VLAAMS VEROND VAN HET KATHOLIEK SECUNDAIR ONDERWIJS LEERPLAN SECUNDAIR ONDERWIJS WISKUNDE Derde graad ASO-KSO-TSO Aanvulling bij de leerplannen D/1992/0279/022: ASO D/1992/0279/023: KSO-TSO februari 2001
INHOUD INLEIDING... 4 Deel 1 Algemene aanbevelingen... 5 1 Verantwoording... 5 2 Wijzigingen in de vooropleiding... 6 3 Een nieuwe kijk op de huidige leerplannen... 8 Deel 2: espreking per leerplan (basis derde graad)... 12 1 Leerplannen ASO... 12 1.1 Organisatie van de wiskundevorming in de tweede graad ASO... 12 1.2 elangrijkste wijzigingen in de vooropleiding... 12 1.3 Leerplan A... 14 1.4 Leerplan... 17 1.5 Leerplan C... 20 1.6 Leerplan D... 23 2 Leerplannen KSO-TSO... 26 2.1 elangrijkste wijzigingen in de vooropleiding... 26 2.2 Leerplan A... 27 2.3 Leerplan... 30 2.4 Leerplan C... 33 2.5 Leerplan D... 36 Deel 3: ijlagen... 41 ijlage Leerplandoelstellingen tweede graad ASO... 41 ijlage Leerplandoelstellingen tweede graad KSO -TSO... 51 D/1992/0279/023 3 3de graad KSO-TSO
INLEIDING In de mededeling van 13 juni 2000 (Kl.50.03) over de stand van zaken van de eindtermen en leerplannen wiskunde werd aangekondigd dat de leerplancommissies wiskunde ASO en KSO/TSO een aantal pedagogisch-didactische wenken zouden uitwerken, die een vlotte aansluiting van de derde graad op de tweede graad moeten verzekeren. Deze suggesties vormen het onderwerp van deze brochure. In deel 1 wordt ingegaan op een aantal algemene krachtlijnen bij de aanbevelingen. Na een korte verantwoording van dit document, wordt in 2 Wijzigingen een benaderingswijze gegeven, waarop inzicht kan verkregen worden in de veranderingen in leerinhouden en didactische aanpak van de vooropleiding. In 3 Een nieuwe kijk op het huidige leerplan worden vanuit de aangereikte sleutels algemene aanwijzingen gegeven om de veranderingen op te volgen. In dit deel wordt een sterk pleidooi gehouden om in de derde graad zoveel mogelijk de didactische lijnen, die aangezet zijn in de eerste en de tweede graad, verder uit te werken. In deel 2 volgt een bespreking per leerplan, zowel voor ASO als voor KSO/TSO. Per leerplanrubriek worden de te verwachten problemen geschetst en aanbevelingen gegeven om de aansluiting te verzekeren. Een aantal suggesties betreffen de werkwijzen waarop binnen de huidige leerinhouden de aangezette leerlijnen kunnen worden voortgezet. Deel 3 bevat een overzicht van de doelstellingen uit de leerplannen van de tweede graad. Deze overzichten moeten een handreiking zijn aan de leraren om snel te kunnen verifiëren of bepaalde doelstellingen aan bod gekomen zijn en op welke wijze ze werden nagestreefd. Ze laten ook toe de verschillen in vooropleiding snel te vergelijken. Deze overzichten kunnen nochtans de lezing van de leerplannen zelf niet vervangen. Deze leerplannen bevatten per doelstelling heel wat concrete informatie over de didactische aanpak, mogelijk een verklaring voor bepaalde wijzigingen of gekozen opties,... Ook deze pedagogisch-didactische wenken behoren tot de aanbevolen lectuur van elke leraar van de derde graad die de aansluiting goed wil realiseren. De leerplancommissies willen ook het belang beklemtonen van de afzonderlijke geformuleerde doelstellingen omtrent vaardigheden en attitudes, die doorheen het realiseren van de leerinhoudelijke doelstellingen moeten bereikt en/of nagestreefd worden. Voor de wiskundevorming ASO met drie wekelijkse lestijden in de tweede graad werd het leerplan nog aangevuld met bijkomende suggesties, die opgenomen zijn als bijlage. D/1992/0279/023 4 3de graad KSO-TSO
Deel 1 Algemene aanbevelingen 1 Verantwoording De eindtermen wiskunde van de eerste graad werden op 1 september 1997 van kracht. Om hieraan te voldoen is vanaf die datum in de eerste graad een nieuw leerplan progressief ingevoerd. Daardoor wijzigde de beginsituatie voor de tweede graad. Om de noodzakelijke aansluiting te verzekeren werd ook in de tweede graad ASO, KSO en TSO op 1 september 1999 een nieuw leerplan van kracht. Zoals in een vorige mededeling toegelicht werd (Mededeling VVKSO, 50.03, dd. 13 juni 2000), waren bij de ontwikkeling van dit leerplan geen goedgekeurde eindtermen voor de tweede graad beschikbaar. Wel houdt het leerplan rekening met de beschikbare ontwerp-eindtermen voor de basisvorming in de tweede graad, zoals ze in de Vlaamse Onderwijsraad werden goedgekeurd. Om de aansluiting met de tweede graad te verzekeren hadden normaal aangepaste leerplannen voor de derde graad ASO, KSO en TSO tegen 1 september 2001 moeten ontwikkeld worden. In de vorige mededeling hebben we gemeld dat we hiervan hebben afgezien, omwille van het niet tijdig beschikbaar zijn van goedgekeurde eindtermen voor de basisvorming en goedgekeurde specifieke eindtermen (of basiscompetenties) voor de studierichtingen met wiskunde in de derde graad. De leerplannen wiskunde voor de derde graad ASO, KSO en TSO blijven geldig in hun huidige vorm, maar kunnen toch niet ongenuanceerd behouden blijven. Door de aanpassingen in de eerste en de tweede graad is de beginsituatie enigszins gewijzigd. We vermelden hier in het bijzonder volgende elementen.! Er zijn wijzigingen in de vooropleiding van de leerlingen. Dit betekent concreet dat in de vernieuwde opleiding een aantal andere accenten zijn gelegd. Het spreekt voor zich dat de leerinhouden van de derde graad moeten aansluiten bij deze van de tweede graad.! Een aantal leerinhouden, die traditioneel tot de derde graad behoren, zijn al aan bod gekomen en moeten niet opnieuw behandeld worden.! Andere leerinhouden, die traditioneel tot de tweede graad behoren, zijn nog niet voorgekomen of werden op een andere wijze behandeld. Hier kunnen zich aanpassingsproblemen voordoen. Uiteraard moet rekening gehouden worden met de wijzigingen in de tweede graad.! Het nieuwe leerplan tweede graad voorziet een ruime plaats voor het gebruik van rekenmachine en computer, zowel in het technisch gebruik als in de didactische ondersteuning van de lessen. Het gebruik van deze ICT-hulpmiddelen moet verder worden gehonoreerd in de derde graad.! In de praktijk wordt een grote verscheidenheid vastgesteld van de mate waarin de verandering van het leerplan in de tweede graad effectief gerealiseerd wordt. De leraren moeten zich deze wijzigingen kunnen eigen maken. Dit geldt in het bijzonder voor een aantal nieuwe aspecten en het gebruik van ICT-hulpmiddelen. D/1992/0279/023 5 3de graad KSO-TSO
