Twintig Vlaamse Wiskunde Olympiades:

Twintig Vlaamse Wiskunde Olympiades: De twintig meest misleidende vragen Gricha Plusnin en Stijn Symens Na twintig jaargangen Vlaamse Wiskunde Olympiade vonden we het eens tijd om terug te blikken en op zoek te gaan naar de vragen waarbij de deelnemers door de wedstrijdjury (al dan niet bewust) op het verkeerde been werden gezet We gingen daarom op zoek naar die vragen uit de voorbije twintig edities waarop een zeer groot percentage van de deelnemers één welbepaald foutief alternatief koos We kijken in dit onderzoek enkel naar vragen uit de eerste ronde aangezien die aan alle deelnemers gesteld werden U krijgt van ons in dit artikel de top 0 0 Op de twintigste plaats, maar toch nog met meer dan 40 procent fout op 1 alternatief, keren we terug naar 1991: VWO 6 (1991) ronde 1 vraag 6: Zij f : R + R : x x x, dan is f(r + ) gelijk aan (A) R + (B) R (C) [ 1 4, + [ (D) begrensd (E) [ 1, + [ VWO 6 Vraag 6 A 40,53 B 8,13 C 16,16 D 3,68 E 4,6 blanco 7,4 Een eenvoudige onderzoek van deze (continue) functie levert ons een indicatie van de grafiek: x 0 1/4 f (x) 0 + Het minimum van de functie wordt dus behaald in 1/4 met als waarde 1/4 en aangezien lim x x x =, is het beeld [ 1 4, + [ Opmerking: Mogelijk werd door de deelnemers het domein aangeduid in plaats van het beeld Anderzijds bekomt men, indien men wat waarden probeert in te vullen, te snel tot de conclusie dat f(x) steeds positief moet zijn om zo tot R + te komen Een alternatieve oplossing zonder afgeleiden kan gevonden worden door eliminatie van de alternatieven Bekijk de grafieken van f(x) = x en g(x) = x Zij snijden elkaar in (0, 0) en (1, 1) Vanaf x = 1 ligt de grafiek van f boven die van g en wordt het verschil tussen beide grafieken steeds groter: R + is al zeker een deel van het beeld Tussen 0 en 1 ligt de grafiek van f onder die van g en krijgen we dat x x negatief kan zijn, maar wel naar beneden begrensd is Enkel alternatief C en E voldoen nog aan die voorwaarde Dat x x = 1/ onmogelijk is, kan je afleiden uit een goede tekening van de grafieken van f en g 1

19 VWO 15 (000) ronde 1 vraag 10: Het aantal oplossingen in R van de vergelijking 1 x = 1 x is gelijk aan (A) 0 (B) 1 (C) (D) 3 (E) 4 VWO 15 Vraag 10 A 3,1 B 15,18 C 40,84 D 6,49 E 5,78 blanco 8,57 Opdat we de absolute waarden zouden kunnen wegwerken, onderscheiden we gevallen: (a) (b) 1 x 0 De vergelijking wordt dan 1 x = 1 x x x = 0 x = 0 of x = 1 1 x 0 De vergelijking wordt dan 1 x = 1 + x x + x = 0 x = 1 of x = In beide gevallen voldoen de getallen aan de gestelde voorwaarde We krijgen 3 oplossingen Alternatief zou men schoolser de eerste vergelijking kunnen kwadrateren (met kwadateringsvoorwaarde x 1), om uiteindelijk te komen tot x(x 1) (x + ) = 0, en de drie oplossingen x = 0, x = 1 en x = voldoen allen aan de kwadrateringsvoorwaarde 18 VWO 19 (004) ronde 1 vraag 9: We definiëren een functie in N als volgt: f(n) = n als n even is f(n) = 4n + 1 als n oneven is (voorbeelden: f(8) = 4, f(3)=13) Voor hoeveel natuurlijke getallen geldt dat f(f(n)) = 1 (A) 0 (B) 1 (C) (D) 3 (E) 4

