Dag van de wiskunde. 14 november Kortrijk. Als we kiezen voor bewijzen, laten we dan niet toveren. Bijlagen

Dag van de wiskunde 14 november 2009 Kortrijk Als we kiezen voor bewijzen, laten we dan niet toveren Bijlagen In deze bijlage worden de voorbeelden die kort besproken worden tijdens de presentatie, didactisch uitgewerkt. Anne Schatteman Departement lerarenopleiding anne.schatteman@ehb.be

1. Middelpuntshoek versus omtrekshoek in een cirkel. A) Een onderzoek naar een hypothese Probleem: wat weet ik over de tophoek van een driehoek met vaste basis, als het toppunt aan bepaalde voorwaarden voldoet? 1) Stel het toppunt behoort tot een rechte? De grootte van de tophoek kan alle waarden aannemen. Er is dus geen regelmaat. 2) Stel de hoekpunten van de driehoek behoren tot een cirkel, de basis is fix. Telkens wordt er een onderzoeksvraag bedacht om tenslotte tot een hypthese te komen. Met Cabri ontdekken we samen met de leerlingen of er een verband is tussen alle tophoeken van driehoeken met zelfde basis=koorde. We stellen vast dat alle tophoeken even groot zijn. Ook voor extreme posities van de tophoek. Speelt de positie Cabri. van [BC] een rol? We onderzoeken het met Voor elke positie van [BC] blijft de grootte van de tophoek een constante. (We laten [BC]ook extremee posities innemen, bijvoorbeeld door het Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009

middelpunt van de cirkel en stellen dan reeds een bijzondere hoekgrootte vast). Hoe groot is de tophoek? Wat kan hierbij bepalend zijn? o Welke wijziging (van positie) van [BC] heeft een invloed? (de lengte) o Welke rol heeft de cirkel hierin? de lengte van het lijnstuk en de grootte van de cirkel spelen een rol. Waar zie ik die elementen verschijnen? Dus eigenlijk is de grootte van de tophoek volledig bepaald door de driehoek BMC de leerlingen zijn klaar om te ontdekken dat de grootte van de tophoek de helft is van de grootte van de middelpuntshoek. Hoe ver kunnen we gaan met de positie van het hoekpunt A?Met de positie van de koorde [BC]? o A mag heel dicht bij een van de grenspunten B of C komen o A kan op middellijnen CM of BM gelegen zijn. o [BC]kan door het middelpunt gaan. Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009

o A mag voorbij de grenspunten gaan, dus bewegen op de andere cirkelboog: de d grootte van de d hoek blijft dan ook constant, maar heeft een e andere waarde (kan tot een nieuw onderzoek leiden). Verschillende hypothesen rollen uit dit onderzoek: 1. De grootte van de omtrekshoek o A ˆ is een constante als de hoek steunt op een koorde [BC];; de constante hangt af van de cirkelboog waarop het toppunt varieert. 2. Indien A gelegen is op de grote cirkelboog bepaald door [BC], dan is de grootte van A ˆ gelijk aan de helft van de grootte van de middelpuntshoek bepaald door [BC]. 3. Indien [BC] een middellijn is, dan is de omtrekshoek A ˆ een rechte hoek. Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009

B) Een bewijs zoeken is zoals het oplossen van een probleem: We gebruiken het strategische plan en de nodige heuristieken om een verklaring te vinden voor de relatie die als hypothese werd gesteld. 1. Analyse van het probleem p Het begrijpen van het probleem: = het begrijpen van de hypothese is reeds gebeurd omdat de opbouw door de leerlingen zelf is gebeurd. Zij begrijpen dater een verband moet zijn tussen de omtrekshoek en de middelpuntshoek. Bovendien heeft ICT hen overtuigd dat de hypothesen waar zijn. Ze begrijpen nog niet waarom het waar is, maar ze geloven erin. We maken een tekening van het probleem en markeren alle gegevens. Eventueel het TB in het rood met een? erbij. We tekenen hulplijnen (verbindingslijnen met het middelpunt om te kunnen weergeven dat de punten op een cirkel gelegen zijn) We gebruiken eigenschappen van de gegevens o basishoeken van gelijkbenige driehoeken zijn even groot; o afstand tot het middelpunt is constant. o de som van de hoeken in een driehoek is 180. A ˆ 1 = C ˆ 2 A ˆ 2 = B ˆ 2 A ˆ + B ˆ + C ˆ =180 B ˆ 2 + C ˆ 2 + M ˆ =180...? Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009

Indien we in dit stadium nog geen plan hebben (*) we kijken of we eerst een eenvoudiger probleem kunnen oplossen waarvan we het resultaat of de methode kunnen toepassen in het algemene geval. Is er een eenvoudige positie van de tophoek waarbij de relaties ook eenvoudig worden? (Vanuit de instap was de positie van de tophoek op een middellijn al eens onderzocht). Er zijn minder driehoeken in beschouwing te nemen, dus eenvoudiger. A ˆ + B ˆ + C ˆ =180 B ˆ + C ˆ 2 + M ˆ 2 =180 A ˆ + C ˆ 1 + M ˆ 1 =180 B ˆ = C ˆ 2 A ˆ = C ˆ 1 Is het nuttig om deze situatie afzonderlijk op te lossen? Ben ik iets met het resultaat? Met de methode? Een willekurige situatie kan teruggebracht worden tot een combinatie van twee bijzonderee situaties. Dus we gaan voor het eenvoudig probleem want het zal ons naar success leiden. Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009

