STATISTIEK voor Onderzoek. v. X B.J. van Zweeden

Transcriptie

1 STATISTIEK voor Onderzoek v. X B.J. van Zweeden

2 Inhoudsopgave 1.1 Inleiding 1.2. Een onderzoek opzetten Een idee De formulering van een onderzoeksvraag De nulhypothese De wijze waarop met gegevens wordt omgegaan 1.3. Een onderzoeksverslag maken 1.4. Een voorbeeld uit de praktijk Bier en de reactiesnelheid 1.5. Welke testen zijn er zoal? Typen meetniveau's De normale verdeling en de Student-t test Parametervrije toetsen Scheefheid als criterium voor normale verdeling Een overzicht van testen en toetsen 1.6. Overzicht van toetsen met voorbeelden De standaardnormale verdeling Steekproeven Student-t toets De X 2 toets De tekentoets Wilcoxon toets Mann-Whitney toets 2.0 Workaround: hoe ga je nu te werk? 3.0 Basis Statistiek 3.1. Populatie en steekproef 3.2. Het verschil tussen standaardafwijking en standaard fout 3.3. De manier van steekproeftrekking 4.0. Literatuur 2

3 1.1 Inleiding Wie onderzoek doet of gaat doen ontkomt niet aan de verantwoording van de getrokken conclusies. Om naar aanleiding van een onderzoek iets te kunnen concluderen, moet dat kunnen staven met statistiek en statistische testen en toetsen. Daarvoor zijn afspraken gemaakt, afspraken die gaan over de mate van geaccepteerde toleranties en daarmee de mate van significantie. Wij hebben in onze wereld te maken met populaties. Populaties van objecten, personen enzovoort. Dit omvat steeds alles. Alle mensen op de wereld, alle appels die aan appelbomen groeien, alle sterren aan de hemel, alle denkbare metingen die uit te voeren zijn. Al deze populaties hebben een omvang aangeduid met de hoofdletter N. Omdat N meestal onnoemelijk groot is, en onmogelijk om allemaal te meten, moet je je in onderzoek beperken tot een steekproef. Immers alles willen meten is onmogelijk. Deze steekproef moet dan zo betrouwbaar mogelijk bepaald zijn maar toch voldoende afspiegeling van het grote geheel. Doordat veel proeven in de natuurwetenschappen steekproeven zijn, wil je als onderzoeker weten of de kenmerken van deze steekproeven iets zeggen over het grote geheel: de gehele populatie. Het kan dus zijn dat jouw experiment bestaat uit een serie metingen die op te vatten is als een steekproef. Die kan overeenkomen met een geaccepteerde waarde van de populatie of niet. Of de kenmerken van de steekproef afwijken of niet wordt bepaald door het significantieniveau. Dat laatste woord wordt vaak misbruikt als synoniem voor 'opvallend', of 'overtuigend'. Statistische significantie duidt echter op de afwijking van een geaccepteerde grens. Het individuele gewicht van een persoon kan significant afwijken van het gemiddelde van personen met bijvoorbeeld dezelfde lengte en omvang. Een steekproef kan een gemiddelde produceren die significant afwijkt van wat men veronderstelde als gemiddelde geldend voor de gehele populatie. Zo zijn er significantie grenzen van 1%, 5% en 10%. In het algemeen geldt: hoe kritischer (kleiner) het significantieniveau, des te overtuigender is het gevonden en gemeten effect. Wie een grens van 5% kiest, zegt in feite dat de kans dat de H 0 hypothese geaccepteerd blijft 95% is en de kans dat men moet uitwijken naar de alternatieve hypothese 5% is. Wie een grens van 1% hanteert maakt deze scheiding nog extremer. Als dan de test met een p- waarde op bijvoorbeeld 0,007 komt, is er duidelijk iets 'significant' anders en vervalt de H 0 hypothese. Significantie heeft dus te maken met grenzen van acceptatie. In dit document kan je terugvinden welke gangbare toetsen en testen er bestaan, hoe deze uit te voeren en op grond waarvan je een dergelijke keuze moet maken. Allereerst kijken we naar de onderzoeksopzet en een voorbeeld. Daarna via de meetniveaus naar de bijbehorende testen. De bundel gaat verder met verdelingen en geeft via voorbeelden talloze uitwerkingen van diverse tests. Achterin staat in Hoofdstuk 3 nog wat basis-statistiek uitgelegd. Veel plezier! Bart J. van Zweeden 3

4 1.2 Een onderzoek opzetten De opzet van een (serieus bedoeld) onderzoek vraagt om een strakke werkplanning en werkwijze. Er zijn veel varianten van onderzoek. De vormen waar het hier omgaat zijn vormen van natuurwetenschappelijk onderzoek; onderzoek waarbij vanuit een algemene vraagstelling een hypothese wordt geformuleerd en vervolgens via een werkwijze en materiaalbehandeling komt tot resultaten. Die resultaten kunnen slechts worden beoordeeld als van te voren vast staat wat men wenselijk acht en wat niet. Het is nogal vrij makkelijk om pas na het meten en verkrijgen van resultaten dan pas te gaan bepalen hoe je met de data wenst om te gaan. Dit leidt tot onbedoelde verkeerde veronderstellingen (bias) en blindheid voor de werkelijkheid. De opzet van bijvoorbeeld een natuurwetenschappelijk onderzoek heeft deze vorm: Een idee, een verwondering, een (thematische) vraag, een veronderstelling Je hebt als onderzoeker een verschijnsel waargenomen. Iets viel je op en je vraagt je af of dit vaker zo voorkomt, of dit een bepaald patroon volgt. Een voorbeeld: Italiaanse onderzoekers onderzochten de manier waarop postduiven hun weg terug naar huis kunnen vinden. Het is immers opmerkelijk dat deze dieren op zeer grote afstanden (soms meer dan 1000 km) toch hun huis weer weten te vinden. Men verwondert zich, bedenkt een onderzoek dat een aspect van dit fenomeen uitlicht en uittest De formulering van een onderzoeksvraag Naar aanleiding van de initiële verwondering volgt een gerichtere onderzoeksvraag. Welke factoren zijn verantwoordelijk voor of spelen een rol bij het terugvinden van de huislocatie bij op afstand geloste postduiven? Dit zou een prima eerste vraag kunnen zijn. De vraag laat zich verder uitsplitsen in deelvragen die elkaar niet overlappen, maar gezamenlijk een antwoord trachten te vinden op de hoofdvraag. Deelvragen: 1) Welke invloed hebben de weersomstandigheden op een succesvolle thuiskomst bij op afstand geloste postduiven? 2) Welke invloed hebben kenmerken in het landschap (landmarks) op de oriëntatie van op afstand geloste postduiven? Enzovoort. Je ziet ook dat als je meer en meer in detail treed, de vragen scherper worden en steeds meer neigen naar een toetsbare factor. Het mooiste is dat een (deel)onderzoek zo'n deelvraag kan beantwoorden. De voorbeelden hierboven zijn eigenlijk afzonderlijke onderzoeken geweest die in de jaren gehouden zijn De (nul)hypothese en alternatieve hypothese. Veronderstel dat een onderzoeker wil weten of postduiven een duidelijke voorkeur van richting hebben (getuigend van richtingszin) zodra deze dieren worden losgelaten in het vrije veld op weg naar huis. Een nulhypothese zal dan luiden: H o: Er is geen duidelijke voorkeur. De dieren vertrekken in elke denkbare richting. Als Alternatieve hypothese kan dan gelden: H 1: De dieren hebben een 4

