Meergraadsvergelijkingen

Meergraadsvergelijkingen Meergraads vergelijkingen In dit hoofdstuk gaan we ons bezig houden met tweede- en hogeregraads vergelijkingen. In een tweedegraads vergelijking komt de onbekende x tot de tweede macht voor. Een voorbeeld van een tweedegraads vergelijking is x 2-3 x + 2 = 0. We noemen dit ook wel een kwadratische vergelijking of een vierkantsvergelijking. Een tweedegraads vergelijking heeft twee oplossingen die we aanduiden met x 1 en x 2. Deze oplossingen berekenen we met de abc-formules. Bij deze formules gaan we uit van de algemene gedaante van zo n vierkantsvergelijking: a x 2 + b x + c = 0 Voor de oplossing x 1 geldt: x 1 = -b + ( b 2-4 a c ) 2 a Voor de oplossing x 2 geldt: x 2 = -b - ( b 2-4 a c ) 2 a We zien dat er twee abc-formules bestaan, één om de x 1 te berekenen en één om de x 2 te berekenen. Meestal komen we de abc-formules gecombineerd in de volgende vorm tegen: x 1,2 = -b ± ( b 2-4 a c ) 2 a Als voorbeeld lossen we de tweedegraads vergelijking x 2-3 x + 2 = 0 op. Voordat we de abc-formules kunnen invullen moeten we a, b en c bepalen. a is het getal dat bij de x 2 staat. Omdat x 2 eigenlijk 1 x 2 betekent, geldt a = 1. b is het getal dat bij de x staat dus b = -3. c is het losse getal in de vergelijking dus c = 2. Voor de oplossing x 1 geldt: -b + ( b 2-4 a c ) -(-3) + ( (-3) 2-4 1 2 ) 3 + 1 3 + 1 4 x 1 = = = = = = 2 2 a 2 1 2 2 2 Voor de oplossing x 2 geldt: -b - ( b 2-4 a c ) -(-3) - ( (-3) 2-4 1 2 ) 3-1 3 1 2 x 2 = = = = = = 1 2 a 2 1 2 2 2 De vergelijking x 2-3 x + 2 = 0 heeft dus twee oplossingen: 2 en 1. Blz 1 van 12

Dat betekent dat de vergelijking moet kloppen voor x = 2 en voor x = 1: We controleren voor x = 2: 2 2-3 2 + 2 = 4 6 + 2 = 0. Klopt! Voor x = 1 vinden we: 1 2-3 1 + 2 = 1 3 + 2 = 0. Klopt! Het grote voordeel van het oplossen van vergelijkingen is dat we altijd onze oplossing ter controle kunnen invullen. We weten dus altijd of onze oplossing goed is. Nog een voorbeeld: we willen de vergelijking 2 x 2 8 = 0 oplossen. a is het getal dat bij de x 2 staat dus a = 2. b is het getal dat bij de x staat. We missen hier echter een term met x. We kunnen ook zeggen dat er 0 x staat dus b = 0. c is het losse getal in de vergelijking dus c = -8. Voor de oplossing x 1 geldt: -b + ( b 2-4 a c ) 0 + ( 0 2-4 2-8 ) 0 + 64 8 x 1 = = = = = 2 2 a 2 2 4 4 Voor de oplossing x 2 geldt: -b - ( b 2-4 a c ) 0 - ( 0 2-4 2-8 ) 0-64 -8 x 2 = = = = = -2 2 a 2 2 4 4 Los de volgende vierkantsvergelijkingen op, geef de antwoorden in drie decimalen na de komma nauwkeurig: 1 a) x 2 4 x + 3 = 0 b) x 2 5 x + 4 = 0 c) w 2 w 2 = 0 d) y 2 2 y 8 = 0 e) t 2 3 t 4 = 0 f) p 2 + 3 p 4 = 0 2 a) x 2 4 x + 2 = 0 b) x 2 5 x + 3 = 0 c) w 2 w 3 = 0 d) y 2 2 y 7 = 0 e) t 2 3 t 5 = 0 f) p 2 + 3 p 5 = 0 3 a) 2 x 2 5 x + 2 = 0 b) -x 2 5 x + 3 = 0 c) 3 w 2 w 3 = 0 d) 2 y 2 2 y 7 = 0 e) 2 t 2 3 t 5 = 0 f) -2 p 2 + 3 p + 5 = 0 4 a) 2 x 2 2 = 0 b) -x 2 + 3 = 0 c) 3 w 2 6 = 0 d) 2 y 2 7 = 0 e) 2 t 2 3 t = 0 f) -2 p 2 + 3 p = 0 Soms zijn de beide oplossingen van een vierkantsvergelijking aan elkaar gelijk, voor bijvoorbeeld de vergelijking x 2 2 x + 1 = 0 geldt x 1 = 1 en x 2 = 1. Blz 2 van 12

