Oefeningen bij theorie Kansrekening 7N5p 2013 GGHM
1 Stel je gooit 3x met een dobbelsteen, wat is dan de kans dat je 2x 6 ogen gooit en 1x een willekeurig ander aantal ogen? 2 Jan moet een toets maken van 20 meerkeuzevragen. Bij elke vraag kun je kiezen uit 4 antwoorden. Bij 12 vragen weet Jan het antwoord. Bij de andere vragen twijfelt hij tussen 2 antwoorden en moet dus gokken. Je mag ervan uitgaan dat hij bij de vragen die hij zeker weet alle antwoorden goed zijn en dat bij de vragen waarbij hij twijfelt tussen 2 antwoorden het goede antwoord er inderdaad bij zit. Om voor de toets voldoende te halen moet Jan minimaal 15 vragen goed hebben. Wat is de kans dat Jan een voldoende haalt? 3 In een vaas zitten 4 rode en 3 witte knikkers. Iemand haalt er, zonder terugleggen, 2 knikkers uit. a Bereken de kans dat de tweede knikker wit is. b Bereken de kans dat de tweede knikker wit is maar nu met terugleggen. 4 Bij de lotto worden iedere week zes lottogetallen getrokken, door achter elkaar zes balletjes uit een machine te laten rollen. Op iedere balletje staat een getal (van 1 tot en met 41). De balletjes die er uit zijn gerold worden niet terug gestopt. Je vult op het lottoformulier zomaar 6 getallen in. Wat is de kans dat je minstens één getal goed geraden hebt? 5 Experiment: éénmaal gooien met twee dobbelstenen (een zwarte en een groene) gebeurtenis A: "het aantal van de ogen is 8" gebeurtenis B: "op de groene 5 of 6 ogen" Bereken P(A B) en P(B A) 6 Experiment: men werpt een dubbeltje en een gulden. gebeurtenis K d : "het dubbeltje is kop"; gebeurtenis M g : "de gulden is munt" a Bereken P(K d M g ), P(K d ) en P(M g ) b Leg uit waarom de gebeurtenissen K d en M g onafhankelijk zijn. 7 In een vaas zitten 6 gekleurde en genummerde ballen. De ballen 1 en 4 zijn wit (W); de ballen 2, 3, 5 en 6 zijn rood (R). Experiment: we trekken één bal uit de vaas en beschouwen de volgende gebeurtenissen: O: "de trekking is oneven" E: "de trekking is even" R: "de trekking is een rode bal" a Onderzoek of de gebeurtenissen O en R zijn nu onafhankelijk zijn. b Doe dit ook voor de gebeurtenissen E en R.
8 De kans dat een gehuwde man naar TV kijkt is 0,5 terwijl de kans voor zijn vrouw 0,7 is. De kans dat een man kijkt als zijn vrouw kijkt is 0,6 a Bereken de kans dat beiden naar TV kijken b Bereken de kans dat alleen de man kijkt c Bereken de kans dat geen van beiden kijken d Bereken de kans dat minstens 1 van beiden kijkt 9 Bij het onderzoek naar de antigenen op de rode bloedcellen bij een groep van 10000 proefpersonen kwam men tot de volgende vaststellingen. 300 personen hebben zowel antigeen A als antigeen B 5000 personen hebben geen antigenen 3500 personen hebben alleen antigeen A Bereken de kans dat iemand van de proefpersonen antigeen B heeft. 10 Aan een groep van 780 personen met astma werden twee soorten geneesmiddelen A en B toegediend. Er werd nagegaan of het nemen van de medicamenten een merkbare verbetering van de gezondheid als gevolg had. Men stelt vast: 340 personen namen alleen medicament A. 360 personen namen alleen medicament B. 335 personen van degenen die alleen medicament A namen merken geen verbetering. 8 personen van diegenen die alleen medicament B namen merken wel een verbetering. De helft van diegenen die zowel medicament A als medicament B namen merken wel een verbetering. Welk percentage van diegenen die medicament B gebruikt hebben (al of niet in combinatie met medicament A) merken een verbetering? 11 Bij een spel met 3 dobbelstenen is de inleg 10,-. Gooit een deelnemer drie gelijke aantallen ogen, dan krijgt hij 100,-. Gooit hij twee gelijke aantallen ogen dan krijgt hij 15,-. In alle andere gevallen krijgt hij niets. Bereken de winstverwachting per spel voor de organisator. 12 Appelen worden verpakt in kisten van 400 stuks. Als uit ondervinding blijkt dat 30% slechte appelen zijn, bereken dan de kans dat een kist minstens 130 slechte appelen bevat. 13 In een vaas zitten 20 balletjes, 12 rode en 8 witte. Er wordt 3 keer een balletje uit de vaas gehaald; telkens wordt het getrokken balletje teruggelegd. Er wordt gekeken naar het aantal rode balletjes. a Geef de parameters bij dit experiment. b Als de stochast(=kansvariabele) X= het aantal rode balletjes Welke waarden kan X dan aannemen? c Bereken alle mogelijke kansen voor X en geef de kansverdeling. d Bereken de verwachtingswaarde van X.
