Handleiding www.rekenlijn.nl oktober 2010
Colofon Handleiding - Rekenlijn versie 31-10-2010 Rekenlijn is ontwikkeld met financiële steun van het Ministerie van OCW. Samenwerkingsverband Freudenthal Instituut (penvoerder), SLO en KPC-groep. website: www.rekenlijn.nl Rekenlijn-Team o Freudenthal instituut: Monica Wijers, Mieke Abels, Dolly van Eerde, Arie Fase, Vincent Jonker, Barrie van Burk, Chris Rauws. o SLO: Kees Buijs, Anita Lek, Victor Schmidt, Pieter van der Zwaart o KPC-groep: Marga Tubbing, Maaike Verschuren oktober 2010 Inhoudsopgave Kern... 6 Kernopgave(n)... 6 Leerlingenwerk... 7 Achtergrond... 8 Referentiekader... 8 Overzicht leerlijn... 9 Domein 1 - Getallen... 12 Domein 2 - Verhoudingen... 14 Domein 3 - Meten-meetkunde... 16 Domein 4 - Verbanden... 18 2
Samenvatting In de periode december 2008 tot augustus 2010 is Rekenlijn.nl tot stand gekomen, een visuele weergave van de leerlijnen rekenen voor leerlingen van 4 tot en met 14 jaar. In beeld en woord en met een eenduidig begrippenkader ondersteunt Rekenlijn onderlinge afstemming en biedt antwoorden op afstemmingsvraagstukken. Voor het overzicht dat Rekenlijn biedt is het Referentiekader rekenen, zoals dit in 2010 in de wet is vastgelegd, het uitgangspunt. Voor de invulling is verder gebruik gemaakt van de bestaande curriculumdocumenten voor rekenen/wiskunde in het basisonderwijs en wiskunde in de onderbouw van het voortgezet onderwijs. Rekenlijn is een hulpmiddel voor leerkrachten en docenten, voor opleiders en hun studenten (pabo en 2e graads lerarenopleiding), voor onderzoekers en methodeschrijvers en voor anderen betrokken bij of geïnteresseerd in het rekenonderwijs. De samenstellers hopen dat Rekenlijn een bijdrage zal leveren aan de kwaliteit van het rekenonderwijs in Nederland. 3
Algemeen Rekenlijn (www.rekenlijn.nl) is een visuele weergave van de leerlijnen rekenen voor leerlingen van 4 tot en met 14 jaar. Rekenlijn is speciaal gemaakt voor leerkrachten basisonderwijs en docenten voortgezet onderwijs, maar is ook prima te gebruiken in de lerarenopleiding en in de begeleiding en professionalisering. Rekenlijn is opgezet volgens de indeling van het Referentiekader Rekenen 1. In de vier domeinen Getallen, Verhoudingen, Meten & Meetkunde en Verbanden zijn verschillende leerlijnen in beeld gebracht. Afbeelding 1: De vier domeinen van www.rekenlijn.nl Op de website kan men inzoomen op de leerlijnen om de details te leren kennen van de opbouw en samenhang van rekenvaardigheden (in samenhang met kennis en begrip). Rekenlijn beschrijft in hoofdlijnen (via kernen) de accenten die gelegd moeten worden in de diverse leerlijnen in het rekenonderwijs opdat leerlingen de beoogde referentieniveaus kunnen halen. Daarbij is speciaal aandacht besteed aan de overgang tussen basisonderwijs en voortgezet onderwijs. De kernen wordt uitgewerkt en toegelicht aan de hand van een of meerdere kernopgave(n), leerlingenwerk en achtergrondinformatie. Tevens wordt in elk onderdeel expliciet de relatie met het referentiekader beschreven. Voor wie is Rekenlijn bedoeld? Rekenlijn is ontwikkeld voor zowel leerkrachten basisonderwijs als docenten voortgezet onderwijs. Rekenlijn biedt de mogelijkheid om over de grens te kijken, van basisonderwijs naar voortgezet onderwijs en andersom. Ook is het mogelijk om als leerkracht van groep 7 of 8 eenvoudig terug te kijken naar wat er in de eerdere groepen gebeurt, etc. Rekenlijn verbeeldt en beschrijft op hoofdlijnen de kernen van de 1 Zie www.fi.uu.nl/rekenweb/referentiekader (ook gerefereerd op www.taalenrekenen.nl) 4
