De verlichtingsformule - voorbeelduitwerking - Opdracht bij van licht tot zicht - Kees van Overveld In de fysische laag gaat het over de wisselwerking tussen lichtbronnen, lichtstralen, reflecterende oppervlakken en absorptie. Een belangrijk resultaat is de formule (1) (dictaat, kleurenpagina 83) die alle belangrijke grootheden die met reflectie te maken hebben met elkaar in verband brengt. Uit deze formule zijn tal van visuele effecten kwalitatief te begrijpen (zoals hoge lichtjes, reliëf, oplichtende silhouetten, ). In deze opdracht zullen we zien dat de formule ook belangrijk is voor kwantitatieve toepassingen. Je kunt hierbij denken aan vragen zoals: wat voor soort verlichting moet ik in wat voor soort omstandigheden gebruiken (straatverlichting, verlichting van operatiezalen, theaters, onderwijsruimtes kortom: situaties waarin bepaalde eisen gesteld worden aan verlichtingssterkte, het waarnemen van afstanden en diepte, enzovoort. We gaan hier eerst kijken naar ouderwetse fietslampjes, d.w.z. gloeilampjes waarmee voor- en achterlicht van een fiets toegerust zijn. 1. Welke eisen worden gesteld aan het voorlicht resp. het achterlicht van een fiets? Het achterlichtje informeert een achteropkomende (of van schuin-achter komende) weggebruiker: pas op hier rijdt een fiets. Het voorlicht stelt de fietser zelf in staat om iets van zijn omgeving te zien (bijvoorbeeld markeringen op de weg. Het licht van de voorlamp moet daarom reflecteren, het licht van de achterlamp niet. Het licht van de voorlamp moet geschikt zijn om iets te verlichten, ongeacht welke kleur dat iets heeft, en het licht van de achterlamp moet een signaalfunctie (=betekenis) hebben. Tenslotte mag het licht van de voorlamp tegemoetkomend verkeer op de andere weghelft niet verblinden. 2. Noem enkele belangrijke (kwalitatieve en kwantitatieve) verschillen tussen voorlicht en achterlicht, en breng die in verband met de eisen van vraag 1. De spectrale samenstelling van de voorlamp is breed en liefst continu immers, je weet niet op welke oppervlakken het voorlicht gaat reflecteren. De spectrale samenstelling van het achterlicht is smal (idealiter één lijn). Immers, door verstrooiing worden spectra breder (atmosferisch perspectief!) en daarom wordt het licht minder fel (=verzadigd) van kleur. De informatie rood gaat verloren op grote afstand: het wordt minder verzadigd (grijzer, d.w.z., minder uitgesproken rood). Voorts wordt het voorlicht gereflecteerd, en het teruggekaatste licht wordt dus o.m. verzwakt door de bidirectionele reflectiecoëfficiënt van het reflecterend oppervlak, en de diverse cosinustermen in formule (1). Tenslotte wordt het licht van de voorlamp gebundeld: omdat het alleen dient om het wegdek voor de fietser te verlichten is een relatief nauwe bundel voldoende; een brede bundel zou zonde zijn van de energie, en zou tegemoetkomend verkeer op de andere weghelft kunnen hinderen. Het achterlicht daarentegen moet zichtbaar zijn vanuit zoveel mogelijk richtingen (ook voor verkeer dat van links of rechts komt moet het duidelijk zijn dat er een fietser rijdt, want aangereden worden van opzij is net zo pijnlijk als aangereden worden van achteren). Daarom moet het licht van het achterlichtje breed gespreid worden er is
