Meneer van Dale wacht helemaal niet op antwoord

Transcriptie

1 Auteur Laatst gewijzigd Licentie Webadres Henk Schaap 09 January 2017 CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijs Maken van Kennisnet. Wikiwijs Maken is een onderdeel van Wikiwijsleermiddelenplein, hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, vergelijkt, maakt en deelt.

2 Inhoudsopgave inleiding optellen en aftrekken wat is het eigenlijk, dat optellen en aftrekken? op antwoord vermenigvuldigen wat is keer ook weer? Maal voor Plus delen wat is delen? Van Dale machtsverheffen wat is machtsverheffen? machtsverheffen voor vermenigvuldigen test worteltrekken Hoe schrijf je het netjes op? Over dit lesmateriaal Pagina 1

3 inleiding Deze digitale lessenserie is bedoeld als naslagwerk voor elke leerling die weer even scherp op een rijtje wil zetten hoe het rekenen ook al weer werkt en waarom. BREKEND NIEUWS Dankzij baanbrekend onderzoek van een aantal vooraanstaande wiskundigen is een schrijnende misstand aan het licht gekomen: Decennia lang zijn Nederlandse scholieren verkeerd voorgelicht. Goedbedoelende juffen, meester, vaders, moeders, ooms of tantes dachten met een leuk ezelsbruggetje de arme kindertjes die moeite met rekenen hebben te kunnen helpen. Het gaat om de beroemde zin: Meneer Van Dale Wacht Op Antwoord! (In sommige kringen ook verbasterd tot Ha Meneer Van Dale Wacht Op Antwoord.) Volgorde volgens Van Dale Volgens deze ezelsbrug is de volgorde van bewerkingen in een rekenopdracht: Machtsverheffen Vermenigvuldigen Delen Worteltrekken Optellen Aftrekken Helaas, deze ezelsbrug is al jaren geleden ingestort, geen ezel (een intelligent dier, namelijk) loopt hier nog overheen. Wat gaat er mis? Laten we eerst de goede regel geven: In een rekenopdracht moeten de bewerkingen in de volgende volgorde afgewerkt worden: Eerst de uitdrukkingen tussen haakjes uitwerken (als die er zijn); Dan machtsverheffen; Dan vermenigvuldigen; Tot slot optellen. Als je meer dan één bewerking van dezelfde soort achter elkaar hebt, werk je die af in de volgorde van de opgave. Natuurlijk valt het de oplettende lezers meteen op dat worteltrekken, delen en aftrekken weggelaten zijn. Dat lijkt maar zo. Worteltrekken is een vorm van machtsverheffen:. Delen is een vorm van vermenigvuldigen: Aftrekken is een vorm van optellen: Pagina 2

4 optellen en aftrekken wat is het eigenlijk, dat optellen en aftrekken? optellen Een van de eerste wiskundige activiteiten van de mens was het tellen. Hoeveel schaapjes heb ik? Hoveel volle manen tot de volgende overstroming van de Nijl? En na het tellen kwam al snel het optellen. Eerst had ik 10 schapen, er zijn 4 lammetjes geboren, dus nu heb ik... Optellen zou je ook doortellen kunnen noemen: eerst tot 10 tellen voor de schaapjes die je al had, en dan nog 4 stappen verder tellen voor de lammetjes die er bij gekomen zijn. aftrekken Na het optellen kwam al snel het aftrekken: Eerst had ik 14 schapen. Ik heb er 5 aan mijn vriend de wolf gegeven. Hoeveel schapen heb ik nog over? Aftrekken zou je ook terugtellen kunnen noemen. Je begint bij 14 en telt 5 stappen terug. inverse Optellen en aftrekken zijn duidelijk familie van elkaar. Dit is dezelfde situatie, op twee verschillende manieren gebracht. Het wordt nog duidelijker als we eerst optellen en daarna weer aftrekken: We zeggen dan: de bewerkingen en zijn elkaars inverse twee bewerkingen zijn elkaars inverse als de ene bewerking het effect van de andere bewerking teniet doet op antwoord waarom gaat optellen niet altijd voor aftrekken? basis verklaring Pagina 3

