Cor van Zandwijk May 006 C. van Zandwijk Studienummer: 1106899 C.vanZandwijk@Ingenieursbureau-KvanZandwijk.nl 06 1071005 Afstudeercommissie: Prof.dipl-ing. J.N.J.A. Vambersky Dr. A. Romeijn, TU Delft Ir. A.M. Gresnigt, TU Delft Ing. L. Noordzij, KS Profiel In- en uitvoer van spreadsheet Deel I
Voorwoord Voor u ligt de bundel In- en uitvoer van spreadsheet deel I Deze bundel is een onderdeel van de berekeningsmethodiek zoals deze beschreven is in hoofdstuk 4 van het hoofdrapport. De drie rapporten vormen het totale afstudeeronderzoek dat gedaan is als afronding van de opleiding Civiele Techniek aan de Technische Universiteit van Delft. Dit afstudeeronderzoek is gedaan in het kader van de Mastervariant Building Engineering. Het is belangrijk het hoofdrapport Berekening van referentiehal als lijdraad te houden bij het lezen van het afstudeeronderzoek. Regelmatig wordt er naar de rapporten onderling verwezen, het is daarom belangrijk in het bezit te zijn van alle drie de delen. Cor van Zandwijk Nieuw-Beijerland, mei 006 1
Inhoudsopgave VOORWOORD... 1 A. INLEIDING... 3 A.1 BESCHREVEN ONDERDELEN... 3 B. BEREKENING STAAFCONSTRUCTIES... 4 B.1 EEM METHODE IN GROTE LIJNEN... 4 B. DE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN... 5 B..1 MAPLE uitvoer van differentiaalvergelijkingen... 5 B.3 BEPALING ELEMENTSTIJFHEIDSMATRIX, BELASTING- EN VERPLAATSINGSVECTOR IN MAPLE... 8 B.3.1 MAPLE uitvoer voor stijfheidsmatrix, belastingvector en verplaatsingsvector... 9 B.4 CONVERTEREN VAN MAPLE UITVOER NAAR EXCEL... 14 B.4.1BEPALING ELEMENTSTIJFHEIDSMATRIX, BELASTING- EN VERPLAATSINGSVECTOR IN EXCEL... 14 B.5 Controle van de uitkomsten met raamwerkprogramma Matrixframe... 5 B.5.1 Controle van uitkomsten... 6 C. PROFIELTOETSINGEN W.G.P.... 7 C.1 TOETSING OP KNIK... 7 C. TOETSING OP KIP... 9 C.3 CONCLUSIE... 3 D. INVOERGEGEVENS VAN DE SPREADSHEET... 33 D.1 INVOER VAN DE GEOMETRIE EN DE W.G.P.... 33 D. INVOER VAN DE Z EN C-PROFIELEN... 39 E. BEREKENINGEN IN DE SPREADSHEET...41 E.1 BEREKENING VAN WINDSTUWDRUK... 41 E. BEREKENING VAN FACTOREN EN GEWICHTEN... 4 E.3 BEREKENING INKLEMMINGSPARAMETER... 43 E.4 KNIK EN KIP CONTROLES VAN ALLE ONDERDELEN... 47 E.5 BEREKENING VAN DE KOUDGEWALSTE PROFIELEN... 61 E.6 BEREKENING VAN STAAFKRACHTEN... 81 F. UITVOER VAN DE SPREADSHEET... 9 F.1 DE UITVOER VAN DE SPREADSHEET... 9 LITERATUURLIJST... 138
A. Inleiding In hoofdstuk 4 van de bundel Berekening van referentiehal wordt verwezen naar deze bundel In- en uitvoer van spreadsheet deel I. In verband met de omvang wordt de spreadsheet methode in deze aparte bundel beschreven. A.1 Beschreven onderdelen Omdat de nadruk van het afstudeeronderzoek ligt op de koudgevormde profielen is de uitwerking hiervan opgenomen in de bundel Berekening van referentiehal en komt daarom in deze bundel niet meer aan de orde. De berekening en toetsing van de warmgewalste profielen wordt kort omschreven in deze bundel. Het relatief complexe onderdeel berekening van staafconstructie wordt summier aan de orde gesteld omdat deze materie uit gediept kan worden tot een afstudeeronderzoek op zich, dit is echter in dit onderzoek niet de bedoeling. De in- en uitvoer wordt gegeven voor de hal zoals deze gedefinieerd is in paragraaf 4. van de bundel Berekening van referentiehal. Met name de uitvoer kan gebruikt worden als vergelijkingsmateriaal voor de berekening volgens de handmatige methode. 3
B. Berekening staafconstructies De eindige-elementenmethode (EEM) voor staafconstructies is internationaal aanvaard als de meest geschikte aanpak voor het berekenen van sterkte- en stijfheidsproblemen met de computer. Omdat verplaatsingen de rol van onbekende spelen, spreekt men ook over de verplaatsingsmethode. De constructie wordt opgedeeld in staafelementen, die op een systematisch wijze worden geassembleerd tot een globaal systeem, de constructie. Om de gehele spreadsheet optimaal functioneel te maken is deze EEM berekening ingevoegd zodat de normaalkrachten, dwarskrachten, momenten en verplaatsingen van het hoofdspant op eenvoudige wijze kunnen worden bepaald. Dit hoofdstuk behandeld de systematiek van de bepaling van deze gegevens. B.1 EEM methode in grote lijnen Twee zaken spelen in dit geval een rol in de bepalingen volgens de EEM methode 1. In de eerste plaats de axiale belasting op de staaf, hierdoor worden alleen normaalkrachten in de staaf veroorzaakt. In de tweede plaats de gelijkmatig verdeelde belasting op de staaf, hierdoor worden buigende momenten in de staaf veroorzaakt. Voor deze twee belastingsgevallen moeten drie vrijheidsgraden in beschouwing genomen worden namelijk de horizontale verplaatsing u x, de verticale verplaatsing u z en de hoekverdraaiing ϕ y. De vrijheidsgraden van de totale constructie worden verzameld in een globale vector u en de knoopkrachten in een globale vector f. Op elementniveau worden de elementverplaatsingen en rotaties in een vector u e en de elementkrachten in een vector f e genomen. Het is belangrijk een duidelijke tekenafspraak te maken voor: De knoopverplaatsingen en de knoopkrachten, deze is positief in de x-richting De krachten in de verbindingen tussen element en knoop, deze zijn gelijk maar tegengesteld van teken. (actie - reactie). De elementkracht wordt positief beschouwd indien deze in de richting van de positieve x-as werkt. De normaalkracht in een snede door het element. De normaalkracht is positief indien de kracht op het positieve snedevlak werkt in de positieve x-richting. Fig. B.1 Definiëring van de snedekrachten In de methode treden drie basisbetrekkingen op, dit zijn: De kinematische relatie De constitutieve relatie De evenwichtsrelatie 1 Voor uitgebreide informatie over dit onderwerp zie literatuurlijst [1] [] [3] 4