VWO 19 Vraag 9 A 3,84 B,17 C 41,39 D 1,00 E 1,7 blanco 9,88 Met f(f(n)) = 1 komt overeen dat f(n) = 4 of f(n) = 5 In het eerste geval moet n = 84 (4 4n + 1) en in het tweede geval hebben we n = 10 of n = 1 17 VWO 18 (003) ronde 1 vraag 1: Mijnheer pastoor had om kosten te besparen zelf de klok van de kerk gerepareerd Per vergissing had hij de grote wijzer en de kleine wijzer op de verkeerde as gemonteerd Hoe vaak wijst de klok toch de juiste tijd aan tussen maandag 15 uur en dinsdag 15 uur? (A) (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 VWO 18 Vraag 1 A 1,56 B 14,08 C 4,51 D 6,4 E 3,79 blanco 0,6 De klok zal alleen de juiste tijd aanwijzen als de wijzers beide op dezelfde plaats staan Dit gebeurt verrassend genoeg slechts 11 keer per 1 uur: éénmaal als beide wijzers op de twaalf staan en 10 keer telkens tussen uur i en i + 1 voor elke i {1,, 10} 16 VWO 10 (1995) ronde 1 vraag 14: Hoeveel verschillende uitkomsten kunnen we verkrijgen door twee willekeurige (verschillende) getallen van de verzameling {4, 8, 9, 16, 7, 3, 64, 81, 43} te vermenigvuldigen? (A) 7 (B) 36 (C) 3 (D) 0 (E) 1 3

VWO 10 Vraag 14 A 10,1 B 4,61 C 7,99 D 3,03 E 0,87 blanco 15,34 We kunnen de verzameling schrijven door middel van de priemontbindingen: {, 3, 4, 5, 6, 3, 3 3, 3 4, 3 5 } De enige mogelijke produkten die dan gevormd kunnen worden zijn: i 3 j met i {,, 6} en j {,, 5}: 5 4 = 0 mogelijkheden i met i {5,, 11}: 7 mogelijkheden 3 i met i {5,, 9}: 5 mogelijkheden Dit levert in totaal 0 + 7 + 5 mogelijkheden op 15 VWO 14 (1999) ronde 1 vraag 8: Als p met coördinaat ( x, y) in het derde kwadrant ligt, wat is dan de coördinaat van het spiegelbeeld van p ten opzichte van de bissectrice van het tweede en het vierde kwadrant? (A) (x, y) (B) (y, x) (C) (y, x) (D) (x, y) (E) ( y, x) VWO 14 Vraag 8 A 6,65 B 5,19 C 8,01 D 44,79 E 8,0 blanco 7,8 Deze vraag los je best op door een tekening te maken en te kijken wat er met de coördinaten van het punt gebeurt na spiegeling: ( x, y) (?,?) We merken dat beide coördinaten worden omgewisseld en elk van een minteken voorzien De opmerkzame lezer zal zelfs opmerken dat het al dan niet in het derde kwadrant liggen geen enkele invloed heeft op de vraag Opmerking: Velen hebben de spiegeling als een puntspiegeling aanzien In dat geval was (D) het juiste antwoord 14 VWO 16 (001) ronde 1 vraag 15: 4

David heeft een stel van 4 valiezen gekregen De bijbehorende sleutels zitten samen in een zakje en zijn niet gemerkt Wat is het kleinste aantal pogingen dat zal volstaan om met zekerheid te weten welke sleutel bij welke valies past? (A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 16 (E) 4 VWO 16 Vraag 15 A 7,99 B 5,91 C 45,05 D 6,61 E 5,4 blanco 9,00 Pas de sleutels op de eerste koffer Na drie keer passen heb je de juiste sleutel gevonden (eventueel de ongebruikte) Van de overige drie sleutels probeer je er maximum twee op de tweede valies Van de resterende twee sleutels probeer je er één op de derde valies Op dat ogenblik heb je zes keer een sleutel geprobeerd en weet je precies welke sleutel op welke valies past 13 VWO 1 (1997) ronde 1 vraag 7: Hoeveel van de volgende vier uitspraken over natuurlijke getallen is waar? (1) Van drie opeenvolgende oneven getallen zijn er steeds precies twee priem () Van drie opeenvolgende oneven getallen zijn er steeds minstens twee priem (3) Van drie opeenvolgende oneven getallen is er minstens één priem (4) Van drie opeenvolgende oneven getallen is er minstens één niet priem (A) 0 (B) 1 (C) (D) 3 (E) 4 VWO 1 Vraag 7 A 1,96 B 45,1 C 9,1 D 6,09 E,01 blanco 4,53 De getallen 91 = 7 13, 93 = 3 31 en 95 = 519 zijn 3 opeenvolgende oneven getallen die allen niet priem zijn (en bovendien de kleinste met deze eigenschap) Dit trio ontkracht de aannames (1) - (3) Aanname (4) wordt ontkracht door 3,5,7 1 VWO 1 (1997) ronde 1 vraag 9: Noem A de verzameling van alle leerkrachten, B de verzameling van alle mensen met een luxueuze wagen en C de verzameling van alle mensen met een rijke partner Welke van de volgende equivalente beweringen is equivalent met de uitspraak dat onder de leerkrachten enkel die met een rijke partner zich een luxueuze wagen kunnen veroorloven? 5