5 Tellen, doortellen en terugtellen, en dus optellen en aftrekken, de regels moeten natuurlijk wel kloppen met de echte wereld. Kijk naar het volgende voorbeeld: Ik heb 7 schaapjes. ik geef 3 schaapjes aan mijn vriend de wolf. Ik krijg er 4 lammetjes bij. Daar hoort de volgende berekening bij: Laten we nu eens aannemen dat optellen vóór aftrekken moet gaan. dan zou ik nu nog 0 schaapjes hebben. Oeps. Maar als ik naar mijn kudde kijk, dan heb ik er 8. Als onze regels moeten kloppen met de werkelijkheid, dan gaat optellen dus niet altijd voor aftrekken, nee, we moeten het programma van links naar rechts afwerken, in de volgorde van de opgave. verklaring voor gevorderden Als we al weten wat negatieve getallen zijn, kunnen we afscheid nemen van het aftrekken en dan is er helemaal geen volgordeprobleem meer. Daarvoor eerst een nieuwe definite van aftrekken: Ergens een getal van aftrekken is hetzelfde als het tegengestelde van dat getal erbij optellen. Wat is een tegengestelde? Twee getallen heten elkaars tegengestelde als hun som 0 is. Vb.: en zijn elkaars tegengestelde. De bewerking optellen heeft twee belangrijke eigenschappen: 1 Als je twee getallen bij elkaar optelt, maakt het niet uit met wie je begint: Dit staat bekend als de commutatieve eigenschap. 2 Als je meerdere getallen bij elkaar optelt, mag je zelf weten wie je het eerst bij elkaar doet: en Dit staat bekend als de associatieve eigenschap. Het gevolg van deze twee eigenschappen is dat je bij een optelling van meerdere getallen helemaal zelf de volgorde kunt bepalen. Heel handig, want dan neem je eerst de getallen samen die een mooie uitkomst opleveren, een bekende truc bij het narekenen van een kassabon. Neem nu het volgende voorbeeld: Als optellen voor aftrekken zou gaan, komt hier 0 uit. Maar dat klopt niet met de definitie van Pagina 4

6 aftrekken en het fraaie feit dat je kunt goochelen met de volgorde:. Kijk maar: of of of Is dit nu een slimmigheidje van de wiskunde, of is de wiskunde zo ingericht dat het klopt met het echte leven? Een voorbeeld uit dat echte leven: Een stadbus waar mensen in- en uitstappen: Er zitten 10 mensen in de bus, er stappen er 3 uit, er stappen er 7 in. Hoeveel mensen zitten er dan in de bus. En een ander voorbeeld, nu met geld: Er staat 10 euro op mijn bankrekening, ik maakt 3 euro aan het fonds voor Zwarte Schapen over en ontvang 7 euro van een dankbare leerling. Hoeveel staat er nu op mijn bankrekening? En als ik nu begin met 0 euro, dan 3 euro overmaak (ik mag rood staan) en vervolgens 10 euro binnen krijg en tot slot ook nog eens 7 euro? De wiskunderegels kloppen natuurlijk met de werkelijke wereld (of is het andersom???) Pagina 5

7 vermenigvuldigen wat is keer ook weer? wat is vermenigvuldigen? Vermenigvuldigen is herhaald optellen. Tenminste, zo is het begonnen. daarna is de bewerking een geheel eigen leven gaan leiden, maar dat is nu even een ander verhaal. Oorspronkelijk is het een afkorting. Ik woon in een gebied van schapenhoeders. Ik ben groter en sterker. Dus bied ik de schapenhoeders aan om ze te beschermen tegen mensen die hun schaapjes af willen pakken (denk aan mijn goede vriend de wolf). Daar moeten ze me natuurlijk wel voor betalen, natuurlijk, met schaapjes. er zijn 5 herders, en elk van deze herders mag mij 3 schaapjes geven. Als ik dan wil uitrekenen hoeveel schaapjes ik hieraan over houd, dan kan dat als volgt: Dat bedoelen we met herhaald optellen. En dat korten we voortaan als volgt af: Vooral bij grotere getallen een erg gebruikersvriendelijke afkorting... Ook vermenigvuldigen is een bewerking met de commutatieve en associatieve eigenschap: en Dus ook met vermenigvuldigen mag je met de volgorde goochelen zoals jou dat uitkomt: Maal voor Plus waarom gaat vermenigvuldigen voor optellen? Bekijk het volgende voorbeeld: Ik heb 11 schaapjes. Van 4 schaapherders krijg ik elk 3 schaapjes als betaling voor mijn bescherming. Hoeveel schaapjes heb ik nu? Als het vermenigvuldigen nog niet uitgevonden is, dan levert dit de volgende berekening op: en daar komt natuurlijk 23 uit. Nu komt die nieuwlichterij van het vermenigvuldigen: Ga ik nu als een blind paard van links naar rechts rekenen, dan krijg ik Pagina 6

