Fout in de uitwerking: - Vraag 11 a: Er staat H = µ. maar dit moet zijn B = µ., wat verder wel goed is uitgewerkt

Transcriptie

1 Fout in de uitwerking: - Vraag 11 a: Er staat H = µ rµ 0B maar dit moet zijn B = µ rµ 0H, wat verder wel goed is uitgewerkt

2 Begripsvragen Elektriciteit 1. Beschouw een condensator bestaande uit twee platen op afstand d met oppervlakte ladingen +σ en σ. Nu wordt een geïsoleerde dikke metalen plaat, dikte d/3, tussen de platen geschoven. Geef een beschrijving van het verloop van de spanning tijdens het inschuiven van de plaat. (5pt) De metalen plaat compenseert interne velden van een externe oorzaak door een intern veld van geïnduceerde oppervlaktelading. Die lading is even groot als de lading op de condensator platen. Het veld in de metalen plaat is daardoor nul en het veld tussen overgebleven stukken condensator blijft hetzelfde. Het voltage tussen de condensator platen (de integraal langs de twee stukken veldlijnen) wordt dus lager. 2. Beschouw nu twee condensatoren (A en B) als in opgave 1, ieder met een ingeschoven metalen plaat. Bij condensator B wordt nu de bovenste plaat verbonden met de ingeschoven metalen plaat. Welke condensator heeft de hoogste capaciteit en waarom? (5 pt) Door het verbinden van de bovenste plaat met de ingeschoven plaat is het bovenste stuk 1 geheel geworden. Condensator B is dus eigenlijk vooral dunner geworden. Het voltage over B is de helft van het voltage over A (bij A zijn er 2 stukken met veld, bij B maar 1). De capaciteit wordt gegeven door C=Q/V. Beide condensatoren hebben dezelfde Q maar B heeft de laagste V en dus de hoogste C 3. Beschouw een condensator bestaande uit twee platen op afstand d met oppervlakte ladingen +σ en σ. De condensator is (en blijft) verbonden met een spanningsbron. Nu wordt er een stuk glas (dikte d/2) tussen de platen geschoven. Beschrijf wat er gebeurd met relevante grootheden, waaronder de energie. (5 pt) De condensator platen blijven verbonden dus de spanning blijft gelijk. Het inbrengen van het dielectricum zorgt echter voor een compenserend veld over een deel van de afstand tussen de platen dus zal de spanningsbron extra lading aanvoeren om de spanning constant te houden. Het veld tussen het dielectricum en de platen gaat dus omhoog. De energie (bijvoorbeeld te schrijven als ½QV 2 ) is door het oplopen Q omhoog gegaan memo:uitwerkingen156.doc 2 20-Ma-03

3 4. In de onderstaande figuren is een cilindercondensator getekend in verschillende aanzichten. De cilinders mogen worden beschouwd als oneindig lang in de z richting. De binnenste cilinder (straal ) heeft een lading (per lengte eenheid in de z richting), van +Q en de buitenste (Straal ) een lading (per lengte eenheid in de z richting) van 2Q. Teken in de verschillende aanzichten de a) De vrije lading (2) b) De veldlijnen (2) Teken in de gegeven assenstelsels het verloop van de volgende gootheden als functie van (geef aan volgens wat voor soort kromme de grafiek loopt, dus 1/r of 1/r 2 of logaritmisch vlak etc). c) Waarde van de radiele component van het E-veld (4) d) Waarde van de potentiaal (4) Zij-aanzicht Boven-aanzicht 1/r Afstanden gelijk z E r -1/r x V -ln(r) ln(r) Omdat de afstand, niet is gegeven is het mogelijk dat de grafiek van V niet boven de as uitkomt bij. Voor ~2* komt de grafiek wel boven de as. memo:uitwerkingen156.doc 3 20-Ma-03