2. Plan1 We werken al de relaties uit en hopen het gewenste verband tussen de grootte van de middelpuntshoek M ˆ en de grootte van de omtrekshoek A ˆ in een gelijkheid te vinden. Het komt er dus op neer om te rekenen. Plan 2 (indien we (*) overwogen hadden) 1. We werken al de relaties uit in de eenvoudige situatie en hopen het gewenste verband tussen de grootte van de middelpuntshoek ˆ M i en de grootte van de omtrekshoek ˆ A i in een gelijkheid te vinden. Dus rekenen en zonderen ˆ M i en ˆ A i af. 2. We passen het resultaat toe voor de twee deelproblemen en tellen de hoekgroottes A ˆ 1 en A ˆ 2 op. 3. Uitwerking van het plan Plan 1: A ˆ 1 + A ˆ 2 + B ˆ 1 + B ˆ 2 + C ˆ 1 + C ˆ 2 =180 => 2 ˆ A 1 + 2 ˆ A 2 +180 ˆ M =180 => 2( ˆ A 1 + ˆ A 2 ) = ˆ M => 2 ˆ A = ˆ M Plan 2: A ˆ + B ˆ + D ˆ =180 2 ˆ A 1 = ˆ M 1 1. => ˆ A + ˆ B 1 + ˆ B 2 + ˆ D =180 => 2 ˆ A +180 ˆ M =180 2. 2 ˆ A 2 = ˆ M 2 => 2( ˆ A 1 + ˆ A 2 ) = ˆ M 1 + ˆ M 2 => 2 ˆ A = ˆ M => 2 ˆ A = ˆ M Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009 7/41

4. Reflectie op de oplossingsmethode Kan ik dit probleem op een andere manier oplossen? Op een meer eenvoudigee manier? Indien aan plan 2 gedacht was aanvankelijk, dan zou men nu misschien aan plan 1 kunnen denken want de methode in het bijzondere geval kan eveneens onmiddellijk toegepast worden, zonder veel extra problemen. Is mijn methode (bijvoorbeeld plan 2) wel degelijk in elke positie van de gegevens te gebruiken? In de positie dat [BC] een middelijn is? Ja, de situatie kan opnieuw in twee deelproblemen opgesplitst worden. De twee resultaten worden dan opnieuw opgeteld. Het is wel ver gezocht, want in dit geval is het makkelijker om het probleem direct aan te passen (zoals in plan 1). In de positie dat het toppunt A verder doorgetrokken wordt (het middelpunt M ligt nu niet meer in het inwendige van de driehoek)? Ja, de situatie kan opnieuw in twee deelproblemen opgesplitst worden. De twee resultaten worden dan niet meer opgeteld maar afgetrokken van elkaar. Dus eigenlijk is de methode dezelfde. Kan ik nieuwe relaties ontdekken die verwant zijn met het probleem? In de instapfase zagen we dat indien A op de andere cirkelboog varieert, bepaald door de koorde [BC], dat de hoekgrootte dan eveneens constant is. o Is er opnieuw een eenvoudige relatie met de grootte van de middelpuntshoek? o Kan ik mijn vorige oplossingsmethoden gebruiken? Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009

2. Eigenschap van een koorde in een cirkel A) Een onderzoek naar een hypothese Probleemstelling: 1. Beschrijf de informatie die hier gegeven wordt. 2. De klas wordt in drie groepen ingedeeld: Groep 1: teken een koorde; teken dan de middelloodlijn. Groep 2: teken een koorde; teken de loodlijn vanuit het middelpunt op de koorde. Groep 3: teken een koorde; teken de rechte door het middelpunt en die de rechtee halveert. Wat stellen jullie vast? er werd te veel informatie gegeven in de oorspronkelijke tekening; de tekening onthultt dus eigenlijk drie verhalen We komen tot drie hypothesen. B) Bewijzen zoeken De drie bewijzen worden het best tegelijkertijd aangepakt. De gelijkenis moet ontdekt worden en/of uitgebuit worden. 1. Analyse van het probleem Het begrijpen is al voor een deel gebeurd tijdens de ontdekking van de drie beweringen; De leerlingen zijn overtuigd van de waarheid ervan, want een grote groep leerlingen stelden hetzelfde vast, elk op een aparte, niet voorgekauwde tekening. Ze geloven erin. Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009

