Studentnaam: Studentnummer: Voorblad bij tentamen (in te vullen door de examinator) Vaknaam:Biostatistiek & Lineaire Algebra Vakcode: DM80 Datum: 14-4-015 Begintijd:13.30 Eindtijd: 16.30 Aantal pagina s:3 voor Lineaire Algebra, 6 voor Statistiek (excl. voorblad) Aantal vragen: 6 voor Lineaire Algebra (10 onderdelen), 3 voor Statistiek (10 onderdelen) Aantal te behalen punten/normering per vraag: Totaal 100 punten: 5 punten per onderdeel Wijze van vaststellen eindcijfer: DM81: totaalscore gedeeld door 10, afgerond op 1 decimaal Dit cijfer bepaalt voor 70% het eindcijfer van DM80 Wijze van beantwoording vragen: formulering, ordening, onderbouwing, multiple choice: De uitwerkingen van de opgaven dienen gemotiveerd, duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. In het bijzonder dienen bij statistische toetsen expliciet de volgende details vermeld te worden: hypothesen, toetsingsgrootheden, relevante steekproefverdelingen en steekproefresultaten. Overige opmerkingen: Indien niet anders gespecificeerd geldt: toets met een onbetrouwbaarheid van 5%. Betrouwbaarheidsintervallen 95%. Aan het eind van deze toets zijn bijlagen met uitvoer van R & R Commander en een aantal kanstabellen toegevoegd. Antwoorden Lineaire Algebra & Statistiek Gescheiden Inleveren! Instructies voor studenten en surveillanten Toegestane hulpmiddelen (mee te nemen door student): x (Standaard) zakrekenmachine Let op: toiletbezoek is alleen onder begeleiding toegestaan binnen 15 minuten na aanvang en 15 minuten voor het einde mag de tentamenruimte niet worden verlaten, tenzij anders aangegeven er dient altijd tentamenwerk (volledig ingevuld tentamenpapier: naam, studentnummer e.d.) te worden ingeleverd tijdens het tentamen dienen de huisregels in acht te worden genomen aanwijzingen van examinatoren en surveillanten dienen opgevolgd te worden etui ligt niet op tafel onderling worden geen hulpmiddelen geleend/uitgewisseld Tijdens het maken van schriftelijke tentamens wordt onder (poging tot) fraude in ieder geval verstaan: gebruik van andermans ID-bewijs/campuskaart mobiele telefoon of enige andere media dragende devices liggen op tafel of zijn opgeborgen in de kleding (poging tot) gebruik van ongeoorloofde bronnen en hulpmiddelen, zoals internet, mobiele telefoon e.d. het gebruik van een clicker die niet je eigen clicker is ander papier voor handen hebben dan door de TU/e is verstrekt, tenzij anders aangegeven toiletbezoek (of naar buiten lopen) zonder toestemming of begeleiding Behorende bij Regeling centrale tentamenafname TU/e
Faculteit der Wiskunde en Informatica DM81: Eindtoets Biostatistiek & Lineaire Algebra, op dinsdag 14 April 015, 13.30-16.30 LINEAIRE ALGEBRA GEDEELTE Antwoorden Lineaire Algebra & Statistiek Gescheiden Inleveren! Opgave LA1: (5 punten) Beschouw het stelsel lineaire vergelijkingen: 3 x 4 x x b 6 x 5 x x b 3 x 5 x 4 x b 1 3 1 1 3 1 3 3 Bepaal de conditie(s) waaraan b 1, b, b 3 moeten voldoen opdat dit stelsel lineaire vergelijkingen consistent is. Opgave LA: (10 = 5+5 punten) Beschouw de matrixvergelijking Ax=b, waarbij voor de coëfficiëntenmatrix A de volgende LU-decompositie gegeven is: 1 0 0 4 1 A L U 3 1 0 0 5 en b 1 1 0 0 1 10 a. Los met behulp van deze LU-decompositie (!!) de matrixvergelijking Ax=b op. Beargumenteer welke stappen je maakt. b. Bereken de inverse matrices L -1 en U -1. Laat tussenstappen van je berekeningen zien. Geef aan hoe de inverse matrix A -1 samenhangt met deze inversen, L -1 en U -1. Opmerking: Expliciete berekening van de inverse A -1 is niet nodig! vervolg opgaven LA DM81: 14-4-015 1