Door deze op elementniveau toe te passen wordt de elementstijfheidsmatrix K e gevonden, deze relateert de elementverplaatsingen en de elementkrachten aan elkaar. Kort geschreven volgt dan: e e f K * u e De elementstijfheidsmatrix is het eigenschappenkaartje van het element. Als dit eigenschappenkaartje bekent is dan is het bekent hoe het element zich gedraagt onder de optredende belastingen. De elementstijfheidsmatrix kan worden berekend met: K e B T * D N * B Hierin is B de kinematische matrix en D N de constitutieve matrix. De kinematische betrekkingen zeggen dat de elementen en de knopen aansluiten, de constitutieve betrekkingen zeggen dat elementkrachten en elementverplaatsingen samenhangen en de evenwichtsbetrekkingen zeggen dat er per knoop evenwicht is tussen de uitwendige knoopkrachten en de elementkrachten in de verbinding. Uit deze drie betrekkingen volgen dan de globale vergelijkingen voor de totale constructie, deze is te schrijven als: K * u f De coëfficiënten van deze vergelijkingen vormen de globale stijfheidsmatrix K. Dit stelsel van globale vergelijkingen kan worden opgelost als voldoende verplaatsingen zijn voorgeschreven om de beweging van de constructie als star lichaam te onderdrukken. Een voorgeschreven verplaatsing met de waarde nul wordt verdisconteerd door de ermee corresponderende rij en kolom in de globale stijfheidsmatrix K weg te laten. Als het gereduceerde stelsel is opgelost, wordt uit de gevonden verplaatsingen afgeleid welke elementkrachten in de verbindingen optreden, welke normaalkracht, dwarskracht en moment in de afzonderlijke elementen heersen. In een blok schema van een EEM programma zullen altijd twee lussen over alle elementen te zien zijn. De eerste lus is nodig om alle elementstijfheidsmatrices te berekenen. Tussen de twee lussen in vindt de assemblage van de globale vergelijkingen plaats en worden de verplaatsingen berekend. In de tweede lus word ut de verplaatsingen de krachtsverdeling in alle constructieonderdelen afgeleid. B. De differentiaalvergelijkingen De differentiaalvergelijkingen worden opgesteld en opgelost met het wiskundige rekenpakket MAPLE. Omdat de exacte wijze van aanpak buiten de essentie van deze afstudeerscriptie valt, worden alleen de met MAPLE bepaalde vergelijkingen gegeven. B..1 MAPLE uitvoer van differentiaalvergelijkingen restart; TU Delft Differentiaalvergelijking voor buiging w:int(int(int(int(qz/ei,x)+c1,x)+c,x)+c3,x)+c4; phi:-diff(w,x); M:EI*diff(phi,x); Voor een uitgebreide uitleg over de aanpak en wijze van opstellen van differentiaalvergelijkingen, zie literatuurlijst [4] Version 5
V:diff(M,x); 1 qz x 4 1 w : + + + + 4 EI 6 C1 1 x3 C x C3 x C4 eq1:subs(x0,w)uz1; eq:subs(x0,phi)phiy1; eq3:subs(xl,w)uz; eq4:subs(xl,phi)phiy; 1 qz x 3 1 φ : 6 EI C1 x C x C3 M : EI 1 qz x C1 x C EI V : EI qz x C1 EI eq1 : C4 uz1 eq : C3 phiy1 1 qz L 4 1 eq3 : + + + + 4 EI 6 C1 L 3 1 C L C3 L C4 uz 1 qz L 3 1 eq4 : 6 EI C1 L C L C3 phiy sol1:solve({eq1,eq,eq3,eq4},{c1,c,c3,c4}); sol1 : { C4 uz1, C3 phiy1, 1 qz L 4 + 4 L phiy EI + 48 phiy1 L EI 7 uz1 EI + 7 uz EI C, 1 L EI C1 1 qz L 4 + 1 L phiy EI + 1 phiy1 L EI 4 uz1 EI + 4 uz EI } L 3 EI assign(sol1); w:collect(w,{qz,uz1,phiy1,uz,phiy}); phi:collect(phi,{qz,uz1,phiy1,uz,phiy}); M:collect(M,{qz,uz1,phiy1,uz,phiy}); V:collect(V,{qz,uz1,phiy1,uz,phiy}); 1 w 1 x 4 4 L x 1 Lx 3 3 x x 3 : + qz + 1 + 4 EI EI 1 EI L L 3 x3 3 x x 3 x + + uz + x + phiy1 + L 3 L L L 1 φ 1 x 3 4 Lx 1 L x + qz 6 x 6 x : + + uz1 + 6 EI EI 1 EI L 3 L 3 x 4 x + 1 phiy1 3 x x + + phiy L L L L uz1 x 3 x + phiy L L 6 x L 3 6 x uz L 6
1 M EI 1 x Lx 1 L + qz EI EI EI 1 EI 1 x 6 : + + uz1 L 3 L + EI 1 x 6 uz EI L 3 L + 6 x 4 L L phiy1 + EI 6 x L L phiy 1 V : EI x L 1 EI uz1 1 EI uz 6 EI phiy1 6 phiy EI + qz + + + EI EI L 3 L 3 L L Differentiaalvergelijking voor extensie u:int(int(-qx/ea,x)+d1,x)+d; epsilon:diff(u,x); N:EA*epsilon; 1 qx x u : + D1 x + EA eq5:subs(x0,u)ux1; eq6:subs(xl,u)ux; qx x ε : + D1 EA D N : EA qx x + D1 EA eq5 : D ux1 1 qx L eq6 : + D1 L + D ux EA sol:solve({eq5,eq6},{d1,d}); 1 qx L ux1 EA + ux EA sol : { D ux1, D1 } LEA assign(sol); u:collect(u,{qx,ux1,ux}); epsilon:collect(epsilon,{qx,ux1,ux}); N:collect(N,{qx,ux1,ux});; 1 u : 1 x Lx + qx + x + EA EA + 1 ux1 L 1 ε : x L + + EA EA qx ux1 L 1 N : EA x L + + EA EA qx EA ux1 L ux L ux x L ux EA L 7
B.3 Bepaling elementstijfheidsmatrix, belasting- en verplaatsingsvector in MAPLE Om het probleem zo algemeen mogelijk te beschrijven wordt er voor gekozen alle mogelijke windbelastingen, uiteraard alleen winddruk of windzuiging omdat beide gevallen nooit gelijktijdig op kunnen treden, en de sneeuwbelastingen in te voeren als belasting op de liggers en kolommen. De totale combinatie van belastingen inclusief lokale assenstelsels, knoop- en elementnummers wordt weergegeven in figuur B.. Fig. B. De totale combinatie van mogelijke belastingen inclusief assenstelsel en nummeringen De volgende belastingen, afmetingen en profieleigenschappen worden ingevoerd in de MAPLE file: q sn;1.36 kn/m q sn; 3.68 kn/m q wind;kolom 1 0.86 kn/m (druk) q wind;kolom 4 4.30 kn/m (zuiging) q wind;ligger 1.7 kn/m (druk) q wind;ligger 3 1.7 kn/m (druk) q eg;kolom 0.4 kn/m (IPE 300) q eg;ligger,dak 1.60 kn/m (IPE 300 en dakplaten) b gebouw 18.0 m h goot 4.40 m h nok 8.00 m A IPE300 5.38 * 10 3 m I y-y 8.36 * 10 3 m 4 E.10 * 10 8 kn/m Met deze gegevens kunnen alle berekeningen 3 die noodzakelijk zijn, worden uitgevoerd met MAPLE. Een gedeeltelijke uitvoer hiervan wordt in de hierna volgende paragraaf gegeven. Niet alle berekende matrices en vectoren worden geplot omdat deze van dusdanige omvang en complexiteit zijn dat het geen nut heeft deze in de hierna volgende paragraaf te presenteren. 3 Voor uitgebreide informatie over stelsels oplossen zie literatuurlijst [] [5] 8
B.3.1 MAPLE uitvoer voor stijfheidsmatrix, belastingvector en verplaatsingsvector restart; unprotect(d); with(linearalgebra): interface(rtablesize15): Elementstijfheidsmatrix voor een prismatische staaf met lengte L onder een hoek α met de x-as Er wordt gewerkt in een x-z assenstelsel. c:cos(alpha): s:sin(alpha): B:<<-c,s/L,-s/L> <s,c/l,-c/l> <0,-1,0> <c,-s/l,s/l> <-s,- c/l,c/l> <0,0,1>>; cos( α ) sin( α ) 0 cos( α ) sin( α ) 0 sin( α ) cos( α ) sin( α ) cos( α ) B : -1 0 L L L L sin( α ) cos( α ) sin( α ) cos( α ) 0 1 L L L L D:<<EA/L,0,0> <0,4*EI/L,-*EI/L> <0,-*EI/L,4*EI/L>>; EA 0 0 L D : 0 4 EI EI L L 0 EI 4 EI L L In verband met de beschikbare breedte wordt de elementstijfheidsmatrix K e gesplitst, de delen tussen vierkante haken geven één regel weer van de matrix, splitsing van de kolommen wordt weergegeven met komma s. Ke:Transpose(B).D.B; Ke : cos( α ) EA 1 sin( α ) EI cos( α ) EA sin( α ) 1 sin( α ) EI cos( α ) +, +, L L 3 L L 3 sin( α ) EI cos( α ) EA 1 sin( α ) EI 6,, L L L 3 cos( α ) EA sin( α ) 1 sin( α ) EI cos( α ) sin( α ) EI, 6 L L 3 L cos( α ) EA sin( α ) 1 sin( α ) EI cos( α ) sin( α ) EA 1 cos( α ) EI +, +, L L 3 L L 3 cos( α ) EI cos( α ) EA sin( α ) 1 sin( α ) EI cos( α ) 6,, L L L 3 sin( α ) EA 1 cos( α ) EI cos( α ) EI, 6 L L 3 L sin( α ) EI cos( α ) EI 6, 6, 4 EI sin( α ) EI cos( α ) EI, 6, 6, EI L L L L L L 9
