Alexander Calder : Calder Unions (Rainbow), Kenitic Mobile, 2001) workshop Zwaartepunten wiskundeddag 1 juni 2011 Dolf van den Hombergh, Leon van den Broek 1
Evenwicht Fietsen over een koord Technopolis (Mechelen) Living statue Les Rambles (Barcelona) Een adelaar steunt met zijn snavel de top van een piramide. Waar ligt het zwaartepunt van de adelaar ongeveer? 2
Gaat de fles vallen? De kloof overbruggen met twee planken, die allebei te kort zijn. (Nemo Amsterdam) Riem buitenboord 3
Dirk Verhaegen, Antwerps kunstenaar Gravitationelen Negen rechthoeken van 1 3 t/m 3 9 zijn in een hoekpunt opgehangen Hoe je in de praktijk het zwaartepunt vindt Elk voorwerp (plat of ruimtelijk) heeft precies één zwaartepunt Z. Maak een touwtje vast in een punt P van het voorwerp en hang het ermee op. Het voorwerp gaat zo hangen, dat het zwaartepunt Z zo laag mogelijk komt. Dus zó dat Z recht onder P komt te liggen. Kies nu een ander punt P' om het touwtje aan vast te maken. Hang het voorwerp op en Z zal recht onder P' komen. We kennen nu twee lijnen waarop Z moet liggen. Waar je het ophangpunt P ook kiest. Het verlengde van het touwtje gaat altijd door Z! P' P We hangen een houten rechthoek van 40 bij 100 cm op aan een touwtje. Het ophangpunt zit 10 cm van twee randen. Teken hoe de rechthoek gaat hangen. RAADSEL: Zes spijkers in balans Je hebt zeven identieke grote spijkers met een duidelijke kop. Sla een spijker in een plankje. Lukt het je de andere zes spijkers op de kop van die spijker te laten balanceren? 4
Zwaartepunten Schuifprincipe Het evenwicht wordt niet verstoord als je twee gelijke massa s tegengesteld aan elkaar verplaatst: of Als een systeem bestaat uit eindig veel gewichtjes, kun je steeds twee aan twee gewichtjes naar elkaar toe schuiven. Uiteindelijk komen alle gewichtjes in één punt bij elkaar. Dat punt is het zwaartepunt van het systeem. 1 Je hebt twee gram in een punt en drie gram in een ander punt. a. Waar ligt het zwaartepunt? Je hebt a gram in het ene punt en b gram in een ander punt. b. Waar ligt het zwaartepunt? 2 We bekijken het systeem van Aarde en Maan. Aarde heeft massa 5,975 10 24 kg en Maan 7,343 10 22 kg. De straal van Aarde is 6371 km en de straal van Maan is 1738 km. Hieronder staat een plaatje op schaal. Voor de afstand Aarde-Maan is 100 mm gekozen. In werkelijkheid is die 384400 km (tussen de middelpunten van Aarde en Maan). Waar ligt het zwaartepunt? Wat valt je op? Hoe gaat het als de massa s niet op één lijn liggen? Ook dan verschuiven we massa s naar elkaar toe, totdat alles in een centrum samenklontert: als dat punt altijd hetzelfde is, mag dat het zwaartepunt heten. 3 We bekijken een voorbeeld met drie massa s: 1, 2 en 3. 1 Voor het gemak hebben we een driehoekjesrooster aangebracht, waarbij de afstanden tussen een tweetal massa s verdeeld is in 15 en. 2 3 5
a. Bepaal het zwaartepunt door eerst de massa s 2 en 3 samen te nemen. b. Ook door eerst 1 en 2 samen te nemen. c. En door eerst 1 en 3 samen te nemen. Om in te zien dat het er niet toe doet in welke volgorde je massa s samenneemt, is het handig met vectoren te werken. In de punten A en B bevinden zich de massa's a en b. We kiezen een willekeurig punt O als oorsprong. Het zwaartepunt Z is het eindpunt van de vector OZ = a a b OA + OB + a + b. b A Z B O 4 Aan een gewichtloze staaf hangen de gewichten van grootte 1, 2 en 3. 1 2 3 O Om het tekenen te vergemakkelijken is het geheel in een rooster geplaatst. a. Bepaal de plaats van het zwaartepunt door bovenstaande stelling toe te passen met het aangegeven punt O als centrum b. Doe dat ook door als oorsprong de plaats van het gewicht van grootte 3 te kiezen. 5 In de punten A, B en C bevinden zich de massa s a, b en c. a. Toon aan (door eerst de massa s in A en B samen te nemen) dat: a b c OZ = a+ b+ c OA + a+ b+ c OB + a+ b+ c OC. b. Hoe volgt uit a dat het er niet toe doet in welke volgorde je de massa s samenneemt? Algemeen In de punten A 1, A 2,, A n bevinden zich de massa s a 1, a 2,, a n. Kort af: a 1 + a 2 + + a n = a. Voor het zwaartepunt Z van dit massasysteem geldt: OZ = a1 a2 an OA + OA + + a + a + K+ a 1 a + a + K+ a 2 K a + a + K 1 2 n 1 2 n 1 2 + a n OA n 6