2 Wijzigingen in de vooropleiding De wijzigingen in de vooropleiding kunnen in twee groepen worden ondergebracht: de veranderingen in leerinhouden en die in didactische aanpak. 2.1 Leerinhouden! Een aantal leerinhouden die in het huidige leerplan derde graad voorkomen zijn behandeld in de tweede graad. Voorbeelden! Een intuïtieve aanpak van ruimtemeetkunde O.m. het maken van voorstellingen van ruimtelijke situaties, het oplossen van problemen bij ruimtelijke situaties.! eschrijvende statistiek O.m. het aflezen en interpreteren van grafische voorstellingen van gegevens, centrum- en spreidingsmaten. Deze leerinhouden moeten in de derde graad niet meer in hun volle omvang behandeld worden. Wel zullen ze, zoals altijd in een goed leerproces voorzien, opgefrist worden als ze verder uitgediept of toegepast moeten worden. Hierdoor kan tijd gewonnen worden, die nodig is om eventuele aanvullingen in het curriculum aan te brengen.! Een aantal leerinhouden, die voorheen in het leerplan van de eerste of de tweede graad een traditionele plaats hadden verworven, komen niet meer voor in de basisvorming van bepaalde studierichtingen. Voorbeelden (afhankelijk van de gevolgde studierichting)! Een uitvoerige behandeling van verzamelingen en relaties (eerste graad).! Een uitvoerige behandeling van meetkundige transformaties.! Het oplossen van irrationale en wederkerige vergelijkingen.! n-de machtswortels en rationale exponenten.! Veeltermfuncties (nulpunten, tekenonderzoek). Gedetailleerde informatie over de doelstellingen, die voor een bepaald onderdeel zijn nagestreefd, is te vinden in de bijlagen Leerplandoelstellingen tweede graad en uiteraard in de leerplannen zelf. Het is zinvol de vakvergaderingen te gebruiken om informatie uit te wisselen over de concrete situatie in elke leerlingengroep. In de mate dat kennis, strategieën en technieken uit de onderdelen, die in de tweede graad niet meer werden aangebracht, nog nodig zijn, moeten die opgenomen worden in het huidige curriculum. Dit mag evenwel niet leiden tot een integrale transplantatie van deze onderdelen naar de derde graad. Ze moeten, o.m. gezien de beperkte leertijd, behandeld worden in functie van het effectief gebruik dat er van gemaakt zal worden. Suggesties daartoe zijn opgenomen in de bespreking per leerplan verderop in deze mededeling.! Een aantal leerinhouden werden op een andere wijze behandeld. De leerlingen hebben een andere voorkennis. D/1992/0279/023 6 3de graad KSO-TSO
Voorbeelden! epaalde reken- en oplossingstechnieken werden niet meer als afzonderlijke leerinhouden behandeld, maar zijn wel verworven op toepassingsniveau. In het algemeen werd in de getallenleer meer aandacht besteed aan het oplossen van vraagstukken en problemen. ij rekentechnieken is er een verschuiving van het manueel rekenen naar het gebruik van ICThulpmiddelen, zeker als dit laatste belangrijke tijdwinst betekent.! Er werd veel aandacht besteed aan de betekenisgeving van begrippen en eigenschappen en aan het niveau van verwoording ervan. De formalisering daarentegen zal lager liggen.! egrippen, eigenschappen, regels en methoden werden ontwikkeld in voor leerlingen betekenisvolle situaties. ij herhaling of bij het opvangen van leerproblemen is het zinvol gebruik te maken van deze leercontext. In overleg met de collega s van de voorgaande jaren zal de leraar zijn informatie over het voorafgaande leerproces moeten aanvullen.! Er werd intentioneel aandacht besteed aan het ontwikkelen van vaardigheden (o.m. van reken-, taal- en redeneervaardigheden). In het bijzonder werd door het opdrijven van een aanpak vanuit problemen en vraagstukken een versterking van de ontwikkeling van probleemoplossende vaardigheden nagestreefd. (Zie hiervoor de leerplandoelstellingen over vaardigheden en attitudes.)! Het is bekend dat enkele notatieafspraken werden gewijzigd (o.m. punten, volgorde bewerkingen; zie hiervoor eventueel het leerplan eerste graad). Het spreekt voor zich dat deze afspraken verder moeten gebruikt worden. Dit kan een probleem zijn als het huidige leermateriaal ongenuanceerd gevolgd wordt. Gedetailleerde informatie over de wijze waarop de doelstellingen kunnen nagestreefd worden, is te vinden in het leerplan (i.h.b. in de pedagogisch-didactische wenken). Om een reëel beeld te verwerven van de werkwijzen uit de vooropleiding kan best het feitelijk leermateriaal (bijv. notities van de leerlingen) gebruikt worden. Ook op de vakvergaderingen kan informatie uitgewisseld worden over de concrete situatie in elke klasgroep. 2.2 Didactische aanpak! ij de wijzigingen van de leerplannen in de eerste en de tweede graad zijn, naast enkele inhoudelijke verschuivingen, vooral verschuivingen in de didactische klemtonen belangrijk. Hiervoor werden al genoemd:! het belang van een intuïtievere, op betekenisgeving gerichte eerste aanpak,! een hoger verwoordingsniveau voor begrippen en eigenschappen tegenover een lagere graad van formalisme,! een meer probleemgerichte aanpak (zowel in de aanbreng van nieuwe leerinhouden als bij de toepassingen),! een minder formalistische theorievorming.! Een dynamische aanpak van het leerproces vanuit leerlingactieve werkvormen, onderzoeksgerichte opdrachten en een probleemgerichte aanpak verhoogt de betrokkenheid van de leerlingen.! De inbreng van een (grafische) rekenmachine en van ICT-hulpmiddelen voor de ondersteuning van de didactische aanpak (bijv. software voor meetkunde) bieden meer kansen dan voorheen om de hiervoor genoemde dynamische aanpak te realiseren. Daardoor kunnen ze ook de motivatie voor wiskunde en wiskundig onderzoeken verhogen. D/1992/0279/023 7 3de graad KSO-TSO
! In deze toelichting kan uiteraard niet uitgebreid ingegaan worden op de draagwijdte en de verantwoording van deze verschuivingen. Dergelijke, meer uitgewerkte informatie is terug te vinden in de leerplannen zelf, i.h.b. in de pedagogisch-didactische wenken.! Het valt te verwachten dat door deze verschuivingen de wijze waarop leerlingen wiskunde kennen en kunnen is veranderd. Het is evident de leerprocessen in de derde graad vanuit eenzelfde didactisch elan op te bouwen.! Waar zich nieuwe leersituaties aandienen kan eenzelfde benaderingswijze, gericht op geleidelijke verkenning en ingroei, gehanteerd worden. Dit sluit beter aan bij leerprocessen die de leerlingen vertrouwd zijn.! In leerlingengroepen waar meer aandacht kan besteed worden aan ordening, samenhang en theorievorming, gebeurt dit het best vanuit leerlingactieve werkvormen.! epaalde leerinhouden geven nog meer dan voorheen aanleiding tot berekening met ICThulpmiddelen. Zonder het manuele werk definitief te verbannen kan meer inzicht nagestreefd worden. Ook voor de (visuele) ondersteuning bij begripsvorming en inzichtelijke verwerking van methoden en strategieën moet op het elan van de tweede graad verder gewerkt worden door het gebruik van ICT-hulpmiddelen. 