cos( α ) EA 1 sin( α ) EI cos( α ) EA sin( α ) 1 sin( α ) EI cos( α ),, L L 3 L L 3 sin( α ) EI cos( α ) EA 1 sin( α ) EI 6, +, L L L 3 cos( α ) EA sin( α ) 1 sin( α ) EI cos( α ) sin( α ) EI +, 6 L L 3 L cos( α ) EA sin( α ) 1 sin( α ) EI cos( α ) sin( α ) EA 1 cos( α ) EI,, L L 3 L L 3 cos( α ) EI cos( α ) EA sin( α ) 1 sin( α ) EI cos( α ) 6, +, L L L 3 sin( α ) EA 1 cos( α ) EI cos( α ) EI +, 6 L L 3 L sin( α ) EI cos( α ) EI 6, 6, EI sin( α ) EI cos( α ) EI, 6, 6, 4 EI L L L L L L Samenstellen elementstijfheidsmatrices Het betreft een ongeschoord spant, scharnierend ondersteund, waarvan de staven momentvast met elkaar verbonden zijn. Gebruikte parameters: - Gebouwbreedte: b - Gebouwhoogte H_totaal - Goothoogte h_kolom (dus h_nok H_totaal - h_kolom). Van links naar rechts zijn de knopen genummerd van 1 t/m 5 en de elementen daartussen van 1 t/m 4, zie figuur B.. Elementvolgorde: kolom, oplopende ligger, aflopende ligger, kolom. b:18: H_totaal:8: h_kolom:44/10: EA_kolom:10000000*53810/10000000: EI_kolom:10000000*83560/1000000000: EA_ligger:EA_kolom: EI_ligger:EI_kolom: qg_kolom:4/100: qwind1:86/100: qg_ligger:160/100: qwind:17/100: qsneeuw:36/100: qwind3:-17/100: qsneeuw3:368/100: qwind4:430/100: h_nok:h_totaal-h_kolom: hoek:arctan(h_nok/(b/)): L_ligger:sqrt((b/)^+h_nok^): Ke1:subs({alphaPi/,Lh_kolom,EAEA_kolom,EIEI_kolom},Ke): Ke:subs({alphahoek,LL_ligger,EAEA_ligger,EIEI_ligger},Ke ): Ke3:subs({alphahoek,LL_ligger,EAEA_ligger,EIEI_ligger},Ke ): Ke4:subs({alpha-Pi/,Lh_kolom,EAEA_kolom,EIEI_kolom},Ke): 10
Elementstijfheidsmatrix opbouwen 5 knopen, 3 vrijheidsgraden per knoop. K:ZeroMatrix(15,outputoptions[shapesymmetric,storagesparse ]): Element 1: linkerkolom, loopt van knoop 1 naar K[1..6,1..6]:MatrixAdd(K[1..6,1..6],Ke1): Element : oplopende ligger, loopt van knoop naar 3 K[4..9,4..9]:MatrixAdd(K[4..9,4..9],Ke): Element 3: aflopende ligger, loopt van knoop 3 naar 4 K[7..1,7..1]:MatrixAdd(K[7..1,7..1],Ke3): Element 4: rechterkolom, loopt van knoop 4 naar 5 K[10..15,10..15]:MatrixAdd(K[10..15,10..15],Ke4): Belastingvector opbouwen De belastingen zijn gericht in het lokale assenstelsel (x-as loopt steeds van de laagst genummerde knoop naar de hoger genummerde knoop van het element). Er wordt per element rekening gehouden met een gelijkmatig verdeelde lijnlast in zowel de x- als de z-richting; dus niet met verlopende lasten of krachten/koppels die direct aangrijpen. r:<<c,-s> <s,c>>; R:IdentityMatrix(6,compactfalse); R[1..,1..]:r; R[4..5,4..5]:r; Rinv:MatrixInverse(R); r : cos( α ) sin( α ) sin( α ) cos( α ) 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 R : 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 R 1.., 1.. : cos( α ) sin( α ) sin( α ) cos( α ) R 4.. 5, 4.. 5 : cos( α ) sin( α ) sin( α ) cos( α ) 11
cos( α ) sin( α ),, 0, 0, 0, 0 cos( α ) + sin( α ) cos( α ) + sin( α ) sin( α ) cos( α ),, 0, 0, 0, 0 cos( α ) + sin( α ) cos( α ) + sin( α ) Rinv : 0, 0, 1, 0, 0, 0 cos( α ) sin( α ) 0, 0, 0,,, 0 cos( α ) + sin( α ) cos( α ) + sin( α ) sin( α ) cos( α ) 0, 0, 0,,, 0 cos( α ) + sin( α ) cos( α ) + sin( α ) 0, 0, 0, 0, 0, 1 fprim:r.<-qx/*l,-qz/*l,qz/1*l^,-qx/*l,-qz/*l,- qz/1*l^>; 1 1 cos( α ) qx L sin( α ) qz L 1 1 sin( α ) qx L cos( α ) qz L 1 1 qz L fprim : 1 1 cos( α ) qx L sin( α ) qz L 1 1 sin( α ) qx L cos( α ) qz L 1 1 qz L Primaire belasting vanuit element 1: linkerkolom. Eigen gewicht qg_kolom (neerwaarts) en wind qwind1 (druk; naar rechts). N.B. Voor zuiging moet dus het teken van qwind1 worden gewijzigd! qx1:-qg_kolom: qz1:qwind1: fprim1:subs({alphapi/,qxqx1,qzqz1,lh_kolom},fprim): Primaire belasting vanuit element : linkerligger, oplopend. Eigen gewicht qg_ligger (neerwaarts), qsneeuw (neerwaarts) en wind qwind (druk, loodrecht). N.B. Voor zuiging moet dus het teken van qwind worden gewijzigd! qx:-(qg_ligger+qsneeuw*cos(hoek))*sin(hoek): qz:(qg_ligger+qsneeuw*cos(hoek))*cos(hoek)+qwind: fprim:subs({alphahoek,qxqx,qzqz,ll_ligger},fprim): Primaire belasting vanuit element 3: rechterligger, aflopend. Eigen gewicht qg_ligger (neerwaarts), qsneeuw3 (neerwaarts) en wind qwind3 (druk, loodrecht). N.B. Voor zuiging moet dus het teken van qwind3 worden gewijzigd! 1
qx3:-(qg_ligger+qsneeuw3*cos(-hoek))*sin(-hoek): qz3:(qg_ligger+qsneeuw3*cos(-hoek))*cos(-hoek)+qwind3: fprim3:subs({alpha-hoek,qxqx3,qzqz3,ll_ligger},fprim): Primaire belasting vanuit element 4: rechterkolom. Eigen gewicht qg_kolom (neerwaarts) en wind qwind4 (zuiging; naar rechts). N.B. Voor zuiging moet dus het teken van qwind4 worden gewijzigd! qx4:qg_kolom: qz4:-qwind4: fprim4:subs({alpha-pi/,qxqx4,qzqz4,lh_kolom},fprim): Direct aangrijpende knooplasten. Er zijn geen directe knooplasten, dus zijn alle waarden nul. f:zerovector(5*3,compactfalse): Verwerken primaire belastingen om tot de totale belastingvector te komen. f[1..6]:vectoradd(f[1..6],-fprim1): f[4..9]:vectoradd(f[4..9],-fprim): f[7..1]:vectoradd(f[7..1],-fprim3): f[10..15]:vectoradd(f[10..15],-fprim4): Verwerken bekende vrijheidsgraden Ter plaatse van de opleggingen, knoopnummers. 1 en 5, zijn de horizontale en verticale verplaatsingen verhinderd. Daarom wordt op de hoofddiagonaal voor de betreffende verplaatsing een 1 gezet (overig in de rij allemaal nullen), en in de belastingvector wordt dan de voorgeschreven verplaatsing gelijk aan 0 gezet. Het gaat over ux1, uz1, ux5 en uz5. plaatsnrs:<1,,13,14>: for i in plaatsnrs do K[i,1..15]:IdentityMatrix(15)[i,1..15]: K[1..15,i]:IdentityMatrix(15)[1..15,i]: f[i]:0: end do: Oplossen onbekende vrijheidsgraden K:simplify(K): f:simplify(f): u:linearsolve(k,f): evalf(transpose(<u[1..3] u[4..6] u[7..9] u[10..1] u[13..15]>) ): Resultaten in het globale assenstelsel. > f1:ke1.u[1..6]+fprim1: f:ke.u[4..9]+fprim: f3:ke3.u[7..1]+fprim3: f4:ke4.u[10..15]+fprim4: evalf(<f1 f f3 f4>): 13