5 duidelijke voorkeur hetgeen blijkt uit de gekozen richting die niet meer dan x graden afwijkt van de echte richting De wijze waarop met de gegevens wordt omgegaan: de statistiek en de te hanteren toets-vorm. In dit stadium moet duidelijk worden hoe men met de gegevens wenst om te gaan, welke nabewerkingen er nog nodig zijn en welke toets-vorm het beste past. Uit eerder genoemde onderzoeken hebben onderzoekers gekeken naar de verdwijnrichting die postduiven kiezen zodra zij op gerede afstand van hun hok zijn losgelaten. Hoe meer deze richting overeenstemt met de noodzakelijke richting om thuis te komen, des te meer leken de dieren te 'weten' waar zij moesten zijn. De verdwijnrichting is een numerieke variabele en kan dus bij herhaalde proeven getoetst worden. In deze toets test je de eerder in stap drie geformuleerde hypothesen. Als de resultaten laten zien dat de gekozen richting niet overtuigend afwijkt van een eerder afgesproken tolerantiegrens, dan vervalt de H o-hypothese en hebben de losgelaten duiven blijkbaar een duidelijke voorkeur hetgeen mogelijk kan duiden op een vorm van oriëntatie. Dat laatste wordt niet getest en zal een meer neurologisch onderzoek worden. Je ziet dat als je niet van te voren een dergelijk toets-criterium opstelt, je conclusies afhankelijk worden van wat je aan data vindt ende manier waarop je naar de data gaat kijken. Je speelt dan vals. 1.3 Een onderzoeksverslag maken Bij serieus onderzoek in de natuurwetenschappen hoort een verslagwijze die in het algemeen herkend en erkend is. Veel publicaties op wetenschappelijk niveau kennen vaak een min of meer dezelfde opbouw van verslaggeving. Deze heeft de volgende opbouw: 1. Onderzoektitel. Deze titel maakt in één zin duidelijk waar het onderzoek over gaat. 2. Rijtje namen van de auteurs Meestal zijn er meerdere onderzoekers bij het onderzoek betrokken. Men hanteert de volgorde van namen waaruit blijkt wie de meeste bijdragen heeft geleverd aan het onderzoek; niet alfabetisch dus. 3. Een abstract Bij onderzoeken die gepubliceerd worden is een abstract handig. Een abstract is een bondige samenvatting waar het onderzoek over gaat, wat eruit gekomen is en welke conclusies men trok. Dergelijke abstracts zijn altijd via internet op te vragen; alle onderzoeksgegevens zelf zijn namelijk nog wel eens beschermd; voor inzage moet men dan bijvoorbeeld 36$ betalen. 4. Introductie Hier wordt de aanleiding van het onderzoek beschreven en de context waarin het onderzoek plaatsvindt. Mogelijk is dit onderzoek een vervolg op een eerder onderzoek. 5. Materiaal en Methode Hierin zijn de onderzoekers glashelder en eerlijk over de materialen die gebruikt zijn, gehanteerde werkwijzen en recepten die men volgde. Het idee erachter is dat iedereen die deze werkwijze hanteert en deze materialen op dezelfde manier gebruikt ook tot dezelfde resultaten moet komen. Een dergelijke openheid van zaken is erg van belang voor de voortgang van de wetenschap. 6. Resultaten 5

6 Hierin worden uitsluitend de resultaten vermeld die men middels meting, vaststelling gevonden heeft. Men trekt geen conclusies, geen uitingen van blijdschap over de gevonden gegevens en nimmer boosheid over het feit dat het experiment iets heel anders toont dan men verwacht had. Niets van dat alles: alleen de kale resultaten in tabel en grafiek vorm. 7. Discussie en conclusie Dit is de plaats waarop men de resultaten becommentarieerd. Er zijn verklaringen af te geven waarom de gegevens zo en zo eruit komen. Of waarom de resultaten niet consistent zijn, of waarom gegevens ontbreken. Ook kan het zijn dat de gehanteerde werkwijze toch niet de gevraagde getallen voortbrengt. Dat kan met in dit deel kwijt. Op grond van de discussie en resultaten trekken de onderzoekers jun conclusies. Ook is het doen van zinvolle suggesties voor vervolgonderzoek of een verbeterde proefopzet hier op zijn plaats. Bescheidenheid is hier vaak wel op zijn plaats; Zelden onderzoek je dé waarheid. Je onderzoek maakt hooguit aannemelijk dat jouw gevonden gegevens kunnen duiden op een regelmaat of wetmatigheid. Zie voor een prachtig voorbeeld het wereldberoemde verslag van Watson en Crick die samen in 1953 de structuur van DNA hebben opgehelderd. Dit verslagje telde enkele bladzijden en heeft de wereld drastisch doen veranderen! 8. Literatuur Elke onderzoeker staat op de schouders van voorgangers en zij die eerder met een dergelijk thema zijn bezig geweest. De referentie aan hun werk is dan ook niet meer dan vanzelfsprekend en getuigt van respect. Een literatuurlijst volgt in opzet de zogenaamde APA-regels. Het voert nu te ver om hier uitvoerig op in te gaan. Naast het verslag is het zeer aan te bevelen een logboek bij te houden. Dat is een hulpmiddel bij het systematisch verzamelen en ordenen van de gegevens. Een goed gedocumenteerd logboek/bronnen- en materialenboek is onmisbaar wanneer je de resultaten gaat uitwerken. Neem zoveel mogelijk gegevens op, want ook ogenschijnlijk onbelangrijke details kunnen in een later stadium essentiële informatie blijken te zijn! In het logboek/ bronnen- en materialenboek noteer je alle werkzaamheden: planning onderwerpkeuze vraagstellingen geraadpleegde hulpbronnen en samenvatting van gevonden informatie denkstappen alle resultaten andere aantekeningen. Met name de denkstappen die je deed om ergens te komen, blijken van groot belang. Immers is het doe van (experimenteel) onderzoek ook een kwestie van uitproberen en gevoel krijgen voor wat misschien weer nieuwe inzichten oplevert. Zeker bij tegenslagen, dingen die niet werken, het uitblijven van resultaten, blijkt een logboek zijn grote waarde. 6

