Stochastische loadflow 8-5 pmo 23 januari 28 Phase to Phase BV Utrechtseweg 3 Postbus 68 AC Arnhem T: 26 352 37 F: 26 352 379 www.phasetophase.nl
2 8-5 pmo Phase to Phase BV, Arnhem, Nederland. Alle rechten voorbehouden. Dit document bevat vertrouwelijke informatie. Overdracht van de informatie aan derden zonder schriftelijke toestemming van of namens Phase to Phase BV is verboden. Hetzelfde geldt voor het kopiëren van het document of een gedeelte daarvan. Phase to Phase BV is niet aansprakelijk voor enige directe, indirecte, bijkomstige of gevolgschade ontstaan door of bij het gebruik van de informatie of gegevens uit dit document, of door de onmogelijkheid die informatie of gegevens te gebruiken.
INHOUD 3 8-5 pmo Inleiding... 4 2 Het gedrag van de belasting... 4 3 Afleiding stochastische parameters vanuit de modellen van Rusck en Strand-Axelsson... 7 4 Stochastische loadflow... 8 5 Conclusie... 6 Literatuur... Revisie
4 8-5 pmo INLEIDING Ontwerpberekeningen voor LS- en MS-netten worden doorgaans uitgevoerd door gebruik te maken van maximale belastingen in combinatie met kentallen voor de gelijktijdigheid ervan. De techniek is gebaseerd op de informatie die de distributiebedrijven jaarlijks vergaarden met maximaalmetingen in het net. Door Rusck werd in 956 daartoe een formule opgesteld die alom werd geaccepteerd. In 975 werd door Strand en Axelsson een proefondervindelijke relatie vastgesteld tussen maximale belasting en jaarverbruik. Deze laatste methode leende zich tot het berekenen van maximale factoren gerelateerd aan verbruik-categorieën in de praktijk. In combinatie met belastingsprognose zijn deze modellen de basis voor de huidige ontwerpen van MS en LS-netten. Genoemde modellen geven inzicht met een worst-case benadering. Een loadflowberekening kan in principe niet goed met gelijktijdigheid omgaan. Met ingrepen zoals negatieve stroominjecties kunnen in radiaal bedreven netten verschillende belastingen 'gelijktijdig' worden gesommeerd en wordt een 'gelijktijdig' beeld van de netstromen bepaald. In vermaasd bedreven netten is deze methode niet mogelijk. Ook met decentrale opwekking kan deze methode niet goed worden toegepast. Er wordt gezocht naar een methode die goed toepasbaar is voor alle nettypen. Deze methode, de stochastische loadflow, wordt verderop in dit rapport beschreven. 2 HET GEDRAG VAN DE BELASTING Individuele gebruikers vertonen in het elektriciteitsverbruik een zeker groepsgedrag, maar gedragen zich momentaan gezien als individuen. Niet bij iedereen draait de wasmachine op hetzelfde moment. Maar toch vertonen de individuele gebruikers als functie van de tijd, verspreid over een dag, gemiddeld genomen grote overeenkomsten in het gedrag. Onderstaande figuur illustreert dit, waarin de belastingscurves genormeerd zijn naar hun individuele gemiddelde. Tussen : en 7: uur is de belasting minimaal. Tussen 7: en 9: uur neemt de belasting snel toe. 's-avonds neemt de belasting nog meer toe, om daarna weer af te dalen tot het minimum. Elektriciteitsverbruik 2 januari 2 2.5 2.5.5 :2:3 :47:3 3:32:29 5:7:3 7:2:3 8:47:3 :32:3 2:7:3 4:2:3 5:47:3 7:32:3 9:7:3 2:2:3 22:47:3 Stroom (p.u. Stroom2 Stroom3 Stroom4 Stroom5 Figuur Genormeerd elektriciteitsverbruik voor vier afnemers, verspreid over een dag. Alle belastingen gedragen zich over de gehele dag genomen als onderling afhankelijke stochastische signalen, maar binnen een beperkt tijdvenster (bijvoorbeeld van één uur gedragen zij zich niet als
5 8-5 pmo afhankelijke stochastische signalen. Van die onafhankelijke stochastische signalen kan per tijdvenster een gemiddelde waarde en een spreiding worden uitgerekend. Onderstaande afbeelding illustreert dit. Van alle genormeerde belastingskrommen zijn eerst op uurgemiddelden gebaseerde belastingskrommen berekend. Vervolgens zijn deze uurcurves als functie van de tijd uitgezet. Bovendien is voor elke uurwaarde de spreiding uitgerekend tussen alle vier de curves. Deze spreiding is eveneens als functie van de tijd uitgezet. Uurgemiddelden en Spreiding Stroom (p.u. 2.8.6.4.2.8.6.4.2 :: 4:48: 9:36: 4:24: 9:2: :: Stroom2 Stroom3 Stroom4 