4 5. Gegeven een elektrostatische configuratie bestaande uit een aantal elektrodes, bestaande uit geleiders zoals in de onderstaande figuur. Geef in deze figuur aan wat de volgorde van de potentialen zijn van de elektrodes. Geef de hoogste potentiaal aan met V1 en de laagste met V4. Maak ook een schatting van de grootte van de potentialen van de elektroden. De figuur is spiegelsmetries in de verticale middellijn. De contouren zijn equipotentiaalvlakken. (6 pt, 3 voor de volgorde en 3 voor de waardes) Midden is het hoogst (of laagst maar ik kies het hoogst) dus V1 dan tellen via de equipotentiaal lijnen geeft V2 (de iets grotere ronde vormen op 16) de kleienere eilenden op 18 en de grote balk op 21. memo:uitwerkingen156.doc 4 20-Ma-03

5 Begripsvragen Magnetisme (+combinatie Elektrische velden) 6. Geef in de onderstaande figuren aan (het betreft hier statische velden) a) Of de veldlijnen die zijn getekend magnetisch dan wel elektrisch zijn b) Waar lading (vrij of gebonden), dan wel stroom (vrij of gebonden) zich bevindt. c) Het teken van de lading, dan wel de richting van de stroom Plaatje1 bevat electrische veldlijnen van een positieve naar een negatieve lading. Plaatje 2 heeft magnetische veldlijnen om een stroomdraad die het blad in loopt. Plaatje 3 heeft electrische veldlijnen (van + naar -) en een blok dielectrische materiaal in het midden. Dat blok heeft gebonden ladingen op het oppervlak die een deel van de lijnen compenseren. Plaatje 4 heeft twee sets magnetische veldlijnen waarvan het de bedoeling was dat ze in verschillende richtingen draaien en dan zou het dus gaan om twee stroomdraden waarbij de stroom links het blad in loopt en rechts weer terug. (als men dat zo had geinterpreteerd is dat ook goed gerekend) maar de lijnen draaien eigenlijk dezelfde kant op. Dat kan eigenlijk niet tenzijn er een supergeleidende wand tussen zou staan. (6pt, 4 plaatjes x 3 onderdelen(a,b,c) x 0.5 pt) 7. Geef van de onderstaande beweringen aan of ze waar zijn of niet en geef een korte toelichting in maximaal twee zinnen. a) In een homogeen magnetisch veld (een veld van homogene magnetische inductie) ondervindt een stroomkring die niet loodrecht op het veld staat een netto moment en een netto kracht. (1) Niet waar, er is geen netto kracht in een homogeen veld b) Voor dnamische problemen is de rotatie van het elektrisch veld altijd nul (0.5) Niet waar, juist in dnamische problemen is er een db/dt die een veld induceert c) Een B-veld dat loodrecht op een oppervlak valt gaat er ook loodrecht doorheen (ondervindt geen breking) (1) Waar, divergentie B is nul dus voor loddrechte inval moet B ds gelijk zijn aan beide kanten van een Gauss-doosje d) Buiten een ideale torroidale spoel heerst geen veld (1) Waar, er is geen netto ingesloten stroom buiten de spoel e) De rotatie van een gradiënt van een scalar veld is altijd nul (1) Waar, definitie kwestie f) In een twee maal zo sterk veld, zit 8 maal zoveel energie memo:uitwerkingen156.doc 5 20-Ma-03