6 Vier keer een vierzijdige piramide met ribben van lengte 1. De massa s zitten in de hoekpunten, in elk hoekpunt dezelfde massa (de ribben zijn massaloos). a. Op welke hoogte boven het grondvlak bevindt zich het zwaartepunt? In de staafjespiramide zit het massa in de ribben. De acht ribben zijn even zwaar. b. Op welke hoogte boven het grondvlak bevindt zich het zwaartepunt? De piramide is nu gesloten: de vijf grensvlakken bestaan uit plaatwerk. De massa van een grensvlak is dus evenredig met de oppervlakte. Verder is de piramide hol. c. Op welke hoogte boven het grondvlak bevindt zich het zwaartepunt? In het vierde geval is de piramide massief. En homogeen. Met integraal-rekening kan de plaats van het zwaartepunt bepaald worden. Dat blijkt op hoogte 3 van de hoogte boven het grondvlak te zitten. 7 Op de zijden van driehoek ABC liggen de punten P en Q. P verdeelt zijde BC in stukken die zich verhouden als 1 : 2, Q verdeelt zijde AC in stukken die zich verhouden als 3 : 2. Zie plaatje. C P Q B A Z is het snijpunt van de lijnen AP en BQ. De lijn CZ verdeelt zijde AB in twee stukken. Hoe verhouden die stukken zich? Tip: Plaats geschikte gewichten in de hoekpunten A, B en C. Stelling van Ceva Door elk van de hoekpunten van een driehoek wordt een lijn getrokken, zo dat ze door één punt gaan. De lijnen verdelen elk een zijde in twee stukken, zeg in verhouding a 1 : a 2, b 1 : b 2 en c 1 : c 2 ; de volgorde van de stukken corresponderend met a 1, a 2, b 1, b 2, c 1 en c 2 is tegen de klok in; zie de figuur. Dan: a 1 b 1 c 1 = a 2 b 2 c 2 b 2 b 1 a 1 a 2 8 Bewijs de stelling van Ceva. c 1 c 2 7
Het wiskunde D-aanbod van de Wageningse Methode Info WM heeft geen wiskunded-boeken WM stelt gratis haar lesmaterialen beschikbaar, compleet met werkbladen en zelftoets en planning. Staat ook op de ctwo-site: http://www.wageningse-methode.nl/download/zwaartepunten.pdf Hoofdstukken vwo * Analytische meetkunde * Combinatoriek en rekenregels * Discrete dynamische modellen * Zwaartepunten * Inproduct * Binomiale en normale verdelingen * Inleiding complexe getallen * Hypothese toetsen en Poissoin verdeling * Continue dynamische processen * Allerlei Verbanden Hoofdstukken havo * Hoeken in de Ruimte * Kans 1 * Kans 2 * Lineair Programmeren * Toegepaste Analyse * Vectoren en Meetkunde * Zwaartepunten Zwaartepunten - Dat hebben anderen niet. - Uitgebreid getest. - Zowel voor havo als voor vwo geschikt - Af te sluiten met alternatieve toetsing. Over de toetsing - klassiek proefwerk (Liemers College, Zevenaar) - praktische opdracht (rsg Pantarijn, Wageningen) - open opdracht (Mondial College, Nijmegen) 8
Proefwerk vwo 4 wiskunde D Zwaartepunten (Liemers College, Zevenaar) 15 mei 2009 Licht elk antwoord voldoende toe. Succes! Naam: 2p 1 2p 2 Derde punt gezocht A(-3, 0) en B(0, 6) zijn twee punten van een driehoek waarvan het zwaartepunt bij gewichtsverdeling 1 : 1 : 1 het punt Z(4, 2) is. Bereken het derde punt van de driehoek. Twee gewichten van 100 kg bevinden zich op ( 1, 0) en (1, 0). Waar moet een gewicht van 1 kg geplaatst worden zodat het zwaartepunt van de drie gewichten juist in het punt (0, 2) komt? 4p 3 Twee soorten mensen Als je aan mensen vraagt hoe ze het getal bepalen, dat exact midden tussen 52 en 74 ligt, krijg je twee verschillende antwoorden, maar ze komen (meestal) wel op hetzelfde antwoord uit. Methode 1: Trek 52 van 74 af. Het verschil is 22. Tel de helft daarvan (11) bij 52 op. Uitkomst : 63. Methode 2: Tel 52 bij 74 op. Dat is samen 126. Deel door 2. Weer 63! Nu het gemiddelde van twee getallen in een formule. Noem het ene getal s en het andere getal t. Druk de uitkomsten van methode 1 en methode 2 allebei in s en t uit en laat algebraïsch zien dat de twee uitkomsten aan elkaar gelijk zijn. 4p 4 Aarde en maan Aarde en maan draaien beide in een maand om hun gemeenschappelijke zwaartepunt. De afstand aarde-maan schommelt licht om de 384 450 kilometer. De diameters van de aarde en de maan zijn 12 756,274 km en 3475,9 km. De massa s van de aarde en de maan zijn 5,9742 10 24 kg en 7,35 10 22 kg. Ligt het zwaartepunt van het stelsel aarde/maan binnen of buiten de aarde? Leg uit hoe je je antwoord bereikt hebt. 9
