H8: Regelmaat & verandering H9: Kansverdelingen...4-7

Transcriptie

1 Oefenmateriaal V5 wiskunde C Voorbereiding op SE-toets 1 wiskunde INHOUDSOPGAVE H8: Regelmaat & verandering H9: Kansverdelingen

2 Hoofdstuk 8: Regelmaat & veranderingen Rekenkundige rij Meetkundige rij Recursieve formule u n = u n 1 + v met u 0 u n = r u n 1 met u 0 Directe formule (met u 0 ) u n = u 0 + v n u n = u 0 r n Directe formule (met u 1 ) u n = u 1 + v (n 1) u n = u 1 r n 1 Functie-notatie Rij-notatie Lineair verband y = ax + b u n = u 0 + v n Exponentieel verband y = b g x of N = b g t u n = u 0 r n Directe formule omzetten naar recursieve formule Stappenplan - Gegeven een directe formule van u n - Stel de formule op van u n 1 - Stel een uitdrukking op van u n u n 1 - Herleid u n u n 1 - Schrijf u n als functie van u n 1 Voorbeeld - u n = 0,5n 2 + 0,5n - u n 1 = 0,5(n 1) 2 + 0,5(n 1) - u n u n 1 = 0,5n 2 + 0,5n [0,5(n 1) 2 + 0,5(n 1)] - u n u n 1 = n - u n = u n 1 + n met u 0 = 0 Opgave 1 Stel van de volgende rijen de recursieve en de directe formule op. a) 48, 51, 54, 57, 60, 63, b) 20, 10, 5; 2,5; 1,25; 0,625; Opgave 2 Gegeven zijn de twee tabellen hieronder. Er is sprake van een lineair verband. Stel de directe formule op bij beide tabellen. n n 3 8 u n u n 15 5 Opgave 3 Gegeven zijn de twee tabellen hieronder. Er is sprake van een exponentieel verband. Stel de directe formule op bij beide tabellen. n n 3 6 u n ,5 20,25 30,375 45,5625 u n Opgave 4 Stel m.b.v. de optie LinReg(ax+b) de directe formule op die hoort bij de linkertabel en m.b.v. ExpReg de directe formule op van rechtertabel en controleer je antwoorden bij vraag 2 en 3. n 3 8 n 3 6 u n 15 5 u n

3 Opgave 5 Sasha opent op 1 januari 2015 een spaarrekening en stort er 2200 euro op. De bank geeft een vast rentepercentage van 2% per jaar. a) Stel de recursieve en directe formule op van het bedrag op de spaarrekening. b) Op 1 januari van welk jaar is het bedrag (voor het eerst meer dan) verdubbeld? Opgave 6 Stijn doet mee aan een hardloopwedstrijd over 15 km. Hij gebruikt een app op zijn telefoon die na elke kilometer meldt hoelang hij over die kilometer heeft gedaan. De eerste kilometer liep hij in 3 minuten en 55 seconden. Elke kilometer daarna liep hij drie seconden langzamer dan de kilometer daarvoor. a) Stel zowel de recursieve als de directe formule op van de tijd t in seconden waarin Stijn de n e kilometer loopt. b) Hoe lang doet Stijn over de 7 e kilometer? Opgave 7 a) Van een rij u n met een constant verschil is gegeven u 5 = 130 en u 15 = 90. Stel van u n de directe formule op. b) Van een rij u n met een constante factor is gegeven u 3 = 18 en u 8 = Stel van u n de directe formule op. Opgave 8 a) Bereken de 8 e term van de rij u n = n 3 3n + 1. b) Bereken de 6 e term van de rij u n = u n 1 met u 0 = 100. Opgave 9 Gegeven is de recursieve formule u n = u n met u 0 = 2. De rij u n is ook te noteren met een formule van de vorm u n = 2 + a n. Welk getal is a? Opgave 10 Gegeven is de rij u n = u n 2 + 3u n 1 met u 0 = 2 en u 1 = 5. Bereken u 2 t/m u 8. Opgave 11 Gegeven is de rij u n+2 = u n 2 + u n+1 met u 0 = 2 en u 1 = 5. Bereken u 2 t/m u 6. Opgave 12 De Coca-Cola Company had in 1995 een omzet van 11,3 miljard dollar. Per jaar nam de omzet met 7,4 % toe. De omzet in het n e jaar na 1995 is u n. a) Stel de directe formule van u n op. b) Bereken de omzet in Geef het antwoord in miljarden. Opgave 13 Stel bij de volgende rijen de directe formule op. a) c(n) = c(n 1) 6 met c(1) = 150 b) F(n + 1) = F(n) + 15 met F(0) = 80 c) b(n) = b(n 1) met b(1) = 75 d) K n+1 = 0,95 K n met K 0 = 650 e) t n 5 = 1,2 t n 6 met t 1 = 32 2