7 1.4 Een voorbeeld uit de onderzoekpraktijk Bier en de invloed op de reactiesnelheid Een onderzoeker gefascineerd door het menselijk brein, is geïnteresseerd in de reactiesnelheid van jonge mensen van jaar. Vanuit de literatuur is bekend dat de gemiddelde mens ca. 150 ms nodig heeft om een spontaan losgelaten liniaal die rechtstandig naar beneden valt, op te vangen. Mensen met een tragere reactie snelheid zullen de liniaal nog net vastgrijpen, anderen missen deze geheel. De onderzoeker die dit weet wil weten of de consumptie van 5 biertjes invloed heeft op de reactiesnelheid van deze mensen en test hen eerst nuchter en na de consumptie van 5 biertjes nogmaals. Het idee is duidelijk. De H o hypothese luidt: De reactiesnelheid bij het grijpen van de liniaal is niet beïnvloed door de consumptie van één of meerdere biertjes. De testgrens ligt bij vijf biertjes. Feitelijk verwachten we geen verschillen in de reactiesnelheid voor of na het consumeren van bier. De H 1 hypothese: De reactiesnelheid bij het grijpen van de liniaal is duidelijk vertraagd door de consumptie van vijf of meer biertjes. We denken dat het consumeren van bier invloed heeft op de reactiesnelheid, vergeleken met dezelfde test voor de consumptie. Er is niet gezegd dat deze reactiesnelheid steeds trager moet zijn. Samengevat: H o : u v=0 (er is geen significant verschil) H 1: u x <>0 (er is wel een significant verschil dat niet door toeval wordt verklaard) Materiaal, Methoden en onderzoeksopzet De onderzoeker kiest voor een 15 mensen in de leeftijd van jaar. Deze groep is door loting vastgesteld uit een populatie van leerlingen van een HBO. Deze groep krijgt eerst uitleg over de proef, wordt onderworpen aan de proef door driemaal een poging te doen. Hiervan neemt de onderzoek het gemiddelde van deze drie pogingen. Dit levert dus 15 gemiddelde scores op. Daarna krijgt de groep een twee uur de tijd om vijf biertjes te consumeren en wordt de test herhaald. Er ontstaan dus twee rijen getallen: vóór en ná de consumptie van bier. De onderzoeker besluit om gebruik te maken van de Student-t toets met gepaarde groepen en zal op grond van de uitslag zijn conclusies trekken. Als grens wordt een alfa van 5% gehanteerd. We gaan even voorbij aan hoe men deze snelheid moet meten. Resultaten: Reactiesnelheid voor na

8 Gemiddeld Standaardafw 16, ,48145 T Test 0, Ons criterium ligt bij 5%: Het bovenstaande getal (0,00718) geeft dus de kans weer van 0,71% dat onze verschillen gebaseerd zijn op toeval; Dat wordt erg extreem gevonden, dus we moeten de conclusie trekken dat deze uitkomsten significant verschillen; de verschillen vóór en ná zijn té groot om verklaard te worden door toevallige verstoringen. In dit geval verwerpen we de H 0 hypothese en nemen we de H 1hypothese dat de verschillen vóór en ná bierconsumptie significant zijn. Zou de uitkomst 0,0673 zij, dan ligt deze waarde boven de 5% (0,05). Dat betekent dat we een betrouwbaarheid hebben van minder dan 95%, of een kans van meer dan 5% dat de verschillen door toeval verklaard worden. Dat vinden we teveel; in dat geval houden we de H 0 hypothese aan. 8

9 1.5 Welke testen zijn er zoal en welke moet je nou hebben? Dit is een belangrijke vraag. Om deze goed te beantwoorden kijken we eerst naar het type data waar we mee werken: Typen Meetniveau's Nominaal meetniveau Dit meetniveau verwijst naar categorieën en benamingen. Van getallen is geen sprake. Denk aan politieke partijen waarom mensen stemmen of merken auto's. De categorieën zijn niet te rangschikken en hebben geen onderlinge verhouding die rekenkundig kan worden benaderd. Veel statistische toetsen kan je hier dus niet bij gebruiken. Ordinaal meetniveau Deze schaalverdelingen hebben wel een volgorde. Denk aan een schaal van tevredenheid; mensen maken een keus van zeer ontevreden, via neutraal tot zeer tevreden. De ordening is duidelijk; een nulpunt ontbreekt en je kan ook niet zeggen dat 'zeer tevreden' 2x zo groot is als 'tevreden'. Interval meetniveau Bij dit meetniveau is sprake van getallen. De temperatuur in graden Celsius is zoiets. Sommige indexen zijn op interval niveau. Rationaal meetniveau Het laatste niveau is het meest numeriek en kent een ordening, een nulpunt en kent een onderlinge verhouding: een stengellengte van 10 is twee keer zo lang als die van 5. De meeste statistische testen en toetsen zijn ingericht op interval en rationaal niveau De normale verdeling en de Student-t verdeling Veel numeriek gegevens op rationaal meetniveau volgen de normale verdeling. De normale verdeling betekent dat van elke meetwaarde een grote groep metingen zijn die voor 70% rond het gemiddelde bewegen terwijl de overige 30% symmetrisch is gerangschikt aan de buitenzijde. Dit levert een klokvormige verdeling op: Als voorbeeld nemen we de gewichten van appels die van een appelboom komen. De hele boom produceert appels met een zeker gemiddelde gewicht genaamd. Rond die zal links en rechts een groep appels zijn die een gewicht hebben tussen en. Hierbij is de 9