3 Een nieuwe kijk op de huidige leerplannen 3.1 Al behandelde inhouden Leerinhouden die behandeld zijn in de tweede graad kunnen in de derde graad niet op dezelfde wijze aan bod komen. Alternatieve behandelingen zijn:! een herhaling van een onderdeel als aanknoping voor nieuwe leerinhouden. Voorbeeld: herhaling van basiselementen van de ruimtemeetkunde.! een herhaling van een onderdeel onder de vorm van opdrachten (voor persoonlijke verwerking). Voorbeelden: een aantal (uitdiepings)oefeningen oplossen, een enquête uitvoeren voor beschrijvende statistiek, een synthese maken van een onderdeel.! een herhaling van een onderdeel met een beperkte aanvulling, bijvoorbeeld in de vorm van een zelfstudieopdracht. Voorbeelden: herhaling van rekenregels, beschrijvende statistiek met uitdieping van de begrippen.! het onderdeel niet meer behandelen in de lessen, nadat de kennis ervan met een gunstige diagnostische toets werd bevestigd, die als verantwoording kan voorgelegd worden. Een ongunstige toets zal dan aanleiding zijn tot een gerichte herhaling.! het onderdeel niet meer behandelen in de lessen, met een verantwoording in het jaarplan vanuit de uitgebreide behandeling in de voorgaande jaren. D/1992/0279/023 8 3de graad KSO-TSO
3.2 Inhouden die niet meer aansluiten In de vooropleiding zijn een aantal onderdelen weggevallen of drastisch teruggesnoeid. Het is niet zinvol deze integraal op te nemen bij de leerinhouden van de derde graad. Ze kunnen worden aangevuld bij het ontwikkelen van leerinhouden waar ze als voorkennis nodig zijn, of waar ze impliciet gebruikt worden. De behandeling in de lessen blijft dan beperkt tot wat effectief gehanteerd zal worden. Voorbeelden! Uitbreiding van het exponentbegrip (cf. rationale exponenten). Voor leerlingen waarvoor dit onderdeel nog in het curriculum dient opgenomen, kan dit aansluiten bij de ontwikkeling van de exponentiële functie. De behandeling van de n-de machtswortels wordt beperkt tot de begripsvorming. De rekenregels voor machten kunnen veralgemeend worden vanuit de gekende rekenregels voor machten met gehele exponenten.! Algebraïsche rekenvaardigheid. Ze kan waar nog nodig gericht aangevuld worden, met een zinvolle beperking tot wat echt gehanteerd wordt in de praktische toepassingen en zonder overdreven oefenvormen (bijv. bij rationale vormen).! Veeltermfuncties (nulpunten, tekenonderzoek). Deze onderdelen kunnen ingepast worden in een algemene studie van veeltermfuncties als onderdeel van reële functies. 3.3 Voortzetting didactische klemtonen In de eerste en tweede graad werden een aantal didactische opties genomen, o.m.:! de aandacht voor betekenisgeving van begrippen en eigenschappen,! het ontwikkelen van een vaardigheid in het verwoorden van wiskundig inzicht,! het niet betekenisloos gebruiken van rekenregels en methoden,! het ontwikkelen van probleemoplossende vaardigheden,! het hanteren van actieve werkvormen, m.n. de inbreng van leerlingen in het leerproces,! het gebruik van ICT-hulpmiddelen, zowel bij berekeningen, als voor de ondersteuning van de leerprocessen. Deze opties, die zullen doorgetrokken worden in de nog te ontwerpen leerplannen voor de derde graad, kunnen nu al geïmplementeerd worden. In alle klassen moet de inbreng van de leerlingen aangemoedigd worden. Daartoe moeten leerlingen onderzoeksopdrachten krijgen die hen aanzetten tot wiskundig denkwerk. Voorbeelden zijn het gebruiken van visuele aspecten, zoals bij grafieken (aflezen van grafiekelementen, begrip afgeleide), het onderzoeken van eigenschappen, het formuleren van vermoedens en het argumenteren van besluiten. Door op het elan van de tweede graad verder te werken zal het leerproces bevorderd worden. 3.4 Het gebruik van ICT-hulpmiddelen In de bestaande leerplannen voor de derde graad werd al uitvoerig gepleit voor het gebruik van een rekenmachine en/of wiskundige software bij daartoe geschikte onderdelen (leerplan ASO p. 47-48, leerplan TSO p. 45-47). Het gebruik van deze hulpmiddelen is nu in de eerste en de tweede graad verplicht gesteld. Eenzelfde verplichting zal over enkele jaren voor de derde graad gelden. D/1992/0279/023 9 3de graad KSO-TSO
Het vertrouwd worden met deze middelen en het verwerven van een zekere vaardigheid ermee, vraagt in de eerste en de tweede graad een serieuze investering. Daarvan kunnen in de derde graad nu reeds de vruchten geplukt worden. Daarom is het zinvol op het elan van de aanpak in de eerste en de tweede graad verder te werken, en in de derde graad nu aan de implementatie te beginnen. De leerkrachten van de derde graad krijgen daardoor een ruimere tijd toegemeten om de nodige gebruiksvaardigheden en klasvaardigheden in een rustig tempo te verwerven. Daarnaast past een voorzichtige waarschuwing vanuit de realiteit. De ICT-vaardigheden van de leerlingen die in de derde graad instromen zullen nog zeer verscheiden zijn, omdat de implementatie niet in elke klas even gunstig verloopt. De plaats die ICT-hulpmiddelen in de (nabije) toekomst zullen krijgen in het verwerken van wiskunde en in het onderwijsleerproces is echter niet meer weg te denken. Zo kunnen ICT-hulpmiddelen een andere kijk op het gebruik van rekentechnieken bevorderen. Het manuele rekenwerk kan nuttig zijn bij het verwerven van inzicht in een techniek of methode. Het moet dus zeker niet uitgebannen worden. Maar in de praktijk zal echter snel naar hulpmiddelen gegrepen worden. Het automatiseren van overdreven manueel rekenwerk en buitensporige oefenvormen worden dus best vermeden. Zo wordt een tijdwinst gerealiseerd. Anderzijds is dit geen pleidooi om leerlingen blindelings te pas en (vooral) te onpas een machine te leren gebruiken. Op didactisch vlak kan het inschakelen van ICT-hulpmiddelen de begripsvorming verbeteren, onder meer door een betere visuele ondersteuning, door de veelheid en verscheidenheid aan situaties die gegenereerd kunnen worden of door de snelheid waarmee voorbeelden en tegenvoorbeelden kunnen aangebracht worden. Voorbeelden van het gebruik in de derde graad (afhankelijk van de voorziene leerstofonderdelen per studierichting).! Verkenning en uitbreiding van het begrip macht.! Gebruik van een functietekenprogramma bij het grafisch onderzoeken van het verloop van functies (alle functiecategorieën), bijvoorbeeld! nulpunten (cf. oplossen van vergelijkingen, snijden met niveaulijnen, ),! tekenonderzoek (cf. oplossen van ongelijkheden),! stijgen en dalen, bepalen van extrema,! domein (cf. kijkvenster, uitvergroten, inzoomen).! Verkennen van een onbekende functie door een onderzoek van de grafiek als de functie gegeven is door haar voorschrift (bijv. belang kijkvenster).! Ondersteuning van de begripsvorming bij limiet, afgeleide, integraal (cf. grafische illustratie).! Uitvoeren van rekenwerk, zowel numeriek als algebraïsch:! functiewaarden,! nulpunten,! extreme waarden,! limietwaarden,! afgeleiden,! integralen.! Matrixberekeningen en oplossen van stelsels.! Gebruik van statistische functies in statistiek en kansrekening. erekeningen van parameters, van combinaties, permutaties, Eventueel uitvoeren van simulaties bij kansexperimenten.! erekeningen in het onderdeel financiële algebra.! Gebruik van een meetkundeprogramma bij analytische meetkunde. Illustraties van kegelsneden, meetkundige plaatsen. D/1992/0279/023 10 3de graad KSO-TSO