2. Opstellen van een plan Er dient handig gebruik gemaakt te worden van nuttige heuristieken: o Gebruik verschillende kleuren om het gegeven (groen) duidelijk te onderscheidenn van het te bewijzen (rood); o Teken hulplijnen o Markeer alle kenniselementen die je ontdekt door gebruik te maken van eigenschappen die met de figuren die ontstaan, gepaard gaan. o Ben ik reeds gelijkaardige situaties tegengekomen? (gelijkheid van lengtes van lijnstukken bewijzen; gelijkheid van hoekgroottes bewijzen) o Welke theorie/ /methode was in die situatie succesvol? Congruentie van driehoeken/ eigenschap van een middelloodlijn van een lijnstuk 3. Uitwerking van het plan M ligt op de middelloodlijn MB = MC de driehoeken MBD en MCD zijn congruent (ZHZ) => D ˆ 1 = D ˆ 2 =90 (want som is 180 ) de driehoeken MBD en MCD zijn congruent ( ZHH) => DB = DC 4. Reflectie op het verloop van de oplossing Is ereen andere bewijsmethode mogelijk? Wat weet ik nog over de driehoeken die zichtbaar zijn? In gelijkbenige driehoeken zijn de hoogtelijnen ook zwaartelijnen en omgekeerd. Kan ik in het eerstee voorbeeld geen gebruik maken van congruente driehoeken? Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009

3. De stelling van Rolle A) Een onderzoek naar een hypothese Probleemstelling: Er bestaat een horizontale raaklijn aan de grafiek van f tussen a en b. Is dat altijd mogelijk? 1. Begrijpen van het probleem / zoeken naar de voorwaarden Neen, waarom hier niet en hierboven wel? Hier kan ik geen topje afknippen? Hoe vertaal ik dat in een voorwaarde? Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009

Dus een sprong mag er tussen a en b niet gemaakt worden? Hoe vertaal ik dat in de voorwaarden? Mag die sprong ook op de rand? Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009

Hoe vermijd ik dat er een gat is? Geen discontinuïteit en toch gaat het niet. Hoe vermijd ik een knikpunt? Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009

We veralgemenen / abstraheren / formaliseren = Komen tot een hypothese. Is f : [a, b] -> IR continu op [ a, b], afleidbaar op ] a, b[, met f(a) = f(b) voldoende om te kunnen besluiten dat c ] a, b[ met f (c)=0? ( dan is het mogelijk om ergens tussenin een raaklijn aan de grafiek te tekenen. B) Bewijzen zoeken 2. Analyse van het probleem / opstellen van een plan Maken van een standaardtekening waar alle gegevens op verschijnen. Nog extra schetsen maken tot men ziet waar de raaklijn altijd gaat getekend worden. Patroon herkennen: de raaklijn wordt getekend in de waarde waar er een extremum is. Gaat dat altijd? Bij alle voorbeelden? Ook extreme voorbeelden onderzoeken (constante functies) Heb ik al gelijkaardige problemen opgelost? c... het is dus een existentiestelling; dus de structuur van de redenering ligt vast: 1. Wat is een kandidaat voor c? Kritisch Neem een c tussen a en b waar f een absoluut extremum bereikt Anders: als f een constante is: neem om het even welke c tussen a en b 2. het is een goede kandidaat TB. f (c) =0 f (c) =0 c... Is c altijd te vinden? Is er altijd een absoluut extremum? Ligt dat extremum altijd tussen a en b? En waar anders? Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009 14/41

3. Plan uitwerken. Op basis van de structuur van het bewijs, kan alles uitgeschreven worden. Men moet wel een antwoord vinden in de theorie op alle kritische vragen. -> van elke stap in het bewijs: waarom is die stap waar? 4. Reflectie Waar in het bewijs heb ik de voorwaarden nodig gehad? Wat blijft er waar als ik bepaalde voorwaarden laat vallen? (eventueel kan men zo tot een hypothese komen voor de middelwaardestelling) Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009 15/41

4. Tussenwaardenstelling Probleemstelling γ c? We onderzoeken voorbeelden waar het wel lukt en waar het niet lukt. Hier lukt het. Wat ligt er aan de basis? Geldt dit dan voor elke functie? Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009

We spelen de advocaat van de duivel en proberen het te doen mislukken. Hier lukt het niet. We hebben dus continuïteit nodig op het interval [a,b]. Het open interval of het gesloten interval? f(b) f(a). a b Hier lukt het ook niet, dus interval nodig. Is de te vinden c noodzakelijk uniek? er is waarschijnlijk continuïteit op het gesloten De uniciteit is dus zeker niet waar. Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009

Kan er altijd een ander punt dan a of b gevonden worden? Waar is dat punt dan gelegen? Door verschillende voorbeelden te onderzoeken kan men vermoeden dat er steeds een punt tussen a en b te vinden is. Is het nodig dat f(a) < f(b) zoals in de probleemstelling? De leerlingen ontdekken snel dat f(b) < f(a) eveneens voldoet. Men komt tot een hypothese: Gegeven een functie f :[a,b] -> IR, continu op [a,b] met f(a)< f(b). Dan geldt γ ]f(a),f(b)[, c ]a, b[: f(c)=γ Op dit ogenblik begrijpen de leerlingen ten volle wat de stelling inhoudt. Meer zelfs, ze voelen aan waarom ze waar is. Ze begrijpen eveneens dat de voorwaarden geen luxevoorwaarden zijn; zonder die voorwaarden is de stelling niet waar, want er kunnen tegenvoorbeelden gevonden worden. Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009 18/41