dus geen parabolische reflector. 3. Formule (1) is redelijk toepasbaar voor één van de twee (voorlicht of achterlicht) en slecht toepasbaar voor de ander. Geef een beredeneerd antwoord voor welke van de twee formule (1) redelijk toepasbaar is, maar geef ook minstens één punt waarop de toepassing waarschijnlijk spaak loopt. Doe een voorstel voor een (benaderde) correctie. Formule (1) gaat over de energieoverdracht bij reflectie en is dus alleen van toepassing voor het voorlicht. De formule veronderstelt echter dat de lichtbron een puntbron is, en dus in alle richtingen evenveel energie verspreidt. Doordat het voorlicht een (parabolische) reflector bevat, wordt het licht in een nauwe bundel uitgestraald. Het wordt daarom veel minder verzwakt bij toenemende afstand r i dan beschreven wordt door de 1/r i 2 factor. Daarentegen is er een afhankelijkheid van de hoek van de lichtstraal met de as van de koplamp. Als je die hoek ψ a noemt zou dat bijvoorbeeld gegeven kunnen worden door een extra factor cos f (ψ a ) in de formule; f is een getal tussen 0 en oneindig dat aangeeft hoe nauw de bundel is. Voor f=0 is er geen bundeling, en schijnt het licht in alle richtingen even sterk; voor f=oneindig is er alleen maar licht in precies de richting van de as van de parabolische reflector (bijvoorbeeld een laserstraal die duizenden kilometers lang kan zijn zonder te divergeren). In het laatste geval is er helemaal geen afhankelijkheid van r i ; in het eerste geval is de afhankelijkheid van r i precies gelijk als in de oorspronkelijke formule. Je zou de afhankelijkheid van r i dus kunnen opschrijven als r i (-2/(f+1)). Ga maar na: f=0 levert precies weer de oorspronkelijke formule: geen bundeling, en de r i =afhankelijkheid is gegeven door r i -2 ; als f naar oneindig gaat is de bundeling extreem (alleen maar licht in een lijnvormige bundel langs de as van de reflector in de koplamp), en er is geen afstandsafhankelijkheid meer over: een parallelle bundel blijft (als we de absorptie verwaarlozen) op willekeurige afstand altijd even intens. Dus we breiden de formule uit door er een factor cos f (ψ a ) r i (2f/(f+1)) voor te zetten om het effect van de parabolische spiegel (semi-kwanititatief) te modelleren. Merk op dat dit natuurlijk niet de enige manier is waarop we dit gedrag kunnen beschrijven, er zijn ook andere formules mogelijk met een zelfde soort gedrag (sterker nog: de uitbreiding die ik voorstel voldoet niet aan de wet van behoud van energie! Voel je uitgedaagd, en verzin een betere correctie die wel aan de wet van behoud van energie voldoet!). Met een correctie zoals de hierboven voorgestelde zou je bijvoorbeeld bij computergraphics het effect van een schijnwerper kunnen modelleren in plaats van een puntvormige lichtbron. 4. Stel dat wegmarkeringen (bijvoorbeeld een stopstreep) geschilderd zijn met een witte verf met ρ=0.7. Gebruik de formule (1) om een ruwe schatting te maken van het verschil in waargenomen helderheid tussen het licht van een voorlampje en van een achterlampje, en geef een interpretatie van dit verschil (veronderstel dat beide lampjes gloeilampjes zijn; hint: misschien heb je de figuur van sheet 2 van presentatie nr. 2 nodig. Verzin zelf hoe je achter eventueel verdere benodigde gegevens kunt komen.) Begin met het uitvergroten van de grafiek van sheet 2, zodat je een beetje nauwkeurig kunt zien hoe het spectrum verloop is in het zichtbare gebied. Een gloeilamp bevat een metaaldraad, en het metaal met het hoogste smeltpunt is