3.5 Het gebruik van leerboeken Gezien de wijzigingen in de vooropleiding, de behandelde onderwerpen en de didactische aanpak zullen de bestaande leermiddelen voor de derde graad niet meer aansluiten. Het valt echter te verwachten dat, zolang geen nieuw leerplan is ontwikkeld, geen nieuwe leermiddelen ter beschikking zullen zijn. Hier zal de creatieve inzet van leraren nodig zijn om de in dit document gesuggereerde bijsturingen te realiseren. De praktijk wijst uit dat een aantal leraren deze ontwikkelingslijnen ook nu al trachten te realiseren. De ervaringen van deze voorlopers kunnen inspirerend werken voor collega s. Ook hier kan vakoverleg binnen een school of binnen een regio bijdragen tot een beter welslagen van de verschuivingen in de aanpak van de wiskundevorming. 3.6 Jaarplanning Gezien de gewijzigde situatie is het meer dan te voren zinvol een degelijke planning te maken van de te realiseren leerinhouden en de spreiding ervan over het schooljaar. Daarbij zal vakoverleg zowel horizontaal in de derde graad, als verticaal met de tweede graad onontbeerlijk zijn. D/1992/0279/023 11 3de graad KSO-TSO
ASO Deel 2: espreking per leerplan (basis derde graad) 1 Leerplannen ASO 1.1 Organisatie van de wiskundevorming in de tweede graad ASO Voor de tweede graad ASO wordt een structuuraanpassing in het vooruitzicht gesteld. De basisvorming wiskunde in ASO wordt daarin voorzien met vier wekelijkse lestijden. Voor enkele studierichtingen is een vijfde wekelijkse lestijd wiskunde voorzien. ij het opstellen van het aangepaste leerplan wiskunde voor de tweede graad is rekening gehouden met deze structuurwijzigingen. Het leerplan van de tweede graad kan op verschillende wijzen verwerkt worden naargelang het voorziene aantal lestijden. ij leerweg vier worden alle basiselementen voor de vervolgopleiding aangeboden. Een normale doorstroming naar de derde graad is ingebouwd. ij leerweg vijf worden deze basiselementen grondiger uitgediept en aangevuld met enkele bijkomende doelstellingen. In de praktijk betekent het dat leerlingen vanuit beide leerwegen nog kunnen kiezen voor dezelfde wiskundevorming in de derde graad. De instroom in de verschillende studierichtingen in de derde graad zal daardoor zeer verscheiden zijn. Daarom is het belangrijk een goed beeld te hebben van de beginsituatie en eventuele hiaten in de vooropleiding van de leerlingen. In een groot aantal scholen werd de lessentabel nog niet aangepast aan de structuuraanpassingen die in het vooruitzicht werden gesteld. Wiskunde wordt nog aangeboden met drie of vijf wekelijkse lestijden. Voor wiskunde met drie wekelijkse lestijden is in het leerplan tweede graad een addendum voorzien, waarin een aantal doelstellingen wordt geselecteerd voor deze beperkte vorming. ij het bepalen van de voorkennis en de beginsituatie moet hiervan uitgegaan worden. De beperkingen van het addendum werden nog verduidelijkt in een Mededeling van het VVKSO (referentie: 50.03 dd. 13 juni 2000). Wordt in de toekomst een aansluiting vanuit leerweg vier met wiskunde met hoog aantal wekelijkse lestijden in de derde graad mogelijk (zie leerplan ASO tweede graad p.15 en 16), vanuit drie wekelijkse lestijden is die zoals voorheen niet aangewezen. In de bijlage leerplandoelstellingen tweede graad ASO is op een overzichtelijke wijze aangegeven welke doelstellingen door welke groepen leerlingen (cf. het aantal lestijden) moeten bereikt worden. 1.2 elangrijkste wijzigingen in de vooropleiding Leerinhouden die al behandeld zijn in de tweede graad! Een intuïtieve aanpak van ruimtemeetkunde voorstellingen en problemen oplossen in ruimtelijke situaties.! Een verkenning van functies zoals fx ( ) = x, fx ( ) = xfx, ( ) = xfx, ( ) = x grafiek, domein, bereik, nulpunten, tekenverandering, stijgen en dalen, grafisch aflezen van eventuele extreme waarden. 3 3 1 D/1992/0279/023 12 3de graad KSO-TSO
ASO! eschrijvende statistiek aflezen en interpreteren van grafisch voorgestelde gegevens, centrum- en spreidingsmaten bij individuele of gegroepeerde gegevens.! Eenvoudige oefeningen op telproblemen gebruik van schema s bij telproblemen, (terminologie over permutaties, variaties, combinaties is niet aan bod gekomen).! Een intuïtieve verkenning van het rekenen met kansen (zonder axiomatische opbouw). Leerinhouden die niet meer voorkomen in de basisvorming (vijf lestijden)! Een uitvoerige behandeling van verzamelingen en relaties.! Een uitvoerige behandeling van het samenstellen van meetkundige transformaties.! Het scalair product.! Oplossen van irrationale en wederkerige vergelijkingen.! n-de machtswortels en rationale exponenten.! Veeltermfuncties.! Deelbaarheid (getallenleer). Leerinhouden die niet meer voorkomen in de basisvorming (vier en drie lestijden)! Een uitvoerige behandeling van verzamelingen en relaties.! Rekenregels van vierkantswortel.! Hogeregraadsvergelijkingen als toepassing op tweedegraadsvergelijkingen.! n-de machtswortels en rationale exponenten.! Algebraïsch rekenen, zoals Euclidische deling, reststelling en regel van Horner.! Veeltermfuncties. D/1992/0279/023 13 3de graad KSO-TSO