Resultaten in de lokale assenstelsels. evalf(<subs(alphapi/,rinv.f1) subs(alphahoek,rinv.f) subs( alpha-hoek,rinv.f3) subs(alpha-pi/,rinv.f4)>); 4.6674131 5.3135813 0.44566680 44.95980797 7.3044351-33.40377347 4.54066731-3.4884435 0. 40.5347466-37.08059711 144.9731463-40.41874131-11.6730016-38.5061600-46.80780797-11.1044435-17.38954168-33.0074449 4.4084435-40.53474634 37.08059708-144.9731463 0. B.4 Converteren van MAPLE uitvoer naar Excel Om het uiteindelijke doel, het optimaal functioneel maken van de spreadsheet, te kunnen bereiken is het nog noodzakelijk de berekening volgens MAPLE te converteren naar Excel. Ook in Excel is het mogelijk matrix bewerkingen uit te voeren. De totale in- en uitvoer voor de berekening wordt weergegeven in de hierna volgende paragraaf. B.4.1Bepaling elementstijfheidsmatrix, belasting- en verplaatsingsvector in Excel Geometrie Gebouwbreedte 18,0 m Gebouwhoogte 8,0 m Goothoogte 4,4 m Nok - goothoogte 3,6 m Doorsnede-eigenschappen Profiel I y (m 4 ) A (m ) Kolommen IPE300 8,36E-05 5,38E-03 Liggers IPE300 8,36E-05 5,38E-03 Materiaal Elasticiteitsmodulus,10E+08 kn/m Belastingen Kolommen e.g. 0,4 kn/m Liggers, dakplaten e.g. 1,60 kn/m Wind kolom zijde 1 druk 0,86 kn/m Wind kolom zijde zuiging 4,30 kn/m Wind ligger zijde 1 druk 1,7 kn/m Wind ligger zijde druk 1,7 kn/m Sneeuw zijde 1 vert. proj.,36 kn/m Sneeuw zijde vert. proj. 3,68 kn/m 14
Linkerkolom: elementnr. 1 Lengte 4,40 m EA 1130451 kn EI 17548 knm α 1,57 rad cos 0,00 - sin 1,00 - q x -0,4 kn/m q z 0,86 kn/m Rechterligger: elementnr. 3 Lengte 9,69 m EA 1130451 kn EI 17548 knm α -0,38 rad cos 0,93 - sin -0,37 - q x 1,86 kn/m q z 6,38 kn/m Linkerligger: elementnr. Lengte 9,69 m EA 1130451 kn EI 17548 knm α 0,38 rad cos 0,93 - sin 0,37 - q x -1,41 kn/m q z 5,4 kn/m Rechterkolom: elementnr. 4 Lengte 4,40 m EA 1130451 kn EI 17548 knm α -1,57 rad cos 0,00 - sin -1,00 - q x 0,4 kn/m q z -4,30 kn/m Element 1 B (kinematische matrix) 0,00 1,00 0 0,00-1,00 0 0,3 0,00-1 -0,3 0,00 0-0,3 0,00 0 0,3 0,00 1 15
D (constitutieve matrix) 5690,68 0 0 0 1595,55-7976,8 0-7976,8 1595,55 B (getransformeerd) 0,00 0,3-0,3 1,00 0,00 0,00 0-1 0 0,00-0,3 0,3-1,00 0,00 0,00 0 0 1 K e 1 (elementstijfheidsmatrix) 471,99 0-5438,37-471,99 0-5438,37 0 5690,68 0 0-5690,68 0-5438,37 0 1595,55 5438,37 0 7976,8-471,99 0 5438,37 471,99 0 5438,37 0-5690,68 0 0 5690,68 0-5438,37 0 7976,8 5438,37 0 1595,55 R (Identity matrix) 0,00 1,00 0 0 0 0-1,00 0,00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,00 1,00 0 0 0 0-1,00 0,00 0 0 0 0 0 0 1 R -1 (Inverse Identity matrix) 0,00-1,00 0 0 0 0 1,00 0,00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,00-1,00 0 0 0 0 1,00 0,00 0 0 0 0 0 0 1 Lokaal: f prim 1 Globaal: f prim 1 0,9-1,89-1,89-0,9 1,39 1,39 0,9-1,89-1,89-0,9-1,39-1,39 Element B (kinematische matrix) -0,93 0,37 0 0,93-0,37 0 0,04 0,10-1 -0,04-0,10 0-0,04-0,10 0 0,04 0,10 1 16
D (constitutieve matrix) 11661,93 0 0 0 741,1-360,61 0-360,61 741,1 B (getransformeerd) -0,93 0,04-0,04 0,37 0,10-0,10 0-1 0 0,93-0,04 0,04-0,37-0,10 0,10 0 0 1 K e (elementstijfheidsmatrix) 100568,04-40134,74-416,16-100568,04 40134,74-416,16-40134,74 1685,10-1040,40 40134,74-1685,10-1040,40-416,16-1040,40 741,1 416,16 1040,40 360,61-100568,04 40134,74 416,16 100568,04-40134,74 416,16 40134,74-1685,10 1040,40-40134,74 1685,10 1040,40-416,16-1040,40 360,61 416,16 1040,40 741,1 R (Identity matrix) 0,93 0,37 0 0 0 0-0,37 0,93 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,93 0,37 0 0 0 0-0,37 0,93 0 0 0 0 0 0 1 R -1 (Inverse Identity matrix) 0,93-0,37 0 0 0 0 0,37 0,93 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,93-0,37 0 0 0 0 0,37 0,93 0 0 0 0 0 0 1 Lokaal: f prim Globaal: f prim 6,8-3,10-5,40-6,11 41,03 41,03 6,8-3,10-5,40-6,11-41,03-41,03 Element 3 B (kinematische matrix) -0,93-0,37 0 0,93 0,37 0-0,04 0,10-1 0,04-0,10 0 0,04-0,10 0-0,04 0,10 1 17
D (constitutieve matrix) 11661,93 0 0 0 741,1-360,61 0-360,61 741,1 B (getransformeerd) -0,93-0,04 0,04-0,37 0,10-0,10 0-1 0 0,93 0,04-0,04 0,37-0,10 0,10 0 0 1 K e 3 (elementstijfheidsmatrix) - 100568,04 40134,74 416,16 100568,04-40134,74 416,16 40134,74 1685,10-1040,40-40134,74-1685,10-1040,40 416,16-1040,40 741,1-416,16 1040,40 360,61-100568,04-40134,74-416,16 100568,04 40134,74-416,16-40134,74-1685,10 1040,40 40134,74 1685,10 1040,40 416,16-1040,40 360,61-416,16 1040,40 741,1 R (Identity matrix) 0,93-0,37 0 0 0 0 0,37 0,93 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,93-0,37 0 0 0 0 0,37 0,93 0 0 0 0 0 0 1 R -1 (Inverse Identity matrix) 0,93 0,37 0 0 0 0-0,37 0,93 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,93 0,37 0 0 0 0-0,37 0,93 0 0 0 0 0 0 1 Lokaal: f prim 3 Globaal: f prim 3-9,03 3,10-30,91-3,05 49,94 49,94-9,03 3,10-30,91-3,05-49,94-49,94 Element 4 B (kinematische matrix) 0,00-1,00 0 0,00 1,00 0-0,3 0,00-1 0,3 0,00 0 0,3 0,00 0-0,3 0,00 1 18
D (constitutieve matrix) 5690,68 0 0 0 1595,55-7976,8 0-7976,8 1595,55 B (getransformeerd) 0,00-0,3 0,3-1,00 0,00 0,00 0-1 0 0,00 0,3-0,3 1,00 0,00 0,00 0 0 1 K e 4 (elementstijfheidsmatrix) - 471,99 0 5438,37 471,99 0 5438,37 0 5690,68 0 0-5690,68 0 5438,37 0 1595,55-5438,37 0 7976,8-471,99 0-5438,37 471,99 0-5438,37-0 5690,68 0 0 5690,68 0 5438,37 0 7976,8-5438,37 0 1595,55 R (Identity matrix) 0,00-1,00 0 0 0 0 1,00 0,00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,00-1,00 0 0 0 0 1,00 0,00 0 0 0 0 0 0 1 R -1 (Inverse Identity matrix) 0,00 1,00 0 0 0 0-1,00 0,00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,00 1,00 0 0 0 0-1,00 0,00 0 0 0 0 0 0 1 Lokaal: f prim 4 Globaal: f prim 4-0,9-9,46 9,46-0,9-6,94-6,94-0,9-9,46 9,46-0,9 6,94 6,94 19
Samenstellen elementstijfheidsmatrix, globale krachtenvector, verwerken vrijheidsgraden in matrix en totale krachtenvector K e 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1595,55 5438,37 0,00 7976,8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5438,37 103040,03-40134,74 50,1-100568,04 40134,74-416,16 0 0 0 0 0 0 0 0 0,00-40134,74 7305,78-1040,40 40134,74-1685,10-1040,40 0 0 0 0 0 0 0 0 7976,8 50,1-1040,40 3193,77 416,16 1040,40 360,61 0 0 0 0 0 0 0 0 0-100568,04 40134,74 416,16 01136,08 0,00 83,3-100568,04-40134,74 416,16 0 0 0 0 0 0 40134,74-1685,10 1040,40 0,00 3570,19 0,00-40134,74-1685,10-1040,40 0 0 0 0 0 0-416,16-1040,40 360,61 83,3 0,00 1448,43-416,16 1040,40 360,61 0 0 0 0 0 0 0 0 0-100568,04-40134,74-416,16 103040,03 40134,74 50,1 0 0 5438,37 0 0 0 0 0 0-40134,74-1685,10 1040,40 40134,74 7305,78 1040,40 0 0 0,00 0 0 0 0 0 0 416,16-1040,40 360,61 50,1 1040,40 3193,77 0 0 7976,8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5438,37 0,00 7976,8 0 0 1595,55 f prim f - f prim -1,89 0-0,9 0 1,39-1,39-4,99 4,99-7,04 7,04 39,64-39,64 0,00 0,00-58,17 58,17 8,91-8,91-6,36 6,36-3,98 3,98-56,88 56,88-9,46 0-0,9 0 6,94-6,94 Oplossing Globaal: u 0,0000 0,0000 0,0053-0,0063 0,000-0,0065 0,063 0,086 0,0011 0,0589 0,0003-0,000 0,0000 0,0000-0,004 0