wolfraam. Daarvan is het smeltpunt 3422 C (Internet, http://nl.wikipedia.org/wiki/wolfraam ); een gloeilamp heeft dus in ieder geval een temperatuur die lager is dan ca. 3000 K. Het spectrum is dus niet hoger dan de onderste curve in het plaatje van sheet 2, en in het zichtbare gebied is dat zo ongeveer een rechte, stijgende lijn. De bijdrage bij blauw is ongeveer 0, en bij rood is het maximaal. Als we het spectrum in 7 even brede stukken verdelen voor de 7 onderscheidbare kleuren, is rood het 1/7 meest rechtse deel van het zichtbare spectrum. De oppervlakte van een driehoek is basis X halve hoogte. Als de driehoek voor het totale spectrum oppervlakte 1 heeft, is de driehoek van alle kleuren van violet tot en met oranje dus (6/7) 2 = circa 73.5 % van de oppervlakte van het geheel. Het rode deel van het spectrum bevat dus 100%-73% ofwel ongeveer een kwart van het vermogen. Om eenzelfde hoeveelheid lichtvermogen uit te stralen moet een gloeilamp met roodfilter dus ongeveer 4 x zoveel vermogen opnemen als een witte gloeilamp. Om dezelfde waargenomen helderheid op te leveren wordt dit verschil nog groter: dan moeten we namelijk ook de spectrale ooggevoeligheid in rekening brengen. Die haal je bijvoorbeeld uit http://en.wikipedia.org/wiki/color_vision. Als het oog voor alle golflengten even gevoelig zou zijn zou er een extra factor van ca. 7 verschijnen: die zelfde 1/7 die we eerder zagen omdat er 7 kleuren onderscheiden worden. Omdat het oog gevoeliger is in het midden van het spectrum dan aan de randen is die factor echter beduidend groter dan 7. Zie bijvoorbeeld de grafiek http://en.wikipedia.org/wiki/file:eyesensitivity.png. De oppervlakte onder de grafiek in het rode deel van het spectrum schatten we op ruwweg 1/10 van de totale oppervlakte, in totaal levert dus één Watt elektrische vermogen in het achterlichtje een ongeveer 4 x 10 = 40 keer lagere waargenomen helderheid op als één Watt in het voorlampje. Deze factor 40 zullen we in het vervolg de rood-wit -factor noemen. Vervolgens kijken we naar de geometrie (hoeken en afstanden). Het licht van de voorlamp reflecteert tegen het wegdek, en we gebruiken formule (1). We maken het ons makkelijker door te realiseren dat het oog van de fietser zich vrij dicht bij zijn eigen koplamp bevindt. De invallende lichtstraal en de teruggekaatste lichtstraal hebben dus ruwweg dezelfde richting, en cos ψ i valt (ongeveer) weg tegen cos ψ u. Een verdere vereenvoudiging krijgen we door de cos 4 ψ l weg te laten: we nemen aan dat de fietser kijkt naar de reflectie van zijn eigen voorlicht, dus de optische as van zijn oog is gericht langs de teruggekaatste lichtstraal. Tenslotte moeten we wel rekening houden met de werking van de parabolische reflector. Zeg dat de grootte van de lichtvlek op straat een straal van L heeft op afstand r voorlicht voor de fietser. Dan is het licht dat normaalgesproken over een bol met oppervlak 4π r voorlicht 2 uitgespreid zou zijn, gefocust op een oppervlak van πl 2. Daarmee verschijn er een extra factor 4r voorlicht 2 /L 2 in de formule. Uiteindelijk krijgen we (na al onze benaderingen) dus d 2 E retina, voorlicht = 4 ρ P voorlicht A P d 2 R / 32 π 3 L 2 b 2 {32 π3 is ongeveer 1/1000} 0.004 ρ P voorlicht A P d 2 R / L 2 b 2 { ρ=0.7, gegeven} 0.003 P voorlicht A P d 2 R / L 2 b 2 De totale hoeveelheid energie die de retina bereikt krijgen we door rekening te houden met de grootte van het door het voorlicht verlichte gebied op straat, zoals het geprojecteerd wordt op de retina. Een cirkelvormig gebied met straal L gezien op