Opgave LA3: (5 punten) Beschouw het volgende stelsel vergelijkingen dat afhangt van een parameter : x1 4 x 3 6 x1 3 x Bepaal de waarde(n) van de parameter waarvoor dit stelsel vergelijkingen precies één oplossing heeft en bereken voor die gevallen met behulp van de regel van Cramer de oplossing van x. Opgave LA4: (10 = 5 + 5 punten) Geef in elk van de volgende gevallen aan of de uitspraak waar is of niet. Beargumenteer je antwoord! a. Beschouw een lineaire afbeelding T: R 3 R 4, gedefinieerd als T(x)=Ax, met matrix A: 0 8 4 A 1 0 0 4 4 Deze afbeelding T is surjectief (onto). b. Beschouw de lineaire afbeelding T: R R die vectoren x over een hoek van 90 o roteert, met de wijzers 0 1 van de klok mee. De bijbehorende standaardmatrix van deze afbeelding is: A 1 0 Opgave LA5: (10 = 5 + 5 punten) Beschouw de matrix: 1 0 0 0 1 0 4 1 A. a. Diagonaliseer de matrix A, dat wil zeggen, bepaal een inverteerbare matrix P en een diagonaalmatrix D, zo dat A=PDP -1. b. Bereken op een efficiënte wijze A 5, de 5 e macht van deze matrix A. Beargumenteer welke stappen je maakt. Hint: gebruik de opsplitsing uit onderdeel a! vervolg opgaven LA DM81: 14-4-015
Opgave LA6: (10 = 5 + 5 punten) Beschouw een vector: 11 9 x, 1 1 3 4 en een lineaire deelruimte W, opgespannen door de twee vectoren: u1 en u. a. Bepaal de lengte van de vectoren u 1, u. Zijn de vectoren {u 1, u } orthogonaal? b. Schrijf de vector x als som van twee vectoren: x = y + z, met y W en z W, het orthogonaal complement van W. DM81: 14-4-015 3
Faculteit der Wiskunde en Informatica DM81: Eindtoets Biostatistiek & Lineaire Algebra, op dinsdag 14 april 015, 13.30-16.30 STATISTIEK GEDEELTE Antwoorden Lineaire Algebra & Statistiek Gescheiden Inleveren! Opgave ST1: (4 x 5 = 0 punten) (Bij deze opgave is gebruik van resultaten uit bijlage 1 noodzakelijk) Het effectieve longvolume van een proefpersoon kan op twee verschillende manieren bepaald worden: "Manier A" en "Manier B". Om na te gaan in hoe verre beide manieren vergelijkbare resultaten opleveren voert men een experiment uit waarbij voor een aantal proefpersonen het effectieve longvolume telkens op beide manieren bepaald is. Resultaten zijn opgeslagen in de variabelen "Manier A" en "Manier B", terwijl per proefpersoon ook de verschilscore bepaald is, "Verschil AB". Deze gegevens zijn statistisch geanalyseerd, de resultaten opgenomen in bijlage 1. Hiervan kan bij het beantwoorden van de volgende vragen gebruik gemaakt worden! a. Beargumenteer dat hier sprake is van een experiment met gepaarde data. Geef voor- en nadelen van zo n gepaarde opzet ten opzichte van een experiment met onafhankelijke waarnemingen. b. Voer een Exploratieve Data Analyse uit op de verschilscores "Verschil AB". Vermeld relevante kentallen, beschrijf opvallende zaken en bespreek in hoeverre er sprake is van een symmetrische verdeling danwel van een Normale verdeling van de resultaten. c. Voer een parametrische t-toets uit om te bepalen of er een significant verschil is in de resultaten van beide manieren van bepalen van het effectieve longvolume. Vermeld duidelijk details, p- waarde en conclusie van de toets. d. Voer een niet-parametrische toets uit om te bepalen of er een significant verschil is in de resultaten van beide manieren van bepalen van het effectieve longvolume. Omschrijf naam en principe van de gebruikte toets en vermeld duidelijk details, p-waarde en conclusie van de toets. DM81 1 14-4-015