6 (1) Niet waar, er zit 4 x zoveel energie in g) Een paramagnetisch materiaal wordt een bekrachtigde spoel ingetrokken (1) Niet waar, je moet het er in drukken (tegengesteld aan electrische geval waar dipolen het veld compenseren) h) Een geladen deeltje vliegt een ruimte in waarin een magneetveld heerst; de richting van de snelheid maakt een kleine hoek met de magneetveldlijnen. Het deeltje gaat een schroefvormige baan beschrijven. (1) Waar, dat deel van de snelheid dat parallel loopt aan de veldlijn ondervindt geen kracht maar het deel dat er dwars op staat maakt een cirkelbeweging. De Lorentz-kracht houdt zo het deeltjes dus steeds bij zijn veldlijn i) Als de kringintegraal van het magnetisch veld ongelijk is aan nul dan is diezelfde kringintegraal voor een van de componenten van de vectorpotentiaal ook ongelijk aan nul. (nvt) Deze opgave is uiteindelijk te dubbelzinnig en dus niet meegerekend. De bedoeling was dat de kringintegraal van B betekent dat er een ingesloten stroom is en dat er dus ook een component van het A-veld moet zijn. 8. Beschouw twee spoelen met hun as langs de z-as. De spoelen mogen beschouwd worden als oneindig lang. De buitenste spoel heeft 2n windingen per meter, de binnenste spoel slechts n. De spoelen zijn op elkaar aangesloten zodat de stroom die omhoog loopt door de buitenste spoel terug loopt door de binnenste spoel. De windingen van de beide spoel draaien rechtsom, bekeken in de richting van de positieve z-as (oftewel: beide spoelen hebben een positieve spoed). De draden mogen gezien worden als oneindig dun. a) Teken in het doorsnede plaatje de magnetische veldlijnen. b) Geef in de grafieken aan op de stippellijntjes welke component van het (magnetisch/vectorpotentiaal) veld ongelijk is aan nul. c) Schets het verloop van die component Aanzicht Doorsnede x z B z - - De buitenste spoel heeft tweemaal zoveel windingen als de binnenste. Het veld van de buitsente spoel wordt dus voor de helft gecompenseerd door de binnste spoel (in het midden). Het homogene veld door de circulair stroom betekent een φ component voor het vector veld die lineair oploopt met de straal (kringintegraal A geeft flux) A φ r - - r (7pt, 2 voor a, 3 voor een correcte B z, 2 voor een correcte A φ ) memo:uitwerkingen156.doc 6 20-Ma-03