Stroom5 Spreiding Figuur 2 Uurgemiddelden van genormeerd elektriciteitsverbruik voor vier afnemers en spreiding. In bovenstaand figuur is een tijdvenster aangegeven. Binnen dat tijdvenster gedraagt zich de momentane belasting als een onafhankelijk stochastisch signaal. De belasting laat zich in ieder tijdvenster beschrijven als een stochastische variabele, met een gemiddelde waarde en een spreiding. Voor het aangegeven tijdvenster in de figuur is de gemiddelde waarde ongeveer gelijk aan en de spreiding ongeveer gelijk aan,2. De belasting op een bepaald tijdstip t kan beschreven worden door een normale kansverdeling met gemiddelde μ(t en spreiding σ(t. Onderstaand figuur geeft de kansverdeling weer voor een belasting met gemiddelde waarde 3 en een spreiding van..45.4.35.3.25.2.5. σ.5 2 μ 4 6 8 Figuur 3 Belasting als normale kansverdeling
6 8-5 pmo In onderstaand figuur is de gemiddelde belastingscurve voor bovenstaande vier belastingen afgebeeld. Deze kromme is gelabeld "mu". Ook is met behulp van de spreidingscurve een band aangegeven, waarbinnen zich met een zekere waarschijnlijkheid de individuele belastingscurven zullen bevinden. Als boven- en ondergrens zijn de plus σ en de min σ curves getekend. Deze curves zijn berekend door de spreidingscurve bij de gemiddelde curve op te tellen (mu+s, respectievelijk af te trekken (mu-s. Indien de stochastische belasting zich op alle tijdstippen als een normaal verdeelde stochastische variabele zou gedragen, zou de werkelijke waarde van de belasting zich met een waarschijnlijkheid van 7% binnen de aangegeven grenzen bevinden. Overigens zijn de relaties van Rusck en Strand-Axelsson gebaseerd op de aanname dat de belasting zich tijdens het maximum gedraagt als een stochastische variabele met een normale kansverdeling, zie ook een eerder rapport (Phase, 2 a. Gemiddelde belastingcurve met spreiding Stroom 2.8.6.4.2.8.6.4.2 :: 4:48: 9:36: 4:24: 9:2: :: mu mu+s mu-s Figuur 4 Gemiddeld elektriciteitsverbruik en σ grens, over een dag. Alle op deze manier in een richting gemodelleerde belastingen kunnen worden gesommeerd volgens de theorie van de stochastische signalen. Dat heeft gevolgen voor het gemiddelde en de spreiding. Onderstaand diagram geeft aan hoe dit uitwerkt in een distributienet. Elk grafiekje geeft de kansverdeling weer van de belastingstroom voor respectievelijk het begin, het midden en het einde van een richting. De gemiddelde waarden zijn respectievelijk 5, 2 en 5. De spreiding neemt toe naar het einde van de richting..8.6.4.2 2 3 4 5 6.8.6.4.2 2 3 4 5 6.9.7.5.3. -. 2 3 4 5 6 Figuur 5 Kansverdelingen van de afnemende stroom in een richting van een distributienet
7 8-5 pmo Dicht bij de voeding is het aantal belastingen, en dus het aantal onafhankelijke stochastische signalen, groot. Doordat de som van het aantal onafhankelijke belastingen verder in het net afneemt, neemt de onzekerheid (en dus de spreiding toe. Dit komt omdat de maximale belasting bij de verschillende verbruikers op verschillende tijdstippen op zal treden. Dit verschijnsel is eerder beschreven door Rusck. We zien dus dat de gemiddelde waarde afneemt en dat de spreiding in verhouding toeneemt. Voor een klein aantal verbruikers of zelfs een enkele is het eigenlijk niet meer correct om de normale verdeling toe te passen. We doen dit toch omdat er geen alternatief is. 3 AFLEIDING STOCHASTISCHE PARAMETERS VANUIT DE MODELLEN VAN RUSCK EN STRAND-AXELSSON Het model van Rusck geeft een relatie tussen de maximale netbelasting en de maximale belasting van een gebruiker, ook al zijn beide variabelen stochastisch onafhankelijk. Deze relatie gaat overigens alleen op indien er voldoende gelijksoortige gebruikers op het net aangesloten zijn. In formulevorm luidt die relatie: P max, n = n Pmax, g n ( waarbij: n : het aantal verbruikers P max, : maximale belasting van één verbruiker g n : gelijktijdigheidsfactor voor n verbruikers Voor de gelijktijdigheidsfactor geldt: g n = g + ( g (2 n waarbij: g : gelijktijdigheidsfactor voor een oneindig aantal verbruikers. In praktijk blijkt g ongeveer gelijk te zijn aan,2. Dat betekent dat het