14 Van een zeer grote partij accu s is bekend dat 20% van de accu s ondeugdelijk is. Een koper die dit percentage NIET kent, besluit de partij te kopen als hij in een steekproef van 54 accu s niet meer dan 3 ondeugdelijke accu s aantreft. Bereken de kans dat de opkoper de partij koopt. 15 Een reisgezelschap bestaat uit 7 vrouwen en 5 mannen. Men maakt een uitstapje met een kabelbaan. De gondels bevatten elk 4 plaatsen. Door loting wordt bepaald welke vier personen met de gondel gaan. a Bereken de kans dat in de eerste gondel twee mannen en twee vrouwen terecht komen? b Bereken de kans dat in de eerste gondel een ongemengd gezelschap terecht komt. 16 In een vaas zitten 8 witte, 4 blauwe en 2 rode ballen. We trekken steeds drie ballen uit de vaas zonder terugleggen. Bereken de kans dat de drie getrokken ballen verschillende kleuren hebben. 17 Twintig kinderen staan voor de kassa in een attractie-park. 10 kinderen hebben een munt van 1 euro en 10 kinderen hebben een munt van 2 euro. De attractie kost 1 euro. De kinderen hebben staan in een willekeurige volgorde in de rij. Bereken de kans dat het 10 e kind het eerste kind is dat wisselgeld terug zal krijgen. 18 In een wachtzaal van een medisch centrum zitten 10 personen, 6 zijn gezond en 4 zijn echt ziek. Er worden willekeurig 3 personen binnengeroepen. Hoeveel bedraagt de kans dat er onder die drie precies 1 zieke persoon bijzit? 19 In een doos zitten 10 pillen: 3 rode, 5 witte en 2 blauwe. Hoeveel bedraagt de kans dat als we drie pillen willekeurig uit de doos nemen en op tafel leggen, dat de drie pillen die op tafel dan een verschillende kleur hebben? 20 In een bepaald gebied zijn er gemiddeld 4 blikseminslagen per jaar. Bereken de kans op 0, 1, 2, 3 en meer dan 3 blikseminslagen per jaar. 21 Gemiddeld worden 1 op 2000 huizen per jaar door brand vernield. Bereken de kans dat in een gemeente van 6000 huizen er 4 of meer huizen door brand vernield worden.
22 In een textielfabriek worden rollen stof vervaardigd met een lengte van 50 meter per rol. Het aantal weeffouten per rol is Poisson-verdeeld met een bijbehorende verwachtingswaarde van 1 weeffout per rol. Bij de kwalitatieve keuring van de rollen stof worden deze gescheiden in rollen van A-kwaliteit (met 0 of 1 weeffout per rol) en rollen van B-kwaliteit (met twee of meer weeffouten per rol). a b Bereken de kans dat een willekeurige rol de aanduiding B-kwaliteit krijgt. De productieomvang per dag is gelijk aan 2000 meter stof. Hoe groot is de kans dat er op een willekeurige dag tenminste 30 rollen met A-kwaliteit worden gemaakt? 23 Op een kruispunt gebeuren gemiddeld 9 ongelukken in één week. Bereken de kans dat al deze ongelukken op één dag gebeuren. 24 Het aantal branden per week in een bepaalde stad is een toevalsveranderlijke die Poissonverdeeld is met een gemiddelde van 1 brand om de 2 weken. De brandweer gaat in staking. Men besluit de duur van de stakingsperiode zo te kiezen dat de kans dat er geen enkele brand uitbreekt tijdens de stakingsperiode minstens 90% bedraagt. Hoeveel dagen mag de staking hoogstens duren? 25 Stel dat er gemiddeld één zetfout per 10 bladzijden voorkomt in een boek. a Bereken de kans dat er op één blad twee fouten staan. b Bereken de kans dat er in één hoofdstuk van 20 bladzijden geen enkele fout staat. c Bereken de kans dat er op twee willekeurige bladzijden van dit hoofdstuk precies één fout voorkomt. 26 Een loket is op van 12.00 tot 13.00. Er komen 90 klanten per uur en dit proces volgt een poisson-verdeling. Wat is de kans dat er tijdens de laatste minuut, dus van 12.59 tot 13.00 nog minstens 1 klant aan het loket komt? 27 Gedurende een grote elektriciteitspanne worden 100 mensen gearresteerd op verdenking van plundering. Van deze zijn er slechts 12 schuldig. Alle verdachten ondergaan een test met een leugendetector. Men weet dat de leugendetector 90% betrouwbaar is bij een schuldige en 98% betrouwbaar bij een onschuldig persoon. Wat is de kans dat een van de gearresteerde personen onschuldig is terwijl de leugendetector deze als schuldig aangeeft?