7 Elektrische rekenvraag 9) Aan het grensvlak tussen twee dielectrica breken de elektrische veldlijnen (zie plaatje. ε a) Laat zien dat tan(θ2/θ1)=ε2/ε1 als er geen lading op 1 het grensvlak zit. θ (12 pt) Zie opgaveboekje. Er zijn twee wetten nodig: 1 xε=0 zodat E parallel constant is en D=0 (geen lading) zodat D loodrecht continu moet zijn. Bovendien geldt D 1,2 =ε 1,2 E 1,2 Dus: E 1 sin(θ 1 )=E 2 sin(θ 2 ) en ε 1 E 1 cos(θ 1 )= ε 2 E 2 cos(θ 2 ). Samen levert dat tan(θ2)/tan(θ1)=ε2/ε1. Degenen die hebben opgemerkt dat de opgave het verkeerde antwoord stelde hebben de volle punten gekregen. ε 2 θ 2 10) Lekkende condensator met twee verschillende dielctrische materialen: Beschouw een z.g. lekkende condensator die aan- V 0 gesloten is op een spanningsbron met spanning V 0. De con- ε 1,σ 1 densator bestaat uit twee platen op een afstand d 0. Die afstand d 1 is gevuld met twee lagen van verschillende materialen met diktes d 1 en d 2. Het geleidingsvermogen van de materialen is σ 1 en σ 2 en de dielectrische constanten zijn ε 1 en ε 2. Het oplossingsschema voor deze opgave is: Stroom door beide materialen hetzelfde, daaruit volgt E(en uit E en d volgt V), daaruit volgt D en uit verschil van D volgt opgesloten lading. ε 2,σ 2 d 2 a) Waar zit de vrije lading? (1)De vrije lading zit op de condensator platen en op het grensvlak tussen de materialen. b) Druk het veld in materiaal 1 uit in de gegevens (3) J=σ 1,2 E 1,2 dus σ 1 E 1 = σ 2 E 2 en V 0 = E 1 d 1 + E 1 d 1 Tesamen: E 1 =V o /(d 1 +(σ 1 /σ 2 )d 2 ) en zo ook E 2 =V o /(d 2 +(σ 2 /σ 1 )d 1 ). c) Druk de lading op het grensvlak tussen de twee materialen uit in de gegevens (4) (D 1 - D 2 )S=Q encl E 1 en E 2 uit b zorgt voor Q grensvlak = V o (ε 1 -ε 2 (σ 1 /σ 2 ))/(d 1 +(σ 1 /σ 2 )d 2 ) 11) Beschouw een torroidale spoel waarvan de kern bijna geheel is gevuld met ijzer (µr=2000). De hartlijn heeft een lengte van 0.5m en de luchtspleet een lengte van 1mm. De spoel telt 2000 wikkelingen, het strooiveld mag verwaarloosd worden. (9) Op het grensvlak van de spleet geldt dat B continu moet zijn. Verder moet de kringintegraal over het hart van de spoel gelijk zijn aan de ingesloten stroom. Die twee samen geven H en B het geval zonder weekijzer kan direct uit de kringintegraal. µ o mag evt in de antwoorden blijven staan. a) Bereken de grootte en richting van de magnetische inductie B op de hartlijn in de luchtspleet voor een stroom van 1A. Druk het antwoord eerst uit in smbolen en vul daarna pas de getallen in. (6)L voor het stuk met ijzer en s voor de spleet. B=B l =B s met H x =µ o µ r B x wordt dat µ r H l =H s. De kringintegraal over de hartlijn geeft de ingesloten stroom dus H l (ls)+h s (s)=ni Elimineren H l geeft H s =µ r NI/(l+s(µ r -1)) en B s = NI/(l+s(µ r -1))=2T b) Bereken de magnetische inductie op de hartlijn voor het geval dat de ijzeren kern er niet zou zijn. De kringintegraal over de hartlijn geeft de ingesloten stroom dus Hl=NI en B=µ o H dus B=µ o NI/l = 5mT memo:uitwerkingen156.doc 7 20-Ma-03

