Recursieve talen De klasse van recursief opsombare talen is gesloten onder en. Echter, het is niet zo dat L recursief opsombaar is voor alle recursief opsombare talen L. Dit bewijzen we met behulp van een recursieve opsomming M 1, M 2, M 3,... van alle TMs: Iedere TM kan worden gerepresenteerd als een input-string. Een parseer-algoritme checkt voor iedere mogelijk input-string of die een TM representeert. Zoja, voeg deze TM toe aan de opsomming.
Recursieve talen Een taal L is recursief als L en L recursief opsombaar zijn. Stelling: Niet iedere recursief opsombare taal is recursief. Bewijs: Zij M 1, M 2, M 3,... een recursieve opsomming van alle TMs. We definiëren L = {a i a i L(M i ), i 1}. L is recursief opsombaar. Stel, L is recursief opsombaar: L = L(M k ) voor een k 1. Dan a k L a k L(M k ) a k L. Tegenspraak, dus L is niet recursief opsombaar.
TMs zijn aftelbaar, talen niet Stelling: Er zijn aftelbaar veel TMs over een input alfabet Σ. Stelling: Er zijn overaftelbaar veel talen over Σ. Bewijs: Stel, L 0, L 1, L 2,... is een aftelling is van alle talen over {a}. Definieer a i L a i L i, voor alle i 0. L zit duidelijk niet in bovenstaande aftelling. Conclusie: Niet alle talen zijn recursief opsombaar.
Halting probleem (1936) Als een TM in toestand q een a op de tape leest terwijl δ(q, a) ongedefinieerd is, dan bereikt het een halt state. (Als q eindtoestand is, dan is het voor alle a een halt state.) Het halting probleem is of, gegeven een (deterministische) TM M en een input-string w, geen halt state wordt bereikt. De taal die bij het halting probleem hoort bevat string (M, w) dan en slechts dan als TM M geen halt state bereikt op input-string w.
Halting probleem is onbeslisbaar Stelling: Het halting probleem is onbeslisbaar. Bewijs: Stel dat een TM H bestaat die, gegeven een TM en een input-string, bepaalt of geen halt state wordt bereikt. Gegeven een TM M en input-string w. Executeer in parallel M op w en H op (M, w). Eén van de volgende drie gevallen zal plaatsvinden: M op w bereikt een eindtoestand: w L(M). M op w bereikt een niet-accepterende halt state: w / L(M). H op (M, w) bereikt een eindtoestand: w / L(M). Dus L(M) is recursief opsombaar. Tegenspraak, want niet alle recursief opsombare talen zijn recursief.
Stelling van Rice (1951) Een eigenschap van een klasse K is triviaal als hij geldt voor alle óf voor geen enkele k K. Stelling van Rice: Iedere niet-triviale eigenschap P voor recursief opsombare talen is onbeslisbaar. Bewijs: Stel dat P( ) (zoniet, neem P) en P(L 0 ) voor een niet-lege, recursief opsombare L 0. Zij L recursief opsombaar. Gegeven een string x, bouwen we een TM M x met L(M x ) is als x L, en L 0 als x L als volgt. L(M x ) bevat string y als 1. x L, en 2. y L 0. Beslisbaarheid van P(L(M x )) zou impliceren dat L altijd recursief is, omdat we kunnen bepalen of x / L. Tegenspraak!
Stelling van Rice: voorbeelden Voor recursief opsombare talen L zijn a L? en is L eindig? onbeslisbaar.
Post correspondence probleem (1946) PCP: Gegeven twee rijen van n strings over Σ: w 1,..., w n en v 1,..., v n Is er een niet-lege rij indices j,..., k zo dat w j w k = v j v k? Emil Post (1897-1954) Vraag: Geef een oplossing voor w 1 = 01 w 2 = 1 w 3 = 110 v 1 = 100 v 2 = 011 v 3 = 1
Modified Post correspondence probleem We gaan bewijzen dat het PCP onbeslisbaar is. We bewijzen eerst dat het Modified PCP (MPCP) onbeslisbaar is. MPCP: Gegeven twee rijen van n strings over Σ: w 1,..., w n en v 1,..., v n Is er een niet-lege rij indices j,..., k zo dat w 1 w j w k = v 1 v j v k?
Modified Post correspondence probleem Stelling: Als het MPCP beslisbaar zou zijn, dan zou de vraag w L(G)? beslisbaar zijn voor onbeperkte grammatica s G. Bewijs: G = (V, T, S, P). We definiëren de volgende rijen strings (met F en E verse symbolen): FS F a a (a T ) A A (A V ) y x (x y P) E we Er is een MPCP-oplossing (met w 1 = FS en v 1 = F ) dan en slechts dan als w L(G). Conclusie: Het MPCP is onbeslisbaar.
