Hoofdstuk : Combinatoriek.. Telproblemen visualiseren Opgave : 3 voordeel: een wegendiagram is compacter nadeel: bij een wegendiagram moet je weten dat je moet vermenigvuldigen terwijl je bij een boomdiagram het aantal mogelijkheden kunt tellen door het aantal eindpunten te tellen. Opgave : 7 8 9 0 7 8 9 0 7 8 9 0 3 7 8 9 3 7 8 3 7 3 0 c. -3 - - 3- - - - - - - Opgave 3: ieder team speelt één keer tegen ieder ander team. rooster c. Ieder team speelt vier wedstrijden dus zou je zeggen: 0 maar dan speelt v thuis tegen v maar v speelt ook uit tegen v want deze wedstrijd tel je bij v. Dus 0 wedstrijden. d. ieder team speelt n wedstrijden, dus totaal n ( n ) wedstrijden. Opgave : per groep: 0 wedstrijden afvalfase: er moeten 7 teams afvallen dus 7 totaal: 8 0 7 wedstrijden groepsfase: 8 wedstrijden afvalfase: 3 wedstrijden totaal: 8 wedstrijden wedstrijden Opgave : BAAA, ABAA, AABA, ABBB, BABB, BBAB 3 sets: mogelijkheden (AAA of BBB) sets: mogelijkheden (zie a) sets: mogelijkheden (BBAAA, BABAA, BAABA, ABBAA, ABABA, AABBA dus A kan op manieren winnen, dus B ook) GETAL EN RUIMTE VWO WA/C DH. - - AUGUSTINIANUM (LW)
totaal: 0 mogelijkheden Opgave : De eerste en derde baan mogen dezelfde kleur hebben, dus 3 mogelijkheden. Opgave 7: Som 8 9 0 7 8 9 0 7 8 9 0 7 8 9 7 8 3 7 3 3 3 product 8 8 3 7 7 8 8 0 0 8 3 3 9 8 3 3 8 c. 3 Opgave 8: mogelijkheden ;,,,,, som : mogelijkheden som 7: 3 mogelijkheden ;,, som 8: mogelijkheid ; dus totaal 3 0 c. 0 mogelijkheden ;,,,3, 3, 3, 3, 3, 3, Opgave 9: sport muziek wel niet wel 8 0 8 niet 0 0 3 Dus 8 leerlingen doen aan sport en muziek. Opgave 0: wiskunde voldoende onvoldoende Engels voldoende 7 onvoldoende 7 8 Dus leerlingen hebben voor beide vakken een voldoende. GETAL EN RUIMTE VWO WA/C DH. - - AUGUSTINIANUM (LW)
Opgave : technische staat auto alcohol geen te veel goed 0 70 80 slecht 3 3 7 Dus 0 bestuurders kregen geen bekeuring. 0 Dat is 00% 80% GETAL EN RUIMTE VWO WA/C DH. - 3 - AUGUSTINIANUM (LW)
. Tellen met en zonder herhaling Opgave : 3 30 0 Opgave 3: 0 3 c. AAC of ACA of CAA dus 0 0 d. 3 90 e. 3 keer geel of 3 keer rood of 3 keer blauw of 3 keer groen 0 f. ggr of grg of rgg dus Opgave : 8 0 (8 ) 3 Opgave : 0 3 c. 3 3 7 d. 3 e. vff of fvf of ffv dus 3 3 3 8 Opgave : Omdat ze al dan niet een jasje draagt heeft ze wat betreft het jasje dus een extra mogelijkheid. 3 3 ( 3) ( ) 00 c. 30 Opgave 7: de tweede letter moet anders zijn dan de eerste: 3 de letters mogen gelijk zijn: Opgave 8: 3 30 het eerste cijfer is dus 3, of dus 3 3 80 c. als het eerste cijfer een is dan moet het tweede cijfer een,,7 of 8 zijn of het eerste cijfer is een 7 of een 8, de overige cijfers maken dan niet uit 7 Opgave 9: 3 77 0 c. 7 (de eerste en derde letter mogen gelijk zijn) GETAL EN RUIMTE WAC DH. - - AUGUSTINIANUM (LW)