grootste gedeelte van de gelijktijdigheidsfactor evenredig is met het omgekeerde van de wortel van het aantal verbruikers. Voor een normaal verdeelde belasting is de spreiding een maat voor het verschil tussen het maximum en het gemiddelde (zie EnergieNed, 996 en Phase, 28. Voor één verbruiker geldt dan: Pm ax, Pgem, = C σ (3 waarin: P max, : maximale belasting van één verbruiker P gem, : gemiddelde belasting van één verbruiker σ : spreiding van één verbruiker C : een constante factor Omdat de belasting voor elke verbruiker zich gedraagt als eenzelfde normale verdeling, geldt voor de spreiding: σ n = n σ (4 en voor de gemiddelde belasting:
P gem, n gem, 8 8-5 pmo = n P (5 Uit vergelijking (3 volgt, na combinatie van (4 en (5: P = P + C σ = n P + P P n (6 m ax, n gem, n n gem, ( max, gem, De formule van Strand-Axelsson luidt (StrAx, 975 en EnergieNed, 996: P max, n = β α V n + V n (7 Door vergelijkingen (6 en (7 te combineren volgt (zie Phase, 28: α V = Pgem, (8 β V = P m P (9 ax, gem, Door te combineren met vergelijking (3 gaat (9 over in: β V = C ( σ Het gemiddelde en de spreiding zijn twee parameters die de stochastische belasting beschrijven. Er is een constante factor, C, die de relatie legt tussen de maximale belasting en een stochastische spreiding. De gemiddelde waarde van de stochastische belasting volgt uit: P gem, V = α ( De spreiding van de stochastische belasting volgt uit: Pm ax, Pgem, σ = (2 C De factor C bepaalt hoe groot de kans is dat in het model de stochastische belasting groter is dan de maximale belasting P max. 4 STOCHASTISCHE LOADFLOW De basis van de stochastische loadflow wordt gevormd door een admittantienetwerk, waarvan de belastingen zijn gemodelleerd als stroominjecties. Elke stroominjectie wordt voorgesteld door een stroombron. In onderstaand diagram zijn twee parallelgeschakelde onafhankelijke stroombronnen afgebeeld. i i tot i 2 Figuur 6 Twee parallelgeschakelde stroombronnen
9 8-5 pmo De totaalstroom van de parallelgeschakelde stroombronnen is op elk moment gelijk aan: i tot = i + i 2 (3 Maar ook indien de twee individuele stromen voorgesteld worden door stochastische variabelen geldt bovenstaande vergelijking. Indien we de stochastische stromen i en i 2 elk voorstellen als stochastische variabelen, geldt uit de basiskennis van de theorie van de stochastische signalen dat de gemiddelde waarde van de som gelijk is aan de som van de afzonderlijke gemiddelde waarden: E( i tot = E( i + i2 (4 = E( i + E( i 2 Wanneer de beide stromen i en i 2 onafhankelijk van elkaar zijn, is de variantie van de som gelijk aan de som van de varianties: var( i tot = var( i + var( i2 (5 Tussen spanning en stroom is de relatie gelineariseerd. De relatie is niets anders dan de wet van Ohm, toegepast op de verbindingen. Daarom kan geconcludeerd worden dat hetgeen voor de som van twee stochastische stromen geldt, ook geldt voor de som van twee stochastische spanningen. De gemiddelde waarden en de stochastische variabelen kunnen separaat worden behandeld. Dit wordt op basis van superpositie aangepakt. Als uitgangspunt van de methode wordt de volledig opgeloste loadflow voor de gemiddelden van alle belastingen uitgerekend. De gemiddelden hebben geen stochastische component, zodat de gebruikelijke methode van loadflowberekening kan worden toegepast. De resultaten worden bewaard en leveren de gemiddelde waarden voor alle stromen en spanningen in het net. Vervolgens wordt van alle belastingen de stochastische stroomcomponent bepaald, waarna voor iedere belasting afzonderlijk de invloed op de varianties van stromen en spanningen in het net worden berekend en bewaard. Deze berekeningen vinden plaats door op het passieve netwerk per belasting een stroom ter grootte van de standaarddeviatie te injecteren. Daarbij zijn alle spanningsbronnen vervangen door een kortsluiting en alle andere stroombronnen vervangen door een opening. Dit is identiek aan de procedure die bij een kortsluitberekening volgens IEC 699 wordt gevolgd. Per belasting wordt de stochastische component vastgesteld. Deze wordt voor knooppunt i voorgesteld door î i. De methode