10 standaardafwijking. Het gebied tussen en beslaat zo'n 68% van de appelgewichten, verdeeld in twee keer 34%. Daarbuiten blijkt tussen de grenzen: en 95% van alle gewichten te zitten. Dus dat betekent dat de buitengebieden 2x 13,5% beslaan. Buiten de 2 gebieden zitten de laatste 2,5% van de metingen. Deze verdeling is niet afhankelijk van de plaats van. Die kan elke denkbare waarde hebben. Het enge dat bepaalt is de plaats van de curve: de positie van het centrum. De slankheid van de curve ligt vast met de waarde van. Hoe groter die is, des te breder en lager de curve: hoe kleiner die is, des te smaller en hoger die curve. 2 2 De op de normale verdeling gebaseerde toetsen gaan er dus vanuit dat de gedane metingen afkomstig zijn uit een 'populatie' van normaal verdeelde metingen. In de praktijk zal met dát eerst moeten aantonen met of een normaal-kwantiel diagram of met de scheefheid van een curve. Beide methoden geven een indicatie of de keuze voor de normale verdeling gerechtvaardigd is. In onze cursussen, lessen en periodes gaan we ervan uit dat de meeste al/niet uit de natuur ontleende gegevens normaal verdeeld zijn. Student-t verdeling. Er is een aanpassing op de normale verdeling gemaakt. De student-t verdeling, welke overigens helaas geen examenstof is op school, volgt in grote lijnen de normale verdeling. Echter maakt de student-verdeling gebruik van steekproeven. De normale verdeling gaat uit van totale populaties. In Wikipedia lezen we: De t-verdeling, ook wel studentverdeling genoemd (naar het pseudoniem "Student" van William Sealy Gosset), is een kansverdeling die is afgeleid van de normale verdeling en verbonden met de verdeling van het geschaalde steekproefgemiddelde van een aselecte steekproef uit een normale verdeling. Het is de verdeling van de toetsingsgrootheid T van de t-toets. Juist in veel wetenschappelijk onderzoek kan men gebruik maken van de student-t verdeling. Dit correspondeert het beste met het feit dat veel proeven feitelijk een aselecte steekproef zijn uit een veel groter geheel. Iemand die 100 appels gaat wegen, heeft een steekproef genomen uit de enorme berg appels die denkbaar is. Ook iemand die 100 stengellengten opmeet, of 20 metingen aan CO2 doet, neemt in feite een steekproef Parametervrije toetsen Zoals eerder gezegd, zullen veel metingen afkomstig zijn uit de normale verdeling. Omdat je altijd met steekproeven te maken hebt, gebruiken de Student-t verdeling. Hierover later uitgebreid meer. Er is nóg een onderscheid t maken: Als niet wordt voldaan aan de eisen voor een normale verdeling (er is een gemiddelde en standaardafwijking bekend en de valt min of meer samen met de mediaan waardoor een symmetrische curve ontstaat), dan spreekt men van een non-parametrische verdeling. In dit geval mag je geen parametrische toets gebruiken en heb je een niet-parametrische toets (parametervrijetoets) nodig Scheefheid als criterium voor de normale verdeling Een meer nauwkeurige methode is het vaststellen van de scheefheid (de afwijking van de normale verdeling). Aan de hand van een simpele voorbeeldsteekproef zullen we de formules die hiervoor nodig zijn verduidelijken. 10

11 Je wilt de gemiddelde leeftijd van studenten onderzoeken. Je hebt hiervoor een steekproef van negen studenten genomen. In de onderstaande tabel zie je de gegevens. nummer leeftijd afwijking t.o.v. gem afw^ som gem d n Men berekent de scheefheid door Scheefheid. 3 ( n 1)( n 2) De waarde van d (afwijking of deviatie) halen we uit de derde kolom. Standaardafwijking hier is 3. Ingevuld met n=9 levert ons dit de waarde 0,12 op. Er is nog een waarde die we nodig hebben: de standaard fout van de scheefheid: 6 nn ( 1) S tan daardfout : Als we deze invullen vinden we de waarde: 0,72. ( n 1)( n 1)( n 3) Door deze op elkaar te delen (0,12/ 0,72) krijgen we de waarde 0,17. Deze waarde vergelijk je met de minimale waarde van z voor een significantieniveau van 5% (α= 0,05) bij een tweezijdige toets, namelijk 1,96. In het voorbeeld is de significantie voor de scheefheid lager dan 1,96, in dit geval hebben we te maken met een normale verdeling en mogen we dus een parametrische toets gebruiken. Is de waarde hoger dan 1,96, dan moet je een parametervrijetoets gebruiken. Ok, best lastig zo. We gaan in onze onderzoeken uit van de normale verdeling en van hooguit twee steekproeven: dat wil zeggen: een serie metingen 'blanco' of zonder de invloed van een factor, en een serie metingen met de factor X. Op die manier blijft het onderzoek hanteerbaar en wordt de statistiek niet overdreven lastig Een overzicht van testen en toetsen. In het overzicht op de volgende pagina kan je kijken welke toets moet worden gebruikt om je conclusies voortkomend uit onderzoek te staven. Er is sprake van de volgende toetsen: 1. T-toets 2. Tekentoets 3. X 2 toets bij nominale gegevens en aantalsverhoudingen 4. Wilcoxon toets (als je twee steekproeven hebt) 5. De Mann-Whitney toets. 11