Opgave 0: 0 0 0 77000 0 0 0 88000 c. 0 9 0 9 8 700 d. 0 0 7 0 797000 Opgave : 0 c. 3 3 d. een mogelijke code is, dat kan op 3 manieren aangezien het andere symbool op plaatsen kan staan zijn er dus 3 codes Opgave : Voor ieder hokje zijn er twee mogelijkheden: wel of niet zwart, dus 333. 333 :00 0, 33, 3 mm 33, m c. Er zijn nog 9 hokjes over om wel of niet zwart te kleuren, dus 9. Opgave 3: 970 980 c. drank jongen, hapjes meisje: 00 drank meisje, hapjes jongen: 00 dus totaal 00 00 9000 Opgave : 3 3 jmjmjmj dus 33 c. 3 70 d. 3 0 e. P..P of E..E dus 3 3 3 90 f. mjj. of jmm. dus 3 3 3 3 3 0 Opgave : elke letter hoogstens één keer: 0 elke letter vaker: 3 geen gelijke letters: 3 3 3 9 3 wel gelijke letters: 98 Opgave : het eerste cijfer is een, 3 of dus 3 3 3 97 3 30 c. eerste cijfer tweede cijfer derde cijfer of 7 of 7 of 7 geen of 7 geen geen 33 Dus totaal: 9 GETAL EN RUIMTE WAC DH. - - AUGUSTINIANUM (LW)
d. eerste cijfer tweede cijfer derde cijfer 0 0 0 geen geen geen = 33 30 dus totaal: 0 0 0 30 80 Opgave 7: 0 9 8 7 99800 7 3380 c. 8 9989 d. 93 Opgave 8: 70 0 c. 7 7 d. 9 8 7 0 e. de eerste leerling is en de tweede leerling is of de eerste leerling is 7 en dan is de tweede leerling of 9 7 (9 ) 3 Opgave 9: een code van vier letters waarbij gelijke letters zijn toegestaan een code van drie verschillende letters c. een code van twee verschillende letters of een code van drie letters waarbij gelijke letters zijn toegestaan d. een code van drie letters waarbij twee naast elkaar staande letters moeten verschillen GETAL EN RUIMTE WAC DH. - 7 - AUGUSTINIANUM (LW)
.3 Permutaties Opgave 30: 0 9 8 70 0 9 8 7 3 38800 Opgave 3: n Pr 900 Opgave 3: n Pr 0 338800 Opgave 33:! 3! Opgave 3:! 70 manieren dus 70 0 sec min 8! 030 manieren dus 030 800 sec, uur Opgave 3: 9! 3880 9 8 7 c. 9 n Pr 080 Opgave 3: hoeveel codes zijn er met zes verschillende letters? hoeveel codes zijn er met 3 verschillende letters? c. hoeveel codes van vier letters zijn er als iedere letter meerdere keren mag voorkomen? d. hoeveel codes van vier letters zijn er die beginnen met een a of een b en waarbij de overige letters geen a of b zijn maar een letter wel vaker gebruikt mag worden? Opgave 37: 8! 030 Als je de wiskundeboeken als één blok ziet zijn er! manieren om het blok wiskundeboeken en de drie scheikundeboeken te verwisselen. Maar de wiskundeboeken kun je onderling ook op! manieren verwisselen. Dus totaal!! 880 manieren. c.! 3! 3!! 0 Opgave 38: 3 7! 300!! 780 c. er zijn drie manieren om de romantische stukken om en om te spelen; namelijk: r. r. r. r.. of. r. r. r. r. of.. r. r. r. r GETAL EN RUIMTE VWO WA/C DH.3-8 - AUGUSTINIANUM (LW)
