1p. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan x + 6 4x + 3 4x 2 + 3 x 2 + 3x + 3 Niveau 1 1p. 1p. 1p. x 2 + 27 Opgave 2. Als a log b = 64, dan is a2 log (b 3 ) gelijk aan 6 48 28/3 96 512 Opgave 3. Definieer de bewerking door a b = ab + b. Dan is (3 2) (2 3) gelijk aan 72 73 80 81 90 Opgave 4. Het gemiddelde van a en 2b is 7, het gemiddelde van a en 2c is 8. Wat is het gemiddelde van a, b en c? 4 5 6 9 1p. Opgave 5. Los de vergelijking rs2 a 4 u 64r 2 s 6 a 12 4 3 r 2 s 2 a 4 4 3 r 2 s 3 a 4 8 3 r 2 s 2 a 4 = u op naar u. 8sa2 4 3 r 3 s 2 a 4 ( ) 3 ab 1p. Opgave 6. Bereken ln a 4 als gegeven is dat ln a = 2 en ln b = 6. b 34 3 12 4 21 44 0 A-66
Niveau 2 Opgave 7 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Uit a < b met a, b R volgt a < b a 2 < b 2 a 3 < b 3 a 4 < b 4 a < b Opgave 8 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Als f(x) = 2 x dan is f(x + 2) gelijk aan 4 f(x) + 2 f(x) + 4 2f(x) 4f(x) Opgave 9. Als x = 1 een oplossing is van ax 2 + bx + c = 0, wat is de andere oplossing dan? x = a b x = b a x = b a x = c a x = c b Opgave 10. Theo lost de vergelijking ax b = c op, en Thea de vergelijking bx c = a. Ze vinden beiden hetzelfde (correcte) antwoord voor x, waarbij a, b, c verschillend van elkaar en verschillend van nul zijn. Wat moet er gelden? a + b + c = 0 a + b + c = 1 a + b = c b = a + c a = b + c Opgave 11. Hoeveel asymptoten heeft de functie f(x) = x2 22x + 40 x 2 + 13x 30? 0 2 4 Opgave 12. Voor welk natuurlijk getal n > 0 is 3n 2013 n 2013 = 3 2013? 2 4 geen enkel A-67
Niveau 2 Opgave 13. Als s(x) = sin(πx) en S(x) = (s(x)) 2, dan is s(s(1/6)) + S(S(1/3)) gelijk aan /4 4/3 /2 2 Opgave 14. De som van een geheel getal N met het kwadraat van 2N levert een geheel getal M. Voor hoeveel waarden van N is M een priemgetal? 0 2 Een eindig (groter dan 2) aantal waarden. Een oneindig aantal waarden. Opgave 15. Zij m en n twee rechten, onderling loodrecht, die beiden raken aan een cirkel met straal 6. Dan is de oppervlakte van het gebied begrensd door de rechten en de cirkel gelijk aan 9π 6 9π 44 36π 8π 72 18π Opgave 16. Als a 2 b 2 = 33 en a 3 b 3 = 817 gehele oplossingen a, b hebben met a > b, dan is de waarde van a b gelijk aan 7 0 1 Opgave 17. Een driehoek ABC heeft zijden met lengte 6, 7 en 8. Dan is de (exacte) waarde van (cos α+cos β +cos γ) gelijk aan 51/35 47/32 1/21 49/33 19/80 Opgave 18. Een datum noemt vreemd als de dag en de maand grootste gemene deler 1 hebben. Wat is het kleinst aantal vreemde dagen dat kan voorkomen in een maand? 9 0 1 4 5 A-68
Niveau 2 Opgave 19 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Beschouw de functies Dan is (h g f)(x) gelijk aan x 2 x 8 2 x 8 x 8 x 2 f(x) = x, g(x) = x, h(x) = 4x 8 4 Opgave 20 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). De ruimtediagonaal van een kubus is 3. De oppervlakte van deze kubus is gelijk aan 3 8 6 54 Opgave 21 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). In een gelijkbenige driehoek met tophoek 120 beschouwen we alle hoogtelijnen, zwaartelijnen en binnenbissectrices uit de drie hoekpunten. Hoeveel verschillende rechten zijn dit? 9 7 6 5 Opgave 22 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Op de catwalk weegt een mannequin met haar kleren aan 59 kg. Ze blijkt 58 kg meer te wegen dan haar kleding. Hoe zwaar is haar kleding? 0, 25 kg 0, 50 kg 0, 75 kg, 00 kg, 25 kg Opgave 23. Een stock verliest 60% van zijn waarde. Om terug op de oorspronkelijke waarde te komen moet de stock stijgen met 60% 20% 50% 200% 400% A-69
