Met de voetjes aan elkaar gebonden Frauke en Freya zijn dikke vriendinnen en gaan elke zondag trouw naar de jeugdbeweging. Eén van de spelletjes van vandaag trekt onze aandacht. De vriendinnen worden aan de voeten vastgebonden met een elastiek van 10 meter, die kan worden uitgerekt tot een lengte van 30 m. Ze moeten trachten zover mogelijk te stappen. Ze bewegen zich elk in een verschillende richting zoals aangegeven in de figuur. Frauke loopt tegen 3 meter per seconde en Freya tegen 2 meter per seconde. In wat volgt gaan we op zoek naar de lengte van het elastiek in functie van de tijd, de posities van de meisjes, de hoek die het elastiek vormt als hij het lokaal raakt, 1. Simuleren Met het onderstaand groepswerk proberen we het probleem eerst te simuleren en op die manier antwoorden te schatten. Je vindt hieronder het domein waar Freya en Frauke spelen op schaal getekend. Elk vierkantje stelt 1m op 1m voor. 1
Neem twee potloden en een elastiek. Bind het elastiek tussen twee potloden zodanig dat hij op schaal 30 m lang is in uitgerekte positie. Tussen de twee potloden moeten er dus 30 vierkantjes zitten. De vier groepsleden hebben een taak: één leerling speelt de klok en telt de seconden (1, 2, 3, ), twee anderen nemen elk een potlood en laten het potlood bewegen op de figuur volgens de juiste snelheid en de laatste houdt een potlood op de hoek van het lokaal die rechts onder op de figuur is. Beantwoord nu de volgende vragen: 1. Bepaal het tijdsinterval van 1 seconde waarin het elastiek gespannen staat net voor hij uitgerekt wordt. 2. Plaats een potlood op de rechterhoek vooraan van het lokaal en bepaal wanneer het elastiek het lokaal raakt. 3. Houd het vierde potlood op de rechterhoek en bepaal wanneer het elastiek volledig uitgerekt is. Waar bevinden de meisjes zich nu? 2. Voorspellen en berekenen Wanneer raakt het elastiek het lokaal? Gebruik opnieuw de bovenstaande figuur. 1. Duid de richtingen waarin de meisjes zich begeven aan op het plan. Teken pijltjes met de bijbehorende namen. 2. De bovenstaande tekening doet ons aan een cartesiaans assenstelsel denken. Kies als oorsprong het vertrekpunt van de meisjes en duid de x- en y-as aan. Geef voor- en nadelen voor de keuze van de oorsprong. 3. De gegevens vertellen je dat Freya begint te lopen tegen een snelheid van 2 m/s en Frauke tegen 3 m/s. Bepaal hiermee de coördinaten van Freya en Frauke op de tijdstippen aangegeven in onderstaande tabel. Tijd (in seconden) Coördinaten Freya Coördinaten Frauke 1 2 4 t 4. a. Bereken wanneer het elastiek gespannen staat, net voor hij uitgerekt wordt. b. Geef de coördinaten van de meisjes op dit moment. 5. Je voorspelde reeds wanneer het elastiek het lokaal zal raken. Teken deze situatie op de vorige figuur. Met gelijkvormige driehoeken kan je nu het exacte tijdstip waarop het elastiek het lokaal raakt, berekenen. Doe het. 6. Bepaal het functievoorschrift l(t) voor de lengte van het elastiek in functie van de tijd tot het moment dat het elastiek het lokaal raakt. Stel nu dat Freya op het moment dat het elastiek het lokaal raakt, stopt en dat Frauke doorstapt. We willen dan weten wanneer het elastiek in deze situatie volledig uitgerekt is. 2
7. Schets in drie kleuren het elastiek en de posities van Freya en Frauke op de momenten t = 5 s, t = 5,83 s, t = 7 s op de onderstaande figuur. Vergeet niet dat Freya stopt met wandelen als het elastiek het lokaal raakt. 8. Vul de onderstaande tabel in waarbij je de lengte van het elastiek bepaalt. Tijd in seconden 5 5,83 7 t (t > 5,83) Lengte van het elastiek 9. a. Bepaal wanneer het elastiek maximaal uitgerekt is. (De maximale lengte is 30 m.) b. Waar is Frauke dan? In de volgende fase gaan we ervan uit dat zowel Freya als Frauke blijven verder wandelen als het elastiek het lokaal raakt en willen we opnieuw berekenen wanneer het elastiek volledig is uitgerekt. 3
10. Schets het elastiek en de posities van Freya en Frauke op de momenten t = 5,83 s, t = 7 s op de onderstaande figuur. 11. Vul de onderstaande tabel in waarbij je de lengte van het elastiek bepaalt. Tijd in seconden 5,83 7 t (t > 5,83) Lengte van het elastiek in meter 12. Om te bepalen wanneer het elastiek volledig uitgerekt is, moeten we een irrationale vergelijking oplossen. a. Stel deze vergelijking op. b. Los de vergelijking op gebruik makend van je grafische rekenmachine of van Derive. c. Bepaal de posities van Frauke en Freya op dat moment. 13. Geef nu een (meervoudig) functievoorschrift voor de lengte van het elastiek voor 0 < t < 8,06. 4
Hoeken Als het elastiek het lokaal raakt wordt een hoek gevormd die groter is dan 180, zoals je merkt in de onderstaande figuur: 14. De hoek a(t) kan geschreven worden als een som van drie hoeken. Schets ze op de figuur. 15. Stel het functievoorschrift op van de functie a(t) die de hoek uitdrukt in functie van de tijd. 16. Teken deze functie met je grafisch rekentoestel (of Derive) en bepaal de grootst mogelijke hoek die kan gevormd worden. (Kies eerst een goed venster!) 5