Opgave ST: (4 x 5 = 0 punten) (Bij deze opgave is gebruik van resultaten uit de bijlagen a en b noodzakelijk) Kan het geboortegewicht van kinderen voorspeld worden op basis van het estriol gehalte van de moeder tijdens de zwangerschap? Om dit te onderzoeken bepaalt men bij een aantal vrouwen het estriol gehalte in de 30e week van de zwangerschap alsmede het geboortegewicht van haar kind. De gemeten waarden, opgeslagen in de variabelen "Estriol" en "Gewicht", zijn statistisch geanalyseerd, de eerste resultaten opgenomen in bijlage a. a. Voer een Exploratieve Data Analyse uit op deze data. Geef aan of in dit geval een eerste orde lineair model geschikt lijkt om de resultaten van het onderzoek te beschrijven en geef de vergelijking van de bijbehorende regressielijn die het geboortegewicht van kinderen als functie van het estriol gehalte van de moeder beschrijft. b. Voer een toets uit om te bepalen of het estriol gehalte een significante voorspeller is voor het geboortegewicht van kinderen. Vermeld duidelijk details, p-waarde en conclusie van de toets. c. Welke modelaannamen gelden voor het eerste orde lineaire model? Beargumenteer op basis van de residuen of aan deze modelaannames voldaan lijkt te zijn. Tijdens het onderzoek is ook het progesteron gehalte van de moeder bepaald. Deze gegevens zijn opgeslagen in een variabele "Progest". Om na te gaan of voorspelling van het geboortegewicht van kinderen verbetert door de informatie over dit progesteron gehalte in het model mee te nemen zijn, in aanvulling op het eerder beschreven enkelvoudige lineair model, ook twee meervoudige lineaire modellen gefit, LinearModel. en LinearModel.3. Resultaten hiervan staan vermeld in bijlage b. d. Welk van de gefitte modellen, zoals beschreven in de bijlagen a en b, verdient de voorkeur voor het voorspellen van het geboortegewicht van kinderen. Beargumenteer je keuze en geef expliciet de gevonden vergelijking van het model van je voorkeur! Opgave ST3: ( x 5 = 10 punten) a. Leg uit welke rol het significantie nivo,, en de p-waarde, p, spelen bij een statistische toets. Beschrijf hoe deze waarden onderling samenhangen en beargumenteer welke conclusie je kunt trekken in een situatie waarbij p>. b. Omschrijf, voor een situatie met twee voorspellers, x 1 en x, en één afhankelijke variabele, y, het gedrag van de volgende drie mogelijke regressiemodellen: een eerste orde lineair model, een eerste orde lineair model met interactie, een tweede orde kwadratisch model. Geef in elk van deze gevallen de regressieformule en licht je antwoord toe met relevante schetsen! DM81 14-4-015
Boxplot {Manier A, Manier B} Bijlage 1: Opgave ST1 Boxplot Verschil AB Volume 65 70 75 80 Verschil.AB -4-3 - -1 0 1 Manier.A Manier.B Manier Quantile comparison plot Manier A Quantile comparison plot Manier B Quantile comparison plot Verschil AB Manier.A 65 70 75-1.5-1.0-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 norm quantiles Manier.B 65 70 75 80-1.5-1.0-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 norm quantiles Verschil.AB -4-3 - -1 0 1-1.5-1.0-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 > numsummary(exercise1[,c("manier.a", "Manier.B", "Verschil.AB")], statistics=c("mean", "sd", "se(mean)", "IQR", "quantiles"), quantiles=c(0,.5,.5,.75,1)) norm quantiles mean sd se(mean) IQR 0% 5% 50% 75% 100% n Manier.A 70 5.055910 1.5988190 4.900 63.6 66.850 70.00 71.75 79. 