Niveau 3 Opgave 24. Vijf verdachten van een moord, waaronder de moordenaar, worden ondervraagd door de politie. Bij onderstaande verklaringen spreken drie van hen de waarheid, en twee van hen liegen. Verdachte A: D is de moordenaar Verdachte B: Ik ben onschuldig Verdachte C: Het was niet verdachte E Verdachte D: A liegt Verdachte E: B zegt de waarheid Wie is de moordenaar? A B C D E Opgave 25 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Zij x R en x + 1 < 3, dan geldt x < 2 x < 2 of x < 2 x < 2 en x < 2 2 < x < 2 4 < x < 2 Opgave 26. Als f(x) = e 3x 2, wat is dan f ( 1 ln( 1 x ))? e x 3 ex 3 e + x 3 e + 1 x 3 0 Opgave 27 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Gegeven zijn twee evenwijdige rechten a en b en punten P B, Q A en R B zodanig dat P Q = 14 en R P Q = 110. Wat is de afstand tussen beide evenwijdige rechten? 4 cos 110 4 sin 110 4 cos 70 4 cos 110 4 sin 110 Opgave 28. Toon aan dat als N = Z 0 + 1 2 Z 1 Z 0 1 2 Z 1 Z 1 = 2Z 0 ( N1 N + 1 ) waarbij N 1, Z 0 0 A-70
Niveau 3 Opgave 29. Susanne verdient tijdens weekdagen 10 euro per uur, op zaterdag 15 euro per uur en op zondag 20 euro per uur. Als ze vorige maand 180 uren gewerkt heeft en in totaal 2315 euro verdiende, hoeveel keer meer uren tijdens weekdagen dan uren op zondag heeft ze vorige maand gewerkt? 75 77 80 82 85 Opgave 30 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). De oplossingenverzameling van x 3 < x < x 2 is ], 1[ ], 0[ ]0, 1[ ], 1[ \ {0} Opgave 31. Op welk van onderstaande intervallen is 2 x x 3 [1, 3[ [0, 3[ ]2, 3[ ], 5 [ 2 ] 52 [, + steeds de sinus van een hoek? Opgave 32. Duid in volgende reeks alle alternatieven aan waarbij Uitspraak (1) precies dezelfde betekenis heeft als Uitspraak (2). (1) Niet ale jongeren sporten en fuiven graag. (2) Er zijn jongeren die niet graag sporten en niet graag fuiven (1) Niet alle domme jongeren zijn blonde meisjes. (2) Er bestaan domme meisjes die niet blond zijn. (1) Het is zo dat sommige mensen ongezond eten. (2) Sommige mensen eten niet ongezond. (1) Alle kinderen die niet goed zijn in wiskunde, zijn jongens. (2) Alle meisjes zijn goed in wiskunde. (1) Alle kinderen die goed zijn in wiskunde zijn meisjes. (2) Alle meisjes zijn goed in wiskunde. Opgave 33. De bevolking van een stad groeit exponentiëel in functie van de tijd, en dus ook het aantal autodiefstallen. Als f(t) het aantal autodiefstallen per persoon in functie van de tijd is, dan is f(t) een exponentiële functie. geen constante functie. geen lineaire functie. geen exponentiele groei. geen exponentiele daling. A-71
Niveau 3 Opgave 34 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Het verschil van de twee oplossingen van de vierkantsvergelijking x 2 + ax + b = 0 is gelijk aan 5. De discriminant van deze vergelijking is dan 5 6, 25 0 25 niet te bepalen uit deze gegevens Opgave 35 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Bepaal de oppervlakte van het vierkant met twee hoekpunten op de x-as (symmetrisch t.o.v. de oorsprong) en twee andere hoekpunten op de parabool met vergelijking y = 1 3 x2 + 3. 9 6 24 27 6 Opgave 36 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Twee rechten met vergelijking y = ax en y = bx met a, b > 0 maken een scherpe hoek, respectievelijk α en β, met de x-as zodanig dat α + β = 90. Hieruit volgt: a + b = 1 a + b = 2 ab = 1 a = 2b a = 4b Opgave 37. Welk van de volgende functies is gelijk aan de functie f(x) = x? x 2 x sign(x) x ln(e x ) e ln x Opgave 38. In een klas zijn 40% van de leerlingen meisjes. Wanneer 3 jongens vervangen worden door meisjes, dan zijn er in die klas 44% van de leerlingen meisjes. Hoeveel meer jongens dan meisjes zijn er in de klas? 0 2 5 8 20 A-72