(A) B A C (B) A C B (C) A B C (D) B A C (E) C A B VWO 1 Vraag 9 A 3,56 B 45,4 C 19,77 D 17,31 E 4,44 blanco 9,30 Te snel denk je dat je de bewering kan herformuleren als leerkracht en rijke partner luxueuze wagen De juiste herformulering is echter: leerkracht en luxueuze wagen rijke partner, wat overeenstemt met antwoord C Door de keuze van de omschrijvingen van A, B en C lijkt het verschil tussen beide bewering zeer klein Ook de volgorde waarin de uitspraak geschreven wordt, geeft de leerlingen een aanleiding om keuze B te nemen 11 VWO 17 (00) ronde 1 vraag 9: 00 kg komkommers, waarvan de massa voor 99% uit water bestaat, drogen uit in de zon, totdat de massa nog maar voor 98% uit water bestaat Hoeveel wegen de komkommers nog? (A) 100 kg (B) 195 kg (C) 197,97 kg (D) 198 kg (E) 199 kg VWO 17 Vraag 9 A 16,66 B 4,76 C 16,87 D 45,89 E,6 blanco 13,55 00 kg komkommer = 198 kg water + kg vaste massa Na uitdroging blijft de vaste massa hetzelfde ( kg) en bedroeg die % van het geheel De komkommers wegen daarom 100 kg Opmerking: Antwoord D bekom je indien je 1% van het gewicht aftrekt Antwoord C bekom je indien 98/99 ste van het totaal uitrekent 10 VWO 3 (1988) ronde 1 vraag 9: Gegeven de veeltermen x + 1, x 3 + 1, x 4 + 1, x 5 + 1, x 6 + 1 Hoeveel van deze veeltermen kunnen worden ontbonden als product van veeltermen met een lagere graad en met reële coëfficiënten? (A) 0 (B) 1 (C) (D) 3 (E) 4 6

VWO 3 Vraag 9 A 10,40 B 5,10 C 46,46 D 14,57 E 8,38 blanco 15,10 x + 1 is onontbindbaar wegens negatieve discriminant x 3 + 1 = (x + 1)(x x + 1) x 4 + 1 = (x 4 + x + 1) x = (x + 1) x = (x + x + 1)(x x + 1) x 5 + 1 = (x + 1)(x 4 x 3 + x x + 1) x 6 + 1 = (x + 1)(x 4 x + 1) Opmerking: Dat massaal antwoord C werd gegeven was wellicht te verwachten: daar x +1, x 4 +1 en x 6 +1 geen nulwaarden heeft, denkt men misschien dat ze alledrie niet ontbindbaar zijn Dat het ontbinden van x 4 +1 veel moeilijker is dan de ontbinding van x 6 + 1 is ook aan het antwoordpatroon te zien 9 VWO 3 (1988) ronde 1 vraag 6: Gegeven zijn de functies f en g in R met f(x) = 1 x en g(x) = x 1 Het domein van de samengestelde functie f g is dan (A) {1} (B) [ 1, 1] (C) [1, ] (D) [0, 1] (E) [1, + [ VWO 3 Vraag 6 A 47,90 B 3,86 C,01 D 4,09 E 8,34 blanco 13,81 Met f g : x 1 x 1 kan het beeld slechts bepaald worden indien x 1 1 0 x 1 1 1 x Het domein is dus gegeven door [1, ] Opmerking: Velen dachten aan {1}, waarschijnlijk door het domein van beide te bepalen en dan de doorsnede te nemen Dit is het domein van het product f g, wat helaas niet overeenkomt met het domein van f g 8 We komen aan bij een van de moeilijkste vragen uit de geschiedenis van VWO Minder dan 1 op 0 kon het juiste antwoord vinden Het antwoord echter is bijzonder kort! VWO 17 (00) ronde 1 vraag 13: Als 49 x + 49 x = 7, dan is 7 x + 7 x gelijk aan (A) 1 (B) 5 (C) 7 (D) 3 (E) 9 7