Resultaten in globaal assenstelsel f 1 f f 3 f 4 0,16 3,946 30,138 3,946-54,73-5,443-0,1951 63,914 0,0000 97,0383-4,397 146,9871-3,946-30,138-3,946-4,866 5,443 0,1951-63,914-65,76 - -97,0383 4,397 146,9871 0,0000 Resultaten in lokale assenstelsels f 1 f f 3 f 4 F x1 54,73 F x 41,7034 F x3 7,9101 F x4 63,914 F z1 0,16 F z - 39,7814 F z3-11,374 F z4-3,946 T y1 0,0000 T y 97,0383 T y3-4,397 T y4 146,9871 F x -5,443 F x3-8,0550 F x4-45,9706 F x5-65,76 F z -3,946 F z3-11,0119 F z4-50,4495 F z5 4,866 - T y -97,0383 T y3 4,397 T y4 146,9871 T y5 0,0000 u 1 u u 3 u 4 u x1 0,0000 u x -0,0059 u x3 0,0551 u x4 0,0003 u z1 0,0000 u z -0,001 u z3 0,0669 u z4-0,0589 φ y1 0,0053 φ y -0,0065 φ y3 0,0011 φ y4-0,000 u x -0,000 u x3-0,006 u x4 0,0548 u x5 0,0000 u z -0,0063 u z3 0,0864 u z4-0,016 u z5 0,0000 φ y -0,0065 φ y3 0,0011 φ y4-0,000 φ y5-0,004 1
Post-processing in de lokale assenstelsels, elementnr. 1 Lengte 4,40 m u x1 0,0000 m EA 1130451 kn u z1 0,0000 m EI 17548 knm φ y1 0,0053 rad u x -0,000 m q x -0,4 kn/m u z -0,0063 m q z 0,86 kn/m φ y -0,0065 rad x (m) N (kn) V (kn) M (knm) w (m) 0,00-54,7-0,16 0,00 0,0000 0, -54,18-0,35-4,46-0,001 0,44-54,09-0,54-8,95-0,003 0,66-54,00-0,73-13,49-0,0034 0,88-53,90-0,9-18,08-0,0045 1,10-53,81-1,11 -,70-0,0056 1,3-53,7-1,30-7,36-0,0066 1,54-53,63-1,49-3,07-0,0075 1,76-53,53-1,68-36,8-0,0083 1,98-53,44-1,86-41,61-0,0090,0-53,35 -,05-46,44-0,0096,4-53,6 -,4-51,31-0,0101,64-53,16 -,43-56,3-0,0104,86-53,07 -,6-61,18-0,0106 3,08-5,98 -,81-66,18-0,0106 3,30-5,89-3,00-71, -0,0104 3,5-5,79-3,19-76,30-0,0100 3,74-5,70-3,38-81,4-0,0094 3,96-5,61-3,57-86,59-0,0086 4,18-5,5-3,76-91,79-0,0076 4,40-5,4-3,95-97,04-0,0063
Post-processing in de lokale assenstelsels, elementnr. Lengte 9,69 m u x -0,0059 m EA 1130451 kn u z -0,001 m EI 17548 knm φ y -0,0065 rad u x3-0,006 m q x -1,41 kn/m u z3 0,0864 m q z 5,4 kn/m φ y3 0,0011 rad x (m) N (kn) V (kn) M (knm) w (m) 0,00-41,70 39,78-97,04-0,001 0,48-41,0 37,4-78,37 0,0016 0,97-40,34 34,70-60,94 0,0064 1,45-39,66 3,16-44,74 0,011 1,94-38,97 9,6-9,76 0,0183,4-38,9 7,08-16,0 0,049,91-37,61 4,54-3,51 0,0318 3,39-36,93,00 7,77 0,0387 3,88-36,4 19,46 17,8 0,0454 4,36-35,56 16,9 6,64 0,050 4,85-34,88 14,38 34, 0,058 5,33-34,0 11,85 40,58 0,0639 5,8-33,51 9,31 45,71 0,0691 6,30-3,83 6,77 49,60 0,0737 6,79-3,15 4,3 5,6 0,0776 7,7-31,47 1,69 53,70 0,0809 7,75-30,78-0,85 53,90 0,0834 8,4-30,10-3,39 5,87 0,085 8,7-9,4-5,93 50,61 0,0863 9,1-8,74-8,47 47,1 0,0867 9,69-8,06-11,01 4,40 0,0864 3
Post-processing in de lokale assenstelsels, elementnr. 3 Lengte 9,69 m u x3 0,0551 m EA 1130451 kn u z3 0,0669 m EI 17548 knm φ y3 0,0011 rad u x4 0,0548 m q x 1,86 kn/m u z4-0,016 m q z 6,38 kn/m φ y4-0,000 rad x (m) N (kn) V (kn) M (knm) w (m) 0,00-7,91 11,37 4,40 0,0669 0,48-8,81 8,8 47,16 0,0661 0,97-9,7 5,19 50,43 0,0646 1,45-30,6,10 5,19 0,065 1,94-31,5-0,99 5,46 0,0597,4-3,43-4,08 51,3 0,056,91-33,33-7,17 48,51 0,050 3,39-34,3-10,6 44,8 0,047 3,88-35,13-13,36 38,56 0,0417 4,36-36,04-16,45 31,33 0,0358 4,85-36,94-19,54,61 0,094 5,33-37,84 -,63 1,40 0,07 5,8-38,75-5,7 0,68 0,0159 6,30-39,65-8,81-1,54 0,0091 6,79-40,55-31,90-7,5 0,004 7,7-41,46-34,99-43,46-0,0039 7,75-4,36-38,08-61,17-0,0096 8,4-43,6-41,18-80,38-0,0145 8,7-44,16-44,7-101,08-0,0184 9,1-45,07-47,36-13,9-0,008 9,69-45,97-50,45-146,99-0,016 4
Post-processing in de lokale assenstelsels, elementnr. 4 Lengte 4,40 m u x4 0,0003 m EA 1130451 kn u z4-0,0589 m EI 17548 knm φ y4-0,000 rad u x5 0,0000 m qx 0,4 kn/m u z5 0,0000 m qz -4,30 kn/m φ y5-0,004 rad x (m) N (kn) V (kn) M (knm) w (m) 0,00-63,91 3,95-146,99-0,0589 0, -64,01 4,89-141,61-0,0587 0,44-64,10 5,84-136,03-0,0580 0,66-64,19 6,78-130,5-0,0570 0,88-64,8 7,73-14,5-0,0556 1,10-64,38 8,68-118,04-0,0539 1,3-64,47 9,6-111,63-0,0519 1,54-64,56 30,57-105,01-0,0495 1,76-64,65 31,51-98,18-0,0469 1,98-64,75 3,46-91,14-0,0440,0-64,84 33,41-83,90-0,0408,4-64,93 34,35-76,45-0,0374,64-65,0 35,30-68,78-0,0338,86-65,1 36,4-60,91-0,0300 3,08-65,1 37,19-5,84-0,060 3,30-65,30 38,14-44,55-0,019 3,5-65,39 39,08-36,06-0,0177 3,74-65,49 40,03-7,36-0,0134 3,96-65,58 40,97-18,44-0,0089 4,18-65,67 41,9-9,33-0,0045 4,40-65,76 4,87 0,00 0,0000 Knoopverplaatsingen X (mm) Z (mm) Knoop 1 0,00 0,00 Knoop -6,9 0,1 Knoop 3 6,33 8,57 Knoop 4 58,9 0,5 Knoop 5 0,00 0,00 B.5 Controle van de uitkomsten met raamwerkprogramma Matrixframe Om te controleren of de gevonden uitkomsten wel correct zijn is het noodzakelijk de uitkomsten van Excel te vergelijken met de resultaten die het raamwerkprogramma Matrixframe geeft. Gecontroleerd wordt op de optredende momenten, dwarskrachten, normaalkrachten en vervormingen. De uitvoer van Matrixframe in vergelijking tot Excel wordt weergegeven in de hierna volgende paragraaf. 5
B.5.1 Controle van uitkomsten De momenten, dwarskrachten en normaalkrachten volgens Matrixframe. Bel.Comb. Staaf Positie Nx Vz My U.C.1 S1 0,000-54,7-0,16-0,00 L -5,4-3,95-97,04 S 0,000-41,70 39,78-97,04 L -8,06-11,01 4,40 S3 0,000-7,91 11,37 4,40 L -45,97-50,45-146,99 S4 0,000-63,91 3,95-146,99 L -65,76 4,87 0,00 De momenten, dwarskrachten en normaalkrachten volgens Excel. X (m) N (kn) V (kn) M (knm) S1 0-54,7-0,16 0,00 L -5,4-3,95-97,04 S 0-41,70 39,78-97,04 L -8,06-11,01 4,40 S3 0-7,91 11,37 4,40 L -45,97-50,45-146,99 S4 0-63,91 3,95-146,99 L -65,76 4,87 0,00 De knoopverplaatsingen volgens Matrixframe. Knoop X Z K1-0,0000 0,0000 K -0,0063 0,000 K3 0,063 0,086 K4 0,0589 0,0003 K5 0,0000 0,0000 De knoopverplaatsingen volgens Excel. Knoop X (mm) Z (mm) Knoop 1 0,00 0,00 Knoop -6,9 0,1 Knoop 3 6,33 8,57 Knoop 4 58,9 0,5 Knoop 5 0,00 0,00 Uit de bovenstaande tabellen blijkt dat de uitvoer zoals deze met Excel bepaald wordt identiek is aan de uitvoer van Matrixframe. Geconcludeerd wordt dat de berekeningen goed uitgevoerd worden zodat de afzonderlijke belastingsgevallen, zoals deze in het afstudeeronderzoek gedefinieerd zijn, berekend kunnen worden. De uitvoer zoals deze in dit onderdeel beschreven is, is niet relevant voor de constructieberekening omdat alle belastingen gelijktijdig op de constructie zijn aangebracht, dit komt in de praktijk niet voor. 6