12 Al deze vijf worden hieronder besproken met voorbeelden. Bron: Praedinius Gymnasium Groningen. 12

13 1.6. Overzicht toetsen en voorbeelden De Standaardnormale verdeling Deze verdeling is de basis van veel meetwaarden die we in het lab zullen doen. Echter hebben we nooit te maken met de gehele populatie maar met een beperkte set meetwaarden die als steekproef is op te vatten. Om toch een idee te geven hoe de normale verdeling werkt de volgende werkwijze. 1. Een normale verdeling ligt vast met en. 2. De standaardnormale verdeling heeft een u van 0 en een sigma van 1. Dit betekent dat waarden tussen -1 en 1 dus 70% van alle waarnemingen beslaan en tussen -2 en 2 dus 95% van alle waarnemingen beslaan. We kijken hier wel naar een totale populatie: alle lengten van jongens van 17 jaar of alle gewichten van appels van appelbomen. Ook alle dikten van spijkers gefabriceerd in een fabriek zijn normaal verdeeld. 3. We gaan uit van bijvoorbeeld de vraag: Hoe groot is de kans dat ik een appelgewicht tegen kom dat kleiner of gelijk is aan 75 gram met een u van 80 gram en een sigma s van 10 gram. Hierbij is x de variabele gewicht. X P(X <= 75) ofwel: z. z is standaard normaal verdeeld Ingevuld: z 0,5 10 De kans op z <= -0,5 kan worden gevonden door de oppervlakte nemen onder de curve, lopend van - oneindig tot -0,5. En dan vinden we met een tabel: 0,3085. Leerlingen op scholen lossen deze vraag rechtstreeks op met de GRM, de functie normalcdf. normalcdf (-10-99, -0,5, 0, 1) = 0,3085 of nog sneller: normalcdf (-10-99, 75, 80, 10) = 0,3085 Deze aanpak wordt herkend door alle HAVO/VWO-A en C leerlingen Steekproeven met de normale verdeling In plaats van de kans te berekenen dat een appel onder of boven een bepaald gewicht is, is het waarschijnlijker dat men niet één appel maar een set appels neemt; een steekproef van - zeg 25 appels uit een grote verzameling. Situatie: Neem aselect (zonder voorkeur) 25 appels uit een grote verzameling appels, bereken het gemiddelde gewicht. De vraag is nu: P(X gem <= 75 gram) Men lost dit op dezelfde manier als hierboven op, alleen wordt in plaats van de standaardafwijking voor losse appels nu de standaardafwijking voor steekproeven gebruikt: Xgem n Oplossing: 99 normalcdf 10, 75, 80, 10 / 25 0,

14 Opm1: Je ziet dat de kans dat een appel van het gemiddelde afwijkt veel groter is dan dat het gemiddelde gewicht van 25 appels afwijkt van het gemiddelde. Opm2: De formule van Xgem is ook de formule van de Standaard Fout. Deze is geënt op n steekproeven met grootte n Student-T-toets Er zijn drie Student-t toetsen die je goed uit elkaar moet houden. 1. Een serie metingen (een steekproef) wordt vergeleken met een algemeen geaccepteerd gemiddelde (mits bekend natuurlijk). 2. Twee series metingen worden onderling vergeleken waarbij de metingen niet gekoppeld zijn. Denk hierbij aan het vergelijk van een serie proeven waarin factor X wordt onderzocht en vergeleken met een serie blancowaarden waarin X ontbreekt. Excel maakt hierbij nog onderscheid in steekproeven afkomstig uit dezelfde populatie en dus de zelfde variantie ( ) of steekproeven uit verschillende populaties. 3. Twee series metingen worden onderling vergeleken waarbij de metingen wel gekoppeld zijn. Hierbij moet je denken aan een vóór - ná situatie. Een groep mensen wordt bemeten/getest en ondergaat daarna een training. Dan wordt weer gemeten en gekeken of de training effect heeft gehad. 2 We zullen de wiskundige achtergrond van de Student-t verdeling achterwege laten en ons beperken hoe je dit doet Een steekproef en één gemiddelde: een voorbeeld: Een serie CO 2waarden wordt vergeleken met een vastgesteld gemiddelde. Een laborant voert een onderzoek uit en test of deze metingen significant verschillen van een vast gemiddelde. Serie CO2 waarden Gemiddelde: 11,7 Met de GRM testen we of deze waarden afwijken van een vastgestelde waarde van De 20 waarden worden in lijst L1 gezet 2. [STAT] (TESTS) -> T-Test. 14

15 3. Input: Data, U 0=13, List: L1 Freq: 1 je wil weten <U 0 want dit gemiddelde ligt duidelijk lager. 4. 'Calculate' geeft een t waarde van -3,213 en een bijbehorende kans van p = 0, Als we de bekende grens van 0,05 aanhouden, betekent dat deze metingen significant afwijken van de vaste waarde 13. Context: Een instituut/fabriek/instelling heeft bepaald dat het CO2-niveau rond de 13 moet zijn. Metingen wijzen nu uit dat we met een gemiddelde van 11,7 er significant onder zitten Twee steekproeven met gekoppelde gegevens Een leerkracht wil weten of zijn 12 studenten er door een korte cursus wiskunde op vooruit zijn gegaan. Allereerst laat hij ze een test maken. Die scores noteert hij. Dan doorlopen de studenten een cursusprogramma, waarna zij opnieuw een test krijgen. Dan worden de scores vergeleken. De gegevens van de score-1-kolom is gekoppeld aan de gegevens van de score-2-kolom. H o: Er is geen verschil. Hier gaan we altijd van uit. H 1: Er is wel verschil (tweezijdige test: mensen kunnen immers ook juist slechter scoren de tweede keer). score 1 score2 Student Gem 60,25 65,25 stdev 14, ,63947 aantal SEM 4, , T.test 0, In de tweede kolom de scores in punten voor de cursus en in de derde kolom de scores na de cursus. Ondanks dat de gemiddelde scores wel beter geworden zijn, vertonen de beide kolommen flink wat ruis; er is een fikse spreiding in beide kolommen (standaardafwijking van 14,03 resp. 11,64 punten). De t-test laat zien dat de uitslag niet significant is; 0,1189 zeg 12%. Bij een grens van 5% is het verschil in beide kolommen niet significant. In dit geval is een gepaarde t-test gebruikt; een voor-na situatie: elke rij correspondeert met één en dezelfde persoon. Conclusie: de H o hypothese blijft bestaan; er is niet overtuigend aangetoond dat de cursus een significante verbetering heeft bewerkstelligd. 15