VWO 17 Vraag 13 A 7,79 B,7 C 48,36 D 4,84 E 1,16 blanco 35,14 In plaats van 7 x + 7 x zelf te berekenen, berekenen we het kwadraat: (7 x +7 x ) = 7 x +7 x 7 x +7 x = 49 x ++49 x = 7+ = 9 Het antwoord is dus 3 Opmerking : Een korte oplossing maar wellicht hebben maar zeer weinigen eraan gedacht om niet het getal zelf te berekenen maar eerst het kwadraat van dat getal Dat alternatief C vaak gekozen werd was wel enigzins te verwachten Hetzelfde principe kan gebruikt worden in een opgave die onlangs in het Nederlandse wiskundetijdschrift Pythagoras stond We geven deze opgave graag als zoeker mee: Bepaal het positief getal x indien x 4 + x 4 = 57 7 VWO 19 (004) ronde 1 vraag 3: Als x R 0, dan is x 16 4 x gelijkwaardig met (A) x 64 x 0 (B) x 4 16 x 0 (C) x 64 (D) x 4 1 x (E) x 8 VWO 19 Vraag 3 A 1,55 B 3,65 C 50,8 D 8,34 E 15,8 blanco 9,86 De meesten pasten hier een regel toe die alleen bij gelijkheden geldt: a b = c ad = bc d Bij ongelijkheden is deze werkwijze uit den boze Als je een ongelijkheid vermenigvuldigt met een getal moet je altijd goed bewust zijn of dat getal positief of negatief is De correcte werkwijze is daarom : x 16 4 x x 16 4 x 0 x 64 0 x 64 0 16x x 6 We keren terug naar het begin der VWO-tijden VWO 1 (1986) ronde 1 vraag 3: 8

x = 1345 99100 y = 100100100100 100100 (40 factoren) z = 10099989796 661 Welke (dubbele) ongelijkheid is correct? (A) x < z < y (B) y < x < z (C) y < z < x (D) z < x < y (E) z < y < x VWO 1 Vraag 3 A 6,4 B,04 C 3,48 D 50,6 E 9,89 blanco 7,55 De 40 factoren van y zijn stuk voor stuk de 40 factoren van z: y > z Vermits z maar een deel is van het product van x kunnen we zeggen: x > z Het getal z is dus het kleinste getal van de drie zodat antwoorden D en E overblijven Normaal dat de antwoorden D en E het meest scoren We moeten dus aantonen dat de 100 factoren van x samen groter zijn dan de 40 factoren 100 van y x = 134599100 = (1100)(99)(398)(497)(4951) levert 49 factoren die stuk voor stuk groter of gelijk zijn aan 100 en dus zeker groter is dan y Antwoord E (z < y < x) is daar het gevolg van Opmerking: Dat massaal werd gedacht dat x = 13499100 groter is dan y = 100 40 ligt misschien aan het feit dat men verblind was door de kleine getallen in het begin van x 5 Machtsverheffing is niet associatief, dat had je in 1990 beter geweten! VWO 5 (1990) ronde 1 vraag 1: De zevende machtswortel uit 7 (77) is (A) 7 7 (B) 7 (77 1) (C) 7 (67 ) (D) 7 (76 ) (E) ( 7) 7 VWO 5 Vraag 1 A 51,55 B,07 C 1,37 D 37,48 E,10 blanco 5,4 De p-de machtswortel uit a kan geschreven worden als p a = a 1 p (voorbeeld : = 1 ) De zevende machtswortel uit 7 (77) is dus ( 7 (77 ) ) 1 7 = 7 77 7 = 7 (7 6 ) Opmerking: Dat massaal antwoord A werd gegeven ligt vermoedelijk aan het feit dat men denkt dat de machtsverheffing commutatief is : 7 (77) (7 7 ) 7 In dat geval zou A een goed antwoord zijn Mogelijk probeerden de leerlingen het eens uit op in plaats van 7 () = 4 = 16 en ( ) = 4 = 16 en, zonder te beseffen dat dit hier om een uitzondering ging, besloten ze dat ze dit dan ook kunnen toepassen op 7 9

