2 Vergelijkingen Verkennen Meetkunde Vergelijkingen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg Meetkunde Vergelijkingen Uitleg Opgave Bestudeer de Uitleg, pagina. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + y = 5 Opgave 2 Laat zien dat bij de lijn door A(,2) en B(4,) de vergelijking x + y = 7 past. Welke richtingscoëfficiënt heeft deze lijn? En wat betekent dit getal? Opgave Laat zien dat de lijn door A(,2) en C(,4) niet de vorm y = ax + b kan hebben. Opgave 4 Laat zien dat bij de lijn door A(,2) en C(,4) de vergelijking x = past. Opgave 5 Bestudeer de Uitleg, pagina 2. a) Controleer dat de punten (,), (4,0), (7,) en (4,6) inderdaad voldoen aan de gevonden formule voor de cirkel. b) Hoe kun je nagaan of het punt (6 2,) binnen of buiten de cirkel ligt? Opgave 6 Stel een formule op bij een cirkel om O(0,0) en straal 5. Theorie en Voorbeelden Meetkunde Vergelijkingen Theorie Bekijk eerst de Theorie. Bekijk vervolgens de Voorbeelden, de volgende opgaven gaan daarover. STICHTING MATH4ALL 29 SEP 2008
Opgave 7 Bekijk Voorbeeld. Maak met de applet de lijn l die gaat door de punten P( 2,) en Q(4,6). Stel een bijpassende vergelijking op. Bepaal ook de richtingscoëfficiënt van l en de snijpunten met de assen. Opgave 8 Teken in een cartesisch assenstelsel Oxy de lijn met vergelijking x + 4y = 2 en bereken de richtingscoëfficiënt (het hellingsgetal) van deze lijn. Opgave 9 Stel een vergelijking op de van lijn door R( 22, 5) en S(2,25). Hoe zit het nu met de richtingscoëfficiënt en de snijpunten met de assen? Opgave 0 Bekijk de algemene vergelijking van een lijn l: ax + by = c. a) Hoe loopt deze lijn als a = 0? b) Hoe loopt deze lijn als b = 0? Welke richtingscoëfficiënt hoort daar bij? c) Welke richtingscoëfficiënt heeft l als a = b? d) Wat is er met l aan de hand als c = 0? Opgave Teken de volgende lijnen in een Oxy-assenstelsel en bereken (indien mogelijk) de richtingscoëfficiënt van de lijn: a) 6x 2y = b) 2x = 7 c) 5 2y = x d) 2(x + 2y) = 5 e) y = 5 Opgave 2 Waarom beschrijven de vergelijkingen 2x + 4y = 2 en x + 2y = 6 en y = 2 x + dezelfde lijn? Opgave Stel een vergelijking op van de lijn door T(8, 5) met richtingscoëfficiënt 2. Bereken de snijpunten van deze lijn met beide assen. Opgave 4 Stel een vergelijking op van de lijn door P(0,5) en evenwijdig aan de lijn l met vergelijking 4x + 7y = 28. Opgave 5 Bekijk Voorbeeld 2. Maak met de applet de cirkel met vergelijking (x ) 2 + (y + 2) 2 =. Bepaal middelpunt en straal van deze cirkel. Kun je een manier verzinnen om roosterpunten op deze cirkel te vinden? Opgave 6 Stel een vergelijking op van de cirkel c met middelpunt M(,4) en straal 5. STICHTING MATH4ALL 29 SEP 2008 2
Bepaal alle roosterpunten op deze cirkel. Opgave 7 Stel een vergelijking op van de cirkel c met middelpunt M(,2) die gaat door punt P(,). Laat zien dat deze cirkel ook door O(0,0) gaat. Practicum www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5 HAVO wi-d Analytische Meetkunde Lijnen GeoGebra II Maak in GeoGebra de figuur van Voorbeeld en Voorbeeld 2 na. Door met de rechtermuisknop op de (kromme) lijn te klikken kun je de vergelijking laten zien. Je ziet in het practicum hoe je ook zelf vergelijkingen kunt invoeren. Dat kun je bij de volgende opgaven goed gebruiken. Bedenk wel dat je de berekeningen ook met de hand moet kunnen uitvoeren. Verwerken Opgave 8 In een cartesisch assenstelsel Oxy zijn gegeven de punten A(2,0), B(7,) en C(0,5). (Maak eventueel een tekening in GeoGebra.) a) Stel een vergelijking op van de lijn l door A en B. b) Stel een vergelijking op van de lijn door C die evenwijdig is aan l. c) Stel een vergelijking op van de cirkel door C met middelpunt A. d) Stel een vergelijking op van de cirkel door B en C waarvan het middelpunt op de lijn BC ligt. Onderzoek of deze cirkel ook door A gaat. Opgave 9 Spiegelen Gegeven is de lijn l met vergelijking x 2y = 6. a) Bepaal de vergelijking van de lijn die ontstaat door l te spiegelen in de x-as. b) Bepaal de vergelijking van de lijn die ontstaat door l te spiegelen in de y-as. c) Bepaal de vergelijking van de lijn die ontstaat door l te spiegelen in y = x. Opgave 20 Gegeven zijn