ASO Commentaar Leerplan A 1.3 Leerplan A Het leerplan A moet aansluiten op leerweg 5 of leerweg 4 uit de tweede graad. 1 Reële functies Het onderdeel reële functies werd in de tweede graad onderbouwd vanuit het expliciteren van algebraïsche verbanden bij betekenisvolle situaties. Voor deze explicitering werd gebruik gemaakt van een tabel, een grafiek, een voorschrift en/of een verbale omschrijving. Enkele algemene verbanden werden als voorbeeld onderzocht. Als bijzondere functies kwamen al aan bod: de eerste- en de tweedegraadsfuncties. Een aantal begrippen zoals nulpunten, tekenverloop, stijgen en dalen, zijn intuïtief behandeld, onder meer door onderzoek van de grafiek, bijvoorbeeld met behulp van een grafische rekenmachine of geschikte software. Voor de nieuwe functiecategorieën die in de derde graad bestudeerd worden, kan op een analoge wijze een verkennend onderzoek uitgevoerd worden. Terugvallen op deze vertrouwde werkwijze zal het leren zeker ondersteunen. Veeltermfuncties (nulpunten, tekenonderzoek) zijn in tegenstelling tot voorheen niet aan bod gekomen. Het algebraïsch rekenen (i.c. de Euclidische deling, reststelling, regel van Horner) is geen basisleerinhoud voor leerweg vier. Wel werden enkele bijzondere functies bestudeerd, m.n. f( x) = x, f( x) = x, f( x) = x, f( x) = en mogelijk enkele transformaties van grafieken (basis x voor leerweg vijf, uitbreiding voor leerweg vier). Veeltermfuncties kunnen integraal als een onderdeel van reële functies aan bod gebracht worden. In de aanloop kan zeker gebruik gemaakt worden van grafische ondersteuning met rekenmachine of software. Het manueel rekenwerk wordt beperkt tot zinvolle situaties. Als het gebruik van een rekenmachine of computer een merkelijk tijdsvoordeel biedt, dan wordt die ook best gebruikt. ij het aanbrengen van rationale functies kan gebruikt worden, dat enkele homografische functies intuïtief behandeld zijn in de tweede graad. (Problemen omtrent domein, asymptotisch gedrag, moeten bekend voorkomen, zonder dat hiervan echter een theoretische fundering gekend is.) ij deze functies kan mogelijk gesteund worden op het gekend zijn van het transformeren van functies en hun grafieken (verband tussen f(x) en f(x)+k, f(x+k), kf(x); basis voor leerweg vijf, uitbreiding voor leerweg vier). Daartegenover staat dat algebraïsche manipulaties van rationale uitdrukkingen minder goed zullen uitgevoerd worden, omdat de vaardigheid in het algebraïsch rekenen minder sterk werd geoefend. Hier kan de rekenmachine of gepaste software weer hulp bieden. De vraag is of met dergelijke middelen ter beschikking de tijdsinvestering in deze onderdelen niet ernstig in heroverweging moet genomen worden (cf. jaarplanning). ij irrationale functies geldt een analoge opmerking. Voor goniometrische functies is de beginsituatie onveranderd. Voor exponentiële functies moet het begrip macht nog uitgebreid worden. De n-de machtswortel als functie kan afgeleid worden uit de invertering (omkering) van de n-de machtsfunctie (betekenis, notatie, grafiek, verloop). Ook de derdemachtswortel is een gekend begrip en kan als uitgangspunt gebruikt worden. De uitbreiding naar machten met rationale (en reële) exponenten ligt voor de hand. Voor de rekenregels kunnen deze van de machten met gehele exponenten veralgemeend worden. Het bewijzen van deze regels via de n-de machtswortels behoort niet tot de basisleerinhouden. 3 3 1 D/1992/0279/023 14 3de graad KSO-TSO
ASO Commentaar Leerplan A Het functiebegrip is in de tweede graad ontwikkeld vanuit betekenisvolle situaties. Dat leidde onder meer tot het oplossen van vraagstukken en problemen in verband met de gekende functies. Ook nu behoort dit uiteraard tot de belangrijkste doelstellingen. Het oplossen van vergelijkingen, ongelijkheden, het onderzoeken van aspecten van het verloop (stijgen en dalen, extreme waarde) in verband met de genoemde functiecategorieën zal dus verbonden worden met zinvolle toepassingen. Als de klemtoon hierbij ligt op het oplossen van problemen, kan er geen bezwaar zijn tegen het omzeilen van rekentechnische problemen door een gepast gebruik van ICT-hulpmiddelen (cf. algebraïsch rekenen, aflezen van grafiek, ). 2 Analyse Leerinhouden zoals stijgen en dalen, extreme waarden,... zijn al intuïtief aan bod gekomen bij een algemene inleiding over functies en het aflezen en interpreteren van grafieken. Deze elementen exacter omschrijven en bestuderen is een van de motivaties voor de ruime tijd die aan analyse besteed wordt in de derde graad. In het onderbouwen van begrippen (bijv. afgeleide, integraal), eigenschappen, regels, met betekenisvolle voorbeelden kan het visuele aspect beter dan voorheen ondersteund worden door het aanwenden van een grafische rekenmachine of gepaste software. Ook hier zal de klemtoon moeten liggen op het zinvol gebruik van wiskundige concepten als beschrijving of model, zoals ze voortkomen uit problemen en vraagstukken. De toepassing van de wiskundekennis primeert op een betekenisloos berekenen van afgeleiden en integralen. De automatisering van integratietechnieken kan beperkt worden. Zelfs het aantal aangebrachte integratiemethoden kan beperkt worden (bijv. de zin van inoefenen van het splitsen in partieelbreuken als wiskundige software dit in een oogwenk doet, - een mogelijk compromis is het beperken van de graad van de noemer tot twee -). De nadruk moet dus liggen op toepassingen. Hierbij kan het gebruik van een rekenmachine of wiskundige software rekentechnische problemen overbruggen. Een goede stelregel hierbij is de machine in te schakelen, als de aandacht aan de integratietechniek deze aan de oplossingsprocedure verstoort. 3 Lineaire algebra ij het aanbrengen van matrices (begripsvorming, bewerkingen) en het oplossen van stelsels zal de nadruk gelegd worden op toepassingen. ICT-hulpmiddelen kunnen gebruikt worden bij matrixbewerkingen en het oplossen van stelsels. 4 Complexe getallen Geen bijkomende opmerkingen. 5 Ruimtemeetkunde In de eerste en de tweede graad werd in het onderdeel ruimtemeetkunde in hoofdzaak aandacht besteed aan het verwerven van ruimtelijk inzicht en ruimtelijk voorstellingsvermogen. Daartoe werd heel wat aandacht besteed aan de tweedimensionale voorstelling van driedimensionale figuren. Verder werden eigenschappen uit de vlakke meetkunde toegepast bij ruimtelijke situaties. Tenslotte werden een aantal basiselementen, zoals de onderlinge ligging van rechten en vlakken, geëxpliciteerd. De studie van ruimtemeetkunde was er niet op gericht een formeel systeem van eigenschappen te creëren. Aan de hand van concrete problemen (bijv. de afstand tussen kruisende rechten is nog niet aan bod gekomen) kan nu een synthese van die eigenschappen gemaakt worden en kan meer aandacht gaan naar het opbouwen van redeneringen en argumentatie ervan. D/1992/0279/023 15 3de graad KSO-TSO