afstand r voorlicht levert (verwaarloos de hoekeffecten, veronderstel loodrechte projectie) een gebiedje van πl 2 b 2 /r voorlicht 2 op op de retina. We veronderstellen de helderheid binnen dat gebiedje constant. Integreren over de retina wordt dus simpelweg vermenigvuldigen met de oppervlakte van het geprojecteerde gebiedje. Dus: E retina,voorlicht 0.003 π P voorlicht A p /r voorlicht 2 0.01 P voorlicht A p /r voorlicht 2 (2) Voor het achterlicht is de situatie nog eenvoudiger. Er is geen reflecterend oppervlak, en de totale hoeveelheid licht die het oog bereikt is een fractie A p /(4πr achterlicht 2 ) van het door het lampje uitgestraalde vermogen (inderdaad: de oppervlakte van de pupil gedeeld door de oppervlakte van een bol met straal r achterlicht aannemende dat het achterlichtje in alle richtingen evenveel straalt, en dat het achterlicht een afstand r achterlicht van het oog van een achteropkomende weggebruiker vandaan is). De energie die de retina bereikt van het achterlicht is dus E retina, achterlicht = rood-wit factor x P achterlicht A P / 4πr achterlicht 2. { rood-wit factor / 4π 3} 3 P achterlicht A P / r achterlicht 2. (3) Als we, om het effect van het voorlicht en het achterlicht te vergelijken, r voorlicht en r achterlicht gelijk nemen volgt dus E retina,voorlicht /E retina,achterlicht 0.01 P voorlicht /3P achterlicht (4) Het traditionele voorlampje (gloeilampje) heeft een vermogen van ca. 6 Watt, en het achterlicht ca. 0.3 Watt (zie bijvoorbeeld http://www.elfiets.nl/deurtrapper/2003_2004_deurtrapper_verlichting/index.htm ). Dan wordt deze verhouding 0.01 x 6/(3 x 0.3) ofwel ca. 0.06. De zichtbaarheid van de fietser voor achteropkomend verkeer komt dus overeen met een grotere waargenomen helderheid dan de helderheid van de omgeving zoals de fietser die waarneemt ten gevolge van de verlichting door zijn eigen koplamp. Dit is niet zo verwonderlijk: de fietser zelf hoeft niet geattendeerd te worden op de aanwezigheid van een omgeving: zijn aandacht is er al op gericht, terwijl de aanwezigheid van een fietser met enige nadruk onder de aandacht van de nietsvermoedende achteropkomende weggebruiker gebracht moet worden. Overigens is het verschil van 0.06 niet zo groot als je bedenkt dat de gevoeligheid van onze zintuigen ruwweg logaritmisch verloopt met de energie in het waargenomen signaal. 5. Bij moderne fietsen zijn zowel voorlampje als achterlichtje LEDs of andere lichtbronnen met een lijnenspectrum. Wat verandert er aan je antwoord bij 4? De spectrale ooggevoeligheid zorgt dat de rood-wit factor nog steeds (ruwweg) een factor 10 bevat. Omdat het licht van LEDs een lijnenspectrum is, hoeft bij het maken van rood licht niet een wit spectrum gefilterd te worden. In plaats daarvan kan een
zo zuinig mogelijk wit spectrum verkregen worden door niet meer dan een paar spectraallijnen (in het volgende hoofdstuk zullen we zien: niet meer dan 2!) te nemen. De rood-wit factor wordt dus in totaal kleiner ongeveer 20 in plaats van 40. Als we opnieuw een verhouding tussen de hoeveelheden energie die de retina van voorlicht en achterlicht bereiken van ongeveer 0.06 willen hebben, moet het achterlicht verhoudingsgewijs een twee keer groter vermogen krijgen. De elektrische vermogens van beide LEDs zijn natuurlijk wel veel kleiner dan van de overeenkomende gloeilampjes omdat er minder energie in het infrarood verspild wordt. 