C. Profieltoetsingen w.g.p. In dit hoofdstuk wordt de toetsing van warmgewalste profielen kort toegelicht. De twee aspecten van toetsing die van belang zijn, zijn de knikcontrole en de kipcontrole. Deze twee toetsingen worden gedaan aan de hand van de NEN 6770 en de NEN 6771. Nadere toelichting waarom voor deze wijze van toetsing gekozen is wordt ook beschreven. C.1 Toetsing op knik Knikstabiliteit is de mate waarin een op druk belaste staaf weerstand biedt aan instabiliteit als gevolg van een doorgaande uitbuiging van de staaf in een van de beide hoofdrichtingen. De NEN 6770 en de NEN 6771 geven beide in art. 1.1.1 toetsingsregels voor knikstabiliteit. Deze regels gelden voor centrisch gedrukte, enkelvoudige staven. Voor de staven met doorsneden van klasse 1 tot en met 3 gelden de toetsingsregels uit NEN 6770, voor doorsneden van klasse 4 gelden de toetsingsregels volgens NEN 6771. In feite bestaat er geen verschil tussen de beide normen. Het onderscheid heeft alleen betrekking op de doorsnedecapaciteit van de staaf. Voor doorsneden van klasse 1 tot en met 3 bepaalt de vloeigrens de capaciteit terwijl de capaciteit van doorsneden van klasse 4 bepaalt wordt door lokale instabiliteit, dat wil zeggen plooi. Voor centrisch gedrukte, enkelvoudige, rechte, prismatische staven moet zijn voldaan aan de volgende voorwaarden. ω ω N c; s; d y; buc * N c; u; d N c; s; d z; buc * N c; u; d 1 1 In de berekening wordt uitgegaan van plastische doorsneden zodat een plastisch scharnier kan ontstaan (M M pl ), volgens art. 10..4.1 mag dan gerekend worden met doorsneden klasse 1. Er kan dus getoetst worden volgens art. 1.1.1 van de NEN 6770. Als gerekend wordt met IPE of HE profielen moeten de knikfactoren bepaald worden met instabiliteitskromme a voor de y-y richting en instabiliteitskromme b voor de z-z richting. Indien gerekend wordt met warmgewalste koker moet om elke as gerekend worden met instabiliteitskromme a. De bepaling van de knikfactoren is afhankelijk van de relatieve slankheid die bepaald kan worden met de volgende formule: λ y λ rel λ Met: l λ y i y e buc i TU Delft y I y A Version λ e π E f d y; d 7
De kniklengte (l buc ) is te bepalen met art. 1.1.1.3b. Omdat de constructie als ongeschoord wordt geconstrueerd moet de kniklengte van de kolommen wel langer zijn dan de systeemlengte. Door de verende inklemming van de dakligger en de scharnierende oplegging aan de voet van de kolom moet de kniklengte bepaald worden met: l l ef sys π λ De waarde van λ kan bepaald worden met de nomogram in figuur 41 van de NEN 6770. Omdat aflezen uit een nomogram niet voldoet aan de wens van het volledig automatiseren van de spreadsheet, wordt gewerkt met de volgende iteratieve formule: C * C * λ *sin λ ( C + C ) * λ * cosλ + sin λ 0 λ π A B A B Omdat een scharnier nooit een zuiver scharnier is moet volgens art. 1.1.1.3 gerekend worden met C A 5. De waarde van C B kan worden berekend met: C B I l I μ l c ln c ln bm bm met μ 3 Deze formule geldt echter alleen voor portaalconstructie waarbij de kolommen en de ligger loodrecht op elkaar aansluiten. Omdat de dakhelling gering is (0 ) wordt verwacht dat het verschil met de exacte berekening slechts klein is. Voor C B volgt bij benadering: C B 4 8356*10 4400 8356*10 3* 9000 4 0.70 Voor de exacte bepaling moet C B bepaald worden met de formule: C B I E * l k φ c ln c ln De waarde k φ moet worden bepaald met: k M φ ϕ Hierin is M het moment in de knie ten gevolge van een horizontale puntlast. Deze puntlast is gelijk genomen aan de gemiddelde windbelasting op de linker- en rechterkolom. Het moment en de hoekverdraaiing ϕ ter plaatse van de knie kan eenvoudig met Excel bepaal worden. Er volgt: M 4.97 knm ϕ 0.0046 radversion TU Delft 8
Nu volgt voor de rotatie-veerstijfheid: k 4.97 φ 5431.6kNm / rad 0.0046 Met de exacte formule kan nu de waarde voor C B bepaalde worden: C B 5 8356 *10.1*10 * 4400 6 5431.6 *10 4 0.73 Hieruit blijkt dat het verschil tussen de exacte methode en de benadering volgens de NEN 6770 gering is. De exacte methode wordt gebruikt om de effectieve kniklengten van zowel kolommen als dakliggers te bepalen. Met deze gegevens kunnen de knikfactoren ω y en ω z bepaald worden volgens de volgende formule: ω buc 1+ α k ( λrel λ0 ) + λ rel 1 * [1 + α( λ 0 ) + rel ] 4 * rel rel λ λ λ * λ rel * λ rel De waarde voor λ 0 is voor alle instabiliteitskromme gelijk aan 0., de waarde α k is echter verschillende voor de diverse instabiliteitskromme, de waarden hiervan worden gegeven in tabel 5 van de NEN 6770. De totale toetsing kan in een klein stukje van een spreadsheet geschreven worden. Het resultaat wordt weergegeven in figuur C.1, de getallen hierin zijn indicatief. Knikcontrole voor centrisch belaste staven NEN 6770 art. 1.1 Staalkwaliteit 1 f y 35 N/mm Profiel 11 IPE λ e 93,9 l y;buc 4.400 mm A 5380,0 mm l z;buc 4.400 mm i y 14,7 mm kromme a N c;s 30, kn i z 33,5 mm kromme b N c;u 164 kn u.c. N c;s /(ω buc;y *N c;u ) 0,05 < 1 (1.1-1a) u.c. N c;s /(ω buc;z *N c;u ) 0,06 < 1 (1.1-1b) Fig. C. 3 Tabel met toetsing op knikinstabiliteit C. Toetsing op kip 1 De stabiliteit van op buiging belaste liggers, kipstabiliteit, is de mate waarin dergelijke liggers weerstand bieden aan instabiliteit als gevolg van een doorgaande buiging en torsie van een op buiging belaste ligger. De NEN 6770 en de NEN 6771 behandelen beide dit onderwerp in art. 1.. De toetsingsregel voor de kipstabiliteit heeft in principe dezelfde gedaante als die voor de knikstabiliteit. 9