ASO Commentaar Leerplan A De verwachting is dat door de voorafgaande intuïtieve studie van ruimtemeetkunde, de leerlingen minder problemen zullen hebben bij het voorstellen van problemen en situaties. In het verleden moest hieraan heel wat tijd besteed worden. In de tweede graad werden nog geen coördinaten in de ruimte ingevoerd. 6.1 Telproblemen De leerlingen beschikken al over enige telmogelijkheden (boomdiagrammen, eventueel somen productregel). De traditionele begrippen zoals variatie, permutatie,... zijn nog niet aan bod gekomen. Ze kunnen nu best aansluiten bij de verworven inzichten. 6.2 eschrijvende statistiek De belangrijkste elementen van de beschrijvende statistiek werden al behandeld in de tweede graad. Het lijkt niet zinvol nog eens tijd te besteden aan begrippen zoals gemiddelde, mediaan, Hier is een diagnostische toets aangewezen om de kennis van de leerlingen te onderzoeken en gepast te remediëren. In voorbereiding op de verklarende statistiek kan een synthesetaak of onderzoeksopdracht een gepaste herhaling betekenen van de belangrijkste begrippen (zoals standaardafwijking). 6.3 Kansrekenen en statistiek De leerlingen hebben al intuïtief kennis gemaakt met het begrip kans. Hierop kan gesteund worden bij een verdere behandeling. 7 Analytische meetkunde Leerlingen die leerweg vier gevolgd hebben, beschikken niet over de gebruikelijke voorkennis van analytische meetkunde (als vectorbegrip, loodrechte stand, vergelijking raaklijnen aan cirkel, snijpunten rechte en cirkel komen niet voor). Het scalair product behoort ook voor leerweg vijf niet tot de basisleerinhouden van de tweede graad. Meetkundige software kan de inzichten in coördinatensystemen (bijv. poolcoördinaten), in kegelsneden en in meetkundige plaatsen ondersteunen. D/1992/0279/023 16 3de graad KSO-TSO
ASO Commentaar Leerplan 1.4 Leerplan Het leerplan moet aansluiten op leerweg 5 of leerweg 4 uit de tweede graad. 1 Reële functies Het onderdeel reële functies werd in de tweede graad onderbouwd vanuit het expliciteren van algebraïsche verbanden bij betekenisvolle situaties. Voor deze explicitering werd gebruik gemaakt van een tabel, een grafiek, een voorschrift en/of een verbale omschrijving. Enkele algemene verbanden werden als voorbeeld onderzocht. Als bijzondere functies kwamen al aan bod: de eerste- en de tweedegraadsfuncties. Een aantal begrippen zoals nulpunten, tekenverloop, stijgen en dalen, zijn intuïtief behandeld, onder meer door onderzoek van de grafiek, bijvoorbeeld met behulp van een grafische rekenmachine of geschikte software. Voor de nieuwe functiecategorieën die in de derde graad bestudeerd worden, kan op een analoge wijze een verkennend onderzoek uitgevoerd worden. Terugvallen op deze vertrouwde werkwijze zal het leren zeker ondersteunen. Veeltermfuncties (nulpunten, tekenonderzoek) zijn in tegenstelling tot voorheen niet aan bod gekomen. Het algebraïsch rekenen (i.c. de Euclidische deling, reststelling, regel van Horner) is geen basisleerinhoud voor leerweg vier. Wel werden enkele bijzondere functies bestudeerd, m.n. fx ( ) = x, fx ( ) = xfx, ( ) = xfx, ( ) = en mogelijk enkele transformaties van grafieken x (basis voor leerweg vijf, uitbreiding voor leerweg vier). Veeltermfuncties kunnen integraal als een onderdeel van reële functies aan bod gebracht worden. In de aanloop kan zeker gebruik gemaakt worden van grafische ondersteuning met rekenmachine of software. Het manueel rekenwerk wordt beperkt tot zinvolle situaties. Als het gebruik van een rekenmachine of computer een merkelijk tijdsvoordeel biedt, dan wordt die ook best gebruikt. ij het aanbrengen van rationale functies kan gebruikt worden, dat enkele homografische functies intuïtief behandeld zijn in de tweede graad. (Problemen omtrent domein, asymptotisch gedrag, moeten bekend voorkomen, zonder dat hiervan echter een theoretische fundering gekend is.) ij deze functies kan mogelijk gesteund worden op het gekend zijn van het transformeren van functies en hun grafieken (verband tussen f(x) en f(x)+k, f(x+k), kf(x); basis voor leerweg vijf, uitbreiding voor leerweg vier). Daartegenover staat dat algebraïsche manipulaties van rationale uitdrukkingen minder goed zullen uitgevoerd worden, omdat de vaardigheid in het algebraïsch rekenen minder sterk werd geoefend. Hier kan de rekenmachine of gepaste software weer hulp bieden. De vraag is of met dergelijke middelen ter beschikking de tijdsinvestering in deze onderdelen niet ernstig in heroverweging moet genomen worden (cf. jaarplanning). ij irrationale functies geldt een analoge opmerking. Voor goniometrische functies is de beginsituatie onveranderd. Voor exponentiële functies moet het begrip macht nog uitgebreid worden. De n-de machtswortel als functie kan afgeleid worden uit de invertering (omkering) van de n-de machtsfunctie (betekenis, notatie, grafiek, verloop). Ook de derdemachtswortel is een gekend begrip en kan als uitgangspunt gebruikt worden. De uitbreiding naar machten met rationale (en reële) exponenten ligt voor de hand. Voor de rekenregels kunnen deze van de machten met gehele exponenten veralgemeend worden. Het bewijzen van deze regels via de n-de machtswortels behoort niet tot de basisleerinhouden. 3 3 1 D/1992/0279/023 17 3de graad KSO-TSO
ASO Commentaar Leerplan Het functiebegrip is in de tweede graad ontwikkeld vanuit betekenisvolle situaties. Dat leidde onder meer tot het oplossen van vraagstukken en problemen in verband met de gekende functies. Ook nu behoort dit uiteraard tot de belangrijkste doelstellingen. Het oplossen van vergelijkingen, ongelijkheden, het onderzoeken van aspecten van het verloop (stijgen en dalen, extreme waarde) in verband met de genoemde functiecategorieën zal dus verbonden worden met zinvolle toepassingen. Als de klemtoon hierbij ligt op het oplossen van problemen, kan er geen bezwaar zijn tegen het omzeilen van rekentechnische problemen door een gepast gebruik van ICT-hulpmiddelen (cf. algebraïsch rekenen, aflezen van grafiek, ). 2 Analyse Leerinhouden zoals stijgen en dalen, extreme waarden,... zijn al intuïtief aan bod gekomen bij een algemene inleiding over functies en het aflezen en interpreteren van grafieken. Deze elementen exacter omschrijven en bestuderen is een van de motivaties voor de ruime tijd die aan analyse besteed wordt in de derde graad. In het onderbouwen van begrippen (bijv. afgeleide, integraal), eigenschappen, regels, met betekenisvolle voorbeelden kan het visuele aspect beter dan voorheen ondersteund worden door het aanwenden van een grafische rekenmachine of gepaste software. Ook hier zal de klemtoon moeten liggen op het zinvol gebruik van wiskundige concepten als beschrijving of model, zoals die voortkomen uit problemen en vraagstukken. De toepassing van de wiskundekennis primeert op een betekenisloos berekenen van afgeleiden en integralen. De automatisering van integratietechnieken kan beperkt worden. Zelfs het aantal aangebrachte integratiemethoden kan beperkt worden (bijv. de zin van inoefenen van het splitsen in partieelbreuken als wiskundige software dit in een oogwenk doet, - een mogelijk compromis is het beperken van de graad van de noemer tot twee -). De nadruk moet dus liggen op toepassingen. Hierbij kan het gebruik van een rekenmachine of wiskundige software rekentechnische problemen overbruggen. Een goede stelregel hierbij is de machine in te schakelen, als de aandacht aan de integratietechniek deze aan de oplossingsprocedure verstoort. Als toepassing van afgeleiden komen de kegelsneden met hun canonieke vergelijking aan bod. Meetkundige software kan hier het inzicht ondersteunen. 