5. Stelling van Pythagoras: A. Een verhaal van opbouw conjectuur met een klein beetje toveren. Startprobleem: We kennen een verband tussen de groottes van de hoeken van een driehoek is er ook een verband tussen de lengtes van de zijden van een driehoek? Of Stel 2 zijden van een driehoek zijn gekend. Ligt de derde zijde dan vast? We beginnen met eenvoudige driehoeken bv. gelijkbenige, en zien dat er geen verband kan zijn tussen de zijden; dit idee is trouwens uit te breiden naar andere driehoeken. Dus er is nood aan een extra beperking: één hoek vastleggen. We onderzoeken eerst enkele eenvoudige hoeken. Hoek = 0. We hebben geen driehoek. Het overblijvende lijnstuk heeft een lengte gelijk aan het verschil van de gegeven lengtes. Hoek= 180. We hebben opnieuw geen driehoek. Het derde lijnstuk heeft een lengte gelijk aan de som van de twee gegeven lengtes. Hoek =90 (willen we de zoektocht later uitbreiden dan komen we op de cosinusregel; we kondigenn dit al aan. We zullen dus zeker werken naar een algemene oplossing, op termijn). De bedoeling is om een didactische opbouw te plannen die zo geloofwaardig mogelijk is. Opdracht 1: De leerlingenn tekenen allemaal een rechthoekige driehoek. Zien ze een verband tussen de lengtes van de rechthoekzijden en de lengte van de schuine zijde? Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009

NEEN. Onmogelijk. De kans is groot dat de lengte een irrationaal getal is, dus niet exact te beschrijven. Het probleem is te moeilijk. Dit is een situatie die de leerkracht niet uit de weg moet gaan. Bij het oplossen van problemen is de realiteit zo dat er acties zijn die niet steeds tot een resultaat leiden. Een belangrijke problemsolving heuristiek is dan om over te gaan naar een eenvoudiger probleem. Opdracht 2: De leerlingenn onderzoeken de meest eenvoudige rechthoekige driehoek: een gelijkbenigee met lengte van de rechthoekzijden gelijk aan 1. Kunnen ze de lengte van de schuine zijde bepalen? METEN: onmogelijk om de associatie te leggen met. De figuur kan niet eenvoudiger; dus we moeten de methode over een andere boeg gooien. (= beslissing) Opdracht 3: We proberen de lengte van de schuine zijde op een andere (meetkundige) manier te betrekken bij deze driehoek. Wat kunnen we berekenen van de driehoek? We proberen de oppervlakte te berekenen. Opp =. Er verschijnt opnieuw geen a. Kan de oppervlakte van de driehoek berekend worden op basis van a? We tekenen hulplijnen en duiden aan wat we zeker weten in de meetkundige figuur.. ADC CAB (HHH) (*) B driehoek = hoogte van de 1 D a/2 Opp = = A 1 C We vinden dus dat a 2 =2 Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009

(*) Ook zonder kennis over gelijkvormigheid zien de lln dat de driehoek ADC gelijkbenig is en rechthoekig, want de basishoeken van de kleine driehoek zijn even groot. Op dit moment is het onmogelijk voor de leerlingen a 2 te zien als de som van de kwadraten van de rechthoekzijden. Opdracht 4: We onderzoeken nog meer gelijkbenige rechthoekige driehoeken. We zoeken naar een patroon. We kunnen steeds gebruik maken van dezelfde redenering. Lengte rechthoekzijde a 2 2 8 3 18 4 32 We begrijpen dat de methode in het algemeen kan gebruikt worden b 2b 2 We komen tot een eerste bevinding (**): In een gelijkbenige rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lengte van de schuine zijde tweemaal het kwadraat van de lengte van de rechthoekzijde. (**) Dit is wel degelijk een bevinding want een bewijs is gevonden voor elke gelijkbenige rechthoekige driehoek. Opdracht 5: Kunnen we van hieruit een gooi doen naar een eerste veralgemening voor een willekeurige rechthoekige driehoek? - Ligt het aan het feit dat de driehoek gelijkbenig is, eerder dan aan het feit dat hij rechthoekig is? - Heeft het kwadraat van de lengte van de schuine zijde iets te maken met het kwadraat van de lengtes van de rechthoekzijden? We kunnen de leerlingen opnieuw niet loslaten en vrij rechthoekige driehoeken laten onderzoeken, want de lengte van de schuine zijde van een willekeurige rechthoekige driehoek kan nog steeds niet exact bepaald worden door meting. We suggereren dus enkele voorbeelden die wel kunnen onderzocht worden: rechthoekzijden (3, 4) (6, 8) (5, 12) Aangezien de schuine zijde een natuurlijk getal is, kunnen ze het vermoeden checken. Daarna kunnen de leerlingen een willekeurig voorbeeld onder de loep nemen en verifiëren of hun vermoeden (bij benadering) ook hier geldt (ze begrijpen nu de beperkingen van de meetresultaten). Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009 21/41