4 De vraag op de vierde plaats stamt nog af uit de tijd dat punten met kleine letters werden aangeduid: (A) minder dan 30 (B) 30 (C) 45 VWO(D) (1987) 50 ronde 1 vraag 0: (E) 65 In een gelijkzijdige driehoek abc zijn de 0 drieinlijnstukjes een gelijkzijdige op de basis driehoek [bc] even abclang zijn de Dandrie is lijnstukjes op de basis [bc] even lang Dan is a β α b (A) α = β en α + β = 40 (B) α < 0 < β en α + β < 40 (C) α (A) < 0α = < β en en α + β α = + 40 β > 40 (B) α < 0 < β en α + β < 40 (D) β (C) < 0α < 0 α < enβ enα + β < > 40 40 (D) β < 0 < α en α + β < 40 (E) β < 0 < α en α (E) + β > β 40 < 0 < α en α + β > 40 1 a, VWO n N 0 en a n geeft Metbij dedeling zijde van door de73 driehoek rest, agelijk n+1 geeft aan 1, bij hebben deling de door lijnstukjes 73 rest 69 Voor rest r bij deling van driehoek a door(wegens 73 geldtsymmetrie) dezelfde lengte x < 1 De Vraag 0 drie driehoeken hebben dezelfde oppervlakte en bijgevolg hebben we A(A) 5,03 0 r < 10 (B) 10 r < 30 (C) 30 r < 50 B(D) 50 3,69 r < 70 (E) r 70 1 C,97 In een D roostervoorstelling 4,55 1 x sin β = 1 x x sin β sin β = x sin α van een relatie R in een verzameling A duidt men door middel van E stippen,51 aan welke koppels tot de relatie behoren Hoeveel sin verschillende β reflexieve blanco relaties bestaan 14, sin α = x er in een verzameling van 3 elementen? Met x < 1 hebben we sin β sin α < 1 zodat sin β < sin α en ook β < α (A) 8 (α (B) en9 β behoren(c) immers 36 tot het(d) 1 ste 64 kwadrant) (E) α + 51 β = 60 en we verkrijgen onmiddellijk dat β < 0 < α q α + β = 60 β α + β > 40 3 Zij pqrs een convexe We vierhoek verkrijgeneninderdaad a het (E) snijpunt van zijn diagonalen pr en qs De p r oppervlakten van de driehoeken pqa, qra, a 3 Op nummer drie zonder twijfel de meest rsa zijn respectievelijk 7, 54, 7 m besproken vraag van de laatste jaren De oppervlakte van de driehoek spa is dan (in m VWO) 19 (004) ronde 1 vraag 30: s Dertig (A) Egyptische 54 slaven (B) versjouwen 60 een (C) loodzware 90 steen (D) die96 op enkele (E) boomstammen 108 met straal 10 cm rust Over welke afstand (afgerond in gehele cm) wordt de steen verplaatst als de boomstammen een volledige omwenteling gemaakt hebben? 4 Zij a, b R, 0 < a < b dan geldt (A) a < b (B) a < a (C) a < a (D) 10 5 1 a > b c (E) a < b

