2 3 ALS WE KIEZEN VOOR BEWIJZEN, LATEN WE DAN NIET TOVEREN ErasmushogeschoolBrussel Lerarenopleiding LSO anne.schatteman@ehb.be Vandaag 2 Moeilijk onderdeel van de leerstof 3 Bewijzen worden behandeld want het hoort erbij Vraagt heel veeltijd. Weinig rendement Wordt (vaak) zuiver gememoriseerd Grote faalangst Didactisch: veel tovermomenten; weinig inbreng van de lln Inzicht moeilijk te evalueren Bewijzen worden soms weggelaten of moeten niet gestudeerd worden weinig in de eerste graad 1$
4 5 6 Heuristisch versus deductief 4 Denken van wiskundigen Denk proces om definities en eigenschappen op te bouwen Vertrekken van eenprobleem Hypotheses formuleren en in vraagstellen Kritisch zijn tov redeneringen - >bijsturen van voorwaarden en bewijzen Dynamisch zoeken; een avontuur in de wiskunde Deductievestijl in handboek Lijst van definities eigenschappen voorbeelden Poneren van stellingen Gestructureerde voorstelling van een denkresultaat elke stap verklaren Wiskunde lijkt onbetwistbaar; steeds groeiend Verband met Problem Solving 5 Onderzoek (Lakatos) (primitieve) hypothese 1ste bewijs = ruw gedachtenexperiment Globaal tegenvoorbeeld Waar zat de fout in het eerste bewijs? =>voorwaarden in conjectuur aanpassen PS (Polya / Schoenfeld) Het probleem analyseren / begrijpen Plan maken van uitwerking Plan uitvoeren Reflecteren op het oplossingsproces h e u ris t i e k e n Opdracht (kenmerk parallellogram) 6 Analyseer de volgende stelling: Formuleer een aanvaardbare vraag/probleem in een opdrachtje voor de lln als instap voor de formulering van de stelling. Ilustreer waarom het voorgestelde bewijs geen neerslag is van een denkproces. 2$
Stelling: Als in een vierhoek twee overstaande zijden even lang zijn en evenwijdig, dan is de vierhoek een parallellogram. Bewijs: In onderstaande vierhoek ABCD met AD // BC en AD = BC trekken we de diagonaal [BD]. Δ ABD Δ CDB want AD = CB en en BD = BD (ZHZ) Daaruit volgt. Dus dit zijn verwisselende binnenhoeken van AB en CD, gesneden door de rechte BD. Daaruit volgt dat AB // CD. De vierhoek heeft twee paar evenwijdige zijden en is dus een parallellogram.
7 8 9 7 Vertrekken van een probleem congruentiekenmerken hypothese Kenmerk van een middelloodlijn van een lijnstuk kenmerk van een gelijkbenige driehoek Eigenschappen van eenkoordein eencirkel Middelpuntshoek versus omtrekshoek Stelling van Pythagoras Anticiperen op het bewijs 8 Stelling van de middelloodlijnen in een driehoek: Teken drie middelloodlijnen in een driehoek. wat stel je vast? OF teken twee middelloodlijnen gaat de derde door het snijpunt van de twee eerste? Kenmerk van gelijkbenige driehoek onderzoek van geplooide driehoek -> merkwaardige lijnen congruentie Beeld van een rechte door een spiegeling is een rechte: de juiste probleemstelling geeft de structuur van de redenering aan. Oefenen op gegevens en gevraagde 9 Tekeningen leren maken: gegevens in het groen gevraagde in het rood aanvullende markeringen door gebruik van eigenschappen in het blauw Voorbeelden: 1. Teken: Als een zijde van een driehoek, ingeschreven in een cirkel, een middellijn is van de cirkel, dan is de driehoek rechthoekig. 2. Teken: In een gelijkbenige driehoek is een zwaartelijn vanuit de tophoek ook een bissectrice. 3$