Los de volgende vierkantsvergelijkingen op, geef de antwoorden in drie decimalen na de komma nauwkeurig: 5 a) x 2 4 x + 4 = 0 b) x 2 6 x + 9 = 0 c) w 2 + 4 w + 4 = 0 d) y 2 2 y + 1 = 0 e) t 2 + 2,5 t = 1,5625 f) p 2 1,8 p = 0,81 Ook is het mogelijk dat een vierkantsvergelijking geen reële oplossingen heeft. Bijvoorbeeld bij x 2 4 x + 5 = 0. Als we de abc-formules gaan invullen blijkt het gedeelte onder het wortelteken negatief: b 2 4 a c = (-4) 2 4 1 5 = 16 20 = -4! Vervolgens moeten we hieruit de wortel trekken en dat kunnen we op dit moment nog niet. Totdat we kennis hebben gemaakt met complexe getallen zeggen we dat een dergelijke vierkantsvergelijking geen oplossingen heeft. Los de volgende vierkantsvergelijkingen op, geef de antwoorden in drie decimalen na de komma nauwkeurig: 6 a) x 2 3 x + 3 = 0 b) x 2 6 x + 5 = 0 c) w 2 4 w + 2 = 0 d) y 2 2 y + 2 = 0 e) t 2 + 2,5 t + 2 = 0 f) p 2 1,8 p + 0,5 = 0 Een voorbeeld van een derdegraads vergelijking is x 3 6 x 2 + 11 x 6 = 0. We noemen dat een derdegraads vergelijking omdat de onbekende x er tot de derde macht in voorkomt. Derdegraads vergelijkingen hebben drie oplossingen. Met de formules van Cardano kunnen we deze drie oplossingen berekenen: x 1 = -b/(3 a) + 3 (-2 b 3 +9 a b c-27*a 2 d + [4 (-b 2 +3 a c) 3 +(-2 b 3 +9 a b c-27 a 2 d) 2 ]) / (3 3 [2] a) + 3 (-2 b 3 +9 a b c-27 a 2 d [4 (-b 2 +3 a c) 3 +(-2 b 3 +9 a b c-27 a 2 d) 2 ]) / (3* 3 [2] a). x 2 = -b/(3*a) + (-1+j [3])/2 3 (-2 b 3 +9 a b c-27 a 2 d + [4*(-b 2 +3 a c) 3 +(-2 b 3 +9 a b c-27 a 2 d) 2 ]) / (3 3 [2] a) + (-1-j [3])/2 3 (-2 b 3 +9 a b c-27 a 2 d [4 (-b 2 +3 a c) 3 +(-2 b 3 +9 a b c-27 a 2 d) 2 ] )/ (3 3 [2] a). x 3 = -b/(3 a) + (-1-j [3])/2 3 (-2 b 3 +9 a b c-27 a 2 d + [4 (-b 2 +3 a c) 3 +(-2 b 3 +9 a b c-27 a 2 d) 2 ]) / (3 3 [2] a) + (-1+j [3])/2 3 (-2 b 3 +9 a b c-27 a 2 d [4 (-b 2 +3 a c) 3 +(-2 b 3 +9 a b c-27 a 2 d) 2 ]) / (3 3 [2] a). Blz 3 van 12

Voor vierdegraads vergelijkingen bestaan ook dergelijke formules om de vier oplossingen te vinden maar deze zijn nog veel omvangrijker. Deze formules zijn niet echt handig om vergelijkingen met de hand op te lossen, wel kunnen we deze in een grafische rekenmachine zoals de TI-83+ onderbrengen of in een computerprogramma zoals DERIVE. Voor de TI-83+ kunnen we het programma POLYSMLT van internet downloaden. Via een link-kabel tussen PC en TI-83+ kunnen we vervolgens dit programma in onze rekenmachine zetten. We kunnen de vergelijking x 3 6 x 2 + 11 x 6 = 0 dan als volgt oplossen: De derdegraads vergelijking x 3 6 x 2 + 11 x 6 = 0 heeft dus drie oplossingen 1, 2 en 3. Ter controle vullen we voor x het getal 3 in: 3 3 6 3 2 + 11 3 6 = 27 54 + 33 6 = 0, klopt! Onderstaande figuur is het schermbeeld van de symbolische rekenmachine TI Voyage-200: Symbolische rekenmachines hebben alle eigenschappen van grafische rekenmachines, maar kunnen ook algebraïsche bewerkingen uitvoeren zoals exact vergelijkingen oplossen, formules manipuleren, differentiëren en integreren. Met de LOSOP-opdracht kunnen we hier een willekeurige vergelijking oplossen. We voeren de volgende opdracht in: losop(x^3 6x^2 + 11x 6 = 0, x) gevolgd door ENTER. Het resultaat verschijnt op het display: x = 3 of x = 2 of x = 1. Blz 4 van 12