10 Manier.B 7 5.618818 1.776861 8.150 65.1 66.850 7.80 75.00 83.4 10 Verschil.AB -.40040 0.708367 3.55-4.3-3.875 -.85-0.35 1.4 10 > with(exercise1, (t.test(manier.a, Manier.B, alternative='two.sided', + conf.level=.95))) Welch Two Sample t-test data: Manier.A and Manier.B t = -0.8367, df = 17.803, p-value = 0.4138 > with(exercise1, (t.test(manier.a, Manier.B, alternative='two.sided', + conf.level=.95, paired=true))) Paired t-test data: Manier.A and Manier.B t = -.834, df = 9, p-value = 0.01994 > var.test(volume ~ Manier, alternative='two.sided', conf.level=.95, data=exercise1l) data: Volume by Manier F = 0.8097, num df = 9, denom df = 9, p-value = 0.7583 > with(exercise1, wilcox.test(manier.a, > with(exercise1, wilcox.test(manier.a, Manier.B, alternative='two.sided', Manier.B, alternative='two.sided')) paired=true)) Wilcoxon signed rank test with continuity correction data: Manier.A and Manier.B V = 4, p-value = 0.0305 Wilcoxon rank sum test with continuity correction data: Manier.A and Manier.B W = 40, p-value = 0.4707 DM81 3 14-4-015
Bijlage a: Opgave ST > numsummary(exercise[,c("estriol", "Gewicht")], statistics=c("mean", "sd", "se(mean)", + "IQR", "quantiles"), quantiles=c(0,.5,.5,.75,1)) mean sd se(mean) IQR 0% 5% 50% 75% 100% n Estriol 3.79088 1.50451 0.50150.113 1.374.884 4.0659 4.9497 5.6569 9 Gewicht 3.5694 1.1369 0.37456 1.439 1.3416 3.0187 3.837 4.4516 4.6957 9 x-axis: Estriol, y-axis: Gewicht > cor(exercise[,c("estriol","gewicht")]) Gewicht 1.5.0.5 3.0 3.5 4.0 4.5 1 Estriol Gewicht Estriol 1.0000000 0.7494017 Gewicht 0.7494017 1.0000000 > Anova(RegModel.1, type="ii") Anova Table (Type II tests) Response: Gewicht 3 4 5 Estriol Sum Sq Df F value Pr(>F) Estriol 5.679 1 8.9673 0.001 * Residuals 4.484 7 > RegModel.1 <- lm(gewicht~estriol, data=exercise) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) 1.4051 0.7565 1.857 0.1056 Estriol 0.5597 0.1869.995 0.001 Residual standard error: 0.7954 on 7 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.5616, Adjusted R-squared: 0.499 F-statistic: 8.967 on 1 and 7 DF, p-value: 0.001 Residual vs. Fitted: Scale - Location: qqplot(regmodel.1) Residuals -1.5-0.5 0.5 1.0 1 Residuals vs Fitted 5 Standardized residuals 0.0 0.4 0.8 1. 1 Scale-Location 5 Studentized Residuals(RegModel.1) - -1 0 1.0.5 3.0 3.5 4.0 4.5.0.5 3.0 3.5 4.0 4.5-1.5-1.0-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 t Quantiles Bijlage b DM81 4 14-4-015
Bijlage b: Opgave ST d > LinearModel. <- lm(gewicht ~ Estriol +Progest, data=exercise) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) -68.5444 0.7983-3.96 0.01650 Estriol 0.5371 0.1190 4.513 0.00405 Progest 7.594.569 3.364 0.01515 Residual standard error: 0.5057 on 6 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.8481, Adjusted R-squared: 0.7975 F-statistic: 16.75 on and 6 DF, p-value: 0.003504 Residual vs. Fitted: Scale - Location: qqplot(linearmodel.) Residuals -0.5 0.0 0.5 1 Residuals vs Fitted 8 Standardized residuals 0.0 0.4 0.8 1. 1 Scale-Location 8 Studentized Residuals(LinearModel.) -1 0 1 3.0.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0.0.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0-1.5-1.0-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 t Quantiles > LinearModel.3 <- lm(gewicht ~ Estriol * Progest, data=exercise) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) -44.910 33.911-7. 0.000794 Estriol 47.4666 8.718 5.445 0.00838 Progest 6.7464 3.685 7.63 0.000773 Estriol:Progest -5.0955 0.9466-5.383 0.00983 Residual standard error: 0.15 on 5 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9776, Adjusted R-squared: 0.964 F-statistic: 7.9 on 3 and 5 DF, p-value: 0.000151 Residual vs. Fitted: Scale - Location: qqplot(linearmodel.3) Residuals -0.4-0. 0.0 0. Residuals vs Fitted 8 9 7 Standardized residuals 0.0 0.4 0.8 1. Scale-Location 7 8 9 Studentized Residuals(LinearModel.3) -3 - -1 0 1 1.5.0.5 3.0 3.5 4.0 4.5 1.5.0.5 3.0 3.5 4.0 4.5 - -1 0 1 t Quantiles DM81 5 14-4-015
Tabel Standard normal distribution Tabel Student t-verdeling DM81 6 14-4-015