Duur 45 minuten Overzicht Tijdens deze lesactiviteit leer je hoe de waarde van een parameter in een functievoorschrift de vorm of ligging van de functie kan beïnvloeden. Je gaat dit onderzoeken voor tweedegraadsfuncties. Concepten Tweedegraadsfunctie, top, raaklijn, parametervergelijking, elimineren, Voorbereiding van de leraar De leerlingen moeten vertrouwd zijn met tweedegraadsfuncties en het begrip parameter. Klasorganisatie Deze lesactiviteit wordt geleid door de leerkracht. Nadien kunnen de leerlingen de aangeleerde technieken inoefenen aan de hand van enkele opgaves. TI-Nspire toepassingen De rekenmachine-toepassing, de grafieken en meetkunde toepassing Opgave In het algemeen voorschrift van een tweedegraadsfunctie f(x) = ax² + bx + c kennen we de betekenis van a en c, maar wat is de betekenis van b? 008 T³-Vlaanderen Pagina 1
1. Gebruik van de grafieken en meetkunde-toepassing We definiëren een functie f1(x) = x² + bx + 3 en tekenen de grafiek van deze functie voor verschillende waarden van b. Je gaat als volgt te werk: Open een nieuw bestand via c en kies 6: Nieuw document. Kies Grafieken en Meetkunde toevoegen. Druk herhaaldelijk e om van de invoerregel voor functies naar het grafisch scherm te gaan. We definiëren een punt op de x-as: druk b > 6: Punten en lijnen > : Punt op Navigeer met de cursor naar de x-as tot er punt op verschijnt Druk B, het punt wordt getekend en krijgt de naam b. Druk d om de punt-op bewerking te beëindigen. We willen nu de coördinaten van b zichtbaar maken: druk b > 1: Acties > 6: Coördinaten en vergelijkingen Pagina 008 T³-Vlaanderen
Navigeer naar punt b, zodat de cursor verandert in een handje en druk om de coördinaten op het scherm te plaatsen. Druk d om de coördinaten en vergelijkingen -functie te beëindigen. Navigeer naar de coördinaten tot een open hand verschijnt met de vermelding tekst, sluit de hand met /a en versleep de coördinaten naar een andere positie, druk om de positie te verankeren. We willen nu de x- coördinaat gebruiken als waarde voor b in het functievoorschrift f1(x) = x² + bx + 3. Daarom zullen we deze x- coördinaat koppelen aan een variabele met de naam b. We zullen ook het aantal decimalen beperken. Je gaat als volgt te werk: Navigeer naar de x-coördinaat en selecteer deze met de kliktoets a. De x- coördinaat kleurt grijs. Activeer het contextmenu via /b > : Eigenschappen Gebruik de pijltoetsen om het aantal decimalen te beperken tot. Bevestig met. Selecteer de x-coördinaat opnieuw met a. Kies opnieuw het contextmenu via /b en kies nu voor 5:Opslaan en overtyp var met B De x-coördinaat verschijnt nu in het vet: de waarde is gekoppeld aan een variabele. Versleep het punt b op de x-as, de x-coördinaat wijzigt mee 008 T³-Vlaanderen Pagina 3
Even opletten! Je hebt nu een soort schuifbalk gemaakt voor de variabele b: door het punt te verschuiven, verandert de waarde van de variabele b. Indien je het punt van de schuifbalk tussen twee markeringsstreepjes op de x-as kiest, kan b continu variëren. Indien je het punt op een markeringsstreepje plaatst, zal b discrete waarden aannemen omdat tijdens het schuiven het punt verspringt van het ene naar het andere markeringsstreepje. We willen nu de functie f1(x) = x² + bx + 3 in een grafiek weergeven en nagaan hoe de functie verandert als we de waarde van b veranderen. Je gaat als volgt te werk: Ga met e naar de invoerregel. Definieer