rekenlesstof, georganiseerd in leerlijnen 2. Daarin is Rekenlijn niet al te gedetailleerd. Dit is een expliciete keuze om de visualisering overzichtelijk te houden. Er is meer detail beschikbaar; daarvoor zal er dieper geklikt moeten worden om ook naar artikelen, andere projecten en andere bronnen te gaan (ook buiten Rekenlijn). De grote stappen die in Rekenlijn verbeeld zijn maken het mogelijk om in één oogopslag te zien waar de leerlijnen starten en hoe ze doorlopen. Uit het testen van Rekenlijn blijkt dat in professionaliseringsverband de visualisering van de leerlijnen goed werkt. Daarnaast geven opleiders aan dat er mogelijkheden zijn voor de inzet van Rekenlijn in de opleiding van docenten (pabo, 2 e graads) en blijkt het goed mogelijk om Rekenlijn in te zetten in samenwerkingsverbanden of netwerken van primair en voortgezet onderwijs of in thema-teamvergaderingen in po en vo). Met Kennisnet is afstemming over de metadatering van de leerlijnen en ook uitgevers kunnen gebruikmaken van de gebruikte indeling. Wat is Rekenlijn niet? Rekenlijn is geen diagnostisch instrumentarium waar per individuele leerling een snelle inkijk mogelijk is in het niveau van vaardigheden. Natuurlijk zijn er wel aangrijpingspunten te vinden in de beschrijvingen en kan Rekenlijn wel een hulpmiddel zijn voor remedial teachers en rekencoördinatoren, maar voor het specifieke diagnostische werk moeten andere instrumenten gebruikt worden 3. Rekenlijn is ook geen fijnmazige, volledige curriculumbeschrijving. Het referentiekader is dat evenmin: beide geven hoofdlijnen. Rekenlijn is een beschrijvingskader voor leerlijnen Rekenen met een goede verbinding met bestaande beschrijvingskaders. Een bijzondere eigenschap, waarin Rekenlijn afwijkt van de meeste andere kaders, is dat het scharniergebied po-vo (rond 12 jaar) nu volledig in één kader en met dezelfde terminologie is uitgewerkt. Opbouw Rekenlijn Er is een hoofdindeling voor Rekenlijn gemaakt conform de domeinen van het Referentiekader Rekenen (getallen; verhoudingen; meten/meetkunde; verbanden) en vervolgens is elk van deze vier domeinen onderverdeeld in leerlijnen 4. Dit levert in totaal elf leerlijnen op, die op onderdelen onderling samenhangen. Deze leerlijnen zijn op hun beurt weer verdeeld in leerstofeenheden (items). Deze items markeren de belangrijke kernen of stappen in de leerlijn, vaak samenhangend met het programma van één of enkele groepen/klassen. Elke leerstofonderdeel heeft een herkenbare titel en bij een 'mouse-over' wordt een samenvatting op hoofdpunten zichtbaar. In Rekenlijn is verder gekozen voor een consequente opbouw volgens een vast format van de leerstofeenheden (items) die de leerlijn vormen. De volgende indeling is daarbij gehanteerd. 2 Een leerlijn is een beredeneerde opbouw van leerdoelen en leerinhouden, leidend tot een einddoel 3 Op de basisschool is er natuurlijk het leerlingvolgsysteem dat een behoorlijk fijnmazig beeld levert van waar de kinderen zijn in hun ontwikkeling. 4 Verkorte weergaven van deze leerlijnen zie: www.fi.uu.nl/rekenlijn/leerlijnen 5
o Kern o Kernopgave(n) o Leerlingenwerk o Achtergrond o Referentiekader o Gerelateerde items In Rekenlijn zijn dit de 'tabbladen' die zichtbaar worden als er geklikt wordt op een leerstofeenheid. Hieronder worden deze tabbladen toegelicht. Kern In de kern wordt samengevat waar het in het onderwijs om gaat in dit onderdeel van de leerlijn. Deze kern is gedestilleerd uit de curriculumdocumenten die daarvoor beschikbaar zijn, in samenhang met het Referentiekader Rekenen en op basis van vakliteratuur (zie literatuur). Deze beschrijving is gericht op de onderwijspraktijk, met oog voor de praktijk van het basisonderwijs en van het voortgezet onderwijs. Afbeelding 2: Het tabblad Kern Kernopgave(n) De kernopgave(n) 5 zijn typerend voor het beschreven onderwerp en zijn merendeels afkomstig uit de rekenmethoden van het basisonderwijs en de wiskundemethoden van het voortgezet onderwijs. Daarnaast zijn er enkele opgaven uit toetsen (o.a. PPON), methoden van andere vakken en uit onderzoekspublicaties (o.a. TAL) gebruikt. 5 In een enkel geval zijn er meer kernopgaven 6