dus: 3 3 3 3 33 80 of sneller: 3!! 80 d. de drie genres kun je op 3! manieren verwisselen dus 3! 3!!! 78 Opgave 39: DOP, DPO, OPD, ODP, POD, PDO POP, PPO, OPP c. als je de twee P s verwisselt staat er hetzelfde woord, dus de twee P s kun je op! 3! manieren verwisselen, dus er zijn 3 manieren.! Opgave 0: 9! 70!! 9! 70!! c.! 338800 3!!!!! d.! 30!!! Opgave : 0! 00! 3! 3! GETAL EN RUIMTE VWO WA/C DH.3-9 - AUGUSTINIANUM (LW)
. Combinaties Opgave : n Pr : Opgave 3: combinatie permutatie c. combinatie d. combinatie e. permutatie Opgave : 8 300 800 c. 0 0 Opgave : 0 3 0 c. 0 7 80 d. 9 n Pr 000 e. je hebt dus eigenlijk 9 plaatsen: keer klassiek, keer pop en 7 keer Nederlandstalig 0 dus: 9!! 0!,3 0 f. 7 3 3 Opgave : 3003 3 87 dus het aantal vermindert met: 3003 87 7 Opgave 7: 8 3080 8 8! 030 GETAL EN RUIMTE VWO WA/C DH. - 0 - AUGUSTINIANUM (LW)
GETAL EN RUIMTE VWO WA/C DH. - - AUGUSTINIANUM (LW) c. 8 d. 3870 0 Opgave 8: 0 9390 0 c. 0 0 0 Opgave 9: 80 3 9 3 c. 9 d. meer dan vier jongens is hetzelfde als hoogstens één meisje, dus zie opgave c: Opgave 0: 80 3 je let op blauw of niet blauw, dus je hebt vijf blauwe en zeven niet blauwe knikkers. 3 7 c. 33 8 8 d. 7 Opgave : 0 3 0 c. Opgave : 30030 8 3
3 33 03900 0 3 3 c. 93700 3 33 3 d. 30733780 7 8 3 e. 789700 Opgave 3: 7 3 30 3 3 3 3 33 3 c. vlees + vis of vlees + 3 vis of 3 vlees + vis of 3 vlees + 3 vis 7 7 7 7 0 per soort pizza 3 3 3 3 Dus total: 30 330 Opgave : 3 8 300 Kies eerst de twee aanvallers, dat kan op manieren. De drie overgebleven aanvallers komen nu bij de zes middenvelders, dus heb je 9 negen middenvelders waarvan je er vier moet kiezen, dat kan op manieren 9 8 3 Dus totaal: 00 Opgave : nee, want het aantal verschillende combinaties is 7090 het verschil is dus 7090 000000 090 7 3 3 miljoen bedraagt de netto winst 3000000 per deelnemer: 0 00 0 per jaar, 7 per maand Opgave : op hoeveel manieren kun je zeven mensen op een rij zetten? op hoeveel manieren kun je drie mensen kiezen uit een groep van zeven mensen? GETAL EN RUIMTE VWO WA/C DH. - - AUGUSTINIANUM (LW)