4 Opgave 14 Gegeven zijn de rijen P(n): 120, 108, 96, 84, Q(n): 100,80, 64, 51.2, Bereken vanaf de hoeveelste term geldt P(n) < Q(n). Opgave 15 Gegeven is de recursieve formule u n = 1,5u n 1 + 2n met u 0 = 10. a) Bereken in twee decimalen nauwkeurig de tiende term van de rij. b) Vanaf de hoeveelste rij is u n > 10000? Opgave 16 Gegeven is de rij k(n) = k(n 1) + n 2 met k(0) = 10. a) Bereken de 12 e term. b) Hoeveel termen liggen tussen 300 en 1500? c) Voor welke n geldt k(n + 1) k(n) = 529. Opgave 17 Zet de directe formule R n = n 2 + n om in een recursieve formule. Opgave 18 Zet de directe formule V n = n2 1 n om in een recursieve formule. 2 Opgave 19 Een fabrikant van transformatoren heeft het verband tussen de dagproductie q en de dagelijkse kosten K in de grafiek hiernaast weergegeven. a) Bereken de helling van lijn AB. b) Bereken K q op [1000, 3000]. c) Voor welke q is de gemiddelde toename op [0, q] gelijk aan de gemiddelde toename [0, 3000]? Opgave 20 Bij het verloop van het aantal grieppatiënten N in een stad hoort de formule N = 140t 2 5t 3 met de tijd t in dagen. a) Bereken de gemiddelde toename van N in de tweede week. b) Bereken de gemiddelde toename van N op het interval [10, 16]. Opgave 21 In het Belgische Malmedy is bij het NK berglopen een parcours uitgezet met flinke hoogteverschillen. In de figuur hiernaast zie je de tijd-afstandgrafiek van Bjorn over de eerste twee kilometer. a) Bereken in gehele km/uur de gemiddelde snelheid over deze twee kilometer. b) Schat in gehele km/uur de snelheid op t = 2. c) Op welke tijdstip is de snelheid maximaal? Schat deze snelheid in gehele km/uur. d) Op welke tijdstippen is de snelheid gelijk aan 12 km/uur? 3

5 Hoofdstuk 9: Kansverdelingen Met terugleggen Voorbeeld Zonder terugleggen Voorbeeld 6 knikkers 2 Rode 4 Witte 6 knikkers 2 Rode 4 Witte Geen volgorde P(1 rode en 2 witte) = P(1 rode en 2 witte) = ( 3 1 ) P(rww) = ( ) (2 6 ) ( ) ( 2 1 ) (4 2 ) ( 6 3 ) Wel volgorde P(1 rode en daarna 2 witte) = P(rww) = ( ) ( ) P(1 rode en daarna 2 witte) = P(rww) =