8 Oeps. Dat klopt niet. Oplossing: Laten we afspreken dat vermenigvuldigen voor optellen gaat. (En aangezien aftrekken een vorm van optellen is, gaat keer ook voor min.) Dus dan wordt het: en nu klopt het wel met het echte leven. Pagina 7

9 delen wat is delen? basis Delen is de inverse van vermenigvuldigen. Oftewel: Als je eerst een getal met 3 vermenigvuldigt, en daarna de uitkomst weer door 3 deelt, dan ben je terug op het beginpunt:.op elke basisschool krijgen leerlingen dan ook invulopgaven zoals: want gevorderden Omdat er ook delingen zijn die niet op een mooi getal uitkomen, hebben we vervolgens de breuken uitgevonden. Dat was nog niet zo eenvoudig, maar het is uiteindelijk toch gelukt. dan komt de volgende definite voor gevorderden in beeld:: delen door een getal is vermenigvuldigen met het omgekeerde van dat getal Wat is het omgekeerde van een getal? Twee getallen zijn elkaars omgekeerde, als hun product 1 is Voorbeeld: en zijn elkaars omgekeerde. Niet zo n vreemde naam, je wisselt teller en noemer om. Elk getal behalve 0 heeft een omgekeerde. Je kunt dan ook door elk getal behalve 0 delen. Zo kan je elke deling als een vermenigvuldiging schrijven:. Van Dale Nog in 1985 stond in mijn wiskundeboek dat vermenigvuldigen vóór delen gaat. Helaas, als we dat zouden afspreken komen we met de andere afspraken in de knoop. Eerste verklaring: Als delen de inverse is van vermenigvuldigen, dan heft de ene bewerking de andere op: Eerst met 3 vermenigvuldigen en dan door 3 delen moet er toe leiden dat je op het uitgangspunt teruggaat: Pagina 8

10 En andersom: Als we echter x voor : zouden laten gaan, dan klopt de tweede berekening niet. Tweede verklaring: Als delen een vorm van vermenigvuldigen is, kunnen we vermenigvuldigen niet vóór delen laten gaan. Neem het volgende voorbeeld: Als vermenigvuldigen voor delen zou gaan, dan komt hier uit: Maar dat klopt niet met de definitie en het feit dat je met de volgorde mag goochelen bij een vermenigvuldiging: In de praktijk is dit niet vaak een probleem: Het teken wordt in de wiskunde niet veel gebruikt, we geven de voorkeur aan de horizontale breukstreep. En die horizontale breukstreep heeft ingebouwde haakjes! Bij de tweede opgave zal niemand vermenigvuldigen voor delen willen laten gaan. Bovendien zie je daar mooi dat je met de volgorde kan goochelen: Prettig voor de mensen die er niet aan denken om eerst te vereenvoudigen voor ze gaan vermenigvuldigen. Een voorbeeld uit het echte leven Een tweede reden dat het in de praktijk niet zo n probleem is, is dat het in het echte leven niet zo vaak voorkomt dat je een aantal vermenigvuldigingen en delingen achter elkaar uit moet voeren. Een beetje een geforceerd voorbeeld: Je maakt een Word-document. Je wil een afbeelding opnemen die 25 cm hoog is. Dat vind je te groot, je verkleint de hoogte 5 keer (dus je deelt door 5). later bedenk je je weer, er is toch meer ruimte dan je dacht, je vergroot de hoogte 4 keer. Hoe hoog wordt de uiteindelijke afbeelding? Niet echt een bewijs, maar wel overtuigend: toets het in op je rekenmachine of voer het als formule in Excel in. (In Excel moet je de slash als deelteken gebruiken, de asterix als maalteken en de berekening beginnen met een teken, dus dan wordt het =25/5*4.) Pagina 9