16 Eigenlijk zag je het al aan de SEM (Standard Error of the Mean) : deze waarden opgeteld/afgetrokken van het gemiddelde overlappen de andere range van gemidddelde en +/- SEM. Opmerking: Excel is niet in staat om een reeks getallen te vergelijken met één opgegeven gemiddelde. Daarnaast kent Excel twee varianten van een T-test met twee onafhankelijke groepen: de groepen zijn ontleend aan dezelfde populatie en hebben dus dezelfde veronderstelde variantie of niet. In EXCEL gebruik je de functie T.TEST (matrix1;matrix2; zijden ; type). Matrix: de reeks getallen van steekproef 1 resp 2, zijden: toets je éénzijdig of tweezijdg, betekent dat je afwijkingen in één richting verwacht of in twee. Type is 1: gepaard, 2: twee groepen afkomstig uit dezelfde populatie 3: twee groepen afkomstig uit verschillende populaties 16

17 1.4.3 Derde voorbeeld: Studenten van twee aparte groepen worden getest Het verschil met de vorige test is dat nu twee (niet noodzakelijk even grote) groepen dezelfde test krijgen. Ook nu: H o: er is geen verschil tussen de groepen, H 1: er is wel een significant verschil. De uitslag: Groep1 Groep Gem 60,25 71,53 14,03 14,34 Aantal SEM 4, , T.test 0, Uit deze tabel blijkt dat groep2 significant beter is dan groep 1. De niet gepaarde t-test laat zien dat de kans dat de verschillen op toeval berusten minder dan 5% is. (0,044756). We kozen hier voor type 2: verschillende groepen studenten, afkomstig uit dezelfde populatie. De H0 hypothese moet dus vervallen: er ís een duidelijk significant verschil. Ook hier zie je dat de gemiddelden van beide groepen niet in elkaars vaarwater zitten, rekening houdend me de SEM van beiden. Je kan dat zien door te kijken of het gemiddelde van kolom 2 in de range past van het gemiddelde kolom-1 +/- de SEM van kolom 1. Dus: 60,25 + 4,05 = 64,29 dit is geen

18 De Tekentoets De tekentoets is in feite een toets die wordt gebruikt om uitsluitend te letten op verschillen in termen van meer of minder. Hoe groot de verschillen zijn, wordt niet meegenomen. Derhalve is de toets geschikt voor ordinale waardenreeksen of steekproeven met getallen die niet uit de normale verdeling komen. De werkwijze is eenvoudig. Een voorbeeld. Een groep van 15 mensen wordt gewogen en hun gewichten genoteerd. Daarna volgen zij een crashdieet waarbij hen gewichtsverlies is beloofd. Na deze week worden zij opnieuw gewogen. De vraag is of het dieet gewerkt heeft: H 0: het werkt niet: er is geen verschil; de verschillen zijn of + of - 50% kans dus. H 1: het werkt wel: er is een significant aantal minnen duidend op gewichtsafname. Gewichten VOOR NA verschil persoon We tellen 9 minnen, vier plussen. De twee nullen (geen verschil) doen niet mee. Dit betekent dat n dus wordt: 13 ipv 15. Het is een rechtszijdige binomiale toets waarbij je stelt: P(aantal minnen >= 9) = 1 - P(aantal minnen <=8) = 1- binomcdf (13, 0,50, 9) = 0,046. Conclusie: het crashdieet werkt, H 0 vervalt. Opm: Wie gewoon de t-toets zou gebruiken (en waarom hier niet), zou zien dat de p-waarde op 0,30 ligt. Totaal niet significant. Reden: de T-toets neemt de getalwaarden mee, de tekentoets totaal niet. Als men echter een proefopzet heeft waarbij niet-numerieke variabelen worden gebruikt, is alleen nog de tekentoets bruikbaar. We zien wel dat dit een verarming is voor de kwaliteit van de toets. 18

19 X 2 toets bij nominale gegevens en aantalsverhoudingen Chi-kwadraat is een toets die erg goed bruikbaar is in tabellen waarin werkelijke gegevens kunnen worden vergeleken met verwachte gegevens. Die gegevens hoeven niet uit een normale verdeling te komen (het zijn er al veel te weinig bijvoorbeeld). Uit de Mendelse genetica kennen we de 9:3:3:1 verhouding. Een onderzoeker test dit met fruitvliegjes en let daarbij op twee kenmerken: scarlet eye en black body (ebony). Het allel scarlet eye is recessief tov red eye en ook ebony is recessief tov het wildtype. OBSERVED scarlet red ebony wild EXPECTED scarlet red ebony wild De matrix Expected komt tot stand door 560 te delen door 16. Die waarde (35) vormt de kleinste groep. De andere twee groepen zijn 3x zo groot. De laatste 9x zo groot. Nu de test. EXCEL: functie CHI.TEST (matrix-observed, matrix-expected) vergelijkt beide tabellen. Uitkomst: p= 0,0398. Conclusie: H 0: er is geen verschil, moet vervallen: er is nl wel een significant verschil en dus is de 9:3:3:1 verhouding hier blijkbaar niet geldig. Wat dan wel? Dat weet niemand. Met de GRM: zet de eerste matrix in lijst L1 en de tweede matrix in lijst L2. functie: [STAT][TESTS] -> X 2 GOF-test (observed=l1, Expected=L2; df = 1); p=0,0398 Als student moest ik dit met de hand uitrekenen. Daarbij had je een X 2 tabel nodig. Dat is verleden tijd gelukkig. We kunnen nu snel checken of de geneticawet van Mendel hier opgaat. 19