c. maak een code door eerst een letter te kiezen uit a,b,c,d,e,f of g en daarna een cijfer te kiezen uit, of 3. Hoeveel verschillende codes kun je zo maken? d. Hoeveel codes van drie letters kun je maken uit a,b,c,d,e,f of g als gelijke letters zijn toegestaan? e. Op hoeveel manieren kun je zeven driekeuzevragen invullen? f. Op hoeveel manieren kun je een top-drie samenstellen uit zeven boeken? Opgave 7: 7 7 7 7 7 7 0 7 7 want van 7 dingen er 0 kiezen kan op manier, namelijk allemaal niet kiezen 0 7 7 want van 7 dingen er kiezen kan op 7 manieren 7 7 want als je van de 7 dingen er kiest kies je er niet dus is het eigenlijk 7 hetzelfde als 7 7 want als je van 7 dingen er 7 moet kiezen kan dat op manier door ze 7 namelijk allemaal te kiezen n c. 0 n n n n n n n Opgave 8: 0 0 0, 0 30 8, 0 c. 8 3 0 3 3 Opgave 9: 0 9 80 3 Opgave 0: Als je de ene groep gekozen hebt, ligt de andere groep vast. 73 3 8 GETAL EN RUIMTE VWO WA/C DH. - 3 - AUGUSTINIANUM (LW)
Opgave : Kies er eerst 3 uit, dus 3 9 Dan heb je er nog 9 over waarvan je er moet kiezen, dus. Tot slot moet je de overgebleven stuks allemaal kiezen, dus. 9 Dus totaal:. 3! Of: je hebt 3 keer groep A, keer groep B en keer groep C, dus 3!!! GETAL EN RUIMTE VWO WA/C DH. - - AUGUSTINIANUM (LW)
. De driehoek van Pascal Opgave : combinaties, het gaat er alleen om welke twee vierkantjes je groen maakt, niet in welke volgorde. Opgave 3: 0 0 0 8 c. 0 d. 8 e. 8 3 Opgave : 0 087 0 0 0 0 0 0 0 c. 9 7 8 9 0 9 dat is 00% 0,% 087 Opgave : voor ieder lampje zijn er twee mogelijkheden: aan of uit. dus totaal 9 88 9 8 c. 9 9 0 0 d. je houdt nog lampjes over die aan of uit kunnen zijn, dus 3 Opgave : 79 8 770 c. 9 7700 3 GETAL EN RUIMTE VWO WA/C DH. - - AUGUSTINIANUM (LW)
GETAL EN RUIMTE VWO WA/C DH. - - AUGUSTINIANUM (LW) Opgave 7: OOOONNNN of ONONONON ja, nee c. 8 letters, waarvan keer een N d. 70 8 Opgave 8: 3003 0 3 8 c. 90 3 8 7 Opgave 9: 00 8 3 0 9 Opgave 70: de kortste route van P naar Q is vier keer naar rechts en dat kan maar op manier. 3 00 3 Opgave 7: 8 0390 0 8
Opgave 7: c. 0 3 Opgave 73: 9 8 Opgave 7: je moet zes keer kiezen tussen links of rechts, maar om vanuit T in A te komen moet je twee keer naar rechts kiezen. het onderste getal geeft het aantal keer aan dat je naar rechts gaat. som: c. 3 3 0 0 0 d. 7 3 3 7 8 8 70 8 8 e. 0 0 Opgave 7: 0 0 7 0 0 c. 0 0 GETAL EN RUIMTE VWO WA/C DH. - 7 - AUGUSTINIANUM (LW)
d. 30 Opgave 7: 0 3 Opgave 77: 8 70 7 700 3 3 GETAL EN RUIMTE VWO WA/C DH. - 8 - AUGUSTINIANUM (LW)
. Diagnostische toets Opgave : 7 8 9 0 7 8 9 0 7 8 9 0 3 7 8 9 3 7 8 3 7 3 8 30 3 0 0 30 8 0 3 3 9 8 8 0 3 3 0 c. 7 som product Opgave : som 3: manier () som : 3 manieren (,, ) som : manieren (3, 3, 3,,, ) dus totaal : 3 0 0 manieren,,, 3,3, 3, 3, 3, 3, Opgave 3: moeder vader wel niet wel 0 niet 9 80 8 00 Dus van studenten heeft alleen de vader aan een universiteit gestudeerd. Opgave : 3 0 00 7 0 Opgave : 7 3 0 3 3 080 c. 7 807 d. als het eerste cijfer is, dan kan het tweede cijfer,,,7 of 8 zijn, dus: 7 3 7 of het eerste cijfer is,7 of 8, dus: 3 7 703 totaal: 7 703 898 Opgave : 8! 030 het blok jongens fietsen en de meisjes fietsen kun je op! 70 manieren rangschikken GETAL EN RUIMTE VWO WA/C DH. - 9 - AUGUSTINIANUM (LW)