De klas formuleert een hypothse: In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lengte van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekzijden. Gebruikte Porblem solving technieken: Heuristieken: - Analyse van het probleem in eenvoudige gevallen - Tekenen van hulplijnen - Markeren van alles wat je weet op de tekening - een eenvoudiger probleem oplossen - kan het resultaat veralgemeend worden? - Kan de methode veralgemeend worden? - Zoeken naar een patroon - Situaties inschatten en beslissingen nemen B. Opbouw van een bewijs Is de methode die we in het eenvoudige geval gehanteerd hebben te redden/te veralgemenen? Er zijn verschillende pistes. Piste 1 We loodsen de leerlingen naar een zeer verwante redenering, eerst voor het eenvoudige geval. Sleutelelement in het geval van gelijkbenige rechthoekige driehoeken is oppervlakteberekening. a 2 is de waarde waarrond alles draait. Is a 2 zelf ook een oppervlakte? Van welke figuur? Van een vierkant. B a Opdracht 1: Wat is het verband tussen de oppervlkate van het vierkant en de oppervlakte van de driehoek? De oppervlakte van het vierkant is 4 maal de oppervlakte van de driehoek. A C Opp = 4* opp a 2 = 4* 2 1 =2 Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009

Kan deze methode veralgemeend worden? Kan ik de rechthoekige driehoek 4 maal nemen en daarmee een vierkant opvullen? Opdracht 2: De leerlingen proberen 4 exemplaren van de rechthoekige driehoek zo te schikken dat er eenvoudige figuren ontstaan waarvan de oppervlakte kan berekend worden. We observeren de elementen in de tekening van de eenvoudige situatie en trachten die te kopiëren: - De vier hoekpunten samen brengen in één punt. - De vier schuine zijden van de vier driehoeken als zijden van een 4-hoek schikken - De vier schuine zijden van de vier driehoeken als zijden van een vierkant schikken - Er kunnen zo schikkingen voorgesteld worden waarmee we op een dood spoor geraken: De omhullende is wel een vierkant, maar van de overblijvende driehoeken is het moeilijk om de oppervlakte te berekenen. Een ruit is wel degelijk een eenvoudige figuur. De oppervlakte kan echter niet uitgedrukt worden uitsluitend in functie van de zijde, maar in functie van de diagonalen. Dit helpt ons niet. Dus we proberen het derde voorstel en maken een vierkant met als zijde de schuine zijde van de driehoek. Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009 23/41

Nu wordt het gewoon algebraïsch rekenwerk: a a 2 = 4* opp + opp b c-b => a 2 b.c 2 = 4* + (c b) = b 2 + c 2 2 Kritisch: -Is de omhullende wel degelijk een vierkant? - is het kleine vierhoekje wel degelijk een vierkant? Piste 2. We veralgemenen het bewijs van de eenvoudige situatie zo letterlijk mogelijk: We berekenen de oppervlakte van de driehoek op twee verschillende manieren. B x opp = = (1) c a-x = som van de oppervlaktes van de kleinere driehoeken A h b C = (2) Het probleem is herleid tot twee gelijkwaardige eenvoudigere problemen: - We zoeken naar een uitdrukking voor x Of - We zoeken naar een uitdrukking voor h. Hiervoor hebben we wel degelijk kennis nodig over gelijkvormige driehoeken. Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009

HHH gebruiken en we zien dat de twee kleinere driehoeken gelijkvormig zijn met de grote driehoek en ook onderling. We buiten de evenredigheid van de zijden uit. De rest is rekenwerk. Bepaling van x Bepaling van h en en We substitueren x en a-x in bovenstaande uitdrukking (2) voor de oppervlaktes van de kleinere driehoeken en vinden door de gelijkheid met. dat a 2 =b 2 +c 2.. en x. We krijgen een uitdrukking voor h onafhankelijk van x. Die uitdrukking substitueren we in (1) en we vinden opnieuw dat a 2 = b 2 + c 2. C. Kritische terugblik Kan de eenvoudige situatie nog korter, subtieler bewezen worden? Kan ik dit veralgemenen? We moeten niet via de omweg van oppervlaktes gaan. De gelijkvormigheid biedt onmiddellijk de uitkomst. Voor de gelijkbenige rechthoekige driehoek met zijde 1: => z2 =2 Voor de algemene rechthoekige driehoek: => c2 = a.x en b 2 = a. (a-x) => b 2 + c 2 = a 2 Andere pistes zijn mogelijk om tot even interessante bewijzen te komen. De enige voorwaarde is de geloofwaardigheid die men in de didactische opbouw aan de dag legt. Is het een logische denkoefening, zoals bij het oplossen van een probleem? Dan is het een waardevolle piste! Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009 25/41

C. Klassieke formulering We trachten niet te toveren om tot de klassieke voorstelling te komen, maar we vertrekken opnieuw vanuit een probleem. Opdracht: Tangram De leerlingen lossen een puzzel op: hoe kunnen ze hiermee de stelling van Pythagoras bewijzen? x 4 Door de stukken handig te schikken op het rode vierkant ontdekken ze dat de oppervlakte van het grote gele vierkant gelijk is aan de som van de oppervlaktes van de twee kleinere gele vierkanten. De leerkracht is dan eindelijk klaar om tot de klassieke formulering van de stelling te komen, inclusief de tekening van de rechthoekige driehoek waarbij op elke zijde een vierkant staat getekend. Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009 26/41