3 Matrixrekening - stelsels ij het aanbrengen van matrices (begripsvorming, bewerkingen) en het oplossen van stelsels zal de nadruk gelegd worden op toepassingen. ICT-hulpmiddelen kunnen gebruikt worden bij matrixbewerkingen en het oplossen van stelsels. 4 Complexe getallen Geen bijkomende opmerkingen. 5 Ruimtemeetkunde In de eerste en de tweede graad werd in het onderdeel ruimtemeetkunde in hoofdzaak aandacht besteed aan het verwerven van ruimtelijk inzicht en ruimtelijk voorstellingsvermogen. Daartoe werd heel wat aandacht besteed aan de tweedimensionale voorstelling van driedimensionale figuren. Verder werden eigenschappen uit de vlakke meetkunde toegepast bij ruimtelijke situaties. Tenslotte werden een aantal basiselementen, zoals de onderlinge ligging van rechten en vlakken, geëxpliciteerd. D/1992/0279/023 18 3de graad KSO-TSO
ASO Commentaar Leerplan De studie van ruimtemeetkunde was er niet op gericht een formeel systeem van eigenschappen te creëren. Aan de hand van concrete problemen (bijv. de afstand tussen kruisende rechten is nog niet aan bod gekomen) kan nu een synthese van die eigenschappen gemaakt worden en kan meer aandacht gaan naar het opbouwen van redeneringen en argumentatie ervan. De verwachting is dat door de voorafgaande intuïtieve studie van ruimtemeetkunde, de leerlingen minder problemen zullen hebben bij het voorstellen van problemen en situaties. In het verleden moest hieraan heel wat tijd besteed worden. In de tweede graad werden nog geen coördinaten in de ruimte ingevoerd. 6.1 Telproblemen De leerlingen beschikken al over enige telmogelijkheden (boomdiagrammen, eventueel somen productregel). De traditionele begrippen zoals variatie, permutatie,... zijn nog niet aan bod gekomen. Ze kunnen nu best aansluiten bij de verworven inzichten. 6.2 eschrijvende statistiek De belangrijkste elementen van de beschrijvende statistiek werden al behandeld in de tweede graad. Het lijkt niet zinvol nog eens tijd te besteden aan begrippen zoals gemiddelde, mediaan, Hier is een diagnostische toets aangewezen om de kennis van de leerlingen te onderzoeken en gepast te remediëren. In voorbereiding op de verklarende statistiek kan een synthesetaak of onderzoeksopdracht een gepaste herhaling betekenen van de belangrijkste begrippen (zoals standaardafwijking). 6.3 Kansrekenen en statistiek De leerlingen hebben al intuïtief kennis gemaakt met het begrip kans. Hierop kan gesteund worden bij de verder behandeling. D/1992/0279/023 19 3de graad KSO-TSO
ASO Commentaar Leerplan C 1.5 Leerplan C Het leerplan C moet aansluiten op leerweg 5 of leerweg 4 uit de tweede graad. 1 Reële functies Het onderdeel reële functies werd in de tweede graad onderbouwd vanuit het expliciteren van algebraïsche verbanden bij betekenisvolle situaties. Voor deze explicitering werd gebruik gemaakt van een tabel, een grafiek, een voorschrift en/of een verbale omschrijving. Enkele algemene verbanden werden als voorbeeld onderzocht. Als bijzondere functies kwamen al aan bod: de eerste- en de tweedegraadsfuncties. egrippen zoals nulpunten, tekenverloop, stijgen en dalen, zijn intuïtief behandeld, onder meer door onderzoek van de grafiek, bijvoorbeeld met behulp van een grafische rekenmachine of geschikte software. Voor de nieuwe functiecategorieën, die in de derde graad bestudeerd worden, kan op een analoge wijze een verkennend onderzoek uitgevoerd worden. Terugvallen op deze vertrouwde werkwijze zal het leren ondersteunen. Veeltermfuncties (nulpunten, tekenonderzoek) zijn in tegenstelling tot voorheen niet aan bod gekomen. Het algebraïsch rekenen (i.c. de Euclidische deling, reststelling, regel van Horner) is geen basisleerinhoud voor leerweg vier. Wel werden enkele bijzondere functies bestudeerd, m.n. fx ( ) = x, fx ( ) = xfx, ( ) = xfx, ( ) = en enkele transformaties van grafieken (basis x voor leerweg vijf, uitbreiding voor leerweg vier). Veeltermfuncties kunnen integraal als een onderdeel van reële functies aan bod komen. In de aanloop kan gebruik gemaakt worden van grafische ondersteuning met ICT-hulpmiddelen. Het manueel rekenwerk wordt beperkt tot zinvolle situaties. Als het gebruik van ICT-hulpmiddelen een merkelijk tijdsvoordeel biedt, worden die ook best gebruikt. ij het aanbrengen van rationale functies kan gebruikt worden, dat enkele homografische functies intuïtief behandeld zijn in de tweede graad. (Problemen omtrent domein, asymptotisch gedrag, moeten bekend voorkomen, evenwel theoretische fundering.) Het valt te verwachten dat de algebraïsche manipulaties van rationale uitdrukkingen minder goed zullen uitgevoerd worden, omdat de vaardigheid in het algebraïsch rekenen minder sterk werd geoefend. Hier kan de rekenmachine of gepaste software weer hulp bieden. De vraag is of met dergelijke middelen ter beschikking de tijdsinvestering in deze onderdelen niet ernstig in heroverweging moet genomen worden (cf. jaarplanning). Voor goniometrische functies is de beginsituatie onveranderd. Voor exponentiële functies moet het begrip macht nog uitgebreid worden. De n-de machtswortel als functie kan afgeleid worden uit de invertering (omkering) van de n-de machtsfunctie (betekenis, notatie, grafiek, verloop). Ook de derdemachtswortel is een gekend begrip en kan als uitgangspunt gebruikt worden. De uitbreiding naar machten met rationale (en reële) exponenten ligt voor de hand. Voor de rekenregels kunnen deze van de machten met gehele exponenten veralgemeend worden. Het bewijzen van deze regels via de n-de machtswortels behoort niet tot de basisleerinhouden. Het functiebegrip is in de tweede graad ontwikkeld vanuit betekenisvolle situaties. Dat leidde onder meer tot het oplossen van vraagstukken en problemen in verband met de gekende functies. Ook nu behoort dit tot de belangrijkste doelstellingen. Het oplossen van vergelijkingen, ongelijkheden, het onderzoeken van aspecten van het verloop (stijgen en dalen, extreme waarde) in verband met de genoemde functiecategorieën zal verbonden worden met zinvolle toepassingen. 3 3 1 D/1992/0279/023 20 3de graad KSO-TSO