8 12) Beschouw een enkele cirkelvormige draad in het x- vlak (gecentreerd op de z-as) waarin een stroom rondloopt. (8pt) a) Maak een duidelijke tekening, waarin de basis voor de berekening van onderdeel b wordt gelegd; d.w.z. geef duidelijk de te gebruiken variabelen aan in de tekening.(2pt) Voor het verkrijgen van de 2 punten moet duidelijk aangegeven zijn welk lijnelement wordt gebruikt en dat de projectie van B langs de z-as wordt gebruikt (eventueel mag dat laatste expliciet vermeld worden bij b maar dan moet de hele B-vector getekend zijn) Ook moeten de integratie variabelen zijn ingetekend b) Bereken m.b.v. de wet van Biot en Savart het B-veld op een punt op de z-as. Laat zien dat deze gelijk moet zijn aan (µoi/2)(r 2 /(R 2 +z 2 ) 3/2 ). (3) Zie boek pag218. De verticale component is Bz(z)=(µ o I/4π)integraal dl/r 2 cos(θ). Omdat dl en r loodrecht op elkaar staan hoeft daar geen projectie meer in. De integratie levert een factor 2πR. Met het omschrijven geeft dat de gezochte uitkomst. c) Gebruik dit resultaat om het veld op de as te berekenen van een holle bol met uniforme oppervlakte lading die roteert met een hoekfrequentie ω. Maak in een tekening duidelijk welke integratie elementen worden gebruikt. (3) De bol met oppervlaktelading die roteert kan gezien worden als een verzameling draden met als stroom σωrsin(θ) op z-afstand Rcos(θ) en als straal Rsin(θ). Bij de hoek θ hoort een booglengte Rdθ. Integratie over θ levert B=(2/3)µ o σrω. BONUS-vraag (voor extra of compenserende punten) Deze vraag is moeilijk. Wat hier zo moeilijk aan is, is dat het plaatsen van een materiaal in een veld niet expliciet is behandeld. Het punt daarbij is dat het plaatsen van een materiaal met een magnetische susceptibiliteit in een homogeen veld zorgt voor een aanzuiging van de lijnen door het magnetische materiaal. De mate waarin dat gebeurt is analoog aan het plaatsen van een materiaal met een hoge geleiding in een homogeen electrisch veld. Dat geval is beter bekend. De veldlijnen zullen nog net zover omlopen dat de integraal langs die lijn (met daarin het stukje door het materiaal, wat maar weinig toevoegt door de hoge µ of lage weerstand) nog net lager uitkomt dan wanner het directe pad zou worden gekozen zonder door het materiaal te gaan. Omdat µ r erg hoog is kunnen we de weerstand door het materiaal verwaarlozen. Dat betekent dat de veldlijnen bijna een auto grootte kunnen omlopen alvorens de integraal groter wordt. Ruwweg geschat (en dat werd slechts gevraagd) zou je kunnen zeggen dat lijnen tot op een afstand van 2x de grootte van de auto zich nu door de auto zullen gaan begeven. Dus een 4x zo grote flux. 13) Detectielussen Om verschillende redenen worden detectielussen voor auto s in het wegdek gebruikt. We beschouwen hier een detectielus die gebaseerd is op het feit dat een verandering in het magnetisch veld (door het passeren van de auto) lijdt tot een inductiespanning. De lus is gesloten en heeft een weerstand van 1 microohm. In de stroomkring is een ampèremeter opgenomen. De auto rechts rijdt over een detectie lus die in het wegdek ligt (horizontale vlak). Het aardmagnetisch veld ~1mT. De auto mag beschouwd worden als gemaakt van ijzer (µr=100). De auto is zowel in de rijrichting als loodrecht daarop in het horizontale vlak twee keer groter dan de detectielus (1m 2 ). (10 pt) de punten worden gewoon opgeteld bij de andere punten. a) Wat doet de aanwezigheid van de auto met het aardmagnetisch veld? (1) Zie boven, ze concenteren het veld door veldijnen uit de omgeving aan te zuigen. memo:uitwerkingen156.doc 8 20-Ma-03

9 b) Stel dat de afstand tussen de lus en de auto verwaarloosbaar klein is, maak een schatting van de waarde voor de magnetische inductie in de lus als de auto erboven zit. (3)Ruw schatting 4mT. De schatting dat er een 100x zo groot veld is omdat µ r 100 is, is dus niet goed c) Hoe ziet het verloop van de stroom er uit als er een auto over de lus rijdt. (2) De flux door de lus verandert als de auto de lus oprijdt en dus geeft dat een compenserende stroom. Omdat de auto groter is dan de lus is er vervolgens een periode zonder verandering en dus zonder stroom. Daarna verlaat de auto de lus en volgt er weer een stroom, tegengesteld aan de eerste. De stroom loopt in eerste instantie rechtsom (van bovenaf gezien) zodat het opgewekte veld probeert de toegenomen flux te compenseren. Auto voorbij lus Lus half vrij Achterkant bij de rand Lus helemaal bedekt Lus half bedekt Voorkant bij begin lus d) Maak een schatting voor de maximale stroom in de lus als de auto er met 20km/h over komt rijden?bij een snelheid van 20km.h (5.55m/s) duurt het 0.18sec om een meter af te leggen dus in die tijd (ruwweg) wordt de flux 4x zo groot. Daarmee is dφ/dt = 300mT/0.18 = Dat is gelijk aan Edl en dus aan V dus 54mV komt over de ring en met een weerstand van 1microohm wordt dat een stroom van 54kA. Dit is aan de bizar hoge kant omdat ik het aardmagnetisch veld een factor 10 te hoog heb opgegeven en de weerstand weer wat laag. memo:uitwerkingen156.doc 9 20-Ma-03