NATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE Tweede ronde - theorie toets 21 juni 2000 beschikbare tijd : 2 x 2 uur
52 --- 12 de tweede ronde DEEL I 1. Eugenia. Onlangs is met een telescoop vanaf de Aarde de ongeveer 215km grote planetoïde Eugenia gefotografeerd waar omheen een maantje met een diameter van ongeveer 13km draait in een bijna cirkelvormige baan met een straal van 1190km. De omloopstijd van het maantje is 4,7 dagen. Bereken de gemiddelde dichtheid van het materiaal waaruit Eugenia bestaat. Welke conclusie kan men daaruit met enige zekerheid trekken omtrent het soort materiaal waaruit Eugenia bestaat? 2. Een motor. De cyclus van het gas in een bepaald type motor verloopt in vier gedeelten. De afgesloten hoeveelheid gas bevindt zich in een toestand met een volume V 0, een druk p 0 en een temperatuur T 0. In het eerste deel van de cyclus expandeert het gas isotherm tot een volume van V 1 = 11V 0. Daarna koelt het gas bij constant volume af tot een temperatuur T 2 en een druk p 2. In het derde deel wordt het gas bij constante druk samengeperst tot een volume V 3 = 10V 0. In het vierde deel van de cyclus wordt het gas adiabatisch samengeperst tot het oorspronkelijke volume V 0. Het gas in de motor mag als een ideaal twee-atomig gas beschouwd worden. a. Bereken alle drukken en temperaturen in de punten tussen de vier delen van de cyclus, uitgedrukt in p 0, V 0 en T 0. b. Bereken in elk deel van cyclus de opgenomen/afgestane warmte en c. Bereken daaruit het rendement van deze motor. 3. De Etna. Op de foto is een uitbarsting van de Etna te zien. De banen van de uitgespuwde, gloeiende stenen zijn op de s nachts genomen foto duidelijk te zien. Bij nadere bestudering blijkt dat de banen geen perfecte parabolen zijn. De luchtweerstand zou daar de oorzaak van kunnen zijn.
12.2 theorie toets --- 53 Veronderstel dat de stenen niet alleen onderhevig zijn aan de zwaartekracht maar ook aan een luchtwrijving die evenredig met en tegengesteld gericht is aan de snelheid van de stenen. a. Geef, met behulp van de wet van Newton, de vergelijking(en) die, uitgaande van bovenstaande veronderstelling, de beweging van de stenen beschrijven. b. Laat zien dat de verticale en horizontale componenten van de snelheid volgens een e-macht afnemen met de tijd. Met een filmopname is de baan van één van de stenen vastgelegd en de positie ervan elke seconde bepaald. c. Bepaal of de gevolgde baan in overeenstemming is met de veronderstelling omtrent de luchtwrijving. 4. Golven die vanuit zee naar het strand rollen komen, ongeacht hun oorspronkelijke bewegingsrichting, bijna altijd evenwijdig aan de kustlijn aan. Dat verschijnsel is te begrijpen door te bedenken dat ten gevolge van een veranderende voortplantings-snelheid golven continue gebroken worden als ze vanuit de zee naar ondiep water lopen. De voortplantings-snelheid van de golven is evenredig met. Hierin is g de versnelling van Foto AP t(s) x (m) y(m) 0 0 0 1 31 163 2 58 267 3 81 318 4 100 326 5 117 296 6 131 235 7 143 146 8 153 34 9 162-98 de zwaartekracht en h de diepte van het water. Stel h = f(y), waarbij de y de afstand tot het strand is. Voor watergolven geldt eenzelfde brekingswet als voor licht (de wet van Snellius). a. Stel dat in een bepaald punt (x,y) de voortplantingsrichting van een golf een hoek " maakt met lijn loodrecht op de kustlijn. Leidt hieruit een (differentiaal)-vergelijking af die de voortplantingsrichting van deze golf beschrijft. b. Laat zien dat vlak bij de kust de golven evenwijdig aan de kustlijn aankomen.