ASO Commentaar Leerplan C Als de klemtoon hierbij ligt op het oplossen van problemen, kan er geen bezwaar zijn tegen het omzeilen van rekentechnische problemen door een gepast gebruik van ICT-hulpmiddelen (cf. algebraïsch rekenen, grafiek aflezen, ). 2 Afgeleiden en integralen Leerinhouden zoals stijgen en dalen, extreme waarden,... zijn al intuïtief aan bod gekomen bij een algemene inleiding over functies en het aflezen en interpreteren van grafieken. Deze elementen exacter omschrijven en bestuderen is een van de motivaties voor de ruime tijd die aan analyse besteed wordt in de derde graad. In het onderbouwen van begrippen (bijv. afgeleide, integraal), eigenschappen, regels, met betekenisvolle voorbeelden kan het visuele aspect beter dan voorheen ondersteund worden door het aanwenden van een grafische rekenmachine of gepaste software. Ook hier zal de klemtoon liggen op het zinvol gebruik van wiskundige concepten als beschrijving of model, zoals die voortkomen uit problemen en vraagstukken. De toepassing van de wiskundekennis primeert op een betekenisloos berekenen van afgeleiden en integralen. Het aantal integratiemethoden en de automatisering van integratietechnieken kan beperkt worden. De nadruk moet liggen op toepassingen. Hierbij kan het gebruik van een rekenmachine of wiskundige software rekentechnische problemen overbruggen. Een goede stelregel hierbij is de machine in te schakelen, als de aandacht aan de integratietechniek deze aan de oplossingsprocedure verstoort. Als toepassing van afgeleiden komen de kegelsneden met hun canonieke vergelijking aan bod. Meetkundige software kan hier het inzicht ondersteunen. 3.1 Matrixrekening en stelsels ij het aanbrengen van matrices (begripsvorming, bewerkingen) en het oplossen van stelsels zal de nadruk gelegd worden op toepassingen. ICT-hulpmiddelen kunnen gebruikt worden bij matrixbewerkingen en het oplossen van stelsels. 3.2 Complexe getallen Geen bijkomende opmerkingen. 3.3 Telproblemen De leerlingen beschikken al over enige telmogelijkheden (boomdiagrammen, eventueel somen productregel). De traditionele begrippen zoals variatie, permutatie,... zijn nog niet aan bod gekomen. Ze kunnen nu best aansluiten bij de verworven inzichten. 3.4 eschrijvende statistiek De belangrijkste elementen van de beschrijvende statistiek werden al behandeld in de tweede graad. Het lijkt niet zinvol nog eens tijd te besteden aan begrippen zoals gemiddelde, mediaan, Hier lijkt een diagnostische toets aangewezen om de kennis van de leerlingen te onderzoeken en eventueel gepast te remediëren. 3.5 Kansrekenen De leerlingen hebben al intuïtief kennis gemaakt met het begrip kans. Hierop kan gesteund worden bij een verdere behandeling. D/1992/0279/023 21 3de graad KSO-TSO
ASO Commentaar Leerplan C 3.6 Ruimtemeetkunde Het grootste deel van dit onderwerp is al aan bod gekomen in de eerste en de tweede graad. Het is niet zinvol dit onderwerp nog te kiezen in de derde graad. D/1992/0279/023 22 3de graad KSO-TSO
ASO Commentaar Leerplan D 1.6 Leerplan D Het leerplan moet aansluiten op leerweg vier en het addendum voor drie lestijden. 1 Reële functies Het onderdeel reële functies werd in de tweede graad onderbouwd vanuit het expliciteren van algebraïsche verbanden bij betekenisvolle situaties. Voor deze explicitering werd gebruik gemaakt van een tabel, een grafiek, een voorschrift en/of een verbale omschrijving. Enkele algemene verbanden werden als voorbeeld onderzocht. Als bijzondere functies kwamen al aan bod: de eerste- en de tweedegraadsfuncties. Een aantal begrippen zoals nulpunten, tekenverloop, stijgen en dalen, zijn intuïtief behandeld, onder meer door onderzoek van de grafiek, bijvoorbeeld met behulp van een grafische rekenmachine of geschikte software. Voor de nieuwe functiecategorieën die in de derde graad bestudeerd worden, kan op een analoge wijze een verkennend onderzoek uitgevoerd worden. Terugvallen op deze vertrouwde werkwijze zal het leren zeker ondersteunen. Veeltermfuncties (nulpunten, tekenonderzoek) zijn in tegenstelling tot voorheen niet aan bod gekomen. Ook het algebraïsch rekenen (i.c. Euclidische deling, reststelling, regel van Horner) behoorden niet tot de leerinhouden. Wel werden enkele bijzondere functies bestudeerd, m.n. fx ( ) = x, fx ( ) = xfx, ( ) = xfx, ( ) =. x Veeltermfuncties kunnen integraal als een onderdeel van reële functies aan bod gebracht worden. In de aanloop kan zeker gebruik gemaakt worden van grafische ondersteuning met rekenmachine of software. Het manueel rekenwerk wordt beperkt tot zinvolle situaties. Als het gebruik van een rekenmachine of computer een merkelijk tijdsvoordeel biedt, dan wordt die ook best gebruikt. Het algebraïsch rekenen (i.c. de Euclidische deling, reststelling, regel van Horner) is geen basisleerinhoud voor leerweg vier. ij het aanbrengen van rationale functies kan mogelijk gebruikt worden dat (allicht als toepassing op fx ( )= 1 ) de grafieken van enkele homografische functies getekend en onderzocht x werden. (Problemen omtrent domein, asymptotisch gedrag, kunnen dan bekend voorkomen, zonder dat hiervan een theoretische fundering gekend is.) Het algebraïsch manipuleren van rationale uitdrukkingen is geen doel op zich. Hier kan de rekenmachine of gepaste software de nodige steun bieden. De tijdsinvestering in dit onderdeel moet bijgevolg minimaal gehouden worden. Voor goniometrische functies is de beginsituatie onveranderd. Voor exponentiële functies moet het begrip macht nog uitgebreid worden. De n-de machtswortel als functie kan afgeleid worden uit de invertering (omkering) van de n-de machtsfunctie (betekenis, notatie, grafiek, verloop). Ook de derdemachtswortel is een gekend begrip en kan als uitgangspunt gebruikt worden. De uitbreiding naar machten met rationale (en reële) exponenten ligt voor de hand. Voor de rekenregels kunnen deze van de machten met gehele exponenten veralgemeend worden. Het bewijzen van deze regels via de n-de machtswortels behoort niet tot de basisleerinhouden. Het functiebegrip is in de tweede graad ontwikkeld vanuit betekenisvolle situaties. Dat leidde onder meer tot het oplossen van vraagstukken en problemen in verband met de gekende functies. Ook nu behoort dit uiteraard tot de belangrijkste doelstellingen. 3 3 1 D/1992/0279/023 23 3de graad KSO-TSO