Complex multiplication constructions in genus 1 and 2

Transcriptie

1 Complex multiplication constructions in genus 1 and 2 Peter Stevenhagen Universiteit Leiden AMS San Diego January 7,

2 Cryptografie 2

3 Cryptografie cryptografie: kunst om geheimschrift te schrijven 3

4 Complex multiplication The previous three talks have been concerned with the computation of class polynomials in genus 1 and 2. In this talk, we look at applications of such computations. 4

5 Complex multiplication Historische wortels: militair, speeltje voor de groten der aarde... Bepaald geen bezigheid voor de gewone man! 5

6 Caesar s geheimschrift LNKIAPDAQOOPWHDAPRQQN 6

7 Caesar s geheimschrift LNKIAPDAQOOPWHDAPRQQN A BCDEFGH I J KLMNOPQR S T U VWXYZ WXYZABCDEFGH I J K LMNOPQR S TUV 7

8 Caesar s geheimschrift LNKIAPDAQOOPWHDAPRQQN A BCDEFGH I J KLMNOPQR S T U VWXYZ WXYZABCDEFGH I J K LMNOPQR S TUV P 8

9 Caesar s geheimschrift LNKIAPDAQOOPWHDAPRQQN A BCDEFGH I J KLMNOPQR S T U VWXYZ WXYZABCDEFGH I J K LMNOPQR S TUV PR 9

10 Caesar s geheimschrift LNKIAPDAQOOPWHDAPRQQN A BCDEFGH I J KLMNOPQR S T U VWXYZ WXYZABCDEFGH I J K LMNOPQR S TUV PRO 10

11 Caesar s geheimschrift LNKIAPDAQO OPWH DAP RQQN A BCDEFGH I J KLMNOPQR S T U VWXYZ WXYZABCDEFGH I J K LMNOPQR S TUV PROMETHEUS 11

12 Caesar s geheimschrift LNKIAPDAQO OPWH DAP RQQN A BCDEFGH I J KLMNOPQR S T U VWXYZ WXYZABCDEFGH I J K LMNOPQR S TUV PROMETHEUS STAL 12

13 Caesar s geheimschrift LNKIAPDAQO OPWH DAP RQQN A BCDEFGH I J KLMNOPQR S T U VWXYZ WXYZABCDEFGH I J K LMNOPQR S TUV PROMETHEUS STAL HET VUUR 13

14 Caesar s geheimschrift LNKIAPDAQO OPWH DAP RQQN A BCDEFGH I J KLMNOPQR S T U VWXYZ WXYZABCDEFGH I J K LMNOPQR S TUV PROMETHEUS STAL HET VUUR Breken van de code: probeer alle mogelijke verschuivingen. Dat zijn er immers maar 26 (of misschien 25...). 14

15 Substitutieversleuteling HWMWEJGGYUXGWYWTVGL 15

16 Substitutieversleuteling HWMWEJGGYUXGWYWTVGL QAZX SWEDCVFRTGBNHYU J MK I OLP A BCDE F GH I J KLMNOPQRST U VW X YZ 16

17 Substitutieversleuteling HWM WE JGGY UXGWYWTVGL QAZX SWEDCVFRTGBNHYU J MK I OLP A BCDE F GH I J KLMNOPQRST U VW X YZ DIT 17

18 Substitutieversleuteling HWM WE JGGY UXGWYWTVGL QAZX SWEDCVFRTGBNHYU J MK I OLP A BCDE F GH I J KLMNOPQRST U VW X YZ DIT IS VEEL MOEILIJKER 18

19 Substitutieversleuteling HWM WE JGGY UXGWYWTVGL QAZX SWEDCVFRTGBNHYU J MK I OLP A BCDE F GH I J KLMNOPQRST U VW X YZ DIT IS VEEL MOEILIJKER Breken van de code: Ga alle permutaties na? 19

20 Substitutieversleuteling HWM WE JGGY UXGWYWTVGL QAZX SWEDCVFRTGBNHYU J MK I OLP A BCDE F GH I J KLMNOPQRST U VW X YZ DIT IS VEEL MOEILIJKER Breken van de code: Ga alle 26! = permutaties na. 20

21 Snelle computers en grote getallen Hoe lang duurt het om 26! dingen te doen met een snelle computer? 21

22 Snelle computers en grote getallen Hoe lang duurt het om 26! dingen te doen met een snelle computer? Stel eens dat die computer 400 miljoen dingen per seconde kan doen. Dan zijn we klaar na seconden. 22