6. Omgekeerd redeneren Een handboek vermeldt volgende stelling met bewijs: Stelling: Als in een vierhoek twee overstaande zijden even lang zijn en evenwijdig, dan is de vierhoek een parallelogram. Bewijs: In onderstaande vierhoek ABCD met AD // BC en AD = BC trekken we de diagonaal [BD]. B 2 1 C A 1 2 D ABD CDB want AD = CB en Dˆ 1 = Bˆ 1 en BD = BD (ZHZ) Daaruit volgt Dˆ 2 = Bˆ 2. Dus dit zijn verwisselende binnenhoeken van AB en CD, gesneden door de rechte BD. Daaruit volgt dat AB // CD. De vierhoek heeft twee paar evenwijdige zijden en is dus een parallellogram. Dit bewijs is helemaal correct maar kan onmogelijk in deze volgorde aangebracht worden in de klas. Om het te ontdekken gebeurt alles in de omgekeerde volgorde! Stap 1: we moeten bewijzen dat de vierhoek een parallellogram is. Welk kenmerk gaan we gebruiken? Met lengtes? Met evenwijdigheid? Met hoeken? Met diagonalen? Een consequente keuze zou zijn met lengtes of met evenwijdigheid, aangezien de gegevens in deze taal zijn gegeven. We beslissen bijvoorbeeld om het te proberen met evenwijdigheid. Het te bewijzen wordt vervangen door een gelijkwaardig, maar eenvoudiger probleem: TB AB//CD. Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009

Stap 2: welke eigenschappen kennen we om te bewijzen dat twee rechten evenwijdig zijn? Een parallellogram herkennen (kunnen we nu niet gebruiken, want dat moeten we hier juist bewijzen) Verwisselbare binnenhoeken, indien we beschikken over een rechte die beide rechten snijdt;. We beslissen het tweede voorstel te gebruiken want de context is gunstig: de rechte BD snijdt de rechten AB en CD. We herleiden ons probleem tot een nieuw gelijkwaardig probleem: TB Dˆ 2 = Bˆ 2 We onderzoeken onze tekening en vullen de gegevens aan; er verschijnen driehoeken. Stap 3: In welke context kunnen we gelijkheid van hoeken of zijden gemakkelijk bewijzen? We zoeken naar congruente driehoeken (die keuze komt nu nogal vanzelfsprekend tovermoment). In welke driehoeken gaan we nadenken? Wat weten we over deze driehoeken? Waarom zijn ze congruent? Kunnen we dit gebruiken voor ond TB? En het bewijs is geleverd op basis van een probleemoplossende wijze. We kunnen het bewijs makkelijk structureren en onthouden op deze manier. We bewijzen dat de overstaande zijden evenwijdig zijn Door gebruik te maken van vewisselende binnenhoeken Strategie=gebruik van congruente driehoeken. Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009 28/41

7. Stijgende rijen die van boven begrensd zijn, zijn convergent. Uit een oud handboek: Opdracht: - Zoek een aantal redenen waarom bovenstaand bewijs geen neerslag is van een denkproces. - Formuleer een aanvaardbare vraag als probleemstelling, voorafgaand aan de stelling. - Wat kan er gedaan worden om het probleem en de stelling beter te begrijpen? Anne Schatteman Dag van de wiskunde 14/11/2009

1. Begrijpen van het probleem - Ken ik alle begrippen die voorkomen in de stelling? Ken ik de definities? De kenmerken? - Ken ik voorbeelden? Ken ik tegenvoorbeelden? - Zijn de voorwaarden essentieel? Als ik de voorwaarden afzwak, wat gebeurt er dan? - Kan ik een visuele voorstelling maken van de gegevens? - Rij / stijgende rij/ van boven begrensd / convergente rij - Convergente rij met ε-δ? Met omgevingen? - 1 1 2 n n - (2 n ) n is een stijgende rij de termen worden alsmaar groter - (sin n) n is een begrensde rij ze oscileert zo dat er geen limiet kan zijn 2. Opstellen van een plan. - Kan ik het te bewijzen herformuleren? - Analyseer voorbeelden om een hypothese te kunnen stellen. - Hoe vertaal ik die inzichten in wiskundetaal? - Kan ik de structuur van het bewijs voorspellen? Herken ik het type van bewering in de hypothese? - Ken ik theorie die hiermee verband houdt? Welke keuze ga ik maken? Welke helpt me technisch het meest voort? - Kan ik het te bewijzen herformuleren? - Kan ik hier een visuele voorstelling van maken? - Plan: ik werk de twee ongelijkheden uit. de limiet moet een bovengrens zijn, maar heel dichtbij de termen van de rij c=supa i Het is een existentiestelling -> 1. Kandidaat limiet 2. Goede kandidaat Def van limiet met ε n definitiee / met omgevingen? Met ε n kan ik het meest uitdrukking geven aan het begrip sup want < is de taal. TB ε > 0 n 0 IN : n n 0 : a n c < ε ε > 0 n IN : n n : c ε 0 0 ε < a n < c + ε Anne Schatteman Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/2009 30/41