Drie gewichten en een bijzondere formule In deze figuur zijn de drie gewichten met letters aangegeven: m A, m B, m C. De ware gewichtverhoudingen weten we nog niet, maar het zwaartepunt is al wél aangegeven, in Q. Het zwaartepunt D van de gewichten in B en C ligt op lijn BC. 2p 5 Q moet op AD liggen. Waarom is dat zo? E is het zwaartepunt van de gewichten in C en A en F is het zwaartepunt van de gewichten in A en B. 3p 6 Teken in de driehoek de punten D, E en F. BD mc 2p 7 Leg uit waarom =. DC m B AF BD CE 3p 8 Stel voor E en F soortgelijke formules op als voor D en toon aan dat = 1. FB DC EA Hanging mobile De hanging mobile hieronder is nog niet klaar. 4p 9 Op één van de punten is het gewicht al aangegeven. De verhoudingen van de indeling van de dunne staven is zichtbaar. Beschouw de dunne staven en draden als gewichtloos. Geef ook de andere gewichten aan. bonusvraag: 2p 10 Teken zelf een hanging mobile waarin de gewichten 100, 50, 20, 10, 5, 2, 1 gebruikt worden. 10
Praktische opdracht Zwaartepunten VWO 4 WB (rsg Pantarijn, Wageningen) Groep: Materiaal: Opdracht: Inleveren: Vragen: Inlevertijd: Kies zelf een groep van 3 of 4 personen om deze opdracht te maken. Je krijgt in de les het bij deze opdracht horende materiaal over zwaartepunten. Het is raadzaam dat je in elk geval paragraaf 1 van het hoofdstuk Vectoren hebt gemaakt. Bestudeer vervolgens paragraaf III Op zoek naar evenwicht van het materiaal over zwaartepunten. Maak de bijbehorende opgaven, zodat je snapt wat zwaartepunten zijn en hoe je ze in een aantal verschillende situaties kunt bepalen. Lees daarna de paragrafen IV en V aandachtig door en probeer ook hiervan zoveel mogelijk opgaven te maken. Het is niet erg als sommige opgaven niet lukken. Je hoeft als groep maar een beperkt aantal opgaven netjes uit te werken en in te leveren. De opgaven die je inlevert selecteer je uit de opgaven die in de tabel hieronder staan. Achter elke opgave staat het aantal sterren dat die opgave waard is. Kies in overleg met je groepsleden de opgaven die jouw groep uit gaat werken. Voorwaarde hierbij is dat het totale aantal sterren van de opgaven die jouw groep uitwerkt 20 of meer is. Werk deze opgaven netjes en overzichtelijk uit, geef duidelijke uitleg en schrijf ook de berekeningen op. In overleg met je docent is er op donderdag 23 april gelegenheid om vragen te stellen over deze opdracht. Dat betekent niet dat je kant en klare antwoorden krijgt, maar tips zodat je verder kunt als je ergens bent vastgelopen. Lever je werk in uiterlijk vrijdag 24 april om 15.00 uur in het studiehuis. 11
Keuze-onderwerpen voor de Open Opdracht (Mondial College, Nijmegen) Ontwerp / bouw / bespreek een voorwerp dat een zwaartepunt heeft op een plaats waar je het niet verwacht. Ontwerp / bouw / bespreek een toestel / apparaat / circusattractie waar het begrip zwaartepunt een interessante rol speelt. Bepaal het midden van Nederland. Bespreek voor- en nadelen van jullie gekozen werkwijze. Bepaal het zwaartepunt van een kegel (hol of massief). Bepaal het zwaartepunt van de chocoladeletters van het alfabet. Bouw een mobiel (geen telefoon) en geef aan waar het zwaartepunt zich bevindt. Bedenk zelf iets om te onderzoeken / bouwen / bespreken in dit kader van zwaartepunten, maar leg je idee wel eerst voor aan de docent. BEOORDELING Groepsleden: 1.... 2.... 3.... 4.... Onderdeel Max Score Opmerkingen Uitwerkingen paragraaf 1 Uitwerkingen paragraaf 2 5 Uitwerkingen paragraaf 3 5 Uitwerkingen paragraaf 4 5 Uitwerkingen paragraaf 5 5 Open Opdracht ontwerp / idee Open Opdracht bouwsel / beschrijving Open Opdracht presentatie 5 5 5 Totaal Cijfer = Totaal / 10 = 12