23 Snelle computers en grote getallen Hoe lang duurt het om 26! dingen te doen met een snelle computer? Stel eens dat die computer 400 miljoen dingen per seconde kan doen. Dan zijn we klaar na seconden. Dat is de geschatte leeftijd van het heelal! 23

24 Snelle computers en grote getallen Hoe lang duurt het om 26! dingen te doen met een snelle computer? Stel eens dat die computer 400 miljoen dingen per seconde kan doen. Dan zijn we klaar na seconden. Dat is de geschatte leeftijd van het heelal! Maakt dat de methode veilig? 24

25 Oplossing: letterfrequenties Engels Nederlands A B C D E F 29 8 G H I J 1 15 K 4 23 L M Engels Nederlands N O P Q R S T U V 9 29 W X Y Z 1 14 aantal per 1000 letters 25

26 Viginere geheimschrift HVD PZAHSQ JMLEIDRXPSG ZVZ UCH OVZZSFUIY 26

27 Viginere geheimschrift HVD PZAHSQ JMLEIDRXPSG ZVZ UCH OVZZSFUIY Verschuif de letters van het gecodeerde woord over de waarde van de letters in een geheim sleutelwoord, bijvoorbeeld LLAVES. (a= 1, b= 2,...). ABCDEFGH I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z HVD PZAHSQ J MLE I DRXPSG ZVZ UCH OVZZSFU I Y L L A VE S L L A V E S LLAVE S L L AVE S L L A VESLLAVE 27

28 Viginere geheimschrift HVD PZAHSQ JMLEIDRXPSG ZVZ UCH OVZZSFUIY Verschuif de letters van het gecodeerde woord over de waarde van de letters in een geheim sleutelwoord, bijvoorbeeld LLAVES. (a= 1, b= 2,...). ABCDEFGH I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z H VD PZAHSQ J MLE I DRXPSG ZVZ UCH OVZZSFU I Y L L A VE S L L A V E S LLAVE S L L AVE S L L A VESLLAVE T 28

29 Viginere geheimschrift HVD PZAHSQ JMLEIDRXPSG ZVZ UCH OVZZSFUIY Verschuif de letters van het gecodeerde woord over de waarde van de letters in een geheim sleutelwoord, bijvoorbeeld LLAVES. (a= 1, b= 2,...). ABCDEFGH I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z H VD PZAHSQ J MLE I DRXPSG ZVZ UCH OVZZSFU I Y L L A VE S L L A V E S LLAVE S L L AVE S L L A VESLLAVE TH E 29

30 Viginere geheimschrift HVD PZAHSQ JMLEIDRXPSG ZVZ UCH OVZZSFUIY Verschuif de letters van het gecodeerde woord over de waarde van de letters in een geheim sleutelwoord, bijvoorbeeld LLAVES. (a= 1, b= 2,...). ABCDEFGH I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z H VD PZ A H S Q J ML E I DRXP S G ZVZ U C H OVZZ S F U I Y L L A VE S L L A V E S L L A VE S L L AVE S L L A VES L L AV E TH E L ETTE R F R EQU E NC I E S ARE NOT P RESERVED 30

31 Viginere geheimschrift HVD PZAHSQ JMLEIDRXPSG ZVZ UCH OVZZSFUIY Verschuif de letters van het gecodeerde woord over de waarde van de letters in een geheim sleutelwoord, bijvoorbeeld LLAVES. (a= 1, b= 2,...). ABCDEFGH I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z H VD PZ A H S Q J M L E I DRXP S G ZVZ U C H OVZZ S FU I Y L L A VE S L L A V E S L L A VE S L L AVE S L L A VES L L AV E TH E L ETTE R F R EQU E NC I E S ARE NOT P RESERVED Herhaalde lettercombinaties blijven herhaalde lettercombinaties als hun afstand een veelvoud van de sleutellengte is. 31

32 Veiligheid Al deze versleutelingen zijn onveilig als de vijand het versleuteltype kent. 32

33 Enigma De door de geallieerden gebroken WW2-code 33

34 Periode van 26 3 substituties 34

35 Periode van 26 3 substituties Zwaktes: Permutaties zijn involuties de letter x gaat niet naar x Rotors kunnen gestolen worden Boeken met begincodes ook 35

36 Periode van 26 3 substituties Zwaktes: Permutaties zijn involuties de letter x gaat niet naar x Rotors kunnen gestolen worden Boeken met begincodes ook Gebruiksfouten: herhaling van de drie beginletters testberichten met alleen T s uniforme berichtstructuren 36