20 Wilcoxon toets Ook deze test wordt gebruikt als de gegevens in de steekproef niet normaal verdeeld zijn, maar wel numeriek, of ordinaal van schaal zijn. Een voorbeeld: Om te onderzoeken of een meststof A of B bij planten het beste resultaat geeft, worden een reeks van 11 (n) planten bemest met A en een reeks van 13 (m) planten met meststof B behandeld. Na enkele weken worden de planten gewogen. Gewichten Rang Reeks 1 Reeks 2 Rang , , ,2 15, ,5 16, ,5 16, ,6 17, ,7 17, ,9 17, ,3 18, ,1 18, ,5 19, , , Van beide reeksen worden de gewichten op volgorde gezet en krijgen de getallen een rangnummer. Daarna worden de rangnummers opgeteld per reeks. Als de reeksen mooi in elkaar passen, zou je een 50%-50% verdeling verwachten waarbij de planten om en om even zwaar geworden zijn. Dat is de H 0 hypothese. De kleinste waarde van n (met altijd n <= m) rangnummers is als alle kleinste rangnummers bij kleinste kolom horen. De som hiervan is: 0,5*n*(1 + n e waarde). Bij de som van de eerste 11 rangnummers is 0,5*11*(1 + 11) = 66. Het maximale van 11 van deze 24 rangnummers is dan: 0,5*11*( ) = 209. Dus in het meest extreme geval zal kolom 1 de eerste 11 rangnummers bevatten of juist de grootste 11 rangnummers. 1 Het minimum van de rangnummersom is: Sx 2 n( n 1) 1 1 Het maximale van de rangnummersom is: S n( m 1 n m) n( n 2m 1) x De verwachtingswaarde is echter: E( S ) n( n m 1) ofwel: (Min+max)/2 x 2 1 De standaardafwijking 12 nm( n m 1) (zonder toelichting) De H 0-hypothese is nu dat er geen verschil is tussen de kolommen en dat de som van de rangnummers het gemiddelde is van de meest minimale en de meest maximale: (66+209)/2=

21 In deze situatie uitgerekend: 1 Het minimum van de rangnummersom is: Sx 2 n( n 1) = Het maximale van de rangnummersom is: S n( m 1 n m) n( n 2m 1) =209 x De verwachtingswaarde is echter: E( S ) n( n m 1) =137,5 1 De standaardafwijking 12 nm( n m 1) = 17,26 In deze situatie is Sx 112. (zie tabel) x P(X <= 112) = normalcdf (-10 99, 112, 137.5, 17.26) = 0,069. Niet significant dus. Ofwel: er is geen significant verschil tussen meststoffen A en B. 2 OPM: 1) n en m waren groot genoeg om de normale verdeling te mogen gebruiken. Men hanteert als regel: n>5 en m> 10. 2) Wie continuïteitscorrectie toepast, vindt: normalcdf (-10 99, 112.5, 137.5, 17.26) = 0, ) Indien n en m te klein zijn om van de normale verdeling gebruik te maken, volgt een werkwijze met behulp van een tabel. Hierop gaan we niet verder in. 21

22 De Mann-Whitney toets. De Mann-Whitney toets lijkt sterk op de Wilcoxon toets en vergelijkt ook twee rijen waarnemingen en geeft ze een rangnummer. Ook hier kan bij voldoende grote getallen de normale verdeling gebruikt worden. Deze toets is een toets die nagaat of twee onafhankelijke steekproeven uit dezelfde populatie komen of eenzelfde verdeling hebben. De onderlinge ligging van de gegevens worden vergeleken door te tellen hoeveel van steekproef A een lager rangnummer hebben dan B, of andersom. Dit opgeteld heet de U-waarde, die wordt vergeleken met de U-waarde uit de U-tabel, die je kunt aflezen door middel van de steekproefomvangen. Ligt de gevonden waarde boven die van de tabel, dan wordt de nulhypothese behouden. Ligt de gevonden waarde eronder, dan wordt de nulhypothese verworpen. 22

23 2.0 Workaround: hoe ga je nou te werk: Een voorbeeld. 23

24 3.0 Basis statistiek In dit deel worden een paar basale zaken uitgelegd over de statistiek die we bij onderzoek tegen komen. 3.1 Populatie en steekproef Een populatie omvat feitelijk alles. Een populatie in de statistiek beoogt de gehele verzameling te zijn van objecten, personen, dingen waar het onderzoek mee te maken heeft. Deze populatie kent een omvang die N is. Een populatie heeft ook een gemiddelde, de waarde X. Ook kunnen we de populatieproportie aangeven: dat del van de populatie dat een kenmerk heeft, dat de rest van de populatie mist. Zo kan de populatieproportie van blonde mensen in Nederland 0,65 zijn; 65% van de Nederlanders is dan blijkbaar blond. Aangezien het technisch onmogelijk is om de gehele populatie te onderzoeken, beperken we ons tot steekproeven. Een steekproef moet dan wel representatief zijn en de populatie kunnen vertegenwoordigen. Zolang we dingen onderzoeken die op populatie niveau bekend zijn is het vergelijk van steekproeven met deze populatiewaarden betrekkelijk eenvoudig. Als we zouden weten dat dé gemiddelde appel 80 gram weegt, en we vinden in een steekproef van 20 appels een gemiddelde van slecht 66 gram, dan kunnen we gemakkelijk onderzoeken of deze steekproef significant wel of niet afwijkt van het populatiegemiddelde. Steekproeven worden gekenmerkt door: 1. Steekproefomvang: n 2. Het steekproefgemiddelde x i x Tel alle waarden op en deel ze door het aantal n. n 2 ( xi x) 3. De steekproefstandaardafwijking: s ( n 1) Hierbij vergelijken we elke individuele meting x i met het gemiddelde, kwadrateren het en delen al deze kwadraten door het totale aantal metingen Vrijheidsgraden. Df. (Degrees of freedom) Het aantal vrijheidsgraden is het aantal vrij te kiezen waarden waarmee de set gegevens niet vastligt: A + B + C = 10. Je kan van A, B of C twee waarden invullen; de derde ligt vast omdat bekend is dat hun totaal 10 is. df is hier dus 2. Ander voorbeeld: In dit schema is het aantal M en V 22 en het aantal gele en rode ook 22. Wie nu a invult: stel 8, legt daarmee ook b vast: b=2. Omdat a en b bekend zijn, liggen c en d dus ook vast: c = 0 en d = 12. M V geel a b 10 rood c d Het aantal vrijheidsgraden in een dergelijk schema is dus (aantal rijen -1)(aantal kolommen -1) = (2-1)(2-1) =1. Bij een drie x drie schema is dus het aantal vrijheidsgraden 4. Ga na! De term vrijheidsgraad kom je tegen bij diverse testen en toetsen. 24