de drie jongens fietsen kun je op 3! manieren rangschikken dus totaal:! 3! 30 manieren c.! 00 Opgave 7: 7! 0!! 8! 330! 3! 0! c. 3000! 3! 0! d. 700!! Opgave 8: 3 8 0 9 c. 9 3 d. 330 Opgave 9: 0 30 je hebt groep van 8 en groepen van of groepen van 7 en groep van 0 0 3 dus 9000 8 7 7 als je ook nog kijkt naar welke of groep A bv 8 personen bevat en de groepen B en C ieder, dan zijn er totaal 9000 3 78800 manieren Opgave 0: 3 870 8 c. 37 GETAL EN RUIMTE VWO WA/C DH. - 0 - AUGUSTINIANUM (LW)
GETAL EN RUIMTE VWO WA/C DH. - - AUGUSTINIANUM (LW) Opgave : 330 7 7 c. 7 3 3 Opgave : 3
Gemengde opgaven H Combinatoriek. Opgave : man vrouw jonger dan 38 7 of ouder 0 0 3 88 37 3 0 0 00% 7,3% 3 Opgave : 300 3 38 3 c.,,7 of,,8 of,7,8 of,7,8 3 3 3 97 Opgave 3: 3 Opgave : 3 8 3 30 dus ja Opgave : 3 8 9 8 3 c. CDA,PvdA,VVD of CDA,PvdA,GB of CDA,VVD,BG of PvdA,VVD,GB 33 33 3 3 39 d. 7! 3! 300 e.! 3!! 80 Opgave : 7 0 9 000880 0 3780 c. OBACO of OCABO 7 9 GETAL EN RUIMTE VWO WA/C D Gemengde opgaven H - - AUGUSTINIANUM (LW)
Opgave 7: 3 3 0 c. 3 7 d. 3 3 3 83 Opgave 8: 8 7 70 8 378 c. 0 Opgave 9: 8 kies eerst drie plaatsen voor een, dus 3 kies daarna van de vijf plaatsen drie plaatsen voor een, dus 0 3 8 dus 0 3 3 kies eerst vier verschillende cijfers, dus 8! stel je hebt 33 gekozen, die kun je op 0 manieren rangschikken!!!! dus totaal: 0 37800 8! c. stel drie keer hetzelfde cijfer, dus bv 3 dat kan op 70 manieren. 3! Maar je hebt keuze uit zes cijfers, dus 70 030 8! Stel twee keer twee dezelfde cijfers, dus bv 3 dat kan op 0080!! manieren Twee keer twee paar kiezen, kan op manieren, dus 0080 00 Totaal: 030 00 90 Opgave 0: je hebt teams dus zijn er! manieren om die te rangschikken. Stel je hebt de volgorde A-B, C-D, E-F, G-H, I-J, K-L, dan kun je deze zes paren op! manieren verwisselen, maar iedere manier levert dezelfde wedstrijden op. GETAL EN RUIMTE VWO WA/C D Gemengde opgaven H - - AUGUSTINIANUM (LW)
! Dus 80 lotingen.! 8 3 7 3 8880 c. in de voorrondes wedstrijden (uit en thuis) per poule 3 wedstrijden, dus voor twee poules wedstrijden de finale is nog wedstrijd dus totaal wedstrijden Opgave : 79 7 3 7 Opgave : 79 09 c. 9 3 d. 3 Opgave 3: 8! 0!!!!! 0! 3!!! GETAL EN RUIMTE VWO WA/C D Gemengde opgaven H - 3 - AUGUSTINIANUM (LW)