4 Zie literatuurlijst [6] Version Lightweight cold rolled steel construction systems ω M y;max; s; d kip * M y; u; d 1 De grootheid ω kip moet hierin bepaald worden alsof het een knikfactor is behorende bij knikkromme a in geval van wals- en buisprofielen en behorende bij knikkromme c in geval van gelaste profielen. De kipfactor hangt even als de knikfactor af van de relatieve slankheid λ rel. De toetsingsregels van de NEN 6770 zijn aan de conservatieve kant 4 in vergelijking met de toetsingsregels van de NEN 6771. Hoewel het toepassinggebied minder groot is voor de toetsingsregels van de NEN 6771 wordt er voor gekozen de minder conservatieve maar meer bewerkelijke toetsingsprocedure volgens de NEN 6771 te volgen. Om de kipfactor te kunnen bepalen is het noodzakelijk eerst de relatieve slankheid te bepalen, dit kan met de formule: λ rel M y ; u ; d M ke Hierin is M y;u;d de rekenwaarde van het buigend moment om de y-as en M ke het elastisch kipmoment. Dit elastisch kipmoment moet worden bepaald met de volgende formule: C M ke kred * * Ed * I z * Gd * I l g t De waarde k red is een reductiefactor, deze is volgens art. 1..5. van de NEN 6771 gelijk aan 1 voor walsprofielen. De waarde C is een coëfficiënt, deze is afhankelijk van de liggerlengte, doorsnede afmeting, aard en aangrijpingspunt van de belasting. De waarde C kan worden bepaald met de algemene formule: π C Met: h S * * C * l 1 g π * S π * C 1+ * ( C + 1) + lkip l l kip kip E G d d * I * I z t * S TU Delft De waarde C 1 is afhankelijk van de aard van de belasting De waarde C is afhankelijk van de plaats van de belasting ten opzichte van de neutrale lijn. C 0 indien de belasting aangrijpt in het zwaartepunt van de doorsnede C positief indien de belasting aangrijpt in het zwaartepunt van de onderflens C negatief indien de belasting aangrijpt in het zwaartepunt van de bovenflens Voor tussen liggende aangrijpingspunten moet lineair worden geïnterpoleerd. 30
De waarde l kip is de ongesteunde kiplengte, deze is in dit geval altijd gelijk aan l sys. Om de waarde van C 1 en van C te kunnen bepalen is het noodzakelijk de volgende waarden te bepalen: β B * M M y;1; s; d y;; s; d 8* M 8* M + q * l st Met deze waarden kunnen de waarden van C 1 en C afgelezen worden uit de grafiek van tabel 10 uit de NEN 6771, deze grafieken worden weergegeven in figuur C.. tabel 10,4, 1,8 1,6 1,4 1, 1-1 -0,8-0,6-0,4-0, 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 tabel 10 1,8 1,6 1,4 1, 1 0,8 0,6 0,4 0, C1 C 0-1 -0,8-0,6-0,4-0, 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 B* B* Fig. C. 4 Grafieken om de waarden van C 1 en C te bepalen 31
Omdat voor deze grafieken geen directe formules bestaan is het niet mogelijk de waarden van C 1 en C eenvoudig numeriek te bepalen. Omdat er gestreefd wordt naar een gebruiksvriendelijke spreadsheet, worden de waarden vanuit een databases automatisch bepaald 5. De totale toetsing kan, evenals de toetsing op knik, in een klein stukje van een spreadsheet geschreven worden. Het resultaat wordt weergegeven in figuur C.3, de getallen hierin zijn indicatief. Kipcontrole voor op buiging belaste staven NEN 6771 art. 1. Staalkwaliteit 1 f y 35 N/mm Profiel 11 IPE λ e 93,9 Lengte 4.400 mm h profiel 300,0 mm Afst. Kipstn 4.400 mm b profiel 150,0 mm Afst. NL. 0,0 mm t fl 10,7 mm Stpt. Moment 1 0,0 knm t w 7,1 mm Veldmoment -44,0 knm I y 8.360 *10 4 mm 4 Stpt. Moment -88,0 knm I z 604 *10 4 mm 4 Σ Moment (q*l ) 0 knm I t 0 *10 4 mm 4 W y;pl 64 *10 3 mm 3 β 0,00 M y;u 146,6 knm B* 1,00 M ke 54,4 knm k red 1,00 λ rel 0,76 C 1 1,80 ω kip 0,8 kromme a C 0,00 M kip 10,0 knm S profiel 135, v C 7,80 v u.c. M y;max;s /(ω kip;y *M y;u ) 0,733 < 1 (1.-3) Fig. C. 5 Tabel met toetsing op kipstabiliteit C.3 Conclusie De bewerkelijke toetsing van de profielen op knik en kip is op deze wijze te automatiseren zodat voor elke willekeurige afmeting van een hal, en elke willekeurige profieltoepassing (gegevens van de profielen worden even eens uit een databases uit gelezen) getoetst kunnen worden. De interactie tussen knik en kip kan eenvoudig gedaan worden met de formule 1.3-1 van de NEN 6770: 1.1* ω N c; s; d * N y; buc c; u; d M y;max; + 1.1* ω * M kip s; d y; u; d 1 Hiermee is de toetsing van de warmgewalst profielen volledig geautomatiseerd in de spreadsheet. 5 Deze database met 1000 waarden is beschikbaar gesteld door Bouwen met Staal, tussenliggende waarden worden met lineaire interpolatie bepaald 3
D. Invoergegevens van de spreadsheet In dit hoofdstuk wordt een omschrijving en weergave van de benodigde invoer voor de berekening van een hal gegeven. De invoer is in twee hoofdcategorieën te splitsen namelijk de invoer van de geometrie en de warmgewalste profielen, en de invoer c.q. dimensionering van de koudgevormde profielen. Om de totale invoer zo gebruiksvriendelijk mogelijk te maken, en om foutieve invoer te voorkomen is er voor gekozen zoveel mogelijk scroll-down menu s toe te passen. De benodigde geometrie afmetingen kunnen numeriek ingevoerd worden in de velden met blauwe nummers. De toetsingsresultaten, en de algehele controle of aan alle voorwaarden wordt voldaan wordt aan het einde van de invoer gegeven. D.1 Invoer van de geometrie en de w.g.p. De invoer van de hal wordt onder gesplitst in enkele hoofdpunten: Bij algemene gegevens kan de veiligheidsklasse 1, of 3 worden geselecteerd, afhankelijk van de gestelde eisen. Indien de gebruiker de normtekst hierover wenst te lezen kan geklikt worden op de hyperlink info. Hetzelfde geldt voor de referentieperiode, deze kan 1, 15 of 50 jaar zijn, ook hier wordt de van belang zijnde normtekst als extra informatie gegeven. Bij de terreingegevens kan gekozen worden voor een onbebouwd terrein of een bebouwd terrein. Het windgebied kan 1, of 3 zijn, afhankelijk van de locatie van het gebouw. Nadere informatie hierover wordt gegeven achter de hyperlink info. Bij de gebouwgegevens kunnen diverse geometrie gegevens ingevoerd worden. De meeste invoervelden spreken hierbij voor zich. De geometriematen worden ingevoerd als hartmaten, de buitenmaten van de hal zullen dus groter worden als in het volgende stadium een profiel gekozen wordt die groter is dan de eerste invoer, daarom is het verstandig de invoer nog eens terug te lezen. De keuze tussen wel of geen dakranden heeft te maken met de sneeuwbelasting. Indien er geen grote randen aanwezig zijn, mag de sneeuwbelasting worden gereduceerd, informatie hierover wordt gegeven in de normtekst achter de hyperlink info. De afbouwgegevens zijn direct gekoppeld aan een databases met productgegevens. De keuze van de afbouwconstructie is van belang bij de berekening in verband met het eigengewicht. Door de hyperlink te activeren wordt informatie hierover gegeven, hier vandaan is het ook mogelijk direct door gelinkt te worden naar de databases zodat de eigengewichten kunnen worden aangepast naar wens. De beplatingsruwheid is van belang bij de berekening van de windwrijving lang het dak respectievelijk de gevel. De indeling van de beplatingsruwheden is volgens de voorschriften in de NEN 670. Bij constructiegegevens moeten de eerste schattingen gemaakt worden voor de constructie. Het geschatte gewicht van gordingen en verbanden zijn echte ervaringsgetallen, enige informatie hierover wordt gegeven bij de invoer. Het aantal gordingen en wandregels heeft grote invloed bij de dimensionering van de gordingen respectievelijk de wandregels. Door een dakgording extra toe te passen zullen de dimensies van de gordingen afnemen maar kunnen de uiteindelijke kilo s k.g.p. toenemen, hier is het dus mogelijk wat te optimaliseren. In acht moet genomen worden dat de afbouwconstructie de gekozen overspanning kan maken. 33
