Eindeamen vwo wiskunde 04-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid. eetkundige plaatsen: middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool. Driehoeken: hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pthagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek. Vierhoeken: hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant. irkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken: koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn, koordenvierhoek. Goniometrie sin( tu) sintcosucostsinu sin( tu) sintcosucostsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sintsinu sin cos t u t u t u t u t u t u t u t u sintsinu sin cos costcosu cos cos costcosu sin sin - -
Eindeamen vwo wiskunde 04-II Gelijke oppervlakte Voor 0 is de functie f gegeven door f ( ). De punten (0, 0) en (9, 0) liggen op de grafiek van f. Het punt T is het hoogste punt van deze grafiek. Zie figuur. figuur T f De coördinaten van T zijn,. 4 4, zijn. 4p ewijs dat de coördinaten van T inderdaad 4 4 V is het vlakdeel dat wordt begrensd door de grafiek van f en de -as. In figuur is V grijs gemaakt. figuur T V f De lijn door en T snijdt de -as in het punt. In figuur is driehoek grijs gemaakt. figuur T f De oppervlakte van V en de oppervlakte van driehoek zijn gelijk. 6p ewijs dit. - -
Eindeamen vwo wiskunde 04-II Het uiteinde van een wip We bekijken in deze opgave een wiskundig model voor de beweging van het uiteinde van een wip. Lijnstuk PQ met midden en lengte 4 draait om. De hoogte van is. Zie figuur. We kijken naar het verloop van de hoogte h van P. p tijdstip t 0 is de hoogte van P gelijk aan 0. Van t 0 tot t beweegt P omhoog. In figuur is het lijnstuk getekend op drie tijdstippen: op t 0, t en op t. op 4 figuur t = 0 P Q P h t = 4 --- Q P h t = Q De hoogte van P tijdens de omhooggaande beweging wordt beschreven door het volgende model: fase : h π π () t sin 0 t 6 voor 0 t h π π () t sin t 5 5 voor t 5 h π 6π π () t sin 0 t 5 t 0 voor 5 t h de hoogtes van P in de verschillende fasen. fase : fase : Hierin zijn h, h en - -
Eindeamen vwo wiskunde 04-II In figuur is de grafiek van de hoogte van P in de fasen, en getekend. figuur h h h h 5 t De hoogte van P aan het eind van fase is h ( 5). Door t 5 in te vullen in de formule van h kan worden bewezen dat de hoogte van P aan het begin van fase gelijk is aan de hoogte van P aan het eind van fase. p ewijs dat deze hoogtes gelijk zijn. De helling van de grafiek van cos. 5 5 4p 4 ewijs dat de helling van de grafiek van h aan het eind van fase hieraan gelijk is. Voor elke waarde van a, met 0 a, geldt: h( a) h( a) 4p 5 ewijs deze gelijkheid. h aan het begin van fase is π π - 4 -
Eindeamen vwo wiskunde 04-II irkel en lijnstuk Gegeven zijn een cirkel c met middelpunt en een lijnstuk buiten c. De lijn door en snijdt c niet. figuur c Lijnstuk snijdt c in punt en lijnstuk snijdt c in punt D. De bissectrice van hoek en de bissectrice van hoek snijden elkaar in punt E. D Zie de figuur. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. E 5p 6 ewijs dat de lijnstukken E en DE even lang zijn. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage. - 5 -
Eindeamen vwo wiskunde 04-II uitwerkbijlage 6 c D E - 6 -
Eindeamen vwo wiskunde 04-II Gespiegelde punten Voor 0 is de functie f gegeven door f ( ) ln. De grafiek van g ontstaat door de grafiek van f over een afstand a naar links te verschuiven, waarbij a. De grafiek van g snijdt de -as in punt P en de -as in punt Q. Er is een waarde van a waarvoor het beeld van P bij spiegeling in de lijn samenvalt met Q. Er geldt dan:. Zie de figuur. Q P figuur = Q P g f 7p 7 ereken deze waarde van a. Rond je antwoord af op twee decimalen. - 7 -