f1(x) = x² + bx + 3. Bevestig met Druk herhaaldelijk e om naar de grafiek te gaan. Selecteer het label bij het voorschrift via a en verwijder het met. Verschuif nu het punt B en kijk wat er gebeurt. We willen nu beter begrijpen welke beweging de parabool maakt, bij het veranderen van de waarde van b b b. De parabool y = x + bx+ 3= x+ + 3 is een verschuiving van y = x en glijdt langs de 4 kantelende rechte y = bx+ 3 die de parabool raakt in het vaste punt ( 0,3 ). Om dit in beeld te brengen tekenen we de grafiek van functie f(x) = bx + 3: Gebruik e om naar de invoerregel te gaan. Bevestig met Druk herhaaldelijk e om weer naar de grafiek terug te keren. Verwijder het label bij de rechte Verschuif B en interpreteer het resultaat. b b Observeer nu de top,3 van y = x + bx+ 3. Het valt ons op dat deze op een gebogen lijn 4 lijkt te bewegen. Kunnen we deze lijn zichtbaar maken? Pagina 4 008 T³-Vlaanderen
Om dit te doen, gaan we als volgt te werk: Open een nieuwe pagina rekenmachine via c We definiëren een rij b-waarden door de volgende commando s in te tikken: bwaarden : = seq( x, x, 10,10,0.5), gevolgd door bwaarden xtop : =, gevolgd door bwaarden ytop : = 3, gevolgd door 4 De rijen xtop en ytop bevatten de coördinaten van de top voor verschillende waarden van b uit het interval [-10, 10]. We willen die punten nu grafisch voorstellen. Je gaat als volgt te werk: Ga terug naar de grafiektoepassing via /e, Kies het grafiektype puntenwolk via b > 3:Grafiektype > 4:Puntenwolk, Druk bij x op en kies xtop voor x Druk e om naar y te springen, druk op en kies ytop De parabooltoppen schijnen zelf op een parabool te liggen. Wijzig vervolgens de waarde van b naar 0 op het grafisch scherm, door de x- coördinaat aan te klikken en in 0 te veranderen. De toppen liggen op een parabool, die het spiegelbeeld is van de parabool topraaklijn y = 3. Je kan dit ook aantonen: De toppenparabool heeft als parametervergelijking parameter. Eliminatie van b levert inderdaad de vergelijking y = 3 x. y = x + 3 t.o.v. zijn b x = b y = 3 4, met b als 008 T³-Vlaanderen Pagina 5
Opdracht 1 Toon aan dat als je b verandert in f(x) = ax² + bx + c de top van de parabool verschuift over de parabool y = c ax. Creëer een nieuwe opgave met daarin een rekenmachinepagina. Definieer f(x) en bereken de coördinaat van de top. Elemineer b uit deze parametervergelijkingen. Formuleer een besluit. Sla het bestand op onder de naam parabool in de map MIJN DOCUMENTEN Opdracht Definieer de algemene sinusfunctie sin(x) = a sin (bx + c) + d. Ga na hoe de waarden van de verschillende parameters de vorm van de sinusfunctie beïnvloeden. Open een nieuw document. Ga naar de lijsten en spreadsheet toepassing en tik in de kolom a de letters a, b, c en d onder elkaar. Tik in kolom B naast deze letters een waarde voor deze parameters. Vb. 1, 1, -π, (Pi vind je via de knop & of via /k) Koppel elk van deze waarden aan een variabele met de letters a, b, c en d. Ga hiervoor in de cel met de ingevoerde waarde staan en druk op de knop h > 1:Var opslaan en overtyp var met de variabelenaam. Maak nu een nieuwe indeling zodat het scherm gesplitst wordt in verticale stukken. Spring naar het lege stuk van het scherm via /e Maak in het lege stuk van het scherm een grafiek van de functie f1(x) = a sin (bx + c) + d Keer via /e naar de spreadsheet terug om de waarden voor a, b, c en d te veranderen. Pagina 6 008 T³-Vlaanderen