Afbeelding 3: Het tabblad Kernopgave De opgaven illustreren waar het in de kern om gaat. Leerlingenwerk Het leerlingenwerk in Rekenlijn is soms een letterlijke scan van authentiek leerlingenwerk en soms een beschrijving van veelvoorkomend antwoordgedrag bij de leerlingen. Het leerlingenwerk geeft houvast bij het bepalen wat op welk moment van een leerling verwacht kan worden. Typerende oplossingen en strategieën van leerlingen worden voor zover mogelijk benoemd met termen die gangbaar zijn (bijv: splitsen, cijferend optellen). Essentiële verschillen tussen oplossingen worden geëxpliciteerd hierbij wordt onder meer onderscheid gemaakt tussen oplossingen (strategieën) op verschillende niveaus van formalisering: contextgebonden niveau, model-ondersteund niveau en formeel niveau. Dit wordt voor de groepen 6, 7 en 8 en voor het vo tevens gekoppeld aan de F- en S-niveaus uit het Referentiekader Rekenen. In het tabblad Referentiekader wordt dat nader toegelicht. 7
Afbeelding 4: Het tabblad Leerlingwerk Achtergrond In het tabblad achtergrond is vakdidactische informatie verzameld die meer zicht geeft op de inhoud van de leerlijn en de betreffende leerstofeenheid. Dit biedt de leerkracht zowel meer zicht op verschillende didactische mogelijkheden als meer achtergrondinformatie bij het betreffende onderwerp. Afbeelding 5: Het tabblad Achtergrond Referentiekader In dit tabblad wordt de relatie tussen Rekenlijn en het Referentiekader Rekenen nader toegelicht. Per onderdeel wordt een en ander kort omschreven. Vanaf ongeveer groep 6 is er regelmatig aandacht voor de verschillen tussen de F-lijn (nadruk op het functioneel gebruik) en de S-lijn (nadruk op formalisatie, abstractie en generalisatie). Pas aan het eind van het basisonderwijs gaat dit verschil echt een rol spelen. Voor de 8
leerstofonderdelen in het voorgezet onderwijs wordt vooruitgekeken naar de niveaus 2F en 2S die rond 16-jarige leeftijd moeten worden behaald. Het eindpunt van die leerlijnen daarvan ligt circa 1 à 2 jaar verder, dan waar Rekenlijn eindigt. In dit tabblad is een directe verwijzing naar de letterlijke tekst van het betreffende domein uit het referentiekader opgenomen. Afbeelding 6: Het tabblad Referentiekader Overzicht leerlijn Dit tabblad geeft direct toegang tot alle andere leerstofonderdelen binnen dezelfde leerlijn. Dit levert de mogelijkheid voor de gebruiker van Rekenlijn om direct naar een ander onderdeel van de leerlijn te klikken. Verder biedt een beknopt overzicht van een hele leerlijn. Afbeelding 7: Het tabblad Gerelateerde items 9
Taal in rekenlijn In Rekenlijn is speciaal aandacht besteed aan taal bij het rekenen. Bij diverse onderwerpen is aangegeven wat de rol van taal is bij rekenen. Rekenen-wiskunde en de daarbij behorende taal ontwikkelen zich samen en beïnvloeden elkaar: ze zijn onlosmakelijk verbonden. Langzamerhand wordt duidelijk dat aandacht voor taal in de rekenles noodzakelijk is, niet alleen voor taalzwakke leerlingen maar voor alle leerlingen. Alle leerlingen moeten immers de taal van rekenen-wiskunde leren. Aandacht voor taal in de rekenles kan niet alleen bijdragen aan het tijdig signaleren van rekenproblemen maar ook aan het bevorderen van leerprocessen. Op de tabbladen waar dat van toepassing is wordt verwezen naar meer achtergrond over de taal van het betreffende onderwerp. Bronnen en verwijzingen In de leerstofeenheden zijn steeds verwijzingen naar de bronnen van de voorbeeldopgaven opgenomen. Daarnaast kan worden verwezen naar lesmateriaal, video's, andere beschrijvingen en bronnen op internet zoals Tule, Tal, Wiki rekenwiskunde onderwijs etc. Via een link naar de wiki rekenwiskundeonderwijs is per domein een overzicht van de geraadpleegde literatuur beschikbaar. 10