Eindeamen vwo wiskunde 04-II nkerketting Een schip ligt op zee voor anker. Door stroming en wind trekt het schip aan de ankerketting. Hierdoor en door het eigen gewicht van de ankerketting neemt de ketting een vorm aan die bekend staat als een kettinglijn. In de figuur is deze situatie schematisch in een assenstelsel weergegeven. De -as valt samen met de horizontale zeebodem, waarop het anker ligt. De oorsprong van het assenstelsel is gekozen in het punt waar de ankerketting aan het anker is bevestigd. an het schip zit de ankerketting vast in punt. We gaan ervan uit dat de ankerketting daar direct het water in gaat. Het punt bevindt zich 96 meter rechts van de -as. figuur Een kettinglijn waarvan het laagste punt door gaat, kan worden beschouwd als een deel van de grafiek van de functie f gegeven door: a a f( ) e e, met a 0 a Voor de functie f geldt: a a f' ( ) e e 6p 8 ewijs deze gelijkheid. Voor de ankerketting in de figuur geldt a en 0 96. Hierin zijn 40 en f ( ) in meters. Door golven en wind kan een schip flinke bewegingen maken. ij een korte ankerketting kan dan het anker losraken. m dit te voorkomen geeft men bij het uitwerpen van een anker de ankerketting veel lengte. Hiervoor hanteert men in de scheepvaart de vuistregel dat de lengte van de ankerketting tussen anker en schip ten minste driemaal de waterdiepte moet zijn. 5p 9 nderzoek of de ankerketting in de figuur aan deze vuistregel voldoet. - 8 -
Eindeamen vwo wiskunde 04-II cht keer zo groot Voor p 0 is de functie f p gegeven door f p ( ) p. De grafiek van f raakt de -as in het punt (0, 0) en snijdt deze in het punt ( p, 0). Verder heeft de grafiek van p f een buigpunt ( p, p ). p V is het gebied dat wordt ingesloten door de figuur grafiek van f p en de -as. De verticale lijn door het buigpunt verdeelt V in twee delen. In figuur is deze situatie weergegeven. De 4 oppervlakte van het linkerdeel is 4 p. 5p 0 ewijs dat de oppervlakte van het rechterdeel acht keer zo groot is als de oppervlakte van het linkerdeel. f p Er is een waarde van p waarvoor geldt: de lijnstukken en zijn even lang. 4p ereken eact deze waarde van p. De buigraaklijn in snijdt de -as in punt. figuur In figuur is deze situatie weergegeven. 5p ewijs dat de lengte van voor elke waarde van p 0 acht keer zo groot is als de lengte van. f p - 9 -
Eindeamen vwo wiskunde 04-II Tussen twee bewegende punten ver de eenheidscirkel bewegen twee punten en. eide punten bevinden zich op tijdstip t 0 in het punt (, 0). Ze bewegen met constante snelheid, waarbij de snelheid van drie keer zo groot is als de snelheid van. De bewegingsvergelijkingen van en zijn respectievelijk: () t cos() t () t sin() t en () t cost () t sint Voor t k, met k geheel, vallen de punten en niet samen en zijn ze de eindpunten van de koorde. In de figuur is de situatie getekend voor t 5 π. Lijnstuk '' is de loodrechte projectie van koorde op de -as. De lengte van '' verandert voortdurend tijdens de beweging. 4p ereken de maimale lengte van ''. Rond je antwoord af op twee decimalen. figuur - ' ' - Tijdens de beweging verandert ook de richtingscoëfficiënt van koorde. Deze richtingscoëfficiënt noemen we a. Voor elk tijdstip t, waarbij t k met k geheel, geldt: π cos( t) a sin( t) 4p 4 ewijs dit. Lijn l is de lijn met vergelijking. Er zijn vier waarden van t, met 0t π, waarvoor koorde evenwijdig is met l. 5p 5 ereken eact deze vier waarden. - 0 -
Eindeamen vwo wiskunde 04-II Diagonalen en gelijke hoeken Gegeven is een cirkel met een koordenvierhoek D met diagonalen en D. Diagonaal D verdeelt hoek D in twee gelijke hoeken. Zie figuur. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. figuur D Voor deze koordenvierhoek geldt: en zijn even lang. 4p 6 ewijs dit. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage. In figuur, die ook op de uitwerkbijlage staat, is opnieuw een cirkel getekend met een koordenvierhoek D. Er geldt nu: diagonaal D verdeelt hoek D in twee gelijke hoeken; diagonaal verdeelt hoek D in twee gelijke hoeken. De diagonalen snijden elkaar in het punt E. De lijn door en het middelpunt van de cirkel snijdt diagonaal in het punt F. De lijn door en snijdt diagonaal D in het punt G. figuur D E G F 6p 7 ewijs dat de punten E, F, en G op één cirkel liggen. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage. - -
Eindeamen vwo wiskunde 04-II uitwerkbijlage 6 D 7 D E F G - -