28 De kans dat een verzending die vanuit België naar Zaïre wordt opgestuurd, niet aankomt, is in bepaalde periodes 30%. We veronderstellen dat verzendingen onafhankelijke gebeurtenissen zijn. a b Bepaal de kans dat er in zo'n periode op 300 verzendingen minstens 230 toekomen. Bepaal de kans dat in zo'n periode pas de derde verzending aankomt (en de eerste twee dus niet). 29 Veronderstel dat de kans dat een jury in een rechtszaak tot een rechtvaardige uitspraak komt, 95% is. Hiermee willen we zeggen dat, als we weten dat er een onschuldig man terecht staat, dan zal de jury hem met 95% kans onschuldig verklaren en omgekeerd, als er een schuldige in de beklaagdenbank zit, dan zal de jury hem met 95% kans schuldig verklaren. Veronderstel verder dat het geweten is dat 99% van de mensen die voor het gerecht worden gebracht, werkelijk strafbare feiten op het geweten hebben. Bereken de kans dat een vrijgesprokene onschuldig is. 30 Jan heeft morgenvroeg een belangrijke meeting op het werk. Uit ervaring weet Jan dat er 10% kans is dat hij s morgens in de file staat. Wanneer Jan s morgens in de file staat, zijn er in 85% van de gevallen ook files aangekondigd. Er is 15% kans dat Jan s morgens niet in de file staat én er wel files werden aangekondigd. Helaas zijn er door de start van werkzaamheden files aangekondigd voor morgenvroeg. Bepaal de kans dat Jan morgenvroeg in de file staat. 31 Aardappelen worden vaak automatisch verpakt in zakken waarvan het gewicht normaal verdeeld is met een gemiddelde van 5 kg en een standaardafwijking van 0,40 kg. In een pallet zitten 250 zakken. Bereken hoeveel zakken naar verwachting meer dan 4,5 kg aardappelen bevatten. 32 Glaucoom is een oogziekte waarbij de druk in de oogbol te hoog is. De druk in de oogbol is normaal verdeeld met 16 mm Hg als gemiddelde en standaardafwijking 3 mm Hg. Men noemt de druk normaal als die ligt tussen 12 en 20 mm Hg. Hoeveel procent van de bevolking heeft een normale oogdruk? 33 Luizen vormen een vervelend probleem dat vooral bij kinderen van de basisschool welig tiert. De overlevingstijd van een luis die op een hoofdkussen gevallen is, is normaal verdeeld met een gemiddelde van 2,2 dagen en een standaardafwijking van 0,4 dagen. Na welke tijd kunnen we stellen dat 90% van de luizen dood is? 34 Als de verdeling van de IQ s van de studenten van een klas een gemiddelde µ = 120 en een dispersie σ = 8 heeft, bepaal dan een interval dat ten minste 75% van de IQ s bevat.
Opgaven uit oude BAC s 1A Ervaring toont aan dat 40 % van de mensen tevreden is met de smaak van een nieuw drankje. Onder jeugd is dat percentage 80%. Het is bekend dat 25% van de mensen onder jeugd wordt gerekend en dus 75% van de mensen ouderen zijn. Bereken hoeveel procent van de ouderen tevreden is met de smaak van het nieuwe drankje. 2A De tabel hieronder geeft de kansverdeling van een toevalsvariabele X Bereken a en vervolgens E(X ). x i 1 2 3 4 P( X = x i ) a 2a 3a 4a 3A George en Laura werken in een fruitkwekerij. Ze vullen dozen met perziken. George vult tweemaal zoveel dozen als Laura. De kans dat een doos gevuld door George tenminste één beschadigde perzik bevat is 1 6. De kans dat een doos gevuld door Laura tenminste één beschadigde perzik bevat is 1 10. Een doos wordt aselect gekozen uit de dozen die George en Laura hebben gevuld. Bereken de kans dat die doos geen beschadigde perziken bevat. 4A In een bedrijf worden boren gebruikt uit twee fabrieken A en B. 50 % van de boren uit fabriek A moet worden aangepast, 40 % van de boren uit fabriek B moet worden aangepast. Van een grote voorraad boren, is 60% afkomstig uit fabriek A en de rest afkomstig uit fabriek B. Uit deze voorraad wordt aselect één boor gekozen. Gegeven dat deze boor aangepast moet worden, bereken de kans dat de boor afkomstig is uit fabriek A. 5B De diameters van eieren geproduceerd op een kippenboerderij, zijn normaal verdeeld met gemiddelde 60 mm en standaardafwijking 5 mm. a 98 % van de eieren in de productie heeft diameters in het interval [ 60 k, 60 + k]. Bereken de waarde van k in mm, afgerond op 2 decimalen. b Laat zien dat de XL-eieren ongeveer 2,275% van de productie vormen. c De boerderij produceert 4000 eieren per dag. Bereken de kans dat het totale aantal XL-eieren in de productie van 7 dagen in het interval [600, 650] ligt. Sommige eieren hebben meer dan één dooier. Gemiddeld hebben 30 % van de XL-eieren meer dan één dooier, daar waar slechts 0,5 % van alle andere eieren meer dan één dooier heeft. d Bereken de kans dat een aselect gekozen ei, afkomstig van deze boerderij, meer dan één dooier heeft.