één grote kubus vormen met ribbe 3 Het gedeelte van de oppervlakte van de grote kubus dat wit is, bedraagt ten hoogste (A) 1 (B) 13 7 (C) 5 54 (D) 1 3 (E) 1 6 30 Dertig Egyptische slaven versjouwen een loodzware steen die op enkele boomstammen met straal 10 cm rust Over welke afstand (afgerond in gehele cm) wordt de steen verplaatst als de boomstammen een volledige omwenteling gemaakt hebben? 17 Op een ruitjesblad (met ruitjes van 1 cm ) worden een rechthoek en een driehoek getekend (A) 31 (B) 63 (C) 16 (D) 188 (E) 314 (A) zoals 31 in de figuur (B) 63 Wat is de oppervlakte (C) 16 (D) 188 (E) 314 van het overlappend gebied? VWO 19 Dat de omtrek van de boomstammen lengte πr = 0πcm = 6, 8cm heeft, is snel te achterhalen Te snel hebben velen op Vraag 30 goed geluk dit antwoord neergepend, zonder er iets achter te A 7,44 zoeken waarom zulke makkelijke vraag nu uitgerekend nummer (A) B 7 64,10 30 heeft gekregen Het antwoord is (om fysische redenen) erg C8 cm (B) 1 cm (C) 9 5,57 onverwacht Aangezien 8 cm (D) 13 de boomstammen 1 cm (E) 5 rollen tov de4 cm grond D,05 en de steen rolt tov de boomstammen, is de verplaatsing van 18 Beginnend E met 11,03 1 kan men de steen door tov vijfmaal de grond ofwel twee 5 maal op tede tellen, omtrek ofwel van de met boomstam 5 te vermenigvuldigen blancohet getal 9,81 100na verkrijgen: 1 omwenteling Ongetwijfeld werd deze vraag door velen thuis experimenteel 5 getoetst: plaats +5 wijnflessen +5 plat op+5 tafel met een 5 plank of lange lat op, en daarop een glas of kopje Hou dan de beweging 1 5 10 15 0 100 van de flessen en het kopje in het oog tov de ondergrond De lezers die thuis een microgolfoven hebben met een ronddraaiende plaat Wat is het kleinste natuurlijk in, kunnen getal proefondervindelijk x, verschillend van merken 5, waarmee dat de wieltjes men 100 onder kandeverkrij- gen door vanuit 1 vijfmaal plaat ofwel ook maar x ophalf te tellen, zo snel ofwel draaienmet als xde teplaat vermenigvuldigen? zelf Hetzelfde principe! Opmerking: De jury van de Vlaamse Wiskunde Olympiade geeft 1 grif toe dat het merendeel van haar leden dit addertje onder 100 het gras ook over het hoofd zag! VWO 18 (003) ronde 1 vraag 19: (A) (B) 4 (C) 8 (D) 10 (E) 0 19 Jeroentje meet meetde dezijden van vaneen driehoek die elk een verschillendelengte lengtehebben hebben Bovendien zijn deze lengtes natuurlijke getallen Hij vindt als omtrek 15 cm, maar dit is Bovendien zijn deze lengtes natuurlijke getallen Hij vindt als omtrek 15 cm, maar dit is niet juist omdat op Jeroetjes meetlat (die zijn mama gratis kreeg bij aankoop van niet juist omdat op Jeroentjes meetlat (die zijn mama gratis kreeg bij aankoop van 1,5 1,5 liter Novix Ultra navulpak) de 4 en de 6 verwisseld zijn liter Novix Ultra navulpak) de 4 en de 6 verwisseld zijn 0 1 3 6 75 4 7 8 9 10 NOVIX ULTRA Wat is de correcte omtrek? Wat is de correcte omtrek? (A) 13 cm (B) 14 cm (C) 16 cm (D) 17 cm (E) niet te bepalen uit de gegevens 0 Om na te gaan op welke datum Pasen 11 valt in het jaar J (1900 < J < 099) bepaalt men - de rest a bij deling van J door 19, - de rest b bij deling van J door 4, - de rest c bij deling van J door 7,