54 --- 12 de tweede ronde DEEL II 5. De fiets van Pim. Pim fietst met zijn driewielertje op een helling. De trappers zijn bevestigd aan de as van het voorwiel. De wrijvingscoëfficiënt tussen het wegdek en de voorband f = 0,4. De afstand van het zwaartepunt van Pim met z n fiets tot de voor- en achterassen, is evengroot. De afstand H van het zwaartepunt van Pim met z n fiets tot het wegdek is de helft van de afstand tussen de voor- en achterassen D; dus H = ½D. Bereken de maximale hoek van de helling die Pim nog net kan oprijden (voorop gesteld dat Pim sterk genoeg is, wat ook inderdaad het geval is). 6. De schoorsteen. Voor het aantal kubieke meters gas (het debiet) dat per seconde door een pijp met lengte L en diameter D stroomt en waar tussen de voor- en achterkant van de pijp een drukverschil )p staat, geldt: De viscositeitscoëfficiënt van het gas is 0. Bij de afleiding van deze formule is er vanuit gegaan dat de lucht laminair stroomt, aan inwendige wrijving onderhevig is en dat de lucht die met de wand contact heeft, stil staat. Beschouw een cilindervormige schoorsteen met een lengte van 60m en een diameter van 5m. De lucht in de schoorsteen heeft een gemiddelde temperatuur T = 310K, terwijl de temperatuur van de buitenlucht T 0 = 300K. Voor lucht van 300K is de dichtheid 1,18 kg/m 3 en is de viscositeitscoëfficiënt 0 = 1,7. 10-5 Pa.s Bereken het debiet van deze schoorsteen. 7. Verval van een K_meson Een bundel K_mesonen wordt in een bellenvat geschoten. Een bepaald K_meson treft daar een proton waarna een _deeltje, een K + meson en een neutraal K 0 meson ontstaan. In de tekening gebeurt dit in punt P. Het K 0 meson vervalt daarna, in het punt Q,
12.2 theorie toets --- 55 in een positief + meson en een negatief _meson. Aangezien er loodrecht op het vlak van tekening een magneetveld B is aangebracht, beschrijven de geladen mesonen cirkelvormige banen. De massa van een meson = 139,6 MeV/c 2. a. Leidt de straal R af van de cirkelbaan die een geladen deeltje in een magneetveld beschrijft als functie van p, q en B. Hierin is q de lading van het deeltje en p de impuls, die loodrecht staat op het magneetveld B. Gegeven is tevens dat de cyclotron-frequentie. De magnetische veldsterkte B = 2,18T. De straal van de cirkelvormige baan die het _meson beschrijft is: R_ = 0,65m. b. Laat zien dat de impuls p B_ van het _meson = 425 MeV/c c. Bereken de grootte van de impuls p B+ van het + meson, uitgedrukt in MeV/c. d. Bereken de grootte van de impuls p K0 van het K 0 meson, uitgedrukt in MeV/c. e. Bereken de grootte van de energie E K0 van het K 0 meson, uitgedrukt in MeV. f. Bereken de massa m K0 van het K 0 meson, uitgedrukt in MeV/c 2. De afstand van P tot Q is 0,057m. g. Bereken de levensduur van het K 0 meson in z'n eigen stelsel. 8. Een elektrisch circuit Een spoel met coëfficiënt van zelfinductie L staat parallel aan een condensator met capaciteit C. Dit geheel staat in serie met een weerstand R en een batterij met een vaste spanning V 0 en een schakelaar S. Op het tijdstip t = 0 wordt de schakelaar S gesloten. De, oorspronkelijk ongeladen, condensator wordt opgeladen met een stroom i 1, terwijl door de spoel een stroom i 2 loopt. Beide stromen zijn functies van de tijd. a. Geef in een tabel voor de tijdstippen t = 0 en t = de waarden van i 1, i 2 en spanning over de condensator V C.
56 --- 12 de tweede ronde Door de vergelijking voor de totale stroom (i 1 + i 2 ) die door de weerstand R loopt naar de tijd te differentiëren, krijgt men, na substitutie, een homogene, tweede orde differentiaal-vergelijking in V C. b. Laat zien dat de oplossing voor ons probleem van deze vergelijking voldoet aan de vorm: c. en druk en uit in de grootheden R, L en C.