Domeinen van Rekenlijn Binnen het vakgebied rekenen/wiskunde is een aantal samenhangende clusters van begrippen en vaardigheden te onderscheiden. Internationaal gezien bestaan hiervan verschillende indelingen, maar een indeling zoals nu ook is vastgesteld binnen het Referentiekader Rekenen wordt veelvuldig gebruikt: Getallen Verhoudingen Meten/meetkunde Verbanden Ook binnen Rekenlijn worden dit de domeinen genoemd. Overigens kan daar direct aan toegevoegd worden dat vaardigheden binnen deze domeinen sterk samenhangen. Hieronder een citaat uit Van Streun (2008): Binnen rekenen/wiskunde gaat het zelden om een afzonderlijke routine of een losstaand feit, maar is er altijd een relatie met onderliggende begrippen en andere routines of feiten. Zo is het doorzien van de structuur van de getallen en de relaties tussen getallen (PPON: Getallen en getalrelaties) een noodzakelijke voorwaarde voor het blijvend beheersen van bewerkingen met getallen, maar blijkens PPON 2004 geen voldoende voorwaarde. Aan het leren beheersen van die bewerkingen en de onderliggende algoritmen moet speciaal aandacht worden besteed, om blijvende leerresultaten te bereiken. Aan de andere kant garandeert bijvoorbeeld het stevig inoefenen van een algoritme voor het oplossen van een eerstegraads vergelijking niet dat leerlingen het begrip van wat een vergelijking is gaan verwerven of de relatie doorzien tussen een vergelijking en het snijpunt van twee grafieken of tussen een vergelijking en formules voor verbanden tussen grootheden. Analoog ligt aan het met verstand kunnen gebruiken van een rekenmachine voor het uitvoeren van een ingewikkelde berekening een inzicht ten grondslag over de keuze van de uit te voeren operaties en een notie van een mogelijke uitkomst (benaderend rekenen). Pagina 27. Van Streun beschrijft hiermee de verwevenheid tussen de domeinen en de noodzaak dit als geheel van vaardigheden en leerlijnen te zien. 11
Domein 1 - Getallen Het domein Getallen krijgt al veel aandacht in het primair onderwijs en betreft daar zowel het getalbegrip als de bewerkingen met getallen. In het PPON-onderzoek (zie o.a. Jansen e.a. 2005) wordt een belangrijk deel van de zo verworven kennis en vaardigheden getoetst. In alle vormen van vervolgonderwijs zal de verworven kennis moeten worden onderhouden en steeds weer geactualiseerd en geautomatiseerd. Afbeelding 8: Kernopgave van Optellen en aftrekken: hoofdrekenen van de leerlijn Hele getallen Voor het vmbo gaat het hier meer dan voor havo-vwo om het onderhouden en het gebruiken van de verworven begrippen en vaardigheden uit het primair onderwijs. Het accent ligt op het leren gebruiken van deze kennisbasis in een brede range van situaties, die deze leerlingen in de maatschappij, de sectoren en de beroepen tegen kunnen komen. In havo-vwo wordt sneller overgestapt naar de formalisering en de ontwikkeling van rekenen naar wiskunde. 12
13 Afbeelding 9: De leerlijnen van Getallen
Domein 2 - Verhoudingen Het domein verhoudingen omvat veel (maatschappelijke) toepassingsproblemen. Het gebruiken van een kennisbasis rekenen&wiskunde betreft vaak verhoudingsproblemen, waarvan het oplossen kennis, vaardigheden en inzicht vraagt op diverse terreinen van het rekenen. Verhoudingen kunnen worden beschreven: in verhoudingentaal, zoals bij één op de tien Nederlanders of het aantal fietsers is twee keer zo groot als het aantal automobilisten (zie ook Taal van verhoudingen), in breukentaal, bijvoorbeeld driekwart van de inwoners is ouder dan 25 jaar (zie ook Taal van breuken), met procenten, zoals 70 procent van de mensen is voor de aanleg van een randweg. Afbeelding 10: Kernopgave uit 'vermenigvuldigen en delen' uit leerlijn 'verhoudingsprobelemen oplossen' Begrip van verhoudingen houdt in dat de relatie tussen die verschillende beschrijvingen kan worden gelegd en dat leerlingen dit begrip kunnen inzetten bij het met succes oplossen van verhoudings- en procentvraagstukken. In het primair onderwijs wordt hiermee een begin gemaakt en in het vmbo en de onderbouw havo-vwo wordt vooral in het functioneel gebruiken een stevige basis gelegd. Dat is van belang omdat juist op deze begrippen en vaardigheden in het mbo en hbo (economisch, medisch en technisch rekenen) en in beroepssituaties een beroep wordt gedaan. 14