Hetzelfde kunnen we ook met het computerprogramma DERIVE: Na het openen van DERIVE typen we op de invoerregel onderaan de volgende uitdrukking, gevolgd door ENTER: Deze regel verschijnt vervolgens boven in het uitvoerscherm. Omdat we deze vergelijking willen oplossen klikken we boven in de werkbalk op het oplosikoon waarna het volgende oplosscherm verschijnt: : Als we tenslotte op het approximate-ikoon ( ) op de werkbalk klikken, verschijnt de oplossing: Na klikken op Oplossen volgt: In het oplosvenster hebben we als oplossingsmethode voor algebraïsch gekozen. Logisch omdat we een derdegraads vergelijking algebraïsch (met formules) kunnen oplossen. Dat zelfde geldt voor een vierdegraads vergelijking. Een vijfde- of hogeregraads vergelijking kan niet algebraïsch worden opgelost dus daar moeten we in DERIVE kiezen voor een numerieke oplosmethode. Als we niet weten of een vergelijking algebraïsch kan worden opgelost kiezen we voor de optie Beide. DERIVE probeert dan de vergelijking eerst algebraïsch op te lossen. Als dat niet lukt wordt een numerieke methode geprobeerd. Blz 5 van 12

Op internet kunnen we verder zogenaamde online calculators vinden waarmee we onder andere zo n derdegraads vergelijking kunnen oplossen. Kijk maar eens op http://www.1728.com/indexalg.htm Klik vervolgens op de optie CUBIC EQUATIONS (derdegraads vergelijkingen) waarna we het volgende scherm zien: We kunnen hier de waarden voor A, B, C en D invoeren en op ENTER klikken: Blz 6 van 12

Los met DERIVE de volgende vergelijkingen op en geef de antwoorden in drie decimalen na de komma nauwkeurig: 7 a) x 3 + 1,6 x 2 4,05 x 6,3 = 0 b) x 3 4,4 x 2 1,97 x + 14,28 = 0 c) w 3 6,48 w 2 + 3,84 w + 24,32 = 0 d) 2 y 3 35,84 y 2 158,144 y + 68,864 = 0 8 a) x 4 + 0,3 x 3 10,3 x 2 4,8 x + 18 = 0 b) x 4 + 1,2 x 3 7,64 x 2 4,8 x + 14,56 = 0 c) 2 x 4 + 10,22 x 3 + 9,05 x 2 22,44 x 31,32 = 0 d) - 3 x 4 + 5,73 x 3 + 28,998 x 2 23,7465 x 66,339 = 0 Bij het volgende voorbeeld gaan we eerst kruislings vermenigvuldigen. Daarna haakjes uitwerken en alles naar de linkerkant van het =teken brengen: 6 t + 5 5 = 3 t 2 t 4 (6 t + 5) (t 4) = 5 (3 t 2) 6 t 2 24 t + 5 t 20 = 15 t 10 6 t 2 24 t + 5 t 20 15 t + 10 = 0 6 t 2 34 t 10 = 0. Dit is weer een vierkantsvergelijking die we oplossen met de abc-formule. Met a = 6, b = -34 en c = -10 vinden we: t 1 = 5,9469 en t 2 = -0,2803. Ter controle vullen we voor t de waarde 5,9469 in. Er volgt: (6 5,9469 + 5) (3 5,9469 2) (5) (5,9469 4) = -0,00002861. Klopt!! In DERIVE lossen we deze vergelijking als volgt op: Na ENTER zien we in het uitvoervlak: Blz 7 van 12

Vervolgens met Oplossen / Uitdrukking / Oplossen volgt: Merk op dat we na Oplossen het resultaat in regel #3 in wortelvorm krijgen. Klikken op het benaderen-ikoon levert de oplossingen in decimale vorm. Geef de antwoorden van de volgende vraagstukken in wetenschappelijke notatie met vier cijfers na de komma. 9 2 x 5 x 5 = 3 x + 2 4 10 4 u 3 u + 2 = 3 u + 5 u 6 11 4 w + 3 w + 2 = 2 w 5 6 We bekijken het volgende vergelijkingenstelsel: 2 x + y = 3 x y = 1 We kunnen dit vergelijkingenstelsel niet met de schoorsteenmethode oplossen. In de tweede vergelijking komt namelijk het product van x en y voor. 2 x + y = 3 y = 3 2 x x y = 1 Uit de eerste vergelijking volgt y = 3 2 x. Blz 8 van 12

