaad uitwijst dat het programma overladen is, de ruimtemeetkunde kunnen worden geschrapt. 3
Het voorlaatste bolletje van subdomein C3, dat betrekking heeft op optimaliseringsproblemen, kan sowieso vervallen. Dit kan overgelaten worden aan het vervolgonderwijs. De resonansgroep stelt dat het voorgestelde havo B programma in urenaantallen minder is dan het huidige programma. Voor de technische richtingen is de combinatie met wiskunde D zonder meer aan te bevelen. Maar aangezien wiskunde D niet verplicht is, spreekt de resonansgroep zich daarover verder niet uit. P. 8, onderste lijst bolletjes: de teksten in de eerste en de vijfde bolletje zijn inhoudelijk gelijk. Waarom worden ze apart vermeld? Bij het laatste bolletje van deze zelfde lijst: oplossen met behulp van substitutie veranderen in oplossen, bijvoorbeeld met behulp van substitutie. Bij B1, eerste bolletje, toevoegen tan(x). (Ook van belang voor C2.) Bij C1 vanwege de overladenheid zo nodig weglaten oppervlakte en inhoud van bol, cilinder, kegel, piramide etc. Vwo A Met instemming stelt de resonansgroep vast dat er in het conceptprogramma veel aandacht is voor het onwikkelen van reken- en formulevaardigheid. Het gebrek aan deze vaardigheden is een ernstig struikelblok gebleken bij vrijwel alle universitaire studierichtingen waarvoor een profiel met wiskunde A een ingangseis is en waarbij wiskunde als steunvak wordt gebruikt. Daarbij moet bedacht worden dat in de toekomst wiskunde A ook gekozen kan worden als wiskundevak in het profiel Natuur en Gezondheid. Daardoor zullen naar verwachting nog veel meer studenten met wiskunde A in plaats van wiskunde B aan een studie beginnen waarin het beheersen van wiskundige vaardigheden noodzakelijk is. Een numeriek zeer belangrijke afnemersgroep van vwo wiskunde A wordt gevormd door de universitaire studierichtingen economie en bedrijfskunde. Samen gaat het hier om jaarlijks ongeveer vierduizend vwo-abituriënten, waarvan op dit moment ongeveer tachtig procent het vak wiskunde A heeft gevolgd. Voor deze groep is een goede beheersing van formulevaardigheden en kennis van elementaire functies noodzakelijk aangezien daarop tijdens de wiskundecolleges in het eerste jaar wordt voortgebouwd. Met grote zorg constateert de resonansgroep het ontbreken van essentiële zaken zoals de abc-formule, het getal e, de e-machtfunctie, de natuurlijke logaritme en de goniometrische functies sinus, cosinus en tangens in domein C en subdomein D2 van het voorgestelde programma. Ten aanzien van Domein E (kansrekening en statistiek) merkt de resonansgroep op dat zij geen prioriteit geeft aan een behandeling op het vwo van de subdomeinen E6, E7 en E8 (toetsen, schatten en regressie). Zij is er ook geen 4
voorstander van om hiermee experimenten uit te voeren zoals de programmacommissie wiskunde A voorstelt. Veel meer hecht zij eraan de leerlingen een degelijke basis te verschaffen in de subdomeinen E1 tot en met E5. De voor de genoemde experimenten gereserveerde tijd kan beter besteed worden om de hierboven genoemde belangrijke onderwerpen uit de basiswiskunde in de domeinen C en D op te nemen (kwadratische functies inclusief de abc-formule, het getal e, de e-machtfunctie, de natuurlijke logaritme en de goniometrische functies sinus, cosinus en tangens). Behandeling hiervan is voor de doorstroming naar vrijwel alle studierichtingen waarin wiskunde wordt gebruikt, zonder meer noodzakelijk. Ten aanzien van het gebruik van de ICT-middelen zoals de grafische rekenmachine tijdens het CE stelt de resonansgroep voor dit te beperken tot vraagstukken die betrekking hebben op domein E (kansrekening en statistiek). ICTvaardigheden kunnen verder getoetst worden in het SE. P. 1, onderaan, worden moet zijn wordt. P. 10, domein E3, 14: zeer vage omschrijving: Een standaardscore hanteren om de positie van een score in een verdeling aan te geven. Wat wordt hiermee bedoeld? Vwo B De resonansgroep stemt in met dit conceptexamenprogramma. Het is in vrijwel alle opzichten doorstroomrelevant. Als geheel vertoont het programma een grote interne samenhang. Ten aanzien van het gebruik van ICT-hulpmiddelen zoals de GR bij het CE stelt de resonansgroep voor dit geheel te verbieden. Zij gaat er wel vanuit dat ICT-vaardigheden getoetst worden in het SE. De resonansgroep maakt zich zorgen over de omvang van het voorgestelde programma. Zij vreest voor overladenheid, en verbaast zich erover dat er voor domein A geen studielasturen worden uitgetrokken. Mede in verband hiermee stelt zij voor om subdomein E1 te schrappen. Dit subdomein is niet doorstroomrelevant. P. 10, r.13 van onderen: polynomen moet vergelijkingen zijn. Op diezelfde bladzijde kan regel 8 ( Functievoorschriften... ) geschrapt worden. 5
Vwo C Wiskunde C richt zich op universitaire studies in de sociale, juridische en taalwetenschappen. Een aanzienlijk deel van het programma is echter niet op deze doorstroom gericht, maar algemeen cultureel of historisch van aard. Het betreft hierbij vooral de volgende programmaonderdelen: Domein B (helemaal) Subdomein C1 Subdomein C2, onderdelen 13 en 14 (zie bladzijden 8 en 9) Subdomein C3, onderdeel 24, 2e bullet (zie bladzijde 9) Subdomein C4, onderdeel 30, 2e, 3e en 4e bullet (zie bladzijde 10) Subdomein C5, onderdeel 35, 2e, 3e en 4e bullet (zie bladzijde 10) Zulke onderwerpen zijn zeker geschikt als keuze-onderwerp in subdomein C7, maar niet als vaste onderdelen van het programma. De resonansgroep stelt voor deze onderwerpen te schrappen. Het zou een goede zaak zijn wanneer in plaats hiervan meer aandacht besteed zou worden aan het ontwikkelen en bijhouden van algemene rekenvaardigheden en formulevaardigheden zoals dat ook in havo A op het programma staat. Ten aanzien van domein C6 (kansrekening en statistiek) verwijst de resonansgroep naar haar opmerkingen hierover bij vwo A. Hier zouden de subdomeinen C6.6 (toetsen), C6.7 (schatten) en C6.8 (regressie) als te ver gaand voor behandeling in wiskunde C op het vwo, geschrapt kunnen worden. De resonansgroep stelt voor hierbij geen experimenten uit te voeren en domein C te beperken tot de subdomeinen C6.1 tot en met C6.5. P. 8, domein C2, 12: Een explicitering van de bedoelde algebraische vaardigheden lijkt gewenst. P. 9, domein C4, 28: Welke soorten rijen (meetkundig, rekenkundig, beide, andere?) worden hier bedoeld? En gaat dit alleen maar om losse getallenrijen of ook om rijen in zekere contexten? 6