15 Afbeelding 11: De leerlijnen van Verhoudingen
Domein 3 - Meten-meetkunde Aan de beide leerlijnen Meten en Meetkunde wordt in het primair onderwijs de nodige aandacht besteed en het bereikte vaardigheidsniveau voor het meten van lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht en het oplossen van toepassingsopgaven lijkt volgens PPON (anno 2009) beneden de maat van wat een Nederlandse burger in de praktijk zou moeten beheersen. Afbeelding 12: Kernopgave van het onderdeel 'Lengte' van de leerlijn 'Meten'. Beide leerlijnen lopen door in het voortgezet onderwijs, waarbij Meten in het vmbo en mbo de meeste aandacht krijgt en Meetkunde in havo-vwo en de technische sectoren van vmbo en mbo. 16
17 Afbeelding 13: De leerlijnen van Meten/meetkunde
Domein 4 - Verbanden In het primair onderwijs wordt een eerste aanzet gegeven voor het domein Verbanden. Dit gebeurt in de vorm van het bestuderen van grafieken en diagrammen die numerieke gegevens uit tabellen visualiseren of het onderzoeken van het verband tussen twee grootheden of hoeveelheden. Ook de overgang naar de informele algebra, zoals het ontdekken en voortzetten van een regelmaat in patronen van stippen of blokjes of van getalpatronen of het generaliseren naar een woordformule behoren in het primair onderwijs (voor de betere leerlingen) tot dit conceptuele netwerk. Volgens een analyse van TIMSS resultaten blijft de Nederlandse opbrengst (of beter gezegd het Nederlandse onderwijs) hierop duidelijk achter bij vergelijkbare landen. Afbeelding 14: Kernopgave van het onderdeel 'Verbanden: ervaringen vooraf' van de leerlijn 'Voorschriften en formules'. In het voortgezet onderwijs staat vanaf het eerste leerjaar in het schoolvak wiskunde in het vmbo en de onderbouw van het havo-vwo het domein Verbanden centraal, met als verschijningsvormen de context in woorden (bijvoorbeeld het vergelijken van twee abonnementen op toegang tot een dierentuin), de tabel met twee kolommen gegevens, de grafiek als visualisering van het verband en de (woord)formule met twee of meer variabelen. De meer formelere algebra met het herleiden van algebraïsche expressies en specifieke algoritmen voor het algebraïsch oplossen van vergelijkingen laten we buiten deze studie van de leerlijnen rekenen, omdat dat naar onze mening tot wiskunde gerekend moet worden. Het lezen en interpreteren van een betekenisvolle formule rekenen we wel mee, gelet op de frequentie waarmee formules in allerlei vakgebieden voorkomen. 18
19 Afbeelding 15: De leerlijnen van Verbanden
Inzoomen op de Rekenlijn Bij Rekenlijn is gekozen voor een website waarin de gebruiker kan inzoomen op de leerlijnen. Elk domein van het Referentiekader Rekenen heeft een aparte webpagina op Rekenlijn.nl (van groep 1 van de basisschool t/m klas 2 van het voortgezet onderwijs) waarop ingezoomd kan worden. Afbeelding 16: De inzoom-knop van de viewer van Rekenlijn Door dit inzoomen komt na het niveau van het domein het niveau van de leerlijnen in beeld, verder inzoomen geeft zicht op de leerstofonderdelen die vervolgens open geklikt kunnen worden. Print-versie van Rekenlijn Het project heeft zich bij de ontwikkeling geconcentreerd op de online versie. Dit betekent niet dat er niets op papier geprint kan worden. Per onderdeel is het mogelijk een print te maken. 20