EUROPEES BACCALAUREAAT 2010 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 4 juni 2010 DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (240 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine OPMERKINGEN : Beantwoord de vier verplichte vragen. Kies twee vragen uit de drie keuzevragen. Kruis je keuze aan op het bijgevoegde formulier. Begin elke nieuwe vraag op een nieuw vel van het examenpapier. Bladzijde 1/8 NL
VERPLICHTE VRAAG 1. ANALYSE De functie f is gedefinieerd door 2 x 1 f( x). 2 x a) i. Bepaal het domein van f, de intervallen waarop de functie f stijgend en waarop de functie f dalend is en bepaal vergelijkingen van de asymptoten van de grafiek van f. ii. Schets de grafiek van f. 5 punten 1 punt b) i. De raaklijn aan de grafiek van f in het punt ( 1, 2) snijdt de x-as in het punt A en de y-as in het punt B. Bereken de lengte van lijnstuk AB. ii. Bereken de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de lijnen x = 1 en x = 2. Bladzijde 2/8
VERPLICHTE VRAAG 2. ANALYSE Tijdens een chemische reactie wordt een nieuwe stof gevormd. Na t seconde is er m gram van die nieuwe stof gevormd. De functie m(t) wordt gegeven door de volgende differentiaalvergelijking dm dt 2 (50 m). 500 a) Bepaal de oplossing van deze differentiaalvergelijking als gegeven is dat m = 0 op t = 0. 6 punten b) i. Bereken de massa van de stof na 100 seconden. 2 punten ii. Bereken na hoeveel seconden er 40 gram van de stof is gevormd. iii. Laat zien dat de massa van de gevormde stof nooit meer dan 50 gram zal worden. 2 punten 2 punten Bladzijde 3/8
VERPLICHTE VRAAG 3. MEETKUNDE Blz.1/1 Ten opzichte van een orthonormaal assenstelsel zijn gegeven de punten O(0, 0, 0), P (1,1,3), Q (1,5, 2), R (0,3, 1) en S (1, 4, 1). a) i. Laat zien dat de lijn OP loodrecht staat op de lijnen OQ en OR. ii. Bepaal een Cartesische vergelijking van het vlak QOR en gebruik die vergelijking om te laten zien dat S in dit vlak ligt. b) i. Bereken de afstand van punt P tot het vlak QOR. ii. Bereken de oppervlakte van driehoek SPR. 4 punten Bladzijde 4/8
VERPLICHTE VRAAG 4. KANSREKENING Uit een stapel van 10 kaarten genummerd 1 t/m 10 worden één voor één en aselect 4 kaarten getrokken zonder terugleggen. a) i. Bereken de kans dat alle getrokken getallen kleiner dan of gelijk zijn aan 6. ii. Bereken de kans dat het product van de vier getrokken getallen even is. b) i. Bereken de kans dat het tweede, derde en vierde getrokken getal elke keer precies 1 groter is dan het vorige getal dat getrokken werd. ii. Gegeven dat de eerste twee getrokken getallen even zijn, bereken de kans dat alle vier getrokken getallen even zijn. 4 punten Bladzijde 5/8
KEUZE VRAAG I. ANALYSE De functie f is gedefinieerd door 2 f ( x) ( 2x 4 x)e x. a) i. Bepaal de nulpunten van f, de intervallen waarop f stijgend is of f dalend is, de coördinaten van de extremen van de grafiek van f. ii. Onderzoek het gedrag van functie f (x) als x en als x. Geef de vergelijkingen van eventuele asymptoten. b) i. Laat zien dat de vergelijking van de raaklijn t aan de grafiek van f in het 2 4 punt met x 1 geschreven kan worden als y x. e e ii. Bereken de scherpe hoek tussen t en de x-as. 7 punten 2 punten c) i. Schets de grafiek van f en de raaklijn t in één assenstelsel. ii. Bepaal de waarden van b en c zodat F x x 2 bx c 2 e x een primitieve is van f (x). iii. Bereken de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de grafiek van f en de raaklijn t. 4 punten Bladzijde 6/8
KEUZE VRAAG II. KANSREKENING In een grote stad is een onderzoek gedaan naar de populatie U van gebruikers van het openbaar vervoer. Het volgende is vast komen te staan: 40% van U zijn mannen en 60% van U zijn vrouwen. 25% van de mannen in U en 50% van de vrouwen in U heeft een jaarabonnement. a) Eén persoon wordt aselect gekozen uit U. i. Laat zien dat de kans dat deze persoon een jaarabonnement heeft gelijk is aan 0,4. ii. Gegeven dat deze persoon geen jaarabonnement heeft, bereken de kans dat het een man is. b) Tien personen worden aselect gekozen uit U. Bepaal de kans dat i. precies 6 van deze tien personen een jaarabonnement hebben. ii. tenminste 2 van deze tien personen een jaarabonnement hebben. c) Er wordt een aselecte steekproef van 200 personen uit U genomen. De variabele X geeft het aantal personen in deze steekproef met een jaarabonnement. i. Welke kansverdeling heeft X? Bepaal de verwachting en standaardafwijking van X. ii. Gebruik een geschikte benadering om P(60 X 100) te berekenen. Leg uit dat deze benadering hier gebruikt mag worden. iii. Gebruik dezelfde benadering om de minimale gehele waarde te bepalen voor k zodat P( X k) > 0,90. 5 punten 5 punten Bladzijde 7/8
KEUZE VRAAG III. MEETKUNDE Ten opzichte van een orthonormaal assenstelsel zijn gegeven: het vlak : x 2y 3z 12, de bol S : 12 6 4 0 en 2 2 2 x y z x y z de punten A(12, 0, 0), B(0, 6, 0), C(0, 0, 4) en P(5, 1.5, 5). a) Bereken de coördinaten van de snijpunten van met de x-as, y-as en z-as. b) De punten A, B, C en oorsprong O zijn de hoekpunten van een driehoekige pyramide. Bereken de inhoud van deze pyramide. c) i. Bepaal een vergelijking van de bol die door de hoekpunten van pyramide OABC gaat. Laat zien dat deze bol S is. ii. Toon aan dat het middelpunt van S buiten pyramide OABC ligt. iii. Het vlak snijdt bol S in een cirkel. Bereken de coördinaten van het middelpunt en de straal van deze cirkel. 2 punten 5 punten 4 punten d) i. Toon aan dat het punt P binnen bol S ligt. 2 punten ii. Q is het punt op bol S dat het dichtst bij punt P ligt. Bereken de coördinaten van punt Q. iii. Het vlak heeft precies één punt gemeenschappelijk met bol S. Bepaal een Cartesische vergelijking van. Bladzijde 8/8