Niveau 3 Opgave 39. Twee driehoeken worden gevormd in het eerste kwadrant, de ene met hoekpunten O(0, 0), A(5, 0), B(0, 12) en de andere met hoekpunten O(0, 0), C(8, 0) en D(0, 6). Het geheel getal dat het dichtst bij de afstand tussen de zwaartepunten van de driehoeken ligt is 0 2 4 Opgave 40 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Een droogrek staat in een kamer en bevat 100 rode sokken, 80 groene sokken, 60 blauwe sokken en 40 zwarte sokken. Iemand neemt één voor één de sokken van de draad. Aangezien het echter donker is in de kamer, zijn de kleuren van de sokken onmogelijk te zien. Wat is het kleinste aantal sokken dat hij van de draad moet nemen om zeker te zijn dat hij ten minste 10 paar heeft gekozen? (Een paar sokken zijn elke twee sokken van dezelfde kleur. Uiteraard mag geen enkele sok in meer dan één paar geteld worden.) 21 23 24 0 50 Opgave 41 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Een park heeft de vorm van een regelmatige zeshoek waarvan de lengte van de zijden gelijk is aan 2 km. Annie maakt een wandeling van 5 km langs de omtrek, vertrekkend van een hoekpunt. Hoeveel kilometers (in rechte lijn) is ze dan van haar startplaats verwijderd? 13 14 15 16 17 Opgave 42 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Vader schrijft een testament dat zijn nalatenschap aan zijn dochters regelt: De oudste dochter krijgt 1000 euro en 10% van wat er nog rest. Als dit uitbetaald is, krijgt de tweede 2000 euro en 10% van wat er dan nog rest. De derde krijgt 3000 euro en 10% van de rest, enzovoort. Bij zijn dood krijgen alle dochters precies evenveel. Hoeveel dochters heeft vader? 9 0 1 2 3 A-73
4p. 4p. Niveau 4 Opgave 43. Een bibliotheek heeft tussen 1000 en 2000 boeken. Van deze boeken is 25% fictie, 1/13 zijn bibliografieën en 1/17 zijn atlassen. Hoeveel boeken zijn een bibliografie of een atlas? 36 232 240 271 280 Opgave 44 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Als sin 6 α + cos 6 α = 1, dan is cos(2α) gelijk aan 4 0 4p. 4p. 2 2 2 3 3 Opgave 45. Zij v, w en u drie verschillende vectoren uit de Euclidische vectorruimte R 2 die voldoen aan v = w = u = 2 en v w = w u = 2. Dan is v u = 2 v u = 4 v u = 2 v u = 4 v u is uit de gegevens niet te bepalen Opgave 46. Een verzameling S bevat getallen, en is volledig bepaald door de volgende regels: 2 S Als n S dan 3n S en n + 5 S. Welke van de volgende getallen is geen element van S? 2000 2001 2002 2003 2004 A-74
Niveau 4 n 4p. Opgave 47. Voor elke n N 0 en elke x R 0 is n k x k 1 gelijk aan k=1 n 1 (n 1) k x k 1 k=0 n 1 n k+1 x k k=0 4p. 4p. n 1 n k 1 x k 2 k=0 Geen van vorige. Opgave 48. Een fixpunt van een (reële) functie y = f(x) is een reëel getal r zodat f(r) = r. Hoeveel van de volgende functies hebben altijd een fixpunt? Een veeltermfunctie van de vorm y = x n met n N 0. Een homografische functie. Een exponentiële functie. Een logaritmische functie f(x) = a log x. 0 2 4 Opgave 49. Als x 2 + xy + 15x = 12 en y 2 + xy + 15y = 42, welke van de volgende getallen is dan een mogelijke waarde voor x + y? 0 5 8 Meerdere van bovenstaande mogelijkheden. A-75