e Bereken de kans dat een aselect gekozen ei met meer dan één dooier geen XL-ei is. 6B Op een groot bedrijfsfeest met enkele honderden gasten, heeft 70% van de aanwezige gasten alcohol gedronken. De hoeveelheid alcohol in hun bloed op het moment dat het feest afgelopen is, is normaal verdeeld met een gemiddelde van 0,6 g/l en standaardafwijking 0,15 g/l. De wettelijke limiet voor het besturen van een voertuig is 0,5 g/l Bij de uitgang van het parkeerterrein houdt de politie een alcoholcontrole waarbij bestuurders aselect worden gekozen. a De politie controleert een persoon die alcohol heeft gedronken. Bereken de kans dat de hoeveelheid alcohol in het bloed van deze persoon niet boven de wettelijke limiet is. b Hoeveel procent van de gasten is in overtreding van de wet? c De politie controleert 10 personen. Bereken de kans dat tenminste 8 van deze 10 personen alcohol hebben gedronken. d De politie controleert 10 personen. Bereken de kans dat precies 5 van deze 10 personen meer dan 0,6 g/l alcohol in hun bloed hebben. Het is gegeven dat 1 op de 4 personen gecontroleerd wordt door de politie. Er wordt een willekeurige gast ondervraagd. e Bereken de kans dat deze persoon alcohol heeft gedronken en niet door de politie is gecontroleerd. f Bereken de kans dat deze persoon gecontroleerd is door de politie en geen alcohol heeft gedronken. 7B De luchtvaartmaatschappij Uppanaway beschikt over een vloot vliegtuigen van het type ACB77. Dit zijn middellange-afstand vliegtuigen met een capaciteit van 225 stoelen. De maatschappij weet uit ervaring dat gemiddeld 12 % van de personen die een vliegticket hebben gekocht niet verschijnt bij de check-in. Uppanaway verkoopt 250 tickets voor elk van haar vluchten met een ACB77. Laat X de toevalsvariabele zijn die het aantal personen met een vliegticket voor een vlucht met een ACB77 aangeeft, dat verschijnt bij de check-in. a X is binomiaal verdeeld met parameters n =250 en p = 0,88. Leg uit waarom. b Bereken de kans dat meer dan 217 maar minder dan 230 personen in het bezit van een ticket voor een vlucht met een ACB77 bij de check-in verschijnen. c Wat is het verwachte aantal lege stoelen op een vlucht met een ACB77 van Uppanaway? d Bereken de kans dat tenminste één persoon met een vliegticket voor een vlucht met een ACB77 geweigerd moet worden vanwege een tekort aan vrije stoelen. Uppanaway wil de kans dat een persoon met een vliegticket voor een vlucht met een ACB77 geweigerd moet worden vanwege een tekort aan vrije stoelen, verminderen tot minder dan 3 %.
e Om dit doel te bereiken, kan de maatschappij besluiten het aantal stoelen in een type ACB77 te verhogen tot 227. Toon aan dat het beoogde maximum van 3 % geweigerde personen met deze maatregel nog niet gehaald wordt. f De maatschappij besluit daarom een andere oplossing te kiezen : er worden slechts 245 tickets verkocht voor een vlucht met een ACB77. Toon aan dat in dit geval het beoogde maximum van 3 % geweigerde personen wel gehaald wordt en dat 245 verkochte tickets het maximale aantal is waarvoor dit beoogde doel kan worden gehaald. Uppanaway beschikt ook over een vloot lange-afstand vliegtuigen van het type BCA88 die een capaciteit hebben van 383 stoelen. Het volgende is gegeven : - De toevalsvariabele Y die het aantal personen aangeeft dat verschijnt bij de checkin van een vlucht met een BCA88 is normaal verdeeld. - PY ( 350) = 0, 013903 en PY> ( 380) = 0,211855. g Wat is het verwachte aantal lege stoelen op een vlucht met een type BCA88 van deze maatschappij?