Als we vervolgens in de tweede vergelijking y vervangen door 3 2 x volgt: x ( 3 2 x ) = 1 3 x 2 x 2 = 1-2 x 2 + 3 x 1 = 0. Meergraads vergelijkingen Dit is weer een vierkantsvergelijking die we kunnen oplossen met de abc-formules uit het begin van dit hoofdstuk. Met a = -2, b = 3 en c = -1 volgt x 1 = 0,5 en x 2 = 1. Tenslotte moeten we bij elke x de bijbehorende y berekenen: x 1 = 0,5 y 1 = 3 2 x 1 = 3 2 0,5 = 2. x 2 = 1 y 2 = 3 2 x 2 = 3 2 1 =1. Ter controle vullen we x 1 en y 1 in de tweede vergelijking in: 0,5 2 = 1. Klopt!! Vergelijkingenstelsels oplossen in DERIVE doen we als volgt: We klikken op Oplossen / Stelsel: Het aantal staat al op 2 dus we klikken op OK: We zien nu een invulscherm waarin we de twee vergelijkingen kunnen typen. Ga steeds naar het volgende invulvlak met de TAB-toets op je toetsenbord. Blz 9 van 12

Na het klikken op Oplossen volgt: Het eindresultaat op regel #3 vinden we weer met het benader-ikoon. Geef de antwoorden van de volgende vraagstukken in wetenschappelijke notatie met twee decimalen achter de komma 12 a + 2 b = 7 2 a b = 6 13 v + 3 w = 2 3 v w = 1 14 2 r 3 s = 1 r s = 2 Voor het oplossen van het laatste type vergelijkingenstelsels kunnen we natuurlijk ook een programma schrijven in TI-BASIC voor de grafische rekenmachine TI-83: Blz 10 van 12

De listing van dit programma MAALPLUS ziet er als volgt uit: Zie ook www.ditmar.org Links workshop TI-83 Programmeren in TI-BASIC Om een nieuw programma in te typen gaan we met PRGM naar NIEUW. We kiezen optie 1: Maak Nieuw en voeren als programmanaam MAALPLUS in. In de EDIT-mode maken we gebruik van TEST, PRGM en CATALOG om bijzondere tekens en opdrachten in ons programma te importeren, respectievelijk: Blz 11 van 12

Antwoorden meergraadsvergelijkingen Meergraads vergelijkingen 1 a) 3,000 ; 1,000 b) 4,000 ; 1,000 c) 2,000 ; -1,000 d) 4,000 ; -2,000 e) 4,000 ; -1,000 f) 1,000 ; -4,000 2 a) 3,414 ; 0,586 b) 4,303 ; 0,697 c) 2,303 ; -1,303 d) 3,828 ; -1,828 e) 4,193 ; -1,193 f) 1,193 ; -4,193 3 a) 2,000 ; 0,500 b) 5,541 ; 0,541 c) 1,180 ; -0,847 d) 2,436 ; -1,436 e) 2,500 ; -1,000 f) 2,500 ; -1,000 4 a) 1,000 ; -1,000 b) 1,732 ; 1,732 c) 1,414 ; -1,414 d) 1,871 ; -1,871 e) 1,500 ; 0,000 f) 1,500 ; 0,000 5 a) 2,000 ; 2,000 b) 3,000 ; 3,000 c) 2,000 ; -2,000 d) 1,000 ; 1,000 e) 1,250 ; -1,250 f) 0,900 ; 0,900 6 a) Geen oplossing b) 5,000 ; 1,000 c) 3,414 ; 0,586 d) Geen oplossing e) Geen oplossing f) 1,457 ; 0,343 7 a) 1,500 ; -2,100 ; 2,000 b) 1,700 ; 2,100 ; 4,000 c) 1,520 ; 4,000 d) 21,520 ; 0,400 ; -4,000 8 a) 1,200 ; -2,000 ; 3,000 ; -2,500 b) 1,400 ; -2,000 ; 2,000 ; -2,600 c) 1,500 ; -2,000 ; -2,610 d) 1,500 ; -2,100 ; 2,000 ; 3,510 9 0,5139 ; 6,4861 10 37,7883 ; 0,2117 11-1,0344 ; 13,5344 12 a 1 = 6,0000 en b 1 = 5,000 10-1 of a 2 = 1,0000 en b 2 = 3,000 13 v = 1,0000 en w = 3,3333 10-1 14 r 1 = -1,5000 en s 1 = -1,3333 of r 2 = 2,0000 en s 2 = 1,0000 Blz 12 van 12