(A) 13 cm (B) 14 cm (C) 16 cm (D) 17 cm (E) niet te bepalen uit de gegevens VWO 18 Vraag 19 A 8,83 B 0,84 C 0,64 D 7,60 E 68,87 blanco 13,0 Jeroentje heeft niet de juiste omtrek gemeten Hieruit kunnen we afleiden dat er zeker één van de zijden lengte 4 heeft of één van de zijden lengte 6 heeft Beide is onmogelijk omdat de omtrek dan terug correct is Verder weten we ook dat alle zijden verschillend moeten zijn (de werkelijke lengte dus ook de gemeten lengte) Dan blijven er nog 4 mogelijkheden over die sommeren op 15: (1, 4, 10), (, 4, 9), (, 6, 7), (3, 4, 8) Nu rest er ons te controleren dat de werkelijke waarde van deze drietallen voldoen aan de driehoeksongelijkheid Dit is echter enkel het geval voor de vierde mogelijkheid De werkelijke omtrek wordt dus gegeven door 3 + 6 + 8 = 17 1 And the winner is VWO 9 (1994) ronde 1 vraag : Een voertuig left het traject van a naar e af De vier gelijke afstanden ab, bc, cd en de worden Eentegen voertuig verschillende legt het traject doch vanconstante a naar e af snelheid De vier gelijke afgelegd afstanden (zieab, schema) bc, cd, en de worden tegen een verschillende, doch constante snelheid afgelegd (zie schema) 80 km/u 10 km/u 90 km/u 110 km/u a b c d e Als we door V de gemiddelde snelheid (in km/u) voorstellen over het traject ac en door Als we door W de Vgemiddelde de gemiddelde snelheid snelheid over het traject (in km/u) ce, dan voostellen is over het traject ac en door W de gemiddelde snelheid over het traject ce, dan is (A) V < W < 100 (B) V = W = 100 (C) 100 < V W (D) W V < 100 (E) 100 < W < V (A) V < W < 100 (B) V = W = 100 (C) 100 < V W (D) 3 WTwee V cirkels < 100 met straal 1 raken (E) 100 elkaar < in W een < punt V p Er wordt een cirkel geconstrueerd door de punten a,b,c waarbij a het eindpunt is van de middellijn pa van de eerste cirkel en b en c de eindpunten zijn van de middellijn van de tweede cirkel, loodrecht op de rechte ap Wat is de straal van de derde cirkel? (A) 3 (B) 10 (C) 5 3 (D) 3 (E) 4 Voor hoeveel reële waarden van r heeft de vergelijking in x x 4 (r + 1)x + r = 0 vier verschillende reële oplossingen die de opeenvolgende termen van een rekenkundige rij vormen? (A) 0 (B) 1 (C) (D) 4 (E) oneindig veel 5 Een kubus wordt gekleurd door elk zijvlak 1 een andere kleur te geven (we gebruiken zes verschillende kleuren) Op hoeveel verschillende manieren kan dit? Twee kleuringen noemen we gelijk van zodra de ene in de andere omgezet kan worden door de kubus te draaien (A) 30 (B) 60 (C) 10 (D) 360 (E) 70

VWO 9 Vraag A 1,30 B 71,36 C 1,14 D 1,83 E 1,31 blanco 1,03 Nog nooit in de 0-jarige geschiedenis van VWO heeft men zo massaal zijn geld ingezet op éénzelfde fout alternatief: meer dan 71% dacht dat V = W = 100 Men denkt dat als men van huis naar school fietst tegen 16 km/u en terug naar huis tegen 4 km/h, men dan gemiddeld 0 km/h heeft gereden FOUT! Met een paar eenvoudige getallen is dit nog beter te zien : Stel dat je een traject van A naar B fietst (afstand 0km) en terug De heenreis tegen 5km/u en de terugreis tegen 0 km/u De heenreis duurt dan 4 uur en de terugreis 1 uur Men is dus 5 uur onderweg voor 40 km: 8 km/u gemiddeld (en niet 1,5!) Men kan bewijzen dat 8 het harmonisch gemiddelde is van 5 en 0 Het harmonisch gemiddelde h van a en b voldoet aan h = 1 a + 1 ab b of ook nog aan h = a+b In het geval van de fietser: 50 5+0 = 00 5 = 8 Vandaar dat V = 8010 80+10 = 161 = 96 en W = 90110 90+110 = 1811 = 99 Het antwoord is dus V < W < 100 Grisha Plusnin KA Deurne gricha@antwerpenbe Stijn Symens Universiteit Antwerpen stijnsymens@gmailcom 13