Uitwerkingen voortoets/oefentoets E3 maart/april 009 MLN UITZENDBUREAU a H 0 : p=0. ( op is een kans van 0% wel 0.) is de bewering van het uitzendbureau H : p 0. (Helena is het er niet mee eens en denkt dat die kans NIET op is) Tweezijdig, met α = 0% (% links, % rechts) b X= het aantal mensen dat een vaste baan heeft gevonden. Met de bewering van het uitzendbureau dat de verdeling Bin(70,0.) is, zou E(X)=0. 70=4 zijn. In het onderzoek blijken het er 9 te zijn. P(X 9) = P(X 8) = binomcdf(70,0.,8) = 3.46E-. Dit is kleiner dan ½α dus H 0 wordt verworpen. Het uitzendbureau krijgt géén gelijk. c H 0 : p=0. ( op is een kans van 0% wel 0.) is de bewering van het uitzendbureau H : p<0. (Edwin denkt dat die kans minder dan op is) Eenzijdig, met α = 0% d P(X 4) = binomcdf(70,0.,4) = 0.709 Dit is groter dan α, dus H 0 wordt NIET verworpen, Het uitzendbureau krijgt gelijk. OPMERKING: laat je niet verrassen door 'rare' uitkomsten: heel veel groter kleiner dan α kan er best wel uitkomen. Bij d had je bijvoorbeeld zelfs zonder berekening al kunnen zien dat de overschrijdingskans in de buurt van de 0% lag (waarom?). Maak een tekening en geef 'het zwarte gebied' aan waar alle uitkomsten in liggen waar H 0 wordt verworpen. BECEL PRO ACTIEF a Onderzoeksresultaten zijn + (cholesterol verlagend), 0 (werkt niet) en (cholesterol verhogend). Tekentoets H 0 : p=0. Becel heeft geen invloed op het cholesterolgehalte H : p>0. Becel werkt cholesterolverlagend n = 4 3 = 4 X=aantal gevallen van verlaagd cholesterol, E(X)=0. 4=. X= in dit onderzoek Bin(4,0.) b P(X ) = binomcdf(4,0.,4) = 0.4 Dit is groter dan 0.0 (α), dus H 0 wordt NIET verworpen. Dat betekent dat deze steekproefuitkomst géén aanleiding geeft om te concluderen dat Becel cholesterolverlagend werkt. c Het verhaal zou kunnen zijn: JA, ik zou het wel aanraden, want er lijkt wel degelijk een cholesterolverlagende werking van Becel uit te gaan. Een overschrijdingskans van 0.4 betekent toch best wel een invloed van het middel NEE, ik zou het niet aanraden. Die fabrikant kan me nog meer vertellen, maar het cholesterolverlagende effect had net zo goed veroorzaakt kunnen zijn door het toeval. Beide antwoorden zijn correct! Belangrijk is de redenering die achter je conclusie steekt.
REM-SLAAP 3a Norm(0,0) uur4 minuten is 0 minuten. Het werkt makkelijker om alles in minuten tuit te rekenen. Je zou net zo goed kunnen kiezen voor een verdeling Norm(¾,/6) Kies zelf maar. X=lengte van de REM-slaap P(X 0) = normalcdf(0,e99,0,0) 0,0668, afgerond op 3 decimalen: 0.067 Eigenlijk zou je hier de continuïteitscorrectie moeten gebruiken omdat de betekenis van 0 minuten eigenlijk de klasse [9.,0.> is. normalcdf(0.,e99,0,0) 0.0607, afgerond op 3 decimalen: 0.06 Geef bij je berekening/antwoord altijd aan waarom je wel juist niet de continuïteitscorrectie gebruikt. NB: bij werken met Norm(¾,/6) is het gebruiken van de continuïteitscorrectie wel lastig 3b Er wordt een gemiddelde tijd van 0 studenten gemeten: de n - wet! De standaardafwijking verandert: σ = 0/ 0. H 0 : µ = 0 uur en 4 minuten H : µ < 0 REM-slaap duurt korter Éénzijdig toetsen, α = 0.0 X=lengte REM-slaap P(X 99) = normalcdf(-e99,99,0,0/ 0) = 0.0036 < 0.0 Conclusie: H 0 wordt verworpen en H wordt geaccepteerd. De REM-slaap van studenten is de nacht voorafgaand aan een belangrijk tentamen significant korter. (Ook nu: als je de continuïteitscorrectie gebruikt: normalcdf(-e99,99.,0,0/ 0) = 0.0069 < 0.0. De conclusie blijft dezelfde) Je kunt ook beargumenteren dat je in dit geval tweezijdig moet toetsen:'afwijkt van normaal' kan betekenen : langer korter. De conclusie verandert daar niet door. BUSMAATSCHAPPIJ 4a Het gaat hier om een verdeling Bin(30,0.8) X=het aantal ritten dat op tijd vertrekt. P(X=3) = binompdf(30,0.8,3) 0,4 4b P(X 9) = P(X 8) = binomcdf(30,0.8,8) 0.0 4c Let op: hoogstens twee ritten NIET OP TIJD. Verdeling Bin(30,0.) want de kans dat een bus niet op tijd vertrekt is 0.8=0. Y=aantal ritten dat niet op tijd vertrekt Hoogstens twee ritten niet op tijd betekent Y P(Y ) = binomcdf(30,0.,) 0.044