6 Opgave 1 Gemma gooit met vier dobbelstenen. Bereken exact de kans dat de som van de aantallen ogen a) Hoogstens 22 is b) Minstens 7 is Opgave 2 Bij een loterij zijn vijftig loten verkocht. Er zijn zeven prijzen, namelijk een prijs van 100 euro, twee van 50 euro, vier van 10 euro. Rob heeft drie loten gekocht. Bereken de kans dat Rob a) Minstens één prijs wint b) 100 euro wint c) Minstens 30 euro wint Opgave 3 Een fabrikant van cornflakes start een actie om de verkoop te bevorderen. Elk pak bevat een foto van een topsporter. Eén op de vijf foto s is van een voetballer. De familie Fleming koopt elke week zo n pak cornflakes. Bereken de kans dat ze a) In vijf weken geen enkele foto van een voetballer hebben b) In zes weken minstens één foto van een voetballer hebben c) In acht weken precies één foto van een voetballer hebben Opgave 4 Dagelijks rijden veel vrachtwagens met gevaarlijke stoffen over de weg. Van deze vrachtwagens bevat 60% brandbare stoffen en 15% bijtende stoffen. Ga er van uit dat een stof niet zowel brandbaar als bijtend is. Bij een controle wordt op een snelweg tien vrachtwagens aangehouden die gevaarlijke stoffen vervoeren. Bereken de kans dat a) Geen van deze vrachtwagens bijtende stoffen vervoert b) Acht van deze vrachtwagens brandbare stoffen en twee bijtende stoffen vervoeren c) Minstens negen van deze vrachtwagens brandbare stoffen vervoeren. Opgave 5 In een vaas zitten 3 rode en 4 witte knikkers. Er worden één voor één knikkers uit de vaas gehaald totdat er een witte knikker gepakt wordt. X is het aantal knikkers dat gepakt wordt. a) Stel de kansverdeling op van X. b) Bereken E(X) en σ X. Opgave 6 Bij een spel met een dobbelsteen gelden de volgende regels. Je gebruikt een dobbelsteen met op de zijvlakken de cijfers 1, 1, 1, 1, 5, 5. Je gooit drie keer met een dobbelsteen. De uitbetaling is de som van de gegooide cijfers in euro s. De inleg is 8,-. Bereken de verwachtingswaarde van de winst per spel. Opgave 7 Bereken de kans dat je a) Bij 25 worpen met een geldstuk tussen de 10 en 15 keer munt gooit. b) Bij 15 worpen met een dobbelsteen hoogstens tien keer minstens vijf ogen gooit. 5

7 Opgave 8 In een vaas zitten twaalf rode, acht zwarte en vijf witte knikkers. Sofie pakt twee knikkers uit de vaas en kijkt welke kleur deze knikkers hebben. Sofie voert dit experiment 15 keer uit. Elke keer legt ze de twee gepakte knikkers weer in de vaas terug. Bereken de kans dat Sofie a) Drie keer twee rode knikkers pakt. b) Minstens tien keer precies één zwarte knikker pakt. Opgave 9 Een machine vult pakken hagelslag. Het vulgewicht is normaal verdeeld met een gemiddelde van 130 gram en een standaardafwijking van 5 gram. Bereken de kans dat in een steekproef van 50 pakken hagelslag a) Er hoogstens vier minder dan 125 gram bevatten b) Er precies acht meer dan 132 gram bevatten. Opgave 10 Bij een normale verdeling is μ = Het gebied onder de normaalkromme tussen 2080 en 2320 heeft een oppervlakte van 0,62. Bereken σ in tientallen nauwkeurig. Opgave 11 a) Hoeveel procent van de waarnemingsgetallen ligt binnen 1σ van μ (op basis van vuistregels)? b) Hoeveel procent van de waarnemingsgetallen ligt binnen 2σ van μ (op basis van vuistregels)? Opgave 12 In een zak snoep zitten nog 4 groene kikkertjes, 5 spekkies en 6 colaflesjes. Eefje pakt één voor één een snoepje uit de zak zonder te kijken. Bereken de kans dat a) Ze bij het opeten van 6 snoepjes alleen colaflesjes pakt b) Ze 3 spekkies en 3 colaflesjes pakt c) Ze eerst 3 spekkies en daarna 3 colaflesjes pakt d) Ze 2 kikkers en 3 spekkies pakt en als laatste een colaflesje Opgave 13 Bij pakken rijst is het gewicht X van de verpakking normaal verdeeld met een gemiddelde van 5 gram en een standaardafwijking van 0,3 gram. De hoeveelheid rijst Y in een pak is normaal verdeeld met een gemiddelde van 248 gram en een standaardafwijking van 12 gram. In hoeveel procent van de gevallen is het brutogewicht meer dan 250 gram? Opgave 14 Het gewicht X van een sinaasappel uit een grote partij is normaal verdeeld met μ X = 77 gram en σ X = 6 gram. In een netje zitten acht sinaasappels. a) Bereken de kans dat het gewicht van de sinaasappels in een netje meer dan 640 gram is. b) Bereken de kans dat het gemiddelde gewicht van een netje sinaasappels meer dan 80 gram is. Opgave 15 Van een normaal verdeelde toevalsvariabele X is μ X = 30 en σ X = 4. We doen 20 waarnemingen en berekenen het gemiddelde X. a) Bereken de kans dat X meer dan 5 van μ X afwijkt. b) X ligt met een kans van 0,95 in het interval < 30 a, 30 + a >. Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. c) Neem een steekproef van lengte n. Wat weet je van n als de kans dat X meer dan 1 afwijkt van μ X kleiner is dan 0,1%. 6