3. Uitvoeren van een plan De twee ongelijkheden uitwerken Verklaren ahv eigenschappen of definities a n < c + ε c ε < a n eerste ongelijkheid altijd waar want alle termen < c, dus ook voor c+ε tweede ongelijkheid: waar vanaf een zekere index, want c is sup en de rij is stijgend dus ook voor alle volgende termen waar. 4. Terugblik - Heb ik alle gegevens gebruikt? Nodig gehad? - Wat is de structuur van de redenering? Kan ik een schema maken? - Wat is het minimum dat ik moet onthouden? - Is de stelling uitbreidbaar? Dalende rijen die van onderbegrensd zijn. (kan ik dezelfde methode gebruiken?) Anne Schatteman Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/2009 31/41

Structuur van het bewijs: 1. Kandidaat limiet Stel lim a n = supa i =c n >+ Kritische vragen Bestaat het supremum altijd? 2. Het is een goede kandidaat TB c= lim a n n >+ Def met ε n gebruiken twee ongelijkheden verklaren: - gebruik gegevens: bovengrens / sup / stijdende rij Kan ik me dat grafisch voorstellen? Welke kenmerken van sup komen in aanmerking (Kleinste bovengrens of kleiner is geen bovengrens meer? Anne Schatteman Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/2009 32/41

8. Is er nood aan een bewijs? A. Patroonherkenning is verschillend van een bewijs! Voorbeeld 1: n IN: n 2 +n+41 is een priemgetal De leerlingen kunnen verschillende voorbeelden onderzoeken en vaststellen dat het bijna altijd zo is,. behalve bij n= 40, n= 41 begint het mis te lopen. Kunnen we hen overtuigen om de bewering aan te nemen na enkele voorbeelden? Waarschijnlijk ten onrechte wel. Voorbeeld 2: Plaats n punten (n>0) op een cirkel op een zodanige manier dat geen drie diagonalen door een zelfde punt gaan. In hoeveel domeinen wordt de cirkel verdeeld door de diagonalen. De leerlingen ontdekken vrij snel een patroon: n Aantal domeinen 1 1 2 2 3 4 4 8 5 16 6 Ze ontedekken telkens 2 n-1 domeinen en verwachten dus bij n=6, 32 domeinen; jammer het zijn er maar.31. Kunnen we hen na enkele stappen overtuigen dat ze niet verder moeten gaan. Waarschijnlijk ten onrechte wel. Voorbeeld 3: Zoek een algemene uitdrukking voor de som 1 1 1 + +... + 1. 2 2. 3 n( n + 1) De leerlingen ontdekken snel een patroon: n n+1 Het patroon is zo sterk dat men moeilijk kan geloven dat het ergens misloopt. Dat gebeurt ook niet. We kunnen de leerlingen vragen tot waar we moeten Anne Schatteman Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/2009 33/41

gaan om zeker te zijn. Reken maar dat ze zeggen dat tot 100 gaan al overdriven is. Maar zijn we zeker, zolang er geen bewijs is? B. Pseudobewijzen Voorbeeld 1: a, b IN 0 : kgv(a,b)= a. b ggd(a,b) Hoe kunnen we begrijpen wat hier staat en waarom het waar is? We bestuderen een voorbeeld: Stel a=12 en b=18 a=2 2.3 en b= 2.3 2 => a. b = 2. (2.3). (2.3).3 Met 2.3 kunnen we dus zowel a realiseren als b. 2. (2.3).3 levert dus reeds een veelvoud van a op en eveneens een veelvoud van b, dus een gemeenschappelijk veelvoud. (2.3) wegdelen uit het product is het maximum dat we kunnen doen, anders maken we geen gemeenschappelijk veelvoud meer. Stel we willen het bewijs formeel opschrijven, dan is dit een lang, abstract geformuleerd bewijs, maar in se komt er geen enkel extra inzicht in voor, dat niet in het uitgeschreven voorbeeld begrepen is. Wat kan dat bewijs onze leerlingen dan extra leren? Weinig! Voorbeeld 2: n IN 0 : 1 +.. + n = n(n+1) 2 Beelddenkers vergeten deze relatie nooit en begrijpen het waarom ervan omdat ze als volgt hebben mogen redeneren: Anne Schatteman Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/2009 34/41

Ze begrijpen onmiddellijk dat dit idee veralgemeenbaar is. Het is geen formeel bewijs, maar het bezorgt inzicht in de zaak, en het heeft een sterke overtuigingskracht. Voorbeeld 3: Een natuurlijk getal verschillend van 0 is deelbaar door 9 als de som van de cijfers een veelvoud is van 9. We begrijpen op een voorbeeld waarom dit waar is: 1764 = 1000 + 700 + 60 + 4 = (1+999) + 7.(1+99) + 6.(1+9) + 4 = (999 +7.99 + 6.9) + (1 + 7 + 6 + 4) Is een veelvoud van 9 Een abstract bewijs levert niet meer inzicht in de zaak, maar is gewoon een abstracte vertaling van deze basisgedachte. Anne Schatteman Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/2009

9. De rol van kenmerken van begrippen Voorbeeld 1 afleidbaarheid versus continuïteit (consequente keuze/ strategische keuze): 1. f : IR -> IR, a domf f afleidbaar in a f continu in a MET LIMIETEN Met bollen Met omgevingen Met ε δ MET LIMIETEN 2. f cont in a en g cont in f(a) gof cont in a met omgevingen (strategische keuze) 3. f cont in a en g cont in a f + g cont in a 4. met limf(x) = f(a) x >a ε δ f cont in a consequentee keuze maken Voorbeeld 2: Middenparallel van een driehoek (herhaaldelijk strategische keuzes) (strategische keuze) Als in een driehoek ABC,, M het midden is van [AB] en N van [AC], dan geldt - MN//BC - MN = BC 2 Anne Schatteman Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/2009