25 5. Standaard fout. De standaard fout zegt iets over de mate van spreiding in een kolom getallen. Een voorbeeld van twee rijen getallen: 9,00 12,00 15,00 11,00 10,30 11,45 13,55 13,10 12,10 13,50 12,60 10,40 gem 12,00 12,00 stdev 4,24 1,20 aantal 2 10 SE 3 0, De linkerrij bestaat uit slechts twee getallen: gemiddelde 12, stdev 4,24. De rechterrij uit 10 getallen, zelfde gemiddelde 12 en stdev 0,37. stdev Men neemt voor de standaardfout SE n De betekenis van de standaardfout van het gemiddelde is dat het weergeeft in hoeverre de bij meerdere herhalingen van deze getallenrij er variatie is in het gemiddelde dat er dan ontstaat: nu is het gemiddelde 12, een poging later misschien 11,2 of 13,8 etc. De Standaard Errorof the Mean zoals ie ook heet (SEM) is een maat voor de variatie van gemiddelden die je zou krijgen als je deze getallenrij meerdere keren zou krijgen. De variatie van steekproefgemiddelden dus. Hoe kleiner de standaardfout, des te kleiner de afwijking van dit berekende gemiddelde tov het gemiddelde van de populatie. Daar gaat het tenslotte om bij steekproeven: je wil zo dicht mogelijk bij het echte gemiddelde zitten van de echte populatie Het verschil tussen de standaardafwijking en de standaardfout van het gemiddelde De standaardafwijking kan men gebruiken om te laten zien waar bijvoorbeeld de 95% grenzen zijn van de dataset zelf. In dit voorbeeld: Gemiddelde 12, standaardafwijking 1,20. Dat betekent dat deze set getallen bevat waarvan 95% van de waarden zich bevind tussen 12-2*1,20 en 12+ 2*1,20 ofwel binnen de grenzen: 9,60 tot 14,40. De standaardfout is afgeleid van de standaardafwijking en wordt benaderd door de formule stdev SE. Immers doen we geen 100-en steekproeven waarbij we de variatie zoeken van de n steekproefgemiddelden. Deze formule geeft ons een SE van 0,379. Dat betekent dat áls men het experiment talloze malen zo herhalen, het steekproefgemiddelde met 95% zekerheid ligt tussen de grenzen: 12-2* 0,379 en * 0,379 ofwel: 11,242 en 12,758. Conclusie: Je krijgt een idee van de betrouwbaarheid van het steekproefgemiddelde in hoeverre deze de het populatiegemiddelde benaderd. 25

26 Bij het vergelijken van twee datasets/steekproeven moet men voor de interpretatie het volgende bedenken: Als de breedte van de SEM (Standard Error of the Mean) een overlap vertoond met de andere dataset én deze omsluit ook het gemiddelde van die andere set, dan zijn de sets NIET significant verschillend. Zie bargraph hieronder. Getoond zijn twee gemiddelden (12 en 13,3) met standaardfout 1,23 en 1,47 resp Grafiektitel De T-test voor ongelijke groepen met verschillende variantie geeft de waarde 0,54. Totaal niet significant verschillend. Echter, zodra deze overlap geheel verdwenen is, is het verschil tussen de beide datasets wél significant Grafiektitel In deze bovenstaande figuur is de overlap totaal afwezig: er is significant verschil tussen de beide sets waarvan we hier de gemiddelden zien, nog steeds 12 en 13,3, alleen met heel kleine standaardfouten doordat we de dataset ruim 2x zo groot gemaakt hebben. Dat verkleint de SEM altijd. De T-test geeft een waarde van 0,02. Significant verschillend dus. 26

27 3.3. De manier van steekproeftrekking: onafhankelijk of afhankelijk De onafhankelijkheid van steekproeven houdt in dat de proefpersonen van de verschillende groepen onafhankelijk geselecteerd zijn. De selectie van proefpersonen in de ene steekproef heeft dus geen invloed op de selectie van proefpersonen in de andere steekproef. De proefpersonen zijn volledig willekeurig in een bepaalde groep gekomen en hebben dezelfde kans geselecteerd te worden (dit heet een aselecte steekproef). Je kunt een (redelijk) aselecte steekproef nemen door bijvoorbeeld aparte klassen te nemen. Bij afhankelijke steekproeven houd je het lot in eigen handen. In een onderzoek waarbij bijvoorbeeld twee groepen van respondenten met elkaar worden vergeleken, en in de ene steekproef alleen mannen zitten, en in de andere steekproef alleen de partners van die mannen, dan heb je een afhankelijke steekproef; de selectie van de proefpersonen in de tweede steekproef is immers afhankelijk van de proefpersonen in de eerste steekproef, alleen de partners mogen in de tweede steekproef, en niet random personen. Andere voorbeelden zijn: het afnemen van een enquête bij een aantal personen en na een maand dezelfde mensen dezelfde lijst voorleggen om bijvoorbeeld hun veranderingen te meten(de selectie van de personen in de tweede steekproef is weer afhankelijk van de personen in de eerste steekproef); of het indelen van studenten in twee groepen, namelijk een testgroep en een controlegroep. Als een bepaalde student wordt ingedeeld in de testgroep, wordt een student met zoveel mogelijk dezelfde eigenschappen in de controlegroep gezet. 4.0 Literatuur Bodde H., Koerts A., Thie K., Statistische Toetsen, Een handleiding voor elke leerling die worstelt met het toetsen van zijn gegevens bij zijn PWS. Praesius Gymnasium Groningen. Reichard L.A., e.a. (2009), Getal en Ruimte, deel VWO D4, EPN, Houten, 27