Algemene gegevens Veiligheidsklasse info Referentieperiode 15 15 info Terreingegevens Terrein Onbebouwd Onbebouinfo Windgebied info Gebouwgegevens Gebouwhoogte (hartmaat) 7,68 m info Gebouwhoogte (uitw.maat) 8,09 Goothoogte (hartmaat) 4,40 m Goothoogte (uitw.maat) 4,57 m Gebouwbreedte (hartmaat) 18,00 m Gebouwbreedte (uitw.maat) 18,33 m Gebouwlengte (hartmaat) 40,00 m Gebouwlengte (uitw.maat) 40,60 m Aantal spanten 9 -- Spantafstand 5,00 m Gebouwtype Open 1 Open info Grote dakranden Geen Geen info Grote van overstek 0, m Zadeldakhelling 0,0 º info Afst. hartlijn spant tot b.k. nok 0,41 m Aantal kolommen in kopgevel 3 -- Afbouwgegevens Dakbeplating Wandbeplating Sandwichpaneel Sandwichpaneel Sandwic info Binnend info Beplatingsruwheid alg. Uitsteeksels 40mm Uitsteek info Beplatingsdikte dak 50 mm Beplatingsdikte wand 50 mm Constructiegegevens Gewicht gordingen, verbanden 0,05 kn/m {Advies voor deze schatting 0,05 kn/m²} Gewicht regels, verbanden 0,06 kn/m {Advies voor deze schatting 0,06 kn/m²} Aantal gordingen per dakzijde 5 -- Afstand tussen dakgordingen,39 m Aantal wandregels per gevel 4 -- Afstand tussen wandregels 1,47 m 34
Het eerste toetsingsoverzicht is de toetsing van de hoofddraagconstructie. Er kan gekozen worden uit diverse staalkwaliteiten en profielen. Met de button Berekenen worden de kniklengtes via de iteratieve methode, zoals deze beschreven staat in paragraaf C.1, gemaakt. Indien de kniklengtes niet juist zijn wordt aangegeven dat er een berekening moet plaats vinden, in alle andere gevallen is het niet nodig de button Berekenen te gebruiken. Tenslotte worden voor alle belastingsgevallen de unity checks gedaan en wordt aangegeven of aan de vervormingseisen wordt voldaan. Indien nergens een rode balk verschijnt, wordt voldaan aan alle eisen. Ook hier is het mogelijk te optimaliseren, een profiel lichter of zwaarder of misschien een ander profieltype kan een behoorlijke reductie van het aantal kilo s staal opleveren. Dimensionering en toetsing van de hoofddraagconstructie Staalkwaliteit S35 1 Profiel IPE 330 1 IPE Start berekening Berekenen Unity-Checks Vervormingen (mm) v u.c. y-y 0,039 < 1 u.c. z-z 0,037 < 1 u.c. y-y 0,571 < 1 u.c. interactie 0,670 < 1 u.c. y-y 0,03 < 1 u.c. z-z 0,03 < 1 u.c. y-y 0,493 < 1 u.c. interactie 0,578 < 1 u.c. y-y 0,049 < 1 u.c. z-z 0,104 < 1 u.c. y-y 0,593 < 1 u.c. interactie 0,767 < 1 u.c. y-y 0,074 < 1 u.c. z-z 0,050 < 1 u.c. y-y 0,533 < 1 u.c. interactie 0,668 < 1 u.c. y-y 0,448 < 1 u nok;vert 33,6 < 7,0 u knie;hor 10,6 < 9,3 u nok;vert 5,8 < 7,0 u knie;hor 7,9 < 9,3 u nok;vert 13,6 < 7,0 u knie;hor 17,7 < 9,3 35
Een zelfde systeem is er voor de dimensionering en toetsing van het kopgevelspant. Het kopgevelspant is bij de referentiehal als een geschoord portaal uitgevoerd omdat dit minder staal vereist. De kolommen en dakliggers kunnen met eenvoudige mechanicaformules berekend worden. Tenslotte worden de unity checks en vervormingseisen gegeven. Ook hier geldt weer, de optimale constructie wordt gevonden door met het lichtste profiel aan alle eisen te voldoen. Dimensionering en toetsing van het kopgevelspant Staalkwaliteit S35 1 Profiel IPE 140 4 IPE Unity-Checks u.c. y-y 0,475 < 1 u.c. y-y 0,05 < 1 u.c. z-z 0,056 < 1 u.c. y-y 0,53 < 1 u.c. y-y 0,05 < 1 u.c. z-z 0,056 < 1 u.c. y-y 0,637 < 1 u.c. interactie 0,763 < 1 Vervormingen (mm) u veld 16,3 < 19, u veld 9, < 19, u veld 16,5 < 19, Het kopgevel spant wordt opgedeeld door drie gevelstijlen, deze stijlen moeten de windbelasting op de kopgevel afdragen naar de achterliggende constructie. Omdat er drie stijlen worden ingebracht is de onderverdeling tweeledig namelijk een middenkolom en twee tussenkolommen. De dimensionering en toetsing gaat op gelijke wijze als de andere constructie onderdelen. Dimensionering en toetsing van de tussenkolom in het kopgevelspant Staalkwaliteit S35 1 Profiel IPE 160 5 IPE Unity-Checks u.c. y-y 0,076 < 1 u.c. z-z 0,074 < 1 u.c. y-y 0,808 < 1 u.c. interactie 0,97 < 1 Vervormingen (mm) u veld 31, < 40,3 36
Dimensionering en toetsing van de middenkolom in het kopgevelspant Staalkwaliteit S35 1 Profiel IPE 00 7 IPE Unity-Checks u.c. y-y 0,09 < 1 u.c. z-z 0,05 < 1 u.c. y-y 0,698 < 1 u.c. interactie 0,799 < 1 Vervormingen (mm) u veld 36,6 < 51, Tussen de hoofdspanten onderling en tussen de kopgevelspant en het eerste volgende hoofdspant worden drukstaven toegepast om de horizontale drukkrachten van de kopgevels af te dragen naar de windverbanden in de langsgevels. De drukstaven worden alleen belast op druk, en behoeven daarmee alleen getoetst te worden op knik. Ook hier kunnen diverse profielen en staalkwaliteiten gekozen worden. De toetsing wordt op dezelfde wijze gepresenteerd als bij de voorgaande onderdelen. Dimensionering en toetsing van de drukstaven Staalkwaliteit S35 1 Profiel RHS 70x70x3110 RHS Unity-Checks u.c. y-y 0,817 < 1 u.c. z-z 0,817 < 1 Als laatste controle worden de eindresultaten van de unity checks van de koudgevormde profielen gegeven. Deze checks geven de eindresultaten van de maximale die optreden. Dimensionering en toetsing van gordingen en wandregels Z-gording dakvlak Wandregel langsgevel Wandregel kopgevel Aan alle spanningscontroles wordt voldaan (σ 38,3 < 355 N/mm²) Aan alle unity checks wordt voldaan (u.c. 0,98) Er wordt aan de vervormingseis voldaan (δ 7,07 < 0 mm) Voor herdimensionering klik hier v Aan alle spanningscontroles wordt voldaan (σ 44,1 < 355 N/mm²) Aan alle unity checks wordt voldaan (u.c. 0,993) Er wordt aan de vervormingseis voldaan (δ 15,45 < 0 mm) Voor herdimensionering klik hier v Aan alle spanningscontroles wordt voldaan (σ 46,6 < 355 N/mm²) Aan alle unity checks wordt voldaan (u.c. 0,989) Er wordt aan de vervormingseis voldaan (δ 9,44 < 18 mm) Voor herdimensionering klik hier 37