6. De wegbeheerder is er alles aan gelegen om wegmarkeringen goed zichtbaar te laten zijn. Daardoor wordt onder meer onderzoek gedaan aan (witte) markeerverf. Geef, in de termen van de fysische laag, eisen aan goede markeerverf. De reflectiviteit (BDR) moet hoog zijn om een zo groot mogelijk contrast met de donkere ondergrond (asfalt, klinkers) te krijgen. Het reflectiespectrum moet zo continu mogelijk zijn omdat steeds meer fietsers LED-voorlichten gebruiken met lijnenspectra. Ten slotte moet de reflectie zo diffuus mogelijk zijn (of eventueel retroreflectief, dat wil zeggen dat licht vooral teruggekaatst wordt in dezelfde richting waarin het binnenvalt vergelijk met een katteoog want dan heeft de fietser er het meeste aan). De verf mag in ieder geval niet glimmen: dan heeft de fietser er namelijk niets aan (de lichtenergie van zijn voorlicht wordt verspild), en werkt het extra verblindend voor eventuele tegenliggers. De eis van diffuse terugkaatsing is makkelijk te bereiken door het oppervlak ruw te laten zijn, maar daarmee neemt ook de totale reflectiviteit af (immers, bij grotere invals- en terugkaatsingshoeken worden dan verhoudingsgewijs meer lichtstralen geblokkeerd). Het is dus een uitdagend dilemma om hoog-reflectieve verf te maken die diffuus reflecteert. 7. Een fabrikant van verf heeft een verbeterde verf samengesteld voor wegmarkeringen. Bedenk een methode om de ρ (=de bidirectionele reflectiecoefficient, BDR) van die verf experimenteel te meten. Probeer geen gebruik te maken van veronderstelde slimme eigenschappen van intelligente sensoren. Waarschijnlijk zal de door jou voorgestelde methode alleen maar onder bepaalde aannames werken; geef daarom ook een kritische beschouwing van de tekortkomingen van je methode. Meten is vergelijken. Zorg ervoor dat, van een lichtbron, twee lichtstralen op een scherm geprojecteerd worden, waarbij een waarnemer moet proberen de waargenomen helderheden van de twee projecties gelijk te maken: zoals we hebben gezien is het MVS er goed toe in staat om vast te stellen of twee percepten al dan niet onderscheidbaar zijn. In de ene lichtstraal vindt reflectie plaats tegen een oppervlak met de onbekende ρ, de andere lichtstraal wordt niet gereflecteerd. Als de twee waargenomen reflecties even helder lijken, is het verschil in primaire intensiteit dus terug te rekenen, met gebruik van formule (1), naar de onbekende BDR. Om de primaire intensiteit te kunnen regelen vallen beide lichtstralen door een verzwakker die door de waarnemer traploos geregeld kan worden tussen 0% (geen licht wordt doorgelaten) en 100% (alle licht wordt doorgelaten). Zo n verzwakker is bijvoorbeeld een beroette glasplaat waarbij het roet geleidelijk van 0 tot maximaal verdeeld is.
Om de hoekafhankelijkheid van ρ te meten moet het reflecterend oppervlak zowel ten opzichte van de invallende lichtstraal als ten opzichte van de teruggekaatste lichtstraal (liefst onafhankelijk van elkaar) gekanteld kunnen worden. Daarnaast moet het ook nog gedraaid kunnen worden rondom de beide lichtstralen voor het geval we verwachten dat de reflectie anisotroop is. Een probleem met deze methode is dat de waarnemer een uitspraak moet doen over het al dan niet gelijk zijn van de helderheid van twee lichtvlekken die eventueel een verschillende spectrale samenstelling kunnen hebben, en dus verschillende kleuren laten zien. Dit probleem is te ondervangen door de meting uit te voeren met monochroom licht, d.w.z. de hoekafhankelijke ρ voor elke golflengte apart op te meten. Om metingen met verschillende golflengten te combineren moeten we dan gebruik maken van de spectrale ooggevoeligheidsverdeling. Deze is tegenwoordig (voor de gemiddelde waarnemer) goed bekend. Het meten van deze kromme zelf is overigens niet triviaal; voel je uitgedaagd om ook hiervoor een methode te bedenken!