11 Pagina 10

12 machtsverheffen wat is machtsverheffen? Machtsverheffen is herhaald vermenigvuldigen In den beginne is machtsverheffen dus een afkorting: (Later gaat deze bewerking ook weer een geheel eigen leven leiden, maar dat is nu nog niet terzake.) In strikte zin is kwadrateren dus geen machtsverheffen, er is immers geen herhaling. Maar daar maken we geen probleem van. machtsverheffen voor vermenigvuldigen Neem weer een voorbeeld: Als je eerst vermenigvuldigt, krijg je en dan klopt de afkorting niet meer: Dus: Pagina 11

13 test D-toets 1 kn.nu/ywn9b Nu volgen een paar rekenopgaven, als test of je het voldoende begrepen hebt: opgave 1 a. 5 b. 8 c. 7 d. geen van de drie opgave 2 a. 15 b. 6 c. 42 d. geen van de drie opgave 3 a. 34 b. 2 c. 10 d. geen van de drie opgave 4 a. 20 b. 100 c. 50 Pagina 12

14 worteltrekken Wat is worteltrekken? Worteltrekken is de inverse bewerking van kwadrateren. Wat is kwadrateren? Kwadrateren is een getal tot de macht 2 verheffen, oftewel: met zich zelf vermenigvuldigen. Het gaat nu wat te ver om te laten zien dat het klopt, maar uit de definitie van worteltrekken en de andere eigenschappen van machtsverheffen volgt dat de wortel uit een getal trekken hetzelfde oplevert als dat getal tot de macht verheffen. Worteltrekken is dus een vorm van machtsverheffen. En machtsverheffen gaat vóór vermenigvuldigen en delen! Opnieuw is dit in de praktijk niet zo n groot probleem. In het wortelteken zit een horizontale streep (de vlag), die als een beschermende arm over het getal heen hangt waar de wortel uit getrokken wordt. Die streep heeft dezelfde werking als haakjes. Wat voorbeelden: Pagina 13

15 Hoe schrijf je het netjes op? Het netjes opschrijven van een samengestelde berekening is nog een vak apart. In de bijgaande video kun je hier een uitleg over vinden. opschrijven samengestelde berekeningen kn.nu/wwec9f7d4 (youtu.be) Pagina 14

16 Antwoorden Antwoorden: D-toets 1 resultaat nog niet goed (0 tot 2 punten) Bestudeer je fouten, stel vragen en maak daarna D-toets 2. goed (2 tot 4 punten) Goed gedaan, ga door naar het volgende onderwerp Vragen en antwoorden in deze categorie opgave (0 punten) 2. 8 (0 punten) 3. 7 (1 punten) 4. geen van de drie (0 punten) Waarde: 1 punten opgave (0 punten) 2. 6 (1 punten) (0 punten) 4. geen van de drie (0 punten) Waarde: 1 punten opgave (0 punten) Je hebt keer niet voor min laten gaan maar van links naar rechts gewerit (0 punten) Je denkt dat optellen voor aftrekken gaat. Pagina 15

17 3. 10 (1 punten) Eerst de vermenigvuldiging en dan van links naar rechts. 4. geen van de drie (0 punten) Waarde: 1 punten opgave (0 punten) Misschien heb je gedacht dat gelijk is aan maar pas op: kwadrateren is wat anders dan verdubbelen (0 punten) Nu heb je eerst 2 x 5 gedaan, dat is 10 en vervolgens uitgerekend, dat is (1 punten) Waarde: 1 punten Pagina 16

18 Over dit lesmateriaal Colofon Auteur Henk Schaap Laatst gewijzigd 09 January 2017 om 15:28 Licentie Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 3.0 Nederlands licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om: het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden. Meer informatie over de CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie Aanvullende informatie over dit lesmateriaal Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar: Leerniveau VWO 2; HAVO 2; Leerinhoud en Rekenen/wiskunde; Volgorde bewerkingen; Getallen en variabelen; Rekenen doelen met getallen; Eindgebruiker leerling/student Moeilijkheidsgraad gemiddeld Studiebelasting 1 uur en 0 minuten Trefwoorden rekenen; volgorde van bewerkingen Bronnen Bron opschrijven samengestelde berekeningen Type Video Pagina 17