Bewijs: 1. Analyse van het probleem/opstellen van een plan hulplijnen tekenen MN = BC 2 geeft aan dat het lijnstuk [MN] de helft is van een Opmerkingen BC = 2 MN roept helemaal niet dezelfde actie op. lijnstuk met lengte van [BC]. Dus we verlengen het eerste. Probleem herleiden tot een evenwaardig probleem We moeten bewijzen dat MPBC een parallelogram is. Welke theorie ken ik die hier van toepassing is? Ontdek ik in de figuur eigenschappen die ik kan toepassen? Wat weet ik over parallellogrammen? Als er nog niets ontdekt wordt, nieuwe hulplijnen toevoegen: De leerlingen kennen verschillende kenmerken van parallelogrammen: - overstaande zijden evenwijdig - overstaande zijden even lang - overstaande hoeken even groot - diagonalen snijden elkaar middendoor Anne Schatteman Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/2009

- één paar overstaande zijden even lang en evenwijdig -. Er verschijnen nieuwe figuren: APMC is een parallelogram want de diagonalen snijden elkaar middendoor. En de voorgaande heuristieken worden opnieuw doorlopen.. - zijn er nieuwe aspecten die ik kan toevoegen? - Welke theorie kan ik gebruiken? -.. 2. Uitvoeren van het plan PC = AM PC = MB AM = MB MPBC is een parallellogram PC//AM AM =MB PC//MB 3. Reflectie op het oplossingsproces Wat was moeilijk: - goede hulplijnen vinden - verschillende kenmerken van de parallelogram door elkaar gebruiken (drie!) Hoe kwamen we op het idee om met parallellogrammen te werken? Waar zat dat in verborgen? Zijn er nog andere oplossingsmethoden die mogelijk zijn? Anne Schatteman Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/2009

Betere? Kunnen we het idee van gebruik niet beter benutten? van parallellogrammen Bovenstaande tekening kan opnieuw geanalyseerd worden. - markeringen aanbrengen rond alles wat we weten uit de gegevens. - Eigenschappen/ kenmerken van parallollogrammen gebruiken - Anne Schatteman Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/2009

10. Heuristieken in Problem Solving 1. Begrijpen van het probleem Wat is gegeven? Wat is gevraagd? Wat zijn de voorwaarden? Is de voorwaarde voldoende? Of niet? Kunnen de voorwaarden gerealiseerd worden? Maak een tekening. Voer aangepaste notaties in. Voer hulplijnen toe. 2. Opstellen van een plan Herinner je je een gelijkaardig probleem? Wat deed je toen? Ken je een probleem dat ermee verband houdt? Ken je een eigenschap die nuttig zou zijn? Kijk naar het gevraagde! Is er een vertrouwd probleem met hetzelfde / vergelijkbaar gevraagde? Kan je de methode gebruiken? Het resultaat? Kan je het probleem herformuleren? Ga terug naar de definities. Tracht een eenvoudiger probleem op te lossen? Een algemener? Een deelprobleem? Laat enkele voorwaarden vallen Werden alle gegevens gebruikt? 3. Uitvoeren van het plan 4. Reflectie Analyseer elke stap. Kan je elke stap verklaren? Welke vragen ga je jezelf stellen? Onderzoek het resultaat/ de methode die je gevonden hebt/ de argumentering die gebruikt is. Zijn er fouten gemaakt? Is het algemeen toepasbaar, voor elke situatie? Kan het resultaat op een andere manier gevonden worden? Is het misschien niet zo moeilijk als je dacht? Kan het uitgebreid worden in een ander probleem? Is er iets dat verder kan onderzocht worden? Anne Schatteman Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/2009 40/41

11. Bibliografie - Burger E. B.; Extending the frontiers of Mathematics; inquiries into proof and argumentation; Key College Publishing; 2007 - Epp S. S.; The role of Proof in Problem Solving. In: Schoenfeld A. H. (Red.): Mathematical thinking and problem solving; Hillsdale (N.J.) : Erlbaum, 1994 - Kesselaers G., Roels J., Van Leemput G.; De stelling van Pythagoras en een geïntegreerde aanpak in het derde jaar; Uitwiskeling 15, 2, Onder de loep. - Lakatos I.; Proofs and refutations; The logic of Mathematical discovery; Cambridge University Press; 1976 - Polya G., How to Solve It, 2nd ed., Princeton University Press, 1957 - Schoenfeld A.H.; Mathematical problem solving; Academic Press; 1985 - Styianides G.J.; Stylianides A.J.; Making proof central to prehighschool mathematics is an appropriate instructional goal :provable, refutable, or ubdecidable proposition?; 2006; Novotnà,J. and others (Eds.) Proceedings 30 th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 5, pp. 209-216. Prague: PME. Anne Schatteman Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/2009 41/41