10 11 12 Bewijzen = probleemoplossen 10 De 4 fasen van Polya doorlopen tijdens het zoeken naar een bewijs Aangepaste heuristieken gebruiken Metacognitieve begeleiding en feedback Kenmerk gelijkbenige driehoek Kenmerk middelloodlijn van een lijnstuk Som van de hoeken van een driehoek is 180 Middelpuntshoek omtrekshoek Eigenschappen van een koorde Stelling van Pythagoras Kenmerken van begrippen 11 Kennis van zoveel mogelijk kenmerken =>taal waar in een bewijs kan gevoerd worden =>technisch voordeel uitbuiten. Formularia aanvullen met fiches van kenmerken van de belangrijkste begrippen (parallellogram / middelloodlijn / gelijkbenige driehoek... Consequente keuzes maken in bewijzen Strategische keuzes maken in bewijzen Opdracht: Zoek de verschillende kenmerken die aan bod komen en waarom zijn ze strategisch? Is er steeds nood aan een bewijs? 12 Patroonherkenning bewijsvoering Vb1: Is n 2 +n+41 een priemgetal? Vb2: Hoeveel domeinen? Vb3: 1 1.2 +...+ 1 n(n+1) = n n+1 Pseudobewijzen Een voorbeeld kan soms al het nodige inzicht genereren; Een tekening bevat soms alle informatie die nodig is. Illustreren met een vb bewijzen van de eigenschap -> telkens zeggen we aan de lln... 4$
14 15 schema: reliëf leggen IR 2,+ is commutatief Geg Place to be TB (a,b), (c,d) ( a,b) + ( c,d) IR 2 ( c,d) + ( a,b) = ( a + c, b + d) = = ( c + a, d + b) 13 14 Kritische stapsgewijze analyse van een bewijs We proberen elke stap in het bewijs te verklaren; op welke eigenschap steunt men, welke definitie wordt gebruikt, welk kenmerk? Een valiesje van vragen aanleggen. Kan onafhankelijk van de analyse van de structuur van het bewijs Kan als voorbereiding in een huiswerk, of nadat de structuur van het bewijs is besproken in de klas. Opdracht: stel elke stap in vraag! wees kritisch! 15 5$
17 18 Maak een spiekbriefje Het kenmerk van de middelloodlijn van een lijnstuk: P middelloodlijn van [AB] lpal = lpbl =>) Een punt van de middelloodlijn ligt even ver van de twee eindpunten PAD PBD ZHZ => lpal = lpbl <=) een punt even ver van de eindpunten ligt op de middelloodlijn PAM PBM ZZZ hoeken in M even groot twee rechte hoeken 16 17 Structuur/ sleutelelementen =>) definitie middelloodlijn tekening maken/ geg aanvullen congruentie van 2 driehoekn RECONSTRUCTIE Uitwerking PAD PBD ZHZ <=) tekening maken/ geg aanvullen TB: zwaartelijn is hoogtelijn of omgekeerd congruentie van 2 driehoekn PAM PBM ZZZ 17 Opdracht 18 Maak een spiekbriefje van het bewijs dat de homothetie de lengte van een lijnstuk vermenigvuldigt met de factor in absolute waarde. 6$
19 20 19 nog mogelijkheden in de eerste graad middelloodlijnen in een driehoek snijden elkaar in een punt bissectrices in een driehoek snijden elkaar in een punt hoofdeigenschap van breuken deelbaarheidskenmerken in Z associativiteit / commutativiteit... van de vermenigvuldiging van breuken... Is het haalbaar? Is er een keuze? 20 LESS IS MORE Niet als we alle stellingen zo aanpakken ->keuzes maken. Stellingen/ Bewijzen die niet ontdekt worden door de lln hebben weinig leer waarde Lln moeten overtuigd raken van het nut van een bewijs: Voor de wiskunde Voor de eigen problem solving vaardigheden Lln moeten ervaren dat steeds dezelfde vaardigheden terugkomen, steeds dezelfde structuren, steeds dezelfde kritische vragen. Overleg met de lln ivm de bewijsmethode,... Moeilijke taak van de leerkracht: Steeds zoeken naar het probleem dat eraan vooraf gaat? Zich inleven in het onderzoek van het probleem, in het denkproces van de ontdekking Basis van de logica / bewijsmethoden is een belangrijk kenniselement 21 7$
22 8$