in een cartesisch assenstelsel Oxy de punten P(0,4) en Q(4,0). a) Welk middelpunt heeft de cirkel die door O, P en Q gaat? b) Stel een vergelijking van deze cirkel op. Opgave 2 Thales (omgekeerd) Door de drie hoekpunten van een rechthoekige driehoek kun je altijd een cirkel tekenen waarvan het middelpunt op de schuine zijde ligt. Eén der eersten die dit opmerkte is Thales van Milete (omstreeks 600 v.chr.). a) Kun je met behulp van eenvoudige meetkunde laten zien dat dit voor elke rechthoekige driehoek geldt? b) Neem een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van a cm en b cm. Kies een cartesisch assenstelsel Oxy zo, dat O het hoekpunt met de rechte STICHTING MATH4ALL 29 SEP 2008
hoek is en de rechthoekszijden langs de assen liggen. Toon nu aan dat deze rechthoekige driehoek de genoemde eigenschap heeft. Opgave 22 Vergelijking parabool Een manier om een parabool te tekenen kun je zien bij Totaalbeeld Toepassingen: Parabool. De parabool bestaat uit punten P(x,y) die een gelijke afstand hebben tot het gegeven punt F(0,2) en de x-as. De afstand tot de x-as is de y-waarde van P en de afstand tot F kun berekenen met de afstandsformule uit par.. a) Laat zien dat de parabool kan worden beschreven door 4y = x 2 + 4. b) Schrijf je de vergelijking van de parabool in de vorm y = dan kun je hem in je grafische rekenmachine invoeren. Ga na, dat je dezelfde figuur krijgt als in de applet. c) Welke vergelijking hoort bij een parabool waarvan alle punten gelijke afstand hebben tot brandpunt B(2,0) en de y-as? Opgave 2 Krommen in GeoGebra Je kunt in GeoGebra figuren tekenen, het programma geeft de bijbehorende vergelijkingen. Je kunt er ook (kwadratische) vergelijkingen invoeren, het programma geeft dan de bijbehorende kromme of rechte. Probeer bij de volgende vergelijkingen vooraf te bedenken welke kromme of rechte er zal ontstaan. Probeer ook achteraf te verklaren waarom die kromme of rechte ontstaat. a) 2(x + y) = 5 b) 6 2x = 0 c) x 2 + y 2 = 0 d) x 2 y 2 = 0 e) (x )(y 5) = 0 f) 4x = y 2 g) (x 2y) 2 = 9 h) xy = 2 Testen Opgave 24 De lijn l gaat door A( 0,45) en B(5, 5). a) Stel een vergelijking op van l. b) Bereken de richtingscoëfficiënt van deze lijn en de snijpunten met de assen. c) Stel een vergelijking op van de lijn door P(,2) die evenwijdig is met l. d) Stel een vergelijking op van de lijn die ontstaat door l te spiegelen in de x- as. e) Stel een vergelijking op van de lijn die ontstaat door l te spiegelen in y = x. Opgave 25 De lijn met vergelijking 2x + y = 6 heeft twee snijpunten met de assen, de punten A en B. Er is een cirkel door deze twee punten waarvan het middelpunt het midden van lijnstuk AB is. Stel een vergelijking van deze cirkel op. STICHTING MATH4ALL 29 SEP 2008 4
Antwoorden. - 2. r.c.=, bij elke toename van x met neemt y toe met. - 4. - 5a) punten invullen in vergelijking b) afstand tot M groter of kleiner dan straal cirkel 6. x 2 + y 2 = 25 7. x 2y = 8 r.c.= 2, (0,4), (-8,0) 8. r.c. = 0,75 9. 0x 7y = 65 r.c.= 0 7, (0, 4 7 ), ( 2,0 6 ) 0a) horizontaal, r.c. = 0 b) verticaal, geen r.c. c) r.c. = d) lijn door oorsprong O(0,0) a) r.c.= b) geen r.c. c) r.c.= d) r.c.= 2 2 e) r.c.=0 2. -. y = 2x + 44, (0,44), ( 6,0 ) 4. 4x + 7y = 5 5. middelpunt (, 2), straal Hint: = 4 + 9 = + 2 6. (x ) 2 + (y 4) 2 = 25 (8,4), ( 2,4), (,9), (, ), (7,7), (6,8), (,7), (0,8), (7,), (6,0), (,), (0,0) 7. (x + ) 2 + (y 2) 2 = 5 en O(0,0) invullen 8a) x 5y = 6 4 b) x 5y = 25 c) (x 2) 2 + y 2 = 25 d) (x,5) 2 + (y 4) 2 =,25 Gaat niet door A. 9a) x + 2y = 6 b) x 2y = 6 c) y 2x = 6 20a) M(2,2) b) ( x 2) + ( y 2) = 8 2a) Elke r.h. driehoek is een halve rechthoek en van elke rechthoek zijn de halve diagonalen even lang. b) cirkel heeft middelpunt ( 2 a, 2 b) en gaat door (a,0). Controleren dat ook (0,0) en (0,b) aan de vgl voldoen. 22a) PF = x + ( y 2), dus: y = x + ( y 2) en uitwerken maar b) - c) y 2 = 4x 4 2a) lijn b) lijn c) cirkel d) 2 lijnen: y = x en y = x e) 2 lijnen: x = en y = 5 f) parabool g) 2 lijnen: x 2y = en x 2y = h) hyperbool 24a) 2x + y = 25 b) r.c. = 2, (0,25), (2,5;0) c) 2x + y = 8 d) 2x y = 25 e) x + 2y = 25 25. ( x ) + ( y ) = 2 4 STICHTING MATH4ALL 29 SEP 2008 5