8 Opgave 16 Bij een reisorganisatie weet met uit ervaring dat de kans dat een volledig verzorgde reis naar Malta wordt geannuleerd, gelijk is aan 0,08. De reisorganisatie speelt hier op in door meer van deze reizen te verkopen dan de 1250 beschikbare reizen. a) Neem aan dat er 1350 reizen naar Malta verkocht zijn. Bereken de kans dat het aantal ingekochte reizen toch voldoende is. b) Neem aan dat er 1300 reizen naar Malta verkocht zijn. Bereken de kans dat het aantal annuleringen minder dan één standaardafwijking van het verwachte aantal annuleringen afligt. Opgave 17 In veel casino s in Las Vegas wordt het Keno-spel gespeeld. Om mee te spelen koop je voor 1 dollar een kaart waarop de getallen 1 tot en met 80 staan. Je mag op deze kaart maximaal 15 getallen aankruisen. Nadat de spelers hun kaart hebben ingeleverd worden 20 balletjes gepakt uit een bak met 80 balletjes waarop de getallen 1 tot en met 80 staan. De aangekruiste getallen worden vervolgens vergeleken met de getallen op de getrokken balletjes. Afhankelijk van het aantal aangekruiste getallen heb je kans op een prijs. Zo krijg je $3,- als je één getal hebt aangekruist en dit getal bij de getrokken balletjes voorkomt. Heb je twee getallen aangekruist en komen deze getallen voor bij de getrokken balletjes, dan ontvang je $12,-. Heb je drie getallen aangekruist, dan zijn er twee mogelijkheden: je ontvangt $1,- als twee getallen overeenstemmen en je ontvangt $43,- als alle drie de getallen overeenstemmen. a) Bij het aankruisen van drie getallen krijg je je dollar terug als twee van de drie getallen overeenstemmen. De kans hierop is ongeveer 0,139. Bereken deze kans op vier decimalen. b) Bereken in dollarcenten nauwkeurig de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van de winst per spel als je drie getallen aankruist. c) Bereken in dollarcenten nauwkeurig de verwachtingswaarde van de winst per spel als je twee getallen aankruist. Opgave 18 Bij bakker Bolhuis kun je gewone oliebollen en oliebollen met krenten kopen. Door een goede balans tussen baktijd en baktemperatuur bakt Bolhuis bollen die niet al te vet zijn. Het vetpercentage van de gewone oliebollen is normaal verdeeld met een gemiddelde van 7,3% en een standaardafwijking van 2,2%. Victor koopt bij Bolhuis een zak met tien gewone oliebollen. a) Bereken de kans dat hij meer dan vier bollen met een vetpercentage van meer dan 8% krijgt. Ook het vetpercentage van de oliebollen met krenten is normaal verdeeld. Het gemiddelde vetpercentage is 6,9%. Van elke 50 oliebollen met krenten hebben er twaalf een vetpercentage boven 8%. b) Bereken de standaardafwijking in één decimaal nauwkeurig. Opgave 19 Fabrikant Pharmas maakt pijnstillers in tabletvorm. De dikte van de tabletten is normaal verdeeld met een gemiddelde van 0,81 cm en een standaardafwijking van 0,05 cm. De tabletten worden per 20 stuks verpakt in een plastic buisje waarvan de binnenlengte normaal verdeeld is met een gemiddelde van 17,50 cm en een standaardafwijking van 0,48 cm. Bereken de kans dat de tabletten niet in een buisje passen. 7