ASTRONAUTEN a Maak een boomdiagram als je dit niet ziet. Eerste vertakking (test) kans van 0. om te slagen en van 0.9 om te zakken Tweede vertakking (alleen na zakken voor de eerste test) kans van 0. om te slagen en 0.9 om te zakken. Derde vertakking (alleen na zakken voor de tweede test) kans van 0. om te slagen en 0.9 om te zakken. Om definitief afgewezen te worden moet je achtereenvolgens zakken voor de eerste, de tweede en de derde test. De kans daarop is: 0.9 0.9 0.9 = 0.79 Dat betekent 7.9 % kans om te worden afgewezen (let op: er werd een percentage gevraagd!) b Stochast X is het aantal tests dat een kandidaat moet ondergaan. X kan de waarden, 3 aannemen. P(X=) = 0. De kandidaat slaagt voor de eerste test P(X=)= 0.9 0. = 0.09 De kandidaat zakt voor de eerste test, en slaagt voor de tweede P(X=3) = (0.+0.09) = 0.8 Alle andere gevallen E(X)= 0.+ 0.09+3 0.8 =.7 c Voor de eerste test is de verdeling Bin(0,0.). Een kandidaat slaagt, kans daarop is: binompdf(0,0.,) Voor de tweede test zijn er nog 9 kandidaten (de ene die al slaagde voor de eerste test doet niet meer mee!) Verdeling is Bin(9,0.). Geen kandidaat slaagt, kans daarop is binompdf(9,0.,0) Ook voor de derde test zijn er nog 9 kandidaten, verdeling nog steeds Bin(9,0.). Er slaagt nu één kandidaat. Kans daarop is binompdf(9,0.,) Kans op deze 'route' door het boomdiagram is binompdf(0,0.,) binompdf(9,0.,0) binompdf(9,0.,) 0.004 d H 0 : p=0. De bewering van het testinstituut: slaagkans is 0% H : p<0. Het vermoeden van iemand: de slaagkans is kleiner dan 0% Verdeling Bin(0,0.); E(X)=0 0.= Eenzijdige toets met α=0.0 Overschrijdingskans P(X ) = binomcdf(0,0.,) 0.0338 > 0.0, dus H 0 wordt NIET verworpen bij een significantieniveau van,% (maar wordt wel verworpen bij een significantieniveau van % 0%!) Bij een significantieniveau van,% is het vermoeden van de 'iemand' NIET juist.
BASISVAARDIGHEDEN en ANALYSE 6a Kettingregel voor de wortel en productregel en f '( x) = 8x (00 x ) x + 8 (00 x ) (en dat mag je proberen mooier te schrijven, maar is niet echt noodzakelijk) 6b Productregel voor de teller, verder quotiëntregel voor het geheel. Je kunt ook de haakjes in de teller wegwerken en vervolgens alleen de quotiëntregel gebruiken. (( x ) () + ( x) ( x 3) ) x x ( x )( x 3) g'( x) = (ook nu weer: je kunt het vast ( x ) wel mooier schrijven, maar als het niet echt gevraagd wordt hoeft dat niet!) 6c Voor de tweede term heb je de kettingregel nodig h '( x) = x 6d 0.8 x = x 0.8 = = 0. 0.8 x= log(0.) 0.8 Alleen Kijk maar: log(0.) log(0.) log(0.8) + 3 3x + 7 6. 6e ( x )(3 x)( x ) = 0 x + 7x ( x )(3 x)( x ) = 0 en, x + 7x 0 en voldoen.. ( en x en x.) x=. en x= voldoen niet
6f + = 8 = 3 3 = = 0.6 x 3= log 0.6 x = log 0.6 + 3 ( log 0.6 + 3) ( log 0.6 + 3) x.67 log(0.6) + 3 log() x.67 log(0.6) + 3 log() Bedenk dat de basisvaardigheden vooral bedoeld zijn om optimaliseringsproblemen aan te kunnen. Het maximum het minimum vind je op die plaatsen waar de afgeleide functie gelijk is aan 0. Bij een probleem waar een maximum minimum gevraagd wordt, stel je eerst de afgeleide op en vervolgens bepaal je voor welke x de afgeleide NUL wordt.