Modified Post correspondence probleem: voorbeeld S AA A ab Bb BB aa S AA aba abbb aaab i w i v i i w i v i 1 FS F 7 2 a a 8 AA S 3 b b 9 ab A 4 A A 10 Bb A 5 B B 11 aa BB 6 S S 12 E aaabe w 1 w 8 w 7 w 9 w 10 w 7 w 2 w 11 w 3 w 12 F S A A a B B b a a a b E v 1 v 8 v 7 v 9 v 10 v 7 v 2 v 11 v 3 v 12
Post correspondence probleem Stelling: Het PCP is onbeslisbaar. Bewijs: Gegeven twee rijen van n strings w 1,..., w n en v 1,..., v n, met w i = a i1 a imi en v i = b i1 b iri (en m i + r i > 0) voor alle i. We definiëren twee nieuwe rijen y 0,..., y n+1 en z 0,..., z n+1 : y 0 = $y 1 y i = a i1 $a i2 $ a imi $ (1 i n) y n+1 = # z 0 = z 1 z i = $b i1 $b i2 $b iri (1 i n) z n+1 = $# $ en # zijn vers, dus iedere PCP-oplossing is van de vorm y 0 y j y k y n+1 = z 0 z j z k z n+1 Zo n oplossing bestaat dan en slechts dan als w 1 w j w k = v 1 v j v k een MPCP-oplossing is voor de w i s en v i s. Aangezien het MPCP onbeslisbaar is, is ook het PCP onbeslisbaar.
Reduction of MPCP tot PCP: example Consider the following instance of the MPCP: w 1 = 11 w 2 = 1 v 1 = 1 v 2 = 11 To which instance of the PCP does it reduce? y 0 = $1$1$ y 1 = 1$1$ y 2 = 1$ y 3 = # z 0 = $1 z 1 = $1 z 2 = $1$1 z 3 = $# The original MPCP instance has a solution if and only if the resulting PCP instance has a solution.
Lege doorsnede van contextvrije talen is onbeslisbaar Stelling: De vraag L 1 L 2 =? voor contextvrije talen L 1 en L 2 is onbeslisbaar. Bewijs: We reduceren het PCP naar bovenstaand probleem. Gegeven twee rijen van n strings w 1,..., w n en v 1,..., v n over Σ. a 1,..., a n Σ zijn verschillende terminals. We definiëren twee contextvrije grammatica s G 1 en G 2 : S 1 w i S 1 a i w i a i (1 i n) S 2 v i S 2 a i v i a i (1 i n) L(G 1 ) = {w j w k a k a j j,..., k willekeurig} L(G 2 ) = { v j v k a k a j j,..., k willekeurig} L(G 1 ) L(G 2 ) = het PCP is onoplosbaar voor de w i s en v i s.
Ambiguïteit van contextvrije grammatica s is onbeslisbaar Stelling: Ambiguïteit van contextvrije grammatica s is onbeslisbaar. Bewijs: We reduceren het PCP naar bovenstaand probleem. Gegeven twee rijen van n strings w 1,..., w n en v 1,..., v n over Σ. a 1,..., a n Σ. We definiëren een contextvrije grammatica G: S S 1 S 2 S 1 w i S 1 a i w i a i (1 i n) S 2 v i S 2 a i v i a i (1 i n) G is ambigu het PCP is oplosbaar voor de w i s en v i s.
Gelijkheid van contextvrije grammatica s is onbeslisbaar Stelling: De vraag L = Σ? voor contextvrije talen L is onbeslisbaar. Bewijs: Gegeven twee rijen strings over Σ: w 1,..., w n en v 1,..., v n, en a 1,..., a n Σ. Stap 1: De volgende taal is contextvrij : {wa k a j w Σ \{w j w k }} Stap 2: ˆΣ = Σ {a 1,..., a n }. De volgende taal is regulier : {xa i cy x, y ˆΣ c Σ} Stap 3: De volgende uitspraken zijn equivalent: (1) ˆΣ is gelijk aan {wa k a j w Σ \{w j w k }} {va k a j v Σ \{v j v k }} {xa i cy x, y ˆΣ c Σ} {λ} (2) PCP voor w 1,..., w n en v 1,..., v n heeft geen oplossing.
Semi-beslisbaarheid Het halting probleem, het PCP, lege doorsnede van contextvrije talen, ambiguïteit van contextvrije grammatica s, en of een contextvrije taal alle strings bevat, zijn semi-beslisbaar. Namelijk, deze vragen zijn beslisbaar als: een deterministische TM op een input wel een halt state bereikt het PCP wel een oplossing heeft twee contextvrije talen een niet-lege doorsnede hebben een contextvrije grammatica wel ambigu is een contextvrije taal niet alle strings bevat
Nog meer onbeslisbare problemen Afleidbaarheid van een formule φ in predicatenlogica is onbeslisbaar. (Logica en Modelleren) In 1900 formuleerde David Hilbert (1862-1941) 23 wiskundige problemen. Diophantische vergelijkingen bestaan uit polynomen met één of meer variabelen en coëfficiënten in Z. Bijv: 3X 2 Y 7Y 2 Z 3 18 = 0 7Y 2 + 8Z 3 = 0 Hilberts 10e probleem: Geef een algoritme om te bepalen of een systeem van Diophantische vergelijkingen een oplossing heeft in Z. In 1970 bewees Yuri Matiyasevich dat dit probleem onbeslisbaar is.
Terugblik halting probleem is onbeslisbaar stelling van Rice Post correspondence probleem is onbeslisbaar onbeslisbare problemen voor contextvrije talen (lege doorsnede, ambiguïteit, gelijkheid) afleidbaarheid in predicatenlogica is onbeslisbaar oplossen van Diophantische vergelijkingen in Z is onbeslisbaar
Vooruit kijken Maak: Linz 12.1: 3, 7, 9 Linz 12.3: 1, 3 Linz 12.4: 3, 7, 8 Lees: Linz H14 (optioneel 17.4-17.4 van Sudkamp) (optioneel 7.2 van Lewis en Papadimitriou) Volgend college: complexiteitsklassen P en NP NP-compleetheid bounded tiling probleem / satisfiability probleem andere complexiteitsklassen