37 Periode van 26 3 substituties Zwaktes: Permutaties zijn involuties de letter x gaat niet naar x Rotors kunnen gestolen worden Boeken met begincodes ook Gebruiksfouten: herhaling van de drie beginletters testberichten met alleen T s uniforme berichtstructuren Gedurende de oorlog werden veel berichten ontcijferd. De Duitsers bleven geloven in de onkraakbaarheid van Enigma. 37

38 Geleerde lessen Een cryptosysteem moet veilig blijven als de vijand de encryptiemethode kent; de vijand veel plaintext berichten met versleutelingen kent. De cryptologie schept een theoretisch kader voor dit soort veiligheid. 38

39 Moderne oplossing Gebruik een publieke algorithme met een geheime sleutel. Voorbeelden: DES (Data Encryption Standard, 1974), Rijndael (2001). 39

40 Crypto voor de gewone man Vandaag de dag zijn er talloze routinematige cryptobehoeften: , credit card data over internet electronische toegang tot persoonlijke (bank)gegevens electronische (betalings)opdrachten Vaak is er geen tijd of gelegenheid om een sleutel af te spreken... 40

41 Crypto voor de gewone man Vandaag de dag zijn er talloze routinematige cryptobehoeften: , credit card data over internet electronische toegang tot persoonlijke (bank)gegevens electronische (betalings)opdrachten Vaak is er geen tijd of gelegenheid om een sleutel af te spreken... Oplossing: maak de sleutel OOK publiek!! 41

42 Publieke versleuteling Ieder bericht is te schrijven als een groot getal, of een aantal daarvan. Denk maar aan a = 01, b = 02,.... Bekijk nu de verzameling V van getallen van (zeg) 200 of 500 cijfers. Dan bevat V meer getallen dan er atomen in het heelal zijn. We gaan in plaats van het plaintext bericht M V een ander bericht M c V versturen, en we zeggen erbij hoe we M c uit M gemaakt hebben! 42

43 One way functions De wiskunde geeft ons eenvoudige functies f : V V die één kant op heel gemakkelijk uit te rekenen zijn, maar waarvoor het berekenen van de omkering zonder aanvullende informatie een hels karwei is. 43

44 One way functions De wiskunde geeft ons eenvoudige functies f : V V die één kant op heel gemakkelijk uit te rekenen zijn, maar waarvoor het berekenen van de omkering zonder aanvullende informatie een hels karwei is. One way functies zijn ideale functies om berichten te coderen. Wie de functie om kan keren heeft kennelijk geheime informatie. Daarmee kan de verzender een electronische handtekening plaatsen! 44

45 Publieke versleuteling M f 1 f(m) B M f f(m) A coderen, verzenden, en decoderen van een bericht 45

46 Publieke versleuteling M f 1 f(m) B M f 1 f 1 (M) M f f(m) f A?M? f 1 (M) coderen, verzenden, en decoderen van een bericht tekenen, verzenden, en verificatie van de handtekening van een bericht 46

47 Voorbeeld: RSA RSA: Rivest, Shamir, Adleman Neem n , een publieke sleutel e, en een geheime sleutel d, zo dat x de x mod n voor alle x. 47

48 Voorbeeld: RSA 0 < M < n x de x mod n M (M e ) d M e B M M d M M e A M? (M d ) e M d coderen, verzenden, en decoderen van M tekenen, verzenden, en verifiëren van de handtekening van een bericht 48

49 Voorbeeld: RSA De veiligheid van RSA berust er op dat we geen e-de wortels kunnen trekken modulo n zonder n eerst in priemfactoren te ontbinden om een omkeerexponent d te berekenen. De ontvanger maakt het grote getal n door twee priemgetallen van ongeveer 200 cijfers te vermenigvuldigen. Hij kan dan een d berekenen om berichten aan hem te decoderen, maar niemand anders kan dat... 49

50 Waar berusten public key systemen op? Factoriseren van grote getallen Discrete logaritmen modulo grote priemgetallen Discrete logaritmen op elliptische krommen Discrete logaritmen op jacobianen 50

51 Waar berusten public key systemen op? Factoriseren van grote getallen Discrete logaritmen modulo grote priemgetallen Discrete logaritmen op elliptische krommen Discrete logaritmen op jacobianen leer wiskunde en kom met je eigen methode! 51

52 Vragen? 52

53 Vragen? Of vooral dorst? 53