5p. 5p. Niveau 5 Opgave 50. Voor i = 1 tot 6 stellen we a log ( b log ( c log x i ) ) = 0, waarbij a, b en c elke rangschikking van 2, 4 en 8 doorloopt. Dan kan het product x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 uitgedrukt worden als 2 N voor een zeker geheel getal N. Bepaal N. 9 20 28 3 50 Opgave 51. Getallen worden gewoonlijk voorgesteld in het decimaal stelsel, waarbij elke decimaal vermenigvuldigd wordt met een macht van tien. Zo stelt de decimale ontwikkeling 0, 123 het getal 1/10 + 2/100 + 3/1000 voor. Om aan te duiden dat we werken met machten van tien, schrijft men soms (0, 123) 10 = 1/10 + 2/100 + 3/1000 In het ternair stelsel wordt elke tricimaal vermenigvuldigd met een macht van drie. Zo is de ternaire ontwikkeling van 1/3 + 2/9 + 1/27 gelijk aan 0, 121. We schrijven dan De ternaire ontwikkeling van 77/81 is gelijk aan (0, 950617284) 3 (0, 2012) 3 (0, 1211) 3 (0, 1111) 3 (0, 121) 3 = 1/3 + 2/9 + 1/27 5p. 5p. 5p. (0, 2212) 3 Opgave 52. Een man wandelt, eerst op een vlakke weg en daarna op een heuvel. Aan de top van de heuvel wandelt hij onmiddellijk terug naar zijn vertrekpunt. Op de vlakke weg wandelt hij aan 4km/u, bergop aan 3km/u en bergaf aan 6km/u. Als volledige wandeling 6 u duurt, welke afstand heeft de man dan afgelegd? 6km 20km 4km 28km 2km Opgave 53. Twee rekenkundige rijen worden vermenigvuldigd, en leveren de rij 468, 462, 384,... Wat is de volgende term in deze rij? 250 286 00 24 36 Opgave 54. Twee gehele getallen noemt men relatief priem als hun grootste gemene deler gelijk is aan 1. Hoeveel positieve gehele getallen kleiner dan 1000 zijn relatief priem met 105? 25 457 466 533 674 A-76
6p. Niveau 6 Opgave 55. Een cirkelvormige tafel wordt in de hoek van een rechthoekige kamer geduwd, zodat het raakt aan beide muren. Een punt op de rand van de tafel ligt op 20cm van de ene muur en op 90cm van de andere muur. Wat is de straal van de tafel? 6p. 50cm 20cm 50cm 70cm 200cm Opgave 56. Het getal (10 2010 + 1) 2 + (10 2010 + 2) 2 ( 10 2010) 2 is deelbaar door 0 2010 1 0 2010 + 3 0 2010 + 4 0 2010 + 5 6p. 6p. 0 2010 + 6 Opgave 57. Een vrouw woont op 8km van haar werk. Op het moment dat ze met de fiets naar haar werk vertrekt, heeft ze 126km op haar teller staan, aan een gemiddelde snelheid van 17, 2km/u. Ze fietst naar haar werk, en terug naar huis. Bij het thuiskomen duidt haar teller een afstand van 142km aan, met een gemiddelde snelheid van 17, 6km/u. Bepaal de gemiddelde snelheid van de vrouw over het traject van haar huis naar haar werk, en terug. Opgave 58. Voor een rij (a n ) = a 1, a 2, a 3,... geldt a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 5 en a n 1 a n 2 = 2a n a n 2 2a n 1 a n 1 voor n 3. Dan is a 2006 a 2005 gelijk aan 002 6p. 002, 5 003 003, 5 004 Opgave 59. Bepaal de positieve 1024ste machtswortel uit (2 + 1)(2 2 + 1)(2 4 + 1)(2 8 + 1)... (2 1024 + 1) + 1 2 2 4 6p. 512 Opgave 60 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Een klein muntstuk met straal r rolt zonder glijden rond een groot muntstuk met straal R dat niet beweegt. De straal R is een geheel veelvoud van r. Het klein muntstuk maakt hierbij een volledige omwenteling rond het groot muntstuk. Het aantal keer dat het klein muntstuk dan volledig om zijn middelpunt is gedraaid, is gelijk aan + R r R r R + r R r 2rR r + R A-77