werkt met stroominjectie, zoals dat in de methode van IEC 699 gebeurt. De invloed van de stochastische component wordt berekend door op het passieve netwerk een stroom ter grootte van de standaarddeviatie van de stochastische component te injecteren. i = σ = var(ˆ i (6 inj, i i i Doordat in het passieve netwerk alle spanningsbronnen zijn vervangen door kortsluitingen en alle stroombronnen zijn vervangen door een opening, heeft de stroominjectie tot gevolg dat alle berekende stromen en spanningen in het passieve netwerk volledig veroorzaakt zijn door deze ene geïnjecteerde stroom. Dat mag, omdat het netwerk voor het nominale werkpunt gelineariseerd is. In overeenstemming met het gestelde in het vorige hoofdstuk is het kwadraat van iedere takstroom gelijk aan de variantie van de stroom in de betreffende tak, veroorzaakt door de stochastische component van de belasting op knooppunt i. Dat geldt ook voor de spanningen: het kwadraat van de spanning op een knooppunt is gelijk aan de variantie van de spanning op dat knooppunt, veroorzaakt
8-5 pmo door de stochastische component van de belasting op knooppunt i. Alle berekende stromen en spanningen worden bewaard voor latere bewerking. Opwekking Belasting Admittantienetwerk [Y] i inj,i Z gen,i Figuur 7 Berekening van een stochastische component De berekening van de stochastische loadflow bestaat dus uit het berekenen van de loadflow van de gemiddelde situatie en achtereenvolgens één voor één de gevolgen van een stroominjectie op ieder belastingsknooppunt. De resultaten van de stroominjectieberekeningen worden gekwadrateerd en opgeteld. Het resultaat levert de varianties van takstromen en knooppuntspanningen in het netwerk, veroorzaakt door alle stochastische belastingen. Met de resultaten van de loadflowberekening kunnen de te verwachten maxima en minima berekend worden. Alle varianties in het netwerk, veroorzaakt door onafhankelijke stochastische belastingen, mogen vervolgens gewoon gesommeerd worden: var( i var( u tak, jk = knooppunt, k N i= = var( i N i= tak, jk, i var( u knooppunt, k, i (7 Volgens vergelijking (3 is C σ gelijk aan het verschil tussen P max, en P gem,. Dat betekent dat bij een keuze van C gelijk aan de spreiding gelijk is aan het genoemde verschil. De maxima en minima van spanning en stroom in het netwerk volgen uit de resultaten door bij de berekende gemiddelde waarde een constante factor maal de spreiding op te tellen, respectievelijk af te trekken, waarbij de constante factor dezelfde is als die gebruikt is bij het vaststellen van de spreiding van de stochastische belasting. Voor de spanning volgt dan: max( u = E( u + C σ ( u min( u = E( u tak, jk C σ ( u (8 Voor de stroom volgt dan: max( i = E( i + C σ ( i min( i tak, jk = E( i C σ ( i (9
8-5 pmo 5 CONCLUSIE Het model van de stochastische belasting is afgeleid uit de modellen van Rusck en Strand-Axelsson. Bij de modellering is uitgegaan van een normale kansverdelingsfunctie. Voor het rekenen met de stochastische loadflow is geen nieuwe invoer nodig. De probabilistische parameters zijn afgeleid van de bestaande Strand-Axelssonparameters. In her resultaat worden de maxima en minima voor stroom en spanning bepaald uit gemiddelde waarde en spreiding, vermenigvuldigd met dezelfde constante als gebruikt bij het vaststellen van de stochastische belasting. 6 LITERATUUR Phase, 2 a Phase to Phase: Stochastische loadflow, Beschrijving model belasting ; Rapport nr. -95 pmo, 25--2 Phase, 2 b Phase to Phase: Stochastische loadflow, Beschrijving algoritme van de stochastische loadflow ; Rapport nr. 97 pmo, 26--2 Phase, 28 Phase to Phase: Relatie Strand-Axelsson en Rusck en de afleiding van gemiddelde en spreiding voor stochastische loadflow ; Rapport nr. 8-4 pmo, 22 januari 28 EnergieNed, 996 EnergieNed: Elektriciteitsdistributienetten, Kluwer Techniek, 996 Rusck, 956 Sune Rusck: The Simultaneous Demand in Distribution Network Supplying Domestic Customers, ASEA Journal 956, pp 59-6 StrAx, 975 B. Axelsson, C.G. Strand: Computer as controller and surveyor of electrical distribution systems for 2,, 6 and.4 kv, A.I.M., Liège, CIRED 975